数学

解答
４点Ｄ，Ｐ，Ｑ，Ｒが同一平面上にあるという事は、ＰＲとＤＱが１点で交わり、その点をＥとする。
また、正方形ＡＢＣＤの中心をＧ（対角線ＡＣとＢＤの交点）とすると、点ＥはＯＧ上にある。
ここで、断面図△ＯＡＣを考えると、ＰＲとＡＣは平行で点ＥはＰＲ上にある。よって、ＡＥ：ＥＧの比が分かれば、ＯＲ ：ＲＣ（ＯＰ：ＰＡ）も分かるので、これを求める。
そこで、断面図△ＯＢＤを描くと、等辺が１０ｃｍの二等辺三角形で辺ＯＢ上にＯＱ＝６ｃｍ，ＱＢ＝４ｃｍとなる点Ｑがあり、底辺ＢＤの真ん中の点がＧである。また、ＯＧとＱＤの交点がＥとなっている。
ここで、メネラウスの定理を知っていれば、△ＯＢＭと直線ＱＤでメネラウスの定理を使うと、
(６/４)(ＥＭ/ＯＥ)(２/１)＝１が成り立つ。
よって、ＥＭ/ＯＥ＝１/３　よって、ＯＥ：ＥＭ＝３：１　よって、ＯＲ：ＲＣ＝３：１　よって、ＯＲ＝(３/４)×ＯＣ＝(３/４)×１０＝１５/２＝７．５ｃｍ
よって、ＯＰ＝ＯＲ＝７．５ｃｍ

メネラウスの定理を使わない場合は、ＧからＱＤと平行な直線を引きＯＢとの交点をＦとし、△ＯＱＥと△ＯＦＭの相似と△ＢＭＦと△ＢＤＱの相似の２つを利用して求める。因みに、私は今回、ＱからＢＤに垂線を下ろして別解を作ってみましたが、省略します。

おまけ：

問題１の解法１
正三角形よりＣＢ＝ＣＡ，直角二等辺三角形よりＣＡ＝ＣＤ　∴ＣＢ＝ＣＤ
また、∠ＢＣＤ＝６０°＋９０°＝１５０°より、∠ＣＤＢ＝(１８０°－１５０°)÷２＝１５°
よって、∠ＥＤＡ＝４５°－１５°＝３０°また、∠ＥＡＤ＝４５°より、ＥからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＥＡＨは直角二等辺三角形で△ＥＤＨは１：２：√３の直角三角形になる。
よって、ＥＨ＝１とすると、ＥＡ＝√２，ＥＤ＝２より、ＥＤはＥＡの√２倍。

問題１の解法２
∠ＣＤＢ＝(１８０°－１５０°)÷２＝１５°までは同じ。
よって、△ＤＣＥは１５°，７５°，９０°の直角三角形より、
ＣＥ：ＣＤ：ＥＤ＝√６－√２：√６＋√２：４
また、ＡＣ＝ＣＤより、
ＥＡ：ＥＤ＝ＡＣ－ＣＥ：ＥＤ＝ＣＤ－ＣＥ：ＥＤ
＝(√６＋√２)－(√６－√２)：４
＝２√２：４＝√２：２＝１：√２
よって、ＥＡ：ＥＤ＝１：√２より、
ＥＤはＥＡの√２倍。

知識があると工夫が全く要らなくなる場合が多々ありますが、数学的にはどうなんでしょう。個人的には、両方好きですが。（念のため、受験は要領。）

おまけ：

https://www.instagram.com/p/CiHwRO8LEzb/

問題２
１，８，２７，６４，１２５，…
（１）上の数列の１０番目はいくつ？
（２）上の数列の１０番目までの和はいくつ？

解答
（１）１^3，２^3，３^3，４^3，５^3，…より、１０番目は１０^3＝１０００　
よって、答えは、１０００
（２）１，１＋８＝９＝３^2，１＋８＋２７＝３６＝６^2，１＋８＋２７＋６４＝１００＝１０^2，１＋８＋２７＋６４＋１２５＝２２５＝１５^2，…
（計算は前の項の結果に最新の数を足せば良い。例えば、１００＋１２５＝２２５など。）
よって、１^2，３^2，６^2，１０^2，１５^2，…
この１０番目の数を求めれば良い。
そこで、１，３，６，１０，１５，…という数列に着目すると、１，１＋２，１＋２＋３，１＋２＋３＋４，１＋２＋３＋４＋５，…となっている事に気付く。
つまり、１０番目は、１＋２＋３＋…＋１０で５５より、答えは、５５^2である。
これを計算すると、３０２５
よって、答えは、３０２５

算数でも解けるが、面倒臭いので２乗を使った。念のため、数学的には推測に過ぎない。証明が必要である。次回は、証明を作ってみよう。

おまけ：https://www.tiktok.com/@tvmania2003/video/7179324316985691393?is_from_webapp=v1&item_id=7179324316985691393

問題
１，８，２７，６４，１２５，…
（２）上の数列の１０番目までの和はいくつ？

解答
（２）１，１＋８＝９＝３^2，１＋８＋２７＝３６＝６^2，１＋８＋２７＋６４＝１００＝１０^2，１＋８＋２７＋６４＋１２５＝２２５＝１５^2，…
（計算は前の項の結果に最新の数を足せば良い。例えば、１００＋１２５＝２２５など。）
よって、１^2，３^2，６^2，１０^2，１５^2，…
この１０番目の数を求めれば良い。
そこで、１，３，６，１０，１５，…という数列に着目すると、１，１＋２，１＋２＋３，１＋２＋３＋４，１＋２＋３＋４＋５，…となっている事に気付く。
つまり、１０番目は、１＋２＋３＋…＋１０で５５より、答えは、５５^2である。
これを計算すると、３０２５
よって、答えは、３０２５

この解答が正しいとすれば、
１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｎ^3＝(１＋２＋３＋…＋ｎ)^2という式が成り立つはずである。逆に、この式が正しければ解答も正しいという事である。
この数式を数学的帰納法で証明する。
前段階として、１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２という式を証明しておく。
１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｘと置き、逆から、
ｎ＋(ｎ－１)＋(ｎ－２)＋…＋１＝ｘとし、２式を足すと、
(１＋ｎ)＋(１＋ｎ)＋(１＋ｎ)＋…＋(１＋ｎ)＝２ｘ
この左の括弧数はｎ個である。
∴ｎ(１＋ｎ)＝２ｘ　∴ｘ＝ｎ(ｎ＋１)/２
∴１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２―――☆

１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｎ^3＝(１＋２＋３＋…＋ｎ)^2を数学的帰納法で証明する。
（ⅰ）ｎ＝１の時、１^3＝１^2より１＝１で成り立つ。
（ⅱ）ｎ＝ｋの時成り立つと仮定すると、
１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｋ^3＝(１＋２＋３＋…＋ｋ)^2
ｎ＝ｋ＋１の時、１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｋ^3＋(ｋ＋１)^3＝(１＋２＋３＋…＋ｋ)^2＋(ｋ＋１)^3
ここで、☆にｋを代入してこの式に代入すると、
１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｋ^3＋(ｋ＋１)^3
＝{ｋ(ｋ＋１)/２}^2＋(ｋ＋１)^3
＝ｋ^2(ｋ＋１)^2/４＋４(ｋ＋１)^3/４
＝(ｋ＋１)^2{ｋ^2＋４(ｋ＋１)}/４
＝(ｋ＋１)^2(ｋ＋２)^2/４
＝{(ｋ＋１)(ｋ＋２)/２}^2―――☆☆
ところで、☆にｎ＝ｋ＋１を代入すると、
１＋２＋３＋…＋(ｋ＋１)＝(ｋ＋１)(ｋ＋２)/２
これを☆☆に代入すると、
１^3＋２^3＋３^3＋…＋(ｋ＋１)^3＝{１＋２＋３＋…＋(ｋ＋１)}^2
よって、ｎ＝ｋ＋１の時も成り立つ。
（ⅰ），（ⅱ）より、数学的帰納法により、
１^3＋２^3＋３^3＋…＋ｎ^3＝(１＋２＋３＋…＋ｎ)^2が成り立つ。
よって、理論的に正しい事が証明された。

因みに、以前から知っていましたが、不思議な関係ですよね。
１^3＝１^2
１^3＋２^3＝(１＋２)^2（＝９）
１^3＋２^3＋３^3＝(１＋２＋３)^2（＝３６）
１^3＋２^3＋３^3＋４^3＝(１＋２＋３＋４)^2（＝１００）
以下略。

おまけ：

何でもありの解法１　偽の三角関数の解法
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、
ＢＥ＝６cos50°，ＣＥ＝６sin50°
ここで、ＡＢ＝ＤＣ＝ｘと置くと、
ＥＡ＝６cos50°－ｘ，ＥＤ＝６sin50°－ｘ
よって、△ＥＡＤで三平方の定理を使うと、
(６cos50°－ｘ)^2＋(６sin50°－ｘ)^2＝２^2が成り立つ。
∴３６(cos50°)^2＋ｘ^2－１２ｘcos50°＋３６(sin50°)^2＋ｘ^2－１２ｘsin50°＝４
∴２ｘ^2－１２ｘ(sin50°+cos50°)＋３６{(sin50°)^2＋(cos50°)^2}＝４
∴２ｘ^2－１２ｘ(sin50°+cos50°)＋３６＝４
∴２ｘ^2－１２ｘ(sin50°+cos50°)＝－３２
∴ｘ^2－６ｘ(sin50°+cos50°)＝－１６―――①
ところで、四角形ＡＢＣＤ＝△ＥＢＣ－△ＥＡＤ
＝６cos50°・６sin50°(１/２)－(６cos50°－ｘ)(６sin50°－ｘ)(１/２)
＝１８sin50°cos50°－(３６sin50°cos50°－６cos50°－６sin50°＋ｘ^2)/２
＝１８sin50°cos50°－１８sin50°cos50°＋３(sin50°＋cos50°)－ｘ^2/２
＝３(sin50°＋cos50°)－ｘ^2/２
∴四角形ＡＢＣＤ＝－ｘ^2/２＋３(sin50°＋cos50°)―――②
①より、－ｘ^2/２＋３(sin50°＋cos50°)＝８―――①'
①'を②に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝８ｃｍ^2

これは三角関数を使わなくても解けますね。それは次回。ただし、三角関数の別解はあります。念のため、全然面白くはありません。笑

おまけ：（ご免なさい。確率漸化式好きです。初めて知った時は頭いいと思いました。）

何でもありの解法２
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとし、
ＥＡ＝ｘ，ＥＤ＝ｙ，ＡＢ＝ＤＣ＝ｚと置くと、
△ＥＡＤ，△ＥＢＣでの三平方の定理より、
ｘ^2＋ｙ^2＝４―――①
(ｘ＋ｚ)^2＋(ｙ＋ｚ)^2＝３６―――②
が成り立つ。
②より、ｘ^2＋ｚ^2＋２ｘｚ＋ｙ^2＋ｚ^2＋２ｙｚ＝３６　
∴ｘ^2＋ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｚ(ｘ＋ｙ)＝３６―――②'
②'に①を代入すると、
４＋２ｚ^2＋２ｚ(ｘ＋ｙ)＝３６
∴ｚ^2＋ｚ(ｘ＋ｙ)＝１６―――③
ところで、四角形ＡＢＣＤ＝△ＥＢＣ－△ＥＡＤ
＝(ｘ＋ｚ)(ｙ＋ｚ)/２－ｘｙ/２
＝(ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ＋ｚ^2－ｘｙ)/２
＝{ｚ^2＋ｚ(ｘ＋ｙ)}/２
∴四角形ＡＢＣＤ＝{ｚ^2＋ｚ(ｘ＋ｙ)}/２―――④
③を④に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝１６/２＝８ｃｍ^2

おまけ：

何でもありの解法３　算数の解法
∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝３６０°－４０°－５０°＝２７０°また、∠ＡＢＣ＋∠ＤＣＢ＝９０°
ここで、四角形ＡＢＣＤをＡＢがＤＣにくっつくようにコピーし、点Ｃ，Dの行き先をそれぞれＣ'，Ｄ'とすると、∠ＢＣＣ'＝∠ＤＣＢ＋∠ＤＣＣ'＝∠ＤＣＢ＋∠ＡＢＣ＝９０°また、ＢＣ＝ＣＣ'
また、∠ＡＤＤ'＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＤ'＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＢＡＤ＝３６０°－(∠ＡＤＣ＋∠ＢＡＤ)＝３６０°－２７０°
＝９０°また、ＡＤ＝ＤＤ'
よって、このコピーをもう２回繰り返すと、中央の四角形は１辺が２ｃｍの正方形になり、大外の四角形は１辺が６ｃｍの正方形になる。
よって、求める面積、四角形ＡＢＣＤ＝(６×６－２×２)÷４＝(３６－４)÷４＝３２÷４＝８ｃｍ^2
よって、答えは、８ｃｍ^2

おまけ：

何でもありの解法４
Ａ，ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとし、ＡＢ＝ＤＣ＝ｘと置くと、
ＢＨ＝ｘcos50°，ＣＩ＝ｘcos40°
∴ＨＩ＝６－ｘ(cos50°＋cos40°)―――①
また、ＡＨ＝ｘsin50°，ＤＩ＝ｘsin40°
ここで、ＤからＡＨに垂線を下ろしその足をＪとすると、
ＡＪ＝ｘsin50°－ｘsin40°＝ｘ(sin50°－sin40°)
∴ＡＪ＝ｘ(sin50°－sin40°)―――②
よって、△ＡＤＪで三平方の定理を使うと、
ｘ^2(sin50°－sin40°)^2＋{６－ｘ(cos50°＋cos40°)}^2＝２^2が成り立つ。
∴ｘ^2{(sin50°)^2＋(sin40°)^2－２sin50°sin40°}＋３６＋ｘ^2{(cos50°)^2＋(cos40°)^2＋２cos50°cos40°}－１２ｘ(cos50°＋cos40°)＝４
∴ｘ^2(２－２sin50°sin40°＋２cos50°cos40°)－１２ｘ(cos50°＋cos40°)＝－３２
∴ｘ^2{２＋２(cos50°cos40°－sin50°sin40°)}－１２ｘ(cos50°＋cos40°)＝－３２
∴ｘ^2{２＋cos(50°＋40°)}－１２ｘ(cos50°＋cos40°)＝－３２
∴２ｘ^2－１２ｘ(cos50°＋cos40°)＝－３２
∴ｘ^2－６ｘ(cos50°＋cos40°)＝－１６―――☆
ところで、四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＨ＋△ＤＣＩ＋台形ＡＨＤＩ＝ｘ^2・sin50°cos50°/２＋ｘ^2・sin40°cos40°/２＋(ｘsin40°＋ｘsin50°){６－ｘ(cos40°＋cos50°)}/２
＝ｘ^2(sin50°cos50°＋sin40°cos40°)/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)－ｘ^2(sin40°＋sin50°)(cos40°＋cos50°)/２
＝ｘ^2(sin50°cos50°＋sin40°cos40°)/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)－ｘ^2(sin40°cos40°＋sin40°cos50°＋sin50°cos40°＋sin50°cos50°)/２
＝－ｘ^2(sin40°cos50°＋sin50°cos40°)/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)
＝－ｘ^2(sin40°cos50°＋cos40°sin50°)/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)
＝－ｘ^2・sin(40°＋50°)/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)
＝－ｘ^2/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)
∴四角形ＡＢＣＤ＝－ｘ^2/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)―――☆☆
☆より、－ｘ^2/２＋３ｘ(sin40°＋sin50°)＝８
これを☆☆に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝８ｃｍ^2

因みに、下書きの時は、sinとcosの加法定理の逆に気付かず、６種類の和と積の公式を使って解いたので大変でした。解答もブサイクですし。
また、ここでの解答は読み難いので１回ノートに書き取ってから読んで下さい。

おまけ：

問題１の解法１
食塩量は、(５/１００)×３００＝１５ｇ　よって、いくらかの水を加えて３％になったとすると、
１５/総量＝３/１００なので、総量は５００ｇである。
ところで、初めは３００ｇなので２００ｇ加えれば良い。
よって、答えは、２００ｇ

問題１の解法２
５％の食塩水３００ｇと０％の食塩水□ｇを混ぜて３ｇの食塩水を作りたい訳である。
そこで、天秤算。
　
　０％　　　　３％　　５％
　□ｇ　　　　　　　　３００ｇ

□ｇの所を３００ｇにしてみると、平均の２．５％になる事が分かる。つまり、水の量（□ｇ）は３００ｇより少ない。ここで、０％と３％と５％の間隔を考えると３：２である。よって、量の方も３：２になる事が分かるだろう。そして、□は３００ｇより小さいので２００ｇである。（天秤算では２：３と教えるがあえて３：２にしてみた。シーソーの重さと（支点からの）距離の関係を考えれば分かると思うが。）
よって、答えは、２００ｇ

おまけ：https://twitter.com/anime_quote_bot/status/1259921224001417224

https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1605468708771491840

問題２
下の三つの式の計算式のどれも答えが「１０」になるようにしたいとき、それぞれのアルファベットに入る整数は何になるでしょう？
(Ａ×Ｂ)＋(Ｃ÷D)＝１０
(Ａ÷Ｂ)＋(Ｃ×Ｄ)＝１０
(Ｂ÷Ａ)＋(Ｃ×Ｄ)＝１０

解答
(Ａ×Ｂ)＋(Ｃ÷D)＝１０―――①
(Ａ÷Ｂ)＋(Ｃ×Ｄ)＝１０―――②
(Ｂ÷Ａ)＋(Ｃ×Ｄ)＝１０―――③

②－③より、(Ａ÷Ｂ)－(Ｂ÷Ａ)＝０
よって、Ａ÷Ｂ＝Ｂ÷Ａ　これを分数に直すと、Ａ/Ｂ＝Ｂ/Ａ　分母を払うと、Ａ×Ａ＝Ｂ×Ｂ
よって、Ａ＝Ｂである。（例えば、２×２＝３×３とは絶対にならないから。）
よって、Ａ÷ＢもＢ÷Ａも１である。よって、②，③式は、Ｃ×Ｄ＝９という事である。
ここで、９＝１×９，３×３，９×１の可能性を考える。つまり、
（ⅰ）Ｃ＝１，Ｄ＝９の場合、①式に代入すると、(Ａ×Ｂ)＋(１÷９)＝１０　よって、Ａ×Ｂ＋１/９＝１０　ところで、Ａ，Ｂは整数よりこの式は成り立たない。よって、不適。
（ⅱ）Ｃ＝３，Ｄ＝３の場合、①式に代入すると、(Ａ×Ｂ)＋(３÷３)＝１０　よって、Ａ×Ｂ＋１＝１０　よって、Ａ×Ｂ＝９　よって、Ａ＝３，Ｂ＝３（②，③式からＡ＝Ｂだから。）
（ⅲ）Ｃ＝９，Ｄ＝１の場合、①式に代入すると、(Ａ×Ｂ)＋(９÷１)＝１０　よって、Ａ×Ｂ＋９＝１０　よって、Ａ×Ｂ＝１　よって、Ａ＝１，Ｂ＝１
（ⅰ）～（ⅲ）より、
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，１，９，１），（３，３，３，３）の２通り。（暗算で検算すると良いでしょう。）

素朴な疑問ですが、「難しく考えない方がよい問題！」は「３，３，３，３」を入れれば一発という意味なのでしょうか。まぁ、１つ出来れば問題文には合いますが。

おまけ：
https://instagrammernews.com/detail/2994130704222897114?utm_source=ise&utm_medium=ise

中学数学の模範解答
ＢＣの延長とＡＱの延長との交点をＥとすると、△ＥＱＣ∽△ＥＡＢで相似比は４：１２＝１：３
よって、ＥＣ：ＥＣ＋１２＝１：３　
∴３ＥＣ＝ＥＣ＋１２　∴２ＥＣ＝１２　
∴ＥＣ＝６ｃｍ
慣れている人だったら、ＥＣ：ＣＢ＝１：２より、ＥＣ＝１２÷２＝６ｃｍと求めれば良い。
ところで、錯角より∠ＰＥＡ＝∠ＤＡＱ＝●　よって、∠ＰＡＥ＝∠ＰＥＡ＝●　よって、△ＰＡＥは二等辺三角形である。∴ＡＰ＝ＥＰ
ここで、ＢＰ＝ｘｃｍと置くと、
ＥＰ＝１２＋６－ｘ＝１８－ｘｃｍ　
∴ＥＰ＝１８－ｘｃｍ
よって、△ＡＢＰで三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋１２^2＝(１８－ｘ)^2が成り立つ。
∴ｘ^2＋１４４＝ｘ^2－３６ｘ＋３２４
∴３６ｘ＝１８０　∴ｘ＝５　
よって、ＡＰ＝ＥＰ＝１８－ｘに代入すると、
ＡＰ＝１３ｃｍ

高校数学の解法
ＤＣの延長とＡＰの延長との交点をＥとし、●＝θと置くと、ＤＱ＝１２－４＝８ｃｍより、
tanθ＝８/１２＝２/３―――①
また、tan２θ＝２tanθ/(１－tan^2θ)―――②
①を②に代入すると、
tan２θ＝(４/３)/{１－(２/３)^2}＝(４/３)/(５/９)＝１２/５―――③
また、tan２θ＝ＤＥ/１２―――④
③，④より、ＤＥ/１２＝１２/５　
∴ＤＥ＝１４４/５ｃｍ　
∴ＥＣ＝１４４/５－１２＝８４/５ｃｍ
ところで、△ＰＡＢ∽△ＰＥＣより、ＢＰ：ＣＰ＝１２：８４/５＝１：７/５＝５：７
∴ＢＰ：ＣＰ＝５：７　また、ＢＣ＝１２ｃｍより、ＢＰ＝５ｃｍと分かる。
また、ＡＢ＝１２ｃｍより、△ＡＢＰは５，１２，１３の直角三角形と分かるので、
ＡＰ＝１３ｃｍ

念のため、どちらもオリジナルです。因みに、中学数学の別解は３通り作ってみました。（どれもエレガントではありません。）

おまけ：
https://w.atwiki.jp/nostradamus/pages/446.html（未完成）

中学数学の別解１（思い付いた順）
ＡＤの延長上にＡＲ＝ＡＰとなる点Ｒを取ると、二辺挟角が等しいので、△ＡＰＱ≡△ＡＲＱ
∴ＰＱ＝ＲＱ　ここで、ＡＰ＝ｘと置くとＡＲ＝ｘ　∴ＤＲ＝ｘ－１２ｃｍ　また、ＤＱ＝１２－４＝８ｃｍより、△ＱＤＲで三平方の定理を使うと、
ＲＱ＝√{(ｘ－１２)^2＋８^2}＝√(ｘ^2－２４ｘ＋１４４＋６４)＝√(ｘ^2－２４ｘ＋２０８)
∴ＰＱ＝√(ｘ^2－２４ｘ＋２０８)　よって、△ＰＣＱで三平方の定理を使うと、ＰＣ＝√(ｘ^2－２４ｘ＋２０８－４^2)＝√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)となる。
∴ＢＰ＝１２－√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)
よって、△ＡＢＰで三平方の定理を使うと、
１２^2＋{１２－√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)}^2＝ｘ^2が成り立つ。
∴１４４＋１２^2＋ｘ^2－２４ｘ＋１９２－２４√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)＝ｘ^2
∴２４√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)＝－２４ｘ＋２８８＋１９２＝－２４ｘ＋４８０
∴√(ｘ^2－２４ｘ＋１９２)＝－ｘ＋２０―――☆
∴ｘ^2－２４ｘ＋１９２＝ｘ^2－４０ｘ＋４００
∴１６ｘ＝４００－１９２＝２０８
∴ｘ＝２０８/１６＝５２/４＝１３
☆より、左辺が非負より右辺も非負。∴－ｘ＋２０≧０　∴ｘ≦２０　よって、ｘは適正。
よって、ＡＰ＝１３ｃｍ

因みに、☆の条件は見掛け倒しで、実際は、ＡＰ＜ＡＣ＝１２√２＝16.970563…である。まぁ、どちらもあまり意味はないのですが。

おまけ：

中学数学の別解２
ＤＣの延長とＡＰの延長との交点をＥとし、ＢＰ＝ｘと置くとＣＰ＝１２－ｘで、△ＰＡＢ∽△ＰＥＣより、ｘ：１２－ｘ＝１２：ＣＥが成り立つ。
∴ＣＥ＝１２(１２－ｘ)/ｘ　
∴ＥＱ＝１２(１２－ｘ)/ｘ＋４
＝(１４４－１２ｘ＋４ｘ)/ｘ＝(１４４－８ｘ)/ｘ　
また、ＱＤ＝１２－４＝８
ところで、△ＡＥＤで角の二等分線の定理を使うと、ＡＥ：ＡＤ＝ＥＱ：ＱＤ
よって、ＡＥ：１２＝(１４４－８ｘ)/ｘ：８が成り立つ。∴８ＡＥ＝１２(１４４－８ｘ)/ｘ
∴ＡＥ＝１２(１８－ｘ)/ｘ
また、ＡＰ：ＥＰ＝ｘ：１２－ｘより、
ＡＰ＝[ｘ/{ｘ＋(１２－ｘ)}ＡＥ
＝(ｘ/１２)・{１２(１８－ｘ)/ｘ}＝１８－ｘ
よって、△ＡＢＰで三平方の定理を使うと、
１２^2＋ｘ^2＝(１８－ｘ)^2が成り立つ。
∴ｘ^2＋１４４＝ｘ^2－３６ｘ＋３２４
∴３６ｘ＝１８０　∴ｘ＝５　
よって、ＡＰ＝１８－ｘに代入すると、
ＡＰ＝１３ｃｍ

この解法が一番ブサイクです。アレンジして別解３を作ってみて下さい。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/23d71b22e2ed93f4bd20580875ec3c1ac76aaa91?page=1

中学数学の別解３
ＢＰ＝ｘと置いて、ＰからＢＣに対して垂線を立て、ＡＤとの交点Ｅ，ＡＱとの交点をＲとすると、ＡＰ＝√(ｘ^2＋１４４)
よって、△ＡＰＥで角の二等分線の定理を使うと、ＰＲ：ＲＥ＝√(ｘ^2＋１４４)：ｘ
∴ＲＥ＝[ｘ/{ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)}]ＰＥ
＝１２ｘ/{ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)}
また、△ＡＲＥ∽△ＡＱＤより、
１２ｘ/{ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)}：８＝ｘ：１２が成り立つ。
∴８ｘ＝１４４ｘ/{ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)}
∴１＝１８/{ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)}
∴ｘ＋√(ｘ^2＋１４４)＝１８　
∴√(ｘ^2＋１４４)＝１８－ｘ―――☆
∴ｘ^2＋１４４＝(１８－ｘ)^2
∴ｘ^2＋１４４＝ｘ^2－３６ｘ＋３２４
∴３６ｘ＝１８０　∴ｘ＝５　
☆より、１８－ｘ＞０　∴ｘ＜１８　
よって、ｘ＝５は適正。∴ＢＰ＝５ｃｍ
∴ＡＰ＝√(ｘ^2＋１４４)＝√１６９＝１３ｃｍ

適性検査は蛇足ですが、一応入れました。

おまけ：

中学数学の別解４
ＢＰ＝ｘと置くと、ＡＰ＝√(ｘ^2＋１４４)　ここで、ＰからＡＱに垂線を下ろしその足をＨとすると、２角が等しいので、△ＡＰＨ∽△ＡＤＱ
ところで、ＤＱ＝１２－４＝８ｃｍ，ＡＤ＝１２ｃｍより、△ＡＤＱは２：３：√１３の直角三角形である。よって、△ＡＰＨの３辺比も等しく、
ＡＰ＝√(ｘ^2＋１４４)より、
ＰＨ＝２√(ｘ^2＋１４４)/√１３
ＡＨ＝３√(ｘ^2＋１４４)/√１３
また、ＡＱ＝４√１３ｃｍより、
ＨＱ＝４√１３－３√(ｘ^2＋１４４)/√１３
よって、△ＰＨＱと△ＰＣＱで三平方の定理を使うと、
{２√(ｘ^2＋１４４)/√１３}^2＋{４√１３－３√(ｘ^2＋１４４)/√１３}^2＝４^2＋(１２－ｘ)^2が成り立つ。
∴４(ｘ^2＋１４４)/１３＋２０８＋９(ｘ^2＋１４４)/１３－２４√(ｘ^2＋１４４)＝１６＋１４４－２４ｘ＋ｘ^2
∴ｘ^2＋１４４＋２０８－２４√(ｘ^2＋１４４)＝１６＋１４４－２４ｘ＋ｘ^2
∴２４√(ｘ^2＋１４４)＝２４ｘ＋１９２
∴√(ｘ^2＋１４４)＝ｘ＋８
∴ｘ^2＋１４４＝ｘ^2＋１６ｘ＋６４
∴１６ｘ＝８０　∴ｘ＝５
∴ＡＰ＝√(ｘ^2＋１４４)＝√１６９＝１３ｃｍ

これが今までで一番ブサイクですね。笑

おまけ：
https://news.mynavi.jp/article/20190621-846804/

算数の解法
二辺挟角が等しいので、△ＢＥＡと△ＣＤＥは合同。よって、∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＤ＝●，∠ＢＥＡ＝∠ＣＤＥ＝〇と置くと、三角形の内角の和より、●＋〇＋４５°＝１８０°よって、●＋〇＝１３５°
よって、∠ＣＥＤ＋∠ＢＥＡ＝１３５°よって、∠ＢＥＣ＝３６０°－１３５°－９０°＝１３５°
よって、∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝１８０°－１３５°＝４５°
ここで、四角形ＥＢＣＤをＢＥがＣＤにくっつくようにコピーし、点Ｃの行き先をＣ'とすると、∠ＢＣＣ'＝∠ＥＣＢ＋∠ＤＣＣ'＋４５°＝∠ＥＣＢ＋∠ＥＢＣ＋４５°＝４５°＋４５°＝９０°
よって、∠ＢＣＣ'＝９０°また、ＢＣ＝ＣＣ'
また、△ＢＥＡと△ＣＤＥが合同よりＡＥ＝ＥＤ　
先のコピーの点Ｄの行き先をＤ'とすると、同じく合同より、ＡＥ＝ＥＤ＝ＤＤ'となる。
よって、同じコピーをもう１回行うと、中央の四角形ＡＥＤＤ'は１つの角が９０°のひし形になるので正方形になり、大外の四角形も正方形になる。
よって、正方形ＡＥＤＤ'＝１３×１３－３０×４＝１６９－１２０＝４９ｃｍ^2
よって、ＤＥ＝７ｃｍ

暗算で解きながら書いたので、多少端折り気味ですが、大丈夫ですよね。

おまけ：
https://instagrammernews.com/detail/2998472058599913660

中学数学の解法
二辺挟角が等しいので、△ＢＥＡと△ＣＤＥは合同。よって、∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＤ＝●，∠ＢＥＡ＝∠ＣＤＥ＝〇と置くと、三角形の内角の和より、●＋〇＋４５°＝１８０°よって、●＋〇＝１３５°
よって、∠ＣＥＤ＋∠ＢＥＡ＝１３５°よって、∠ＢＥＣ＝３６０°－１３５°－９０°＝１３５°
ここで、ＢＥ＝ＣＤ＝ｘｃｍ，ＣＥ＝ｙｃｍと置いてＢＥの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＣＥＨ＝１８０°－１３５°＝４５°より△ＣＥＨは直角二等辺三角形。∴ＣＨ＝ＥＨ＝ｙ/√２ｃｍ
よって、△ＣＢＨで三平方の定理を使うと、(ｙ/√２)^2＋(ｘ＋ｙ/√２)^2＝１３^2が成り立つ。
∴ｘ^2＋√２ｘｙ＋ｙ^2＝１６９―――①
また、ＣＤの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＣＥＩは直角二等辺三角形より、ＥＩ＝ｙ/√２ｃｍ
∴四角形ＢＣＤＥ＝△ＥＢＣ＋△ＣＤＥ＝ＢＥ×ＣＨ×(１/２)＋ＣＤ×ＥＩ×(１/２)＝ｘ・(ｙ/√２)・(１/２)＋ｘ・(ｙ/√２)・(１/２)＝ｘｙ/√２―――ア
また、条件より、四角形ＢＣＤＥ＝３０ｃｍ^2―――イ
ア，イより、ｘｙ/√２＝３０　∴ｘｙ＝３０√２―――②
②を①に代入すると、ｘ^2＋６０＋ｙ^2＝１６９　∴ｘ^2＋ｙ^2＝１０９―――③
ところで、△ＥＤＩで三平方の定理を使うと、
ＤＥ^2＝(ｙ/√２－ｘ)^2＋(ｙ/√２)^2＝ｘ^2＋ｙ^2－√２ｘｙ―――④
②，③を④に代入すると、
ＤＥ^2＝１０９－６０＝４９　∴ＤＥ＝７ｃｍ

おまけ：

高校数学の解法
二辺挟角が等しいので、△ＢＥＡと△ＣＤＥは合同。よって、∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＤ＝●，∠ＢＥＡ＝∠ＣＤＥ＝〇と置くと、三角形の内角の和より、●＋〇＋４５°＝１８０°よって、●＋〇＝１３５°
よって、∠ＣＥＤ＋∠ＢＥＡ＝１３５°よって、∠ＢＥＣ＝３６０°－１３５°－９０°＝１３５°
ここで、ＢＥ＝ＣＤ＝ｘｃｍ，ＣＥ＝ｙｃｍと置いて、△ＥＢＣと△ＣＤＥでそれぞれ余弦定理を使うと、
１３^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２ｘｙcos135°＝ｘ^2＋ｙ^2＋√２ｘｙ
∴１６９＝ｘ^2＋ｙ^2＋√２ｘｙ―――①
また、ＤＥ^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２ｘｙcos45°＝ｘ^2＋ｙ^2－√２ｘｙ
∴ＤＥ^2＝ｘ^2＋ｙ^2－√２ｘｙ―――②
②－①より、ＤＥ^2－１６９＝－２√２ｘｙ
∴ＤＥ^2＝１６９－２√２ｘｙ―――③
ところで、条件より、四角形ＢＣＤＥ＝△ＥＢＣ＋△ＣＤＥ＝(１/２)ｘｙsin135°＋(１/２)ｘｙsin45°＝ｘｙ/２√２＋ｘｙ/２√２＝ｘｙ/√２＝３０
∴ｘｙ＝３０√２―――④
④を③に代入すると、
ＤＥ^2＝１６９－１２０＝４９
∴ＤＥ＝７ｃｍ

やはり、高校数学は楽ですね。もっとも、算数を一発で思い付けば逆転ですが。

おまけ：

解法１
ＣＤ上に∠ＦＢＣ＝２０°となる点Ｆを取ると、∠ＢＦＣ＝１８０°－２０°－８０°＝８０°
よって、∠ＢＣＦ＝∠ＢＦＣより△ＢＣＦは二等辺三角形。よって、ＢＣ＝ＢＦ―――①
また、∠ＢＡＣ＝１８０°－８０°－５０°＝５０°より、∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ　よって、△ＢＡＣも二等辺三角形より、ＢＣ＝ＢＡ―――②
①，②より、ＢＡ＝ＢＦ　また、∠ＡＢＦ＝８０°－２０°＝６０°よって、△ＢＡＦは頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形。よって、ＦＡ＝ＦＢ―――③
また、∠ＦＢＤ＝６０°－２０°＝４０°，∠ＢＦＤ＝１８０°－８０°＝１００°より、∠ＦＤＢ＝１８０°－１００°－４０°＝４０°
よって、∠ＦＢＤ＝∠ＦＤＢより△ＦＢＤも二等辺三角形。よって、ＦＢ＝ＦＤ―――④
③，④より、ＦＡ＝ＦＤ　よって、△ＦＡＤも二等辺三角形。ところで、∠ＡＦＤ＝１８０°－８０°－６０°＝４０°よって、∠ＦＤＡ＝(１８０°－４０°)÷２＝７０°また、∠ＣＤＢ＝１８０°－８０°－６０°＝４０°より、∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＡ－∠ＣＤＢ＝７０°－４０°＝３０°
よって、∠ｘ＝３０°

暗算で解きながら書いたので、読み難かったらごめんなさい。初心者は横着せずに書き込みながらじっくり考えて下さい。

おまけ：
https://instagrammernews.com/detail/2997935755546562106（う～ん、可愛い。）

解法２
ＤからＢＣと平行な直線を引き、ＢＡの延長との交点をＦとすると、∠ＦＢＣ＝∠ＤＣＢ＝８０°より四角形ＦＢＣＤは等脚台形。
よって、ＦＣを結びＢＤとの交点をＧとすると、対称性から△ＧＢＣと△ＧＤＦは相似な二等辺三角形で∠ＧＢＣ＝６０°より共に正三角形である。
よって、ＢＣ＝ＢＧ―――①　また、∠ＢＡＣ＝１８０°－８０°－５０°＝５０°より、∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ　よって、△ＢＡＣも二等辺三角形より、ＢＣ＝ＢＡ―――②
①，②より、ＢＧ＝ＢＡ　よって、△ＢＡＧも二等辺三角形で∠ＡＢＧ＝２０°より、∠ＢＧＡ＝(１８０°－２０°)÷２＝８０°よって、∠ＡＧＤ＝１８０°－８０°＝１００°また、∠ＡＦＤ＝１８０°－８０°＝１００°（四角形ＦＢＣＤは等脚台形より）
よって、∠ＡＧＤ＝∠ＡＦＤ―――③
また、等脚台形より∠ＢＦＣ＝∠ＣＤＢ＝１８０°－６０°－８０°＝４０°よって、∠ＡＦＧ＝４０°また、∠ＡＧＦ＝∠ＡＧＤ－∠ＦＧＤ＝１００°－６０°＝４０°よって、∠ＡＦＧ＝∠ＡＧＦより△ＡＦＧも二等辺三角形。よって、ＡＧ＝ＡＦ―――④
また、△ＧＤＦが正三角形より、ＤＧ＝ＤＦ―――⑤
③，④，⑤より、二辺挟角が等しいので、△ＡＧＤと△ＡＦＤは合同。よって、∠ＧＤＡ＝∠ＦＤＡ
ところで、錯角より、∠ＦＤＢ＝∠ＤＢＣ＝６０°
よって、∠ＡＤＢ＝６０°÷２＝３０°
よって、∠ｘ＝３０°

一杯飲んでいるせいか暗算では結構苦労しました。因みに、暗算で解くのは今回が初めてなので、次も出来るかどうかは分かりません。

おまけ：
百詩篇第3巻94番
五百年にわたり、人々はもはや省みなくなるだろう、
かの時代の誉れであったその人を。
そして突然に彼が大いなる光をもたらし、
その世紀を通じて人々を非常に満足させるだろう。
引用元：https://w.atwiki.jp/nostradamus/pages/469.html

解法３
辺ＡＢの外側に正三角形ＦＡＢを描き、ＦＣを結ぶと、ＢＡ＝ＢＦ―――①
また、∠ＢＡＣ＝１８０°－８０°－５０°＝５０°より、∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ　よって、△ＢＡＣは二等辺三角形より、ＢＣ＝ＢＡ―――②
①，②より、ＢＣ＝ＢＦ―――③　
また、∠ＦＢＣ＝６０°＋８０°＝１４０°より、∠ＢＣＦ＝∠ＢＦＣ＝(１８０°－１４０°)÷２＝２０°
ここで、ＦＣとＢＤの交点をＧとすると、∠ＦＢＧ＝６０°＋２０°＝８０°より、∠ＦＧＢ＝１８０°－８０°－２０°＝８０°
よって、∠ＦＢＧ＝∠ＦＧＢより△ＦＢＧも二等辺三角形。よって、ＦＢ＝ＦＧ―――④
また、△ＦＡＢは正三角形より、ＦＢ＝ＦＡ―――⑤
④，⑤より、ＦＡ＝ＦＧ　よって、△ＦＡＧも二等辺三角形で∠ＡＦＧ＝６０°－２０°＝４０°より、∠ＦＡＧ＝(１８０°－４０°)÷２＝７０°
よって、∠ＢＡＧ＝７０°－６０°＝１０°
よって、△ＢＡＧの内対角の和より、∠ＡＧＤ＝１０°＋２０°＝３０°よって、∠ＡＧＣ＝∠ＡＣＤ　
よって、円周角の定理の逆によって、４点Ａ，Ｇ，Ｃ，Ｄは同一円周上にある。
よって、円周角の定理より、∠ＡＤＧ＝∠ＡＣＧ＝５０°－２０°＝３０°
よって、∠ｘ＝３０°

うすら覚えなので暗算は結構きついですね。一杯飲んでいたらダメかもしれません。

おまけ：

解法１　思い付いた順ではなく面白い順？
△ＡＢＣの内接円を描き、内心をＩ，ＡＢ，ＢＣ，ＣＡとの接点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒと置き、半径をｒと置くと、ＩＰ⊥ＡＢ，ＩＱ⊥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°とＩＰ＝ＩＱより、四角形ＰＢＱＩは正方形である。∴ＢＰ＝ＢＱ＝ｒ　よって、ＡＰ＝２７－ｒ，ＣＱ＝３６－ｒ
ところで、円と接線の関係より、ＡＲ＝ＡＰ，ＣＲ＝ＣＱ　∴ＡＲ＝２７－ｒ，ＣＲ＝３６－ｒ
∴ＡＣ＝ＡＲ＋ＣＲより、ｘ＝２７－ｒ＋(３６－ｒ)が成り立つ。∴２ｒ＝６３－ｘ　
∴ｒ＝(６３－ｘ)/２―――①
また、△ＡＢＣの面積を２通りで表すと、
△ＡＢＣ＝２７・３６/２
△ＡＢＣ＝△ＩＡＢ＋△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ＝２７ｒ/２＋３６ｒ/２＋ｘｒ/２
よって、２７ｒ/２＋３６ｒ/２＋ｘｒ/２＝２７・３６/２が成り立つ。
∴ｒ(６３＋ｘ)＝２７・３６　
∴ｒ＝２７・３６/(６３＋ｘ)―――②
①，②より、
(６３－ｘ)/２＝２７・３６/(６３＋ｘ)
∴(６３－ｘ)(６３＋ｘ)＝２・２７・３６
∴６３^2－ｘ^2＝９^2・２４
∴ｘ^2＝６３^2－９^2・２４
＝９^2・(７^2－２４)
＝９^2・２５＝９^2・５^2
ｘ＞０より、ｘ＝９・５＝４５ｃｍ
よって、答えは、４５ｃｍ

とりあえず、何も見ないであと２通り作りましたが、どちらも三平方の定理丸出しのｘ^2＝２７^2＋３６^2という形（最後に）になってしまうので、この解法がそういう匂いがなくてもっとも良いと思いました。
ただし、他の２つと違って算数では無理ですね。簡単な方程式を解く事になりますからね。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/444a1ddffeef7b034870ab11a7f8b97f3df929e7（誕生日おめでとうございます。）
https://news.yahoo.co.jp/articles/7f60f1b9a9224b3b2250ee80c258298c84c8a674（迷惑だろうな。）

解法２　一番簡単な方法
ＢからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、∠Ａと直角の２角が等しいので、△ＢＡＨと△ＣＡＢは相似。よって、ＡＢ：ＡＨ＝ＡＣ：ＡＢより、２７：ＡＨ＝ｘ：２７　
よって、ＡＨ×ｘ＝２７×２７―――①
また、∠Ｂと直角の２角が等しいので、△ＢＣＨと△ＡＣＢも相似。よって、ＣＢ：ＣＨ＝ＣＡ：ＣＢより、３６：ＣＨ＝ｘ：３６　
よって、ＣＨ×ｘ＝３６×３６―――②
①＋②より、ＡＨ×ｘ＋ＣＨ×ｘ＝２７×２７＋３６×３６　よって、ｘ×(ＡＨ＋ＣＨ)＝７２９＋１２９６
よって、ｘ×ｘ＝８１×(９＋１６)＝８１×２５
＝９×９×５×５＝４５×４５
よって、ｘ＝４５ｃｍ

算数用にしてみましたが、ＡＨ×ｘ＋ＣＨ×ｘ＝ｘ×(ＡＨ＋ＣＨ)の所に無理があるでしょうか？

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2994147878453916565

解法３
ＢＣの延長上にＣＤ＝２７ｃｍとなる点Ｄを取り、ＤからＣＤに対して垂線を立てその直線上にＥＤ＝３６ｃｍとなる点Ｅを取ると、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＣと△ＣＤＥは合同。よって、ＣＥ＝ＡＣ＝ｘｃｍ　また、∠ＥＣＤ＝∠ＣＡＢ
ここで、∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＣＡＢ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、∠ＡＣＥ＝１８０°－(∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ)＝１８０°－９０°＝９０°
よって、四角形ＡＢＤＥを２通りで表すと、
四角形ＡＢＤＥ＝△ＡＢＣ＋△ＣＤＥ＋△ＣＡＥ＝２７×３６÷２×２＋ｘ×ｘ÷２
＝２７×３６＋ｘ×ｘ÷２―――①
また、四角形ＡＢＤＥ＝台形ＡＢＤＥ＝(２７＋３６)×(３６＋２７)÷２＝６３×６３÷２―――②
①，②より、
２７×３６＋ｘ×ｘ÷２＝６３×６３÷２
よって、２７×３６×２＋ｘ×ｘ＝６３×６３
よって、ｘ×ｘ＝６３×６３－２７×３６×２＝９×９×(７×７－３×４×２)＝９×９×(４９－２４)＝９×９×２５＝９×９×５×５＝４５×４５
よって、ｘ×ｘ＝４５×４５より、ｘ＝４５ｃｍ

①，②以降、算数では無理があると思う人は直接計算して下さい。（移項に見える所は図形的に見れば問題ないと思います。）

おまけ：

解法４
ＡＣを１辺とする正方形を△ＡＢＣの外側に描きＡＣＤＥとし、ＣからＢＣに対して垂線を立て、Ａからその直線に垂線を下ろしその足をＰとすると、△ＣＰＡと△ＡＢＣは合同である。また、ＥからＡＰに垂線を下ろしその足をＱとすると、△ＡＱＥも先の三角形と合同である。（証明は簡単で省略。）さらに、ＤからＥＱに垂線を下ろしＲとし、ＣＰの延長とＤＲとの交点をＳとすると、正方形ＡＣＤＥの内部の４つの三角形は全て△ＡＢＣと合同になり、中央の四角形は１辺の長さが３６－２７＝９ｃｍの正方形になる。（証明は簡単で省略。）
よって、正方形ＡＣＤＥの面積を２通りで表すと、
正方形ＡＣＤＥ＝ｘ×ｘ―――①
正方形ＡＣＤＥ＝正方形ＰＱＲＳ＋△ＡＢＣ×４＝９×９＋２７×３６÷２×４＝９×９＋２７×３６×２＝９×９×(１＋３×４×２)＝９×９×２５＝９×９×５×５＝４５×４５―――②
①，②より、ｘ×ｘ＝４５×４５
よって、ｘ＝４５ｃｍ

途中から何も見ないで５通りに変更しました。

＞とりあえず、何も見ないであと２通り作りましたが、どちらも三平方の定理丸出しのｘ^2＝２７^2＋３６^2という形（最後に）になってしまう

これは解法２と解法５の事です。

おまけ：

解法５
△ＡＢＣの各辺の外側に正方形ＡＢＤＥ，ＢＣＦＧ，ＣＡＨＩを描くと、ＡＢ＝ＡＥ，ＡＨ＝ＡＣ，∠ＢＡＨ＝∠ＥＡＣ＝９０°＋∠ＢＡＣより、二辺挟角が等しいので、
△ＡＢＨと△ＡＥＣは合同。―――①
また、ＣＢ＝ＣＦ，ＣＩ＝ＣＡ，∠ＦＣＡ＝∠ＢＣＩ＝９０°＋∠ＡＣＢより、二辺挟角が等しいので、△ＣＢＩと△ＣＦＡも合同。―――②
ここで、ＢからＨＩに垂線を下ろしその足をＪとし、等積変形をすると、
△ＡＢＨ＝△ＡＪＨ―――③　
△ＣＢＩ＝△ＣＪＩ―――④
また、△ＡＥＣ＝△ＡＥＤ―――⑤　
△ＣＦＡ＝△ＣＦＢ―――⑥
①，③，⑤より、△ＡＪＨ＝△ＡＥＤ―――⑦
②，④，⑥より、△ＣＪＩ＝△ＣＦＢ―――⑧
⑦＋⑧より、
△ＡＪＨ＋△ＣＪＩ＝△ＡＥＤ＋△ＣＦＢ
この両辺を２倍すると、
正方形ＣＡＨＩ＝正方形ＡＢＤＥ＋正方形ＢＣＦＧ
よって、ｘ×ｘ＝２７×２７＋３６×３６＝９×９×(３×３＋４×４)＝９×９×２５＝９×９×５×５＝４５×４５
よって、ｘ×ｘ＝４５×４５より、ｘ＝４５ｃｍ

おまけ：
https://toyokeizai.net/articles/-/504429?page=3

詩百篇第2巻53番
海辺の都市の大規模な悪疫は、
代償として罪なくして咎められた公正な血（を持つ者）の死が
復讐されることでしか止まらないだろう、
偽りによって辱められる偉大な婦人によって。
引用元：https://w.atwiki.jp/nostradamus/pages/1771.html

因みに、「婦人」の「dame」を「damné」と校訂すると「地獄に落ちた(落ちる運命の)人，悪魔につかれた人，逆境にある人」によってとなる。

解法１
元の正方形の紙を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、左の折り目を上からＥＦとし、右の折り目をＥＧとする。また、点Ａ，Ｄの行き先をそれぞれＡ'，Ｄ'とすると、ＡＥ＝ＡＦ＝Ａ'Ｅ＝２１ｃｍ　また、ＤＥ＝ＤＧ＝Ｄ'Ｅ＝１４＋２１＝３５ｃｍ
よって、ＤＣ＝ＡＤ＝２１＋３５＝５６ｃｍ　よって、ＧＣ＝５６－３５＝２１ｃｍ　また、Ｄ'Ｇ＝ＥＤ＝３５ｃｍ
また、ＦＢ＝５６－２１＝３５ｃｍ　ここで、ＥＤ'の延長とＢＣとの交点をＨとすると、ＢＨ＝ＡＥ＝２１ｃｍ
よって、色部分の面積＝長方形ＦＢＨＡ'＋Ｄ'ＨＣＧ＝２１×３５＋３５×２１＝３５×２１×２＝７０×２１＝１４７０ｃｍ^2
一方、元の正方形の面積＝５６×５６ｃｍ^2
よって、答えは、７０×２１/５６×５６＝２１０/８×５６＝３０/８×８＝１５/３２倍。

解法２
元の正方形の紙を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、左の折り目を上からＥＦとし、右の折り目をＥＧとする。また、点Ａ，Ｄの行き先をそれぞれＡ'，Ｄ'とすると、ＡＢＣＤとＡＦＡ'ＥとＥＤ'ＧＤはそれぞれ正方形より、ＡＥ＝ＣＧ＝ＡＦ，ＢＦ＝ＤＥ＝ＤＧ
よって、ＡＦ＝ＣＧ，ＤＧ＝ＢＦ
ここで、六角形ＦＢＣＧＤ'Ａ'を１８０°回転させてテトリスのようにＣＧをＡＦの所にＢＦをＤＧの所にはまるようにコピーすると、中央に１４ｃｍの正方形が出来る。その正方形と元の正方形の相似比は１４：２１＋３５＝１４：５６＝１：４より、面積比は１×１：４×４＝１：１６
よって、元の正方形を１６とすると、色付き部分の面積＝(１６－１)÷２＝７．５
よって、答えは、７．５/１６＝１５/３２倍。

念のため、どちらもオリジナルです。

おまけ：
https://www.tv-asahi.co.jp/reading/goodmorning/223680/

解説
誤植は３ヶ所。
＞4(|1,|1)＝(|1,|3)＋(|1,|1)＝(|2,|4)
5(|1,|1)＝(|0,|4)＋(|1,|1)＝(|1,|0)

上段の(|2,|4)が(|0,|4)ですね。念のため、下の段の(|0,|4)と同じです。

＞巡回群ℤ3×ℤ4の生成元は(|1,|1),(|1,|2),(|1,|3),(|1,|4)の４つである。

問題文からℤ2×ℤ5ですよね。

＞因みに、例7.1はℤ2×ℤ3についてで、生成元は(|1,|1)と(|1,|2)ですが、括弧の中の２つが互いに素の場合が生成元になるのでしょうか。（なる場合もならない場合も）理由を説明して下さい。

右の元と左の元は関係ありません。よって、互いに素でない例もある。
ところで、直積ℤ2×ℤ5の位数は２×５＝１０で、定理3.6の系２より生成元は１０と互いに素の|１，|３，|７，|９である。つまり、これらの直積で４×４＝１６個生成元があるが、ℤ2，ℤ5より、ℤ2の方は|１のみになり、ℤ5の方は|１，|３，|２，|４の４つになる。
よって、(|1,|1),(|1,|2),(|1,|3),(|1,|4)の４つという訳である。

定理3.6の系２
Ｇをａによって生成される位数ｎの巡回群とする。このとき、Ｇの元ａ^kがＧの生成元であるための必要十分条件は、(ｎ，ｋ)＝１なることである。
ａ^kがＧの生成元⇔(ｎ，ｋ)＝１

＞右の元と左の元は関係ありません。よって、互いに素でない例もある。

一応、ℤ3×ℤ5でやると、
ℤ3×ℤ5＝
{(|0,|0),(|0,|1),(|0,|2),(|0,|3),(|0,|4),
(|1,|0),(|1,|1),(|1,|2),(|1,|3),(|1,|4),
(|2,|0),(|2,|1),(|2,|2),(|2,|3),(|2,|4)}

(|2,|4)によって生成される元を求めてみる。
2(|2,|4)＝(|2,|4)＋(|2,|4)＝(|1,|3)
3(|2,|4)＝(|1,|3)＋(|2,|4)＝(|0,|2)
4(|2,|4)＝(|0,|2)＋(|2,|4)＝(|2,|1)
5(|2,|4)＝(|2,|1)＋(|2,|4)＝(|1,|0)
6(|2,|4)＝(|1,|0)＋(|2,|4)＝(|0,|4)
7(|2,|4)＝(|0,|4)＋(|2,|4)＝(|2,|3)
8(|2,|4)＝(|2,|3)＋(|2,|4)＝(|1,|2)
9(|2,|4)＝(|1,|2)＋(|2,|4)＝(|0,|1)
10(|2,|4)＝(|0,|1)＋(|2,|4)＝(|2,|0)
11(|2,|4)＝(|2,|0)＋(|2,|4)＝(|1,|4)
12(|2,|4)＝(|1,|4)＋(|2,|4)＝(|0,|3)
13(|2,|4)＝(|0,|3)＋(|2,|4)＝(|2,|2)
14(|2,|4)＝(|2,|2)＋(|2,|4)＝(|1,|1)
15(|2,|4)＝(|1,|1)＋(|2,|4)＝(|0,|0)
よって、全ての元が生成されるので、(|2,|4)は生成元である。よって、括弧内の２つが互いに素とか関係ない。（念のための確認。）

おまけ：

問題
斜辺が１０ｃｍの１５°，７５°，９０°の直角三角形の残りの２辺の長さを中学数学で求めて下さい。

解法１
ＡＢを斜辺，∠Ａ＝１５°，∠Ｃ＝９０°とした△ＡＢＣを描き、ＡＢの中点をＭとしＣＭを結ぶと、定石よりＭＡ＝ＭＢ＝ＭＣ（△ＡＢＣの外接円を考えると半径で等しい。）∴ＭＣ＝１０÷２＝５ｃｍ　また、∠ＢＭＣ＝３０°ここで、ＣからＢＭに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＣＭＨは１：２：√３の直角三角形。
∴ＣＨ＝５/２ｃｍ，ＭＨ＝５√３/２ｃｍ　∴ＡＨ＝５√３/２＋５ｃｍ
よって、△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、ＡＣ＝√{(５/２)^2＋(５√３/２＋５)^2}＝√(２５/４＋７５/４＋２５＋２５√３)＝√(５０＋２５√３)＝５√(２＋√３)＝(５/２)√(８＋４√３)＝(５/２)√(√６＋√２)^2＝(５/２)(√６＋√２)＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
∴ＡＣ＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
また、三平方の定理を使うと、
ＢＣ＝√(１０^2－ＡＣ^2)＝√{１００－(５０＋２５√３)}＝√(５０－２５√３)＝５(√６－√２)/２ｃｍ（計算は上と同じなので省略した。）
ＡＣ＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
ＢＣ＝５(√６－√２)/２ｃｍ

解法２
ＡＢを斜辺，∠Ａ＝１５°，∠Ｃ＝９０°とした△ＡＢＣを描き、ＡＣ上に∠ＤＢＣ＝６０°となる点Ｄを取ると、△ＤＢＣは１：２：√３の直角三角形で、△ＤＡＢは底角が１５°の二等辺三角形になる。
よって、ＢＣ＝ｘと置くと、ＤＣ＝√３ｘ，ＤＢ＝ＤＡ＝２ｘ　∴ＡＣ＝２ｘ＋√３ｘ＝(２＋√３)ｘ
よって、△ＡＢＣで三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋{(２＋√３)ｘ}^2＝１０^2　∴ｘ^2＋(７＋４√３)ｘ^2＝１００　∴(８＋４√３)ｘ^2＝１００
∴ｘ^2＝１００/(８＋４√３)＝１００(８－４√３)/１６＝２５(８－４√３)/４＝２５(√６－√２)^2/４
∴ｘ^2＝２５(√６－√２)^2/４
∴ｘ＝５(√６－√２)/２
∴ＢＣ＝５(√６－√２)/２ｃｍ
また、ＡＣ＝(２＋√３)ｘ＝(２＋√３){５(√６－√２)/２}＝５(２＋√３)(√６－√２)/２＝５(２√６－２√２＋３√２－√６)/２＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
∴ＡＣ＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
ＢＣ＝５(√６－√２)/２ｃｍ

おまけ：
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1061214770（ヤクザがいい味出しているなと思っていました。笑）

何でもありの解法１
△ＣＢＥは１５°，７５°，９０°の直角三角形より、その三辺比を使うと、
ＣＥ：１０＝√６＋√２：４　
∴ＣＥ＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
ＢＥ：１０＝√６－√２：４　
∴ＢＥ＝５(√６－√２)/２ｃｍ
よって、条件よりＡＤ＝５(√６－√２)/２ｃｍ
ここで、ＤからＣＥに垂線を下ろしその足をＨとすると、四角形ＡＥＨＤは３直角から４直角となり長方形である。
∴ＥＨ＝ＡＤ＝５(√６－√２)/２ｃｍ
∴ＣＨ＝５(√６＋√２)/２－５(√６－√２)/２＝５√２ｃｍ
また、△ＣＤＨは１：２：√３の直角三角形より、ＤＨ＝ＣＨ/√３＝５√２/√３＝５√６/３ｃｍ
∴四角形ＡＢＣＤ＝長方形ＡＥＨＤ＋△ＤＨＣ＋△ＣＢＨ
＝(５√６/３)×{５(√６－√２)/２}＋５√２×(５√６/３)×(１/２)＋{５(√６＋√２)/２}×{５(√６－√２)/２}×(１/２)
＝２５(６－２√３)/６＋２５・２√３/６＋２５・４/４×(１/２)
＝２５・６/６＋２５/２＝２５＋２５/２＝７５/２ｃｍ^2
よって、答えは、３７．５ｃｍ^2

おまけ：

何でもありの解法２
ＢＥ＝１０cos75°＝１０cos(30°＋45°)＝１０(cos30°cos45°－sin30°sin45°)＝１０{(√３/２)(１/√２)－(１/２)(１/√２)＝１０(√６/４－√２/４)＝５(√６－√２)/２ｃｍ
ＣＥ＝１０sin75°＝１０sin(30°＋45°)＝１０(sin30°cos45°＋cos30°sin45°)＝１０{(１/２)(１/√２)＋(√３/２)(１/√２)＝１０(√２/＋－√６/４)＝５(√６＋√２)/２ｃｍ
以後、解法１と同じ。

高校数学は工夫がいらなくて良いですね。その代わり面白くありませんが。念のため、全ての問題が根性で解ける訳ではありあせん。

おまけ：

算数の解法
ＡＥ上にＦＥ＝ＢＥとなる点Ｆを取ると、△ＣＦＥと△ＣＢＥは合同。よって、∠ＦＣＥ＝∠ＢＣＥ＝１５°よって、∠ＦＣＢ＝１５°＋１５°＝３０°
また、ＣＦ＝ＣＢ＝１０ｃｍ　ここで、ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＦＣＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型。よって、ＦＨ＝ＣＦ÷２＝５ｃｍ
よって、△ＦＢＣ＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
また、ＥＡの延長とＣＤの延長との交点をＧとし、ＦからＣＧに垂線を下ろしその足をＩとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＣＦＩと△ＣＦＥは合同。
よって、ＦＩ＝ＦＥ　また、ＦＥ＝ＢＥ＝ＡＤより、ＦＩ＝ＡＤ　よって、△ＧＡＤと△ＧＩＦは∠Ｇと直角の２角が等しいので相似でＦＩ＝ＤＡより合同である。
よって、四角形ＡＢＣＤ＝四角形ＩＦＢＣ＝△ＣＢＥ＋△ＣＦＥ＋△ＣＦＩ＝△ＣＢＥ×３＝△ＦＢＣ×(３/２)＝２５×(３/２)＝７５/２ｃｍ^2
よって、答えは、３７．５ｃｍ^2

おまけ：
「本場のルグラン、ルゾー、フォンブリューヌなどの研究者たちもこの説である。それを支えるのは、この手紙の初めに書かれた、「不屈で強大なアンリ二世陛下へ」という宛て名の「二世（スゴン）」という言葉だ。このスゴン（英語で言えばセカンド）には、「二世」という意味のほかに、「新しい」「やがて来たるべき」「二という数字によって導かれる」などの意味がある。
　それらを採ると、これは十六世紀のアンリ二世への手紙ではなく、「未来のアンリ」「やがて来たるべきアンリ」へ宛てた予言らしいということになってくる。しかもこの「アンリ」は、日本で言えば「太郎」や「一郎」、ごくありふれた男の子の名前。さらに男の子一般を呼ぶのに使う普通代名詞にもなっているのだ。
　ここから、この「アンリ二世への手紙＝ノストラダムスの黙示録」は、特定の中世のフランス王に対してではなく、未来の若者たちぜんぶに宛てた熱いメッセージだったのかもしれない、という推理が生まれてくる。」
五島勉氏の本からの抜粋