数学

算数の解法
左の３，４，５の直角三角形を△ＢＣＤ（Ｄが直角）とすると、全体の図形の対称性より、
ＡＢとＣＤは平行である。
よって、錯角より∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ　
また、条件より合同な直角三角形なので、
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ
よって、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢより△ＡＢＣは二等辺三角形。
よって、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＢＣの真ん中の点に下りるので、
ＣＨ＝５/２ｃｍ
また、２角が等しいので、△ＣＤＢと△ＣＨＡは相似である。よって、△ＣＨＡも３：４：５の直角三角形である。
よって、ＡＣ＝(５/４)ＣＨ＝(５/４)×(５/２)
＝２５/８ｃｍ
ところで、△ＡＢＣは二等辺三角形より、
ＡＢ＝ＡＣ
よって、ＡＢ＝２５/８ｃｍ

おまけ：
https://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/2011/16/news010.html

https://kotobank.jp/word/%E5%BE%80%E7%94%9F%E9%9A%9B-449060

何でもありの解法１
左の３，４，５の直角三角形を△ＢＣＤ（Ｄが直角）とすると、全体の図形の対称性より、
ＡＢとＣＤは平行である。
よって、錯角より∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ　
また、条件より合同な直角三角形なので、
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ
よって、∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢより△ＡＢＣは二等辺三角形。∴ＡＢ＝ＡＣ
ここで、ＣＡの延長上の直角をＥとし、ＡＥ＝ｘと置くと、ＢＥ＝３ｃｍより、ＡＢ＝√(ｘ^2＋９)
また、ＡＣ＝４－ｘ　∴√(ｘ^2＋９)＝４－ｘ
∴ｘ^2＋９＝１６－８ｘ＋ｘ^2　∴８ｘ＝７
∴ｘ＝７/８　∴ＡＣ＝４－７/８＝２５/８ｃｍ
∴ＡＢ＝２５/８ｃｍ

全然面白くありませんね。何でもありの解法２はもっとブサイクな解法です。でも、中途半端じゃない分、良いかもしれません。根性で解く解法です。

おまけ：

何でもありの解法２
左の３，４，５の直角三角形を△ＢＣＤ（Ｄが直角）とすると、全体の図形の対称性より、
ＡＢとＣＤは平行である。
また、ＣＡの延長上の直角をＥとし、ＡＥ＝ｘと置くと、ＢＥ＝３ｃｍより、ＡＢ＝√(ｘ^2＋９)
ここで、ＣからＤＢと平行な直線を引き、ＢＡの延長との交点をＦとすると、四角形ＣＤＢＦは長方形になるので、ＦＢ＝ＣＤ＝４ｃｍ
∴ＡＦ＝４－√(ｘ^2＋９)　また、ＡＣ＝４－ｘ，ＣＦ＝ＤＢ＝３ｃｍより、△ＡＦＣで三平方の定理を使うと、
{４－√(ｘ^2＋９)}^2＋３^2＝(４－ｘ)^2が成り立つ。
∴１６＋ｘ^2＋９－８√(ｘ^2＋９)＋９＝１６－８ｘ＋ｘ^2　∴８√(ｘ^2＋９)＝８ｘ＋１８
∴４√(ｘ^2＋９)＝４ｘ＋９
∴１６(ｘ^2＋９)＝(４ｘ＋９)^2
∴１６ｘ^2＋１４４＝１６ｘ^2＋７２ｘ＋８１
∴７２ｘ＝６３　∴ｘ＝７/８
∴ＡＢ＝√{(７/８)^2＋９}＝√(４９/８^2＋５７６/８^2)＝√６２５/８＝２５/８
よって、答えは、２５/８ｃｍ

頭なんか良くなくても愚直に考え続ければ解けるいい例だと思います。地頭がいいなんて胡散臭い話ですよね。小さい子供の頃に親に要領のいい考え方を身に着けさせられただけかもしれない。潜在意識で覚えているとか。
もっとも、３歳で因数分解を暗算で解く本当の天才もいますが。https://www.fuku-ya.jp/takahasihiroto/
まぁ、それを言ったらラマヌジャンとか意味不明ですよね。笑https://wired.jp/2016/10/21/ramanujyan/

別に天才君達に対抗する訳ではありませんが、たまたま面白いものが（以前に）出来たので、ご賞味下さい。

おまけ：

解説
＞Ａ(ａ)は加法群Ｒの部分群である

証明
Ａ(ａ)＝{ｘ∈Ｒ｜ａｘ＝０}はＲの空でない部分集合。
∀ｘ,ｙ∈Ａ(ａ)に対して、ａｘ＝０，ａｙ＝０　
∴ａｘ－ａｙ＝０　ところで、ａ,ｘ,ｙは環Ｒの元より分配法則が成り立つ。∴ａ(ｘ－ｙ)＝０　
また、ｘ,ｙ∈Ａ(ａ)⊂ＲでＲは加法群より、
ｘ－ｙ∈Ｒ
よって、ｘ－ｙ∈Ｒ，ａ(ｘ－ｙ)＝０より、
ｘ－ｙ∈Ａ(ａ)である。
よって、部分群の判定定理2.1の（３）より、
Ａ(ａ)は加法群Ｒの部分群である。

定理2.1（部分群の判定定理）
群Ｇの空でない部分集合をＨとする。ＨがＧの部分群であるための必要十分条件は、Ｈが次の条件（１）と（２）を満足していることである。
（１）∀ａ,ｂ∈Ｈ⇒ａ◦ｂ∈Ｈ
（２）∀ａ∈Ｈ⇒ａ^-1∈Ｈ
さらに（１）,（２）は、次の（３）と同値である。
（３）∀ａ,ｂ∈Ｈ⇒ａ◦ｂ^-1∈Ｈ

＞ａ≠０より１∉Ａ(ａ)　よって、Ａ(ａ)≠Ｒ

ａ＝ａ・１≠０より、１∉Ａ(ａ)　よって、Ａ(ａ)には乗法の単位元が存在しないので環ではない。
∴Ａ(ａ)≠Ｒ

問題
素数個の元からなる可換環は体であることを示せ。

具体例
ℤ5が可換環である事はℤ5が加法群である事から自明だろう。そこで、ℤ5^*の積の演算表を見る。

　 ・ |１ |２ |３ |４
　|１ |１ |２ |３ |４
　|２ |２ |４ |１ |３
　|３ |３ |１ |４ |２
　|４ |４ |３ |２ |１

乗法に関して群をなしている事が分かるだろう。つまり、ℤ5は体をなしている。

演習問題８
有限個の元からなる整域は体であることを示せ。

整域じゃない具体例

　　 ・ |１ |２ |３
　　|１ |１ |２ |３
　　|２ |２ |０ |２
　　|３ |３ |２ |１

これはℤ4^*の積の演算表だが、|２・|２＝|０から整域じゃない事が分かるだろう。ついでに体になっていない事も自明。具体例は、

昨日の「Ｒは整域であるからｌaは全単射である」の事である。

整域ならばℤ5^*のように全単射になるが、整域じゃない場合は、|２ |０ |２の列（行）のように|１,|２,|３が揃わない。つまり、全単射ではないという訳である。

おまけ：

解説
＞２ｂ＝ａｂ＋ｂａ＝０を得る。

よって、２ｂ＝０より、ｂ＝０　ところで、ｂは任意に選んだのでＲは零元のみの集合である。よって、乗法の単位元が存在しないので環ではない。
よって、ブール環は存在しない。

一応、ａ＝０も具体的に示しておく。
任意のＲの元ａ,ｂに対して、
(ｂ－ａ)＝(ｂ－ａ)^2＝ｂ^2－ｂａ－ａｂ＋ａ^2＝ｂ－ａｂ－ｂａ＋ａ
∴２ａ＝ａｂ＋ｂａ＝０（（１）より）
∴ａ＝０

ここで、鋭い人だったら、Ｒは整域ではなくただの環なんだから、２ａ＝０でａ＝０以外の零因子があるだろうと言うかもしれない。
そんな事はない事は自明だが、一応、変な解説をすると、２は整数で整域なので、違う環の元との積でそんな話は通用しない。
因みに、ｂ＋ｂ＝０からｂ＝－ｂとしているが、数直線で考えればこんな数０しかないだろう。そして、ａｂ＝－ｂａ＝ｂａとしているが０＝０しかあり得ない。

おまけ：
https://twitter.com/math095562/status/1611032226548060164

訂正
ブール環は零環（自明環）である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E7%92%B0

因みに、ブール環は、

「つまり(乗法が)冪等的かつ単位的な環は加法に関して全ての元の位数が高々2であるような可換環となる。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0#%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%92%B0

零元だけだったら元の位数は１ですよね。念のため、上の解説は元の数が２個（群の位数が２）という意味ではありません。（沢山あるような書かれ方ですね。）

これだけじゃ面白くないので、次の文章を解説して下さい。

^ 具体的には加法群の性質も用いて
x = x^2 = (− x)^ 2 = − xから
x + x =0を得、これにより
0 = (x − y) − (x − y)^ 2 = xy + yx から
xy = − yxを導くことで
xy − yx = xy + xy = 0であると判り
xy = yxを得る。
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0#cite_note-2x=0%E3%81%A8%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%BE%8B%E3%81%AE%E5%B0%8E%E3%81%8D%E6%96%B9-2

別に難しくありませんね。

おまけ：

解説
＞具体的には加法群の性質も用いて
x = x^2 = (− x)^ 2 = − xから
x + x =0を得、これにより
0 = (x − y) − (x − y)^ 2 = xy + yx から
xy = − yxを導くことで
xy − yx = xy + xy = 0であると判り
xy = yxを得る。

４行目の0 = (x − y) − (x − y)^ 2 = xy + yx は、
(x − y)^ 2＝(x − y)(x − y)＝ｘ^2－ｘｙ－ｙｘ＋ｙ^2
ところで、ブール環の条件よりｘ^2＝ｘなので、これとｙ^2＝ｙを代入すると、＝ｘ－ｘｙ－ｙｘ＋ｙとなる。
つまり、(x − y)^ 2＝ｘ－ｘｙ－ｙｘ＋ｙ
よって、0 = (x − y) − (x − y)^ 2に代入すると、0 = (x − y) − (ｘ－ｘｙ－ｙｘ＋ｙ)　
∴0 = (x − y) −ｘ＋ｘｙ＋ｙｘ－ｙ＝－ｙ－ｙ＋ｘｙ＋ｙｘ＝－(ｙ＋ｙ)＋ｘｙ＋ｙｘ
また、３行目よりｘ＋ｘ＝０なので、ｙ＋ｙ＝０でもある。これを代入すると、
０＝－０＋ｘｙ＋ｙｘ　∴ｘｙ＋ｙｘ＝０　
∴ｘｙ＝－ｙｘ　この両辺に左からｘｙを加えると、ｘｙ＋ｘｙ＝ｘｙ－ｙｘ　また、ｘｙ＋ｙｘ＝０より、ｘｙ－ｙｘ＝０　∴ｘｙ＝ｙｘ

因みに、前々回に「ｂ＋ｂ＝０からｂ＝－ｂとしているが、数直線で考えればこんな数０しかないだろう」と書いたが、複素平面で考えても０しかないだろう。（０をまたいで対称で絶対値が等しい。）そして、例えば、ｎ次一般線形群ＧＬn(ℂ)などで考えても成分は全て複素数（以下）なので、この法則から逃れられず結局０しかないだろう。

因みに、ブール環の定義は、「任意の元 x に対して 積の冪等則x^2 = x を満たす単位的環 B をブール環（boolean ring）という」引用元：「ブール代数」ウィキペディアで、単位的環とは普通の環の事である。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0

やはり、おかしい。

おまけ：

解説
＞Ｒは整域であるからｌaは全単射である。

（自分も含めて）本当の初心者向けに解説してみよう。
まず、ａがＲの元ではない定数だとしたらｙ＝ａｘのグラフのように全単射である。しかし、ａがＲの元だからそんな単純な話ではない。ただし、ｌa：Ｒ→ａＲなので全射である。例えば、ｌa：Ｒ→Ｒ'だったら全射かどうか分からないという事。
よって、単射についてのみ考えれば良い。ところで、写像とは１対１対応や多対１対応の事を言い、１対多対応は写像とは言わない。例えば、ｙ＝ｘ^2は±１→１なので多対１対応で写像であるが、ｘ^2＋ｙ^2＝２^2は１→±√３で１対多対応なので写像ではない。
そこで、単射（１対１対応）を考えると、
２つの元ｘ1,ｘ2があって、ｘ1≠ｘ2⇒ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2)である事が分かる。（もとが違えば行った先も異なる。）写像は多対１対応だからである。つまり、単射の定義はｘ1＝ｘ2⇒ｆ(ｘ1)＝ｆ(ｘ2)ではない。
そこで、ｘ1≠ｘ2⇒ｆ(ｘ1)≠ｆ(ｘ2)の対偶を取ると、ｆ(ｘ1)＝ｆ(ｘ2)⇒ｘ1＝ｘ2が単射の定義（の１つ）である。
今、ａＲの２元をａａi,ａａj（１≦i,j≦ｎ）として、
ａａi＝ａａjとすると、ａ,ａi,ａjは整域の元だから消去律が成り立つ。∴ａi＝ａj
よって、ａａi＝ａａj⇒ａi＝ａjなので単射である。（行った先が等しければもとも等しい。）
よって、ｌaは全単射である。

自分の記憶にあるものを適当に書いただけなので、自分で裏を取って下さい。

定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ）

＞Ｒは可換であるから、ａはＲの可逆元である。

Ｒは整域だから可換である。

定義1.3
零元０_Rと異なる零因子のない可換環を整域という。

因みに、非可換整域というのは全くの別の物なのでしょうか。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F

おまけ：

問題１
１＋４⇒５
２＋５⇒１２
３＋６⇒２１
９＋１２⇒？
「？」に入る数字は？

解法１
１×４＋１＝５
２×５＋２＝１２
３×６＋３＝２１より、
９×１２＋９＝１１７と考えられる。
よって、答えは、１１７

解法２
左辺の２項の差はどれも一定で３。また、右辺の階差を取ると、７，９，より、ここで書き出しても良いが、階差数列の公式より、
Ａn＝５＋Σ(k=4~n-1)２ｋ－１

Σ(k=4~n-1)２ｋ－１＝７＋９＋・・・＋２(ｎ－１)－１＝７＋９＋・・・＋２ｎ－３＝{７＋(２ｎ－３)}×(ｎ－４)/２＝(ｎ＋２)(ｎ－４)＝ｎ^2－２ｎ－８

∴Ａn＝ｎ^2－２ｎ－３

これにｎ＝１２（左辺の右の項）を代入すると、１２^2－２・１２－３＝１４４－２４－３＝１１７

あとでちょっと調整しますね。左辺の左の項に合わせます。数学好きの人は考えてみて下さい。

おまけ：

問題１の解法２の訂正

問題１
１＋４⇒５
２＋５⇒１２
３＋６⇒２１
９＋１２⇒？
「？」に入る数字は？

解法２
左辺の２項の差はどれも一定で３。また、右辺の階差を取ると、７，９，より、階差数列の公式により、
Ａn＝５＋Σ(k=1~n-1)２(ｋ＋３)－１

Σ(k=1~n-1)２(ｋ＋３)－１＝Σ(k=1~n-1)２ｋ＋５＝７＋９＋１１＋…＋２(ｎ－１)＋５＝７＋９＋１１＋…＋２ｎ＋３＝{７＋(２ｎ＋３)}・(ｎ－１)/２＝(ｎ＋５)(ｎ－１)＝ｎ^2＋４ｎ－５

∴Ａn＝５＋(ｎ^2＋４ｎ－５)＝ｎ^2＋４ｎ

これにｎ＝９を代入すると、Ａ9＝８１＋３６＝１１７

因みに、解法１の方法で第ｎ項を求めると、ｎ×(ｎ＋３)＋ｎ＝ｎ^2＋４ｎでＯＫ。

おまけ：

問題２の解答
解説省略で、∠ＡＣＤ＝１００°－１６°＝８４°よって、解説省略で、∠ＣＡＢ＝８４°÷２＝４２°
よって、解説省略で、∠ア＝１００°－４２°＝５８°
よって、答えは、５８°

簡単ですが、大人の７割は解けないでしょう。というより、大人の半分以上は数学アレルギーじゃないでしょうか。

おまけ：
https://twitter.com/engineer_jjj/status/1617703137338601472

何でもありの解法１　算数の解法
ＣＤを１辺とした正三角形ＥＣＤを点ＥがＣＤに関して点Ａ側に作り、ＡＥを結ぶと、∠ＥＣＤ＝６０°より∠ＥＣＢ＝１５０°－６０°＝９０°
また、ＥＣ＝ＣＤ＝◦より、四角形ＡＢＣＥはＡＢ＝ＢＣ＝ＣＥ＝◦で∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ＝９０°より正方形である。
よって、正方形に正三角形が乗った形なので、対称性から△ＤＡＢは二等辺三角形である。よって、∠ＤＢＡを求めれば良い。
ところで、△ＣＢＤは頂角が１５０°の二等辺三角形より、
∠ＣＢＤ＝(１８０°－１５０°)÷２＝１５°
よって、∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝９０°－１５°
＝７５°よって、∠ｘ＝７５°

因みに、数学も算数も出来なくてもどうしても答えなければいけない時、目分量を使うと思うが、運否天賦に任せるのではなく、あきらめずずっと見ていれば正方形に正三角形を乗せた形を思い付くかもしれない。そうすれば、あとは単純な二等辺三角形の知識があれば確信が持てる。

関係ないけど、こちらhttps://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/507の感想。文系の一般教養に和算の授業でも入れれば良いですね。また、数学科でも数学講和のような授業で和算の講義があっても良いと思います。

おまけ：
https://www.oricon.co.jp/news/2246455/full/

何でもありの解法２　三角関数の解法
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１と置いてＡＣを結ぶと、△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、ＡＣ＝√２
また、∠ＡＣＤ＝１５０°－４５°＝１０５°
よって、△ＣＡＤで余弦定理を使うと、
ＡＤ^2＝１^2＋(√２)^2－２・１・√２cos105°
＝３－２√２cos105°―――①
また、cos105°＝cos(45°＋60°)
＝cos45°cos60°－sin45°sin60°
＝(１/√２)・(１/２)－(１/√２)・(√３/２)
＝(１－√３)/２√２
∴cos105°＝(１－√３)/２√２―――②
②を①に代入すると、
ＡＤ^2＝３－(１－√３)＝２＋√３
∴ＡＤ＝√(２＋√３)＝√[(４＋２√３)/２}
＝√{(１＋√３)^2/２}＝(１＋√３)/√２
＝(√２＋√６)/２
∴ＡＤ＝(√６＋√２)/２―――③
ここで、△ＣＡＤで正弦定理を使うと、
１/sin∠CAD＝ＡＤ/sin105°―――④
また、②より、
(sin105°)^2＝１－(cos105°)^2
＝１－{(１－√３)/２√２}^2
＝１－(４－２√３)/８
＝１－(８－４√３)/１６
＝(８＋４√３)/１６
＝(√６＋√２)^2/４^2
ところで、sin105°＞０より、
sin105°＝(√６＋√２)/４―――⑤
③，⑤を④に代入すると、
１/sin∠CAD＝{(√６＋√２)/２}/{(√６＋√２)/４}＝２
∴sin∠CAD＝１/２　∴∠ＣＡＤ＝３０°
∴∠ｘ＝４５°＋３０°＝７５°

おまけ：

何でもありの解法３　中学数学の解法
ＡＣを結び、その延長上にＤから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＡＣは直角二等辺三角形より∠ＡＣＢ＝４５°∴∠ＡＣＤ＝１５０°－４５°＝１０５°
∴∠ＤＣＨ＝１８０°－１０５°＝７５°
よって、△ＤＨＣは１５°,７５°,９０°の直角三角形より、ＣＨ＝√６－√２と置くと、ＤＨ＝√６＋√２，ＤＣ＝４
∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝４　∴ＡＣ＝４√２　
∴ＡＨ＝ＡＣ＋ＣＨ＝４√２＋(√６－√２)
＝３√２＋√６
∴ＡＨ＝３√２＋√６
また、ＤＨ＝√６＋√２より、
√３ＤＨ＝３√２＋√６
∴ＡＨ＝√３ＤＨ　∴ＤＨ：ＡＨ＝１：√３
よって、△ＡＤＨは１：２：√３の直角三角形である。∴∠ＤＡＨ＝３０°
∴∠ＢＡＤ＝４５°＋３０°＝７５°
∴∠ｘ＝７５°

おまけ：（死んだ友人が好きだった曲。どこがいいのかよく分からなかったが、今聞くとAKB48が本当に好きだったんだな。因みに、推しは高橋みなみだった。）

解説
＞Ｒを可換環とし、ａをＲの単位元１ではないＲのベキ等元（ａ・ａ＝ａ）とするとき

ａ＝０ではない理由を述べて下さい。

Ｒは環より加法群なので逆元が存在して、－a∈Ｒである。これをａ・ａ＝ａの両辺に右から加えると、ａ・ａ＋(－ａ)＝ａ+(－ａ)＝０（加法単位元）
　∴ａ・ａ－ａ＝０　ところで、ａは環Ｒの元より分配法則が成り立つ。∴ａ・(ａ－１)＝０
ここで、Ｒが整域や体だったらａ＝０，ａ－１＝０と出来るが、Ｒはただの可換環なので出来ない。
また、条件よりａ≠１なので、ａ－１≠０であるが、以上の理由により、ａ＝０とは限らない。
ここで、ａ＝０とするとａＲは零元のみとなるので、乗法に関する単位元が存在しなくなり環にはならなくなるので矛盾が生じる。よって、ａ＝０ではない。

＞∵１∈ａＲ⇒ａｒ＝１（∃ｒ∈Ｒ）⇒ａａｒ＝ａ⇒ａｒ＝ａ⇒ａ＝１

ａｒ＝ａ　消去律よりｒ＝１である。これをａｒ＝１に代入すると、ａ＝１
∴ａｒ＝ａ⇒ａ＝１

続きは次回。

おまけ：

解説の続き
＞環Ｒの部分集合で環をなす集合の乗法単位元はもとの環Ｒの乗法単位元と必ずしも一致するとは限りませんが、整域や体ならば必ず一致する事を証明して下さい。

証明
環Ｒの部分集合で環をなす集合の乗法単位元をｅ'，もとの環Ｒの乗法単位元をｅとすると、
まず、単位元だから、ｅ'・ｅ'＝ｅ'―――①　
である。
また、ｅ'はもとの環Ｒの部分集合の元なので、もとの環Ｒの元でもある。よって、もとの環Ｒの乗法単位元と、ｅ・ｅ'＝ｅ'―――②　が成り立つ。
①，②より、ｅ'・ｅ'＝ｅ・ｅ'
ここで、Ｒが整域ならば定理1.3により消去律が成り立つので、ｅ'＝ｅ
よって、整域ならば必ず一致する。
また、体ならば問1.5によりＲ^*が乗法に関して群になるので、第２章定理1.4により消去律が成り立つので、ｅ'＝ｅ
よって、体ならば必ず一致する。
よって、示された。

第３章定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ）

第３章問1.5
環Ｒが斜体であるための必要十分条件は、Ｒから０_Rを除いた集合Ｒ^*＝Ｒ－{０_R}が乗法に関して群になることである。これを示せ。

第２章定理1.4（消去律）
群Ｇにおいては、消去律が成り立つ。すなわち、群Ｇに属する任意の元ａ，ｂ，ｃについて
ａ◦ｃ＝ｂ◦ｃならばａ＝ｂ
ｃ◦ａ＝ｃ◦ｂならばａ＝ｂ

念のため、①，②より、ｅ'・ｅ'＝ｅ・ｅ'から、
体だったら両辺に右からｅ'^-1を掛けてｅ'＝ｅ
整域だったらｅ'・ｅ'＝ｅ・ｅ'　∴ｅ'・ｅ'－ｅ・ｅ'＝０　∴ｅ'・(ｅ'－ｅ)＝０　ここで、整域よりｅ'－ｅ＝０　∴ｅ'＝ｅ
としても良い。

おまけ：
「見せしめにされたくないなら表に出ない目立たない余計な事はしない
出る杭は打たれるし雉も鳴かずば撃たれない
フラワーよりも前の東洋ボールでも殺ってるんだから罪は重いんですよ
あとは当初22年の求刑が判決で11年に割引かれたのを不服としたから15年に増やされた
傷害致死の共犯で12年食らった友人が居ますがそいつも直接の死因には絡んでません
運転と見張りだけ
昔みたいに7～8年じゃないんですよ」
コメント欄より

解説

＞ｐを素数とするとき、ℤ(p)＝{ｍ/ｎ｜ｍ,ｎ∈ℤ，(ｎ,ｐ)＝１，(ｍ,ｐ)＝１}はℚの部分環かどうか答えて下さい。

部分環でも部分体でもない。(ｍ,ｐ)＝１よりｍ≠０なので、零元が存在しないので環にならないから。（加法において群にならないから。）

おまけ：

解説
まず、ｎ進法について。例えば、２進法の１０１１０は１０進法ではいくつかと言うと、
１×２^4＋０×２^3＋１×２^2＋１×２^1＋０×２^0＝１６＋０＋４＋２＋０＝２２と変換する。
これを小数まで延長して考えれば、１/２^1，１/２^2，１/２^3，・・・となっていく事が容易に推定出来るだろう。
つまり、1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ...＝１×1/n＋１×1/n^2＋１×1/n＋･･･と考えると、ｎ進法の０．１１１…である。（0.1+0.01+0.001+…という事。）
補足：https://www.juku.st/info/entry/34
https://mathscience-teach.com/koukoumath-seisuu5-4/

ところで、０．１１１…＝１/９で、また、１/ｎ⇔０．１＝１/１０より、１/９⇔１/(ｎ－１)である。
よって、1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ...＝ 1/(n-1)

ここからは蛇足。ｎ進法の０．１１１…を１０進法で考えると＝１/９で、１/ｎ⇔０．１＝１/１０より、１/９⇔１/(ｎ－１)である。
つまり、ｎ進法の０．１１１…とｎ－１進法の０．１は等しい。（１×１/９⇔１×１/(ｎ－１)だからｎ－１進法の１という事。）
確認すると、１０進法の０．１１１…は１/９で９進法の０．１と等しい。（１×１/９という事。）よって、ＯＫ。
５進法の０．１１１…は１×１/５＋１×１/５^2＋１×１/５^3＋…＝１/５＋１/２５＋１/１２５＋…＝０．２＋０．０４＋０．００８＋・・・＝０．２４８…
一方、４進法の０．１は１×１/４＝１/４＝０．２５なのでＯＫである。念のため、どちらも１０進法に変換して計算しているという事。

よって、「ｎ進法の０．１１１…とｎ－１進法の０．１は等しい。」という定理が出来た。

＞因みに、昔作った面白い解法も付け加えます。

これは次回にします。また、今回の新作も出来ましたが、あまり面白くありません。昔作った奴は、当時は感覚が麻痺していて普通だと思ってましたが、傑作だと思います。（小学生でも理解出来ます。）

おまけ：

先に今回の新作。もっとも、調べていないので昔作っているかもしれませんが。

問題
1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ... を求めよ

別解
与式に１－１/ｎを掛けると、
(1－1/n)(1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ... )
＝1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ...－1/n^2 + 1/n^3 + 1/n^4 + ...＝1/n
∴(1－1/n)(1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ... )＝1/n
∴1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ... ＝(1/n)/(1－1/n)＝1/(n－1)
∴1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ...＝1/(n－1)

因みに、無限等比級数の解答を変形すれば簡単に出来ますが、私は中学生の因数分解の公式から発想しました。
つまり、ｘ^n－１=(ｘ－１){ｘ^(n-1)＋…＋１}のｘ^(n-1)＋…＋１に着目した訳ですが、有限の場合はｘ^nが残るのは言うまでもありません。あまり面白くありませんね。

おまけ：

＞因みに、昔作った面白い解法も付け加えます。

問題
1/n + 1/n^2 + 1/n^3 + ... を求めよ

別解２
適当な図形を描きｎ等分する。そして、分割したｎ－１個に１からｎ－１まで番号を振る。
番号を振らなかった最後の１個を再びｎ等分し１からｎ－１まで番号を振る。
また、番号を振らなかった最後の１個をｎ等分し１からｎ－１まで番号を振る。
以後、この作業を無限に繰り返し、初めの適当な図形の面積を１とすると、
１の番号が振ってある領域の延べ面積は、
１/ｎ＋１/ｎ^2＋１/ｎ^3＋・・・
２の番号の振ってある領域の延べ面積も、
１/ｎ＋１/ｎ^2＋１/ｎ^3＋・・・
これが１からｎ－１まであるので、
(ｎ－１)(１/ｎ＋１/ｎ^2＋１/ｎ^3＋…)＝１
が成り立つ。
∴１/ｎ＋１/ｎ^2＋１/ｎ^3＋…＝１/(ｎ－１)

あまりピンとこない人はｎ＝４で考えると良いです。
１/４＋１/４^2＋１/４^3＋・・・＝１/３の証明
面積１の正方形を十字に切って４等分し、右上以外の３マスに１～３と番号を振る。次に、右上の正方形を４等分し、再び右上以外の３マスに１～３と番号を振る。
以後、これを無限に繰り返すと、
１の番号が振ってある領域の延べ面積は、
１/４＋(１/４)^2＋(１/４)^3＋・・・
２の番号の振ってある領域の延べ面積も、
１/４＋(１/４)^2＋(１/４)^3＋・・・
３の番号の振ってある領域の延べ面積も、
１/４＋(１/４)^2＋(１/４)^3＋・・・
よって、３(１/４＋１/４^2＋１/４^3＋…)＝１
が成り立つ。
∴１/４＋１/４^2＋１/４^3＋・・・＝１/３

因みに、１/２＋１/２^2＋１/２^3＋…＝１の正方形を使った証明は有名ですが、そこから番号を振るのは難しいと思います。当時は普通だと思っていましたが、昨日再現しようと思ったら出来なくて、たまたま昔の証明を運よく発見して再現しました。
因みに、１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２や
１/５＋１/５^2＋１/５^3＋…＝１/４の証明は番号を振らなくても出来るので考えてみて下さい。

念のため、１/２＋１/２^2＋１/２^3＋…＝１の正方形を使った証明は、面積１の正方形を２等分すると片方の面積は１/２でもう一方を再び２等分すると片方の面積は(１/２)^2でこれを繰り返して片方の面積の総和を考えると、
１/２+(１/２)^2＋(１/２)^3＋…＝１が成り立つというもの。

おまけ：

小学生でも分かる１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２の証明（オリジナル）

円の面積を１とする。
円を中心角１２０°で３等分し、再び真ん中の扇形を３等分すると、２回目の中心角が１２０°÷３＝４０°の扇形の面積は、１/３の１/３だから面積は１/３^2である。（小学生でも２乗が分かるとする。）
以後、これを繰り返してそれぞれの分割の時の一番左のものだけをくっつけると、面積は、
１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…となる。
また、中心角の和を考えると、１２０°＋４０°＋(４０/３)°＋(４０/９)°＋…＝１７７．７７７…＋αより１８０°になる事は自明。（綺麗な図を描けば半円になりそうな事は自明という事。念のため、証明は逆に１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２を使えば良い。）
よって、半円になるので、＝１/２
よって、１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２

次回は、小学生でも分かる１/５＋１/５^2＋１/５^3＋…＝１/４の証明。

しかし、良い問題が出来ました。

問題
円を中心角で３等分し、真ん中の扇形を再び３等分し、さらに新しく出来た真ん中の扇形を３等分し、以後これを繰り返し、それぞれ一番左の扇形の総和は半円になる事を証明せよ。

解答
３６０°/３＋３６０°/３^2＋３６０°/３^3＋…＝１８０°になる事を示せば良い。
つまり、３６０°(１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…)＝１８０°より、１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２を示せば良い。
ところで、左辺は初項１/３，公比１/３の無限等比級数より、公式から、左辺＝(１/３)/(１－１/３)＝(１/３)/(２/３)＝１/２＝右辺
よって、示された。

中学生用の解法（因数分解の公式を利用）や小学生用の解法（前回と同様に扇形に番号を付ける）も可能だが、省略。

おまけ：

うっかりしました。訂正。

小学生でも分かる１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２の証明（オリジナル）

円の面積を１とする。
円を中心角１２０°で３等分し、再び真ん中の扇形を３等分すると、２回目の中心角が１２０°÷３＝４０°の扇形の面積は、１/３の１/３だから面積は１/３^2である。（小学生でも２乗が分かるとする。）
以後、これを繰り返してそれぞれの分割の時の一番左のものだけをくっつけると、面積は、
１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…となる。
ところで、対称性よりこれが半円に近付いていく事は自明。
よって、１/３＋１/３^2＋１/３^3＋…＝１/２

実は、１/(２ｎ＋１)＋１/(２ｎ＋１)^2＋１/(２ｎ＋１)^3＋…＝１/(２ｎ)は、同じ方法で示せます。ちょっと工夫が必要ですが。

問題
円を中心角で３等分し、真ん中の扇形を再び３等分し、さらに新しく出来た真ん中の扇形を３等分し、以後これを繰り返し、それぞれ一番左の扇形の総和は半円になる事を証明せよ。

解答
対称性から自明。

ブランクがあるとやはりダメですね。笑

おまけ：

小学生でも分かる１/５＋１/５^2＋１/５^3＋…＝１/４の証明

円の面積を１とする。ここで、円を中心角で５等分すると、左右対称で左に扇形２個，右に扇形２個，中央下に扇形１個となる。
次に、中央下の扇形を５等分すると、やはり左右対称で左に扇形２個，右に扇形２個，中央に扇形１個となる。
さらに、中央の扇形を５等分すると同様の関係が出来る。また、各扇形は前回の扇形の１/５の面積である。（毎回５等分する訳だから。）
ここで、各サイズの扇形を左の２個ずつ取ってくっつけていくと、対称性から、全ての総和は半円になる事が分かる。
つまり、(１/５)×２＋(１/５)×(１/５)×２＋(１/５)×(１/５)×(１/５)×２＋…＝１/２
という関係が成り立つ。この両辺を２で割ると、
(１/５)＋(１/５)×(１/５)＋(１/５)×(１/５)×(１/５)＋…＝１/４
つまり、１/５＋１/５^2＋１/５^3＋…＝１/４
よって、示された。

因みに、前回も書いたように、
１/(２ｎ＋１)＋１/(２ｎ＋１)^2＋１/(２ｎ＋１)^3＋…＝１/(２ｎ)が、同じ方法で示せる。
１/３の場合は１個ずつ，１/５の場合は２個ずつ取っていくが、これは２ｎ＋１のｎの個数である。（図形の対称性を考えれば自明。）
よって、ｎ個ずつ取って最後にｎで割れば同様に示せる事が分かるだろう。

これはこれで素晴らしいと思います（小学生用に）が、番号を付けて、１/ｎ＋１/ｎ^2＋１/ｎ^3＋…＝１/(ｎ－１)を証明する方法の方が（特許的に）良いと思います。奇数の場合も偶数の場合も示せますからね。

おまけ：（林先生は超優秀そうだね。）
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-10364616010.html（特に意味はない。）

解説
＞(ｍａ)(ｎｂ)＝ｍ(ａ・ｎｂ)　（定理1.2の（５））
　　　　　 ＝ｍ{ｎ(ａｂ)}　（定理1.2の（５））
　　　　　 ＝(ｍｎ)(ａｂ)　（第２章定理2.5）

１行目と２行目は簡単なので省略。３行目は、第２章定理2.5で考えても良いですが、折角問1.2でｍ(ｎａ)＝ｍｎａを示して勿体ないのでこれを使う。ａの所をａｂにすれば良いですね。

問1.2
環Ｒの元をａとする。任意の整数ｍ，ｎについて、
ｍ(ｎａ)＝ｍｎａ，(ｍ＋ｎ)ａ＝ｍａ＋ｎａが成り立つことを確かめよ。

別解
(ｍａ)(ｎｂ)＝(ａ＋…＋ａ)(ｂ＋…＋ｂ)
　　　　　　　　↑ｍ個　　　↑ｎ個
ａ，ｂは環Ｒの元より分配法則を使って良いので、
＝ａｂ＋…＋ａｂ（ｍｎ個）
＝ｍｎ(ａｂ)
∴(ｍａ)(ｎｂ)＝ｍｎ(ａｂ)
よって、示された。

ただし、厳密にはｍ，ｎ≦０の場合も示さなければならないが、省略。

因みに、環で分配法則を入れるのは、群の時と違って演算が２つになるから意味もなく入れたのでしょうか。個人的には、定理1.3を証明するために入れたんじゃないかと思っています。（もちろん、他の理由もあると思いますが。）

定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ）

証明
ａ・ｃ＝ｂ・ｃと仮定すると、(ａ－ｂ)・ｃ＝０　ここでＲは整域であるから、０と異なる零因子はない。したがって、ａ－ｂ＝０でなければならない。ゆえにａ＝ｂ

環では、乗法に関する逆元が存在しないのでａ・ｃ＝ｂ・ｃの両辺にｃ^-1を掛けられない。しかし、整域でも消去律を示したいので、分配法則を導入したという事ではないでしょうか。（適当。）
そういう事はこういう本https://www.amazon.co.jp/dp/4000067915/を読めば分かるものなのでしょうか。（念のため、これは環ではないですが。）全体を把握したいものですね。

おまけ：

解答
ＯＡ，ＯＢ，ＯＣを結ぶと、半径より△ＯＡＢ，△ＯＣＢ，△ＯＣＡはそれぞれ二等辺三角形になる。
よって、∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝●と置くと、∠ＯＢＡ＝●＋７．５°より∠ＯＡＢ＝●＋７．５°
また、∠ＯＣＡ＝●＋７５°より∠ＯＡＣ＝●＋７５°
よって、∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＣ＝●＋７．５＋●＋７５°＝９７．５°である。
よって、●＋●＝９０°－７５°＝１５°（これは移項ではなく図形的に分かる。）
よって、●＝１５°÷２＝７．５°よって、∠ＯＡＢ＝７．５°＋７．５°＝１５°
また、∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝７５°＋７．５°＝８２．５°より、∠ＣＯＡ＝１８０°－８２．５°×２＝１８０°－１６５°＝１５°
よって、∠ＯＡＢ＝∠ＣＯＡより錯角が等しいので、ＯＣとＢＡは平行。
よって、等積変形により△ＡＢＣの面積は△ＡＢＯの面積と等しい。そこで、この面積を求める。
ＯからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとし、ＯＨで△ＯＡＢを２つに切ってＡＨとＢＨをくっつけるように組み換えると、新しく等辺が半径つまり１０ｃｍで頂角が３０°の二等辺三角形が出来る。
仮に、△ＰＱＲとしＰＱ＝ＰＲ＝１０ｃｍ，∠ＱＰＲ＝３０°として、ＲからＰＱに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＲＰＩは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になるので、ＲＩ＝１０÷２＝５ｃｍ
よって、△ＰＱＲ＝ＰＱ×ＲＩ÷２＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
よって、答えは、２５ｃｍ^2

暗算で解きながら書いたので、ちょっと読み難いかもしれません。また、何でもありの解法は三角関数を使って下さい。

おまけ：

三角関数の解法
△ＡＢＣで正弦定理を使うと、
ＡＢ/sin75°＝ＡＣ/sin7.5°＝２Ｒ＝２０
∴ＡＢ＝２０sin75°―――①
ＡＣ＝２０sin7.5°―――②
ところで、１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比は、√６－√２：√６＋√２：４より、
sin75°＝(√６＋√２)/４―――③
③を①に代入すると、
ＡＢ＝５(√６＋√２)―――(Ⅰ)
また、半角の公式より、
sin^2(15°/2)＝(１－cos15°)/２―――(ア)
また、cos15°＝sin75°＝(√６＋√２)/４―――(イ)
(ア)，(イ)より、
sin^2(7.5°)＝(４－√６－√２)/８
sin7.5°は第１象限の角より、sin7.5°＞０
∴sin7.5°＝√(４－√６－√２)/２√２―――④
④を②に代入してちょっと整理すると、
ＡＣ＝５√(８－２√６－２√２)―――(Ⅱ)
ところで、
△ＡＢＣ＝(１/２)・ＡＢ・ＡＣ・sin97.5°―――☆
sin97.5°＝sin(90°＋7.5°)＝cos7.5°＝cos(15/2)°―――(ウ)
また、半角の公式より、
cos^2(15°/2)＝(１＋cos15°)/２＝(４＋√６＋√２)/８
cos7.5°も第１象限の角より、cos7.5°＞０
∴cos7.5°＝√(４＋√６＋√２)/２√２―――(エ)
(ウ)，(エ)より、
sin97.5°＝√(４＋√６＋√２)/２√２―――(Ⅲ)
(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)を☆に代入すると、
△ＡＢＣ＝(１/２)・５(√６＋√２)・５√(８－２√６－２√２)・{√(４＋√６＋√２)/２√２}
＝２５(√３＋１)√{２(４－√６－√２)(４＋√６＋√２)}/４
＝２５(√３＋１)√[２{１６－(√６＋√２)^2}]/４
＝２５(√３＋１)√[２{１６－(８＋４√３)}]/４
＝２５(√３＋１)√{２(８－４√３)}/４
＝２５(√３＋１)√{２(√６－√２)^2}/４
＝２５(√３＋１)(√６－√２)√２/４
＝２５(√６＋√２)(√６－√２)/４
＝２５・４/４＝２５ｃｍ^2
よって、答えは、２５ｃｍ^2

上手い工夫がなくても解けるものですね。まぁ、公式を暗記していて使いこなせなければなりませんが。個人的には、二刀流が好きです。

おまけ：

解説
＞具体的には、p.132の直積（定義7.1）が群になるので、下段の乗法に関しても群なのにℚ⊕ℚが体にならない理由ですね。

その理由は、ℚは乗法に関して群にはならないからである。

念のため、

定義7.1
Ｇ1,Ｇ2,…,Ｇnを群とする。

のＧ1，Ｇ2が群ではなかったという事である。

ただし、ℚ^*は乗法に関して群になる。
つまり、ℚ^*⊕ℚ^*は体になるという事である。

補足
例1.2（p.57）
（ℚ^*,・）：０でない有理数の全体ℚ^*は乗法に関して群になる。

おまけ：