数学

解法１
円Ｏと接線ＡＣとの接点をＴとしＯＴを結ぶと、接戦と円の中心との関係より、ＯＴ⊥ＡＣ
∴∠ＡＴＯ＝９０°よって、△ＡＴＯは１：２：√３の直角三角形である。
ここで、円Ｏの半径をｒとすると、ＯＴ＝ＯＢ＝ｒ　また、１：２：√３の直角三角形より、ＡＯ＝２ｒ
∴ＡＢ＝ＡＯ＋ＯＢ＝２ｒ＋ｒ＝３ｒ　また、ＡＢ＝１０ｃｍより、３ｒ＝１０が成り立つ。
∴ｒ＝１０/３ｃｍ
よって、答えは、１０/３ｃｍ

「難しくないけど、簡単に答えは出ない問題！」はうっかりでしょうか。念のため、誰でも勘違いはありますからね。

おまけ：

解法２
ＢＣを結ぶと、ＡＢは直径より∠ＡＣＢ＝９０°よって、△ＡＢＣは１：２：√３の直角三角形より、ＢＣ＝５ｃｍ
また、円Ｏと接線ＡＣとの接点をＴとしＯＴを結ぶと、接戦と円の中心との関係より、ＯＴ⊥ＡＣ
∴ＯＴ//ＢＣ　∴△ＡＯＴ∽△ＡＢＣ　∴ＡＯ：ＯＴ＝ＡＢ：ＢＣ　
よって、円Ｏの半径をｒと置くと、１０－ｒ：ｒ＝１０：５　∴１０ｒ＝５(１０－ｒ)　∴１５ｒ＝５０
∴ｒ＝１０/３
よって、答えは、１０/３ｃｍ

おまけ：
https://www.oricon.co.jp/special/50797/

解法３
円Ｏと接線ＡＣとの接点をＴとしＯＴを結ぶと、接線と円の中心との関係より、ＯＴ⊥ＡＣ
∴∠ＡＴＯ＝９０°よって、△ＡＴＯは１：２：√３の直角三角形である。
ここで、円Ｏの半径をｒとすると、ＡＴ＝√３ｒ　また、ＡＢと円Ｏとの点Ｂ以外の交点をＳとすると、ＡＳ＝１０－２ｒ
よって、方べきの定理を使うと、
ＡＴ^2＝ＡＳ・ＡＢより、
(√３ｒ)^2＝(１０－２ｒ)・１０が成り立つ。
∴３ｒ^2＝１００－２０ｒ　
∴３ｒ^2＋２０ｒ－１００＝０　
∴(ｒ＋１０)(３ｒ－１０)＝０
∴ｒ＝－１０，１０/３　ｒ＞０より、ｒ＝１０/３
よって、答えは、１０/３ｃｍ

おまけ：

解法１
ＢＣを１辺とした正三角形ＥＢＣを頂点Ｅが△ＡＢＣの内部にあるように作りＥＡを結ぶと、
ＢＥ＝ＢＣ＝ＡＤより、ＢＥ＝ＡＤ　
また、∠ＥＢＡ＝８０°－６０°＝２０°より、
∠ＥＢＡ＝∠ＤＡＢ
よって、△ＥＢＡと△ＤＡＢにおいてＢＥ＝ＡＤ，∠ＥＢＡ＝∠ＤＡＢ，ＡＢは共通より、二辺挟角が等しいので、２つの三角形は合同。
ところで、二等辺三角形と正三角形の対称性より、∠BＡＥ＝２０°÷２＝１０°
よって、∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＥ＝１０°
よって、答えは、１０°

解法２
△ＡＢＣは頂角が２０°の二等辺三角形より、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝８０°
ここで、辺ＡＣ上に∠ＥＢＣ＝２０°となる点Ｅを取ると、△ＢＣＥは△ＡＢＣと相似な二等辺三角形になり、ＢＣ＝ＢＥ，∠ＢＥＣ＝８０°，∠ＥＢＡ＝８０°－２０°＝６０°
また、辺ＡＢ上に∠ＦＥＢ＝６０°となる点Ｆを取ると△ＢＥＦは正三角形になり、ＢＥ＝ＥＦ，
∠ＦＥＡ＝１８０°－６０°－８０°＝４０°，
∠ＥＦＢ＝６０°
さらに辺ＡＣ上に∠ＦＤ'Ｅ＝４０°となる点Ｄ'を取ると、△ＦＥＤ'は二等辺三角形より、
ＥＦ＝Ｄ'Ｆ，∠ＥＦＤ'＝１８０°－４０°－４０°＝１００°
よって、∠Ｄ'ＦＡ＝１８０°－１００°－６０°＝２０°また、∠Ｄ'ＡＦ＝∠ＣＡＢ＝２０°より、
∠Ｄ'ＦＡ＝∠Ｄ'ＡＦ　
よって、△Ｄ'ＦＡは二等辺三角形である。
よって、Ｄ'Ｆ＝ＡＤ'
以上より、ＢＣ＝ＢＥ＝ＥＦ＝Ｄ'Ｆ＝ＡＤ'　
よって、ＢＣ＝ＡＤ'で、条件よりＢＣ＝ＡＤなので、点Ｄと点Ｄ'は一致している。
ところで、△ＦＢＤ'は頂角が６０°＋１００°＝１６０°の二等辺三角形より、∠ＦＢＤ'＝１０°
よって、∠ＡＢＤ'＝１０°
よって、∠ＡＢＤ＝１０°
よって、答えは、１０°

念のため、解法２はオリジナルです。
解法３のヒント：ＡＢを１辺とする正三角形ＥＡＢを描いて下さい。
解法４のヒント：△ＡＢＣを３つ連ねて下さい。（今回の新作。）
また、工夫なしの電卓ありの解法を作ってみて下さい。（まだ、完成させていませんが、結構面白いと思います。工夫の代わりに知識とそれを生かせる知恵が必要だと思います。）

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12753834833.html

電卓ありの解法
ＡＢ＝ＡＣ＝１と置くと、ＢＣ＝２cos80°（sin10°を使っても良い。）
∴ＡＤ＝ＢＣ＝２cos80°
∴ＣＤ＝１－２cos80°
よって、△ＣＢＤで余弦定理を使うと、
ＢＤ^2＝(２cos80°)^2＋(１－２cos80°)^2－２・２cos80°(１－２cos80°)・cos80°
＝４(cos80°)^2＋１＋４(cos80°)^2－４cos80°－４(cos80°)^2＋８(cos80°)^3
＝８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１
∴ＢＤ^2＝８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１―――①
また、△ＡＢＤで余弦定理を使うと、
ＢＤ^2＝１^2＋(２cos80°)^2－２・１・２cos80°・cos20°＝１＋４(cos80°)^2－４cos20°cos80°
∴ＢＤ^2＝１＋４(cos80°)^2－４cos20°cos80°―――②
①，②より、
８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１＝１＋４(cos80°)^2－４cos20°cos80°
∴８(cos80°)^3－４cos80°＋４cos20°cos80°＝０
cos80°≠０より両辺を４cos80°で割ると、
２(cos80°)^2－１＋cos20°＝０
∴cos20°＝１－２(cos80°)^2―――③
③を②に代入すると、
ＢＤ^2＝１＋４(cos80°)^2－４{１－２(cos80°)^2}cos80°
＝１＋４(cos80°)^2－４cos80°＋８(cos80°)^3
＝８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１
∴ＢＤ＝√{８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１}
ここで、△ＡＢＤで正弦定理を使うと、
２cos80°/sin∠ABD＝√{８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１}/sin20°
∴sin∠ABD＝２sin20°cos80°/√{８(cos80°)^3＋４(cos80°)^2－４cos80°＋１}
この右辺を電卓で計算すると、
sin∠ABD＝0.1187823/0.6840402＝0.1736481
これを電卓の逆三角関数機能で求めると、
∠ABD＝9.99999…°∴∠ＡＢＤ＝１０°
よって、答えは、１０°

おまけ：

解法３
△ＡＢＣは頂角が２０°の二等辺三角形より、
∠ＡＣＢ＝８０°
ここで、辺ＡＢの外側にＡＢを１辺とした正三角形ＥＡＢを作り、ＥＤを結ぶと、
∠ＥＡＤ＝６０°＋２０°＝８０°
よって、∠ＡＣＢ＝∠ＥＡＤ　また、ＡＣ＝ＡＢ，ＡＢ＝ＡＥより、ＣＡ＝ＡＥ　
また、条件よりＣＢ＝ＡＤ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＣと△ＥＤＡは合同である。
よって、∠ＤＥＡ＝∠ＢＡＣ＝２０°
よって、∠ＢＥＤ＝６０°－２０°＝４０°
また、ＥＡ＝ＥＤ，ＥＡ＝ＥＢより、ＥＤ＝ＥＢ
よって、△ＥＢＤは頂角が４０°の二等辺三角形より、∠ＥＢＤ＝(１８０°－４０°)÷２＝７０°
また、∠ＥＢＡ＝６０°
よって、∠ＡＢＤ＝７０°－６０°＝１０°
よって、答えは、１０°

中学生用の補足
△ＡＢＣ≡△ＥＤＡから、△ＥＤＡも頂角が２０°の二等辺三角形。ここで、点Ｅを中心に半径ＥＡの円を考えると、ＥＢ＝ＥＡよりその円は点Ｂを通る。
よって、中心角と円周角の関係より、∠ＡＢＤ＝(１/２)∠ＡＥＤ＝(１/２)×２０°＝１０°
と求めても良い。
因みに、点Ａを中心に半径ＡＣの円を描いても解にはつながらない。条件のＡＤ＝ＢＣを使っていないからである。（△ＡＢＣ≡△ＥＤＡが大事という事。）

おまけ：
「千春は、回り道をして中京女子大に入学した。最初に進んだのは東洋大だったが、女子部員はわずか３人。妹の馨から、中京の練習内容を聞いて、「このままでは」と、東洋大を退学、中京へ入学してきた。」
引用元：https://number.bunshun.jp/articles/-/12166?page=4

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10223468055

解法４
△ＡＢＣを立てて、辺ＡＢの外側に△ＡＢＣと合同な△ＡＥＢを描き、辺ＡＣの外側に△ＡＢＣと合同な△ＡＦＣを描き、ＥＦを結ぶと∠ＥＡＦ＝２０°×３＝６０°でＡＥ＝ＡＦより△ＡＥＦは正三角形。
よって、ＥＦ＝ＡＦ＝ＡＣ＝ＡＢより、
ＥＦ＝ＡＢ―――①
また、条件よりＢＣ＝ＡＤ　また、ＢＣ＝ＥＢより、ＥＢ＝ＡＤ―――②
ところで、四角形ＢＣＦＥは等脚台形で∠ＥＢＣ＝ＢＣＦ＝８０°×２＝１６０°より、
∠ＢＥＦ＝(３６０°－１６０°－１６０°)÷２＝２０°よって、∠ＢＥＦ＝∠ＤＡＢ―――③
①，②，③より、二辺挟角が等しいので、△ＥＢＦと△ＡＤＢは合同。
ここで、∠ＢＦＥの角度を求めて∠ＡＢＤの値としても良いが、∠ＡＢＤの値を直接求める事にする。
合同より、ＢＦ＝ＤＢ　また、△ＡＢＣと△ＡＦＣの対称性より、ＤＢ＝ＤＦ
よって、ＢＦ＝ＤＢ＝ＤＦより△ＤＢＦは正三角形。よって、∠ＤＢＦ＝６０°また、△ＣＢＦは頂角が１６０°の二等辺三角形より、∠ＣＢＦ＝(１８０°－１６０°)÷２＝１０°
よって、∠ＡＢＤ＝８０°－６０°－１０°＝１０°
よって、答えは、１０°

おまけ：

解説
＞Ｕ(ℤ5)＝{|１，|２，|３，|４}＝ℤ5－{|０}
は乗法に関して群になることが証明されるが、このことは群の乗積表を見ても容易にわかる。

ここでのU(ℤ5)は「環Ｒの可逆元の全体をＵ(Ｒ)」ではなく、既約剰余類の事である。

定義2.3
ｎを法とするａの剰余類Ｃaは(ａ，ｎ)＝１であるとき、既約剰余類であるという。ｎを法とする剰余類の集合ℤnにおいて、既約剰余類の集合をＵ(ℤn)で表す。（p.40）

つまり、Ｕ(ℤ5)＝{|１，|２，|３，|４}である。これを「環Ｒの可逆元の全体をＵ(Ｒ)」として、また、後出定理2.10で乗法に関して群になることが証明されるので、結局、ℤ5^*の全ての元が可逆元である（逆元を持つから）事になり、定義1.4により体になるという訳である。

定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ，ｎ)＝１}

定義1.4
環Ｒの０_R以外の元がすべてＲにおいて可逆元であるとき、Ｒを斜体という。さらに、Ｒの乗法が可換であれば、Ｒを可換体または単に体という。

ところで、既約剰余類のＵと可逆元全体のＵを同一視して良いのだろうか。今回は５が素数だから同一視できただけなのだろうか。
これはｎがいくつであっても同一視できる。その理由は、定理2.10で既約剰余類は群で全ての元が乗法に関して逆元を持つからである。
具体的には、第２章の問1.7のＵ(ℤn)（ｎ＝７，…，１２）についての積の演算表を見て欲しい。どの行（列）にも１があるだろう。つまり、相手の逆元がどの元にも存在しているという事である。念のため、群表だから当然の事だが。（「演習　群・環・体 入門」新妻弘著）

因みに、１回目読んだ時は既約剰余類に気付かず、Ｕ(ℤ5)＝{|１，|２，|３，|４}が可逆元全体かどうか調べただけだと思います。やはり、２回以上読まないと中々真意は分かりませんね。補足解説してくれれば助かるのですが、別にそんな義務はありませんからね。

因みに、こちらの本が分かり易そうです。https://www.amazon.co.jp/%E3%81%AA%E3%81%A3%E3%81%A8%E3%81%8F%E3%81%99%E3%82%8B%E7%BE%A4%E3%83%BB%E7%92%B0%E3%83%BB%E4%BD%93-%E3%81%AA%E3%81%A3%E3%81%A8%E3%81%8F%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E9%87%8E%E5%B4%8E-%E6%98%AD%E5%BC%98/dp/4061545728/ref=sr_1_1?adgrpid=136131594880&gclid=EAIaIQobChMIs6fg8-HN_AIVw2OLCh1nXQM9EAAYASAAEgLWh_D_BwE&hvadid=611262186915&hvdev=c&hvlocphy=1009318&hvnetw=g&hvqmt=e&hvrand=14434201314625736278&hvtargid=kwd-334583708873&hydadcr=4073_13255636&jp-ad-ap=0&keywords=%E3%81%AA%E3%81%A3%E3%81%A8%E3%81%8F%E3%81%99%E3%82%8B%E7%BE%A4+%E7%92%B0+%E4%BD%93&qid=1673929664&s=books&sr=1-1（縁がありませんでした。お陰で死ぬほど苦労しました。笑）

おまけ：

問題１
次の計算をして下さい。
1.11+2.22+3.33+4.44+5.55+6.66+7.77+8.88+9.99

解法１
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５より、
与式＝４５＋４．５＋０．４５＝４９．９５

解法２
1.11+2.22+3.33+4.44+5.55+6.66+7.77+8.88+9.99は奇数個で真ん中は５．５５である。そして、４．４４と６．６６の平均は５．５５，３．３３と７．７７の平均も５．５５，以下同じなので、
与式＝５．５５×９＝４９．９５

解法３
等差数列の和の公式より、総和＝(初項＋末項)×項数÷２なので、
答えは、(１．１１＋９．９９)×９÷２＝１１．１×９÷２＝９９．９÷２＝(１００－０．１)÷２＝５０－０．０５＝４９．９５

問題２
６÷(２/３)＝？
この計算の答えは？ また、そうなる理由は？

解答例
要は、６の中に２/３がいくつあるかという事である。
そこで、線分図（数直線）で１を３つに区切ると１/３が３個である。
よって、６は１/３が３×６＝１８個である。ここで、（６までの）線分図を見ると、２/３は１/３が２個分なので、１８÷２＝９個ある事が分かる。
よって、答えは、９

模範解答は知りません。

－×－が＋と同じように÷×÷が×を使うと、

６÷(２/３)＝６÷(２÷３)＝６÷２×３＝３×３＝９ですね。どうでも良い話ですが。

おまけ：

問題１の解答
２円のダブり部分と２円と長方形との隙間部分の面積が等しいので、ダブりの１つオをア，イ，ウ，エに分散移動させると考えると、２円の面積と長方形の面積は等しい事が分かる。
よって、４×４×３．１４×２＝１０×長方形の横の長さ、が成り立つ。
よって、長方形の横の長さは、３．１４×３２÷１０＝１０．０４８ｃｍ
よって、答えは、１０．０４８ｃｍ

問題２の解答
「定価の１０％引きの１０％引き」とは、「定価の１０％引き」が「定価の９割」より「定価の９割の９割」である。
つまり、定価を１とすると、０．９×０．９＝０．８１＝８１％である。
よって、定価の１９％引きより、定価の２０％引きより１％高い。
よって、答えは、定価の１％高い。

おまけ：

解法１　模範解答
ＨからＡＤに垂線を下ろしその足をＩとすると、錯角より∠ＨＡＩ＝∠ＡＭＢ
また、∠ＨＩＡ＝∠ＡＢＭより２角が等しいので、△ＨＩＡと△ＡＢＭは相似。
また、直角から斜辺に垂線が下りている形なので、定石により△ＨＩＡと△ＤＩＨも相似。（証明は簡単で省略。）
ところで、△ＡＢＭの直角を挟む２辺の比は１：２より、△ＨＩＡと△ＤＩＨの直角を挟む２辺の比も１：２である。
よって、ＡＩ＝①とすると、ＨＩ＝②，ＤＩ＝④より、ＡＤ＝①＋④＝⑤
よって、⑤＝１０ｃｍである。よって、①＝２ｃｍ　よって、ＨＩ＝②＝４ｃｍ
よって、△ＨＡＤ＝１０×４÷２＝２０ｃｍ^2
また、△ＭＡＤ＝１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、△ＭＨＤ＝５０－２０＝３０ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積は、３０ｃｍ^2

解法２
ＤＨの延長とＣＢの延長との交点をＥとし、ＤＥとＡＢとの交点をＦとすると、∠ＨＡＤ＝∠ＡＭＢ，∠ＤＨＡ＝∠ＡＢＭより２角が等しいので、△ＤＨＡと△ＡＢＭは相似。また、△ＤＨＡと△ＤＡＦも相似なので、△ＤＡＦと△ＡＢＭは相似であり、ＡＤ＝ＡＢなので合同である。よって、点Ｆは点Ｍと同様にＡＢの真ん中の点である。
また、△ＦＥＢと△ＦＤＡは相似でＦＢ＝ＦＡより合同である。よって、ＢＥ＝ＡＤ＝１０ｃｍ
よって、ＥＭ＝１０＋５＝１５ｃｍ
ところで、△ＨＥＭと△ＨＤＡも相似で相似比は１５：１０＝３：２になる。
よって、ＭＨ：ＭＡ＝３：５　
よって、△ＤＭＨ：△ＤＭＡ＝３：５　
よって、△ＤＭＨ＝(３/５)×△ＤＭＡ
＝(３/５)×△ＭＡＤ＝(３/５)×(１０×１０÷２)
＝(３/５)×５０＝３０ｃｍ^2
よって、答えは、３０ｃｍ^2

アイデア引用元：https://www.e-juken.jp/blog/maeda/2016/01/2016_1.html

因みに、検索したらもう１通りありましたが、私の解法とは違いました。ちょっとだけ似ていましたが。それらは次回。

おまけ：https://news.yahoo.co.jp/articles/7e7aeab86fb0c19da2515b2637dec6372db5f684

解法３　私のオリジナル
ＤＣの延長とＡＭの延長との交点をＥとすると、△ＥＭＣと△ＥＡＤは相似で相似比は１：２より、
ＤＥ＝２０ｃｍ
また、△ＤＡＥは直角三角形で直角から斜辺に垂線が下りている形なので、定石により△ＤＡＨと△ＥＤＨは相似で相似比は１０：２０＝１：２より、面積比は１×１：２×２＝１：４
よって、△ＤＡＨ：△ＥＨＤ＝１：４より、△ＤＡＨは△ＤＡＥの１/５の面積。
よって、△ＤＡＨ＝(１０×２０÷２)÷５＝２０ｃｍ^2
また、△ＭＡＤ＝１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積は、５０－２０＝３０ｃｍ^2
よって、答えは、３０ｃｍ^2

解法４
ＤＨの延長とＡＢとの交点をＥとすると、錯角より∠ＨＡＤ＝∠ＡＭＢ，∠ＤＨＡ＝∠ＡＢＭより２角が等しいので、△ＤＨＡと△ＡＢＭは相似。また、△ＤＨＡと△ＤＡＥも相似なので、△ＤＡEと△ＡＢＭは相似であり、ＡＤ＝ＡＢなので合同である。よって、点Ｅは点Ｍと同様にＡＢの真ん中の点である。
ところで、△ＡＤＥは直角三角形で直角から斜辺に垂線が下りている形なので、定石により△ＤＨＡと△ＡＨＥは相似で相似比は２：１
よって、面積比は２×２：１×１＝４：１　
よって、△ＤＨＡ：△ＡＨＥ＝４：１　
よって、△ＤＨＡは△ＡＤＥの面積の４/５である。
よって、△ＤＨＡ＝(５×１０÷２)×(４/５)＝２０ｃｍ^2
また、△ＭＡＤ＝１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積は、５０－２０＝３０ｃｍ^2
よって、答えは、３０ｃｍ^2
アイデア引用元：https://www.xn--udk1b166r5bctsai43a.com/kakomon/kako074.html（ただし、最後の所は変えました。）

念のため、解法３は解法４を見た後に開発した訳ではありません。

おまけ：
https://zatsuneta.com/archives/003325.html

＞定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ）

証明
ａ・ｃ＝ｂ・ｃと仮定すると、(ａ－ｂ)・ｃ＝０　ここでＲは整域であるから、０と異なる零因子はない。したがって、ａ－ｂ＝０でなければならない。ゆえにａ＝ｂ

整域Ｒには、群と違って乗法に関する逆元が存在する訳ではないので、ａ・ｃ＝ｂ・ｃの両辺に右からｃ^-1を掛ける事が出来ないので、両辺に右から－ｂ・ｃを加えて、ａ・ｃ－ｂ・ｃ＝ｂ・ｃ－ｂ・ｃ―ーー①
ところで、整域は環なので乗法に関して閉じているので、ｂ・ｃ∈Ｒ　また、環は加法に関して群をなしているので、逆元－ｂ・ｃが存在して、ｂ・ｃ＋(－ｂ・ｃ)＝０（加法の単位元）∴ｂ・ｃ－ｂ・ｃ＝０―――②
①，②より、ａ・ｃ－ｂ・ｃ＝０
また、整域は環より分配法則が成り立つ。
∴(ａ－ｂ)・ｃ＝０　そして、整域より０と異なる零因子が存在しないので、ａ－ｂ＝０またはｃ＝０で、条件よりｃ≠０なので、ａ－ｂ＝０　この両辺に右からｂを加えると、ａ－ｂ＋ｂ＝０＋ｂ　
∴ａ＋０＝ｂ　∴ａ＝ｂ

ちょっとくどかったでしょうか。本当は最後の所も加法群だから逆元を加えると加法の単位元０になると付けようかと思いましたが。

因みに、整数全体の集合は乗法に関して群をなしていないので、消去律が成り立つが、証明は定理1.3のようにしなければならない。具体的には、ａ・２＝ｂ・２の両辺に右から１/２を掛ける事は出来ないので、ａ・２－ｂ・２＝０として(ａ－ｂ)・２＝０　∴ａ－ｂ＝０　∴ａ＝ｂ　という事。

行列の話はあまり意味がないので省略。要は逆元（逆行列）の話。また、行列だったら(ａ－ｂ)・ｃ＝０，ｃ≠０からａ－ｂ＝０と出来るとは限らないという話。

おまけ：

問題１の解法１　数学が出来る人の解法
等差数列の和の公式より、総和＝(初項＋末項)×項数÷２なので、答えは、(２＋２００)×１００÷２＝１０１×１００＝１０１００

解法２　受験算数が出来る人の解法
全てを２で割ると、１＋２＋３＋…＋１００なので、これを受験算数で使う公式で求めて２倍すると、
公式は、１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２より、
答えは、１００×１０１÷２×２＝１０１００

解法３　工夫で解くマニアな人用の解法
２＋４＋６＋・・・・＋１９６＋１９８＋２００
これを最初と最後からペアとして足していくと、２０２＋２０２＋２０２＋・・・＋２０２と、２０２が１００個の半分の５０個になるので、
答えは、２０２×５０＝１０１００

念のため、この解法は奇数個の場合は使えない。ただし、その場合はまた別の方法がある。

解法４　工夫で解くマニアな人用の解法２
与えられた式を、１＋２＋３＋…＋２００－(１＋３＋５＋…＋１９９)と考えて、
１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２という公式と
１＋３＋５＋…＋(２ｍ－１)＝ｍ^2という公式を利用すると、
（ｎ＝２００，２ｍ－１＝１９９からｍ＝１００より）
与式＝２００×２０１÷２－１００^2＝２０１００－１００００＝１０１００

因みに、１＋２＋３＋…＋２００－(１＋３＋５＋…＋１９９)　これもそれぞれ偶数個ずつなので、解法３と同じ方法を使うと、
答えは、２０１×１００個－２００×５０個＝２０１００－１００００＝１０１００

補足：１＋３＋５＋７＋・・・＋１９９を１項目，２項目までの和，３項目までの和，・・・・と計算して行くと、小学校低学年でも公式の意味が分かる。つまり、
１，１＋３＝４，１＋３＋５＝９，１＋３＋５＋７＝１６，・・・より、
１×１，２×２，３×３，４×４，・・・・となっている事が実感出来る。

● 〇 ● 〇
〇 〇 ● 〇
● ● ● 〇
〇 〇 〇 〇

上の図を内側から考えると、１＋３＋５＋７となっている事が分かると思うが、正方形の面積で個数を考えると、
１＝１×１，１＋３＝２×２，１＋３＋５＝３×３，１＋３＋５＋７＝４×４となっている事が分かるだろう。
よって、１＋３＋５＋・・・＝□×□である。
これが和算である。（念のため、１＋３＋５＋…の末項の値が□ではない。）

おまけ：
https://twitter.com/baran_748/status/1500390884286038016

問題２の解法１
定理より、多角形の外角の和は一律３６０°なので、正十角形の外角の和も３６０°
ところで、正多角形の外角は全て等しいので、１つの外角は、３６０°÷１０＝３６°
よって、答えは、３６°

解法２
正十角形の中心をＯとして、３つの頂点をＡ，Ｂ，Ｃとすると、△ＯＡＢと△ＯＢＣは合同な二等辺三角形で、その頂角（中心角）は、３６０°÷１０＝３６°
よって、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝(１８０°－３６°)÷２＝１４４°÷２＝７２°
よって、∠ＡＢＣ＝∠ＯＢＡ＋∠ＯＢＣ＝７２°＋７２°＝１４４°
よって、１つの内角が１４４°より、外角は１８０°－１４４°＝３６°
よって、答えは、３６°

補足
多角形の外角の和は一律３６０°の証明
多角形をｎ角形とすると、
多角形の内角の和は公式より、１８０°×(ｎ－２)
ところで、１つの内角＋１つの外角＝１８０°より、多角形の全ての内角と全ての外角の和は、１８０°×ｎ
よって、多角形の外角の和は、
１８０°×(ｎ－２)－１８０°×ｎ＝３６０°
よって、示された。

多角形の外角の和は一律３６０°の証明２
例えば、△ＡＢＣを描き、どこでも良いから点Ｐを取る。（見やすいから三角形の内部が良い。）
ここで、ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの延長上にそれぞれ点Ｌ，Ｍ，Ｎを取り、ＰからＡＮと平行な線分ＰＮ'，ＰからＢＬと平行な線分ＰＬ'，ＰからＣＭと平行な線分ＰＭ'を引くと、∠ＢＡＮ＝∠Ｌ'ＰＮ'―――①　∠ＣＢＬ＝∠Ｍ'ＰＬ'―――②　∠ＡＣＭ＝∠Ｎ'ＰＭ'―――③
①＋②＋③より、∠ＢＡＮ＋∠ＣＢＬ＋∠ＡＣＭ＝∠Ｌ'ＰＮ'＋∠Ｍ'ＰＬ'＋∠Ｎ'ＰＭ'＝３６０°
よって、△ＡＢＣの外角の和は３６０°である。これはｎ角形で成り立つので、多角形の外角の和は一律３６０°である。（念のため、ｎが増えると点Ｐの周りの３６０°が細かく割れるという事。）

ちょっと検索した所、証明２は見られませんでした。

おまけ：

解説
＞したがって、(ａｂ)(ｂ'ａ')＝(ｂ'ａ')(ａｂ)＝１が成り立つので、ｂ'ａ'はａｂの可逆元である。

これは誤植ですね。つまり、ａｂはｂ'ａ'の可逆元である、が正しい。（念のため、この式だけでは言えないが、目的を考えれば誤植である。）
ついでに、
＞(ｂ'ａ')(ａｂ)＝ｂ'(ａ'ａ)ｂ＝ｂ'１ｂ＝ｂｂ'＝１

これの最後の所もｂ'ｂ＝１の方が良いですね。

＞（Ｇ３）Ｕ(Ｒ)の任意の元ａについて、定義によってａの乗法逆元ａ^-1∈Ｕ(Ｒ)が存在する。

定義：ａは可逆元⇔∃ｂ∈Ｒ，ａ・ｂ＝ｂ・ａ＝１_R
可逆元ａの逆元ｂをａ^-1で表す。

より、ａ^-1∈Ｒ　また、ａ∈Ｕ(Ｒ)⊂Ｒより、
ａ∈Ｒ
よって、ａ・ａ^-1＝ａ^-1・ａ＝１_Rで、
ａ∈Ｒ，ａ^-1∈Ｒより、ａとａ^-1のどちらも可逆元である。
∴ａ^-1∈Ｕ(Ｒ)
よって、ａ∈Ｕ(Ｒ)⇒ａ^-1∈Ｕ(Ｒ)

おまけ：

解説
＞（３）(－ａ)・(－ｂ)＝－{ａ・(－ｂ)}
　　　　　　　　　 ＝－{－(ａ・ｂ)}
　　　　　　　　　 ＝ａ・ｂ

（２）の(－ａ)・ｂ＝－(ａ・ｂ)のｂに－ｂを代入すると、）(－ａ)・(－ｂ)＝－{ａ・(－ｂ)}
また、（２）のａ・(－ｂ)＝－(ａ・ｂ)をそのまま当てはめると、(－ａ)・(－ｂ)＝－{－(ａ・ｂ)}
ところで、逆元の逆元はもとの元より、－{－(ａ・ｂ)}＝ａ・ｂ
∴(－ａ)・(－ｂ)＝ａ・ｂ

逆元の逆元はもとの元の証明
逆元の定義より、ａ◦ａ^-1＝ａ^-1◦ａ＝ｅ　また、ａ^-1の逆元を考えると、ａ^-1◦(ａ^-1)^-1＝ｅ（逆は省略。）―――①
ところで、ａ^-1◦ａ＝ｅ―――②　
①，②より(ａ^-1)^-1＝ａである。よって、逆元の逆元はもとの元である。
ところで、加法ではａの逆元は－ａより、－(－ａ)＝ａという事である。

＞（４）ａ・(ｂ－ｃ)＝ａ・ｂ－ａ・ｃ，(ｂ－ｃ)・ａ＝ｂ・ａ－ｃ・ａ：
ａ・(ｂ－ｃ)＋ａ・ｃ＝ａ・{(ｂ－ｃ)＋ｃ}
　　　　　　　　 ＝ａ・{ｂ＋(－ｃ＋ｃ)}（分配法則）
　　　　　　　　 ＝ａ・{ｂ＋０_R}（結合法則）
　　　　　　　　 ＝ａ・ｂ
∴ａ・(ｂ－ｃ)＋ａ・ｃ＝ａ・ｂ
そこで、－ａ・ｃを両辺に加えると、
ａ・(ｂ－ｃ)＝ａ・ｂ－ａ・ｃ

これはこれで素晴らしいですが、簡単な別解。

ａ・(ｂ－ｃ)＝ａ・{ｂ＋(－ｃ)}
＝ａ・ｂ＋ａ・(－ｃ)（分配法則）
　　　　　 ＝ａ・ｂ－ａ・ｃ（（２）より）
∴ａ・(ｂ－ｃ)＝ａ・ｂ－ａ・ｃ

＞ｎ＜０のとき、ｎ'＝－ｎ＞０とおくと、
(ｎａ)・ｂ＝{(－ｎ')ａ}・ｂ（定義）
　　　 ＝{ｎ'(－ａ)}・ｂ（定義）
　　　 ＝ｎ'{(－ａ)・ｂ}（ｎ'＞０より）
　　　 ＝ｎ'{－(ａ・ｂ)}（（２）より）
　　　 ＝(－ｎ')(ａ・ｂ)（定義)
　　 　＝ｎ(ａ・ｂ)

上から３行目の（定義）は誤植ですね。（（２）より）です。４行目は、ｎ'＞０の場合は、すでに（５）を証明しているのでそれを使うという事です。つまり、(ｎａ)・ｂ＝ｎ(ａ・ｂ)のａに－ａが入っている形ですね。
６行目の（定義）も誤植ですね。再び（（２）より）です。つまり、ａ・(－ｂ)＝(－ａ)・ｂのａがｎ'でｂがａ・ｂという事です。ただし、ここでダメ出しです。ｎ'はＲの元ではないので（２）を適用してはいけないのではないでしょうか。そもそもｎに対して結合法則を適用すれば、ｎ(ａ・ｂ)＝(ｎａ)・ｂは一発ですよね。後半は違いますが。念のため、結果的には使って良いと思いますが、何かしらの断りが必要だと思います。
最後の7行目が（定義）（上に１行ずれ）ですね。因みに、（４）の（分配法則）と（結合法則）は逆に下に１行ずれていますね。

おまけ：

解説２
＞ｎ＜０のとき、ｎ'＝－ｎ＞０とおくと、
(ｎａ)・ｂ＝{(－ｎ')ａ}・ｂ（定義）
　　　 ＝{ｎ'(－ａ)}・ｂ（定義）
　　　 ＝ｎ'{(－ａ)・ｂ}（ｎ'＞０より）
　　　 ＝ｎ'{－(ａ・ｂ)}（（２）より）
　　　 ＝(－ｎ')(ａ・ｂ)（定義)
　　 　＝ｎ(ａ・ｂ)

よく考えたら、２行目から３行目もｎ'に対して（２）を使っていましたね。（ダメ出し。）
ところで、２行目から３行目は、ａが－ｎ'個の和と－ａがｎ'個の和は等しいから、という解説ではダメでしょうか。
同様に５行目から６行目も、（（２）より）ではなく、－(ａ・ｂ)がｎ'個の和と(ａ・ｂ)が－ｎ'個の和は等しいから、という事です。
何にしても、定理自体は間違っていないのでスルーします。

おまけ：

問題１の解法１
１００円玉の半径をｒとして、下の１００円玉を固定して上の１００円玉を回転移動させると、１００円玉の進む距離は１００円玉の円の中心が進む距離である。
つまり、下の１００円玉の中心を中心とした半径２ｒの円が軌跡である。よって、その距離は４πｒ
また、１００円玉の周の長さは２πｒより１回転すると２πｒ進む。
よって、答えは、４πｒ÷２πｒ＝２回転

解法２　数学や算数ではない解法（オリジナル）
上の１００円玉と下の１００円玉を同時に回転させると、１００円玉の１/４を進むのに両方とも１/４回転させる事が分かるだろう（見た感じから）。つまり、片方を固定させると１/４進ませるのに先の１/４回転の２倍が必要である（片方が動かないのでもう一方が２倍の仕事をしなければならない）ので、１/２回転する。よって、１周進ませるのはこの４倍より、(１/２回転)×４＝２回転必要。
よって、答えは、2回転

おまけ：

問題２の解答
ＡＤは直径より∠ＡＢＤ＝９０°ところで、ＡＢ：ＡＤ＝１０：２６＝５：１３より、△ＡＢＤは５：１２：１３の直角三角形である。
∴ＢＤ＝１２×２＝２４ｃｍ
また、ＯＣを結びＢＤとの交点をＥとすると、半径よりＯＢ＝ＯＤ，弧ＣＢ＝弧ＣＤよりＣＢ＝ＣＤ
よって、四角形ＣＢＯＤは凧型よりＯＣ⊥ＢＤ　よって、ＡＢ//ＯＥで点ＯはＡＤの中点より△ＤＡＢでの中点連結定理の逆により、ＯＥ＝ＡＢ/２＝５ｃｍ
また、半径よりＯＣ＝１３ｃｍなので、ＣＥ＝１３－５＝８ｃｍ　また、ＢＥ＝ＢＤ/２＝１２ｃｍより、△ＥＢＣの直角を挟むニ辺の比は８：１２＝２：３
よって、△ＥＢＣの三辺比は２：３：√１３である。よって、ＢＣ＝√１３×４＝４√１３ｃｍ

因みに、ＡＢ：ＡＤ＝１０：２６から５：１２：１３を思い付くのは無理があると思う人は、まず、半径を考えるとＯＡ＝１３ｃｍで△ＯＡＢは二等辺三角形よりＯからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＡＨ＝５ｃｍなので、５，１２，１３の直角三角形が現れる。あとはそれと相似。

暗算で解くコツは、三平方の定理をそのまま使わない事である。ちょっと工夫すると簡単になる。（まぁ、独学ですし職人になるぐらい時間がかかっていますが。笑）

おまけ：

解説
＞また、指数法則（第２章定理2.5）によって、任意の整数ｍ，ｎについて
　ｍ(ｎａ)＝ｍｎａ，(ｍ＋ｎ)ａ＝ｍａ＋ｎａ
が成り立つ。

第２章定理2.5（指数法則）
群Ｇの元ａと整数ｍ，ｎについて、次の式が成り立つ。
（１）ａ^m・ａ^n＝ａ^(m+n)
（２）(ａ^m)^n＝ａ^mn

ところで、今は加法についての話なので、定理2.5の演算を加法に変えると、
ａ^ｎ＝ａ＋…＋ａ＝ｎａ（ａがｎ個だから。）
よって、(ａ^n)^m＝ｎａ＋…＋ｎａ＝ｍ(ｎａ)―――①
また、ａ^mn＝ａ＋…＋ａ＝ｍｎａ―――②
また、定理2.5の（２）のｍとｎを逆にしても成り立つので、(ａ^n)^m＝ａ^mn―――③
①，②，③より、ｍ(ｎａ)＝ｍｎａ
また、
ａ^m＝ａ＋…＋ａ＝ｍａ，ａ^ｎ＝ａ＋…＋ａ＝ｎａ
∴ａ^m・ａ^n＝ｍａ＋ｎａ―――③
ａ^(m+n)＝ａ＋…＋ａ＝(ｍ＋ｎ)ａ―――④
③と④と（１）より、
ｍａ＋ｎａ＝(ｍ＋ｎ)ａ　∴(ｍ＋ｎ)ａ＝ｍａ＋ｎａ

＞（注意）ここで定義したｎａは整数ｎと環Ｒの元ａの積ｎ・ａではないことに注意せよ。

環の準同型写像をｆとすると、
ｆ(ｎａ)＝ｆ(ａ＋…＋ａ)＝ｆ(ａ)＋…＋ｆ(ａ)＝ｎｆ(ａ)　∴ｆ(ｎａ)＝ｎ・ｆ(ａ)―――①
また、ｎａを環Ｒの元ａの積ｎ・ａと勘違いすると、
ｆ(ｎａ)＝ｆ(ｎ)・ｆ(ａ)―――②
としてしまい、①，②より、ｆ(ｎ)＝ｎとしてｆは恒等写像に限るとか間違いを起こす可能性があるから注意が必要という事だろう。
念のため、私は素人で自分で適当に作っているだけなので、自分で裏を取って下さい。

おまけ：