数学

解法１
正面の三角形をＰＱＲ（反時計回り）とし、合同な三角形の点Ｐに対応する点をＰ'とする。
また、ＰからＱＲに下ろした垂線の足をＨとすると、∠ＱＰＲ＝∠ＰＰ'Ａより錯角が等しいので、ＰＱ//ＡＰ'
ここで、Ｐ'からＡＢに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＰＱＨと△ＡＰ'Ｉは相似で相似比は３：４より、ＡＩ＝(４/３)×ＰＨ＝(４/３)×２ｃｍ＝８/３ｃｍ
また、Ｐ'からＨＲに垂線を下ろしその足をＪとすると、△ＰＨＲと△Ｐ'ＪＲは相似で相似比は４：４－３＝４：１なので、
Ｐ'Ｊ＝(１/４)×ＰＨ＝(１/４)×２＝１/２ｃｍ
ところで、四角形Ｐ'ＪＢＩは長方形より、
ＩＢ＝Ｐ'Ｊ＝１/２ｃｍ
よって、ＡＢ＝ＡＩ＋ＩＢ＝８/３＋１/２＝(１６＋３)/６＝１９/６＝３と１/６ｃｍ
よって、答えは、３と１/６ｃｍ

解法２
ＰＱ//ＡＰ'までは同じ。
ここで、ＡＰ'の延長とＱＲとの交点をＣとすると、ＰＱ//Ｐ'Ｃより△ＰＱＲと△Ｐ'ＣＲは相似で相似比は４：４－３＝４：１
よって、Ｐ'Ｃ＝(１/４)×ＰＱ＝(１/４)×３＝３/４ｃｍ
よって、ＡＣ＝４＋３/４＝１９/４ｃｍ
また、ＰからＱＲに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＰＱＨと△ＡＣＢは相似で相似比は３：１９/４より、１２：１９
よって、ＡＢ＝(１９/１２)×ＰＨ＝(１９/１２)×２＝１９/６＝３と１/６ｃｍ
よって、答えは、３と１/６ｃｍ

どちらも暗算で解きましたが、解法２の方がすっきりしていますね。因みに、解法は思い付いた順です。

おまけ：

解答
図の八角形（八辺形）の左上と右下の部分を補填して全体を長方形にすると、左上の空白部分の面積は、(５－４)×４＝４ｃｍ^2
また、右下の空白部分の面積は、(５－３)×３＝６ｃｍ^2
ここで、全体の長方形を左上の頂点から反時計回りにＰ，Ｃ，Ｑ，Ｒと振ると、△ＰＣＲと△ＱＲＣの面積は等しく、２つの空白の部分の面積の差は６－４＝２ｃｍ^2で、与えられた条件の面積どうしも等しいので、
△ＢＣＲの面積は、２÷２＝１ｃｍ^2である。（もっと分かり易く解説する事も可能だが、全部の頂点にアルファベットを振る必要があるので省略。）
とにかく、小さい方を１ｃｍ^2増やせば大きい方が１ｃｍ^2減るので差は２ｃｍ^2と考えれば、△ＢＣＲ＝１ｃｍ^2と分かるだろう。
ところで、△ＣＢＲの高さは５ｃｍより、
ＢＲ＝１×２÷５＝２/５＝０．４ｃｍ
よって、ＡＢ＝５＋３－０．４＝７．６ｃｍ
よって、答えは、７．６ｃｍ

念のため、何でもありの解法で裏は取ってあります。

おまけ：

何でもありの解法
左の正方形の左上の頂点から反時計回りにＰ，Ｃ，Ｑ，Ｒと振り、ＡＱとＢＣの交点をＤとする。
また、ＡＢ上の点をＥとしＢＥ＝ｘｃｍと置くと、ＡＢ＝ｘ＋５ｃｍ　また、△ＤＡＢ∽△ＤＱＣより、ＡＤ：ＤＱ＝ｘ＋５：４　
∴ＡＤ＝{(ｘ＋５)/(ｘ＋９)}ＡＱ
＝５(ｘ＋５)/(ｘ＋９)ｃｍ
また、ＡＲ＝５－４＝１ｃｍより、
ＲＤ＝５(ｘ＋５)/(ｘ＋９)－１
＝{５(ｘ＋５)－(ｘ＋９)}/(ｘ＋９)
＝(４ｘ＋１６)/(ｘ＋９)
＝４(ｘ＋４)/(ｘ＋９)ｃｍ
よって、五角形ＡＲＰＣＢ＝台形ＲＰＣＤ＋△ＡＤＢ＝{４(ｘ＋４)/(ｘ＋９)＋４}×４×(１/２)＋{５(ｘ＋５)/(ｘ＋９)}×(ｘ＋５)×(１/２)＝(１６＋２５＋９)÷２＝２５が成り立つ。
これを整理すると、
５ｘ^2＋３２ｘ－１１７＝０となる。これを因数分解すると、
(５ｘ－１３)(ｘ＋９)＝０　ｘ＞０より、
ｘ＝１３/５　∴ＡＢ＝ｘ＋５＝１３/５＋５
＝３８/５＝７．６ｃｍ
よって、答えは、７．６ｃｍ

おまけ：

解法１　算数の解法
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢの真ん中の点をＥ，ＢＣを３等分する点を左からＦ，Ｇ，ＡＤを３等分する点を左からＨ，Ｉとする。
ここで、ＦＤを結ぶと、△ＡＢＦと△ＦＣＤはニ辺挟角が等しいので合同である。
よって、ＡＦ＝ＦＤ　また、∠ＢＡＦ＝∠ＣＦＤ＝●，∠ＡＦＢ＝〇と置くと、∠ＡＦＢ＋∠ＤＦＣ＝〇＋●＝１８０°－９０°（△ＡＢＦの内角の和より）＝９０°
よって、∠ＡＦＤ＝１８０°－(∠ＡＦＢ＋∠ＤＦＣ)＝１８０°－９０°＝９０°
よって、△ＦＡＤは直角二等辺三角形である。よって、∠ＦＡＤ＝４５°
よって、∠ア＝４５°
また、ＥＤとＨＦ，ＩＧとの交点をそれぞれＪ，Ｋとすると、二辺挟角が等しいので、△ＡＥＫと△ＦＪＤは合同。よって、∠ＦＤＪ＝∠ＡＫＥ＝∠イ
よって、∠イ＋∠ウ＝∠ＦＤＪ＋∠ＡＤＫ＝∠ＡＤＦ＝４５°（△ＦＡＤは直角二等辺三角形だから。）
よって、∠イ＋∠ウ＝４５°
よって、答えは、∠ア＝４５°，∠イ＋∠ウ＝４５°

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2923110387349252574

解法２　高校数学の解法
tan∠イ＝１/２，tan∠ウ＝１/３―――①
加法定理より、
tan(∠イ＋∠ウ)＝(tan∠イ＋tan∠ウ)/(１－tan∠イ・tan∠ウ)―――②
①を②に代入すると、tan(∠イ＋∠ウ)＝(１/２＋１/３)/{１－(１/２)(１/３)}＝(５/６)/(５/６)＝１
よって、tan(∠イ＋∠ウ)＝１で０°＜∠イ＋∠ウ＜１８０°より、∠イ＋∠ウ＝４５°
また、∠ＤＡＥ＝ｘ，∠ＦＡＢ＝ｙと置くと、∠ア＝ｘ－ｙで、tanｘ＝３，tanｙ＝１/２
∴tan∠ア＝tan(ｘ－ｙ)＝(tanｘ－tanｙ)/(１＋tanｘ・tanｙ)＝(３－１/２)/{１＋３・(１/２)}＝(５/２)/(５/２)＝１
よって、tan∠ア＝１で０°＜∠ア＜１８０°より、∠ア＝４５°
よって、答えは、∠ア＝４５°，∠イ＋∠ウ＝４５°

因みに、逆三角関数の解法はArctanの加法定理を使ってほとんど同じ。まぁ、そちらの方が解き易いですが。

おまけ：

解法３　中学生用の解法
四角形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢの中点をＥ，ＢＣを３等分する点を左からＦ，Ｇ，ＡＤを３等分する点を左からＨ，Ｉとする。
また、ＥＤとＨＦ，ＩＧとの交点をそれぞれＪ，Ｋとし、ＡＪを結ぶ。
ここで、格子状の正方形の１辺の長さを１とすると、ＡＪ＝√２，ＪＤ＝２より、ＡＪ：ＪＤ＝√２：２＝１：√２―――①
また、ＫＪ：ＪＡ＝１：√２―――②　
①，②より、ＡＪ：ＪＤ＝ＫＪ：ＪＡ　
また、∠ＡＪＫが共通より、二辺比と挟角が等しいので、△ＡＪＤ∽△ＫＪＡ　
∴∠ＪＡＤ＝∠ＪＫＡ＝∠イ　
よって、△ＪＡＤの内対角の和より、∠ＡＪＥ＝∠ＪＡＤ＋∠ＪＤＡ＝∠イ＋∠ウ―――③
ところで、△ＡＥＪは直角二等辺三角形より、∠ＡＪＥ＝４５°―――④
③，④より、∠イ＋∠ウ＝４５°
また、∠ア＝∠ＦＡＤ＝∠ＦＡＪ＋∠ＪＡＤ＝∠ＦＡＪ＋∠イ＝∠ＦＡＪ＋∠ＡＫＥ
＝∠ＦＡＪ＋∠ＦＡＢ（△ＡＫＥ∽△ＦＡＢより）
∴∠ア＝∠ＦＡＪ＋∠ＦＡＢ＝∠ＢＡＪ
＝∠ＥＡＪ＝４５°
∴∠ア＝４５°
よって、答えは、∠ア＝４５°，∠イ＋∠ウ＝４５°

おまけ：

解法１　思い付いた順
分母が等しいどうしで比べると、√２/５＜２/５―――①　√(２/５)＜２/√５―――②
ここで、①の右辺と②の左辺を比べると、２/５と√(２/５)　つまり、√(２/５)に√(２/５)を掛けると２/５になり、√(２/５)＜１は自明なので、２/５＜√(２/５)である。（ある数に１より小さい数を掛けると元の数より小さくなるから。）よって、２/５＜√(２/５)―――③
①，②，③より、
√２/５＜２/５＜√(２/５)＜２/√５

解法２　検索していないが、多分これが模範解答
２/５，２/√５，√２/５，√(２/５)
全てを２乗して大きさの比較をすると、
４/２５，４/５，２/２５，２/５
通分すると、
４/２５，２０/２５，２/２５，１０/２５
よって、
２/２５＜４/２５＜１０/２５＜２０/２５
よって、答えは、
√２/５＜２/５＜√(２/５)＜２/√５

おまけ：

何でもありの解答
正七角形は円に内接するので、∠イは正七角形の辺１つ分の弧に対する円周角である。
また、アルハゼンの定理http://yosshy.sansu.org/theorem/alhazen.htm（１の方）より、∠アは正七角形の辺１つ分の弧の円周角＋正七角形の辺２つ分の弧の円周角＝正七角形の辺３つ分の弧の円周角
よって、アはイの３倍。

一応、アルハゼンの定理を使わない場合は、正七角形を正面上の頂点から反時計回りにＡ～Ｇと振り、ＡＥとＤＦの交点をＨとすると、円周角より∠ＨＦＥ＝∠ＤＦＥ＝∠ＤＡＥ＝弧１個分の円周角
また、∠ＨＥＦ＝∠ＡＥＦ＝弧２個分の円周角
よって、△ＨＥＦの内対角の和より、
ア＝∠ＨＦＥ＋∠ＨＥＦ＝弧１個分の円周角＋弧２個分の円周角＝弧３個分の円周角
また、イ＝弧１個分の円周角より、アはイの３倍。

おまけ：

間違い探しの解答
＞ｎが平方数でない時、ｐr^jも平方数でなく、①より∑(j=0~αr)λ(ｐr^j)＝０　∴∑(d|n)λ(ｄ)＝０

これだけじゃないですね。ｎ＝ｍ・ｐr^αrと置いていて、これが平方数じゃない時は、ｍが平方数じゃない場合もありますね。
（ｐr^αrが平方数でｍが平方数じゃないという事。）

それらを付け加えてちょっと改良した解答を作りますね。

問題
λ(１)＝１とし、ｎ＞１のとき、ｎを素因数分解して偶数個または奇数個の素数の積になるとき、それぞれλ(ｎ)＝１またはλ(ｎ)＝－１と定める。次にｎが平行数のとき１、そうでないとき０と定めて、これをｆ(ｎ)で表す。このとき、次を示せ。
（１）ｆ(ｎ)＝∑(d|n)λ(ｄ)
（２）λ(ｎ)＝∑(d|n)μ(ｄ)ｆ(ｎ/ｄ)
λ(ｎ)をリウヴィル関数という。

別証
λ(ａｂ)＝λ(ａ)λ(ｂ)が成り立つ事は上と同じ。
（１）まずｐを素数として、ｎ＝ｐ^αの時を調べる。
∑(d|n)λ(ｄ)＝λ(１)＋λ(ｐ)＋λ(ｐ^2)＋λ(ｐ^3)＋…＋λ(ｐ^α)＝１－１＋１－１＋…＝０か１―――①
ｎが平方数の時１で、平方数でない時０。
次に、ｎ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2…ｐr^αrとして、ｎ＝ｍ・ｐr^αrと置き、ｍの全ての約数をｄ1，ｄ2，…，ｄsとすると、ｎの約数は全て
ｄi・ｐr^j（１≦ｉ≦ｓ，０≦ｊ≦αr）で表される。
∴∑(d|n)λ(ｄ)＝∑(i=1~s)∑(j=0~αr)λ(ｄi・ｐr^j)
＝∑(i=1~s)∑(j=0~αr)λ(ｄi)λ(ｐr^j)
＝{∑(i=1~s)λ(ｄi)}{∑(j=0~αr)λ(ｐr^j)}―――②
ここで、ｎが平方数でない場合を考えると、
（ⅰ）ｐr^αrが平方数でない場合
（ⅱ）ｍが平方数でない場合
の２通りがある。
（ⅰ）の場合、①より、∑(j=0~αr)λ(ｐr^j)＝０　∴∑(d|n)λ(ｄ)＝０（②より）
（ⅱ）の場合、λ(ｍ)＝λ(ｐ1^α1・ｐ2^α2…ｐr-1^αr-1)＝λ(ｐ1^α1)λ(ｐ2^α2)…λ(ｐr-1^αr-1)
∴∑(d|m)λ(ｄ)＝∑(d|p1^α1)λ(ｄ)・∑(d|p2^α2)λ(ｄ)…∑(d|pr-1^αr-1)λ(ｄ)
＝(０か１)・(０か１)…(０か１)（①より）
ｍが平方数でないので、このうち少なくとも１つは０である。∴∑(d|m)λ(ｄ)＝０
ところで、これは∑(i=1~s)λ(ｄi)＝０と同じ意味である。よって、②より、∑(d|n)λ(ｄ)＝０
次に、ｎが平方数の場合を考えると、
ｍとｐr^αrは互いに素より、ｍもｐr^αrも平方数である。よって、①より∑(j=0~αr)λ(ｐr^j)＝１
また、λ(ｍ)＝λ(ｐ1^α1・ｐ2^α2…ｐr-1^αr-1)＝λ(ｐ1^α1)λ(ｐ2^α2)…λ(ｐr-1^αr-1)
∴∑(d|m)λ(ｄ)＝∑(d|p1^α1)λ(ｄ)・∑(d|p2^α2)λ(ｄ)…∑(d|pr-1^αr-1)λ(ｄ)
＝１・１…１＝１（ｐ1～ｐr-1は全て互いに素よりそれぞれ全て平方数だから、①より。）
これは∑(i=1~s)λ(ｄi)＝１と同じ意味である。
よって、②より、∑(d|n)λ(ｄ)＝１・１＝１
よって、定義より、ｆ(ｎ)＝∑(d|n)λ(ｄ)

おまけ：

解法１　思い付いた順
ＢＤを結び、ＡからＢＤと平行な直線を引き、ＣＤの延長との交点をＥとすると、等積変形で△ＡＢＤ＝△ＥＢＤ　この両方に△ＤＢＣをくっつけると、四角形ＡＢＣＤ＝△ＥＢＣとなる。
よって、△ＥＢＣの面積を求めれば良い。
ところで、算数のマニアックな定石の1つに、∠Ａが直角の直角二等辺三角形ＡＢＣと辺ＢＣを等辺とした頂角が３０°の二等辺三角形ＢＥＣを描くと２つの三角形の面積は等しく、ＡＥとＢＣは平行というものがある。証明は簡単だが、こちらの図を見て貰った方が良いだろう。https://sansu-seijin.jp/sansu-orympic/9340/
ところで、△ＤＢＣの内対角の和より、
∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝４５°＋３０°＝７５°
また、ＡＥとＢＤは平行より上の定石により、△ＢＥＤは頂角が３０°の二等辺三角形になる。よって、∠ＢＥＤ＝７５°より∠ＥＢＣ＝１８０°－７５°－３０°＝７５°よって、∠ＢＥＤ＝∠ＥＢＣより△ＣＢＥは頂角が３０°の二等辺三角形である。よって、ＥＣ＝ＢＣ＝１０ｃｍ
また、ＥからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＥＨＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型よりＥＨ＝ＥＣ÷２＝５ｃｍ
よって、△ＥＢＣ＝１０×５÷２＝２５ｃｍ^2
よって、四角形ＡＢＣＤ＝△ＥＢＣより四角形ＡＢＣＤ＝２５ｃｍ^2
よって、答えは、２５ｃｍ^2

因みに、思い付いたのは３通りですが、５通りぐらいあったと思います。

おまけ：

解法２
ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、四角形ＡＢＨＤは正方形で△ＤＨＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。よって、ＤＨ：ＤＣ＝１：２
ここで、こちらの図https://sci-pursuit.com/math/pythagoren-theorem.html（真ん中ぐらいの図）
のように△ＤＨＣをコピーして置くと、中央に出来る正方形の１辺の長さは正方形ＡＢＨＤの１辺の長さの２倍である。
よって、十字で４等分して四隅の直角三角形とペアにすると正方形ＡＢＨＤ＋△ＤＨＣ＝１０×１０÷４＝２５ｃｍ^2（大外の正方形の１辺の長さはＢＣと等しく１０ｃｍ）
よって、四角形ＡＢＣＤ＝２５ｃｍ^2

おまけ：

解法３
ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、四角形ＡＢＨＤは正方形で△ＤＨＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。よって、ＤＨ：ＤＣ＝１：２
ここで、ＤＨ，ＤＣの真ん中の点をそれぞれＭ，Ｎとし、ＮからＨＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＤＭＮ，△ＨＭＮ，△ＮＩＨ，△ＮＩＣは全て合同な３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。証明は簡単で省略。
ところで、正方形ＡＢＨＤの辺の長さと上の直角三角形の斜辺の長さは全て等しいので、こちらの図https://sci-pursuit.com/math/pythagoren-theorem.html（真ん中ぐらいの図）
のように組み直すと、正方形に変換でき、１辺の長さは、ＢＨの半分＋ＨＣの半分と同じ長さなのでＢＣの半分で５ｃｍである。
よって、答えは、２５ｃｍ^2

他の解法に今日がある人はこちら。（ただし、まだあったと思います。）

おまけ：

解説
＞ｎの素因数分解をｎ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2…ｐr^αr（ｐiは素数）とする。
（１）ｒについての帰納法によって、ｆ(ｎ)＝∑(d|n)λ(ｄ)を示す。
（ⅰ）ｒ＝１，すなわち、ｎ＝ｐ1^α1のとき：
∑(d|n)λ(ｄ)＝∑(0≦β1≦α1)λ(ｐ1^β1)
＝∑(0≦β1≦α1)(－１)^β1
ここで、∑(0≦k≦2n)(－１)^k＝１
　　　　∑(0≦k≦2n+1)(－１)^k＝０
が成り立つことに注意する。

＞∑(0≦β1≦α1)λ(ｐ1^β1)
＝∑(0≦β1≦α1)(－１)^β1

λ(ｎ)の定義が、ｎの素因数が偶数個の場合はλ(ｎ)＝１で、奇数個の場合はλ(ｎ)＝－１なので、λ(ｐ1^β1)＝(－１)^β1と出来るから。（この両辺に∑を付ける。）

＞ここで、∑(0≦k≦2n)(－１)^k＝１
　　　　∑(0≦k≦2n+1)(－１)^k＝０
が成り立つ

上の場合は、(－１)^0＋(－１)^1＋(－１)^2＋(－１)^3＋…＋(－１)^(2n-1)＋(－１)^2n
＝１－１＋１－１＋…－１＋１＝１
下の場合は、
(－１)^0＋(－１)^1＋(－１)^2＋(－１)^3＋…＋(－１)^2n＋(－１)^(2n+1)
＝１－１＋１－１＋…＋１－１＝０

＞ｎが平方数のとき、α1は偶数である。このとき、上で調べたことを使うと、
∑(d|n)λ(ｄ)＝１＝ｆ(ｎ)

偶数だから。

＞ｎが平方数でないとき、α1は奇数である。ゆえに、∑(d|n)λ(ｄ)＝０＝ｆ(ｎ)

奇数だから。

＞ｆ(ｎ)＝ｆ(ｐ1^e1…ｐr^er)
＝ｆ(ｐ1^e1…ｐr-1^er-1)ｆ(ｐ1^er)

上で示したｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)を使った。

「同様にして、ａ，ｂが平方数であるかないかということで場合分けをすれば、ｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)が示される。」（上から持ってきた。）

間違い探しをして下さい。ついでに、訂正もして下さい。

おまけ：

間違い探しの解答
＞同様にして、ａ，ｂが平方数であるかないかということで場合分けをすれば、ｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)が示される。

ここですね。反例：ａ＝ｂ＝２とすると、ａｂ＝４で平方数なので、ｆ(ａｂ)＝１
また、ａ，ｂは平方数ではないので、ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)＝０　∴ｆ(ａｂ)≠ｆ(ａ)ｆ(ｂ)

よって、証明の、
（ⅱ）ｒ＞１として、ｒ－１まで正しいと仮定する。
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｐ1^e1…ｐr^er)
＝ｆ(ｐ1^e1…ｐr-1^er-1)ｆ(ｐ1^er)
＝{∑(d1|p1^e1…pr-1^er-1)λ(ｄ1)}・{∑(d2|pr^er)λ(ｄ2)}
＝∑(d1d2|p1^e1…pr^er)λ(ｄ1ｄ2)
＝∑(d|n)λ(ｄ)

＞ｆ(ｐ1^e1…ｐr^er)
＝ｆ(ｐ1^e1…ｐr-1^er-1)ｆ(ｐ1^er)

この部分が言えないので、ダメですね。
ただし、こういう分け方の場合はｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)が成り立つ事を補足して言えば問題はない。例えば、９００＝２^2・３^2・５^2だが、これを２^2・３と３・５^2のように分けると、９００＝１２・７５で、ｆ(９００)≠ｆ(１２)・ｆ(７５)だが、２^2・３^2と５^2に分ける場合は、大丈夫である。念のため、他の次数の場合も全て大丈夫である。

おまけ：

解説
＞ｆ(ｎ)＝ａ1＋ａ2＋…＋ａφ(n)＝∑((x,n)=1)ｘとおく。１≦ｘ＜ｎで(ｘ，ｎ)＝ｄなるｘの和は
ｄｆ(ｎ/ｄ)に等しい（定理3.4の証明参照）。

これははっきり言って、定理3.4の証明を全部理解していてもよく分からない。そこで、具体例を挙げてお茶を濁そう。（個人的には、数学的帰納法とかで証明した方が良いような気がするが、次回、別解をやるのでそれで良しとする。）

＞ｄをｎの約数全部動かして足せば、０からｎ－１までの数全部が現れる

ｄｆ(ｎ/ｄ)は、１≦ｘ＜ｎで(ｘ，ｎ)＝ｄなるｘの和だから。（定理3.4の証明のＳ＝Ａ1∪…∪Ａkを考えても良い。）また、１からｎにならずに０からｎ－１になるのは具体例を見て考えた方が分かり易い。
例えば、ｎ＝２０とすると、
１・ｆ(２０/１)＝１＋３＋７＋９＋１１＋１３＋１７＋１９
２・ｆ(２０/２)＝２(１＋３＋７＋９)＝２＋６＋１４＋１８
４・ｆ(２０/４)＝４(１＋２＋３＋４)＝４＋８＋１２＋１６
５・ｆ(２０/５)＝５(１＋３)＝５＋１５
１０・ｆ(２０/１０)＝１０・１＝１０
２０・ｆ(２０/２０)＝２０・０＝０
よって、０～１９が現れる。

＞ここで、∑(d|n)ｄｆ(ｎ/ｄ)＝∑(d|n)(ｎ/ｄ)ｆ(ｄ)であるから

ｎ＝ｎ1・ｄとおくと、ｎ1＝ｎ/ｄ　よって、ｎ1とｄの関係を考える。（ｎ/ｄとｄという事。）
例えば、ｎ＝８とすると、８＝１・８，２・４，４・２，８・１で、ところで∑(d|n)より約数全てで考えるので、ｎ＝ｎ1・ｄの集合ｎ1＝{１，２，４，８}，集合ｄ＝{８，４，２，１}となる。
よって、集合ｎ1と集合ｄは等しい。よって、集合ｎ/ｄと集合ｄは等しい。
よって、上の式ではｄとｎ/ｄ入れ換えても等号で結ばれる訳である。（以後、これについての解説は省略して法則として使う。）

＞すなわち、∑(d|n)ｆ(ｄ)/ｄ＝(ｎ－１)/２を得る。反転公式（定理3.7）と定理3.6より
ｆ(ｎ)/ｎ＝∑(d|n){(ｄ－１)/２}μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)(ｄ－１)μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)ｄμ(ｎ/ｄ)
－(１/２)∑(d|n)μ(ｄ)
＝(１/２)φ(ｎ)－(１/２)・０＝φ(ｎ)/２
∴ｆ(ｎ)＝ｎφ(ｎ)/２

∑(d|n)ｆ(ｄ)/ｄ＝(ｎ－１)/２　これに反転公式を使うと、
ｆ(ｎ)/ｎ＝∑(d|n)μ(ｄ){(ｎ/ｄ－１)/２}
＝∑(d|n)μ(ｎ/ｄ){(ｄ－１)/２}
＝(１/２)∑(d|n)(ｄ－１)μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)ｄμ(ｎ/ｄ)－(１/２)∑(d|n)μ(ｎ/ｄ)
=(１/２)∑(d|n)ｄμ(ｎ/ｄ)－(１/２)∑(d|n)μ(ｄ)
=(１/２)∑(d|n)(ｎ/ｄ)μ(ｄ)－(１/２)・０（定理3.6より）
＝(１/２)∑(d|n)(ｎ/ｄ)μ(ｄ)―――①
また、定理3.4より、∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎ　これに反転公式を使うと、
φ(ｎ)＝∑(d|n)μ(ｄ)(ｎ/ｄ)―――②
①，②より、ｆ(ｎ)/ｎ＝(１/２)φ(ｎ)
∴ｆ(ｎ)＝ｎφ(ｎ)/２

定理3.4
ｎを自然数とするとき、次の等式が成り立つ。
∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎ
ここで、和はすべての約数についての和を意味するものとする。

定理3.6
ｎを自然数とするとき、つぎの式が成り立つ。
∑(d|n)μ(ｄ)＝１（ｎ＝１）
　　　　　　＝０（ｎ＞１）
ただし、和はｎのすべての正の約数ｄについての和を表すものとする。

定理3.7（メビュースの反転公式）
Ｆ(ｎ)，ｆ(ｄ)を整数の集合ℤからℤへの関数とする。このとき、Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)が成り立てばｆ(ｎ)＝∑(d|n)μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)が成り立つ。
ただし、和はｎのすべての約数ｄについての和を表すものとする。

しかし、定理3.4についての解説が全くないのはちょっとおかしいですね。（あくまでも個人的な感想です。）

おまけ：

別解ではありませんでした。

問題
nを2以上の自然数とする。n以下の自然数の中でnと互いに素になる数の和はnφ(n)/2になることを証明してください。φはオイラーのトーシェント関数のことです。

解答
n = 2 のときは求める和は 1 であり
φ(2) = 1 なので等式を満たします♪
n ≧ 3 のとき n は素因数分解したとき
奇素数または 2^k (k ≧ 2) を必ず含むため
φ関数の性質から φ(n) は偶数です☆
該当する数の集合を A とすると
※ 例：n = 15 のとき A = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
m ∈ A ならば n - m ∈ A であるため
2 つの A の元で和が n になるペアが φ(n)/2 組あり
※ 例：n = 15 のとき
※ (1 + 14) + (2 + 13) + (4 + 11) + (7 + 8)
和は nφ(n)/2 ですね(＊◕ ◡◕)✿♫♬
引用元：https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10175571350

これの解説をして下さい。分かり易い解説ですが、完全解説をして下さい。

おまけ：

解説
＞n ≧ 3 のとき n は素因数分解したとき
奇素数または 2^k (k ≧ 2) を必ず含むため
φ関数の性質から φ(n) は偶数です☆

自然数を２種類に分けると、少なくとも１つ奇素数が因数に入っている数と奇素数が全く因数に入っていない数に分けられる。
奇素数が少なくとも１つ入っている場合、その奇素数をｐとし、ｎ＝ｐ・ｎ'と置くとｐとｎ'は互いに素である。（ｎ'も素数の積でｐが入っていないから。）よって、定理3.2により、φ(ｎ)＝φ(ｐ)・φ(ｎ')　
また、ｐは素数よりφ(ｐ)＝ｐ－１＝偶数（ｐは奇素数で奇数だからｐ－１は偶数。）
よって、φ(ｎ)＝φ(ｐ)・φ(ｎ')＝偶数
奇素数が全く入っていない場合、ｎ＝２^k（ｋ≧２）と置くと、２^kと互いに素なものは１から２^kまでの全ての奇数なので、２^k÷２＝２^(k-1)個である。よって、φ(ｎ)＝２^(k-1)＝偶数
以上より、φ(n) は偶数。

定理3.2
オイラーの関数は乗法的である。すなわち、ｎ＝ｎ1・ｎ2のとき、次が成り立つ。
(ｎ1，ｎ2)＝１⇒φ(ｎ)＝φ(ｎ1)・φ(ｎ2)

＞該当する数の集合を A とすると
※ 例：n = 15 のとき A = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}
m ∈ A ならば n - m ∈ A であるため
2 つの A の元で和が n になるペアが φ(n)/2 組あり

ｍ∈Ａとすると、ｍとｎは互いに素である。つまり、ｍとｎには共通因数がない。
よって、ｎ－ｍとｎにも共通因数がない。よって、ｎ－ｍ∈Ａである。
よって、ｍ ∈ A ならば ｎ－ｍ ∈ A である。
ところで、φ(ｎ)が偶数よりＡは偶数である。よって、Ａはｍとｎ－ｍのペアがφ(ｎ)/２組である。よって、Ａの総和は、{ｍ＋(ｎ－ｍ)}×{φ(ｎ)/２}＝ｎφ(ｎ)/２
よって、n以下の自然数の中でnと互いに素になる数の和はnφ(n)/2になる。

おまけ：https://fudego.net/i-wanna-dance-with-whitney/

問題１の解法１
大きい扇形をＯＡＢとし、ＡからＯＢに下ろした垂線の足をＨとする。
また、小さい扇形をＯＩＨとすると点ＩはＯＡ上の点になる。
ところで、∠ＡＯＨ＝４５°，∠ＡＨＯ＝９０°より、△ＡＯＨは直角二等辺三角形である。
よって、ＯＡの真ん中の点をＭとすると、△ＨＭＯと△ＨＭＡは合同な直角二等辺三角形になり、ＨＭ＝ＯＭ＝ＡＭ　よって、ＨＭ＝４÷２＝２ｃｍ　よって、△ＡＯＨ＝４×２÷２＝４ｃｍ^2―――①　また、△ＡＯＨ＝ＯＨ×ＡＨ÷２＝ＯＨ×ＯＨ÷２＝半径×半径÷２―――②
①，②より、半径×半径÷２＝４ｃｍ^2　よって、半径×半径＝８ｃｍ^2―――③
また、青い部分の面積＝△ＡＯＨ－扇形ＯＩＨ＝４－半径×半径×３．１４×(４５/３６０)―――④
③を④に代入すると、青い部分の面積＝４－８×３．１４×(１/８)＝４－３．１４＝０．８６ｃｍ^2
よって、答えは、０．８６ｃｍ^2

問題２の解答
正六角形は正三角形が６個集まった形なので、
４×２√３×(１/２)×６＝２４√３ｃｍ^2
と暗算で求められる。
因みに、２つの台形に分けて計算して裏を取ると、(４＋８)×２√３×(１/２)×２＝２４√３ｃｍ^2　よって、ＯＫ。

因みに、問題１の解法２は私のオリジナルですが、結構画期的だと思います。念のため、算数の別解です。

おまけ：

問題１の解法２
大きい扇形をＯＡＢとし、ＡからＯＢに下ろした垂線の足をＨとする。
また、小さい扇形をＯＩＨとすると点ＩはＯＡ上の点になる。
ところで、∠ＡＯＨ＝４５°，∠ＡＨＯ＝９０°より、△ＡＯＨは直角二等辺三角形である。
よって、ＯＡの真ん中の点をＭとすると、△ＨＭＯと△ＨＭＡは合同な直角二等辺三角形になる。
よって、ＨＭ＝ＯＭ＝ＡＭ　よって、ＨＭ＝４÷２＝２ｃｍ
また、△ＨＭＡ：△ＡＨＯ＝１：２で、扇形ＯＩＨと扇形ＯＡＢは相似で面積比は１：２である。（△ＨＭＡと△ＡＨＯが相似で面積比が１：２だから。）
よって、扇形ＯＩＨ＝４×４×３．１４×(４５/３６０)÷２＝８×３．１４×(１/８)＝３．１４ｃｍ^2　また、△ＡＨＯ＝ＯＡ×ＨＭ÷２＝４×２÷２＝４ｃｍ^2
よって、青色部分の面積＝４－３．１４＝０．８６ｃｍ^2　
よって、答えは、０．８６ｃｍ^2

おまけ：

解答
中央の四角形が長方形である証明は省略して、長方形をＡＢＣＤとし対角線の交点をＯとすると、点Ｏは正十角形の中心と重なる。
ところで、長方形の対角線は互いを二等分しているので、ＯＡ＝ＯＣ　
よって、△ＤＡＯ＝△ＤＯＣ　また、△ＡＢＣ＝△ＣＤＡより、長方形の対角線で区切られた４つの三角形の面積は全て等しい。
よって、△ＯＡＤ＝１００÷４＝２５ｃｍ^2
よって、正十角形の面積＝２５×１０＝２５０ｃｍ^2
よって、答えは、２５０ｃｍ^2

おまけ：

https://twitter.com/abeshinzo/status/1299311797669773312

問題
正十角形の１辺の長さを求めて下さい。ただし、中学数学で小数第１位まで求めて下さい。

解答
長方形をＡＢＣＤとし対角線の交点をＯとすると、点Ｏは正十角形の中心と重なる。
ところで、長方形の対角線は互いを二等分しているので、ＯＡ＝ＯＣ　
よって、△ＤＡＯ＝△ＤＯＣ　また、△ＡＢＣ＝△ＣＤＡより、長方形の対角線で区切られた４つの三角形の面積は全て等しい。
よって、△ＯＡＤ＝１００÷４＝２５ｃｍ^2
また、△ＯＡＤは二等辺三角形で∠ＡＯＤ＝３６０°÷１０＝３６°∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝(１８０°－３６°)÷２＝１４４°÷２＝７２°
ここで、ＡＤ＝ｘ，ＯＡ＝ＯＤ＝ｙと置いて、∠ＯＡＤの二等分線を引き、ＯＤとの交点をＥとすると、∠ＥＡＤ＝７２°÷２＝３６°
よって、∠ＥＡＤ＝∠ＡＯＤ＝３６°，∠Ｄは共通より２角が等しいので、△ＥＡＤ∽△ＡＯＤ
よって、△ＥＡＤも頂角が３６°の二等辺三角形である。また、∠ＥＡＯ＝７２°÷２＝３６°より、∠ＥＡＯ＝∠ＥＯＡ　よって、△ＥＡＯも二等辺三角形である。∴ＯＥ＝ＡＥ＝ＡＤ＝ｘ
∴ＤＥ＝ｙ－ｘ　よって、相似より、ｙ：ｘ＝ｘ：ｙ－ｘが成り立つ。∴ｘ^2＝ｙ(ｙ－ｘ)
∴ｘ^2＝ｙ^2－ｘｙ　∴ｙ^2－ｘｙ－ｘ^2＝０
これを解の公式で解くと、ｙ＝(ｘ±√５ｘ)/２
ｙ＞０より、ｙ＝(１＋√５)ｘ/２―――①
また、ＯからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＯＨ＝√{ｙ^2－(ｘ/２)^2}―――②
①を②に代入して整理すると、
ＯＨ＝{√(５＋２√５)}ｘ/２
∴△ＯＡＤ＝ｘ・[{√(５＋２√５)}ｘ/２]/２＝２５　∴{√(５＋２√５)}ｘ^2＝１００
∴ｘ^2＝１００/√(５＋２√５)
∴ｘ＝１０/√{√(５＋２√５)}＝5.7001728
よって、ＡＤ＝5.7001728ｃｍ
よって、答えは、５．７ｃｍ
因みに、ｘ^2＝１００/√(５＋２√５)から分母の有理化をすると、ｘ^2＝２０√(２５－１０√５)となり、ｘ＝√{２０√(２５－１０√５)}
これをさらにいじると、
ｘ＝２√√(６２５－２５０√５)となり、
ｘ＝２∜(６２５－２５０√５)＝5.7001728となる。

おまけ：

問題１の解答
ＣＤを結ぶと、△ＡＣＤと△ＡＤＥが合同よりＣＤ＝ＤＥ
よって、△ＤＣＥは二等辺三角形。よって、∠ＣＤＥ＝１８０°－１５°×２＝１５０°よって、∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＝１５０°÷２＝７５°
よって、△ＡＢＣ，△ＡＣＤ，△ＡＤＥは合同な頂角が３０°の二等辺三角形。
ここで、ＣからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＣＨは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型より、ＣＨ＝ＡＣ÷２＝ＡＢ÷２＝６÷２＝３ｃｍ
よって、△ＡＢＣ＝６×３÷２＝９ｃｍ^2
よって、五角形ＡＢＣＤＥはこの３倍で２７ｃｍ^2　よって、答えは、２７ｃｍ^2

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2918299574951308085

問題２の解答
解法１
正三角形と円との接点はそれぞれの辺の真ん中の点である。
つまり、対称性から接点同士を結ぶとこれも小さな正三角形になる。
ここで、図の小さな正三角形を１８０°回転させるとその正三角形に重なる。（どちらも同じ円に内接する正三角形だから。）
ところで、正三角形の各辺の真ん中の点を結ぶと、大きな正三角形は小さな正三角形４個に分けられる。https://www.chugakujuken.com/koushi_blog/shiba/20170718.html（図１）
よって、答えは、１/４

解法２
大きな正三角形を△ＡＢＣ，小さな正三角形を△ＰＱＲとし、円の中心をＯとする。
また、辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡと円との接点をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎとし、ＯＭを結ぶと対称性からＯＭ⊥ＢＣ　また、対称性よりＣＯは∠Ｃの二等分線。よって、△ＯＭＣは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
ところで、半径よりＯＲ＝ＯＭ　
また、ＯＭ：ＯＣ＝１：２より、ＯＲ：ＯＣ＝１：２　つまり、△ＰＱＲと△ＡＢＣの相似比は１：２である。
よって、面積比は、１×１：２×２＝１：４　よって、△ＰＱＲの面積は△ＡＢＣの面積の１/４　よって、答えは、１/４

念のため、この解法は３点Ａ，Ｐ，Ｏが一直線上にない場合でも使えます。

おまけ：