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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/11 11:38 (No.569058)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808220002/
中１レベルというのはちょっと無理がありますね。普通は、高２レベルだと思います。ただし、中学受験（算数）では出そうな問題ですね。
念のため、普通の中１でも解く事は可能です。（テストには出ないと思いますが。）
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808220002/
中１レベルというのはちょっと無理がありますね。普通は、高２レベルだと思います。ただし、中学受験（算数）では出そうな問題ですね。
念のため、普通の中１でも解く事は可能です。（テストには出ないと思いますが。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/11 13:59削除解答
各段の一番右端の数は、そこまでのカードの枚数に対応している事は自明だろう。
つまり、７４に最も近くて１＋２＋３＋…＋ｘとなる数ｘを考えると、普通の中３生なら試行錯誤で、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＝６６
または、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＝７８と求めるだろう。（因みに、１～１０まで足すと５５と覚えている人なら、より簡単に求められるだろう。）
よって、１１段目の最後の数は６６である。
あとは、６７，６８，６９，７０，７１，７２，７３，７４と数えれば、１２段目の左から８番目と分かる。（計算の場合は、７４－６７＋１＝８番目）
因みに、受験算数では、１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２という公式を使っても良いようなので、ｎ×(ｎ＋１)÷２＝７４とすると、ｎ×(ｎ＋１)＝１４８で、１１×１２＝１３２（または１２×１３＝１５６）とすると、
１＋２＋３＋…＋１１＝１３２÷２＝６６と分かり、以後同じとなる。
念のため、１２段目の終わりが７８と分かったら、７４，７５，７６，７７，７８から、１２段目の右から５番目で左から８番目と分かる。
補足：ｎ×(ｎ＋１)÷２＝７４からｎ^2＋ｎ－１４８＝０として、解の公式で解を求め、電卓で近似値を求めても良い。（何でもあり。）
おまけ：
各段の一番右端の数は、そこまでのカードの枚数に対応している事は自明だろう。
つまり、７４に最も近くて１＋２＋３＋…＋ｘとなる数ｘを考えると、普通の中３生なら試行錯誤で、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＝６６
または、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＝７８と求めるだろう。（因みに、１～１０まで足すと５５と覚えている人なら、より簡単に求められるだろう。）
よって、１１段目の最後の数は６６である。
あとは、６７，６８，６９，７０，７１，７２，７３，７４と数えれば、１２段目の左から８番目と分かる。（計算の場合は、７４－６７＋１＝８番目）
因みに、受験算数では、１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２という公式を使っても良いようなので、ｎ×(ｎ＋１)÷２＝７４とすると、ｎ×(ｎ＋１)＝１４８で、１１×１２＝１３２（または１２×１３＝１５６）とすると、
１＋２＋３＋…＋１１＝１３２÷２＝６６と分かり、以後同じとなる。
念のため、１２段目の終わりが７８と分かったら、７４，７５，７６，７７，７８から、１２段目の右から５番目で左から８番目と分かる。
補足：ｎ×(ｎ＋１)÷２＝７４からｎ^2＋ｎ－１４８＝０として、解の公式で解を求め、電卓で近似値を求めても良い。（何でもあり。）
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/10 12:29 (No.568056)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808230001/
算数では割とすぐ出来たのですが、何でもありでは苦労しました。
おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2943458991900408464
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808230001/
算数では割とすぐ出来たのですが、何でもありでは苦労しました。
おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2943458991900408464
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/10 16:54削除算数の解法
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ上の点をＥ，７０ｍの線分の左端の点をＦ，ＥＦの延長とＣＤとの交点をＧとすると、ＡＢ＝ＤＧ，ＡＢ//ＤＧより、四角形ＡＢＧＤは平行四辺形。よって、△ＥＢＧを等積変形すると△ＡＢＧと等しく、平行四辺形ＡＢＧＤの半分の面積。
よって、△ＥＢＧ＝６０×１５０÷２＝４５００ｃｍ^2
また、△ＦＤＧ＝６０×７０÷２＝２１００ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積＝平行四辺形ＡＢＧＤ－△ＥＢＧ－△ＦＤＧ＝９０００－４５００－２１００＝４５００－２１００＝２４００ｃｍ^2
よって、答えは、２４００ｃｍ^2
暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。因みに、この問題は初めてやったと思います。
また、何でもありの解法のヒントは座標です。
おまけ：
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ上の点をＥ，７０ｍの線分の左端の点をＦ，ＥＦの延長とＣＤとの交点をＧとすると、ＡＢ＝ＤＧ，ＡＢ//ＤＧより、四角形ＡＢＧＤは平行四辺形。よって、△ＥＢＧを等積変形すると△ＡＢＧと等しく、平行四辺形ＡＢＧＤの半分の面積。
よって、△ＥＢＧ＝６０×１５０÷２＝４５００ｃｍ^2
また、△ＦＤＧ＝６０×７０÷２＝２１００ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積＝平行四辺形ＡＢＧＤ－△ＥＢＧ－△ＦＤＧ＝９０００－４５００－２１００＝４５００－２１００＝２４００ｃｍ^2
よって、答えは、２４００ｃｍ^2
暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。因みに、この問題は初めてやったと思います。
また、何でもありの解法のヒントは座標です。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/11 07:44削除何でもありの解法
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ上の点をＥ，７０ｍの線分の左端の点をＦ，ＥＦの延長とＣＤとの交点をＧとする。
ここで、点Ｂをｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取ると、Ａ（０，６０），Ｃ（１５０，０），Ｇ（１５０，ａ）と置くと、Ｄ（１５０，ａ＋６０）
直線ＡＤの方程式は、ｙ＝(ａ/１５０)ｘ＋６０―――①
また、直線ＥＧの方程式は、
ａ＝１５０ｍ＋ｎ
６０＝８０ｍ＋ｎ
これらを解くと、計算省略で、ｍ＝(ａ－６０)/７０，ｎ＝(－８ａ＋９００)/７
∴ｙ＝{(ａ－６０)/７０}ｘ＋(－８ａ＋９００)/７―――②
点Ｅのｘ座標は、①と②を連立させて、
(ａ/１５０)ｘ＋６０＝{(ａ－６０)/７０}ｘ＋(－８ａ＋９００)/７
これを解くと、計算省略で、ｘ＝３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)
よって、ＥＦ：ＦＧ＝８０－３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)：７０
これを整理すると、計算省略で、
ＥＦ：ＦＧ＝２ａ：－２ａ＋２２５
ところで、ＥからＤＧに垂線を下ろしその足をＨとすると、
ＥＨ＝１５０－３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)＝－１５７５０/(２ａ－２２５)（計算省略）
また、ＥＦ：ＥＧ＝２ａ：２２５より、
△ＤＥＦ＝６０×{－１５７５０/(２ａ－２２５)}×(１/２)×(２ａ/２２５)
また、△ＥＡＢ＝６０×{３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)}×(１/２)より、
色の付いた部分＝６０×{－１５７５０/(２ａ－２２５)}×(１/２)×(２ａ/２２５)＋６０×{３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)}×(１/２)
＝{９０００(ａ－６０)}/(２ａ－２２５)＋(－４２００ａ)/(２ａ－２２５)
＝(４８００ａ－５４００００)/(２ａ－２２５)
＝２４００(２ａ－２２５)/(２ａ－２２５)
＝２４００
（図より、ａ＜６０より、２ａ＜１２０ ∴２ａ－２２５＜２ａ－１２０＜０ ∴２ａ－２２５≠０）
よって、答えは、２４００ｃｍ^2
おまけ：
「110:1 主はわが主に言われる、「わたしがあなたのもろもろの敵をあなたの足台とするまで、わたしの右に座せよ」と。
110:2 主はあなたの力あるつえをシオンから出される。あなたはもろもろの敵のなかで治めよ。
110:3 あなたの民は、あなたがその軍勢を聖なる山々に導く日に心から喜んでおのれをささげるであろう。あなたの若者は朝の胎から出る露のようにあなたに来るであろう。」
「詩篇」第１１０篇１節～３節
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ上の点をＥ，７０ｍの線分の左端の点をＦ，ＥＦの延長とＣＤとの交点をＧとする。
ここで、点Ｂをｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取ると、Ａ（０，６０），Ｃ（１５０，０），Ｇ（１５０，ａ）と置くと、Ｄ（１５０，ａ＋６０）
直線ＡＤの方程式は、ｙ＝(ａ/１５０)ｘ＋６０―――①
また、直線ＥＧの方程式は、
ａ＝１５０ｍ＋ｎ
６０＝８０ｍ＋ｎ
これらを解くと、計算省略で、ｍ＝(ａ－６０)/７０，ｎ＝(－８ａ＋９００)/７
∴ｙ＝{(ａ－６０)/７０}ｘ＋(－８ａ＋９００)/７―――②
点Ｅのｘ座標は、①と②を連立させて、
(ａ/１５０)ｘ＋６０＝{(ａ－６０)/７０}ｘ＋(－８ａ＋９００)/７
これを解くと、計算省略で、ｘ＝３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)
よって、ＥＦ：ＦＧ＝８０－３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)：７０
これを整理すると、計算省略で、
ＥＦ：ＦＧ＝２ａ：－２ａ＋２２５
ところで、ＥからＤＧに垂線を下ろしその足をＨとすると、
ＥＨ＝１５０－３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)＝－１５７５０/(２ａ－２２５)（計算省略）
また、ＥＦ：ＥＧ＝２ａ：２２５より、
△ＤＥＦ＝６０×{－１５７５０/(２ａ－２２５)}×(１/２)×(２ａ/２２５)
また、△ＥＡＢ＝６０×{３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)}×(１/２)より、
色の付いた部分＝６０×{－１５７５０/(２ａ－２２５)}×(１/２)×(２ａ/２２５)＋６０×{３００(ａ－６０)/(２ａ－２２５)}×(１/２)
＝{９０００(ａ－６０)}/(２ａ－２２５)＋(－４２００ａ)/(２ａ－２２５)
＝(４８００ａ－５４００００)/(２ａ－２２５)
＝２４００(２ａ－２２５)/(２ａ－２２５)
＝２４００
（図より、ａ＜６０より、２ａ＜１２０ ∴２ａ－２２５＜２ａ－１２０＜０ ∴２ａ－２２５≠０）
よって、答えは、２４００ｃｍ^2
おまけ：
「110:1 主はわが主に言われる、「わたしがあなたのもろもろの敵をあなたの足台とするまで、わたしの右に座せよ」と。
110:2 主はあなたの力あるつえをシオンから出される。あなたはもろもろの敵のなかで治めよ。
110:3 あなたの民は、あなたがその軍勢を聖なる山々に導く日に心から喜んでおのれをささげるであろう。あなたの若者は朝の胎から出る露のようにあなたに来るであろう。」
「詩篇」第１１０篇１節～３節
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/9 22:15 (No.567552)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808240001/
結構、苦労しましたが、解けないレベルではありません。ただし、以前にもやったような気がしますが。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808240001/
結構、苦労しましたが、解けないレベルではありません。ただし、以前にもやったような気がしますが。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/10 07:46削除解答
∠ＡＤＥ＝１８０°－５３°－１０６°＝２１°また、∠ＥＤＣ＝４２°でこの２倍なので、必然的に点ＥのＡＤに関する対称点を取り点Ｆとすると、∠ＦＤＥ＝２１°×２＝４２°また、ＡＦ＝ＡＥ＝ＡＢ，ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣ ところで、条件からＡＢとＤＥは平行なので錯角により、∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＤ＝１０６°
また、∠ＦＡＥ＝５３°×２＝１０６°より、∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ
また、ＡＢ＝ＡＥ＝ＡＦより、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥと△ＡＥＦは合同。よって、ＢＥ＝ＦＥ―――①
また、∠ＦＤＥ＝∠ＥＤＣ，ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣより、二辺挟角が等しいので、△ＤＦＥと△ＤＥＣも合同。よって、ＦＥ＝ＥＣ―――②
①，②より、ＢＥ＝ＥＣ よって、△ＥＢＣは二等辺三角形。
また、∠ＡＥＢ＝(１８０°－１０６°)÷２＝７４°÷２＝３７°，∠ＤＥＣ＝(１８０°－４２°)÷２＝１３８°÷２＝６９°
よって、∠ＢＥＣ＝３６０°－３７°－１０６°－６９°＝１４８°
よって、∠ＥＢＣ＝(１８０°－１４８°)÷２＝３２°÷２＝１６°
よって、答えは、１６°
裏は取っていませんが、大丈夫でしょう。今回の問題は、理詰めで解ける問題ですので、基本的な技さえマスターしていれば（高校数学以上が得意な人でも）解けるチャンスがありましたね。
おまけ：https://www.instagram.com/p/ByIiXFvHywD/
https://twitter.com/nodame__bot/status/1360136433646727168
∠ＡＤＥ＝１８０°－５３°－１０６°＝２１°また、∠ＥＤＣ＝４２°でこの２倍なので、必然的に点ＥのＡＤに関する対称点を取り点Ｆとすると、∠ＦＤＥ＝２１°×２＝４２°また、ＡＦ＝ＡＥ＝ＡＢ，ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣ ところで、条件からＡＢとＤＥは平行なので錯角により、∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＤ＝１０６°
また、∠ＦＡＥ＝５３°×２＝１０６°より、∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＥ
また、ＡＢ＝ＡＥ＝ＡＦより、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥと△ＡＥＦは合同。よって、ＢＥ＝ＦＥ―――①
また、∠ＦＤＥ＝∠ＥＤＣ，ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣより、二辺挟角が等しいので、△ＤＦＥと△ＤＥＣも合同。よって、ＦＥ＝ＥＣ―――②
①，②より、ＢＥ＝ＥＣ よって、△ＥＢＣは二等辺三角形。
また、∠ＡＥＢ＝(１８０°－１０６°)÷２＝７４°÷２＝３７°，∠ＤＥＣ＝(１８０°－４２°)÷２＝１３８°÷２＝６９°
よって、∠ＢＥＣ＝３６０°－３７°－１０６°－６９°＝１４８°
よって、∠ＥＢＣ＝(１８０°－１４８°)÷２＝３２°÷２＝１６°
よって、答えは、１６°
裏は取っていませんが、大丈夫でしょう。今回の問題は、理詰めで解ける問題ですので、基本的な技さえマスターしていれば（高校数学以上が得意な人でも）解けるチャンスがありましたね。
おまけ：https://www.instagram.com/p/ByIiXFvHywD/
https://twitter.com/nodame__bot/status/1360136433646727168
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/9 14:06 (No.567109)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/9 19:53削除解法１
赤色部分＝青色部分
この両辺に中央の変態仮面のマスクhttps://kai-you.net/article/28393みたいな部分を加えると、
左辺は１つの円になり、右辺は長方形から円２つ分を取り除いた面積になる。
さらに、その両辺に円２つを加えると、
円３つ＝長方形となる。
よって、長方形の面積＝１０×１０×３．１４×３＝３１４×３＝９４２ｃｍ^2
よって、長方形の横の長さは、９４２÷２０＝４７．１ｃｍ
よって、答えは、４７．１ｃｍ
アイデア引用元：https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2017-nyushimondai/8112/
算数の別解は次回。
おまけ：
赤色部分＝青色部分
この両辺に中央の変態仮面のマスクhttps://kai-you.net/article/28393みたいな部分を加えると、
左辺は１つの円になり、右辺は長方形から円２つ分を取り除いた面積になる。
さらに、その両辺に円２つを加えると、
円３つ＝長方形となる。
よって、長方形の面積＝１０×１０×３．１４×３＝３１４×３＝９４２ｃｍ^2
よって、長方形の横の長さは、９４２÷２０＝４７．１ｃｍ
よって、答えは、４７．１ｃｍ
アイデア引用元：https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2017-nyushimondai/8112/
算数の別解は次回。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/9 21:03削除解法２
図より、長方形＝円＋円＋円－赤色部分＋青色部分
また、条件より、青色部分＝赤色部分
よって、長方形＝円３つ分である。
よって、長方形の面積＝１０×１０×３．１４×３＝３１４×３＝９４２ｃｍ^2
よって、長方形の横の長さは、９４２÷２０＝４７．１ｃｍ
よって、答えは、４７．１ｃｍ
念のため、最初に思い付いたオリジナルです。
おまけ：
図より、長方形＝円＋円＋円－赤色部分＋青色部分
また、条件より、青色部分＝赤色部分
よって、長方形＝円３つ分である。
よって、長方形の面積＝１０×１０×３．１４×３＝３１４×３＝９４２ｃｍ^2
よって、長方形の横の長さは、９４２÷２０＝４７．１ｃｍ
よって、答えは、４７．１ｃｍ
念のため、最初に思い付いたオリジナルです。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/8 19:10 (No.566098)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/9 07:39削除解法１
大外のＬ字を切り取り、迷路の入り口みたいな所をふさいで出来る横１７ｃｍ，縦１８ｃｍの長方形を考えると、緑のうずまきと白のうずまきが対称的に合同である。
よって、その緑の部分の面積は、１７×１８÷２＝１７×９＝１５３ｃｍ^2
また、初めに切り取ったＬ字の面積は、１×１８×２＝３６ｃｍ^2
よって、求める面積は、１５３＋３６
＝１８９ｃｍ^2
解法２
緑のうずまきの中心部から１×１の正方形，１×２の長方形，１×３の長方形,・・・・と切って考えていくと、求める面積は、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１８である。（コツは曲がり角の手前で切る。）
よって、受験算数で使っても良い公式、
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２を利用すると、
答えは、１８×１９÷２＋１８＝１９×９＋１８＝１７１＋１８＝１８９ｃｍ^2
または、１９×２０÷２－１＝１８９ｃｍ^2
おまけ：
大外のＬ字を切り取り、迷路の入り口みたいな所をふさいで出来る横１７ｃｍ，縦１８ｃｍの長方形を考えると、緑のうずまきと白のうずまきが対称的に合同である。
よって、その緑の部分の面積は、１７×１８÷２＝１７×９＝１５３ｃｍ^2
また、初めに切り取ったＬ字の面積は、１×１８×２＝３６ｃｍ^2
よって、求める面積は、１５３＋３６
＝１８９ｃｍ^2
解法２
緑のうずまきの中心部から１×１の正方形，１×２の長方形，１×３の長方形,・・・・と切って考えていくと、求める面積は、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１８である。（コツは曲がり角の手前で切る。）
よって、受験算数で使っても良い公式、
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２を利用すると、
答えは、１８×１９÷２＋１８＝１９×９＋１８＝１７１＋１８＝１８９ｃｍ^2
または、１９×２０÷２－１＝１８９ｃｍ^2
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/7 22:07 (No.565047)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/8 18:56削除解法１ 多分、こっちが模範解答
与式＝２^2－１^2＋３^2－２^2＋４^2－３^2＋・・・＋１００^2－９９^2
＝－１^2＋１００^2＝１００００－１
＝９９９９
よって、答えは、９９９９
解法２は算数で解いて下さい。
おまけ：
与式＝２^2－１^2＋３^2－２^2＋４^2－３^2＋・・・＋１００^2－９９^2
＝－１^2＋１００^2＝１００００－１
＝９９９９
よって、答えは、９９９９
解法２は算数で解いて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/8 20:41削除解法２ 算数の解法
与式＝３＋５＋７＋・・・＋１９９
＝１＋３＋５＋７＋・・・＋１９９－１
ここで、
１＋３＝４＝２×２
１＋３＋５＝９＝３×３
１＋３＋５＋７＝１６＝４×４
となっている事に気付き、１９９が何番目の数か考えると、２×□－１＝１９９として□に当てはまる数は１００である。
よって、
１＋３＋５＋・・・＋１９９＝１００×１００
よって、与式＝１００×１００－１＝１００００－１＝９９９９
よって、答えは、９９９９
因みに、１＋３＋５＋・・・＋(２×□－１)＝□×□の算数的理解は、
〇 ● 〇 ● 〇
● ● 〇 ● 〇
〇 〇 〇 ● 〇
● ● ● ● 〇
〇 〇 〇 〇 〇
左上の〇が１個，次の●が３個，次の〇が５個，次の●が７個で、１＋３が縦２個横２個の正方形になっているので、１＋３＝２×２
次まで考えると、１＋３＋５が３×３の正方形になっているので、１＋３＋５＝３×３
次は、１＋３＋５＋７＝４×４，・・・・で理解出来るだろう。
因みに、算数の別解は、
与式＝３＋５＋７＋・・・＋１９９から、
３＋５＋７＋・・・＋１９９＝□と置いて、逆から、
１９９＋１９７＋１９５＋・・・＋３＝□として、２式を足すと、
２０２＋２０２＋２０２＋・・・＋２０２＝□＋□
ところで、この２０２の個数は、３＝２×２－１，５＝２×３－２，７＝２×４－１，・・・，１９９＝２×１００－１より、２～１００までの９９個。
よって、２０２×９９＝□＋□＝２×□
よって、□＝１０１×９９＝９９９９
よって、与式＝９９９９
よって、答えは、９９９９
おまけ：
与式＝３＋５＋７＋・・・＋１９９
＝１＋３＋５＋７＋・・・＋１９９－１
ここで、
１＋３＝４＝２×２
１＋３＋５＝９＝３×３
１＋３＋５＋７＝１６＝４×４
となっている事に気付き、１９９が何番目の数か考えると、２×□－１＝１９９として□に当てはまる数は１００である。
よって、
１＋３＋５＋・・・＋１９９＝１００×１００
よって、与式＝１００×１００－１＝１００００－１＝９９９９
よって、答えは、９９９９
因みに、１＋３＋５＋・・・＋(２×□－１)＝□×□の算数的理解は、
〇 ● 〇 ● 〇
● ● 〇 ● 〇
〇 〇 〇 ● 〇
● ● ● ● 〇
〇 〇 〇 〇 〇
左上の〇が１個，次の●が３個，次の〇が５個，次の●が７個で、１＋３が縦２個横２個の正方形になっているので、１＋３＝２×２
次まで考えると、１＋３＋５が３×３の正方形になっているので、１＋３＋５＝３×３
次は、１＋３＋５＋７＝４×４，・・・・で理解出来るだろう。
因みに、算数の別解は、
与式＝３＋５＋７＋・・・＋１９９から、
３＋５＋７＋・・・＋１９９＝□と置いて、逆から、
１９９＋１９７＋１９５＋・・・＋３＝□として、２式を足すと、
２０２＋２０２＋２０２＋・・・＋２０２＝□＋□
ところで、この２０２の個数は、３＝２×２－１，５＝２×３－２，７＝２×４－１，・・・，１９９＝２×１００－１より、２～１００までの９９個。
よって、２０２×９９＝□＋□＝２×□
よって、□＝１０１×９９＝９９９９
よって、与式＝９９９９
よって、答えは、９９９９
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/6 20:27 (No.563597)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/8 07:47削除解法１
正方形２つのうち、辺ＡＢ，ＡＣとニ辺を共有している方を正方形ＡＤＥＦ（Ａから反時計回り）とし、もう一方を左上の頂点から反時計回りに正方形ＧＨＩＪとする。
また、ＤＥとＧＨの交点をＫ，ＥＦとＪＩの交点をＬとする。
ところで、△ＡＢＣは直角二等辺三角形で四角形ＡＤＥＦは正方形より対称性で点ＥはＢＣの真ん中の点である。
また、ＧＪとＢＣは平行より△ＡＧＪと△ＡＢＣは相似で△ＡＧＪも直角二等辺三角形である。
また、∠ＧＨＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝４５°より△ＧＢＨも直角二等辺三角形で、対称性から△ＪＣＩも合同な直角二等辺三角形である。
よって、ＢＨ＝ＨＧ＝ＧＪ（＝ＨＩ）＝ＩＣ また、ＢＨ＋ＨＩ＋ＩＣ＝１８ｃｍより、
ＢＨ＝ＨＩ＝ＩＣ＝１８÷３＝６ｃｍ
また、対称性より点ＥはＨＩの真ん中の点でもあるので、ＨＥ＝ＥＩ＝６÷２＝３ｃｍ
よって、色の付いた部分の面積＝正方形ＧＨＩＪ－△ＨＫＥ－△ＩＬＥ＝６×６－３×３÷２×２＝３６－９＝２７ｃｍ^2
よって、答えは、２７ｃｍ^2
解法２
「点ＥはＢＣの真ん中の点である」までは解法１と同じ。
△ＡＢＣは直角二等辺三角形よりＡＥを結ぶと、△ＡＢＥと△ＡＣＥも合同な直角二等辺三角形になり、ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥである。また、ＢＣ＝１８ｃｍより、ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥ＝９ｃｍである。
また、正方形の２本の対角線の長さは等しいので、ＤＦ＝ＡＥ＝９ｃｍ
また、解法１と同様に求めると、ＧＪ＝ＨＩ＝６ｃｍ
ところで、△ＧＤＫと△ＪＦＬは合同な直角二等辺三角形（理由は簡単で省略）で二つをＧＫとＪＬでぴったりくっつけると１つの正方形になり、対角線の長さはＤＦ－ＧＪ＝９－６＝３ｃｍ
よって、△ＧＤＫ＋△ＪＦＬ＝対角線の長さが３ｃｍの正方形＝３×３÷２＝４．５ｃｍ^2
また、△ＡＧＪも直角二等辺三角形でＧＪ＝６ｃｍより、△ＡＧＪ＝６×３÷２＝９ｃｍ^2（一度正方形にして６×６÷２÷２＝９ｃｍ^2と求めても良い。）
また、正方形ＡＤＥＦ＝９×９÷２＝４０．５ｃｍ^2
よって、色の付いた部分の面積＝４０．５－４．５－９＝２７ｃｍ^2
よって、答えは、２７ｃｍ^2
因みに、色の付いた部分の面積と五角形ＡＧＫＬＪは合同なので、△ＡＧＪ＋長方形ＧＫＬＪで求めると、先の正方形の対角線が３ｃｍよりＧＫ＝ＪＬ＝３ｃｍより、
△ＡＧＪ＋長方形ＧＫＬＪ＝９ｃｍ^2＋３×６＝９＋１８＝２７ｃｍ^2と求められる。
おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AD%94%E5%A2%83
正方形２つのうち、辺ＡＢ，ＡＣとニ辺を共有している方を正方形ＡＤＥＦ（Ａから反時計回り）とし、もう一方を左上の頂点から反時計回りに正方形ＧＨＩＪとする。
また、ＤＥとＧＨの交点をＫ，ＥＦとＪＩの交点をＬとする。
ところで、△ＡＢＣは直角二等辺三角形で四角形ＡＤＥＦは正方形より対称性で点ＥはＢＣの真ん中の点である。
また、ＧＪとＢＣは平行より△ＡＧＪと△ＡＢＣは相似で△ＡＧＪも直角二等辺三角形である。
また、∠ＧＨＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝４５°より△ＧＢＨも直角二等辺三角形で、対称性から△ＪＣＩも合同な直角二等辺三角形である。
よって、ＢＨ＝ＨＧ＝ＧＪ（＝ＨＩ）＝ＩＣ また、ＢＨ＋ＨＩ＋ＩＣ＝１８ｃｍより、
ＢＨ＝ＨＩ＝ＩＣ＝１８÷３＝６ｃｍ
また、対称性より点ＥはＨＩの真ん中の点でもあるので、ＨＥ＝ＥＩ＝６÷２＝３ｃｍ
よって、色の付いた部分の面積＝正方形ＧＨＩＪ－△ＨＫＥ－△ＩＬＥ＝６×６－３×３÷２×２＝３６－９＝２７ｃｍ^2
よって、答えは、２７ｃｍ^2
解法２
「点ＥはＢＣの真ん中の点である」までは解法１と同じ。
△ＡＢＣは直角二等辺三角形よりＡＥを結ぶと、△ＡＢＥと△ＡＣＥも合同な直角二等辺三角形になり、ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥである。また、ＢＣ＝１８ｃｍより、ＡＥ＝ＢＥ＝ＣＥ＝９ｃｍである。
また、正方形の２本の対角線の長さは等しいので、ＤＦ＝ＡＥ＝９ｃｍ
また、解法１と同様に求めると、ＧＪ＝ＨＩ＝６ｃｍ
ところで、△ＧＤＫと△ＪＦＬは合同な直角二等辺三角形（理由は簡単で省略）で二つをＧＫとＪＬでぴったりくっつけると１つの正方形になり、対角線の長さはＤＦ－ＧＪ＝９－６＝３ｃｍ
よって、△ＧＤＫ＋△ＪＦＬ＝対角線の長さが３ｃｍの正方形＝３×３÷２＝４．５ｃｍ^2
また、△ＡＧＪも直角二等辺三角形でＧＪ＝６ｃｍより、△ＡＧＪ＝６×３÷２＝９ｃｍ^2（一度正方形にして６×６÷２÷２＝９ｃｍ^2と求めても良い。）
また、正方形ＡＤＥＦ＝９×９÷２＝４０．５ｃｍ^2
よって、色の付いた部分の面積＝４０．５－４．５－９＝２７ｃｍ^2
よって、答えは、２７ｃｍ^2
因みに、色の付いた部分の面積と五角形ＡＧＫＬＪは合同なので、△ＡＧＪ＋長方形ＧＫＬＪで求めると、先の正方形の対角線が３ｃｍよりＧＫ＝ＪＬ＝３ｃｍより、
△ＡＧＪ＋長方形ＧＫＬＪ＝９ｃｍ^2＋３×６＝９＋１８＝２７ｃｍ^2と求められる。
おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AD%94%E5%A2%83
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/7 11:38 (No.564372)削除間違い探し
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの空でない部分集合とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
（１）ＫＨ＝Ｈ（２）Ｋ⊂Ｈ（３）ＨＫ＝Ｈ
ただし、ＨＫ＝{ｈｋ｜ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ}
解答
（１）⇔（２）を示せば、（２）⇔（３）も同様に示される。
ＫＨ＝Ｈ⇒Ｋ⊂Ｈ： ｋ∈Ｋとする。ＨはＧの部分群であるから、ｅ∈Ｈ ゆえに、ｋ＝ｋ・ｅ∈ＫＨ＝Ｈ
したがって、ｋ∈Ｈであるから、Ｋ⊂Ｈが示された。
Ｋ⊂Ｈ⇒ＫＨ＝Ｈ：
（ⅰ）ＫＨ⊂Ｈであることを示す。ｘ∈ＫＨとすると、ｘ＝ｋｈ（ｋ∈Ｋ，ｈ∈Ｈ）と表される。ここで、仮定よりｋ∈Ｋ⊂Ｈであり、Ｈは部分群であるから、
ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｈ⇒ｘ＝ｋ・ｈ∈Ｈ
よって、ＫＨ⊂Ｈが示された。
（ⅱ）Ｈ⊂ＫＨであることを示す。ｈ∈Ｈとする。Ｋは部分群であるから、単位元ｅを含んでいる。ゆえに、ｈ＝ｅ・ｈ∈ＫＨ したがって、Ｈ⊂ＫＨが示された。
（ⅰ），（ⅱ）よりＨ＝ＫＨが得られる。
（引用終わり）
間違いを指摘し、代用の証明を作って下さい。
おまけ：
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの空でない部分集合とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
（１）ＫＨ＝Ｈ（２）Ｋ⊂Ｈ（３）ＨＫ＝Ｈ
ただし、ＨＫ＝{ｈｋ｜ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ}
解答
（１）⇔（２）を示せば、（２）⇔（３）も同様に示される。
ＫＨ＝Ｈ⇒Ｋ⊂Ｈ： ｋ∈Ｋとする。ＨはＧの部分群であるから、ｅ∈Ｈ ゆえに、ｋ＝ｋ・ｅ∈ＫＨ＝Ｈ
したがって、ｋ∈Ｈであるから、Ｋ⊂Ｈが示された。
Ｋ⊂Ｈ⇒ＫＨ＝Ｈ：
（ⅰ）ＫＨ⊂Ｈであることを示す。ｘ∈ＫＨとすると、ｘ＝ｋｈ（ｋ∈Ｋ，ｈ∈Ｈ）と表される。ここで、仮定よりｋ∈Ｋ⊂Ｈであり、Ｈは部分群であるから、
ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｈ⇒ｘ＝ｋ・ｈ∈Ｈ
よって、ＫＨ⊂Ｈが示された。
（ⅱ）Ｈ⊂ＫＨであることを示す。ｈ∈Ｈとする。Ｋは部分群であるから、単位元ｅを含んでいる。ゆえに、ｈ＝ｅ・ｈ∈ＫＨ したがって、Ｈ⊂ＫＨが示された。
（ⅰ），（ⅱ）よりＨ＝ＫＨが得られる。
（引用終わり）
間違いを指摘し、代用の証明を作って下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/7 13:38削除間違い探しの解答
＞（ⅱ）Ｈ⊂ＫＨであることを示す。ｈ∈Ｈとする。Ｋは部分群であるから、単位元ｅを含んでいる。
Ｋはただの部分集合なので、単位元ｅを含んでいるとは限りませんね。そこで、別証。
∀ｋ∈Ｋに対して、条件よりＫ⊂Ｈなので、ｋ∈Ｈ ところで、Ｈは群より演算について閉じているので、ｋＨ＝Ｈ
∴Ｈ＝ｋＨ⊂ＫＨ ∴Ｈ⊂ＫＨ
ｋ∈Ｈ⇒ｋＨ＝Ｈの所の補足：
問2.2 Ｈを群Ｇの部分群とし、ｘをＧの任意の元としてｘＨ＝{ｘｈ｜ｈ∈Ｈ}，Ｈｘ＝{ｈｘ｜ｈ∈Ｈ}とおく。このとき次が成り立つことを示せ。
ｘ∈Ｈ⇔ｘＨ＝Ｈ⇔Ｈｘ＝Ｈ
因みに、著者の名誉のために一言付け加えておくと、「群・環・体 入門」では、
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの空でない部分集合とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
となっているが、「演習 群・環・体 入門」では、
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの部分群とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
となっているので、解答としては間違いではない。多分、問題の移し間違いでそのまま解いてしまったのだろう。と思ったが、今調べたら、「群・環・体 入門」の方の略解も間違っていた（同じ解法）。そんな事より、（ⅰ）が別解だったので、そちらも挙げておこう。
（ⅰ）ＫＨ⊂ＨＨ⊂Ｈ
解説
条件より、Ｋ⊂Ｈ この両辺に右からＨを掛けると、ＫＨ⊂ＨＨ＝Ｈ ∴ＫＨ⊂Ｈ
因みに、ＨＨ⊂Ｈは間違いではないと思うが、どうなんでしょう。
おまけ：
＞（ⅱ）Ｈ⊂ＫＨであることを示す。ｈ∈Ｈとする。Ｋは部分群であるから、単位元ｅを含んでいる。
Ｋはただの部分集合なので、単位元ｅを含んでいるとは限りませんね。そこで、別証。
∀ｋ∈Ｋに対して、条件よりＫ⊂Ｈなので、ｋ∈Ｈ ところで、Ｈは群より演算について閉じているので、ｋＨ＝Ｈ
∴Ｈ＝ｋＨ⊂ＫＨ ∴Ｈ⊂ＫＨ
ｋ∈Ｈ⇒ｋＨ＝Ｈの所の補足：
問2.2 Ｈを群Ｇの部分群とし、ｘをＧの任意の元としてｘＨ＝{ｘｈ｜ｈ∈Ｈ}，Ｈｘ＝{ｈｘ｜ｈ∈Ｈ}とおく。このとき次が成り立つことを示せ。
ｘ∈Ｈ⇔ｘＨ＝Ｈ⇔Ｈｘ＝Ｈ
因みに、著者の名誉のために一言付け加えておくと、「群・環・体 入門」では、
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの空でない部分集合とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
となっているが、「演習 群・環・体 入門」では、
問題
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの部分群とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
となっているので、解答としては間違いではない。多分、問題の移し間違いでそのまま解いてしまったのだろう。と思ったが、今調べたら、「群・環・体 入門」の方の略解も間違っていた（同じ解法）。そんな事より、（ⅰ）が別解だったので、そちらも挙げておこう。
（ⅰ）ＫＨ⊂ＨＨ⊂Ｈ
解説
条件より、Ｋ⊂Ｈ この両辺に右からＨを掛けると、ＫＨ⊂ＨＨ＝Ｈ ∴ＫＨ⊂Ｈ
因みに、ＨＨ⊂Ｈは間違いではないと思うが、どうなんでしょう。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/5 20:19 (No.562432)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/6 07:52削除解法１
△ＥＤＣを点Ｄを中心にＤＥがＤＦにくっつくまで９０°回転させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、∠ＣＤＣ'＝９０°（回転より）より、３点Ａ，Ｄ，Ｃ'は一直線上にある。
つまり、色の付いた部分は１つの三角形になり、ＤＣ'＝ＤＣ＝２ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍより、ＡＣ'＝２＋２＝４ｃｍ
よって、△ＦＡＣ'＝４×１÷２＝２ｃｍ^2 よって、答えは、２ｃｍ^2
解法２
△ＦＡＤの面積は２×１÷２＝１ｃｍ^2とすぐ分かる。そこで、△ＥＤＣの面積だが、
ＣＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＨＤＦ＋∠ＦＤＡ＝９０°
また、∠ＨＤＦ＋∠ＥＤＨ＝９０°より、
∠ＦＤＡ＝∠ＥＤＨである。
また、ＤＦ＝ＤＥより、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＦＤＡと△ＥＤＨは合同である。よって、ＥＨ＝ＦＡ＝１ｃｍ よって、△ＥＤＣ＝ＣＤ×ＥＨ÷２＝２×１÷２＝１ｃｍ^2
よって、答えは、１＋１＝２ｃｍ^2
解法３
∠ＦＤＡ＋∠ＥＤＣ＝３６０°－９０°－９０°＝１８０°より、∠ＦＤＡと∠ＥＤＣは補角をなしている。よって、１つの角が補角をなしている三角形の面積比の公式より、
△ＤＦＡ：△ＤＥＣ＝ＤＦ×ＤＡ：ＤＥ×ＤＣで、ＤＦ＝ＤＥ，ＤＡ＝ＤＣより、
△ＤＦＡ＝△ＤＥＣである。
また、△ＤＦＡ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2より、答えは、１×２＝２ｃｍ^2
解法４～６は次回。ただし、平行四辺形の性質などは小学生の範囲かどうかは知りません。因みに、チェバの定理や等差数列の和の公式などは使っても良いようです。
おまけ：
△ＥＤＣを点Ｄを中心にＤＥがＤＦにくっつくまで９０°回転させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、∠ＣＤＣ'＝９０°（回転より）より、３点Ａ，Ｄ，Ｃ'は一直線上にある。
つまり、色の付いた部分は１つの三角形になり、ＤＣ'＝ＤＣ＝２ｃｍ，ＡＤ＝２ｃｍより、ＡＣ'＝２＋２＝４ｃｍ
よって、△ＦＡＣ'＝４×１÷２＝２ｃｍ^2 よって、答えは、２ｃｍ^2
解法２
△ＦＡＤの面積は２×１÷２＝１ｃｍ^2とすぐ分かる。そこで、△ＥＤＣの面積だが、
ＣＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＨＤＦ＋∠ＦＤＡ＝９０°
また、∠ＨＤＦ＋∠ＥＤＨ＝９０°より、
∠ＦＤＡ＝∠ＥＤＨである。
また、ＤＦ＝ＤＥより、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＦＤＡと△ＥＤＨは合同である。よって、ＥＨ＝ＦＡ＝１ｃｍ よって、△ＥＤＣ＝ＣＤ×ＥＨ÷２＝２×１÷２＝１ｃｍ^2
よって、答えは、１＋１＝２ｃｍ^2
解法３
∠ＦＤＡ＋∠ＥＤＣ＝３６０°－９０°－９０°＝１８０°より、∠ＦＤＡと∠ＥＤＣは補角をなしている。よって、１つの角が補角をなしている三角形の面積比の公式より、
△ＤＦＡ：△ＤＥＣ＝ＤＦ×ＤＡ：ＤＥ×ＤＣで、ＤＦ＝ＤＥ，ＤＡ＝ＤＣより、
△ＤＦＡ＝△ＤＥＣである。
また、△ＤＦＡ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2より、答えは、１×２＝２ｃｍ^2
解法４～６は次回。ただし、平行四辺形の性質などは小学生の範囲かどうかは知りません。因みに、チェバの定理や等差数列の和の公式などは使っても良いようです。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/6 10:26削除解法４
△ＤＦＡを点Ｄを中心にＤＡがＤＣにくっつくまで９０°回転させ、点Ｆの行き先をＦ'とすると、回転から∠ＦＤＦ'＝９０°（ＤＦはＤＦ'に移るから。）
よって、３点Ｅ，Ｄ，Ｆ'は一直線上にある。また、点Ｆ'はＢＣ上にあり、
ＣＦ'＝ＡＦ＝１ｃｍ
また、ＤＦ'＝ＤＦ＝ＤＥより、
点ＤはＥＦ'の真ん中の点。ここで、ＥからＢＣの延長上に垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＤＦ'Ｃと△ＥＦ'Ｈは相似で相似比は１：２である。よって、ＥＨ＝ＣＤ×２＝２×２＝４ｃｍ
よって、△ＥＦ'Ｃ＝Ｆ'Ｃ×ＥＨ÷２＝１×４÷２＝２ｃｍ^2
よって、色部分全体の面積は２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
解法５
ＡＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、定石の形より△ＦＤＡと△ＤＥＨは合同になる。（算数で証明も出来るが、こういう図https://juken-mikata.net/yhow-to/mathematics/pythagorean-theorem-proof.htmlを見て欲しい。）
よって、ＤＣ＝ＤＡ＝ＥＨ また、ＤＣとＥＨは平行より、△ＥＤＣと△ＤＥＨは底辺と高さが等しい。よって、面積も等しいので、△ＥＤＣ＝△ＤＥＨ＝△ＦＤＡ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2
よって、色部分の面積は、１＋１＝２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
個人的には、解法６は非常に難問だと思っています。算数・数学に自信がある人は是非挑戦してみて下さい。ただし、もっと簡単な別の解法があるかもしれませんが。念のため、完全に算数の解法です。
おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1577561108411428865
△ＤＦＡを点Ｄを中心にＤＡがＤＣにくっつくまで９０°回転させ、点Ｆの行き先をＦ'とすると、回転から∠ＦＤＦ'＝９０°（ＤＦはＤＦ'に移るから。）
よって、３点Ｅ，Ｄ，Ｆ'は一直線上にある。また、点Ｆ'はＢＣ上にあり、
ＣＦ'＝ＡＦ＝１ｃｍ
また、ＤＦ'＝ＤＦ＝ＤＥより、
点ＤはＥＦ'の真ん中の点。ここで、ＥからＢＣの延長上に垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＤＦ'Ｃと△ＥＦ'Ｈは相似で相似比は１：２である。よって、ＥＨ＝ＣＤ×２＝２×２＝４ｃｍ
よって、△ＥＦ'Ｃ＝Ｆ'Ｃ×ＥＨ÷２＝１×４÷２＝２ｃｍ^2
よって、色部分全体の面積は２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
解法５
ＡＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、定石の形より△ＦＤＡと△ＤＥＨは合同になる。（算数で証明も出来るが、こういう図https://juken-mikata.net/yhow-to/mathematics/pythagorean-theorem-proof.htmlを見て欲しい。）
よって、ＤＣ＝ＤＡ＝ＥＨ また、ＤＣとＥＨは平行より、△ＥＤＣと△ＤＥＨは底辺と高さが等しい。よって、面積も等しいので、△ＥＤＣ＝△ＤＥＨ＝△ＦＤＡ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2
よって、色部分の面積は、１＋１＝２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
個人的には、解法６は非常に難問だと思っています。算数・数学に自信がある人は是非挑戦してみて下さい。ただし、もっと簡単な別の解法があるかもしれませんが。念のため、完全に算数の解法です。
おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1577561108411428865
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/6 13:06削除解法６ これではありません。
ＡＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、定石の形より△ＦＤＡと△ＤＥＨは合同になる。（算数で証明も出来るが、こういう図https://juken-mikata.net/yhow-to/mathematics/pythagorean-theorem-proof.htmlを見て欲しい。）
よって、ＤＣ＝ＤＡ＝ＥＨ また、ＤＣとＥＨは平行より、ＤＣ＝ＥＨかつＤＣ//ＥＨ
よって、四角形ＥＤＣＨは平行四辺形。よって、対角線の交点をＯとすると、△ＯＥＨと△ＯＣＤは合同。
よって、△ＯＣＤを△ＯＥＨの所に移動させると、色部分全体の面積は、△ＦＤＡ２個分になる。よって、答えは、２×１＝２ｃｍ^2
因みに、解法７はもっとエレガントです。
おまけ：
ＡＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、定石の形より△ＦＤＡと△ＤＥＨは合同になる。（算数で証明も出来るが、こういう図https://juken-mikata.net/yhow-to/mathematics/pythagorean-theorem-proof.htmlを見て欲しい。）
よって、ＤＣ＝ＤＡ＝ＥＨ また、ＤＣとＥＨは平行より、ＤＣ＝ＥＨかつＤＣ//ＥＨ
よって、四角形ＥＤＣＨは平行四辺形。よって、対角線の交点をＯとすると、△ＯＥＨと△ＯＣＤは合同。
よって、△ＯＣＤを△ＯＥＨの所に移動させると、色部分全体の面積は、△ＦＤＡ２個分になる。よって、答えは、２×１＝２ｃｍ^2
因みに、解法７はもっとエレガントです。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/7 07:44削除解法７
ＡＦの真ん中の点をＭとし、点Ｍを中心に△ＤＭＡをＭＡがＭＦにくっつくまで回転させ、点Ｄの行き先をＤ'とすると、∠ＤＭＦ＋∠ＤＭＡ＝１８０°と対頂角を考えると、３点Ｄ，Ｍ，Ｄ'は一直線上にある。つまり、ＦＤ'Ｄは三角形である。
また、∠Ｄ'ＦＤ＝９０°＋∠ＡＦＤ＝１８０°－∠ＦＤＡ―――①
また、∠ＣＤＥ＝３６０°－９０°×２－∠ＦＤＡ＝１８０°－∠ＦＤＡ―――②
①，②より、∠Ｄ'ＦＤ＝∠ＣＤＥ また、
ＤＣ＝ＡＤ＝ＡＤ'，ＤＥ＝ＦＤ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＦＤ'Ｄと△ＤＣＥは合同である。
ところで、△ＦＤ'Ｄ＝△ＦＡＤ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2より、△ＤＣＥ＝１ｃｍ^2
よって、色部分全体の面積は、１＋１＝２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
実は、解法６はちょっとだけヒントになっていたんですけどね。つまり、△ＤＣＥを変形させると△ＤＦＡと合同になるので、逆に△ＤＦＡを変形させたら△ＤＣＥと合同になるんじゃないかという事です。
因みに、これは私が２０年ぐらい前に作ったオリジナルの定石です。（２つの適当な正方形の１つの頂点が接している時に図のような２つの向かい合う三角形を作るとこういう関係が出来ます。）
おまけ：
ＡＦの真ん中の点をＭとし、点Ｍを中心に△ＤＭＡをＭＡがＭＦにくっつくまで回転させ、点Ｄの行き先をＤ'とすると、∠ＤＭＦ＋∠ＤＭＡ＝１８０°と対頂角を考えると、３点Ｄ，Ｍ，Ｄ'は一直線上にある。つまり、ＦＤ'Ｄは三角形である。
また、∠Ｄ'ＦＤ＝９０°＋∠ＡＦＤ＝１８０°－∠ＦＤＡ―――①
また、∠ＣＤＥ＝３６０°－９０°×２－∠ＦＤＡ＝１８０°－∠ＦＤＡ―――②
①，②より、∠Ｄ'ＦＤ＝∠ＣＤＥ また、
ＤＣ＝ＡＤ＝ＡＤ'，ＤＥ＝ＦＤ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＦＤ'Ｄと△ＤＣＥは合同である。
ところで、△ＦＤ'Ｄ＝△ＦＡＤ＝２×１÷２＝１ｃｍ^2より、△ＤＣＥ＝１ｃｍ^2
よって、色部分全体の面積は、１＋１＝２ｃｍ^2
よって、答えは、２ｃｍ^2
実は、解法６はちょっとだけヒントになっていたんですけどね。つまり、△ＤＣＥを変形させると△ＤＦＡと合同になるので、逆に△ＤＦＡを変形させたら△ＤＣＥと合同になるんじゃないかという事です。
因みに、これは私が２０年ぐらい前に作ったオリジナルの定石です。（２つの適当な正方形の１つの頂点が接している時に図のような２つの向かい合う三角形を作るとこういう関係が出来ます。）
おまけ：
返信
返信4
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/4 16:31 (No.561024)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808280001/
一応、何でもありでも解いて下さい。ただし、何でもありの方は補助線なしで解いてみて下さい。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201808280001/
一応、何でもありでも解いて下さい。ただし、何でもありの方は補助線なしで解いてみて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/5 07:41削除算数の解法
ＯＡ，ＯＢ，ＯＣを結ぶと、半径より△ＯＡＢ，△ＯＢＣ，△ＯＣＡはそれぞれ二等辺三角形である。
そこで、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝●，∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝×と置くと、∠ＢＡＣ＝●×＝９７．５°
また、四角形ＯＢＡＣの内角の和より、
∠ＢＯＣ＝３６０°－●●××＝３６０°－９７．５°×２＝３６０°－１９５°
＝１６５°
よって、∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝(１８０°－１６５°)÷２＝７．５°
また、∠ＡＢＣ＝７．５°より、∠ＯＣＢ＝∠ＡＢＣ よって、錯角が等しいので、ＯＣとＢＡは平行。よって、等積変形により、△ＣＡＢ＝△ＯＡＢ よって、△ＯＡＢの面積を求めれば良い。
ところで、∠ＯＢＡ＝７．５°＋７．５°＝１５°より、△ＯＡＢは頂角が１５０°の二等辺三角形。よって、ＢＯの延長上にＡから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＯＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になり、ＡＨ＝ＯＡ÷２＝１０÷２＝５ｃｍ
よって、△ＯＡＢ＝ＯＢ×ＡＨ÷２＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
よって、△ＡＢＣ＝△ＯＡＢ＝２５ｃｍ^2
よって、答えは、２５ｃｍ^2
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/ebc77b3863a95882b97b6d15740cf5eb31861e6a
ＯＡ，ＯＢ，ＯＣを結ぶと、半径より△ＯＡＢ，△ＯＢＣ，△ＯＣＡはそれぞれ二等辺三角形である。
そこで、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝●，∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝×と置くと、∠ＢＡＣ＝●×＝９７．５°
また、四角形ＯＢＡＣの内角の和より、
∠ＢＯＣ＝３６０°－●●××＝３６０°－９７．５°×２＝３６０°－１９５°
＝１６５°
よって、∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝(１８０°－１６５°)÷２＝７．５°
また、∠ＡＢＣ＝７．５°より、∠ＯＣＢ＝∠ＡＢＣ よって、錯角が等しいので、ＯＣとＢＡは平行。よって、等積変形により、△ＣＡＢ＝△ＯＡＢ よって、△ＯＡＢの面積を求めれば良い。
ところで、∠ＯＢＡ＝７．５°＋７．５°＝１５°より、△ＯＡＢは頂角が１５０°の二等辺三角形。よって、ＢＯの延長上にＡから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＯＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になり、ＡＨ＝ＯＡ÷２＝１０÷２＝５ｃｍ
よって、△ＯＡＢ＝ＯＢ×ＡＨ÷２＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
よって、△ＡＢＣ＝△ＯＡＢ＝２５ｃｍ^2
よって、答えは、２５ｃｍ^2
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/ebc77b3863a95882b97b6d15740cf5eb31861e6a
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/5 16:21削除何でもありの解法
△ＡＢＣで正弦定理を使うと、ＡＢ/sin75°＝ＡＣ/sin7.5°＝２Ｒ＝２０―――①
また、１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比より、sin75°＝(√６＋√２)/４―――②
①より、ＡＢ＝２０sin75°―――①' ②を①'に代入すると、
ＡＢ＝５(√６＋√２)―――③
また、sin7.5°＝sin(15°/2)として、半角の公式を使うと、sin^2(7.5°)＝sin^2(15°/2)＝(１－cos15°)/２―――④
また、先の三辺比より、
cos15°＝(√６＋√２)/４
∴１－cos15°＝１－(√６＋√２)/４
＝(４－√６－√２)/４―――⑤
⑤を④に代入すると、
sin^2(7.5°)＝(４－√６－√２)/８
∴sin7.5°＝√(４－√６－√２)/２√２
＝√(８－２√６－２√２)/４―――⑥
また、①より、
ＡＣ＝２０sin7.5°―――①''
①''に⑥を代入すると、
ＡＣ＝５√(８－２√６－２√２)―――⑦
また、sin97.5°＝sin(90°＋7.5°)＝cos7.5°＝√{１－sin^2(7.5°)}
＝√{１－(４－√６－√２)/８}
＝√{(４＋√６＋√２)/８}
＝{√(４＋√６＋√２)}/２√２
＝√(８＋２√６＋２√２)/４
∴sin97.5°＝√(８＋２√６＋２√２)/４―――⑧
よって、③，⑦，⑧より、
△ＡＢＣ＝(１/２)・５(√６＋√２)・５√(８－２√６－２√２)・{√(８＋２√６＋２√２)/４}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{(８－２√６－２√２)(８＋２√６＋２√２)}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{６４－(２√６＋２√２)^2}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{６４－(３２＋１６√３)}
＝(２５/８)(√６＋√２)√(３２－１６√３)
＝(２５/８)(√６＋√２)√{(２√６－２√２)^2}
＝(２５/８)(√６＋√２)(２√６－２√２)
＝(２５/４)(√６＋√２)(√６－√２)
＝(２５/４)・４＝２５
よって、答えは、２５ｃｍ^2
おまけ：
△ＡＢＣで正弦定理を使うと、ＡＢ/sin75°＝ＡＣ/sin7.5°＝２Ｒ＝２０―――①
また、１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比より、sin75°＝(√６＋√２)/４―――②
①より、ＡＢ＝２０sin75°―――①' ②を①'に代入すると、
ＡＢ＝５(√６＋√２)―――③
また、sin7.5°＝sin(15°/2)として、半角の公式を使うと、sin^2(7.5°)＝sin^2(15°/2)＝(１－cos15°)/２―――④
また、先の三辺比より、
cos15°＝(√６＋√２)/４
∴１－cos15°＝１－(√６＋√２)/４
＝(４－√６－√２)/４―――⑤
⑤を④に代入すると、
sin^2(7.5°)＝(４－√６－√２)/８
∴sin7.5°＝√(４－√６－√２)/２√２
＝√(８－２√６－２√２)/４―――⑥
また、①より、
ＡＣ＝２０sin7.5°―――①''
①''に⑥を代入すると、
ＡＣ＝５√(８－２√６－２√２)―――⑦
また、sin97.5°＝sin(90°＋7.5°)＝cos7.5°＝√{１－sin^2(7.5°)}
＝√{１－(４－√６－√２)/８}
＝√{(４＋√６＋√２)/８}
＝{√(４＋√６＋√２)}/２√２
＝√(８＋２√６＋２√２)/４
∴sin97.5°＝√(８＋２√６＋２√２)/４―――⑧
よって、③，⑦，⑧より、
△ＡＢＣ＝(１/２)・５(√６＋√２)・５√(８－２√６－２√２)・{√(８＋２√６＋２√２)/４}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{(８－２√６－２√２)(８＋２√６＋２√２)}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{６４－(２√６＋２√２)^2}
＝(２５/８)(√６＋√２)√{６４－(３２＋１６√３)}
＝(２５/８)(√６＋√２)√(３２－１６√３)
＝(２５/８)(√６＋√２)√{(２√６－２√２)^2}
＝(２５/８)(√６＋√２)(２√６－２√２)
＝(２５/４)(√６＋√２)(√６－√２)
＝(２５/４)・４＝２５
よって、答えは、２５ｃｍ^2
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/5 11:18 (No.561913)削除よく考えたら、この証明おかしくないですか。
定理2.3
群Ｇの空でない有限部分集合をＨとする。Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じていることである。
証明
Ｈに演算が定義されていれば、定理1.5によって、Ｈが群であるための必要十分条件は、Ｈにおいて結合律（Ｇ1）と消去律が成り立つことである。今、Ｈは群Ｇの部分集合であるから、Ｈの元について、結合律（Ｇ1）と消去律は成立している。したがって、ＨがＧの部分群になるための必要十分条件は、ＨがＧの演算に関して閉じていることである。
定理1.5
Ｇを空でない有限集合とする。Ｇが群であるためには、次の３条件の成り立つことが必要十分である。
（１）演算が定義されている。
（２）この演算に関して結合律（Ｇ1）が成り立つ。
（３）この演算に関して消去律が成り立つ。
定理1.4（消去律）
群Ｇにおいては、消去律が成り立つ。すなわち、群Ｇに属する任意の元ａ，ｂ，ｃについて
ａ◦ｃ＝ｂ◦ｃならばａ＝ｂ
ｃ◦ａ＝ｃ◦ｂならばａ＝ｂ
（引用終わり）
この証明だと、部分集合Ｈが無限集合でも成り立つはずではないでしょうか。実際、Ｇをℚ^*（有理数全体から０元を除いた集合），Ｈをℤ^*（整数全体から０元を除いた集合）とすると、Ｈでは演算について閉じていて、消去律と結合律が成り立っていますが、逆元が存在していないので群とはなりません。（念のため、演算は乗法です。）
一応、以前に挙げた別証を載せておきますね。
定理2.3
群Ｇの空でない有限部分集合をＨとする。Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じていることである。
証明
あるＨの元ａに対し、ａ^2，ａ^3，…を考えると、条件よりＨは演算について閉じているので、全てＨの元である。そして、これらが全て異なるとするとHは無限集合になってしまうので、ある自然数ｋ，ｍ（ｋ＞ｍ）が存在してａ^k＝ａ^mとなっている。この両辺をａ^mで割ると、ａ^(k-m)＝ｅ
ここで、ｋ－ｍ＝ｎと置くと、ａ^n＝ｅ（ｎは自然数）
よって、集合Ｈには単位元が存在する。
また、ａ^(n-1)・ａ＝ａ・ａ^(n-1)＝ｅとすると、ａ^(n-1)がａの逆元である。
ところで、ａ^(n-1)∈Ｈで、ある元ａは任意に選んだので、集合Ｈには任意の元に対する逆元が存在する。
また、Ｈは群Ｇの部分集合なので結合律も成り立つ。よって、Ｈは群となる。
以上より、Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じている事である。
この証明では、Ｈが有限集合である事が大事ですね。
おまけ：
定理2.3
群Ｇの空でない有限部分集合をＨとする。Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じていることである。
証明
Ｈに演算が定義されていれば、定理1.5によって、Ｈが群であるための必要十分条件は、Ｈにおいて結合律（Ｇ1）と消去律が成り立つことである。今、Ｈは群Ｇの部分集合であるから、Ｈの元について、結合律（Ｇ1）と消去律は成立している。したがって、ＨがＧの部分群になるための必要十分条件は、ＨがＧの演算に関して閉じていることである。
定理1.5
Ｇを空でない有限集合とする。Ｇが群であるためには、次の３条件の成り立つことが必要十分である。
（１）演算が定義されている。
（２）この演算に関して結合律（Ｇ1）が成り立つ。
（３）この演算に関して消去律が成り立つ。
定理1.4（消去律）
群Ｇにおいては、消去律が成り立つ。すなわち、群Ｇに属する任意の元ａ，ｂ，ｃについて
ａ◦ｃ＝ｂ◦ｃならばａ＝ｂ
ｃ◦ａ＝ｃ◦ｂならばａ＝ｂ
（引用終わり）
この証明だと、部分集合Ｈが無限集合でも成り立つはずではないでしょうか。実際、Ｇをℚ^*（有理数全体から０元を除いた集合），Ｈをℤ^*（整数全体から０元を除いた集合）とすると、Ｈでは演算について閉じていて、消去律と結合律が成り立っていますが、逆元が存在していないので群とはなりません。（念のため、演算は乗法です。）
一応、以前に挙げた別証を載せておきますね。
定理2.3
群Ｇの空でない有限部分集合をＨとする。Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じていることである。
証明
あるＨの元ａに対し、ａ^2，ａ^3，…を考えると、条件よりＨは演算について閉じているので、全てＨの元である。そして、これらが全て異なるとするとHは無限集合になってしまうので、ある自然数ｋ，ｍ（ｋ＞ｍ）が存在してａ^k＝ａ^mとなっている。この両辺をａ^mで割ると、ａ^(k-m)＝ｅ
ここで、ｋ－ｍ＝ｎと置くと、ａ^n＝ｅ（ｎは自然数）
よって、集合Ｈには単位元が存在する。
また、ａ^(n-1)・ａ＝ａ・ａ^(n-1)＝ｅとすると、ａ^(n-1)がａの逆元である。
ところで、ａ^(n-1)∈Ｈで、ある元ａは任意に選んだので、集合Ｈには任意の元に対する逆元が存在する。
また、Ｈは群Ｇの部分集合なので結合律も成り立つ。よって、Ｈは群となる。
以上より、Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じている事である。
この証明では、Ｈが有限集合である事が大事ですね。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/4 11:35 (No.560801)削除問題
Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｇの元ａに対して、
ａＨａ^-1はＧの部分群であることを示せ。ただし、ａＨａ^-1＝{ａｘａ^-1｜ｘ∈Ｈ}とする。
ａＨａ^-1のことをＨの共役部分群という。
証明
ｅ＝ａｅａ^-1∈ａＨａ^-1よりａＨａ^-1≠φである。
（１）演算について閉じていること：ｘ，ｙ∈ａＨａ^-1とする。ｘとｙはｘ＝ａｈａ^-1，ｙ＝ａｋａ^-1（ｈ，ｋ∈Ｈ）と表される。このとき、
ｘｙ＝(ａｈａ^-1)(ａｋａ^-1)＝ａｈｋａ^-1
ここで、Ｈは部分群であるからｈｋ∈Ｈ したがって、ｘｙ∈ａＨａ^-1
（２）ｘ∈Ｈとして、ｘ^-1∈Ｈを示す。（１）と同じ記号ｘ＝ａｈａ^-1（ｈ∈Ｈ）を使うと、
ｘ^-1＝(ａｈａ^-1)^-1＝(ａ^-1)^-1ｈ^-1ａ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1 ここで、ｈ∈ＨでＨは部分群であるからｈ^-1∈Ｈ したがって、
ｘ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1∈ａＨａ^-1
（１），（２）より、部分群の判定定理2.1を使うとａＨａ^-1はＧの部分群である。
定理2.1（部分群の判定定理）
群Ｇの空でない部分集合をＨとする。ＨがＧの部分群であるための必要十分条件は、Ｈが次の条件（１）と（２）を満足していることである。
（１）∀ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａ◦ｂ∈Ｈ
（２）∀ａ∈Ｈ⇒ａ^-1∈Ｈ
（引用終わり）
間違い探し（誤植レベル）と完全解説をして下さい。
おまけ：
Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｇの元ａに対して、
ａＨａ^-1はＧの部分群であることを示せ。ただし、ａＨａ^-1＝{ａｘａ^-1｜ｘ∈Ｈ}とする。
ａＨａ^-1のことをＨの共役部分群という。
証明
ｅ＝ａｅａ^-1∈ａＨａ^-1よりａＨａ^-1≠φである。
（１）演算について閉じていること：ｘ，ｙ∈ａＨａ^-1とする。ｘとｙはｘ＝ａｈａ^-1，ｙ＝ａｋａ^-1（ｈ，ｋ∈Ｈ）と表される。このとき、
ｘｙ＝(ａｈａ^-1)(ａｋａ^-1)＝ａｈｋａ^-1
ここで、Ｈは部分群であるからｈｋ∈Ｈ したがって、ｘｙ∈ａＨａ^-1
（２）ｘ∈Ｈとして、ｘ^-1∈Ｈを示す。（１）と同じ記号ｘ＝ａｈａ^-1（ｈ∈Ｈ）を使うと、
ｘ^-1＝(ａｈａ^-1)^-1＝(ａ^-1)^-1ｈ^-1ａ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1 ここで、ｈ∈ＨでＨは部分群であるからｈ^-1∈Ｈ したがって、
ｘ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1∈ａＨａ^-1
（１），（２）より、部分群の判定定理2.1を使うとａＨａ^-1はＧの部分群である。
定理2.1（部分群の判定定理）
群Ｇの空でない部分集合をＨとする。ＨがＧの部分群であるための必要十分条件は、Ｈが次の条件（１）と（２）を満足していることである。
（１）∀ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａ◦ｂ∈Ｈ
（２）∀ａ∈Ｈ⇒ａ^-1∈Ｈ
（引用終わり）
間違い探し（誤植レベル）と完全解説をして下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/10/4 13:40削除間違い探しの解答
＞（２）ｘ∈Ｈとして、ｘ^-1∈Ｈを示す。
ここは、「ｘ∈ａＨａ^-1として、ｘ^-1∈ａＨａ^-1を示す」ですね。
実際、「したがって、
ｘ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1∈ａＨａ^-1」と示していますからね。
補足解説
厳密には、ａＨａ^-1がＧの部分集合である事も示した方が良いですよね。定理2.1にも、「群Ｇの空でない部分集合をＨとする」とありますしね。
もっとも、Ｇが群でＨがＧの部分集合ならばａＨａ^-1もＧの部分集合である事は自明なんでしょうね。一応、示してみますね。
条件より、ａ∈ＧでＧは群よりａ^-1∈Ｇ また、Ｈ⊂Ｇより、∀ｈ∈Ｈ⊂Ｇに対して、ａｈａ^-1∈Ｇ（Ｇは群で演算について閉じているから。）
∴ａＨａ^-1⊂Ｇ
別証も考えてみました。（こっちが先。）
ｘ∈ａＨａ^-1とすると、ｘ＝ａｈａ^-1（ｈ∈Ｈ）と置ける。この両辺に左からａ^-1，右からａを掛けると、ａ^-1ｘａ＝ｈ∈Ｈ⊂Ｇ
よって、∃ｇ∈Ｇ，ｇ＝ａ^-1ｘａと置ける。
この両辺に左からａ，右からａ^-1を掛けると、
ｘ＝ａｇａ^-1∈Ｇ（Ｇは群よりａ，ａ^-1∈Ｇだから。）
よって、ｘ∈ａＨａ^-1ならばｘ∈Ｇ
∴ａＨａ^-1⊂Ｇ
おまけ：
＞（２）ｘ∈Ｈとして、ｘ^-1∈Ｈを示す。
ここは、「ｘ∈ａＨａ^-1として、ｘ^-1∈ａＨａ^-1を示す」ですね。
実際、「したがって、
ｘ^-1＝ａｈ^-1ａ^-1∈ａＨａ^-1」と示していますからね。
補足解説
厳密には、ａＨａ^-1がＧの部分集合である事も示した方が良いですよね。定理2.1にも、「群Ｇの空でない部分集合をＨとする」とありますしね。
もっとも、Ｇが群でＨがＧの部分集合ならばａＨａ^-1もＧの部分集合である事は自明なんでしょうね。一応、示してみますね。
条件より、ａ∈ＧでＧは群よりａ^-1∈Ｇ また、Ｈ⊂Ｇより、∀ｈ∈Ｈ⊂Ｇに対して、ａｈａ^-1∈Ｇ（Ｇは群で演算について閉じているから。）
∴ａＨａ^-1⊂Ｇ
別証も考えてみました。（こっちが先。）
ｘ∈ａＨａ^-1とすると、ｘ＝ａｈａ^-1（ｈ∈Ｈ）と置ける。この両辺に左からａ^-1，右からａを掛けると、ａ^-1ｘａ＝ｈ∈Ｈ⊂Ｇ
よって、∃ｇ∈Ｇ，ｇ＝ａ^-1ｘａと置ける。
この両辺に左からａ，右からａ^-1を掛けると、
ｘ＝ａｇａ^-1∈Ｇ（Ｇは群よりａ，ａ^-1∈Ｇだから。）
よって、ｘ∈ａＨａ^-1ならばｘ∈Ｇ
∴ａＨａ^-1⊂Ｇ
おまけ：
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