数学

問題１の解答
台形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、円の中心をＯとし、辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡとの接点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとすると、
ＡＢ⊥ＯＰ，ＤＡ⊥ＯＳ，∠Ａ＝９０°より四角形ＡＰＯＳは長方形で、円と接線の関係よりＡＰ＝ＡＳなので正方形である。同様にして、四角形ＰＢＱＯも正方形で、半径は等しいので２つの正方形は合同である。
∴ＡＰ＝ＰＢ＝４ｃｍ　∴ＡＳ＝４ｃｍ　∴ＳＤ＝６－４＝２ｃｍ　∴ＤＲ＝２ｃｍ
ここで、ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＱＨ＝ＳＤ＝２ｃｍ　
よって、ＣＱ＝ＣＲ＝ｘと置いて、△ＤＨＣで三平方の定理を使うと、
(ｘ－２)^2＋８^2＝(ｘ＋２)^2が成り立つ。
∴ｘ^2－４ｘ＋４＋６４＝ｘ^2＋４ｘ＋４
∴８ｘ＝６４　∴ｘ＝８　∴ＢＣ＝ｘ＋４＝８＋４＝１２ｃｍ
∴台形ＡＢＣＤ＝(６＋１２)×８×(１/２)＝９×８＝７２ｃｍ^2
また、円の面積は、円＝πｒ^2＝１６πｃｍ^2
よって、色付き部分の面積は、
７２－１６πｃｍ^2

問題２の解法１
△ＣＡＤ＝８×７÷２＝２８ｃｍ^2
また、図の４ｃｍの下の点をＥとすると、△ＥＡＤ＝８×４÷２＝１６ｃｍ^2
よって、斜線部分の面積＝△ＣＡＤ－△ＥＡＤ＝２８－１６＝１２ｃｍ^2

解法２
ＤからＢＣに下ろした垂線の足をＨとし、ＤＨとＡＣの交点をＥとすると、△ＥＡＤと△ＥＣＨは相似なので直角を挟む二辺の比が等しい。
また、ＥＨ＝７－４＝３ｃｍより、ＣＨ＝６ｃｍである。（△ＥＡＤの直角を挟む二辺の比が１：２だから。）
よって、斜線部の面積＝ＤＥ×ＣＨ÷２＝４×６÷２＝１２ｃｍ^2

補足として、△ＥＡＤと△ＥＣＨの相似比が４：３から、斜線部＝(３/７)×△ＣＡＤ＝(３/７)×２８＝１２ｃｍ^2と求めても良い。

おまけ：

左の問題の解法１
ＥＣ：ＦＣ＝３：４　また、ＢＣ：ＡＣ＝９：１２＝３：４より、△ＡＢＣと△ＦＥＣは相似である。
よって、ＡＢとＦＥは平行。よって、ＢＦを結ぶと、等積変形より、
△ＤＥＦ＝△ＢＥＦ＝ＢＥ×ＦＣ÷２＝６×４÷２
＝１２ｃｍ^2
よって、答えは、１２ｃｍ^2

解法２
Ｄから辺ＢＣ，ＡＣに垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ⅰとすると、△ＤＢＨと△ＡＢＣは相似で相似比は８：１５　よって、ＤＨ＝(８/１５)×ＡＣ＝(８/１５)×１２＝３２/５ｃｍ
よって、△ＤＢＥ＝６×(３２/５)÷２＝９６/５ｃｍ^2―――①
また、△ＡＤＩと△ＡＢＣも相似で相似比は７：１５
よって、ＤＩ＝(７/１５)×ＢＣ＝(７/１５)×９＝２１/５ｃｍ
よって、△ＡＤＦ＝８×(２１/５)÷２＝８４/５ｃｍ^2―――②
また、△ＦＥＣ＝３×４÷２＝６ｃｍ^2―――③
また、△ＡＢＣ＝９×１２÷２＝５４ｃｍ^2―――④
④－(①＋②＋③)より、
△ＤＥＦ＝５４－(９６/５＋８４/５＋６)
＝５４－(３６＋６)＝５４－４２＝１２ｃｍ^2
よって、答えは、１２ｃｍ^2８/１２

解法１が模範解答である事は間違いないが、いつも使えるとは限らない。定石として、１つの角を共有した三角形の面積比の公式より、△ＡＤＦ：△ＡＢＣ，△ＢＤＥ：△ＢＡＣ，△ＣＦＥ：△ＣＡＢを求め、△ＤＥＦが△ＡＢＣの何分の１かを求める方法を覚えておいた方が良い。（解法２はその変形。）

一応、具体的に示すと、
△ＡＤＦ＝(７/１５)×(８/１２)×△ＡＢＣ＝(１４/４５)△ＡＢＣ
△ＢＤＥ＝(８/１５)×(６/９)×△ＢＡＣ＝(１６/４５)△ＢＡＣ
△ＣＦＥ＝(４/１２)×(３/９)×△ＣＡＢ＝(１/９)△ＣＡＢ
∴△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ－(１４/４５)△ＡＢＣ－(１６/４５)△ＡＢＣ－(５/４５)△ＡＢＣ＝(１０/４５)△ＡＢＣ＝(２/９)△ＡＢＣ
これに上の④を代入すると、
△ＤＥＦ＝(２/９)×５４＝１２ｃｍ^2

合格する勉強法の一例である。地頭が良いとか悪いとは間抜けな奴が言う事である。受験は要領。ただし、努力と根性は必要だろう。

おまけ：
https://ja.uncyclopedia.info/wiki/2011%E5%B9%B4%E5%BA%A6%E5%A4%A7%E6%89%8B%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E6%B5%81%E5%87%BA%E4%BA%8B%E4%BB%B6#.E6.A6.82.E8.A6.81

右の問題の解答
ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＦＢＨは直角二等辺三角形より、ＢＨ＝ＦＨ＝ＧＣ＝６ｃｍ
よって、△ＦＢＨ＝６×６÷２＝１８ｃｍ^2
よって、長方形ＦＨＣＧ＝１８０－１８＝１６２ｃｍ^2
よって、ＦＧ＝１６２÷６＝２７ｃｍ　また、△ＡＦＧも直角二等辺三角形より、ＡＧ＝ＦＧ＝２７ｃｍ
よって、ＡＥ＝２７－１３＝１４ｃｍ
また、△ＡＤＥも直角二等辺三角形より、△ＡＤＥ＝１４×７÷２＝４９ｃｍ^2
よって、答えは、４９ｃｍ^2

因みに、ＧＦの延長上にＢから垂線を下ろしても同様に求められる。

おまけ：

解説
＞Ⅰの元ａはａ^1∈Ⅰと考えられるのでａ∈√Ⅰ　ゆえに、Ⅰ⊂√Ⅰ　したがって、０∈Ⅰ⊂√Ⅰ

因みに、ａ^2∈Ⅰではａ∈√Ⅰで、ａ∈Ⅰ⇒ａ∈√Ⅰにならないので、Ⅰ⊂√Ⅰが言えないのでダメである。念のため、０∈ⅠはⅠがイデアルで加法群だからである。

＞Ｒは可換環であるから、(ｒａ)^m＝ｒ^mａ^m∈Ⅰ

因みに、これが一般的に成り立つのはＲが可換群の時だけである。

定理2.7
Gが可換群のとき、Gの任意の元ａ,ｂについて次のことが成立する。
(ａ・ｂ)^n＝ａ^n・ｂ^n

証明
（ⅰ）ｎ＞０のとき：
ｎについての帰納法で示す：
ｎ＝１のとき、(ａｂ)^1＝ａｂ＝ａ^1ｂ^1で正しい。
ｎ＞１として、ｎ－１まで正しいと仮定する。
(ａｂ)^n＝(ａｂ)^(n-1)・(ａｂ)（定義より）
＝ａ^(n-1)ｂ^(n-1)ａｂ（帰納法の仮定より）
＝ａ^(n-1)ａｂ^(n-1)ｂ（ａとｂ^(n-1)は可換だから）
＝ａ^nｂ^n（定義より）
（ⅱ）ｎ＝０のとき：
(ａｂ)^0＝ｅ＝ｅ・ｅ＝ａ^0・ｂ^0
（ⅲ）ｎ＜０のとき：ｎ'＝－ｎ＞０とおくと
(ａｂ)^n＝(ａｂ)^-n'
＝{(ａｂ)^n'}^-1（定理2.5(2)より）
＝(ａ^n'ｂ^n')^-1（（ⅰ）より）
＝(ｂ^n')^-1(ａ^n')^-1（定理2.6より）
＝(ｂ^-n')(ａ^-n')（定理2.5(2)より）
＝ｂ^nａ^n（ａ^nとｂ^nは可換だから）
＝ａ^nｂ^n

定理2.5（指数法則）
群Ｇの元ａと整数ｍ,ｎについて、次の式が成り立つ。
（１）ａ^m・ａ^n＝ａ^(m+n)
（２）(ａ^m)^n＝ａ^mn

定理2.6
群Ｇの元ａ1,…,ａnについて、積ａ1…ａnの逆元は次の式で与えられる。
(ａ1…ａn)^-1＝ａn^-1…ａ1^-1

定理2.7のｎ＜０の時の証明には乗法の逆元を使うので、環では成り立ちませんね。つまり、可換環の場合は、

定理
Ｒが可換環のとき、Ｒの任意の元ａ,ｂについて次のことが成立する。
(ａ・ｂ)^n＝ａ^n・ｂ^n
ただし、ｎ≧０の場合に限る。

ただし、今回の問題は、

問題
Ⅰを可換環Ｒのイデアルとする。ある正整数ｎが存在して、ａ^n∈Ⅰを満たすＲの元ａ全体の集合を記号√Ⅰで表すとき、√ⅠはＲのイデアルとなることを示せ。√ⅠをⅠの根基という。特に、イデアル(０)の根基√(０)＝Ｎ(Ｒ)は環Ｒの根基といい、その元はベキ零元である。

「ある正整数」なのでＯＫですね。しかし、一言欲しい所である。私の勘違いだったらごめんなさい。
というより、別の証明法でそこをクリアーしているのを知っている人は教えて下さい。

おまけ：

解説
＞|３ℤ12＝{|０,|３,|６,|９}

ℤ12＝{|０,|１,|２,|３,|４,|５,|６,|７,|８,|９,|１０,|１１}
また、|ａ,|ｂ∈ℤ12に対して、|ａ・|ｂ＝|(ａ・ｂ)より、
|３ℤ12＝{|０,|３,|６,|９,|１２,|１５,|１８,|２１,|２４,|２７,|３０,|３３}
＝{|０,|３,|６,|９,|０,|３,|６,|９,|０,|３,|６,|９}
＝{|０,|３,|６,|９}
∴|３ℤ12＝{|０,|３,|６,|９}

＞<ａ＝<ｂ⇔<ａ－<ｂ＝<０⇔<(ａ－ｂ)＝<０⇔|(ａ－ｂ)∈|３ℤ12

解説１
<ａ＝<ｂ⇔ａ≡ｂ(mod |３)⇔ａ≡ｂ(mod |３ℤ12)
⇔ａ－ｂ∈|３ℤ12（p.162の一般化の所も参照。）

解説２
<ａ＝<ｂ⇔<ａ－<ｂ＝<０⇔<(ａ－ｂ)＝<０⇔|(ａ－ｂ)＋|３ℤ12＝|０＋|３ℤ12⇔|(ａ－ｂ)＋|３ℤ12＝|３ℤ12⇔|(ａ－ｂ)∈|３ℤ12（|３ℤ12は加法群だから定理4.1の系より）

定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の(１),(２),(３)は同値である。
(１)ａ∈Ｈ　(２)ａＨ＝Ｈ　(３)Ｈａ＝Ｈ

＞|３(ℤ/１２ℤ)＝３ℤ/１２ℤ

|３(ℤ/１２ℤ)＝(３＋１２ℤ)(ａ＋１２ℤ)（ａ∈ℤ）
＝３ａ＋３・１２ℤ＋１２ℤ・ａ＋１２ℤ・１２ℤ
＝３ａ＋１２ℤ（１２ℤは両側イデアルだから。）
＝３ℤ/１２ℤ
∴|３(ℤ/１２ℤ)＝３ℤ/１２ℤ

次回の問題。
＞|３(ℤ/１２ℤ)＝(３＋１２ℤ)(ａ＋１２ℤ)（ａ∈ℤ）
＝３ａ＋３・１２ℤ＋１２ℤ・ａ＋１２ℤ・１２ℤ
⊂３ａ＋１２ℤ（１２ℤは両側イデアルだから。）
ではないのか。（イデアルの定義より）
すると、|３ℤ12＝|３(ℤ/１２ℤ)⊂３ℤ/１２ℤとなり、
ℤ12/|３ℤ12≃(ℤ/１２ℤ)/(３ℤ/１２ℤ)≃ℤ/３ℤ＝ℤ3
が言えないのではないか？
これを解説して下さい。

おまけ：

解説　その２
＞次回の問題。
|３(ℤ/１２ℤ)＝(３＋１２ℤ)(ａ＋１２ℤ)（ａ∈ℤ）
＝３ａ＋３・１２ℤ＋１２ℤ・ａ＋１２ℤ・１２ℤ
⊂３ａ＋１２ℤ（１２ℤは両側イデアルだから。）
ではないのか。（イデアルの定義より）
すると、|３ℤ12＝|３(ℤ/１２ℤ)⊂３ℤ/１２ℤとなり、
ℤ12/|３ℤ12≃(ℤ/１２ℤ)/(３ℤ/１２ℤ)≃ℤ/３ℤ＝ℤ3
が言えないのではないか？
これを解説して下さい。

ℤが乗法群だったら、定理4.1の系より|３(ℤ/１２ℤ)＝３ａ＋１２ℤになるが、ℤは環だからダメとか色々考えたが、結局、|３(ℤ/１２ℤ)⊂３ａ＋１２ℤとしても３ａ＋２４ℤとか３ａ＋３６ℤなどで３ａ＋１２ℤである事に違いないので、|３(ℤ/１２ℤ)＝３ａ＋１２ℤとして良い。（包含関係という事。）
実際、|３ℤ12＝{|０,|３,|６,|９}と３ℤ/１２ℤ＝{|０,|３,|６,|９}で一致しているだろう。

定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の(１),(２),(３)は同値である。
(１)ａ∈Ｈ　(２)ａＨ＝Ｈ　(３)Ｈａ＝Ｈ

おまけ：

問題１の解法１
半円ＡＢの半径をｒ，半円ＡＣの半径をｒ'と置くと、ＡＢ＝２ｒ，ＡＣ＝２ｒ'
ところで、△ＡＢＣは直角三角形より三平方の定理を使うと、(２ｒ)^2＋(２ｒ')^2＝２^2
∴ｒ^2＋ｒ'^2＝１　∴πｒ^2＋πｒ'^2＝π
∴πｒ^2/２＋πｒ'^2/２＝π/２
よって、半円ＡＢ＋半円ＡＣ＝π/２ｃｍ^2
また、半円ＢＣ＝１×１×π×(１/２)＝π/２ｃｍ^2
よって、色部分の面積は、πｃｍ^2

解法２　邪道な解法
三角形の条件が直角三角形と斜辺が２ｃｍという事だけなので、特殊化して直角二等辺三角形にすると、ＡＢ＝ＡＣ＝√２ｃｍ
よって、半円ＡＢ＝半円ＡＣ＝π(√２/２)^2/２より、
半円ＡＢ＋半円ＡＣ＝π(√２/２)^2＝π/２ｃｍ^2
また、半円ＢＣ＝１×１×π×(１/２)＝π/２ｃｍ^2
よって、色部分の面積は、πｃｍ^2

問題２の解法１
模範解答は多分、角の二等分線の定理でＡＣ：ＤＣ＝２：１を求め、△ＡＢＣで三平方の定理を使うものだと思いますが、ちょっとアレンジしてみましょう。

ＤからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＡＢＤ≡△ＡＨＤ　∴ＤＨ＝ＤＢ＝３ｃｍ
また、∠Ｃが共通で直角が等しいので△ＣＤＨ∽△ＣＡＢで相似比がＤＨ：ＡＢ＝３：６＝１：２
∴ＣＤ：ＣＡ＝１：２　
ここで、ＣＤ＝ｘ，ＣＡ＝２ｘと置いて、△ＡＢＣで三平方の定理を使うと、
(ｘ＋３)^2＋６^2＝(２ｘ)^2が成り立つ。
∴ｘ^2＋６ｘ＋９＋３６＝４ｘ^2
∴３ｘ^2－６ｘ－４５＝０
∴ｘ^2－２ｘ－１５＝０
∴(ｘ－５)(ｘ＋３)＝０
ｘ＞０より、ｘ＝５　∴ＣＤ＝５ｃｍ
∴ＢＣ＝３＋５＝８ｃｍ
∴△ＡＢＣ＝８×６×(１/２)＝２４ｃｍ^2

因みに、△ＣＤＨで三平方の定理を使うと、
(２ｘ－６)^2＋３^2＝ｘ^2が成り立ち、４ｘ^2－２４ｘ＋３６＋９＝ｘ^2　∴３ｘ^2－２４ｘ＋４５＝０
∴ｘ^2－８ｘ＋１５＝０
∴(ｘ－３)(ｘ－５)＝０　∴ｘ＝３，５
ところで、ＣＨ＝２ｘ－６＞０より、ｘ＞３
∴ｘ＝５　以後同じ。

解法２は暗算で求まります。計算力は要りませんが、慣れていないと難しいかもしれません。

おまけ：

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812160001/

解法２
ＡＤの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＤと△ＣＨＤにおいて対頂角と直角の２角が等しいので残りの１角も等しい。
∴∠ＤＣＨ＝∠ＤＡＢ＝●＝∠ＣＡＨ　
また、∠Ｈは共通より２角が等しいので、
△ＤＣＨ∽△ＣＡＨ
よって、△ＤＡＢ∽△ＤＣＨ∽△ＣＡＨで△ＤＡＢは１：２：√５の直角三角形より、
ＤＨ＝ａとするとＣＨ＝２ａ，ＡＨ＝２ａ×２
＝４a　∴ＡＤ＝４ａ－ａ＝３ａ　
また、ＤＣ＝√５ａ
ところで、ＡＤ＝３√５ｃｍ（これは三平方の定理で計算するのではなく１：２：√５に３ｃｍを掛ける。）
よって、ａ＝√５ｃｍより、ＤＣ＝５ｃｍ
∴ＢＣ＝３＋５＝８ｃｍ
∴△ＡＢＣ＝８×６×(１/２)＝２４ｃｍ^2

暗算で解けますよね。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/00f3d705803da0124de7b41b2e1e1effb71dee09

解説
＞ℤ4のイデアル|２ℤ4による剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０，~１}は体である。

ℤ2ではダメなのかどうか。また、剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０，~１}が体である理由。

ℤ2の２は素数だからダメ（ℤ2は体になり体は整域だからダメ）。また、|２∈ℤ4に対して、|２＋|２＝|４＝|０だから、|２は零因子。
また、剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０，~１}が体である理由は、(剰余環ℤ4/|２ℤ4)^*＝{~１}が乗法に関して群をなせば良いので、~１・~１＝~１∈{~１}より乗法について閉じている。また、~１は乗法の単位元である。また、~１の逆元を考えると、~１・~１＝~１より自分自身が逆元である（~１は乗法の単位元）。乗法の結合法則が成り立つのは自明より、(剰余環ℤ4/|２ℤ4)^*＝{~１}は乗法に関して群をなす。
よって、剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０，~１}は体である。

＞したがって、ℤ4/|２ℤ4は零因子をもたない。

定理1.4より、体は０と異なる零因子を持たないので、ℤ4/|２ℤ4は零因子を持たない。

定理1.4
体は０と異なる零因子をもたない。すなわち、体は整域である。

＞（注意）他の例として、直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子を持つ。

§１演習問題５より、直積環Ｒ×Ｒ'は零因子を持つから、直積環ℤ×ℤは零因子を持つ。

演習問題５
環Ｒ，Ｒ'の直積集合Ｒ×Ｒ'の２元(ａ,ｂ)，(ａ',ｂ')に対して、加法と乗法をそれぞれ
(ａ,ｂ)＋(ａ',ｂ')＝(ａ＋ａ',ｂ＋ｂ')，(ａ,ｂ)・(ａ',ｂ')＝(ａ・ａ',ｂ・ｂ')
と決めるとき、Ｒ×Ｒ'はこれら演算に関して環をつくることを示せ。また、この環Ｒ×Ｒ'は零因子をもつことを示せ。Ｒ×Ｒ'をＲとＲ'の直積という。

続きは次回。

おまけ：

解説の続き
＞（注意）他の例として、直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子を持つ。
しかし、(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤp
であるから、その剰余環(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。

ℤは環より加法群で、ｐℤはイデアルより加法群。よって、どちらも可換なのでℤの正規部分群である。
よって、第２章§７の演習問題９より、
(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤ/ℤ×ℤ/ｐℤ＝ℤ×ℤ/ｐℤ
∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤ×ℤ/ｐℤ
ここで、ℤ＝{０}＝(０)とすると、ℤ×ℤ/ｐℤと(０)×ℤ/ｐℤには全単射の関係がある。また、（ℤを(０)としても）準同型写像はそのまま保存される。
∴ℤ×ℤ/ｐℤ≃(０)×ℤ/ｐℤ
∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤ×ℤ/ｐℤ≃(０)×ℤ/ｐℤ
∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃(０)×ℤ/ｐℤ
また、(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤ/ｐℤ＝ℤp
∴(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤp　∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤp
また、定理2.9より、ℤpは体である。
よって、剰余環(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。

第２章§７の演習問題９
群の直積Ｇ＝Ｇ1×Ｇ2において、Ｈ1，Ｈ2をそれぞれＧ1，Ｇ2の正規部分群とすれば、次が成り立つことを証明せよ。
Ｇ/(Ｈ1×Ｈ2)≃Ｇ1/Ｈ1×Ｇ2/Ｈ2

定理2.9
整数環ℤにおいて、次の５つの命題は同値である。
（１）ｐは素数である。
（２）(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。
（３）(ｐ)＝ｐℤは極大イデアルである。
（４）ℤ/(ｐ)は整域である。
（５）ℤ/(ｐ)は体である。

次回、ちょっとアレンジしてみます。（今回の解説が正しいかどうかは知りませんが。）

おまけ：

解説　その２
＞（注意）他の例として、直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子を持つ。

ここで、(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)を考えると、ｐℤはイデアルより加法群。よって、ｐℤは可換よりℤの正規部分群である。
よって、第２章§７の演習問題９より、
(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)≃ℤ/ｐℤ×ℤ/ｐℤ
また、ℤ/ｐℤ×ℤ/ｐℤ≃ℤ/ｐℤ＝ℤp
∴(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)≃ℤp
ところで、定理2.9より、ℤpは体である。
よって、剰余環(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。

このアレンジはダメでしょうか。

補足：（ℤを(０)としても）準同型写像はそのまま保存される証明
φ((ａ1,ａ2))＝((０),ａ2ｐℤ)によって定義される写像φ：ℤ×ℤ→(０)×ℤ/ｐℤを考える。
（１）ａ1,ａ2,ｂ1,ｂ2∈ℤについて、
φ((ａ1,ａ2)(ｂ1,ｂ2))＝φ((ａ1ｂ1,ａ2ｂ2))＝((０),ａ2ｂ2ｐℤ)＝((０),ａ2ｐℤ・ｂ2ｐℤ)＝((０),ａ2ｐℤ)((０),ｂ2ｐℤ)
＝φ(ａ1,ａ2)φ(ｂ1,ｂ2)
（２）φ((ａ1,ａ2)＋(ｂ1,ｂ2))＝φ((ａ1＋ｂ1,ａ2＋ｂ2))＝((０),(ａ2＋ｂ2)ｐℤ)＝((０),ａ2ｐℤ＋ｂ2ｐℤ)＝((０),ａ2ｐℤ)＋((０),ｂ2ｐℤ)
＝φ(ａ1,ａ2)＋φ(ｂ1,ｂ2)

おまけ：

「解説　その２」の続き
＞（注意）他の例として、直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子を持つ。

ここで、(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)を考えると、ｐℤはイデアルより加法群。よって、ｐℤは可換よりℤの正規部分群である。
よって、第２章§７の演習問題９より、
(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)≃ℤ/ｐℤ×ℤ/ｐℤ
また、ℤ/ｐℤ×ℤ/ｐℤ≃ℤ/ｐℤ＝ℤp
∴(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)≃ℤp
ところで、定理2.9より、ℤpは体である。
よって、剰余環(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。

このアレンジはダメでしょうか。

よく考えたらダメですね。ℤ×ℤは零因子は、例えば、(０,ａ)と(ｃ,０)で（(０,ａ)(ｃ,０)＝(０,０)だから）、(ℤ×ℤ)/(ｐℤ×ｐℤ)も(|０,|ａ)と(|ｃ,|０)が零因子になってしまいますものね。
(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)としてℤ＝(０)とすると、(０)×ℤ/ｐℤと同型になり、片方を０に固定すれば(|０,|ａ)(|ｃ,|０)＝(|０,｜０)の関係は出来ず、あとはｐを素数とすれば、(|０,|ａ)(|０,|ｃ)＝(|０,|０)の可能性も排除出来るという事ですね。（(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤpは相手が(０)だからこそ成り立ち、さらにℤpが体より整域だから零因子がないという事が言える訳ですね。）

まぁ、お恥ずかしい所ですが、初心者で自分で気付いたので大目に見て下さい。ただし、検索した訳ではないので正しいかどうかは知りません。笑（無責任。）

おまけ：

補足解説
＞(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)としてℤ＝(０)とすると、(０)×ℤ/ｐℤと同型になり、片方を０に固定すれば(|０,|ａ)(|ｃ,|０)＝(|０,|０)の関係は出来ず、あとはｐを素数とすれば、(|０,|ａ)(|０,|ｃ)＝(|０,|０)の可能性も排除出来るという事ですね。（(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤpは相手が(０)だからこそ成り立ち、

「(|０,|ａ)(|ｃ,|０)＝(|０,|０)の関係は出来ず」と書きましたが、ｃ＝０の場合は（|０,|０)となり零元以外の零因子にはならないという事です。
そこで、ℤ＝{１}とかに固定すれば「(|０,|ａ)(|ｃ,|０)＝(|０,|０)の関係は出来」ませんよね。これではダメなのでしょうか。
答えはダメです。その理由は、初めに、

「ℤは環より加法群で、ｐℤはイデアルより加法群。よって、どちらも可換なのでℤの正規部分群である。
よって、第２章§７の演習問題９より、
(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤ/ℤ×ℤ/ｐℤ＝ℤ×ℤ/ｐℤ
∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃ℤ×ℤ/ｐℤ

第２章§７の演習問題９
群の直積Ｇ＝Ｇ1×Ｇ2において、Ｈ1，Ｈ2をそれぞれＧ1，Ｇ2の正規部分群とすれば、次が成り立つことを証明せよ。
Ｇ/(Ｈ1×Ｈ2)≃Ｇ1/Ｈ1×Ｇ2/Ｈ2」

としていて、演習問題９よりℤは群でなければならずℤ＝{１}は乗法群ではあるが加法群ではないのでダメである。また、ℤ＝(１)などは加法群で適用できるが、零元を含むので、(０,|ａ)(ｃ,|０)＝(０,|０)の関係が出来てしまう。（そもそも１固定にならない。）
よって、ℤ＝(０)（加法群）しかあり得ないのである。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/00f3d705803da0124de7b41b2e1e1effb71dee09

間違い探しの解答

＞Ｋを体とするとき、Ｋの元を成分とするｎ次正方行列の全体Ｍn(Ｋ)は零因子をもつ非可換な環の重要な例であり全行列環とよばれる。

Ｋは体である必要はありませんね。環で十分ですよね。つまり、「Ｒを環とするとき、Ｒの元を成分とするｎ次正方行列の全体Ｍn(Ｒ)は零因子をもつ非可換な環の重要な例であり全行列環とよばれる。」ですね。

Ｋを環としても、
「Ｍn(Ｋ)は第２章例1.3でみたように、加法に関して群になっている。ゼロ元は零行列である。行列の積に関してはＥnを単位行列として
∀Ａ∈Ｍn(Ｋ)，ＡＥn＝ＥnＡ＝Ａ
となるので、Ｅnが乗法単位元である。」
は成り立ちますよね。

一応、裏を取ってみました。自分で確認して下さい。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0

＞また、Ｍn(Ｋ)が体ではないからと言って、整域ではないと言えないので、具体的な零因子を１つ挙げて下さい。

２行２列で例を挙げると、

(１　１)( ２　 １)
(３　３)(-２　-１)

＝(２－２　１－１)
　(６－６　３－３)

＝(０　０)
　(０　０)

より、

(１　１)　( ２　 １)
(３　３)，(-２　-１)

この２つの行列は零因子ですね。

おまけ：（間違い探し。テレビ朝日じゃなくてＴＢＳですね。）

問題１の算数の解法
長方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ上の線分との交点をそれぞれＥ，Ｆ，Ｇとし（点Ｂは除く）、ＤＥ，ＤＦを結ぶと、ＥＤとＢＧは平行より同位角で∠ＥＤＧ＝∠ｙ―――①
また、二辺挟角が等しいので、△ＥＢＦと△ＦＣＤは合同。よって、ＥＦ＝ＦＤ―――ア
また、∠ＦＥＢ＝∠ＤＦＣ＝●，∠ＥＦＢ＝∠ＦＤＣ＝〇と置くと、△ＤＣＦの内角の和より●＋〇＝９０°よって、∠ＥＦＤ＝１８０°－９０°＝９０°―――イ
ア，イより、△ＦＥＤは直角二等辺三角形である。よって、∠ＦＤＥ＝４５°
よって、∠ｙ＝４５°＋〇（①より）また、△ＥＢＦの内角の和より、∠ｘ＝９０°－〇
この２式を足すと、∠ｘ＋∠ｙ＝１３５°
よって、答えは、１３５°

因みに、「ひらめき問題」とあるが、この問題を閃きで解けるのはマス北野（ビートたけし）ぐらいのセンスのある人だけである。普通の人は、もっと簡単な例の定石があるので、そこから暗記という形だろう。（中学入試でも出る問題である。）

おまけ：
https://www.sanspo.com/article/20180124-DU6ANTYO5BLFJH2WGNIGPXCHNE/（おふくろさんのために特別卒業受けたんだろうね。https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1627064885501906944）

問題１の何でもありの解法
tanｘ＝４/３―――①　tanｙ＝７―――②
また、tanの加法定理より、
tan(ｘ＋ｙ)＝(tanｘ＋tanｙ)/(１－tanｘtanｙ)
これに①，②を代入すると、
tan(ｘ＋ｙ)＝(４/３＋７)/{１－(４/３)・７}
＝(２５/３)/(１－２８/３)
＝(２５/３)/(－２５/３)＝－１
∴tan(ｘ＋ｙ)＝－１
ところで、０＜ｘ＋ｙ＜１８０°より、
ｘ＋ｙ＝１３５°
よって、答えは、１３５°

Arctanの解法も同じようなので高校数学にした。念のため、何でもありで解ければ良いです。

おまけ：

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812170002/

２０秒以内に解けましたが、面白くないので公式は使わないで解いて下さい。余裕がある人は中学数学で２通り作って下さい。

解法１
角の二等分線の定理より、
ＢＤ：ＤＣ＝１２：１０＝６：５
また、ＢＤ＋ＤＣ＝１１ｃｍより、ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＣ＝５ｃｍである。
ここで、ＡからＤＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨ＝ｘ，ＣＨ＝ｙと置いて、三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋ｙ^2＝１００―――①
ｘ^2＋(１１－ｙ)^2＝１４４―――②
①－②より、２２ｙ－１２１＝－４４
∴２２ｙ＝１２１－４４＝７７　∴ｙ＝７/２ｃｍ
∴ＣＨ＝７/２ｃｍ　∴ＤＨ＝５－７/２＝３/２ｃｍ
また、ｙ＝７/２を①に代入すると、
ｘ^2＝１００－４９/４＝３５１/４
また、△ＡＤＨで三平方の定理を使うと、
ＡＤ^2＝ｘ^2＋ＤＨ^2＝３５１/４＋９/４＝９０
∴ＡＤ＝３√１０ｃｍ

角の二等分線の長さの公式で確認すると、
ＡＤ＝√(ＡＢ・ＡＣ－ＢＤ・ＣＤ)＝√(１２・１０－６・５)＝√(１２０－３０)＝√９０＝３√１０ｃｍでＯＫ。

解法２の方は知らないと解けないと思います。個人的には、中３の頃から知っていましたが、大人になるまですっかり忘れていました。昔、海城高校の過去問とかでやった覚えがあります。（過去５年分ぐらい楽勝で８０点以上取っていたのに、本番は全く違う種類の問題でした。）

おまけ：
https://newsmatomedia.com/ichiryu-nobuya

問題２の解法２
△ＡＢＣの外接円を描き、ＡＤの延長と円との交点をＥとし、ＢＥを結ぶと、円周角より∠ＢＥＡ＝∠ＢＣＡ　また、∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＣより２角が等しいので、△ＡＢＥ∽△ＡＤＣ
∴ＡＢ：ＡＥ＝ＡＤ：ＡＣ　∴１２：ＡＥ＝ＡＤ：１０　∴ＡＤ・ＡＥ＝１２０―――①
また、角の二等分線の定理より、
ＢＤ：ＤＣ＝１２：１０＝６：５
また、ＢＤ＋ＤＣ＝１１ｃｍより、ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＣ＝５ｃｍである。
また、方べきの定理より、ＡＤ・ＤＥ＝ＢＤ・ＤＣ
∴ＡＤ・ＤＥ＝６・５＝３０―――②
①－②より、ＡＤ(ＡＥ－ＤＥ)＝９０
∴ＡＤ・ＡＤ＝９０　∴ＡＤ＝３√１０ｃｍ

因みに、私の記憶によると、京大カンニング事件の数学の問題の１つがこの問題レベル（似た感じ）だったと思う。私が中３の時には楽勝だった問題である。笑（高校数学で余弦定理を使っても解ける。）

「そのGoogle先生がお出ました京都大学の問題は高校1年生でも解けた問題である。さらに、数学が特に苦手であり、幾何学の問題で出ると頭がパーンになっていた。三角形の辺の長さを求める問題は、中学生でも「ピタゴラスの定理」の応用である「余弦定理」を理解していれば難なく解ける内容であるのに、カンニングに頼る始末であった。」
引用元：https://ja.uncyclopedia.info/wiki/2011%E5%B9%B4%E5%BA%A6%E5%A4%A7%E6%89%8B%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E6%B5%81%E5%87%BA%E4%BA%8B%E4%BB%B6#.E8.A7.A3.E7.AD.94.E8.80.85（念のため、アンサイクロペディアの記事である。）

超仕事が出来そう。段取り力を超えた超段取り力の持ち主か。笑

「16:8 ところが主人は、この不正な家令の利口なやり方をほめた。この世の子らはその時代に対しては、光の子らよりも利口である。
16:9 またあなたがたに言うが、不正の富を用いてでも、自分のために友だちをつくるがよい。そうすれば、富が無くなった場合、あなたがたを永遠のすまいに迎えてくれるであろう。」
「ルカによる福音書」第１６章８節～９節（口語訳）

「16:08主人は、この不正な管理人の抜け目のないやり方をほめた。この世の子らは、自分の仲間に対して、光の子らよりも賢くふるまっている。 16:09そこで、わたしは言っておくが、不正にまみれた富で友達を作りなさい。そうしておけば、金がなくなったとき、あなたがたは永遠の住まいに迎え入れてもらえる。」
「ルカによる福音書」第１６章８節～９節（新共同訳）

おまけ：
https://www.jukushin.com/archives/32951

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812170002/

余弦定理の解法とベクトルの解法を作ってみて下さい。後者はオリジナルです。

おまけ：

問題２の余弦定理の解法
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θ，ＡＤ＝ｘと置くと、
△ＡＢＤ＝(１/２)・１２・ｘ・sinθ
＝６ｘsinθ―――①
△ＡＣＤ＝(１/２)・１０・ｘ・sinθ
＝５ｘsinθ―――②
また、△ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ＢＤ：ＤＣ―――③
①，②を③に代入すると、
６ｘsinθ：５ｘsinθ＝ＢＤ：ＤＣ　
∴ＢＤ：ＤＣ＝６：５
また、ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＣ＝１１ｃｍより、
ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＣ＝５ｃｍ
ここで、△ＡＢＤ，△ＡＣＤでそれぞれ余弦定理を使うと、
６^2＝１２^2＋ｘ^2－２・１２・ｘ・cosθ―――④
５^2＝１０^2＋ｘ^2－２・１０・ｘ・cosθ―――⑤
④×５－⑤×６より、
１８０－１５０＝７２０－６００－ｘ^2
∴ｘ^2＝１２０＋１５０－１８０＝９０
ｘ＞０より、ｘ＝３√１０
∴ＡＤ＝３√１０ｃｍ

おまけ：
「2 信仰の導き手であり、またその完成者であるイエスを仰ぎ見つつ、走ろうではないか。彼は、自分の前におかれている喜びのゆえに、恥をもいとわないで十字架を忍び、神の御座の右に座するに至ったのである。
3 あなたがたは、弱り果てて意気そそうしないために、罪人らのこのような反抗を耐え忍んだかたのことを、思いみるべきである。
4 あなたがたは、罪と取り組んで戦う時、まだ血を流すほどの抵抗をしたことがない。
5 また子たちに対するように、あなたがたに語られたこの勧めの言葉を忘れている、／「わたしの子よ、／主の訓練を軽んじてはいけない。主に責められるとき、弱り果ててはならない。
6 主は愛する者を訓練し、／受けいれるすべての子を、／むち打たれるのである」。
7 あなたがたは訓練として耐え忍びなさい。神はあなたがたを、子として取り扱っておられるのである。いったい、父に訓練されない子があるだろうか。
8 だれでも受ける訓練が、あなたがたに与えられないとすれば、それこそ、あなたがたは私生子であって、ほんとうの子ではない。
9 その上、肉親の父はわたしたちを訓練するのに、なお彼をうやまうとすれば、なおさら、わたしたちは、たましいの父に服従して、真に生きるべきではないか。
10 肉親の父は、しばらくの間、自分の考えに従って訓練を与えるが、たましいの父は、わたしたちの益のため、そのきよさにあずからせるために、そうされるのである。
11 すべての訓練は、当座は、喜ばしいものとは思われず、むしろ悲しいものと思われる。しかし後になれば、それによって鍛えられる者に、平安な義の実を結ばせるようになる。」
「ヘブライ人への手紙」第１２章２節～１１節（口語訳）

問題２のベクトルの解法
角の二等分線の定理より、ＢＤ：ＤＣ＝１２：１０＝６：５　∴ＢＤ：ＤＣ＝６：５
ここで、点Ａを基点とした位置ベクトルを考えると、内分点の公式より、
↑ＡＤ＝(５↑ＡＢ＋６↑ＡＣ)/１１
この両辺を２乗すると、
|↑ＡＤ|^2＝(５↑ＡＢ＋６↑ＡＣ)^2/１２１
＝(２５|↑ＡＢ|^2＋３６|↑ＡＣ|^2＋６０↑ＡＢ・↑ＡＣ)/１２１―――①
また、↑ＡＢ・↑ＡＣ＝|↑ＡＢ|・|↑ＡＣ|・cos∠Ａ―――②
また、△ＡＢＣで余弦定理を使うと、
cos∠Ａ＝(１２^2＋１０^2－１１^2)/２・１２・１０＝(１４４＋１００－１２１)/２４０＝１２３/２４０＝４１/８０
∴cos∠Ａ＝４１/８０―――③
③と|↑ＡＢ|＝ＡＢ＝１２，|↑ＡＣ|＝ＡＣ＝１０を②に代入すると、
↑ＡＢ・↑ＡＣ＝１２・１０・(４１/８０)
＝１２３/２―――④
④と|↑ＡＢ|＝ＡＢ＝１２，|↑ＡＣ|＝ＡＣ＝１０を①に代入すると、
|↑ＡＤ|^2＝{２５・１２^2＋３６・１０^2＋６０・(１２３/２)}/１２１
＝(３６００＋３６００＋３６９０)/１２１
＝１０８９０/１２１
∴|↑ＡＤ|＝√(１０８９０)/１１
＝√(１０・３^2・１１^2)/１１＝３√１０
∴ＡＤ＝３√１０ｃｍ

おまけ：
「2 あなたの神、主がこの四十年の間、荒野であなたを導かれたそのすべての道を覚えなければならない。それはあなたを苦しめて、あなたを試み、あなたの心のうちを知り、あなたがその命令を守るか、どうかを知るためであった。
3 それで主はあなたを苦しめ、あなたを飢えさせ、あなたも知らず、あなたの先祖たちも知らなかったマナをもって、あなたを養われた。人はパンだけでは生きず、人は主の口から出るすべてのことばによって生きることをあなたに知らせるためであった。
4 この四十年の間、あなたの着物はすり切れず、あなたの足は、はれなかった。
5 あなたはまた人がその子を訓練するように、あなたの神、主もあなたを訓練されることを心にとめなければならない。」
「申命記」第８章２節～５節

問題１の解法１
正五角形を中央上の頂点から反時計回りにＡ～Ｅと振り、正六角形を頂点Ａから反時計回りにＦ，Ｇ，Ｈ，Ｉと振る。（正六角形ＡＦＧＨＢＩとなる。）
また、ＡＩの延長とＢＣとの交点をＪ，ＨＩの延長とＤＥとの交点をＫとすると、
△ＩＢＡは頂角が１２０°の二等辺三角形より、
∠ＩＡＢ＝３０°また、∠ＡＢＣ＝１０８°
よって、△ＪＢＡの内対角の和より、
∠ｘ＝１０８°＋３０°＝１３８°
また、∠ＪＩＢ＝１８０°－１２０°＝６０°
△ＢＨＩも頂角が１２０°の二等辺三角形より、
∠ＢＩＨ＝３０°
よって、∠ＨＩＪ＝３０°＋６０°＝９０°
よって、∠ＡＩＫ＝９０°，∠ＩＡＥ＝１０８°－３０°＝７８°，∠ＡＥＫ＝１０８°より、
∠ＩＫＥ＝３６０°－９０°－７８°－１０８°＝８４°
よって、∠ｙ＝１８０°－８４°＝９６°
∠ｘは△ＪＢＩの内対角の和でも求められ、∠ｙは五角形ＩＪＣＤＫの内角の和でも求められるが省略。

問題１の解法２
ＡＣを結ぶと、△ＢＣＡは頂角が１０８°の二等辺三角形より、∠ＪＣＡ＝３６°
また、∠ＪＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＩＡＢ＝３６°－３０°＝６°
よって、△ＪＡＣの内角の和より、
∠ｘ＝１８０°－３６°－６°＝１３８°
また、ＢＥを結びＨＫとの交点をＬとすると、
∠ＡＥＢ＝３６°より∠ＢＥＤ＝１０８°－３６°＝７２°よって、∠ＫＥＬ＝７２°
また、∠ＩＢＬ＝３６°－３０°＝６°，∠ＢＩＬ＝１８０°－３０°＝１５０°より、
∠ＩＬＢ＝１８０°－６°－１５０°＝２４°
よって、対頂角より∠ＫＬＥ＝２４°よって、△ＫＬＥの内対角の和より、
∠ｙ＝７２°＋２４°＝９６°

＞ｘを２通り，ｙを３通り作ってみました。

省略したのを入れて、ｘを３通り，ｙを３通りですね。

おまけ：

https://www.instagram.com/p/CoxAc6ipeYG/

問題２の解答
１２ｃｍの長方形の両端から３ｃｍずつの長方形を区切ると、中央に出来る３個の正方形は全て合同である。（正方形である理由はどちらの辺も３つの合同な長方形の短い方の辺の長さだから。）
よって、１２－３－３＝６ｃｍ　６÷３＝２ｃｍ　この２ｃｍが３つの合同な長方形の短い方の辺の長さである。
よって、長方形の長い方の辺の長さは３＋２＝５ｃｍなので、面積は２×５＝１０ｃｍ^2
よって、答えは、１０ｃｍ^2

一応、何でもありの解法
３つの合同な長方形の短い方の辺の長さｘ，長い方の辺の長さをｙと置くと、ｙ－ｘ＝３―――①
２ｙ＋ｘ＝１２―――②が成り立つ。
①＋②より、３ｙ＝１５　∴ｙ＝５ｃｍ
∴ｘ＝ｙ－３＝５－３＝２ｃｍ
よって、答えは、５×２＝１０ｃｍ^2

おまけ：

問題
７^83を１２で割ったときの余りを求めよ。

普通の解法
７^83＝７^82・７＝(７^2)^41・７＝(４９)^41・７
＝(１２・４＋１)^41・７≡１^41・７≡７（mod１２）
よって、答えは、７

邪道な解法
７^84＝(７^2)^42＝(４９)^42＝(１２・４＋１)^42
≡１^42≡１（mod１２）
∴７^84≡１（mod１２）
ここで、７と１２は互いに素なので両辺を７で割ると、
７^83≡１/７（mod１２）―――①
また、７^2≡１（mod１２）この両辺も７で割ると、
７≡１/７（mod１２）―――②
①，②より、７^83≡７（mod１２）
よって、答えは、７
１２で割った余りは０～１１なので１/７など出た時点でダメだと思いがちですが、法則的には間違った事をしていないので、経験則からいけると思います。（今回に限らずという意味。）
また、互いに素でない場合は両辺を割ってはいけない事はこちら。https://lets-math.com/congruent_expression/

互いに素の場合は両辺を割って良い理由は、定理2.10で言えると思います。

定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}

互いに素の場合は既約剰余類になり乗法に関して群になるので、何を掛けてもその数に逆元が存在するのでＯＫという事。
一応、U(ℤ8)の群表を挙げておきますね。

Ｕ(ℤ8)＝{|１，|３，|５，|７}
　　|１ |３ |５ |７
|１ |１ |３ |５ |７
|３ |３ |１ |７ |５
|５ |５ |７ |１ |３
|７ |７ |５ |３ |１

８と互いに素なものは、どれも逆元が存在してその積が|１になるので、等式関係が崩れないという事ですね。
ℤ6^*の群表を書いて、互いに素でないものは逆元が存在しない事を見せた方が良かったかもしれませんが省略。


例えば…

15≡45(mod10)　両辺に ÷5 すると　3≡9(mod10)
このように両辺を 5 で割ってはいけません。

5 と 10 が互いに素ではない（最大公約数が 5 ）ので割ることはできません。

例えば…

15≡45(mod10)　両辺に ÷3 すると　5≡15(mod10)
3 と 10 が互いに素（最大公約数が 1 ）なので割ることができます。
引用元：https://lets-math.com/congruent_expression/

mod１０では３の逆元は７です（３×７÷１０＝２・・・１だから）ので、（３で割る事は、）
15≡45(mod10)の両辺に７を掛けても同じ結果になります。
15≡45(mod10)⇒105≡315(mod10)⇒5≡15(mod10)でＯＫですね。

おまけ：

定理2.9
有理整数環ℤにおいて、次の５つの命題は同値である。
（１）ｐは素数である。
（２）(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。

証明
（１）⇔（２）：
ｐが素数⇔（ｐ|ａｂ⇒ｐ|ａまたはｐ|ｂ）（第１章問1.21より）―――①
ここで、ｐ|ａｂよりａｂはｐの倍数より、ａｂ∈ｐℤ
同様に、ａ∈ｐℤまたはｂ∈ｐℤ
∴（ｐ|ａｂ⇒ｐ|ａまたはｐ|ｂ）⇔（ａｂ∈ｐℤ⇒ａ∈ｐℤまたはｂ∈ｐℤ）―――②
また、ｐℤ＝Ｐと置くとａｂ∈Ｐ⇒ａ∈Ｐまたはｂ∈Ｐ―――③
①，②，③より、
ｐが素数⇔（ａｂ∈Ｐ⇒ａ∈Ｐまたはｂ∈Ｐ）
ところで、定義2.4の対偶より、
ａ・ｂ∈Ｐ⇒ａ∈Ｐ または ｂ∈Ｐ
よって、 ｐが素数⇔(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。

定義2.4
可換環ＲのイデアルＰが次の条件を満たすとき、Ｐを可換環Ｒの素イデアルという。
ａ∉Ｐ，ｂ∉Ｐ⇒ａ・ｂ∉Ｐ
あるイデアルが素イデアルであることを示す必要があるときには、次のような上記条件の対偶を用いることも多い。すなわち、
ａ・ｂ∈Ｐ⇒ａ∈Ｐ または ｂ∈Ｐ

第１章問1.21
ｐを素数とするとき、次を示せ。
（１）ｐ|ａｂ⇒ｐ|ａ または ｐ|ｂ
（２）は省略。

念のため、
（ｐ|ａｂ⇒ｐ|ａまたはｐ|ｂ）⇒ｐが素数
は、例えば、ｐ＝４，ａ＝８，ｂ＝３とすると、４|(８・３)⇒４|８または４|３が成り立ちますが、４|(８・３)⇒４|１２・２という形にもなるので、ｐ＝４では成り立たないので、逆も成り立つ。

定理2.9
有理整数環ℤにおいて、次の５つの命題は同値である。
（１）ｐは素数である。
（２）(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。
（３）(ｐ)＝ｐℤは極大イデアルである。

証明
（１）⇔（３）：
まず、極大イデアルの定義
定義2.4
Ｐを可換環Ｒのイデアルとする。Ｐを含んでいるＲの真のイデアルが存在しないとき、すなわちⅠをＲのイデアルとするとき
Ｐ⊂Ⅰ⇒Ｐ＝ⅠまたはⅠ＝Ｒ
を満たすとき、Ｐを可換環Ｒの極大イデアルという。

まず、（１）⇒（３）の証明
ｐが素数⇒（ｐℤ⊂Ⅰ⇒ｐℤ＝ⅠまたはⅠ＝ℤ）を示せば良いので、ｐℤ⊂ⅠとなるイデアルⅠを考える。
ところで、例えば、６の倍数の集合⊂２の倍数の集合である。その性質を考えれば、
Ⅰ＝(ｐ/ｎ)ℤ（ｎ∈ℕ，ｐ/ｎ∈ℤ）である。 ここで、ｐは素数よりｎ＝１またはｎ＝ｐである。
∴Ⅰ＝ｐℤまたはⅠ＝ℤ
よって、ｐが素数⇒（ｐℤ⊂Ⅰ⇒ｐℤ＝ⅠまたはⅠ＝ℤ）

次に、（３）⇒（１）の証明
（ｐℤ⊂Ⅰ⇒ｐℤ＝ⅠまたはⅠ＝ℤ）⇒ｐが素数を示せば良いので、やはりｐℤ⊂ⅠとなるイデアルⅠを考える。
よって、Ⅰ＝(ｐ/ｎ)ℤ（ｎ∈ℕ，ｐ/ｎ∈ℤ）である。
ここで、ｐℤ＝ⅠまたはⅠ＝ℤより、ｎ＝１またはｎ＝ｐである。ところで、ｐ/ｎは整数よりｎはｐの約数である。そして、ｐの約数が１とｐしかないので、ｐは素数である。
よって、（ｐℤ⊂Ⅰ⇒ｐℤ＝ⅠまたはⅠ＝ℤ）⇒ｐが素数

よって、（１）⇔（３）が示された。

おまけ：

定理2.9
有理整数環ℤにおいて、次の５つの命題は同値である。
（１）ｐは素数である。
（２）(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。
（３）(ｐ)＝ｐℤは極大イデアルである。
（４）ℤ/(ｐ)は整域である。
（５）ℤ/(ｐ)は体である。

証明
（５）⇒（１）：
ℤ/(ｐ)とはℤpの事で、これが体という事はℤp^*（ℤpから零元を除いた集合）が乗法に関して群をなしているという事である。
ここで、定理2.10よりℤp^*は既約剰余類全体の集合Ｕ(ℤn)で表される。
ところで、Ｕ(ℤn)＝ℤp^*となるのは、ｎが素数の場合のみである。
よって、ℤ/(ｐ)が体ならばｐは素数である。

定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}

定義2.3
ｎを法とするａの剰余類Ｃaは(ａ,ｎ)＝１であるとき、既約剰余類であるという。ｎを法とする剰余類の集合ℤnにおいて、既約剰余類の集合をＵ(ℤn)で表す。

例．Ｕ(ℤ5)＝{|１,|２,|３,|４}＝ℤ5－{|０}＝ℤ5^*

勝手に定理2.10は逆が成り立つような使い方をしてしまいましたがダメでしょうか。
因みに、p.65に、
「ｎ＝ｐ（素数）のとき、ℤp^*は乗法に関して群になる。逆に、ℤn^*が乗法に関して群になるならば、ｎは素数である。」
とあります。

（１）⇒（４）の証明
（１）⇒（５）が証明されているので、
ｐが素数ならばℤ/(ｐ)は体である。ところで、定理1.4より、体ならば整域なので、ℤ/(ｐ)は整域である。
よって、ｐが素数ならばℤ/(ｐ)は整域である。
よって、示された。

定理1.4
体は０と異なる零因子をもたない。すなわち、体は整域である。

おまけ：
https://twitter.com/yukie1728/status/1624201132779393024

解法１　三角関数の解法
四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より、
∠Ｂ＝θと置くと、∠Ｄ＝１８０°－θ
△ＡＢＣ，△ＡＤＣのそれぞれで余弦定理を使うと、
ＡＣ^2＝ａ^2＋ｂ^2－２ａｂcosθ―――①
ＡＣ^2＝ｃ^2＋ｄ^2－２ｃｄcos(180°－θ)
∴ＡＣ^2＝ｃ^2＋ｄ^2＋２ｃｄcosθ―――②
①，②より、
ａ^2＋ｂ^2－２ａｂcosθ＝ｃ^2＋ｄ^2＋２ｃｄcosθが成り立つ。
∴２(ａｂ＋ｃｄ)cosθ＝ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2－ｄ^2
∴cosθ＝(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2－ｄ^2)/２(ａｂ＋ｃｄ)―――③
また、四角形ＡＢＣＤ＝△ＢＡＣ＋△ＤＡＣ＝(１/２)aｂsinθ＋(１/２)ｃｄsin(180°－θ)
＝(１/２)aｂsinθ＋(１/２)ｃｄsinθ
＝(１/２)(ａｂ＋ｃｄ)sinθ
∴四角形ＡＢＣＤ＝(１/２)(ａｂ＋ｃｄ)sinθ―――④
ところで、０＜θ＜１８０°より、
sinθ＝√{１－(cosθ)^2}（符号が正という事。）
③より、
１－(cosθ)^2＝１－(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2－ｄ^2)^2/４(ａｂ＋ｃｄ)^2
＝{４(ａｂ＋ｃｄ)^2－(ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2－ｄ^2)^2}/４(ａｂ＋ｃｄ)^2
＝{２(ａｂ＋ｃｄ)＋ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2－ｄ^2}{２(ａｂ＋ｃｄ)－ａ^2－ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2}/４(ａｂ＋ｃｄ)^2
＝[{(ａ＋ｂ)^2－(ｃ－ｄ)^2}{－(ａ－ｂ)^2＋(ｃ＋ｄ)^2}]/４(ａｂ＋ｃｄ)^2
＝(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/４(ａｂ＋ｃｄ)^2
∴sinθ＝√{１－(cosθ)^2}＝√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)}/２(ａｂ＋ｃｄ)
これを④に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝(１/２)(ａｂ＋ｃｄ)・[√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)}/２(ａｂ＋ｃｄ)]
＝√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)}/４
∴四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４

ヘロンの公式のような形した方がいいのかもしれませんが、問題文よりあえてこの形にしておきます。
中学数学のヒントは、前回の中学数学の解法３にヘロンの公式を使って下さい。

おまけ：

問題
円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺の長さをＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＤＡ＝ｄとする時、四角形ＡＢＣＤの面積をａ，ｂ，ｃ，ｄで表して下さい。

解法２　中学数学の解法
（ⅰ）四角形ＡＢＣＤが長方形ではない場合
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとし、ＥＡ＝ｍ，ＥＤ＝ｎと置くと、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＡ　
また、∠Ｅは共通より２角が等しいので、△ＥＤＡ∽△ＥＢＣ
∴ｍ：ｄ＝ｎ＋ｃ：ｂ　ｎ：ｄ＝ｍ＋ａ：ｂが成り立つ。
∴ｄ(ｎ＋ｃ)＝ｂｍーーー①　ｄ(ｍ＋ａ)＝ｂｎ―――②
①÷②より、(ｎ＋ｃ)/(ｍ＋ａ)＝ｍ/ｎ
∴ｎ(ｎ＋ｃ)＝ｍ(ｍ＋ａ)―――③
また、①より、ｍ＝ｄ(ｎ＋ｃ)/ｂ―――①'
①'を③に代入すると、
ｎ(ｎ＋ｃ)＝{ｄ(ｎ＋ｃ)/ｂ}{ｄ(ｎ＋ｃ)/ｂ＋ａ}
∴ｎ＝(ｄ/ｂ){ｄ(ｎ＋ｃ)/ｂ＋ａ}
∴ｂ^2・ｎ＝ｄ{ｄ(ｎ＋ｃ)＋ａｂ}
∴ｂ^2・ｎ＝ｄ^2(ｎ＋ｃ)＋ａｂｄ
∴ｂ^2・ｎ－ｄ^2・ｎ＝ｃｄ^2＋ａｂｄ
∴ｎ＝ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｎ＋ｃ＝{ｄ(ａｂ＋ｃｄ)＋ｃ(ｂ^2－ｄ^2)}/(ｂ^2－ｄ^2)―――④
④を①'に代入すると、
ｍ＝{ｄ^2(ａｂ＋ｃｄ)＋ｃｄ(ｂ^2－ｄ^2)}/ｂ(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａｂｄ＋ｃｄ^2＋ｂ^2ｃ－ｃｄ^2)/ｂ(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａｂｄ＋ｂ^2ｃ)/ｂ(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｍ＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)
　ｎ＝ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)
ここで、△ＥＡＤでヘロンの公式を使うと、
ｓ＝(ｍ＋ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｍ＝(－ｍ＋ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｎ＝(ｍ－ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｄ＝(ｍ＋ｎ－ｄ)/２
△ＥＡＤ＝√ｓ(ｓ－ｍ)(ｓ－ｎ)(ｓ－ｄ)より、

ｓ＝{ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ}/２
＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｓ＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)―――⑤
ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2
＝－{ｄ^2－(ａ＋ｃ)ｄ－ａｂ－ｂｃ－ｂ^2}
＝－{ｄ^2－(ａ＋ｃ)ｄ－ｂ(ａ＋ｂ＋ｃ)}
＝－(ｄ＋ｂ){ｄ－(ａ＋ｂ＋ｃ)}
＝(ｂ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)
これを⑤に代入すると、
ｓ＝ｄ(ｂ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)/２(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)/２(ｂ－ｄ)―――☆
ｓ－ｍ＝{－ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ}/２
＝ｄ(－ａｄ－ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｓ－ｍ＝ｄ(－ａｄ－ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)―――⑥
－ａｄ－ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2
＝－{ｄ^2＋(ａ－ｃ)ｄ－ａｂ＋ｂｃ－ｂ^2}
＝－{ｄ^2＋(ａ－ｃ)ｄ－ｂ(ａ＋ｂ－ｃ)}
＝－(ｄ－ｂ){ｄ＋(ａ＋ｂ－ｃ)}
＝(ｂ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)
これを⑥に代入すると、
ｓ－ｍ＝ｄ(ｂ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)/２(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)/２(ｂ＋ｄ)―――☆'
ｓ－ｎ＝{ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)－ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ}/２
＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ－ａｂ－ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｓ－ｎ＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ－ａｂ－ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)―――⑦
ａｄ＋ｂｃ－ａｂ－ｃｄ＋ｂ^2－ｄ^2
＝－{ｄ^2－(ａ－ｃ)ｄ＋ａｂ－ｂｃ－ｂ^2}
＝－{ｄ^2－(ａ－ｃ)ｄ－ｂ(－ａ＋ｂ＋ｃ)}
＝－(ｄ－ｂ){ｄ＋(－ａ＋ｂ＋ｃ)}
＝(ｂ－ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)
これを⑦に代入すると、
ｓ－ｎ＝ｄ(ｂ－ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ＋ｄ)―――☆''
ｓ－ｄ＝{ｄ(ａｄ＋ｂｃ)/(ｂ^2－ｄ^2)＋ｄ(ａｂ＋ｃｄ)/(ｂ^2－ｄ^2)－ｄ}/２
＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ－ｂ^2＋ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)
∴ｓ－ｄ＝ｄ(ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ－ｂ^2＋ｄ^2)/２(ｂ^2－ｄ^2)―――⑧
ａｄ＋ｂｃ＋ａｂ＋ｃｄ－ｂ^2＋ｄ^2
＝ｄ^2＋(ａ＋ｃ)ｄ＋ａｂ＋ｂｃ－ｂ^2}
＝ｄ^2＋(ａ＋ｃ)ｄ＋ｂ(ａ－ｂ＋ｃ)}
＝(ｄ＋ｂ){ｄ＋(ａ－ｂ＋ｃ)}
＝(ｂ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)
これを⑧に代入すると、
ｓ－ｄ＝ｄ(ｂ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ^2－ｄ^2)
＝ｄ(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ－ｄ)―――☆'''
☆，☆'，☆''，☆'''を△ＥＡＤ＝√ｓ(ｓ－ｍ)(ｓ－ｎ)(ｓ－ｄ)に代入すると、
△ＥＡＤ＝√[{ｄ(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)/２(ｂ－ｄ)}{ｄ(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)/２(ｂ＋ｄ)}{ｄ(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ＋ｄ)}{ｄ(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/２(ｂ－ｄ)}
＝√{ｄ^4(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/４^2(ｂ^2－ｄ^2)^2}
＝{ｄ^2/４(ｂ^2－ｄ^2)}√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}
∴△ＥＡＤ＝{ｄ^2/４(ｂ^2－ｄ^2)}√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}―――ア
ところで、△ＥＡＤ∽△ＥＣＢで相似比はｄ^2：ｂ^2より、
四角形ＡＢＣＤ＝{(ｂ^2－ｄ^2)/ｄ^2}△ＥＡＤ―――イ
アをイに代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}/４
∴四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４

（ⅱ）四角形ＡＢＣＤが長方形の場合
ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ　これらを四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝√(２ｂ・２ａ・２ｂ・２ａ)/４＝ａｂ
一方、長方形の場合の面積はａｂよりＯＫ。

（ⅰ）,（ⅱ）より、
四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４

一応、ベタな方法でも求められる事を示しましたが、もっとエレガントに求められます。（次回。念のため、私のオリジナルではありません。）

おまけ：

問題
円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺の長さをＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＤＡ＝ｄとする時、四角形ＡＢＣＤの面積をａ，ｂ，ｃ，ｄで表して下さい。

解法３　中学数学の解法２
（ⅰ）四角形ＡＢＣＤが長方形ではない場合
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとし、ＥＡ＝ｍ，ＥＤ＝ｎと置くと、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＡ　
また、∠Ｅは共通より２角が等しいので、△ＥＤＡ∽△ＥＢＣ
∴ｍ：ｄ＝ｎ＋ｃ：ｂ　ｎ：ｄ＝ｍ＋ａ：ｂが成り立つ。
∴ｄ(ｎ＋ｃ)＝ｂｍーーー①　ｄ(ｍ＋ａ)＝ｂｎ―――②
①＋②より、ｄ(ｍ＋ｎ＋ａ＋ｃ)＝ｂ(ｍ＋ｎ)
∴(ｂ－ｄ)(ｍ＋ｎ)＝ｄ(ａ＋ｃ)
∴ｍ＋ｎ＝ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)―――③
①－②より、ｄ(ｎ－ｍ＋ｃ－ａ)＝ｂ(ｍ－ｎ)
∴(ｂ＋ｄ)(ｍ－ｎ)＝ｄ(ｃ－ａ)
∴ｍ－ｎ＝ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)―――④
ところで、ヘロンの公式より、
ｓ＝(ｍ＋ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｍ＝(－ｍ＋ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｎ＝(ｍ－ｎ＋ｄ)/２
ｓ－ｄ＝(ｍ＋ｎ－ｄ)/２
△ＥＡＤ＝√{ｓ(ｓ－ｍ)(ｓ－ｎ)(ｓ－ｄ)}
＝√[{ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)＋ｄ}{－ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ}{ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ}{ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)－ｄ}]/４―――☆

ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)＋ｄ＝ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)＋ｄ(ｂ－ｄ)/(ｂ－ｄ)
＝d(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)/(ｂ－ｄ)―――⑤
－ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ＝－ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ(ｂ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)
＝ｄ(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)―――⑥
ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ＝ｄ(ｃ－ａ)/(ｂ＋ｄ)＋ｄ(ｂ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)
＝ｄ(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)―――⑦
ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)－ｄ＝ｄ(ａ＋ｃ)/(ｂ－ｄ)－ｄ(ｂ－ｄ)/(ｂ－ｄ)
＝ｄ(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/(ｂ－ｄ)―――⑧
⑤～⑧を☆に代入すると、
△ＥＡＤ＝√[{d(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)/(ｂ－ｄ)}{ｄ(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)}{ｄ(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)/(ｂ＋ｄ)}{ｄ(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)/(ｂ－ｄ)}]/４
＝(ｄ^2/(ｂ^2－ｄ^2)√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}/４
∴△ＥＡＤ＝(ｄ^2/(ｂ^2－ｄ^2)√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}/４―――☆'
ところで、△ＥＡＤ∽△ＥＣＢで相似比はｄ^2：ｂ^2より、
四角形ＡＢＣＤ＝{(ｂ^2－ｄ^2)/ｄ^2}△ＥＡＤ―――☆''
☆'を☆''に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝√{(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)}/４
∴四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４

（ⅱ）四角形ＡＢＣＤが長方形の場合
ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ　これらを四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４に代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝√(２ｂ・２ａ・２ｂ・２ａ)/４＝ａｂ
一方、長方形の場合の面積はａｂよりＯＫ。

（ⅰ）,（ⅱ）より、
四角形ＡＢＣＤ＝√{(－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ)(ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ)}/４

アイデア引用元：https://manabitimes.jp/math/583

念のため、対角線の方は全て私のオリジナルです。

おまけ：