数学

解説
＞各ｉ（１≦ｉ≦ｓ）については、
ｌi＝|Ｃi|＝|Ｇ：Ｎ_G(ａi)|（ａi∈Ｃi）
であるから、

念のため、演習問題５（２）から。

＞各ｉ（１≦ｉ≦ｓ）については、
ｌi＝|Ｃi|＝|Ｇ：Ｎ_G(ａi)|（ａi∈Ｃi）
であるから、ｐ｜ｌiである。

厳密には、ｌi＞１（類等式の条件）だからである。
また、ラグランジュの定理より、|Ｇ：Ｎ_G(ａi)|＝|Ｇ|/|Ｎ_G(ａi)|＝ｐ^r/|Ｎ_G(ａi)|
この右辺は整数でｐは素数よりｐ^r/|Ｎ_G(ａi)|はｐの倍数である。よって、右辺がｐの倍数より左辺もｐの倍数。よって、|Ｇ：Ｎ_G(ａi)|がｐの倍数より、ｌiもｐの倍数。よって、ｐ｜ｌi

定理4.4（ラグランジュの定理）
Ｇを有限群，ＨをＧの部分群とすると、Ｇの位数はＨの位数と|Ｇ：Ｈ|の積になる。すなわち、
|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|

＞したがって、上の等式よりｐ｜ｚが得られる。

上の等式とは、ｐ^r＝ｌ1＋・・・＋ｌs＋ｚで、ｐ｜ｌiより、ｐ｜(ｌ1＋・・・＋ｌs)　よって、ｚがｐの倍数でなかったら等式が成り立たない。よって、ｚはｐの倍数。∴ｐ｜ｚ

＞よって、|Ｚ(Ｇ)|＝ｚ≧ｐ＞１

厳密には、ｚ≠０より、ｚ≧ｐ（ｚ≠０は上の段階でか。）

＞ゆえに、単位元でない元ａがＧの中心Ｚ(Ｇ)に存在する。

|Ｚ(Ｇ)|＞１よりＺ(Ｇ)の元の数が２以上なので、単位元ｅ以外に少なくとももう１つの元が存在する。

おまけ：
「34 地上に平和をもたらすために、わたしがきたと思うな。平和ではなく、つるぎを投げ込むためにきたのである。
35 わたしがきたのは、人をその父と、娘をその母と、嫁をそのしゅうとめと仲たがいさせるためである。
36 そして家の者が、その人の敵となるであろう。
37 わたしよりも父または母を愛する者は、わたしにふさわしくない。わたしよりもむすこや娘を愛する者は、わたしにふさわしくない。
38 また自分の十字架をとってわたしに従ってこない者はわたしにふさわしくない。
39 自分の命を得ている者はそれを失い、わたしのために自分の命を失っている者は、それを得るであろう。
40 あなたがたを受けいれる者は、わたしを受けいれるのである。わたしを受けいれる者は、わたしをおつかわしになったかたを受けいれるのである。」
「マタイによる福音書」第１０章３４節～４０節

解法１（思い付いた順）
扇形ＢＡＣ（色付きの方）＝２×２×３．１４×(３/４)＝３×３．１４＝９．４２ｃｍ^2―――☆
また、△ＢＡＣは直角二等辺三角形より、ＡＣの真ん中の点をＯとすると、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣとなり、これらは半円の半径でもある。
ここで、△ＢＡＣの面積を考えると、△ＢＡＣ＝２×２÷２＝２ｃｍ^2―――①
また、△ＢＡＣ＝ＡＣ×ＯＢ÷２＝直径×半径÷２＝半径×半径―――②
①，②より、半径×半径＝２
よって、半円＝半径×半径×３．１４×(１/２)＝２×３．１４×(１/２)＝３．１４―――☆☆
☆，☆☆より、
色付き部分の面積＝９．４２＋３．１４＝１２．５６
よって、答えは、１２．５６ｃｍ^2

解法２
半円の中心をＯとし、半円の弧の真ん中の点をMとすると、半径よりＯＭ＝ＯＡ＝ＯＣ
また、対称性より∠ＡＯＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°よって、△ＯＡＭと△ＯＣＭは合同な直角二等辺三角形より△ＭＡＣも１つの直角二等辺三角形になり、ＡＣを共有しているので△ＢＡＣと合同である。
よって、△ＢＡＣと△ＯＣＭの面積比は２：１で、扇形ＢＡＣと扇形ＯＣＭの面積比も相似で２：１である。
つまり、扇形ＢＡＣの面積と半円の面積は等しい。（半円の面積も扇形ＯＣＭの面積の２倍だから。）
よって、求める面積は、左の大きな円の面積と等しい。よって、答えは、２×２×３．１４＝１２．５６ｃｍ^2

因みに、模範解答はヒポクラテスの三日月を使うようです。これは一番初めに思い付きましたが、邪道だと思ってスルーしました。興味がある人は検索して下さい。

おまけ：

https://ciatr.jp/topics/159715

解答
△ＥＡＤの内対角の和より、∠ＡＥＣ＝５０°＋３０°＝８０°よって、∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ　よって、△ＡＥＣは二等辺三角形よりＡＥ＝ＡＣ―――①
また、∠ＥＡＣ＝１８０°－８０°×２＝２０°より、∠ＣＡＤ＝２０°＋３０°＝５０°よって、∠ＣＤＡ＝∠ＣＡＤより△ＣＤＡは二等辺三角形。
よって、ＡＣ＝ＤＣ―――②　
①，②より、ＡＥ＝ＤＣ―――③
また、ＢＤ＝ＥＣの両辺にＤＥを加えると、ＢＥ＝ＤＣ―――④　③，④より、ＡＥ＝ＢＥ
よって、△ＥＢＡは二等辺三角形より、∠ＥＢＡ＝∠ＥＡＢ　また、△ＥＢＡの内対角の和より、∠ＥＢＡ＋∠ＥＡＢ＝８０°
よって、∠ＥＢＡ＝∠ＥＡＢ＝８０°÷２＝４０°
よって、∠ＡＢＤ＝４０°

暗算で解ける問題でしたね。ただし、④の所は慣れていないと難しいかもしれませんが。

おまけ：（昔からイギー好きなんですよね。）

解説
＞（ⅰ）Ｇ＝Ｈａ1^-1∪・・・∪Ｈａn^-1であることを示す。Ｇの任意の元をｘとする。Ｇは群であるから、ｘ^-1∈Ｇ＝ａ1Ｈ∪・・・∪ａnＨ　ゆえに、ある番号ｉがあって、ｘ^-1∈ａiＨとなっているのでｘ^-1＝ａiｈ（ｈ∈Ｈ）と表される。
したがって、ｘ＝(ａiｈ)^-1＝ｈ^-1ａi^-1∈Ｈａi^-1

この続きに、∴ｘ∈Ｈａi^-1　
∴Ｇ⊂Ｈａ1^-1∪・・・∪Ｈａn^-1
また、Ｇ⊃Ｈａ1^-1∪・・・∪Ｈａn^-1は自明。（ＨはＧの部分群でａ1^-1～ａn^-1は全てＧの元でＧは群で演算について閉じているから。）
∴Ｇ＝Ｈａ1^-1∪・・・∪Ｈａn^-1
と付け加える。

＞定理4.3の証明でａiＨ＝ａjＨ⇔Ｈａi^-1＝Ｈａj^-1を示した（ａiＨ＝ａjＨ⇔ａi^-1ａj∈Ｈ⇔Ｈａi^-1ａj＝Ｈ
⇔Ｈａi^-1(ａj^-1)^-1＝Ｈ⇔Ｈａi^-1＝Ｈａj^-1）。ゆえに、ａiＨ＝ａjＨ
したがって、仮定よりａi＝ａjである。

＞Ｈａi^-1(ａj^-1)^-1＝Ｈ⇔Ｈａi^-1＝Ｈａj^-1

この間に、ａi^-1(ａj^-1)^-1∈Ｈを入れた方が良い。つまり、Ｈａi^-1(ａj^-1)^-1＝Ｈ⇔ａi^-1(ａj^-1)^-1∈Ｈ⇔Ｈａi^-1＝Ｈａj^-1（定理4.1の系）

定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の（１），（２），（３）は同値である。
（１）ａ∈Ｈ，（２）ａＨ＝Ｈ，（３）Ｈａ＝Ｈ

＞ゆえに、ａiＨ＝ａjＨ
したがって、仮定よりａi＝ａjである。

仮定とは、ａiＨ∩ａjＨ＝φ（ｉ≠ｊ）また、この続きは、　
よって、矛盾。よって、背理法により、
Ｈａi^-1∩Ｈａj^-1＝φ

しかし、「ゆえに、ａiＨ＝ａjＨ」の時点で、指数がｎである事に矛盾するので、これはａ1，ａ2，・・・，ａnがＨを法とする左剰余類の完全代表系である事に矛盾する、として良いのではないだろうか。
∴Ｈａi^-1∩Ｈａj^-1＝φ

おまけ：

解答
ＥからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＥは直角二等辺三角形より△ＥＡＨと△ＥＢＨも直角二等辺三角形になり、ＥＨ＝ＡＨ＝ＢＨ
ここで、ＥＨ＝ＡＨ＝ＢＨ＝４ｃｍとすると、△ＡＢＥ＝８×４÷２＝１６ｃｍ^2となるので、ＡＢ＝８ｃｍである。

もっと、正しく求めたい人は、△ＡＢＥをＡＢに関して折り返して点Ｅの行き先をＥ'とすると、四角形Ｅ'ＢＥＡは正方形となり、面積は１６×２＝３２ｃｍ^2
また、正方形Ｅ'ＢＥＡ＝Ｅ'Ｅ×ＡＢ÷２＝ＡＢ×ＡＢ÷２＝３２ｃｍ^2となるので、ＡＢ×ＡＢ＝３２×２＝６４ｃｍ^2　よって、ＡＢ＝８ｃｍ

ところで、△ＡＣＥは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型より、ＡＥ：ＡＣ＝１：２
また、△ＡＤＣも直角二等辺三角形より、△ＡＢＥと△ＡＤＣは相似で相似比は１：２である。
よって、ＡＢ：ＡＤ＝１：２でＡＢ＝８ｃｍより、ＡＤ＝１６ｃｍ
今、ＢＡの延長上にＤから垂線を下ろしその足をＩとすると、∠ＤＡＩ＝１８０°－４５°－６０°－４５°＝３０°より、△ＤＡＩは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。よって、ＤＩ＝ＡＤ÷２＝１６÷２＝８ｃｍ
よって、△ＡＢＤ＝ＡＢ×ＤＩ÷２＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
よって、答えは、３２ｃｍ^2

おまけ：

https://news.yahoo.co.jp/articles/d4de5a48af340e69181a545f4330e72db6efac7d

解答
まず、へこみがない所だけを考えると、コーナーは半径３ｃｍの四分円になり、他の所は色部分の直線の長さと同じである。
要は、へこみの部分が問題である。そこで、円がはまった状態を考えると、半径＝３ｃｍ，色部分の小さな正方形の１辺の長さが３ｃｍより、正三角形が出来る。
円の中心をＯ，へこみの部分の２つの角（かど）を左からＡ，Ｂとすると、△ＯＡＢが正三角形。よって、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝６０°より、落ち込むまでの回転角度は９０°－６０°＝３０°である。また、落ち込みから復活するまでの回転角度も対称性から同じである。
よって、へこみの部分の円の中心が動く線の長さは、６×３．１４×(３０/３６０)×２＝３．１４ｃｍ
また、それ以外の部分は、９×３＋６×３．１４＝２７＋１８．８４＝４５．８４ｃｍ
よって、答えは、３．１４＋４５．８４
＝４８．９８ｃｍ

読んでもイメージ出来ない人は、こちらの図を参考にして下さい。https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2018-nyushimondai/9161/

おまけ：

https://hochi.news/articles/20220616-OHT1T51097.html?page=1

解説
＞|Ｇ|＝ｐ^nとする。Ｇの元で単位元でないものをａとすると、
|ａ|＝ｐ^m（ｍ≦ｎ）と置ける。

ラグランジュの定理の系より、有限群Ｇの元の位数はＧの位数の約数だから。

＞∴ｂ^p＝ｅ
よって、ｂの位数はｐである。

ｐが素数だからである。ｐが素数ではない正の整数の場合、ｂ^p＝ｅから言える事は、ｂの位数はｐ以下であるという事だけである。念のため、ｂの位数はｂ^p＝ｅとなる最小のｐである。

ｐが素数の場合、ｂの位数はｐである証明は、
ｐが最小でないと仮定すると、ｂ^s＝ｅ（１＜ｓ＜ｐ）となるｓ（ｓ＝１の場合は、ｂ＝ｅでｂの仮定に反する）が存在する。この両辺をｔ（ｔ＞１）乗すると、(ｂ^s)^t＝ｅ^t＝ｅ　∴ｂ^st＝ｅ　
このｔはｂ^p＝ｅとなるｔとする。（そういうｔが存在する事は定理3.2によって保証される。）
∴ｐ＝ｓｔ　ところが、ｐは素数より矛盾。
よって、背理法により、ｐは最小である。
よって、ｂの位数はｐである。
よって、ｐが素数ならばｂの位数はｐである。

定理3.2
群Ｇの単位元をｅとし、Ｇの元ａの位数をｎとする。このとき、非負整数ｋについて次が成り立つ。
ａ^k＝ｅ⇔ｋ≡０（modｎ）

おまけ：

問題
位数が素数ｐのベキである群Ｇ≠{ｅ}は位数ｐの元をもつことを示せ。

別解（「演習　群・環・体 入門」新妻弘著の模範解答）
単位元ｅと異なるＧの元をａとする。定理4.4の系２よりａの位数はｐのベキである。ゆえに、|ａ|＝ｐ^k（ｋ∈ℕ）と表される。もし、ｋ＞１であれば定理3.6の系１より|ａ^p^(k-1)|＝ｐである。

定理4.4の系２
有限群Ｇの元の位数はＧの位数の約数である。

定理3.6の系１
ｒ，ｓを自然数とする。群Ｇの元ａの位数をｒｓとすると、元ａ^rの位数はｓであり、元ａ^sの位数はｒである。すなわち、
|ａ|＝ｒｓ⇒|ａ^r|＝ｓ，|ａ^s|＝ｒ

読めば分かるが、一応解説すると、

＞定理4.4の系２よりａの位数はｐのベキである。ゆえに、|ａ|＝ｐ^k（ｋ∈ℕ）と表される。

ｐは素数よりｐのベキ乗の約数はｐのベキ乗なので、ｐ^kと置ける。（Ｇの位数がｐ^nとすると、ｋ≦ｎである。）

＞もし、ｋ＞１であれば定理3.6の系１より|ａ^p^(k-1)|＝ｐである。

定理3.6の系１より、|ａ|＝ｐ^k⇒|ａ^p^(k-1)|＝ｐである。（ｐ^k＝ｐ・ｐ^(k-1)だから。）
ｋ＝１の場合、|ａ|＝ｐ^1＝ｐとなり、ａの位数はｐより位数ｐの元を持つ事は自明。
念のため、ネットの解法ではこの場合分けは必要ありませんね。

おまけ：

解答
扇形の中心をＯとして、四分円の弧を時計回りＡ，Ｂと振り、弧ＡＢ上の点をＣとする。
ＯＣを結び、ＢからＯＣに下ろした垂線の足をＨ，ＣからＯＡに下ろした垂線の足をＩとすると、
ＯＨ＝ＣＨ　また、ＯＣ＝ＯＢより、ＯＨ：ＯＢ＝１：２である。よって、△ＢＯＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠ＢＯＨ＝６０°よって、∠ＣＯＩ＝９０°－６０°＝３０°よって、△ＯＣＩも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型で半径よりＯＢ＝ＣＯなので、△ＢＯＨと△ＯＣＩは合同である。
よって、ア－イ＝(ア＋△ＢＯＨ)－(イ＋△ＯＣＩ)＝扇形ＯＢＣ－扇形ＯＡＣ＝扇形ＯＡＣ１つ分
よって、ア－イ＝６×６×３．１４×(３０/３６０)＝６×６×３．１４×(１/１２)＝３×３．１４＝９．４２ｃｍ^2
よって、答えは、９．４２ｃｍ^2

中途半端な別解は次回。念のため、算数です。

おまけ：

別解
扇形の中心をＯとして、四分円の弧を時計回りＡ，Ｂと振り、弧ＡＢ上の点をＣとする。
ＯＣを結び、ＢからＯＣに下ろした垂線の足をＨ，ＣからＯＡに下ろした垂線の足をＩとすると、
ＯＨ＝ＣＨ　また、ＯＣ＝ＯＢより、ＯＨ：ＯＢ＝１：２である。よって、△ＢＯＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠ＢＯＨ＝６０°よって、∠ＣＯＩ＝９０°－６０°＝３０°
ここで、ＯからＢＣに垂線を下ろしＪとしその延長と円との交点をＫとすると、図形ＫＪＣと図形ＫＪＢと図形ＡＩＣは合同である。
よって、ア－イはアから図形ＫＪＣを引いた面積である。ところで、△ＯＣＢは頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形で、ＢＣ＝ＯＣ　よって、ＢＪ＝ＣＨである。よって、図形ＫＪＢをＣＨの所に移動させると、半径が６ｃｍで中心角が３０°の扇形になる。（扇形ＯＡＣの所を参照すると良く分かる。）
よって、６×６×３．１４×(３０/３６０)＝６×６×３．１４×(１/１２)＝３×３．１４＝９．４２ｃｍ^2
よって、答えは、９．４２ｃｍ^2

おまけ：

解答
図１で釣り合っているので、両方から同じ分だけ取り除いても釣り合う。よって、両方からＣとＤを取り除くと、Ａ＋Ｂ＝Ｅ＋Ｆで釣り合っている。
Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｆのどれか１つだけ重さが違っていたら釣り合わないので、全部等しい。
よって、Ａ＝Ｂ＝Ｅ＝Ｆ―――①
また、図２より、Ｆ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｅで釣り合っていて、どれか１つだけ重さが違っていたら釣り合わないので、全部等しい。
よって、Ｂ＝Ｃ＝Ｅ＝Ｆ―――②
①，②より、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｅ＝Ｆ
ところで、ボールは、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆだけなので、１つだけ重さが違うのはＤである。
よって、答えは、Ｄ。

おまけ：

解答
ＰＤ＋ＦＤ＝ＢＦより、ＦＤの延長上にＰ'Ｄ＝ＰＤとなる点Ｐ'を取ると、
ＦＰ'＝ＦＤ＋Ｐ'Ｄ＝ＦＤ＋ＰＤ＝ＢＦ
よって、ＦＢ＝ＦＰ'より△ＦＢＰ'は二等辺三角形。ところで、∠ＢＦＤ＝３５°より、∠ＦＰ'Ｂ＝(１８０°－３５°)÷２＝１４５°÷２＝７２．５°
また、点ＤはＢＣの真ん中の点 かつ ＰＰ'の真ん中の点より、定理によって四角形ＰＢＰ'Ｃは平行四辺形である。よって、ＢＰ'とＰＣは平行。よって、錯角が等しいので、∠ＤＰＣ＝∠ＦＰ'Ｂ＝７２．５°
また、条件より△ＡＤＣは頂角が２４°のの等辺三角形より、∠ＰＤＣ＝(１８０°－２４°)÷２＝１５６°÷２＝７８°
よって、△ＰＤＣの内角の和より、
∠ＰＣＤ＝１８０°－７２．５°－７８°＝１８０°－１５０．５°＝２９．５°
よって、答えは、２９．５°

暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。

おまけ：

問題１の解答
１５％が降りるという事は８５％になるという事なので、１２０％×０．８５＝１０２％
よって、答えは、１０２％

知っておいて欲しい話。
「C型肝炎治療に関する医者向けの解説書（２００３年刊）を書店で購入して読んでいたら、次のような記述があった。C型肝炎の肝臓の状態が、

・F1であれば、今後１年間で肝臓癌になる確率は０．５％。したがって、今後２０年間で肝臓癌になる確率は１０％。

・F2であれば、今後１年間で肝臓癌になる確率は１．５％。したがって、今後２０年間で肝臓癌になる確率は３０％。

・F3であれば、今後１年間で肝臓癌になる確率は３．８％。したがって、今後２０年間で肝臓癌になる確率は６０％。

・F4であれば、今後１年間で肝臓癌になる確率は７％。したがって、今後２０年間で肝臓癌になる確率は１４０％。

これを読んで私は、思わず絶句した。確率が１４０％と書いてあったからである。著者、編集者、校正者のうちの誰かが「これは変だ」と思わなかったのだろうか。医者向けの本を出している出版社の信用にかかわることではないか。確率は０以上1以下であることは、昔から変わらない。パーセントで書けば、確率は１００％以下だ。１００％ということは、必ず起こるということである。F4の状態なら２０年の間に必ず癌になる、と言いたいなら１００％と書けばよい。計算で１４０％になったら、その計算が違っているのは明らかだから、よく考えてやり直さねばならない。著者は肝炎治療の権威者で東大医学部教授である。このような記述があるということは、著者が確率論をまったく理解していないことを意味する。肝臓癌という怖い病気に関することなので、ことは重大である。」
「いいたかないけど数学者なのだ」飯高茂著より

感想
F1の状態で今後１年間で肝臓癌にならない確率は、９９．５％。よって、２０年間肝臓癌にならない確率は、（０．９９５）の２０乗＝０．９０４６１０４・・・。よって、２０年以内に肝臓癌になる確率はこの余事象より、１－０．９０４６１０４・・・＝０．０９５３８９５・・・。
よって、約９．５％。

F2の場合も同様なので解説抜きで計算すると、

１－（１－０．０１５）の２０乗＝１－（０．９８５）の２０乗＝１－０．７３９１３６４・・・＝０．２６０８６３５・・・
よって、約２６．１％

F3の場合　１－（１－０．０３８）の２０乗＝１－（０．９６２）の２０乗＝１－０．４６０７８８３・・・＝０．５３９２１１７・・・　
よって、約５３．９％。

F4の場合　１－（１－０．０７）の２０乗＝１－（０．９３）の２０乗＝１－０．２３４２３８８・・・＝０．７６５７６１１・・・　
よって、約７６．６％。

因みに、この考え方をサイコロや天気に使ってしまうと赤っ恥をかく事になる。サイコロは毎回１/６なので、例えば、２０回連続１の目が出ていなくても次も確率は１/６である。天気も同様である。

おまけ：

問題２の解答
１８０＝２×９０＝２×２×４５＝２×２×３×３×５より、１８０×５＝２×２×３×３×５×５＝(２×３×５)×(２×３×５)＝３０×３０より、
１８０×５＝３０×３０で最小の数は５である。
よって、答えは５
因みに、次に小さいのは、１８０×５＝２×２×３×３×５×５×２×２＝(２×２×３×５)×(２×２×３×５)＝６０×６０で、
１８０×(２×２×５)＝６０×６０より、２０である。

念のため、問題１のおまけ話の補足。別にサイコロや天気が特別な訳ではなく、Ｆ４で１９年間肝臓がんになっていなくても２０年目に肝臓がんになる確率が７６．６％という訳ではない。まぁ、当然と言えば当然な話である。

因みに、
・F3であれば、今後１年間で肝臓癌になる確率は３．８％。したがって、今後２０年間で肝臓癌になる確率は６０％。

となっていて、３．８×２０≠６０なので誤植かな。（念のため、私の誤植ではない。）

おまけ：

https://news.yahoo.co.jp/articles/83057ab4f3659ab3b2bdd3aff8a2b87ddea93c12

問題３の解答
① Ａ，Ｂを同時にひっくり返す。
② Ａが終わったら、再びＡをひっくり返し、それが終わったらさらにもう一度ひっくり返す。
③ その間に初めのＢが７分で終わるので、それと同時にまだ終わっていないＡをさらにひっくり返す。
④ すると、Ａの砂は７－３－３＝１分ぶんだけ落ちた状態なのでそれをひっくり返す事によって、そのＡが終わる時には初めから考えて、３＋３＋１＋１＝８分経っている事になる。
⑤ よって、更にＡをひっくり返して全部落ちるのを待つと３分で、計８＋３＝１１分となる。

おまけ：

https://news.yahoo.co.jp/articles/b85fee2f4467b598854675567d60a8a8690f0f52

解説
＞上の議論によって、＜ａ＞＝Ｇとなるので、Ｇは巡回群である。

「よって、Ｇは真部分群をもたない。」（上の議論の一部）事より、§3 演習問題３によって、Ｇは巡回群である。

§3 演習問題３
Ｇを群，ｅをその単位元とする。Ｇが真部分群をもたなければ、Ｇは位数が素数ｐの巡回群であることを示せ。ただし、Ｇ≠{ｅ}とする。

＞すなわち、Ｇは単位元ではないすべての元が生成元となっている巡回群である（§3 演習問題３参照）。

定理3.6の系２より、ａ^kがＧの生成元⇔(ｎ，ｋ)＝１で、Ｇの位数は素数ｐより２～ｐ－１までの全ての数と互いに素なので、単位元ではないすべての元が生成元となっている。

定理3.6の系２
Ｇをａによって生成される位数ｎの巡回群とする。このとき、Ｇの元ａ^kがＧの生成元であるための必要十分条件は、(ｎ，ｋ)＝１なることである。すなわち、
ａ^kがＧの生成元⇔(ｎ，ｋ)＝１

おまけ：https://www.tiktok.com/@shinjinshu/video/7137132206748601602?is_copy_url=1&is_from_webapp=v1&lang=ja-JP

§3 演習問題３の解説

§3 演習問題３
Ｇを群，ｅをその単位元とする。Ｇが真部分群をもたなければ、Ｇは位数が素数ｐの巡回群であることを示せ。ただし、Ｇ≠{ｅ}とする。

証明
（１）単位元でないＧの元をａとする。このとき、ａによって生成された巡回部分群＜ａ＞を考えると、{ｅ}⊊＜ａ＞⊂Ｇである。仮定により＜ａ＞＝Ｇでなければならない。よって、Ｇはａを生成元とする巡回群である。
（２）Ｇの位数は有限である：もし、＜ａ＞＝Ｇの位数が有限でないとすると、
∀ｎ∈ℤ^*＝ℤ－{０}，ａ^n≠ｅ―――（＊）
このとき、＜ａ^2＞≠＜ａ＞である。何故ならば、＜ａ^2＞＝＜ａ＞とすると、
ａ∈＜ａ＞＝＜ａ^2＞⇒∃ｎ∈ℤ^*，ａ＝(ａ^2)^n
∴ａ^(2n-1)＝ｅ，２ｎ－１≠０
これは（＊）に矛盾する。ゆえに、{ｅ}⊊＜ａ^2＞⊊＜ａ＞＝Ｇ　したがって、＜ａ^2＞はＧの真部分群となり仮定に反する。以上より、Ｇの位数は有限であることが示された。
（３）Ｇ＝＜ａ＞の位数ｎが素数でないとすると、ｎ＝ｒｓ（ｒ，ｓ∈ℕ，１＜ｒ，ｓ）と分解される。このとき、定理3.6系１より＜ａ^r＞は位数ｓの部分群で、１＜ｓ＜ｎであるから、{ｅ}⊊＜ａ^r＞⊊＜ａ＞＝Ｇとなっている。これは、Ｇが真部分群をもたないことに矛盾する。
以上（１），（２），（３）より真部分群をもたない群Ｇ（≠{ｅ}）は位数が素数ｐの巡回群であることが示された。

定理3.6の系１
ｒ，ｓを自然数とする。群Ｇの元ａの位数をｒｓとすると、元ａ^rの位数はｓであり、元ａ^sの位数はｒである。すなわち、
|ａ|＝ｒｓ⇒|ａ^r|＝ｓ，|ａ^s|＝ｒ

証明は読めば分かると思うので、補足的な解説をしてみる。
（２）より、Gが真部分群を持たなければＧは有限群である。
この対偶を取ると、無限群ならば真部分群を必ず持つ。まぁ、当然と言えば当然ですね。

おまけ：https://twitter.com/55wakako/status/1192099646996283393?ref_src=twsrc%5Etfw%7Ctwcamp%5Etweetembed%7Ctwterm%5E1192099646996283393%7Ctwgr%5Eab08335aefc5145678fa1f1ca340f141978fdb19%7Ctwcon%5Es1_&ref_url=https%3A%2F%2Fwww.kiita.net%2Farchives%2F3060（しっかり反省して欲しいですね。笑）

https://news.yahoo.co.jp/articles/e68c3c9b54d87e8076d0c90755ec62daa33deaec