数学

算数の解法
正方形の中に直角三角形があり、例えば、点Ａの所の直角三角形を点Ａを中心に１８０°回転させるとぴったりとはまり１つの小さな正方形が出来る。
他の３ヶ所でも同様の事をすると、小さな合同な正方形５個の十字形が出来、その面積は元の大きな正方形の面積と等しいので２０ｃｍ^2である。
よって、小さな正方形１つの面積は、２０÷５＝４ｃｍ^2
よって、小さな正方形の１辺の長さは、２ｃｍ　
また、点Ａの所を考えると、小さな正方形の１辺の半分なので、ＡＢ＝１＋２＝３ｃｍ
よって、答えは、３ｃｍ

何でもありの解法
正方形の左上の頂点から反時計回りにＰ～Ｓと振り、ＰＱ，ＱＲ，ＲＳの中点をそれぞれＣ，Ｄ，Ｅとすると、ＰＳの中点はＡでＱＥとＡＲの交点はＢとなる。
また、中央の四角形の左上の頂点から反時計回りにF，G，B，Hとすると、二辺挟角が等しいので、△ＡＲＳ≡△ＣＳＰ　∴∠ＡＲＳ＝∠ＣＳＰ＝∠ＨＳＡ　また、∠ＨＡＳは共通より２角が等しいので、△ＡＲＳ∽△ＡＳＨ　∴∠ＡＨＳ＝∠ＲＳＡ＝９０°∴∠ＦＨＢ＝９０°同様に、∠ＨＢＧ＝∠ＢＧＦ＝∠ＧＦＨ＝９０°
よって、四角形ＦＧＢＨは長方形で、また対称性より正方形になる。
ところで、正方形ＰＱＲＳ＝２０ｃｍ^2より、ＰＳ＝√２０＝２√５ｃｍ　∴ＡＳ＝√５ｃｍ　よって、△ＡＨＳで三平方の定理を使うと、ＡＨ＝１ｃｍ，ＨＳ＝２ｃｍである。（△ＡＨＳ∽△ＰＣＳでＰＣ：ＰＳ＝１：２だから。）
また、△ＳＡＨ∽△ＳＰＦで相似比１：２より、ＦＨ＝ＨＳである。また、正方形より、ＦＨ＝ＨＢ
∴ＨＢ＝ＦＨ＝ＨＳ＝２ｃｍ　∴ＡＢ＝ＡＨ＋ＨＢ＝１＋２＝３ｃｍ
よって、答えは、３ｃｍ

ちょっと、時間がなくて端折っちゃいましたね。

おまけ：

解説
＞ｎ次の対称群Ｓnの任意の元は互換の積として表される。

例えば、１２３４５→５４３２１は、１と５を入れ換えて２と４を入れ換える。もっと複雑でも互換の積で表される事は明らかだろう。

＞任意の互換(ａ，ｂ)に対して、
(ａ，ｂ)＝(１，ａ)(１，ｂ)(１，ａ)
なる関係が成り立つ。

例えば、
１ａｂのａとｂを入れ換える場合、
まず、１とａを入れ換えると、ａ１ｂ
次に、１とｂを入れ換えると、ａｂ１
さらに、１とａを入れ換えると、１ｂａ
よって、１ａｂ→１ｂａでａとｂが入れ換わった。
つまり、(ａ，ｂ)＝(１，ａ)(１，ｂ)(１，ａ)

＞ｎ次の対称群Ｓnの任意の元は、ｎ－１個の互換(１，２)，(１，３)，…，(１，ｎ)によって生成される。
すなわち、Ｓn＝＜(１，２)，(１，３)，…，(１，ｎ)＞

Ｓ3で実際に試してみよう。
ρ0＝(１２３)，ρ1＝(２３１)，ρ2＝(３１２)
μ1＝(１３２)，μ2＝(３２１)，μ3＝(２１３)

Ｓ3＝＜(１，2），(１，３)＞で全て表されるはずである。定理3.5の表現で０乗で表すと、
ρ0＝(１，２)^0(１，３)^0
ρ1＝(１，２)(１，３)
ρ2＝(１，３)(１，２)
μ1＝(２，３)＝(１，２)(１，３)(１，２)
μ2＝(１，３)
μ3＝(１，２)

一応、ρ1とρ2だけ補足
ρ1の場合、まず１と３を入れ換えると、１２３→３２１　
次に、１と２を入れ換えると、３２１→２３１（注：１と２は場所である。）
ρ2の場合、解説省略で、１２３→２１３→３１２

よって、全て(１，２)と(１，３)で表せた。

定理3.5
Ｇを群として、Ｓをその空でない部分集合とする。このとき、
＜Ｓ＞＝{ａi1^e1・ａi2^e2…ａin^en｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｅi∈ℤ，ｎ∈ℕ}

因みに、「群・環・体 入門」共立出版は現在２回目読書中だが、１回目の時にネットで調べてようやく分かったので、自分で解読した訳ではない。だから、参考元は分からないなぁ。（ａ，ｂの所だけね。後は今回自分で考えた。）

おまけ：

解法１
（ⅰ）四角形ＡＢＣＤが台形⇒△ＥＡＤ＝△ＥＢＣの証明
四角形ＡＢＣＤが台形よりＡＢ//ＤＣ　よって、等積変形より△ＤＡＢ＝△ＣＡＢ
この両辺から△ＥＡＢを引くと、△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
∴四角形ＡＢＣＤが台形⇒△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
（ⅱ）△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ⇒四角形ＡＢＣＤが台形の証明
△ＥＡＤ＝△ＥＢＣの両辺に△ＥＡＢを加えると、△ＤＡＢ＝△ＣＡＢ
ここで、点Ｃ，ＤからＡＢ（とその延長上）に垂線を下ろしＨ，Ｉとすると、底辺ＡＢを共有していて面積が等しいので、高さＣＨとＤＩも等しい。また、ＣＨとＤＩは平行である。よって、四角形ＣＨＩＤは平行四辺形（実際は長方形）である。
∴ＨＩ//ＣＤ　∴ＡＢ//ＤＣ
よって、四角形ＡＢＣＤは台形である。
∴△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ⇒四角形ＡＢＣＤ
（ⅰ），（ⅱ）より、
四角形ＡＢＣＤが台形⇔△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
よって、四角形ＡＢＣＤが台形であるための必要十分条件は、△ＥＡＤの面積と△ＥＢＣの面積が等しい事である。

おまけ：

https://mikotoblog.com/inferiority-complex-and-ressentiment-nietzsche-and-adler/（長いので最初と最後だけ。）

解法２
（ⅰ）四角形ＡＢＣＤが台形⇒△ＥＡＤ＝△ＥＢＣの証明
四角形ＡＢＣＤが台形よりＡＢ//ＤＣ　よって、対頂角や錯角が等しいので、△ＥＡＢ∽△ＥＣＤ
ここで、ＡＢ＝ａ，ＣＤ＝ｂ，ＡＣ＝ｍ，ＢＤ＝ｎと置くと、ＡＥ：ＣＥ＝ａ：ｂ，ＢＥ：ＤＥ＝ａ：ｂ
∴ＡＥ＝ａｍ/(ａ＋ｂ)，ＢＥ＝ａｎ/(ａ＋ｂ)，ＣＥ＝ｂｍ/(ａ＋ｂ)，ＤＥ＝ｂｎ/(ａ＋ｂ)
よって、１つの角が等しい三角形の面積比の公式より、
△ＥＡＤ：△ＥＢＣ＝ＥＡ・ＥＤ：ＥＢ・ＥＣ＝{ａｍ/(ａ＋ｂ)}{ｂｎ/(ａ＋ｂ)}：{ａｎ/(ａ＋ｂ)}{ｂｍ/(ａ＋ｂ)}＝ａｂｍｎ/(ａ＋ｂ)^2：ａｂｍｎ/(ａ＋ｂ)^2＝１：１　∴△ＥＡＤ：△ＥＢＣ＝１：１
∴△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
∴四角形ＡＢＣＤが台形⇒△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
（ⅱ）△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ⇒四角形ＡＢＣＤが台形の証明
△ＥＡＤ＝△ＥＢＣと対頂角∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＣより、１つの角が等しい三角形の面積比の公式により、
ＥＡ・ＥＤ：ＥＢ・ＥＣ＝１：１
∴ＥＡ・ＥＤ＝ＥＢ・ＥＣ　∴ＥＡ：ＥＢ＝ＥＣ：ＥＤ
また、対頂角より∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＤ　よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＥＡＢ∽△ＥＣＤ　∴∠ＥＡＢ＝∠ＥＣＤ　よって、錯角が等しいので、ＡＢ//ＤＣ
よって、四角形ＡＢＣＤは台形である。
∴△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ⇒四角形ＡＢＣＤが台形
（ⅰ），（ⅱ）より、
四角形ＡＢＣＤが台形⇔△ＥＡＤ＝△ＥＢＣ
よって、四角形ＡＢＣＤが台形であるための必要十分条件は、△ＥＡＤの面積と△ＥＢＣの面積が等しい事である。

おまけ：

例えば、＜|１，|２＞＝＜|１＞＝ℤ12

また、
問題3.9
群Ｇの部分集合をＳとするとき次を示せ。
＜Ｓ＞＝{ａi1^±1・ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}

で＜|１，|２＞を考えると、加法群より演算は加法なので、
＜|１，|２＞＝±|１±|２の４通りなので、＜|１，|２＞＝＜|１＞＝ℤ12とはならない。一応、具体的に求めると、
|１＋|２＝|３
－|１＋|２＝|１
|１－|２＝－|１＝|１１
－|１－|２＝－|３＝|９
∴＜|１，|２＞＝{|１，|３，|９，|１１}≠ℤ12

よって、問題3.9は間違っている。

その後よく考えたら、
＜Ｓ＞＝{ａi1^e1・ａi2^e2…ａin^en｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｅi∈ℤ，ｎ∈ℕ}
の場合は、可換群とは限らないので、例えば、ａi1とａi3が等しい場合もありますよね。
だから、普通のａ1～ａnで表さず、ａi1～ａinで表しているのではないでしょうか。（ａ1～ａnの場合は各々全て異なり、ａi1～ａinの場合は等しいものがある場合があるという事。）

＞因みに、可換群である理由が書いていないのですが、定理2.7の(ａ・ｂ)^n＝ａ^n・ｂ^nというような事が関係しているのでしょうね。（本当にさっぱり分からないので適当です。）

これは可換群の場合に限定しているだけなので、全く関係ありませんね。

問題１の解答
左辺＝(ａ＋２ｂ)^2－３(ａ＋２ｂ)
＝(ａ＋２ｂ){(ａ＋２ｂ)－３}＝０（右辺）
ところで、ａ＞０，ｂ＞０よりａ＋２ｂ≠０
∴ａ＋２ｂ＝３
よって、答えは、３

問題２の解答
左上の頂点から反時計回りに線分に沿ってＡ～Ｅと振ると、ＤＥは直径より円周角で∠ＤＡＥ＝９０°
また、ＡＥとＣＤの交点をＦとすると、△ＦＡＤの内対角の和より、
∠ＡＤＦ＝１２２°－９０°＝３２°
よって、∠ＡＤＣ＝３２°また、円周角より、
∠ｘ＝∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝３２°
よって、答えは、３２°

問題２は暗算で解きながら書いたので、ちょっと大変でした。解くだけなら凄く簡単ですが。

おまけ：https://news.livedoor.com/article/detail/17237546/

https://joseiana.com/archives/103553

問題３の解答
△ＡＢＣは二等辺三角形より、対称性でＢＤ＝４８÷２＝２４ｃｍ
よって、△ＡＢＤの三辺比は２４：３２：４０＝３：４：５
ここで、円Ｐ，Ｑの中心をそれぞれ点Ｐ，Ｑとし、辺ＡＢとの接点をそれぞれＴ，Ｓとすると、△ＡＢＤと△ＡＰＴと△ＡＱＳは相似である。よって、△ＡＰＴと△ＡＱＳの三辺比もそれぞれ３：４：５
ところで、半径よりＰＴ＝ＰＤ，∠ＰＴＢ＝∠ＰＤＢ＝９０°，ＢＰは共通より、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、△ＢＴＰと△ＢＤＰは合同。
よって、ＢＴ＝ＢＤ＝２４ｃｍ　よって、ＡＴ＝４０－２４＝１６ｃｍ　
ここで、△ＡＰＴの三辺比は３：４：５より、ＰＴ＝(３/４)×ＡＴ＝(３/４)×１６＝１２ｃｍ
よって、円Ｐの半径は１２ｃｍ　
また、ＡＰ＝(５/４)×ＡＴ＝(５/４)×１６＝２０ｃｍ
今、２円の接点をＵとすると、ＡＵ＝３２－１２×２＝８ｃｍ
また、△ＡＱＳの三辺比も３：４：５より、ＱＳ＝③と置くと、ＡＱ＝⑤，ＱＵ＝③より、ＡＵ＝⑧
よって、⑧＝８ｃｍより、①＝１ｃｍ
よって、ＱＳ＝③＝１×３＝３ｃｍ
よって、円Ｑの半径は３ｃｍ
よって、答えは、半径１２ｃｍと３ｃｍ

裏は取っていませんが、大丈夫でしょう。

おまけ：

何でもありの解法
∠ＣＡＥ＝θ，ＡＢ＝ＡＣ＝ｘと置いて、△ＡＢＥで余弦定理を使うと、
８^2＝ｘ^2＋５^2－２・ｘ・５cos(90°＋θ)
∴６４＝ｘ^2＋２５＋１０ｘsinθ
∴ｘ^2＋１０ｘsinθ＝３９―――①
また、五角形ＡＢＣＤＥ＝△ＡＢＣ＋平行四辺形ＡＣＤＥ＝△ＡＢＣ＋２△ＡＣＥ＝ｘ^2/２＋２{(１/２)５ｘsinθ)＝ｘ^2/２＋５ｘsinθ―――②
①の両辺を２で割ると、
ｘ^2/２＋５ｘsinθ＝３９/２＝１９．５ｃｍ^2―――③
②，③より、五角形ＡＢＣＤＥ＝１９．５ｃｍ^2
よって、答えは、１９．５ｃｍ^2

因みに、算数の邪道解は、平行四辺形に条件がないので、特殊化して求める。よって、四角形ＡＣＤＥを長方形にすると、ＡＢ＝８－５＝３ｃｍとなるので、ＡＣ＝３ｃｍ
よって、五角形ＡＢＣＤＥ＝台形ＢＣＤＥ＝(５＋８)×３÷２＝３９/２＝１９．５ｃｍ^2
よって、答えは、１９．５ｃｍ^2

算数の解法は次回。ただし、検索すれば出るのでアレンジして下さい。

おまけ：

算数の解法
点ＡからＡＥに対して垂線を立て、ＡＦ＝ＡＥとなるように点Ｆを取ると、ＡＣ＝ＡＢ，∠ＦＡＣ＝∠ＥＡＢ＝９０°＋∠ＣＡＥより、二辺挟角が等しいので、△ＦＡＣと△ＥＡＢは合同。
また、ＡＦとＡＥは直交しているので、△ＦＡＣと△ＥＡＢは点Ａを中心に９０°をなしている。よって、ＦＣとＥＢは直交している。
よって、四角形ＦＢＣＥ＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
また、ＡＦ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣで∠ＦＡＢと∠ＣＡＥは補角をなしている（∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°だから）ので、１つの角が補角をなす三角形の面積比の公式より、△ＡＢＦ＝△ＡＣＥ
また、四角形ＡＣＤＥは平行四辺形より、△ＡＣＥ＝△ＤＥＣ　よって、△ＡＢＦ＝△ＤＥＣ
よって、△ＤＥＣを△ＡＢＦの所に移すと、求める面積は、五角形ＦＢＣＥＡとなり、五角形ＦＢＣＥＡ＝四角形ＦＢＣＥ－△ＦＡＥ＝３２－５×５÷２＝３２－２５/２＝６４/２－２５/２＝３９/２＝１９．５ｃｍ^2
よって、答えは、１９．５ｃｍ^2

因みに、１つの角が補角をなす三角形の面積比の公式を使わない場合は、
「ＡＦ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣで∠ＦＡＢと∠ＣＡＥは補角をなしている」から、また、四角形ＡＣＤＥは平行四辺形より∠ＣＡＥと∠ＤＣＡは補角をなしているので、∠ＦＡＢ＝∠ＤＣＡ　また、ＡＦ＝ＡＥ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＡＣより、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＦと△ＡＣＤは合同。よって、平行四辺形ＡＣＤＥの半分の面積と△ＡＢＦは等しい。よって、△ＣＤＥを△ＡＢＦの所に移すと、求める面積は、五角形ＦＢＣＥＡとなり、以後同じとなる。

おまけ：

解法１
https://labo-g.net/archives/2040

ちょっと検索してみました。因みに、私の２つの解法とは別でした。まぁ、私のは暗算で解けますが。笑
（念のため、嫌味や自慢ではありません。この解法は勉強になりました。）

おまけ：

解法２
正方形Ｑの左上の頂点をＡ，右上の頂点をＢとし、ＰＢを結ぶと、
△ＰＱＢ＝△ＰＡＢ＋△ＱＡＢ＝６×６÷２＋６×３÷２＝１８＋９＝２７ｃｍ^2
ところで、ＱＢ：ＲＢ＝６：３＝２：１より、△ＰＱＢ：△ＰＢＲ＝２：１
よって、△ＰＱＲ＝(３/２)×△ＰＱＢ＝(３/２)×２７＝８１/２＝４０．５ｃｍ^2
よって、答えは、４０．５ｃｍ^2

念のため、２７×３などはちまちま計算しないで、(３×３×３)×３＝９×９＝８１などと計算する。もっとも、２７×３＝８１ぐらいは自然に覚えてしまっていると思うが。

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2948486202558676154

解法３
正方形Ｐの右上の頂点をＳ，右下の頂点をＡとすると、ＰＳとＱＲは平行である。
ここで、Ｑから３つの正方形に共通の直線に垂線を下ろし、その延長とＰＳの延長との交点をＴとすると、△ＰＱＴは直角二等辺三角形になり、△ＰＡＳと△ＰＱＴは相似である。
ところで、ＰＡ：ＱＡ＝１２：６＝２：１より、△ＰＡＳと△ＰＱＴの相似比は２：３である。よって、ＱＴ＝(３/２)×１２＝１８ｃｍ
よって、△ＴＱＲ＝１８×(３＋３/２)÷２＝１８×(９/２)÷２＝８１/２ｃｍ^2
よって、等積変形より、△ＰＱＲ＝△ＴＱＲ＝８１/２＝４０．５ｃｍ^2
よって、答えは、４０．５ｃｍ^2

一応、暗算で解きました。解法としてはこれが一番エレガントっぽいですが、３＋３/２の所がどうでしょうか。人の好みによりますね。
今、解法４を思い付きました。ただし、暗算では解けそうもありません。

おまけ：

https://article.yahoo.co.jp/detail/6093013a3cf8f9f74d010e02f873162ba7c4241d

解法４
点Ｑを通る水平な直線を引き、Ｐ，Ｒから垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとし、ＰＨ，ＲＩと３つの正方形に共通な直線との交点をそれぞれＡ，Ｂとすると、△ＰＨＱと△ＲＩＱはそれぞれ直角二等辺三角形となり、ＰＨ＝ＨＱ＝６＋３＝９ｃｍ，ＲＩ＝ＩＱ＝３/２＋３＝９/２ｃｍ
よって、ＩＱ：ＱＨ＝９/２：９＝１：２　また、ＡＢ＝ＨＩ＝９＋９/２＝２７/２ｃｍ
ここで、ＱからＰＨ（ＲＩ）と平行な直線を引き、ＰＲとの交点をＪとし、台形内の線分の長さの公式https://sanjutsu.com/sansuukouza/daikei-heikousen/を使うと、
ＪＱ＝{１×９＋２×(９/２)}/(１＋２)＝１８/３＝６ｃｍ
（公式を使わない場合は、ＲからＰＨに垂線を下ろし相似を利用すれば良いが省略。）
よって、△ＰＱＲ＝ＡＢ×ＪＱ÷２＝(２７/２)×６÷２＝８１/２＝４０．５ｃｍ^2
よって、答えは、４０．５ｃｍ^2

おまけ：

https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1580914506070257664

解法５
正方形Ｑの左上の頂点をＡ，右上の頂点をＢとすると、△ＱＡＢ＝６×６÷４＝９ｃｍ^2
また、ＱＡ：ＰＡ＝６：１２＝１：２，ＱＢ：ＲＢ＝６：３＝２：１
よって、ＱＡ：ＱＰ＝１：３，ＱＢ：ＱＲ＝２：３
よって、１つの角を共有した三角形の面積比の公式https://www.manabino-academy.com/1%E8%A7%92%E5%85%B1%E6%9C%89%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E6%AF%94/の変形より、
△ＱＰＲ＝(３/１)×(３/２)×△ＱＡＢ＝(９/２)×９＝８１/２＝４０．５ｃｍ^2
よって、答えは、４０．５ｃｍ^2
アイデア引用元：（コメント欄）

因みに、慣れていない人は、△ＱＡＢ：△ＱＰＲ＝ＱＡ ×ＱＢ：ＱＰ×ＱＲ＝１×２：３×３＝２：９
よって、△ＱＰＲ×２＝△ＱＡＢ×９
よって、△ＱＰＲ＝(９/２)×△ＱＡＢ＝(９/２)×９＝８１/２＝４０．５ｃｍ^2と求めた方が良いかもしれない。

おまけ：

（１）の解説
＞（１）加法群ℤ12の部分集合Ｓによって生成された部分群を調べてみよう。
＜|１，|２＞＝ℤ12＝＜|１＞　

定理3.５を見て、

定理3.5
Ｇを群として、Ｓをその空でない部分集合とする。このとき、
＜Ｓ＞＝{ａi1^e1・ａi2^e2…ａin^en｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｅi∈ℤ，ｎ∈ℕ}

＜|１，|２＞＝(|１)^e1・(|２)^e2だが、加法群より演算は加法なので、
＜|１，|２＞＝ｅ1・|１+ｅ2・|２
|１と|２が互いに素だから、＝＜|１＞となる。（厳密には互いに素というより共通因数が|１だから。）
一応、具体的に解説すると、
ｅ1＝０，ｅ2＝０とすると、|０
ｅ1＝－１，ｅ2＝１とすると、－|１＋|２＝ |１
ｅ1＝０，ｅ2＝１とすると、|２
ｅ1＝ １，ｅ2＝１とすると、|１＋|２＝|３
以後、同様に出来るので、
＜|１，|２＞＝＜|１＞＝ℤ12

＜|２，|４＞＝{|０，|２，|４，|６，|８，|１０}＝＜|２＞
＜|３，|６＞＝{|０，|３，|６，|９}＝＜|３＞

＜共通因数（最大公約数）＞となるのは上の解説から分かるだろう。

因みに、

問題3.9
群Ｇの部分集合をＳとするとき次を示せ。
＜Ｓ＞＝{ａi1^±1・ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}

で＜|１，|２＞を考えると、加法群より演算は加法なので、
＜|１，|２＞＝±|１±|２の４通りなので、＜|１，|２＞＝＜|１＞＝ℤ12とはならない。一応、具体的に求めると、
|１＋|２＝|３
－|１＋|２＝|１
|１－|２＝－|１＝|１１
－|１－|２＝－|３＝|９

やはり、問題3.9は間違っているだろう。念のため、「群・環・体 入門」共立出版だけの話ではない。これは代数学的常識である。もっとも、この上に積み重なるような話ではないので、１＋２＋３＋…＝－１/１２のように問題ないだろう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6

おまけ：

（２）の解説
＞（２）４次の２面体群Ｄ4の部分集合Ｓによって生成された部分群を調べてみよう。
＜ｒ1，ｒ3＞＝＜ｒ1＞
＜ｒ2，ｓ1＞＝{ｒ0，ｒ2，ｓ1，ｓ2}
＜ｓ1，ｔ1＞＝Ｄ4

＜ｓ1，ｔ1＞＝Ｄ4を調べてみよう。

D4の群表
・　ｒ0 ｒ1 ｒ2 ｒ3 ｓ1 ｓ2 ｔ1 ｔ2
ｒ0 ｒ0 ｒ1 ｒ2 ｒ3 ｓ1 ｓ2 ｔ1 ｔ2
ｒ1 ｒ1 ｒ2 ｒ3 ｒ0 ｔ2 ｔ1 ｓ1 ｓ2
ｒ2 ｒ2 ｒ3 ｒ0 ｒ1 ｓ2 ｓ1 ｔ2 ｔ1
ｒ3 ｒ3 ｒ0 ｒ1 ｒ2 ｔ1 ｔ2 ｓ2 ｓ1
ｓ1 ｓ1 ｔ1 ｓ2 ｔ2 ｒ0 ｒ2 ｒ1 ｒ3
ｓ2 ｓ2 ｔ2 ｓ1 ｔ1 ｒ2 ｒ0 ｒ3 ｒ1
ｔ1 ｔ1 ｓ2 ｔ2 ｓ1 ｒ3 ｒ1 ｒ0 ｒ2
ｔ2 ｔ2 ｓ1 ｔ1 ｓ2 ｒ1 ｒ3 ｒ2 ｒ0

ｓ1，ｓ1^2＝ｒ0，ｓ1^3＝ｓ1，ｓ1^4＝ｒ0，…
ｔ1，ｔ1^2＝ｒ0，ｔ1^3＝ｔ1，ｔ1^4＝ｒ0，…
∴ｓ1^e1・ｔ1^e2＝ｓ1・ｔ1，ｓ1・ｒ0，ｒ0・ｔ1，ｒ0・ｒ0＝ｒ1，ｓ1，ｔ1，ｒ0
∴＜ｓ1，ｔ1＞＝{ｒ0，ｒ1，ｓ1，ｔ1}
よって、＜ｓ1，ｔ1＞≠Ｄ4である。
因みに、＜ｒ1，ｔ1＞を調べてみると、
ｒ1，ｒ1^2＝ｒ2，ｒ1^3＝ｒ3，ｒ1^4＝ｒ0，…
∴ｒ1^e1・ｔ1^e2＝ｒ1・ｔ1，ｒ1・ｒ0，ｒ2・ｔ1，ｒ2・ｒ0，ｒ3・ｔ1，ｒ3・ｒ0，ｒ0・ｔ1，r０・ｒ0
＝ｓ1，ｒ1，ｔ2，ｒ2，ｓ2，ｒ3，ｔ1，ｒ0
∴＜ｒ1，ｔ1＞＝{ｒ0，ｒ1，ｒ2，ｒ3，ｓ1，ｓ2，ｔ1，ｔ2}＝Ｄ4
よって、＜ｒ1，ｔ1＞の誤記だろう。因みに、正解はこれ１つではないが、省略。

おまけ：

算数の解法
Ｐから各辺と平行な直線を引く。
まず、ＡＣと平行な直線とＡＢ，ＢＣとの交点をそれぞれＧ，Ｈとし、次にＡＢと平行な直線とＡＣ，ＢＣとの交点をそれぞれＩ，Ｊとし、最後にＢＣと平行な直線とＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＫ，Ｌとすると、△ＧＫＰ，△ＰＪＨ，△ＩＰＬは正三角形となり、四角形ＡＧＰＩ，四角形ＫＢＪＰ，四角形ＰＨＣＬは平行四辺形になる。
ここで、ＡＦ＝７ｃｍをＡＧ＋ＧＦに分解すると、ＡＧ＝ＩＰ＝ＰＬ＝ＨＣ
また、ＧＦ＝ＰＧ/２＝ＫＰ/２＝ＢＪ/２
よって、ＨＣ＋ＢＪ/２＝７ｃｍ―――①
また、ＥＣ＝１０ｃｍもＥＬ＋ＬＣに分解すると、ＥＬ＝ＰＬ/２＝ＨＣ/２
また、ＬＣ＝ＰＨ＝ＪＨ
よって、ＨＣ/２＋ＪＨ＝１０ｃｍ―――②
また、ＢＤ＝８ｃｍ―――③
①＋③より、ＢＤ＋ＨＣ＋ＢＪ/２＝１５ｃｍ
また、これに②を加えると、
ＢＤ＋ＨＣ＋ＪＨ＋ＨＣ/２＋ＢＪ/２＝２５ｃｍ
つまり、ＢＣ＋ＪＤ＋ＨＣ/２＋ＢＪ/２＝２５ｃｍより、ＢＣ＋ＪＨ/２＋ＨＣ/２＋ＢＪ/２＝２５ｃｍ
よって、ＢＣ＋ＢＣ/２＝２５ｃｍ
よって、３ＢＣ/２＝２５ｃｍ　
よって、ＢＣ＝５０/３ｃｍ
よって、答えは、５０/３ｃｍ

因みに、私は頭の中でダブり部分を考えたので一発で分かりましたが、この式からは分かり難いと思います。そこで、模範解答を挙げておきますね。
https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2018-nyushimondai/9062/

おまけ：

邪道解
正三角形の１辺の長さをａとして、ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると、
△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡより、ａ×ＡＨ×(１/２)＝ａ×ＰＦ×(１/２)＋ａ×ＰＤ×(１/２)＋ａ×ＰＥ×(１/２)が成り立つ。
この両辺をａ×(１/２)で割ると、ＡＨ＝ＰＦ＋ＰＤ＋ＰＥ
ところで、正三角形は一定よりＡＨも一定。つまり、ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦの長さは点Ｐの位置に関わらず一定である。
ここから、ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥの長さも一定であると推定出来る。すると、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡも一定より、ＡＥ＋ＢＦ＋ＣＤも一定で対称性より、ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ＋ＢＦ＋ＣＤと考えられる。
∴７＋８＋１０＝ａ－１０＋ａ－７＋ａ－８
∴３ａ＝(７＋８＋１０)×２＝５０
∴ａ＝５０/３　よって、答えは、５０/３ｃｍ

また、「ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥの長さも一定であると推定出来る」から、点Ｐの位置を点Ａに持ってくると、ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＣ＋ＢＨとなり、３/２×正三角形の１辺の長さ＝７＋８＋１０＝２５
よって、正三角形の１辺の長さ＝５０/３ｃｍと求めても良い。
念のため、解答だけ求める邪道解である。

おまけ：

https://instagrammernews.com/detail/2945149179577108305

何でもありの解法
ＥからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＥＨＣは１：２：√３の直角三角形より、ＨＣ＝５ｃｍ
よって、あとはＤＨの長さを求めれば良い。そこで、ＡＦ＝７ｃｍを利用するとためにＦからＢＣと平行な直線を引き、そこにＡから垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＡＦＩも１：２：√３の直角三角形より、ＡＩ＝７√３/２ｃｍ　また、ＰからＢＣと平行な直線を引き、ＥＨとの交点をＪとすると、△ＥＰＪも１：２：√３の直角三角形になる。
ここで、ＰＤ＝ｘと置くと、ＥＪ＝５√３－ｘ　∴ＰＪ＝√３(５√３－ｘ)　∴ＢＣ＝８＋√３(５√３－ｘ)＋５＝２８－√３ｘ
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＫとすると、ＡＫ＝√３ＢＣ/２＝√３(２８－√３ｘ)/２＝１４√３－３ｘ/２―――①
また、ＰＥ＝２ＥＪ＝２(５√３－ｘ)―――②
さらに、ＦからＢＣと平行な直線を引き、ＤＰの延長との交点をＬとすると、△ＰＦＬも１：２：√３の直角三角形で、ＰＬ＝ＡＫ－ＡＩ－ＰＤ＝(１４√３－３ｘ/２)－７√３/２－ｘ＝２１√３/２－４ｘ/２
∴ＰＦ＝２(２１√３/２－５ｘ/２)＝２１√３－５ｘ―――③
ところで、邪道解と同じ方法より、ＡＫ＝ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦ―――☆
☆に①，②，③とＰＤ＝ｘを代入すると、
１４√３－３ｘ/２＝ｘ＋２(５√３－ｘ)＋２１√３－５ｘ
∴１４√３－３ｘ/２＝３１√３－６ｘ
∴９ｘ/２＝１７√３　∴ｘ＝３４√３/９
これをＢＣ＝２８－√３ｘに代入すると、ＢＣ＝２８－３４/３＝５０/３ｃｍ
よって、答えは、５０/３ｃｍ

おまけ：

https://news.mynavi.jp/article/20200209-970041/

解答
普通の大人は、累乗の意味なんかとっくの昔に忘れてしまって、問題の意味自体が分からないと思う。
そこで、この問題の意味は、９を２０１８回掛け合わせた数の一の位の数字を求めよという意味である。
普通の人は、ここで無理だよと諦めてしまうかもしれないが、試しに９×９＝８１，９×９×９＝７２９，９×９×９×９＝６５６１（電卓使用），・・・・
何か、（一の位は）１と９しか現れないぞと気付けばもう正解である。要は、個数が偶数の場合は１で、奇数個の場合は９になる。
手計算で計算すれば理由が分かるだろう。桁上がりしようがしまいが、一の位は特別なので、一の位だけ計算すれば良い。
例えば、７の１０乗の一の位は、７，７×７＝４９，７×７×７＝□３，７×７×７×７＝□１，７×７×７×７×７＝□７,・・・・
つまり、一の位は、７，９，３，１を繰り返すだけである。よって、７の１０乗の一の位は、９である。（数えても良いが、周期で考えると、１０÷４＝２・・・２で２番目だから９）

ところで、問題は２０１８乗で偶数なので、答えは、１

おまけ：

https://article.yahoo.co.jp/detail/a69adea95d8b26cb79e31f807c3f81283d6f0246

一応、何桁の数になるかの解答
ｘ＝９^2018＝３^4036と置いて、両辺の常用対数を取ると、
logｘ＝log３^4036＝４０３６log３
ここで、電卓でlog３=0.4771212より、
logｘ＝４０３６×0.4771212＝１９２５．６６１４
∴１９２５＜logｘ＜１９２６
∴１０^1925＜ｘ＜１０^1926
よって、ｘは１９２６桁の数である。

因みに、コインを６０回投げてちょうど表が３０回出る確率は、
60Ｃ30(０．５)^30(０．５)^30で、普通はとても計算できないが、統計の正規分布表の値を利用すれば簡単に求められる。ただし、近似値だが。
因みに、その計算では、０．１０３４で、上の式を実際に計算すると、０．１０２６らしい。

おまけ：

解答
一番上の頂角は正三角形の１つ角より６０°
ここで、一番上の小さい三角形を反時計回りにＡＢＣとすると、対頂角より∠ＡＣＢ＝５４°
よって、△ＡＢＣの内角の和より、∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°－５４°＝６６°
ところで、∠アの隣りの点線の所の角も折り返しより∠アである。
よって、∠ア＋∠ア＋６６°＝１８０°（直線だから１８０°）が成り立つ。
よって、∠ア×２＝１８０°－６６°＝１１４°（移項ではなく図形的に考える。）
よって、∠ア＝１１４°÷２＝５７°
よって、答えは、５７°

おまけ：https://abema.tv/video/episode/89-93_s10_p17050?utm_medium=web&utm_source=abematimes&utm_campaign=times_yahoo

https://woman.excite.co.jp/article/lifestyle/rid_Jisin_1979266/