数学

次の文章を完全解説して下さい。

問題
次の各々において、準同型写像はいくつあるか。
（６）ℤ12→ℤ5（全射）（７）以下略。

解答
ｆ：ℤ12→ℤ5（全射）なる準同型写像ｆが存在したと仮定すると、準同型定理6.5よりℤ12/kerｆ≃ℤ5である。ゆえに
５＝|ℤ5|＝|ℤ12/kerｆ|＝|ℤ12|/|kerｆ|＝１２/|kerｆ|
これより、５が１２の約数となり矛盾である。よって、全射ｆは存在しない。

定理6.5（準同型定理）
Ｇ，Ｇ'を群，ｆをＧからＧ'への準同型写像とし、K＝kerｆとする。Ｇ/Ｋの元ａＫにＧ'の元ｆ(ａ)を対応させる写像|ｆは、剰余群Ｇ/ＫからＧ'への単準同型写像になる。特に、ｆが全準同型写像であれば、Ｇ/ＫとＧ'は同型になる。すなわち、
Ｇ/kerｆ≃Ｇ'
また|ｆは、π：Ｇ→Ｇ/Ｋを自然な準同型写像とするとｆ＝|ｆ◦πを満たしている。
（引用終わり）

また、別解や全射じゃない場合も求めて下さい。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201809190002/

うっかり算数の問題と勘違いして悩んでしまいました。何でもありなら簡単ですね。一応、算数もどきの解法も作ってみました。優秀な小学生なら解けるかもしれません。腕に覚えがある人は是非挑戦してみて下さい。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
次の各々において、準同型写像はいくつあるか。
（４）ℤ→ℤ8（５）以下略。

解答
（４）ℤ→ℤ8なる準同型写像は８個存在する。
ℤ8の部分群は＜|０＞，＜|４＞，＜|２＞，＜|１＞＝ℤ8である。ｆ(ℤ)はℤ8の部分群であるから（問6.9の（１））、次の４つの場合が考えられる。
ｆ(ℤ)＝ℤ8，ｆ(ℤ)＝＜|２＞，ｆ(ℤ)＝＜|４＞，ｆ(ℤ)＝＜|０＞
（ⅰ）ｆ(ℤ)＝ℤ8となる準同型写像の場合。ℤ8の生成元は|１，|３，|５，|７であるから、ｆ(１)＝|１，|３，|５，|７を満たす４つの写像が考えられる。
（ⅱ）ｆ(ℤ)＝＜|２＞となる準同型写像の場合。＜|２＞＝{|０，|２，|４，|６}の生成元は|２，|６であるから、ｆ(１)＝|２，|６を満たす２つの写像がある。
（ⅲ）ｆ(ℤ)＝＜|４＞となる準同型写像の場合。＜|４＞＝{|０，|４}の生成元は|４であるから、ｆ(１)＝|４を満たす唯１つの写像がある。
（ⅳ）ｆ(ℤ)＝＜|０＞となる準同型写像の場合。＜|０＞＝{|０}の生成元は|０であるから、ｆ(１)＝|０の唯１つの写像がある。

問6.9の（１）
ｆ：Ｇ→Ｇ'を群の準同型写像とするとき、次を示せ。
（１）ＨをＧの部分群とするとき、ｆ(Ｈ)はＧ'の部分群である。
（引用終わり）

具体的には、

＞ℤ8の生成元は|１，|３，|５，|７であるから、ｆ(１)＝|１，|３，|５，|７を満たす４つの写像が考えられる。

＞＜|２＞＝{|０，|２，|４，|６}の生成元は|２，|６である

の２ヶ所と別解ぐらいですかね。ただし、別解は全然面白くありません。

おまけ：

https://instagrammernews.com/detail/2982546548581856883

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201809200001/

一応、何でもありで解いて下さい。算数ではちょっと苦労しました。（以前にもやったと思いますが、すぐ忘れちゃうんですよね。）

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
次の各々において、準同型写像はいくつあるか。
（２）ℤ→ℤ2（３）以下略。

解答
（２）準同型写像は２個存在する。
ｆ：ℤ→ℤ2＝{|０，|１}とすると、ｆ(１)は|０，|１である。
（ⅰ）ｆ(１)＝|０のとき、ｆはゼロ写像である。
（ⅱ）ｆ(１)＝|１のとき、ｆ(２ｎ)＝|０，ｆ(２ｎ＋１)＝|１なる写像である。

また、解説した後に別解を作ってみて下さい。

おまけ：
https://www.sponichi.co.jp/entertainment/news/2019/07/12/kiji/20190712s00041000464000c.html

次の文章を完全解説して下さい。

問題
次の各々において、準同型写像はいくつあるか。
（１）ℤ→ℤ（全射）（２）以下略。

解答
（１）全射となる準同型写像は２個存在する。
ｆ：ℤ→ℤを加法群の準同型写像とする。ℤの生成元は１と－１である。ゆえに、ｆ(ℤ)＝ｆ(＜１＞)＝＜ｆ(１)＞である（問6.6）。したがって、
ｆが全射⇔ｆ(ℤ)＝ℤ⇔＜ｆ(１)＞＝ℤ⇔ｆ(１)＝１または－１
（ⅰ）ｆ(１)＝１のとき、ｆ(ｎ)＝ｎ（ｎ∈ℤ）となる。すなわち、ｆはℤの恒等写像であることを示す。
ｎ＞０，ｆ(ｎ)＝ｆ(１＋…＋１)＝ｆ(１)＋…＋ｆ(１)＝ｎｆ(１)＝ｎ１＝ｎ
ｎ＝０，ｆ(０)＝０
ｎ＜０のとき、ｎ'＝－ｎとおく。定理6.2に注意すると
ｆ(ｎ)＝ｆ(－ｎ')＝－ｆ(ｎ')＝－ｎ'＝ｎ
（ⅱ）ｆ(１)＝－１のとき、ｆ(ｎ)＝－ｎ（ｎ∈ℤ）となることを示す。
ｎ＞０，ｆ(ｎ)＝ｆ(１＋…＋１)＝ｆ(１)＋…＋ｆ(１)＝ｎｆ(１)＝ｎ(－１)＝－ｎ
ｎ＝０，ｆ(０)＝０
ｎ＜０のとき、ｎ'＝－ｎとおく。定理6.2に注意すると
ｆ(ｎ)＝ｆ(－ｎ')＝－ｆ(ｎ')＝－(－ｎ')＝ｎ'＝－ｎ

問6.6
ｆ：Ｇ→Ｇ'を準同型写像とするとき、Ｇの任意の元ａについて、次を示せ。
ｆ(＜ａ＞)＝＜ｆ(ａ)＞

定理6.2
ｆを群Ｇから群Ｇ'への準同型写像とし、ｅをＧの単位元，ｅ'をＧ'の単位元とするとき、次が成り立つ。
（１）Ｇの単位元ｅは準同型写像ｆによってＧ'の単位元ｅ'に移る。
（２）Ｇの任意の元ａに対してはｆ(ａ^-1)＝ｆ(ａ)^-1
（引用終わり）

まぁ、今回は適当に。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
ｆ：Ｇ→Ｇ'を群の準同型写像とするとき、次を示せ。
（１）ＨをＧの部分群とするとき、ｆ(Ｈ)はＧ'の部分群である。
（２）Ｈ'をＧ'の部分群とするとき、ｆ^-1(Ｈ')はＧの部分群である。

証明
ｅとｅ'をそれぞれＧとＧ'の単位元とする。このとき、定理6.2よりｆ(ｅ)＝ｅ'となっていることに注意する。また、定義よりｆ^-1(Ｈ)＝{ａ∈Ｇ｜ｆ(ａ)∈Ｈ'}
（１）ｅ∈Ｈであるから、ｅ'＝ｆ(ｅ)∈ｆ(Ｈ)　ゆえに、ｆ(Ｈ)≠φ　さて、ａ'，ｂ'∈ｆ(Ｈ)とすると、ａ'＝ｆ(ａ)（∃ａ∈Ｈ），ｂ'＝ｆ(ｂ)（∃ｂ∈Ｈ）と表される。このとき、
ａ'(ｂ')^-1＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)^-1＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ^-1)＝ｆ(ａ・ｂ^-1)
ここで、ＨはＧの部分群であるから、部分群の判定定理2.1によってａ・ｂ^-1∈Ｈ　よって、ａ'・(ｂ')^-1＝ｆ(ａ・ｂ^-1)∈ｆ(Ｈ) したがって、再び部分群の判定定理2.1によってｆ(Ｈ)はＧ'の部分群である。
（２）Ｈ'はＧ'の部分群であるから、ｅ'∈Ｈ'　ゆえに、ｆ(ｅ)＝ｅ'∈Ｈ'　したがって、ｅ∈ｆ^-1(Ｈ')であるから、ｆ^-1(Ｈ')≠φ　さて、ａ，ｂ∈ｆ^-1(Ｈ')とすると、ｆ(ａ)＝ａ'（∃ａ'∈Ｈ'），ｆ(ｂ)＝ｂ'（∃ｂ'∈Ｈ'）と表される。このとき、
ｆ(ａｂ^-1)＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ^-1)＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)^-1＝ａ'・(ｂ')^-1
ここで、Ｈ'はＧ'の部分群であるから、部分群の判定定理2.1によってａ'・(ｂ')^-1∈Ｈ'　よって、ｆ(ａｂ^-1)∈Ｈ'　ゆえに、ａ・ｂ^-1∈ｆ^-1(Ｈ')　したがって、再び部分群の判定定理2.1によってｆ^-1(Ｈ')はＧの部分群である。

定理6.2
ｆを群Ｇから群Ｇ'への準同型写像とし、ｅをＧの単位元，ｅ'をＧ'の単位元とするとき、次が成り立つ。
（１）Ｇの単位元ｅは準同型写像ｆによってＧ'の単位元ｅ'に移る。
（２）Ｇの任意の元ａに対してはｆ(ａ^-1)＝ｆ(ａ)^-1

定理2.1（部分群の判定定理）
群Ｇの空でない部分集合をＨとする。ＨがＧの部分群であるための必要十分条件は、Ｈが次の条件（１）と（２）を満足していることである。
（１）∀ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａ◦ｂ∈Ｈ
（２）∀ａ∈Ｈ⇒ａ^-1∈Ｈ
（引用終わり）

今回は面白くありません。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

準同型写像の例
例6.5
ｆ：ℝ^*→ℝ^+（ｆ(ｘ)＝|ｘ|，ｘ∈ℝ^*）なる写像は、０を除いた実数のつくる乗法群（ℝ^*，・）から正の実数のつくる乗法群（ℝ^+，・）への全準同型写像である。
ｆ(ｘｙ)＝|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)
∴ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)
ゆえに、ｆは準同型写像である。また、ｆが全射であることも容易にわかる。
ｆ(１)＝|１|＝１より、乗法群ℝ^*の単位元１は乗法群ℝ^+の単位元１に移る。また6は、逆元については次のようである。
ｆ(ｘ^-1)＝|ｘ^-1|＝|ｘ|^-1＝ｆ(ｘ)^-1

例6.6
θ→ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθは実数の加法群（ℝ，＋）から絶対値１の複素数のつくる乗法群（Ｅ，・）への全準同型写像である。
ｆ：ℝ→Ｅ（ｆ(θ)＝ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθ）と置く。
ｆ(θ1＋θ2)＝ｅ^i(θ1+θ2)＝ｅ^(iθ1+iθ2)
＝ｅ^iθ1・ｅ^iθ2＝ｆ(θ1)ｆ(θ2)
よりｆは準同型写像であることがわかる。また、
ｆ(０)＝ｅ^i0＝ｅ^0＝１
従って、（ℝ，＋）の単位元０はＥの単位元１へ移る。さらに、逆元については次のようである。
ｆ(－θ)＝ｅ^-iθ＝(ｅ^iθ)^-1＝ｆ(θ)^-1
（引用終わり）

例6.5は加法群から加法群の場合はどうか考えて下さい。例6.6はcosθ＋ｉsinθでも示してみて下さい。念のため、どちらもあまり意味はありません。
因みに、私は社会人入試で２８歳の時に大学の数学科に入り直しましたが、９ケ月の独学（高校数学）でこういう余分な事ばかりやっていました。性格上、中々暗記数学には徹し切れないんですよね。まぁ、１回やって気が済んだ後は暗記に徹していましたが。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201809210001/

何でもありで解いて下さい。結構、難しいと思います。因みに、算数でもまぁまぁな速さで解けました。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
位数が等しい巡回群は同型であることを示せ。

証明
（１）位数が有限である場合
（ⅰ）位数がｎの巡回群はℤnに同型であることを示す。Ｇを位数がｎの巡回群とすると、Ｇのある元ａによってＧ＝＜ａ＞と表される。このとき、ａ^n＝ｅであって
Ｇ＝＜ａ＞＝{ｅ，ａ，ａ^2，…，ａ^(n-1)}
と表される（定理3.4^*の証明）。そこで、
ｆ：Ｇ―→ℤn（ｆ(ａ^i)＝|ｉ）
なる写像を考える。ここで、定理3.2と第１章定理2.8より、
ａ^i＝ａ^j⇔ｉ＝ｊ（modｎ）⇔|ｉ＝|ｊ
が成り立つことに注意しよう。０≦ｉ，ｊ＜ｎなる整数に対して、ｉ＋ｊ≡ｋ（modｎ）（０≦ｋ＜ｎ）とおけば、上の注意よりａ^(i+j)＝ａ^k かつ |(ｉ＋ｊ)＝|ｋであるから
ｆ(ａ^i・ａ^j)＝ｆ(ａ^(i+j))＝ｆ(ａ^k)＝|ｋ，ｆ(ａ^i)＋ｆ(ａ^j)＝|ｉ＋|ｊ＝|(ｉ＋ｊ)＝|ｋ
ゆえに、 ｆ(ａ^i・ａ^j)＝ｆ(ａ^i)＋ｆ(ａ^j)が成り立つ。よって、ｆは準同型写像である。
次に、ｆ(ａ^i)＝ｆ(ａ^j)と仮定すると、|ｉ＝|ｊである。ゆえに、ａ^i＝ａ^jとなるので、ｆは単射である。また、ℤnの任意の元は|ｉ（０≦ｉ＜ｎ）と表されるから、ａ^i∈Ｇなる元を考えれば、ｆ(ａ^i)＝|ｉである。よって、ｆは全射であることがわかる。
以上によって、ｆは同型写像である。すなわち、Ｇ≃ℤnであることがわかった。
（ⅱ）Ｇ1とＧ2を位数がｎの巡回群とする。（ⅰ）よりＧ1≃ℤn，Ｇ2≃ℤnである。したがって、Ｇ1≃Ｇ2が得られる。
（２）位数が有限でない場合
（１）位数が有限でない無限巡回群はℤに同型であることを示す。Ｇを無限巡回群とすると、Ｇのある元ａによってＧ＝＜ａ＞と表される。このとき、０でない任意の整数ｎに対してａ^nは単位元にならないことに注意しよう。すなわち、ａ^n＝ｅ⇔ｎ＝０　このことより、ａ^i＝ａ^jならばｉ＝ｊである。したがって、ｆ(ａ^i)＝ｉによって定まる写像ｆ：Ｇ―→ℤを考えると、
ｆ(ａ^i・ａ^j)＝ｆ(ａ^(i+j))＝ｉ＋ｊ＝ｆ(ａ^i)＋ｆ(ａ^j)
ゆえに、ｆ(ａ^i・ａ^j)＝ｆ(ａ^i)＋ｆ(ａ^j)が成り立つ。よって、ｆは準同型写像である。
次に、ｆ(ａ^i)＝ｆ(ａ^j)と仮定すると、ｉ＝ｊである。ゆえに、ａ^i＝ａ^jであるから、ｆは単射である。また、ℤの任意の元ｉはａ^i∈Ｇを考えれば、ｆ(ａ^i)＝ｉ　よって、ｆは全射であることがわかる。以上によって、ｆは同型写像である。すなわち、Ｇ≃ℤであることがわかった。
（ⅱ）Ｇ1とＧ2が無限巡回群とする。（ⅰ）よりＧ1≃ℤ，Ｇ2≃ℤである。したがって、Ｇ1≃Ｇ2が得られる。

定理3.4^*の証明の一部
ａの位数をｎとする。このとき、＜ａ＞の部分集合Ｈ＝{ｅ＝ａ^0，ａ^1，ａ^2，…，ａ^(n-1)}を考えると、＜ａ＞とＨは一致している。
何故ならば、巡回群＜ａ＞の任意の元はある整数ｍによってａ^mと表される。ここで、除法の定理（第１章定理1.5）によってｍ＝ｎｑ＋ｒ（０≦ｒ＜ｎ）となる整数ｒ，ｑが存在する。これより、
ａ^m＝ａ^nq・ａ^r＝(ａ^n)^q・ａ^r＝ｅ^q・ａ^r＝ａ^r∈Ｈ
ゆえに、＜ａ＞⊂Ｈ　したがって、＜ａ＞＝Ｈ

定理3.2
群Ｇの単位元をｅとし、Ｇの元ａの位数をｎとする。このとき、非負整数ｋ，ｌについて次が成り立つ。
（１）ａ^k＝ｅ⇔ｋ≡０（modｎ）
（２）ａ^k＝ａ^l⇔ｋ≡ｌ（modｎ）

第１章定理2.8
ｎを１より大きい整数、ａ，ｂを任意の整数とするとき次が成り立つ。
ａ≡ｂ（modｎ）⇔Ｃa＝Ｃb

定義2.2
ａを任意の整数とするとき
Ｃa＝{ｘ∈ℤ｜ｘ≡ａ（modｎ）}
（引用終わり）

具体的には、

＞Ｇのある元ａによってＧ＝＜ａ＞と表される。このとき、ａ^n＝ｅであって
Ｇ＝＜ａ＞＝{ｅ，ａ，ａ^2，…，ａ^(n-1)}
と表される（定理3.4^*の証明）。

＞ここで、定理3.2と第１章定理2.8より、
ａ^i＝ａ^j⇔ｉ＝ｊ（modｎ）⇔|ｉ＝|ｊ
が成り立つことに注意しよう。

＞すなわち、ａ^n＝ｅ⇔ｎ＝０　このことより、ａ^i＝ａ^jならばｉ＝ｊである。

＞次に、ｆ(ａ^i)＝ｆ(ａ^j)と仮定すると、ｉ＝ｊである。ゆえに、ａ^i＝ａ^jである

この４ヶ所ぐらいですかね。

おまけ：
「15:13友のために自分の命を捨てること、これ以上に大きな愛はない。 15:14わたしの命じることを行うならば、あなたがたはわたしの友である。 15:15もはや、わたしはあなたがたを僕とは呼ばない。僕は主人が何をしているか知らないからである。わたしはあなたがたを友と呼ぶ。父から聞いたことをすべてあなたがたに知らせたからである。」
「ヨハネによる福音書」第１５章１３節～１５節（新共同訳）

問題作ってみました。

問題
直線ｙ＝２ｘ上に２点Ａ，Ｂがあり、また、点Ｃ（－１，１），Ｄ（０，２）とし、直線ＡＣと直線ＢＤの交点をＥとする。△ＥＡＢが正三角形になる時、△ＥＡＢの面積を求めて下さい。ただし、点ＥはＣＤに関して原点とは逆側にあるとする。

中学数学でも出来ますが、数Ⅰ用ですね。因みに、そんなに難しくはありません。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201809220001/

一応、別解を作ってみて下さい。因みに、ある定理を知っていれば瞬殺です。

おまけ：