数学

普通じゃ面白くないので、三平方の定理を封印して解いて下さい。

回答
各辺の外側に正方形ＡＥＦＢ，ＢＧＨＣ，ＣＩＪＡを描くと、ＣＡ＝ＣＩ，ＣＨ＝ＣＢ，∠ＡＣＨ＝∠ＩＣＢ＝９０°＋∠ＡＣＢ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＣＡＨ≡△ＣＩＢ
また、ＢＡ＝ＢＦ，ＢＧ＝ＢＣ，∠ＡＢＧ＝∠ＦＢＣ＝９０°＋∠ＡＢＣ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＢＡＧ≡△ＢＦＣ
ここで、ＡからＧＨに垂線を下ろしその足をＫとし、等積変形をすると、△ＣＡＨ＝△ＣＫＨ―――①　△ＢＡＧ＝△ＢＫＧ―――②
①＋②より、△ＣＡＨ＋△ＢＡＧ＝△ＣＫＨ＋△ＢＫＧ＝(１/２)正方形ＢＧＨＣ＝(１/２)×５×５＝２５/２ｃｍ^2
∴△ＣＡＨ＋△ＢＡＧ＝２５/２ｃｍ^2―――③
①，②を③に代入すると、
△ＣＫＨ＋△ＢＫＧ＝２５/２ｃｍ^2―――④
また、△ＣＩＪ＋△ＢＦＥ＝３×３×(１/２)＋４×４×(１/２)＝２５/２ｃｍ^2―――⑤
④，⑤より、△ＣＫＨ＋△ＢＫＧ＝△ＣＩＪ＋△ＢＦＥ―――⑥
ここで、∠ＢＡＣを鋭角にしてＢからＪＩに垂線を下ろしＪ'として、△ＣＩＢを等積変形すると点Ｊ'はＪＩ上に下り△ＣＩＪ'は△ＣＩＪより小さくなる。
つまり、△ＣＩＪ'＜△ＣＩＪ　∴△ＣＩＢ＜△ＣＩＪ　∴△ＣＡＨ＜△ＣＩＪ　∴△ＣＫＨ＜△ＣＩＪ―――⑦
また、ＣからＥＦに垂線を下ろしＥ'として、△ＢＦＣを等積変形すると点Ｅ'はＥＦ上に下り△ＢＦＥ'は△ＢＦＥより小さくなる。
つまり、△ＢＦＥ'＜△ＢＦＥ　∴△ＢＦＣ＜△ＢＦＥ　∴△ＢＡＧ＜△ＢＦＥ　∴△ＢＫＧ＜△ＢＦＥ―――⑧
⑦＋⑧より、△ＣＫＨ＋△ＢＫＧ＜△ＣＩＪ＋△ＢＦＥ―――⑨
⑥，⑨より矛盾が生じる。鋭角と仮定した事が原因である。つまり、⑨式が⑥式になるにはＪ'とＪが一致していなければならない。よって、３点Ｂ，Ａ，Ｊは一直線上にある。∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＣＡＪ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、∠ＢＡＣ＝９０°である。（この時、Ｅ'とＥも一致する。）
今、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＬとし、△ＡＢＣの面積を２通りで表すと、△ＡＢＣ＝３×４×(１/２)＝６ｃｍ^2　△ＡＢＣ＝５×ＡＬ×(１/２)＝５ＡＬ/２　∴５ＡＬ/２＝６　∴ＡＬ＝１２/５ｃｍ
∴△ＡＣＤ＝３×(１２/５)×(１/２)＝１８/５ｃｍ^2
よって、答えは、１８/５ｃｍ^2

最後だけの相似の解法は省略する。

おまけ：

問題１の解法１
折る前の正方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、点Ｄの行き先をＤ'とすると点Ｄ'はＰＱ上にある。ＣＤ'＝ＣＤ＝ＢＣより、ＣＤ'：ＱＣ＝２：１
よって、△Ｄ'ＱＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠Ｄ'ＣＱ＝６０°ここで、折り目をＲＣとすると、∠Ｄ'ＣＤ＝９０°－６０°＝３０°より、∠Ｄ'ＣＲ＝３０°÷２＝１５°（折り返しより）
よって、△ＣＤ'Ｒの内角の和より、∠ｘ＝７５°

解法２
∠Ｄ'ＣＱ＝６０°までは同じ。因みに、△Ｄ'ＢＣは正三角形から∠Ｄ'ＣＱ＝６０°を言っても良い。
∠ＲＤ'Ｃ＝９０°より定石の形で△ＲＰＤ'と△Ｄ'ＱＣは相似である。（角度を求めれば分かる。）
よって、∠ＰＲＤ'＝∠ＱＤ'Ｃ＝３０°より、∠Ｄ'ＲＤ＝１８０°－３０°＝１５０°
よって、折り返しより、∠ｘ＝１５０°÷２
＝７５°

問題２の解法１
９の右上と８の真ん中を取り、８の左隣りに１を作ると、２×５＝１０となる。

解法２
９の左上と８の右上を取り除くと、２×３＝６となる。ただし、取り除いたものを使わないので脱法だろう。

解法３　邪道解
例えば、８の左の２本を取り、９と＝の所に移動させると、２×８≠３となる。どうしても思い付かない人はいくらでも作れますね。負けず嫌いの人にはお勧めです。笑

おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%95%E3%82%88%E3%81%AA%E3%82%89_(%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%9B%B2)

解法１
正方形ＡＢＣＤ＝４＋１＝５ｃｍ^2　
∴ＣＤ＝√５ｃｍ
ここで、ＣＥ＝ｘｃｍ，ＤＥ＝ｙｃｍと置くと、三平方の定理より、ｘ^2＋ｙ^2＝５―――①
また、△ＣＤＥの面積より、ｘｙ/２＝１　
∴ｘｙ＝２―――②
①より、(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ＝５―――①'　
②を①'に代入すると、(ｘ＋ｙ)^2＝９　
ｘ＋ｙ＞０より、ｘ＋ｙ＝３―――③
②，③と２次方程式の解と係数の関係より、ｘ，ｙは、ｔ^2－３ｔ＋２＝０の２つの解である。
よって、これを解くと、(ｔ－１)(ｔ－２)＝０　
∴ｔ＝１，２　ＤＥ＞ＣＥよりｙ＞ｘ　
∴ｘ＝１，ｙ＝２
∴ＣＥ＝１ｃｍ，ＤＥ＝２ｃｍ
∴ＣＦ＝２－１＝１ｃｍ　
∴台形ＤＣＦＧ＝(１＋２)×２×(１/２)＝３ｃｍ^2
よって、答えは、３ｃｍ^2

解法２
②までは同じ。台形ＤＣＦＧ＝{(ｙ－ｘ)＋ｙ}×ｙ×(１/２)＝ｙ(２ｙ－ｘ)/２＝(２ｙ^2－ｘｙ)/２＝ｙ^2－ｘｙ/２―――③
③に②を代入すると、
台形ＤＣＦＧ＝ｙ^2－１―――④
また、②より、ｘ＝２/ｙ　
これを①に代入すると、
(２/ｙ)^2＋ｙ^2＝５　∴４/ｙ^2＋ｙ^2＝５　
∴４＋ｙ^4＝５ｙ^2　∴ｙ^4－５ｙ^2＋４＝０　
∴(ｙ^2－１)(ｙ^2－４)＝０　∴ｙ^2＝１，４
ｙ^2＝１の場合、①よりｘ^2＝４
ｙ^2＝４の場合、①よりｘ^2＝１
ところで、ｙ＞ｘよりｙ^2＞ｘ^2
∴ｙ^2＝４，ｘ^2＝１
よって、ｙ^2＝４を④に代入すると、
台形ＤＣＦＧ＝３ｃｍ^2
よって、答えは、３ｃｍ^2

因みに、ＡＥ，ＣＧを結ぶと、△ＡＤＥ≡△ＣＤＧですが、これを使っても算数的には解けません。

おまけ
「住田アナは留学したから英語ができるようになったわけではなく、日本の大学で自ら課題をもって英語に向き合っていたようです。海外留学経験があっても英語のできない日本人が多いのが現実です。住田紗里アナウンサーは帰国子女でありますが、慶應大学時代も、外国人に日本のことを伝えようという意識が強く、そのために、日本の語学試験も積極的に受けられたようです。」
引用元：https://valuablewebsite.com/2020/05/17/%E4%BD%8F%E7%94%B0%E7%B4%97%E9%87%8C%E3%82%A2%E3%83%8A%E3%82%A6%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%81%AE%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E5%8A%9B%E3%81%8C%E5%87%84%E3%81%84%EF%BC%81%E6%B0%97%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B/

解答
図１から下の２つを足すと上の１つと等しい事が分かる。例えば、４９＝１２＋３７という事。
そこで、図２の最下段の空白の２つの和は６２２である。よって、最下段の合計は６２２＋１７＋１２５＝７６４
よって、下から２段目の２つの空白の合計は７６４である。
よって、上から２段目の２つの空白の和は、７６４＋６２２＋６２２＝２００８である。
よって、一番上の値も２００８である。よって、答えは、２００８

因みに、２００８年の算数オリンピックの問題だと推理して検索したらビンゴでした。

ところで、私の解法を使うと、解は６２２×３＋１７＋１２５だと分かるので、図１をこの法則で解くと、１６６×３＋１２＋７０３＝１２１３で合っているので、検索をしなくても裏が取れます。

おまけ：

問題１の解答
まず、分数は、分母が同じならば分子が大きい方が全体の数値は大きい。（理由は自明だろう。）
ところで、①と②の関係は、①の分母、分子にそれぞれ１を足した数が②の分母、分子になっている。
つまり、①から②への変化で分母と分子のどちらの方が大きく増えたかを考えれば答えが出る。
つまり、分子の方が大きく変化（増加率が高い）していれば、分数の数値は大きくなっているという事である。
そこで、１２３４＋１と５６７８＋１ではどちらの方が大きく変化しているだろうか。
例えば、１００００に１を加えてもほとんど変化しないが１に１を加えると２倍にも変化する。
つまり、１と１００００で小さい方が大きく変化する事が分かる。よって、１２３４と５６７８を比べると、１２３４の方が小さいので、１２３４＋１の方が大きく変化する。よって、①から②への変化は分子の方が大きく変化（増加）するので、分数の数値自体も増加している。
よって、答えは、②

検索しても出なかったので、模範解答は分かりませんが、中学生用の解法も作ってみました。（こちらが先。）

要は、ｘ/ｙと(ｘ＋１)/(ｙ＋１)の大小を比較すれば良いので、ｘ/ｙ≷(ｘ＋１)/(ｙ＋１)と置いて分母を払うと、ｘ(ｙ＋１)≷ｙ(ｘ＋１)　∴ｘｙ＋ｘ≷ｘｙ＋ｙ
∴ｘ≷ｙ
よって、ｘ＞ｙならばｘ/ｙ＞(ｘ＋１)/(ｙ＋１)
ｘ＜ｙならばｘ/ｙ＜(ｘ＋１)/(ｙ＋１)である。
ところで、①よりｘ＝１２３４，ｙ＝５６７８より、ｘ＜ｙである。よって、ｘ/ｙ＜(ｘ＋１)/(ｙ＋１)
よって、大きい方は②である。
よって、答えは、②

問題２の
「あまり、意味はありませんが、〇，△，□が１０００までは１，２，３の解しかない事を証明して下さい。念のため、何でもありです。」の回答。pythonでプログラムを組むと、

for x in range(1,1000):
for y in range(1,1000):
for z in range(1,1000):
if x**z + y**z == z**y \
and x != y and x != z:
print(x,y,z)
結果：1 2 3

よって、示された。

おまけ：
https://www.ntv.co.jp/007/articles/4oujqmtdbix4ucgka.html

問題１の解答
ＡＢの延長とＯＣの延長との交点をＥとすると、∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＡ＝９０°
また、∠ＥＯＢ＝∠ＡＯＢ，ＯＢは共通より、１辺両端が等しいので、△ＯＥＢと△ＯＡＢは合同。
よって、ＯＥ＝ＯＡ＝１０ｃｍ　また、△ＯＥＡは頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形。
よって、∠ＯＥＢ＝６０°よって、△ＢＥＣも△ＯＥＢも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、ＢＥ＝ＯＥ÷２＝５ｃｍ，ＣＥ＝ＢＥ÷２＝５/２ｃｍ
よって、ＯＣ＝ＯＥ－ＣＥ＝１０－５/２＝１５/２ｃｍ
また、△ＯＣＤも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型なので、ＣＤ＝ＯＣ÷２＝１５/４ｃｍ
よって、答えは、３．７５ｃｍ

問題２のヒント：１，２，３だけで解けます。

おまけ：https://www.tiktok.com/@akira7639/video/7157089699083963649?is_from_webapp=v1&item_id=7157089699083963649

問題２の解答
〇＝１，△＝２，□＝３とすると、
１^3＋２^3＝３^2となり、１＋８＝９で成り立つ。
よって、答えは、〇＝１，△＝２，□＝３

因みに、答えは、これだけじゃないと思うが、スルーする。
例えば、□＝２として△を５以上にすれば可能性はあるが、分からない。□を３以上にしても同様の可能性はある。
興味がある人は、こちらのサイトで質問してみて下さい。https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas
きっと、答えを出してくれますよ。（凄い人達ですから。）

おまけ：https://w.atwiki.jp/aniwotawiki/pages/41392.html

https://twitter.com/syourisaikou

解説
＞以上によって、写像φはＧからＳnへの単準同型写像である。したがって、位数ｎの群Ｇはｎ次の対称群Ｓnの部分群と同型になる。

問6.9
ｆ：Ｇ→Ｇ'を群の準同型写像とするとき、次を示せ。
（１）ＨをＧの部分群とするとき、ｆ(Ｈ)はＧ'の部分群である。
（２）は省略。

問6.9（１）より、φ(Ｇ)はＳnの部分群である。よって、φはＳnのある部分群に対して全射である。また、「写像φはＧからＳnへの単準同型写像である」ので、φはＳnのある部分群に対して全単射の準同型写像である。つまり、同型写像である。
したがって、位数ｎの群Ｇはｎ次の対称群Ｓnの部分群と同型になる。

という訳だが、

「φ：Ｇ→Ｓn（φ(ａ)＝σa)
なる写像φを考える。」

より、φは全射ではないだろうか。つまり、問題文。

問題
Ｇを位数ｎの群とすれば、Ｇは対称群Ｓnの部分群と同型であることを示せ。

は、

問題
Ｇを位数ｎの群とすれば、Ｇは対称群Ｓnと同型であることを示せ。

ではないのだろうか。部分群である必要はないという事。ただし、これが正しいとすると、数学者のアーサー・ケイリーのミスという事になってしまう。
こちらの定理1.9から「Cayley」https://mathematics-pdf.com/pdf/symmetric_grp.pdfで、
「1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。 アーサー・ケイリーとコーシーはこの研究を発展させ、 置換群の理論を創設した。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96#%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%8F%B2

因みに、ケイリー・ハミルトンの定理のケイリーである。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC

信じる信じないはあなた次第です。もっとも、この上に定理が積み重なったとしても簡単に修正可能なものだろう。（逆だったらやばいが。）

おまけ：

欠陥発覚
＞「φ：Ｇ→Ｓn（φ(ａ)＝σa)
なる写像φを考える。」

より、φは全射ではないだろうか。

φ(ａ)＝σaはσaのａを変えてもφ(ａ)のａが自動的に変わるだけなので全射に思えるが、これは全射ではない。
よく考えると、Ｓnの元の個数はｎ！個でＧの元の個数はｎ個なので全射の訳がない。

よって、ケイリーさんの証明に何の間違いもなく、変な言いがかりを付けてすみませんでした。（お恥ずかしい。）
まぁ、定理の意味はよく分かって良かったですが。

定理
Ｇを位数ｎの群とすれば、Ｇは対称群Ｓnの部分群と同型である。

Ｓnの元の個数はｎ！個より、Ｇの元の個数はＳnの元の個数の約数である。ここで、ラグランジュの定理4.4の系１よりＧの元の個数はＳnのある部分群の元の個数と等しい。
よって、Ｇの元の個数とＳnのある部分群の元の個数は等しいので、同型であって矛盾はしない。（不思議ではない。）

定理4.4の系１
有限群Ｇの部分群の位数はＧの位数の約数である。

おまけ：

問題１
どう工夫しますか？
１/６＋１/１２＋１/２０＋１/３０＋１/４２＋１/５６

解答
与式＝１/(２×３)＋１/(３×４)＋１/(４×５)＋１/(５×６)＋１/(６×７)＋１/(７×８)
ここまでは誰でも気付くだろう。ここで、
１/(２×３)＝１/２－１/３と工夫できる人は天才だろう。もっとも、どこかで見たことあるのに忘れてしまって自分で思い付いたと思う人が多いと思うが。本当に工夫で出来たなら、
１/(２×３)＝(３－２)/(３×２)＝３/(３×２)－２/(３×２)＝１/２－１/３
と開発するんじゃないだろうか。もっとも、「どう工夫しますか？」で工夫すれば解けると思って試行錯誤で出来るパターンもあると思うけど。
よって、
与式＝１/(２×３)＋１/(３×４)＋１/(４×５)＋１/(５×６)＋１/(６×７)＋１/(７×８)
＝(１/２－１/３)＋(１/３－１/４)＋(１/４－１/５)＋(１/５－１/６)＋(１/６－１/７)＋(１/７－１/８)
＝１/２－１/８＝３/８（間が相殺され両端だけになる。）
よって、答えは、３/８

念のため、ガウスのような本当の天才少年は前例がない状態で、１＋２＋…＋１００を工夫で解くので、天才少年は何の躊躇もなくこれも解くだろう。

おまけ：
https://trilltrill.jp/articles/2913311

問題２の何でもありの解法
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201810170001/

ＥＤの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＣＤＨ＝６０°より△ＣＤＨは１：２：√３の直角三角形。∴ＤＨ＝３/２ｃｍ，ＣＨ＝３√３/２ｃｍ
また、ＡＢの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＩＡＥＨは長方形よりＩＡ＝ＨＥ＝３/２＋２＝７/２ｃｍ　∴ＢＩ＝７/２－１＝５/２ｃｍ
よって、ＢＩ：ＢＣ＝５/２：５＝１：２で∠ＣＩＢ＝９０°より△ＣＢＩは１：２：√３の直角三角形。
∴ＩＣ＝５√３/２ｃｍ　∴ＩＨ＝５√３/２＋３√３/２＝４√３ｃｍ
∴五角形ＡＢＣＤＥ＝長方形ＩＡＥＨ－△ＣＢＩ－△ＣＤＨ
＝４√３×(７/２)－(５/２)×(５√３/２)×(１/２)－(３/２)×(３√３/２)×(１/２)
＝１４√３－２５√３/８－９√３/８
＝１４√３－１７√３/４＝３９√３/４ｃｍ^2
∴五角形ＡＢＣＤＥ＝３９√３/４ｃｍ^2
一方、１辺が１ｃｍの正六角形は１辺が１ｃｍの正三角形が６個集まった形なので、
１辺が１ｃｍの正六角形＝１×(√３/２)×(１/２)×６＝３√３/２ｃｍ^2
よって、３９√３/４÷(３√３/２)
＝３９√３/４×(２/３√３)＝１３/２
よって、答えは、６．５倍

因みに、算数の解法は、その後ブラッシュアップしたので模範解答で行けると思います。（検索して裏を取ろうと思いましたが、出ませんでした。）

おまけ：

問題２の算数の解法
ＥＤの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＣＤＨ＝６０°より△ＣＤＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型。よって、ＤＨ＝ＣＤ÷２＝３/２ｃｍ
また、ＡＢの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＩＡＥＨは長方形よりＩＡ＝ＨＥ＝３/２＋２＝７/２ｃｍ　∴ＢＩ＝７/２－１＝５/２ｃｍ
よって、ＢＩ：ＢＣ＝５/２：５＝１：２で∠ＣＩＢ＝９０°より△ＣＢＩも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠ＣＢＩ＝６０°より、∠ＡＢＣ＝１２０°また、∠ＩＣＢ＝∠ＨＣＤ＝３０°より、∠ＢＣＤ＝１８０°－３０°×２＝１２０°
ここで、ＢＡの延長上にＡＦ＝２ｃｍとなる点Ｆを取ると、ＢＦ＝ＣＤ，∠ＦＢＣ＝∠ＢＣＤ＝１２０°より四角形ＢＦＤＣは底角が６０°の等脚台形である。
また、ＡＥとＦＤの交点をＧとすると、対頂角と直角の２角が等しいので△ＧＡＦと△ＧＥＤは相似で、ＡＦ＝ＥＤより合同である。
また、∠ＢＦＤ＝６０°より△ＧＡＦは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型より△ＧＥＤも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、ＡＧ＝ＥＧ＝２×２＝４ｃｍ　よって、ＦＤ＝８ｃｍ
今、ＦＢの延長とＤＣの延長との交点をＪとすると、△ＪＦＤは１辺が８ｃｍの正三角形で、△ＪＢＣは１辺が５ｃｍの正三角形である。よって、△ＪＦＤは１辺が１ｃｍの正三角形８×８＝６４個分で、△ＪＢＣは１辺が１ｃｍの正三角形５×５＝２５個分である。
よって、等脚台形ＢＦＤＣは１辺が１ｃｍの正三角形６４－２５＝３９個分である。ところで、１辺が１ｃｍの正六角形は１辺が１ｃｍの正三角形６個分である。
よって、等脚台形ＢＦＤＣは１辺が１ｃｍの正六角形３９/６＝１３/２個分である。
ここで、△ＧＡＦと△ＧＥＤが合同である事より△ＧＥＤを△ＧＡＦの所に移すと、五角形ＡＢＣＤＥの面積は等脚台形ＢＦＤＣの面積と等しい事が分かる。
よって、答えは、１３/２倍＝６．５倍

おまけ：

解法１
△ＡＢＨは３：４：５の直角三角形よりＡＨ＝３ｃｍ
また、ＡＣとＢＤの交点をＯとすると、点ＯはＡＣとＢＤのそれぞれの中点。∴ＯＤ＝(４＋６)÷２＝５ｃｍ　∴ＯＨ＝６－５＝１ｃｍ
よって、△ＡＨＯで三平方の定理を使うと、ＯＡ＝√(１^2＋３^2)＝√１０ｃｍ
∴ＡＣ＝２ＯＡ＝２√１０ｃｍ
よって、答えは、２√１０ｃｍ

解法２
△ＡＢＨは３：４：５の直角三角形よりＡＨ＝３ｃｍ
また、△ＡＤＨで三平方の定理を使うと、ＡＤ＝√(３^2＋６^2)＝√４５＝３√５ｃｍ
また、ＡＣとＢＤの交点をＯとすると、点ＯはＡＣとＢＤのそれぞれの中点。∴ＯＤ＝(４＋６)÷２＝５ｃｍ
よって、△ＤＡＣで中線定理を使うと、
(３√５)^2＋５^2＝２(５^2＋ＡＯ^2)
∴７０＝２(５^2＋ＡＯ^2)　∴３５＝５^2＋ＡＯ^2
∴１０＝ＡＯ^2　∴ＡＯ＝√１０ｃｍ
∴ＡＣ＝２√１０ｃｍ

問題２
次の□には何を入れたらいいでしょう？
九＋□＝〇

丸の「ゝ」みたいなものかな？

おまけ：

問題
ｘ＝１３のとき、次の式の値を求めてください。
２ｘ^3－２７ｘ^2＋１５ｘ－２６

解法１
まず、１５ｘ－２６にｘ＝１３を代入すると、１５・１３－２６＝１３(１５－２)＝１３^2
次に、２ｘ^3－２７ｘ^2＝ｘ^2(２ｘ－２７)　これにｘ＝１３を代入すると、１３^2(２６－２７)＝－１３^2
よって、与式＝－１３^2＋１３^2＝０
よって、答えは、０

解法２
与式を組立除法でｘ－１３で割ると、

２　－２７　　１５　－２６｜１３
　　　２６　－１３　　２６
２　　－１　　　２　　　０

よって、与式はｘ－１３で割り切れる。
つまり、与式＝(ｘ－１３)(２ｘ^2－ｘ＋２)で、
ｘ＝１３を代入すると０。
よって、答えは、０

全て暗算で出来ますね。因みに、模範解答はこちら。https://factdy.click/netafact/?p=17341

おまけ：

解法１　思い付いた順
ＢからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＡＨは１：２：√３の直角三角形よりＢＨ＝３√３/２ｃｍ　また、∠ＣＢＨ＝９０°－３０°＝６０°より、ＣからＢＨに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＣＢＩも１：２：√３の直角三角形。∴ＢＩ＝１ｃｍ
ところで、四角形ＣＩＨＤは３直角より４直角で長方形である。∴ＣＤ＝ＩＨ＝ＢＨ－ＢＩ＝３√３/２－１ｃｍ
よって、答えは、(３√３－２)/２ｃｍ

解法２
ＢＣの延長とＡＤの延長との交点をＥ とすると、∠ＡＥＢ＝３０°より、△ＣＤＥも１：２：√３の直角三角形である。
よって、ＣＤ＝ｘｃｍと置くと、ＣＥ＝２ｘｃｍ
∴ＢＥ＝２＋２ｘｃｍ
また、ＡＢ：ＢＥ＝１：√３より、３：２＋２ｘ＝１：√３　∴２＋２ｘ＝３√３　∴２ｘ＝３√３－２
∴ｘ＝(３√３－２)/２
∴ＣＤ＝(３√３－２)/２ｃｍ

昨日のサッカーボールの問題もそうだけど、裏取りが大事だよね。

「1 わたしは今、三度目にあなたがたの所に行こうとしている。すべての事がらは、ふたりか三人の証人の証言によって確定する。」
「コリント人への第二の手紙」第１３章１節

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/ca116e5a1edd37f8661b6055e37c89b407f48ee5

解法１
サッカーボールを多面体として見ると、頂点の数は図を見て分かるように黒い五角形の全ての頂点の数と等しい。つまり、１２×５＝６０個
ここで、その頂点を別の見方で見ると、白い六角形の２つの頂点が１つになっている。（白い頂点２つと黒い頂点１つの３つが１つになっているという事。）
よって、白い六角形の個数をｘと置くと、(多面体の)頂点の数は６×ｘ÷２＝３ｘでもある。
よって、３ｘ＝６０が成り立つ。よって、ｘ＝２０
よって、答えは、２０個

解法２は次回。（面白くはありません。）

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/16fbf7f016870b07082a362b0031310a856105b0（何故憤慨しているのでしょうか。）

解法２
サッカーボールを多面体として見ると、頂点の数は図を見て分かるように黒い五角形の全ての頂点の数と等しい。つまり、１２×５＝６０個
また、白い六角形の個数をｘ個と置くと、多面体の面の数は１２＋ｘ個
また、多面体の辺の数は全ての辺は、面の２つの辺が１つになっているので、(１２×５＋ｘ×６)÷２＝３０＋３ｘ個である。
ここで、オイラーの多面体定理https://manabitimes.jp/math/613を使うと、
６０－(３０＋３ｘ)＋(１２＋ｘ)＝２が成り立つ。
∴４２－２ｘ＝２　∴２ｘ＝４０　∴ｘ＝２０
よって、白い六角形の個数は２０個。
よって、答えは、２０個

裏が取れましたね。

おまけ：
https://style.nikkei.com/article/DGXMZO65738810S0A101C2000000/?page=2