数学

算数の解法
△ＢＣＤを長方形ＡＢＣＤの外側にＢＣがＤＡにくっつくように裏返して移動させ、点Ｄの行き先をＤ'とすると、ＡＥ＋ＣＤ＝ＤＥより、ＥＤ'＝ＥＤとなる。
よって、△ＥＤ'Ｄは二等辺三角形で、
∠ＥＤ'Ｄ＝∠ＡＤ'Ｄ＝∠ＣＤＢ＝９０°－３９°＝５１°
よって、∠ＥＤＤ'＝∠ＥＤ'Ｄ＝５１°
また、∠Ｄ'ＤＡ＝∠ＤＢＣ＝３９°より、
∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＤ'－∠Ｄ'ＤＡ＝５１°－３９°＝１２°よって、答えは、１２°　

おまけ：

https://books.rakuten.co.jp/rb/6094783/（今日は私の友人の命日。）

何でもありの解法
ＡＥ＝ｘ，ＣＤ＝ｙ，ＤＥ＝ｚと置くと、条件より、ｘ＋ｙ＝ｚ―――①
また、△ＡＥＤで三平方の定理を使うと、
ＡＤ＝√(ｚ^2－ｘ^2)
よって、∠ＡＤＥ＝θと置くと、錯角より∠ＡＤＢ＝３９°なので、
tanθ＝ｘ/√(ｚ^2－ｘ^2)―――②
tan39°＝ｙ/√(ｚ^2－ｘ^2)―――③
また、tanの加法定理より、
tan(θ＋39°)＝(tanθ＋tan39°)/(１－tanθtan39°)―――☆
☆に②，③を代入すると、
tan(θ＋39°)＝{ｘ/√(ｚ^2－ｘ^2)＋ｙ/√(ｚ^2－ｘ^2)}/[１－{ｘ/√(ｚ^2－ｘ^2)}{ｙ/√(ｚ^2－ｘ^2)}]
＝{(ｘ＋ｙ)/√(ｚ^2－ｘ^2)}/{１－ｘｙ/(ｚ^2－ｘ^2)}
＝{(ｘ＋ｙ)/√(ｚ^2－ｘ^2)}/{(ｚ^2－ｘ^2－ｘｙ)/(ｚ^2－ｘ^2)}
＝{(ｘ＋ｙ)√(ｚ^2－ｘ^2)}/(ｚ^2－ｘ^2－ｘｙ)
＝{(ｘ＋ｙ)√(ｚ^2－ｘ^2)}/{ｚ^2－ｘ(ｘ＋ｙ)}
これに①を代入すると、
＝{ｚ√(ｚ^2－ｘ^2)}/(ｚ^2－ｘｚ)
＝√(ｚ^2－ｘ^2)}/(ｚ－ｘ)
＝ＡＤ/ｙ＝ＢＣ/ＣＤ
∴tan(θ＋39°)＝ＢＣ/ＣＤ＝tan51°
∴θ＋３９°＝５１°（厳密性は省略。）
∴θ＝１２°
よって、∠ＡＤＥ＝１２°
因みに、Arctanを使ってもほとんど同じ。

おまけ：

https://nantokanarusa2018.com/morichiharucaster/

解説
＞（ⅱ）ｎ＜０のとき、ｎ＝－ｎ'（ｎ'＞０）とおく。はじめに、問1.2によってａｂ^-1＝ｂ^-1ａが成り立っていることに注意しよう。
ａｂ^n＝ａｂ^-n'
　　　＝ａ(ｂ^-1)^n'（指数の定義）
　　　＝(ｂ^-1)^n'ａ（ａｂ^-1=ｂ^-1ａだから、（ⅰ）の結果より）
　　　＝ｂ^nａ（指数の定義）

問1.2によって、
ａｂ＝ｂａ⇒ａｂ^-1＝ｂ^-1ａ―――①
ところで、（ⅰ）によってｎ＞０の時は、
ａｂ＝ｂａ⇒ａｂ^n＝ｂ^nａ―――②が証明されている。
よって、ｎ＞０の時、①，②より、
ａｂ＝ｂａ⇒ａ(ｂ^-1)^n＝(ｂ^-1)^nａが成り立つ。そして、ｎ'＞０より、
「ａ(ｂ^-1)^n'（指数の定義）
　　　＝(ｂ^-1)^n'ａ
　　　＝ｂ^nａ」
が成り立つという訳である。
また、(ｂ^-1)^n'ａ＝(ｂ^-n')ａ＝ｂ^nａ

＞（２）ａｂ＝ｂａとすると、（１）よりａｂ^n＝ｂ^nａ　すると、再び（１）を用いてａ^mｂ^n＝ｂ^nａ^mが得られる。

（１）より、ａｂ＝ｂａ⇒ａｂ^n＝ｂ^nａ　この右側の右辺と左辺を入れ換えると、
ａｂ＝ｂａ⇒ｂ^nａ＝ａｂ^n　この右側に（１）を再び適用すると、
ａｂ＝ｂａ⇒ｂ^nａ＝ａｂ^n
⇒ｂ^na^m＝ａ^mｂ^n　
この一番右の右辺と左辺を入れ換えると、
ａｂ＝ｂａ⇒ａ^mｂ^n＝ｂ^na^m

おまけ：

何でもありの解法１
△ＢＧＦ＝△ＥＨＦ　この両辺に四角形ＡＧＦＨを加えると、△ＡＢＨ＝△ＡＥＧ
ところで、△ＡＢＨと△ＡＥＧは∠Ａを共有しているので、１つの角を共有した三角形の面積比の公式より、ＡＢ・ＡＨ＝ＡＧ・ＡＥが成り立つ。∴ＡＧ：ＡＢ＝ＡＨ：ＡＥ　よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＡＧＨ∽△ＡＢＥ
また、△ＥＨＦ＝△ＥＤＣ　この両辺に四角形ＦＢＣＥを加えると、△ＨＢＣ＝△ＦＢＤ　ところで、△ＨＢＣと△ＦＢＤは∠Ｂを共有しているので、１つの角を共有した三角形の面積比の公式より、ＢＨ・ＢＣ＝ＢＦ・ＢＤが成り立つ。∴ＢＦ：ＢＨ＝ＢＣ：ＢＤ　よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＢＦＣ∽△ＢＨＤで、相似比は３：５　また、ＦＣ//ＨＤより、△ＥＦＣ∽△ＥＤＨで相似比は３：５　∴ＣＥ：ＨＥ＝３：５―――①　また、ＢＦ：ＦＨ＝ＢＣ：ＣＤ＝３：２　また、ＧＨ//ＢＥより△ＦＨＧ∽△ＦＢＥで相似比２：３となる。∴ＧＨ：ＢＥ＝２：３　よって、△ＡＧＨと△ＡＢＥの相似比も２：３　∴ＡＨ：ＨＥ＝２：１―――②　①，②より、ＡＨ：ＨＥ：ＣＥ＝１０：５：３　∴△ＢＣＥ＝(３/１８)△ＢＡＣ＝(１/６)×７２＝１２ｃｍ^2
また、△ＢＣＥ：△ＤＣＥ＝３：２より、△ＤＣＥ＝(２/３)×１２＝８ｃｍ^2
∴△ＢＦＧ＝△ＤＣＥ＝８ｃｍ^2
よって、答えは、８ｃｍ^2

暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。因みに、途中でメネラウスの定理を使って解いて、後に不要だと気付いて書き直したりしています。（線分をイメージし続けながら発見をするのは難しいですね。因みに、メネラウスの定理は、△ＤＢＦと直線ＣＨでＢＦ：ＦＨを求める所です。（不要））

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2938381162149840830

何でもありの解法２
△ＢＧＦ＝△ＥＨＦで、対頂角より∠ＢＦＧ＝∠ＨＦＥより、１つの角が等しい三角形の面積比の公式を使うと、ＦＢ・ＦＧ＝ＦＥ・ＦＨが成り立つ。∴ＦＢ：ＦＥ＝ＦＨ：ＦＧ　よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＦＢＥ∽△ＦＨＧ　よって、錯角が等しいので、ＧＨ//ＢＥ　∴△ＡＧＨ∽△ＡＢＥ
また、△ＥＨＦ＝△ＥＤＣで、対頂角より∠ＦＥＨ＝∠ＤＥＣより、１つの角が等しい三角形の面積比の公式を使うと、ＥＦ・ＥＨ＝ＥＣ・ＥＤ　∴ＥＦ：ＥＣ＝ＥＤ：ＥＨ　よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＥＦＣ∽△ＥＤＨ　よって、錯角が等しいので、ＦＣ//ＨＤ　∴△ＢＦＣ∽△ＢＨＤ

以後、解法１と同じ。一応、算数の解答はこちら。https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2014-nyushimondai/2625/

おまけ：

解答
|ｘ＋１|≧０より、ｘ≦－１，ｘ≧－１で場合分けする。
また、|ｘ－１|≧０より、ｘ≦１，ｘ≧１で場合分けする。
また、|ｘ|≧０より、ｘ≦０，ｘ≧０で場合分けする。
つまり、ｘ≦－１，－１≦ｘ≦０，０≦ｘ≦１，ｘ≧１で場合分けすると、
（ⅰ）ｘ≦－１の場合、ｘ＋１≦０，ｘ≦０，ｘ－１≦０より、
与式の左辺＝|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝－(ｘ＋１)－(ｘ－１)＝－ｘ－１－ｘ＋１＝－２ｘ
与式の右辺＝１＋|ｘ|＋||ｘ|－１|＝１－ｘ＋|－ｘ－１|＝１－ｘ＋|ｘ＋１|＝１－ｘ－(ｘ＋１)＝１－ｘ－ｘ－１＝－２ｘ
よって、左辺＝右辺
（ⅱ）－１≦ｘ≦０の場合、ｘ＋１≧０，ｘ≦０，ｘ－１≦０より、
与式の左辺＝|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝ｘ＋１－(ｘ－１)＝ｘ＋１－ｘ＋１＝２
与式の右辺＝１＋|ｘ|＋||ｘ|－１|＝１－ｘ＋|－ｘ－１|＝１－ｘ＋|ｘ＋１|＝１－ｘ＋ｘ＋１＝２
よって、左辺＝右辺
（ⅲ）０≦ｘ≦１の場合、ｘ≧０，ｘ＋１≧０，ｘ－１≦０より、
与式の左辺＝|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝ｘ＋１－(ｘ－１)＝ｘ＋１－ｘ＋１＝２
与式の右辺＝１＋|ｘ|＋||ｘ|－１|＝１＋ｘ＋|ｘ－１|＝１＋ｘ－(ｘ－１)＝１＋ｘ－ｘ＋１＝２
よって、左辺＝右辺
（ⅳ）ｘ≧１の場合、ｘ－１≧０，ｘ≧０，ｘ＋１≧０より、
与式の左辺＝|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝ｘ＋１＋(ｘ－１)＝ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ
与式の右辺＝１＋|ｘ|＋||ｘ|－１|＝１＋ｘ＋|ｘ－１|＝１＋ｘ＋(ｘ－１)＝１＋ｘ＋ｘ－１＝２ｘ
よって、左辺＝右辺
よって、（ⅰ）～（ⅳ）より、任意の実数ｘに対して、
|ｘ＋１|＋|ｘ－１|＝１＋|ｘ|＋||ｘ|－１|
が成り立つ。

おまけ：

解法１
Ａ地点とＢ地点の距離を１２ｋｍとすると、行きは１２÷４＝３時間で、帰りは１２÷６＝２時間より、往復で５時間である。
また、往復の距離は１２×２＝２４ｋｍより、平均時速は、２４÷５＝４．８ｋｍ
よって、答えは、時速４．８ｋｍ

解法２
行きの方が時速が遅いのでかかる時間は大である。そして、行きと帰りのかかる時間の比は時速の逆比で６：４＝３：２である。
よって、天秤的に考えると、平均時速は、４×(３/５)＋６×(２/５)＝１２/５＋１２/５＝２４/５＝４．８ｋｍ
よって、答えは、時速４．８ｋｍ

因みに、解法２は今回適当に作ったオリジナルです。天秤的とは、時速４ｋｍの方が全体の３/５の時間を占めていて、時速６ｋｍの方が全体の２/５の時間を占めているので、時速４ｋｍと時速６ｋｍの引っ張り合いで平均を出すような考え方である。（時速４ｋｍの方により引っ張られているので単純平均の５ｋｍより小さいという事。）

おまけ：

解説
定理2.1（部分群の判定定理）の方の部分集合Ｈは有限とは書いていないが、定理2.3の方のHは有限部分集合と書いてある。つまり、有限の場合は閉じている事を示すだけで良い。一応、別証を挙げておこう。

定理2.3
群Ｇの空でない有限部分集合をＨとする。Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じていることである。

証明
あるＨの元ａに対し、ａ^2，ａ^3，…を考えると、条件よりＨは演算について閉じているので、全てＨの元である。そして、これらが全て異なるとするとHは無限集合になってしまうので、ある自然数ｋ，ｍ（ｋ＞ｍ）が存在してａ^k＝ａ^mとなっている。この両辺をａ^mで割ると、ａ^(k-m)＝ｅ　
ここで、ｋ－ｍ＝ｎと置くと、ａ^n＝ｅ（ｎは自然数）
よって、集合Ｈには単位元が存在する。
また、ａ^(n-1)・ａ＝ａ・ａ^(n-1)＝ｅとすると、ａ^(n-1)がａの逆元である。
ところで、ａ^(n-1)∈Ｈで、ある元ａは任意に選んだので、集合Ｈには任意の元に対する逆元が存在する。
また、Ｈは群Ｇの部分集合なので結合律も成り立つ。よって、Ｈは群となる。
以上より、Ｈが部分群になるための必要十分条件は、Ｇの演算に関してＨが閉じている事である。

念のため、私のオリジナルではありません。また、素人用にちょっと改造したのであまり厳密ではありませんし、逆に読み難いかもしれません。

おまけ：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A3%AF%E8%B2%9D%E5%88%9D%E5%A5%88

問題１の解答
問題
A，B，C，Dは4つの数0 ，1 ，2 ，3のいずれかを1つずつ表しています。
B十C＝1，　　A×C×D＝0，　D－B＝2　のとき，A，Dの数はそれぞれいくつですか。
(横浜女学院中)　

解答
A×C×D＝0と「A，B，C，Dは4つの数0 ，1 ，2 ，3のいずれか」より、Ａ，Ｃ，Ｄのどれか１つは０。―――①
次に、B十C＝1と「A，B，C，Dは4つの数0 ，1 ，2 ，3のいずれか」より、ＢとＣは０と１の組み合わせである。―――②
①，②より、Ｃが０である。よって、Ｂ＝１
これとD－B＝2より、Ｄ＝３である。
よって、ここまでで、Ｂ＝１，Ｃ＝０，Ｄ＝３
よって、残りは２だけなので、Ａ＝２
よって、答えは、
Ａ＝２，Ｂ＝１，Ｃ＝０，Ｄ＝３

簡単過ぎて面白くありませんが、数学嫌いの人でも論理的に考えられれば推理ゲームみたいな問題ですね。自称地頭が良い人なら解けないと恥ずかしいですよ。

おまけ：

問題２の解法１　思い付いた順
正六角形中心をＯとすると、△ＯＡＢなどは全て合同な正三角形になる。
よって、∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ＝６０°×２＝１２０°より、∠ＧＦＥ＝∠ＧＥＦ＝１８０°－１２０°＝６０°
よって、△ＧＦＥは底角が６０°の二等辺三角形より正三角形である。よって、先の正三角形とＥＦを共有しているので合同である。
また、ＡＢとＤＧは平行（ＢＣ，ＤＧ，ＡＧを延長して大きな正三角形を作れば自明）でＡＢ＝ＧＥより、四角形ＡＢＧＥは平行四辺形である。そして、△ＯＡＢ，△ＯＦＡ，△ＯＥＦ，△ＧＦＥより正三角形４個分である。よって、面積は、４８÷６×４＝３２ｃｍ^2
ところで、平行四辺形は対角線で合同な２つの三角形に分けられるので、斜線分の面積は、３２÷２＝１６ｃｍ^2
よって、答えは、１６ｃｍ^2

おまけ：

解法２　多分、模範解答
正六角形の対称性より、ＡＢとＦＣとＥＤは平行。つまり、ＡＢとＧＤは平行。よって、等積変形より、△ＧＡＢ＝△ＤＡＢ
よって、△ＤＡＢの面積を求めれば良い。ところで、正六角形の中心をＯとすると、ＯはＡＤの真ん中の点。よって、△ＢＡＯの面積と△ＢＤＯの面積は等しく、△ＢＡＯは正六角形の１/６の面積なので、４８÷６＝８ｃｍ^2　よって、△ＤＡＢの面積はこの２倍で１６ｃｍ^2　よって、△ＧＡＢ＝１６ｃｍ^2　よって、答えは、１６ｃｍ^2

おまけ：

解法１　思い付いた順
ＡＤの延長上にＥＤ＝ＡＤとなる点Ｅを取り、ＢＥ，ＣＥを結ぶと、四角形ＡＢＥＣの対角線ＡＥとＢＣは互いの真ん中の点で交わっているので、定理により四角形ＡＢＥＣは平行四辺形になる。
ここで、ＡＢを１辺とした頂点ＦがＡＢに関して点Ｅと同じ側にある正三角形ＦＡＢを描くと、∠ＢＡＥ＝３０°よりＡＥは正三角形ＡＢＦの頂角の二等分線である。
よって、対称性よりＥＢ＝ＥＦ　また、平行四辺形よりＥＢ＝ＣＡ　よって、ＥＦ＝ＣＡ―――①
また、正三角形よりＡＢ＝ＡＦ，平行四辺形よりＡＢ＝ＣＥ　よって、ＡＦ＝ＣＥ―――②
また、ＡＥは共通―――③　①，②，③より、三辺相等で△ＦＡＥと△ＣＥＡは合同。よって、ＡＥを底辺とした高さをそれぞれ考えると、ＡＥとＦＣは平行である。ところで、∠ＥＡＦ＝６０°－３０°＝３０°で、錯角が等しいので、∠ＡＦＣ＝３０°また、∠ＢＦＡ＝６０°より、∠ＢＦＣ＝６０°＋３０°＝９０°
また、∠ＦＢＣ＝６０°－１５°＝４５°より、△ＦＢＣは直角二等辺三角形。よって、ＦＢ＝ＦＣ　また、正三角形よりＦＢ＝ＦＡ　よって、ＦＡ＝ＦＣ　よって、△ＦＡＣは頂角が３０°の二等辺三角形である。よって、∠ＦＣＡ＝(１８０°－３０°)÷２＝７５°また、∠ＦＣＢ＝４５°より、∠ＡＣＢ＝７５°－４５°＝３０°よって、∠Ｃ＝３０°
よって、答えは、３０°

因みに、解法１は完全オリジナルで解法１も解法２も何も見ないで作りましたが、マニアな人は検索すれば解法２は作れると思います。ただし、私は検索していないので検索で解法を発見出来るかどうかは知りませんが。念のため、改題自体も私のオリジナル問題なので、検索には工夫が必要ですね。

おまけ：

改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201806100000/

図の∠Ｃが分かっていない状態で、∠ＢＡＤ＝３０°とする。このとき、∠Ｃの大きさを求めて下さい。ただし、算数縛りです。

解法２
ＡＤの延長上にＥＤ＝ＡＤとなる点Ｅを取り、ＢＥ，ＣＥを結ぶと、四角形ＡＢＥＣの対角線ＡＥとＢＣは互いの真ん中の点で交わっているので、定理により四角形ＡＢＥＣは平行四辺形になる。
ここで、ＡからＥＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＨＡＥは直角三角形で点Ｄは斜辺ＡＥの真ん中の点より、長方形を斜め半分に切った形を考えると、ＤＡ＝ＤＨ＝ＤＥである。また、ＡＢとＣＥは平行より錯角で∠ＡＥＣ＝∠ＥＡＢ＝３０°である。よって、∠ＥＡＨ＝９０°－３０°＝６０°よって、△ＤＡＨは１つの角が６０°の二等辺三角形より正三角形である。
よって、ＨＡ＝ＨＤ―――①
ところで、△ＤＢＡの内対角の和より、∠ＡＤＣ＝１５°＋３０°＝４５°また、△ＤＡＨは正三角形より∠ＡＤＨ＝６０°よって、∠ＨＤＣ＝６０°－４５°＝１５°
また、ＡＢとＣＥが平行より錯角で、
∠ＨＣＤ＝∠ＥＣＢ＝∠ＡＢＣ＝１５°よって、∠ＨＤＣ＝∠ＨＣＤより、△ＨＤＣは二等辺三角形。よって、ＨＣ＝ＨＤ―――②
①，②より、ＨＡ＝ＨＣ　よって、△ＨＡＣは直角二等辺三角形である。よって、∠ＨＣＡ＝４５°また、∠ＨＣＤ＝１５°より、∠ＡＣＢ＝４５°－１５°＝３０°
よって、∠Ｃ＝３０°

因みに、「平行四辺形　難問　１５°３０°」で検索すればすぐ解法サンプルが出ます。ただし、マニアじゃないと見切れなかったでしょう。

おまけ：

https://mobile.twitter.com/sakumamio/status/1571809090950811648（最近、何故かツイッターでたまに見る。３回ぐらいかな。）

問題
集合Ｇと結合律（Ｇ1）を満足している演算◦が与えられている。このとき、次の条件が満足されれば、Ｇは群であることを証明せよ。
（１）∃ｅ∈Ｇ，∀ａ∈Ｇ，ａ◦ｅ＝ａ
（２）∀ａ∈Ｇ，∃ｂ∈Ｇ，ａ◦ｂ＝ｅ

別解
群の公理の結合律（Ｇ1）は満足されているので、（Ｇ2）と（Ｇ3）が成り立つことを示せばよい。
（ⅰ）（Ｇ2）について：Ｇの任意の元をａとする。このとき（１）より、ある元ｅがＧに存在して
ａ◦ｅ＝ａ―――①
が成り立っている。このとき、ｅ◦ａ＝ａであることを示す。
ｅ◦ａに①を代入すると、ｅ◦ａ＝ｅ◦(ａ◦ｅ)＝(ｅ◦ａ)◦ｅ
演算◦が定義されているという事は、ｅ◦ａはＧの元になるという事である。よって、その元をｆとすると、ｅ◦ａ＝ｆと置ける。
∴ｆ＝ｆ◦ｅ　∴ｆ◦ｅ＝ｆ―――②
①，②より、ａ＝ｆである。これをｅ◦ａ＝ｆに代入すると、ｅ◦ａ＝ａ
よって、ａ◦ｅ＝ｅ◦ａ＝ａより、ｅは単位元である。
（ⅱ）（Ｇ3）について：Ｇの任意の元をａとする。このとき（２）より、ある元ｂがＧに存在して
ａ◦ｂ＝ｅ―――⑥
が成り立っている。このとき、ｂ◦ａ＝ｅであることを示す。
今、(ｂ◦ａ)◦ｂを考えると、(ｂ◦ａ)◦ｂ＝ｂ◦(ａ◦ｂ)＝ｂ◦ｅ（⑥より）＝ｅ◦ｂ（（ⅰ）よりｅは単位元だから）
∴(ｂ◦ａ)◦ｂ＝ｅ◦ｂ　∴ｂ◦ａ＝ｅ
よって、ａ◦ｂ＝ｂ◦ａ＝ｅより、ｂは逆元である。
よって、（Ｇ2）と（Ｇ3）が成り立つので、Ｇは群である。

おまけ：

解説
＞ｂとｃのおく場所を交換して、次にｂとｃを入れかえても（ｂ→ｃ，ｃ→ｂ）、群表の表す構造は変わらない。

この意味は、表のｂとｃの位置を入れ換えて、その後ｂ列とｃ列，ｂ行とｃ行を入れ換えても群表の表す構造は変わらないという意味。
これをさらに解説すると、ｂ列とｃ列，ｂ行とｃ行を入れ換えて、その後ｂとｃの位置を入れ換えても同じだという事は自明だろう。そして、ｂ列とｃ列，ｂ行とｃ行を入れ換えるという事は元々そういう図（の配置）にしておけばそうなるという事で初めの図と全く同じである。次に、ｂとｃの位置を入れ換えても群の構造が保たれる事は、各行，各列はｂとｃを入れ換えてもｅ，ａ，ｂ，ｃである事は変わらない事から言える。
もっとも、ｂとｃを入れ換えても群の構造が保たれる事は、表を考えなければ群という集合の中の要素ｂとｃを入れ換えても群の構造が保たれる事は自明だが。
次に同じタイプである事だが、
（Ⅲ）・ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ｅ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ａ ａ ｂ ｃ ｅ
　　　ｂ ｂ ｃ ｅ ａ 　
　　　ｃ ｃ ｅ ａ ｂ
このｂとｃの位置を入れ換えて、その後ｂ列とｃ列，ｂ行とｃ行を入れ換えると、
（Ⅲ）・ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ｅ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ａ ａ ｃ ｅ ｂ
　　　ｂ ｂ ｅ ｃ ａ 　
　　　ｃ ｃ ｂ ａ ｅ
となる。本当は２段階で示した方が良いが省略。また、これは「したがって、？＝ｂか？＝ｃのとき、？＝ｂとして考えれば十分である。
？＝ｂとする。」の「？＝ｃ」とした場合である。（念のため、確認済みである。）
１行と１列はそれぞれ同じである事は自明なので、それらを除いた右下の３×３の所を見ると、上は斜めにｅが３個並ぶが、下にはそんな特徴はない。本当に同じタイプかと疑ってしまうが、各演算を抜き出すと、
（上）
ａ・ａ＝ｂ，ａ・ｂ＝ｃ，ａ・ｃ＝ｅ，ｂ・ａ＝ｃ，ｂ・ｂ＝ｅ，ｂ・ｃ＝ａ，ｃ・ａ＝ｅ，ｃ・ｂ＝ａ，ｃ・ｃ＝ｂ
（下）
ａ・ａ＝ｃ，ａ・ｂ＝ｅ，ａ・ｃ＝ｂ，ｂ・ａ＝ｅ，ｂ・ｂ＝ｃ，ｂ・ｃ＝ａ，ｃ・ａ＝ｂ，ｃ・ｂ＝ａ，ｃ・ｃ＝ｅ

まず、ａ・ａ，ｂ・ｂ，ｃ・ｃを比較すると、（上）は２つがｂになり１つがｅになる。（下）は２つがｃになり１つがｅになる。同じタイプである。
また、ａｂ，ｂｃ，ｃａを比較する（可換になっているのでこれだけで良い）と、（上）はｃ，ａ，ｅになり、（下）はｅ，ａ，ｂになる。同じタイプである。
ただし、これでは証明にならないので、上は「この最後の表（Ⅲ）で、ｂとａを入れかえて（ａ→ｂ，ｂ→ａ）、さらにａとｂのおく場所を交換すると表は（Ⅱ）になる。」ので、下も（Ⅱ）になる事を示す。
（下）・ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ｅ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ａ ａ ｃ ｅ ｂ
　　　ｂ ｂ ｅ ｃ ａ 　
　　　ｃ ｃ ｂ ａ ｅ
このａとｃを入れ換えると、
（下）・ ｅ ｃ ｂ ａ　　
　　　ｅ ｅ ｃ ｂ ａ　　
　　　ｃ ｃ ａ ｅ ｂ
　　　ｂ ｂ ｅ ａ ｃ　
　　　ａ ａ ｂ ｃ ｅ
さらにａ列とｃ列，ａ行とｃ行を入れ換えると
（下）・ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ｅ ｅ ａ ｂ ｃ　　
　　　ａ ａ ｅ ｃ ｂ
　　　ｂ ｂ ｃ ａ ｅ　
　　　ｃ ｃ ｂ ｅ ａ
コツは、ａ行とａ列，ａ行とｃ列，ｃ行とａ列，ｃ行とｃ列の交点の所は互いに斜めに交換する事である。
ところで、
（Ⅱ）・ ｅ ａ ｂ ｃ
　　　ｅ ｅ ａ ｂ ｃ
　　　ａ ａ ｅ ｃ ｂ
　　　ｂ ｂ ｃ ａ ｅ
　　　ｃ ｃ ｂ ｅ ａ
よって、ＯＫ。よって、示された。

おまけ：

補足解説
＞次に、ｂ・ｂ＝ａまたはｂ・ｂ＝ｅであるが、ｂ・ｂ＝ａとすると、ｂ・ｃ＝ｅ　ゆえに、ｂ・ｂ＝ｂ・ｃよりｂ＝ｃとなり矛盾である。以上により、？＝ｂのとき、群表は（Ⅲ）のようになる。

うっかりしました。この部分の参考書の写しは、本当は、

「次に、ｂ・ｂ＝ａまたはｂ・ｂ＝ｅであるが、ｂ・ｂ＝ａとすると、ｂ・ｃ＝ａ　ゆえに、ｂ・ｂ＝ｂ・ｃよりｂ＝ｃとなり矛盾である。以上により、？＝ｂのとき、群表は（Ⅲ）のようになる。」

で、誤植だと思って「ｂ・ｃ＝ａ」の所を「ｂ・ｃ＝ｅ」にしていたのですが、根本的に間違っていますね。訂正させて頂きます。

「次に、ｂ・ｂ＝ａまたはｂ・ｂ＝ｅであるが、ｂ・ｂ＝ａとすると、ｂ・ｃ＝ｅ　ところで、群表よりａ・ｃ＝ｅ　ゆえに、ａ・ｃ＝ｂ・ｃよりａ＝ｂとなり矛盾である。以上により、？＝ｂのとき、群表は（Ⅲ）のようになる。」

因みに、「群表より」とした所は、群表（Ⅲ）の上に「ａ・ｃ＝ｅ」とあるのでそれを利用しても良い。

おまけ：

解答
ＣＡの延長上にＢから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＣＢＨ＝６０°より、
∠ＨＢＡ＝６０°－１５°＝４５°
よって、△ＨＢＡは直角二等辺三角形より、ＨＢ＝ＨＡ―――①　
また、△ＣＢＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型より、ＢＨ：ＢＣ＝１：２　また、点ＤはＢＣの真ん中の点より、ＢＨ＝ＢＤ　また、∠ＨＢＤ＝６０°より、△ＢＨＤは頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形である。よって、ＨＢ＝ＨＤ―――②
①，②より、ＨＡ＝ＨＤ　また、∠ＤＨＡ＝９０°－６０°＝３０°より、△ＨＤＡは頂角が３０°の二等辺三角形。
よって、∠ＨＡＤ＝(１８０°－３０°)÷２＝７５°また、∠ＨＡＢ＝４５°より、
∠ＢＡＤ＝７５°－４５°＝３０°
よって、△ＤＢＡの内対角の和より、
∠ア＝１５°＋３０°＝４５°
よって、答えは、４５°

おまけ：

https://news.yahoo.co.jp/articles/02cd0b4e8efcda33a2e4a343c9992e216bd30ac3

何でもありの解法
ＡからＤＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＨは１５°，７５°，９０°の直角三角形より、
ＡＨ：ＢＨ＝√６－√２：√６＋√２
＝１：(√６＋√２)/(√６－√２)
＝１：(√６＋√２)^2/４
＝１：(８＋４√３)/４＝１：２＋√３
∴ＡＨ：ＢＨ＝１：２＋√３
よって、ＡＨ＝１とすると、ＢＨ＝２＋√３　また、△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形より、ＣＨ＝√３となる。
∴ＢＣ＝２＋２√３　∴ＤＣ＝１＋√３
∴ＤＨ＝(１＋√３)－√３＝１　
∴ＤＨ＝ＡＨ
よって、△ＡＤＨは直角二等辺三角形。
∴∠ＡＤＨ＝４５°よって、∠ア＝４５°

一応、改題の方も何でもありで解くと、

改題
図の∠Ｃが分かっていない状態で、∠ＢＡＤ＝３０°とする。このとき、∠Ｃの大きさを求めて下さい。

解答
ＡからＤＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＨは１５°，７５°，９０°の直角三角形より、ＡＨ：ＢＨ＝１：２＋√３
また、△ＤＡＢの内対角の和より、∠ＡＤＨ＝１５°＋３０°＝４５°よって、△ＡＤＨは直角二等辺三角形。
ここで、ＡＨ＝ＤＨ＝１と置くと、ＢＨ＝２＋√３より、ＢＤ＝１＋√３　また、ＢＤ＝ＣＤより、ＣＤ＝１＋√３　∴ＣＨ＝√３
∴ＡＨ：ＣＨ＝１：√３　よって、△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形。
∴∠ＡＣＨ＝３０°よって、∠Ｃ＝３０°

何でもありならある程度知識がある人なら簡単ですね。因みに、算数縛りの算数は平行四辺形や等脚台形などの性質なども含みます。（円周角とかは含まない。）

おまけ：

解答
長方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、台形の上底を左からＥＦとする。
ここで、ＢＣの真ん中の点をＭとし、ＦＭを結ぶと、ＣＭ＝ＢＣ÷２＝１０÷２＝５ｃｍ
また、ＣＦ＝ＣＤ＝５ｃｍより、ＣＭ＝ＣＦ＝５ｃｍ（〇＝５ｃｍ）
また、ＢＭ＝ＣＭ＝５ｃｍ，ＥＦ＝〇＝５ｃｍより、ＢＭ＝ＥＦ―――①　また、台形よりＥＦ//ＢＣ　よって、ＢＭ//ＥＦ―――②
①，②より、四角形ＥＢＭＦは平行四辺形。よって、ＦＭ＝ＥＢ＝〇＝５ｃｍ
よって、ＣＭ＝ＣＦ＝ＦＭ　よって、△ＦＭＣは正三角形。よって、∠ＦＣＭ＝６０°
また、ＦＥ＝ＦＣ＝〇より△ＦＥＣは二等辺三角形。よって、∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ＝●
また、ＥＦ//ＢＣより錯角が等しいので、∠ＥＣＢ＝∠ＦＥＣ＝●　よって、∠ＦＣＥ＝∠ＥＢＣ　よって、∠ＦＣＭはＥＣで二等分されている。よって、●＝６０°÷２＝３０°より、∠ＦＥＣ＝●＝３０°
よって、∠ア＝３０°
また、∠ＤＣＦ＝９０°－６０°＝３０°より、△ＣＤＦは頂角が３０°の二等辺三角形。よって、∠ＣＤＦ＝(１８０°－３０°)÷２＝７５°よって、∠イ＝７５°
よって、答えは、∠ア＝３０°，∠イ＝７５°

おまけ：

https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12024024910.html