数学

解説
＞φによって同一の要素に写されるＲの要素の全体は、Ｒ/Ｉの１つの類をつくる。なぜなら、φ(ａ)＝φ(ｂ)ならば
　　　　　　　　　φ(ａ)－φ(ｂ)＝０
　　　　　　　　　　φ(ａ－ｂ)＝０
であるから、Ｉの定義によって
　　　　　　　　　　ａ－ｂ∈Ｉ
したがって、　
　　　　　　　　　　ａ≡ｂ（modＩ）

「φによって同一の要素に写されるＲの要素の全体」は、φ(ａ)＝φ(ｂ)＝…など。
そこで、φ(ａ)＝φ(ｂ)とすると、φ(ａ)－φ(ｂ)＝０で、φは準同型写像なので、φ(ａ－ｂ)＝０
ここで、条件の「|Ｒの０に対応するＲのすべての要素の集合をＩ」より、ａ－ｂ∈Ｉ
また、

「ａ－ｂ∈Ｉのとき、ａ≡ｂ（modＩ）と書くことにする。」
「代数的構造」遠山啓著p.188より

だったので、ａ≡ｂ（modＩ）という事。
ところで、これは、ａＩ＝ｂＩという意味でもあり、剰余類Ｒ/Ｉの１つの類（集合）である。

＞そして、類の加法，乗法はφによって|Ｒに写される。なぜなら
　　　　　　　ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）
から、
　ａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ），ａｃ≡ｂｄ（modＩ）　
となるからである。

ここが今一よく分からない。上の段階でＲ/Ｉ≅|Ｒの|Ｒの一部とＲ/Ｉの一部が対応していて類別の１つなので、全体も対応している事が言える。
よって、次は逆にＲ/Ｉの類の加法と乗法をφによって写像すると|Ｒの元になるという事が言えれば、上のと合わせてＲ/Ｉ≅|Ｒが示せるという事なのだろうか。そして、それが「ａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ），ａｃ≡ｂｄ（modＩ）　
となるから」。
そこで、私の解釈を示してみよう。
φ(ａ)＝φ(ｂ)⇔φ(ａ)－φ(ｂ)＝０
⇔φ(ａ－ｂ)＝０⇔ａ－ｂ∈Ｉ
⇔ａ≡ｂ（modＩ）
よって、ａ≡ｂ（modＩ）⇔φ(ａ)＝φ(ｂ)
ここで、
ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）に対してａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ）が成り立つ
⇔|ａ＋|ｃ＝|(ａ＋ｃ)
⇔φ(ａ)＋φ(ｃ)＝φ(ａ＋ｃ)
よって、類の加法ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）に対してａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ）は、φ(ａ)＋φ(ｃ)＝φ(ａ＋ｃ)よりφによって|Ｒに写される。
乗法は、
ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）に対してａｃ≡ｂｄ（modＩ）が成り立つ
⇔|ａ・|ｃ＝|(ａ・ｃ)
⇔φ(ａ)・φ(ｃ)＝φ(ａ・ｃ)
よって、類の乗法ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）に対してａｃ≡ｂｄ（modＩ）は、φ(ａ)・φ(ｃ)＝φ(ａ・ｃ)よりφによって|Ｒに写される。
よって、φは準同型写像（これは条件から言える）で全単射が成り立つので、同型であるという事。
単射の理由は、ａ≡ｂ（modＩ）⇔φ(ａ)＝φ(ｂ)で行った先が同じならば元も同じだから。
また、全射は「Ｒから|Ｒの上への準同型写像φ」より自明である。
ただし、普通はＲ/Ｉと|Ｒとの間の写像はφ'などと別扱いするので、よく分からない。

おまけ：
「うまかろう安かろう亭にあったカラオケで麻原が飯田エリ子やダーキニー達に囲まれてキャッキャしながらカラオケをしているのを見て、「VXをかけてやりたかった」と述べている。さらに麻原は井上にも「何か歌え」と要求してきたので尾崎豊や浜田省吾を歌おうかと思ったが、何を言われるかわからないのでやめたという。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%95%E4%B8%8A%E5%98%89%E6%B5%A9

問題
正方形ＡＢＣＤで辺ＤＣの中点をＭ，ＢＭとＡＣの交点をＰ，ＰＤとＡＭの交点をＱとする。このとき、ＡＭ⊥ＤＰを証明しなさい。
（９３　土佐）

図は、添付ファイルを参照して下さい。

模範解答
前書きの「あること」とは、対角線ＡＣに関する対称性･･･☆です。
この☆に気が付けば、『△ＡＤＭ≡△ＢＣＭより、右図の×同士の角は等しく、また☆より、●＝○であるから、△ＤＱＭと△ＢＣＭの内角の和を考えて、∠ＤＱＭ＝９０°』
　ところで、この☆、意外に気付きにくいのですが、正方形を対角線ＡＣ方向（➡）から見れば、一目瞭然ですネ！
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

前書きとは、
「次の問題を、制限時間５分で考えてみて下さい（あることに気が付かないと、意外に難航するはずです･･･）。」
です。

私の秒殺解法とはちょっと違うので、紹介しましょう。

解法１
点Ｐは正方形の対角線上にあるので、対称性より∠ＰＤＣ＝∠ＰＢＣ＝●と置く。
また、点ＭはＤＣの中点より対称性で、
∠ＭＡＤ＝∠ＭＢＣ＝●
よって、∠ＰＤＣ＝∠ＭＡＤより、
∠ＱＤＭ＝∠ＤＡＭ＝●
また、∠ＱＭＤは共通より、２角が等しいので、△ＱＤＭ∽△ＤＡＭ
よって、∠ＤＱＭ＝∠ＡＤＭ＝９０°
よって、ＡＭ⊥ＤＰ

解法２
点Ｂをｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取ると、
Ａ(０,ａ)，Ｃ(ａ,０)，Ｄ(ａ,ａ)と置ける。
直線ＢＭの方程式は、ｙ＝(１/２)ｘ
直線ＡＣの方程式は、ｙ＝－ｘ＋ａ
よって、点Ｐの座標は、２式を連立させて、
(１/２)ｘ＝－ｘ＋ａ　∴(３/２)ｘ＝ａ
∴ｘ＝２ａ/３　∴ｙ＝ａ/３
∴Ｐ(２ａ/３，ａ/３)
よって、直線ＰＤの傾きは、Ｄ(ａ,ａ)より、
(ａ－ａ/３)/(ａ－２ａ/３)＝(２/３)/(１/３)
＝２
また、直線ＡＭの傾きは、－１/２なので、
２×(－１/２)＝－１より、直線ＰＤと直線ＡＭは直交している。
∴ＡＭ⊥ＤＰ

解法３は次回。

おまけ：
　「妹に言いたいことは一つだけ。おのれを強くするしかない。ルールは守ってくれないし、終わってから言っても。涙が出るくらい僕も悔しかった。今日は美和のコメントをするためだけに頑張りました。相手は何でもしてくる。まあチャンピオンズなので安い授業料なので。これが世界タイトルや五輪じゃない。今回で学べるなら、それはプラスになる」
引用元：https://www.msn.com/ja-jp/news/opinion/%E5%8D%93%E7%90%83-%E6%B3%A2%E7%B4%8B-%E5%BC%B5%E6%9C%AC%E6%99%BA%E5%92%8C-%E8%A8%B1%E3%81%9B%E3%81%AA%E3%81%84%E3%81%A8%E6%80%9D%E3%81%84%E3%81%BE%E3%81%99-%E5%A6%B9-%E7%BE%8E%E5%92%8C%E3%82%92%E7%A0%B4%E3%81%A3%E3%81%9F%E6%97%A9%E7%94%B0%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E6%B2%BB%E7%99%82%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E3%81%AB%E8%A8%80%E5%8F%8A/ar-AA1Kfy9S?ocid=msedgntp&pc=U531&cvid=6899162657fe463cb5d992ff942c111b&ei=16

問題
正方形ＡＢＣＤで辺ＤＣの中点をＭ，ＢＭとＡＣの交点をＰ，ＰＤとＡＭの交点をＱとする。このとき、ＡＭ⊥ＤＰを証明しなさい。
（９３　土佐）

図は、一番上の添付ファイルを参照して下さい。

解法３
ＤＰの延長と辺ＢＣとの交点をＮとすると、対称性から点ＮはＢＣの中点になる（対称性を使わない場合は、△ＰＡＢ∽△ＰＣＭで相似比２：１よりＢＰ：ＰＭ＝２：１　よって、△ＢＣＭと直線ＮＤでのメネラウスの定理で分かる）。
また、ＡＭの延長とＢＣの延長との交点をＥとすると、△ＭＡＤ≡△ＭＥＣでＡＤ＝ＥＣ
また、ＮＣ＝ＢＣ/２＝ＥＣ/２より、
ＮＥ＝(３/２)ＥＣ＝(３/２)ＡＤ
よって、△ＱＡＤ∽△ＱＥＮの相似比は２：３より、ＡＱ＝４ａ，ＥＱ＝６ａと置くと、
ＡＭ＝ＥＭ＝１０ａ÷２＝５ａ
また、△ＡＤＭ≡△ＤＣＮより、
ＤＮ＝ＡＭ＝５ａ
また、△ＱＡＤ∽△ＱＥＮの相似比が２：３より、ＱＤ＝２ａ
よって、ＡＱ：ＱＤ＝４ａ：２ａ＝２：１
よって、ＡＱ：ＱＤ＝ＡＤ：ＤＭ
また、∠ＱＡＤは共通より、△ＡＤＭと△ＡＱＤは２辺比と挟角以外の１角が等しいので、相似か∠ＱＤＡと∠ＤＭＡが補角をなす。
ところが、∠ＱＤＡ＋∠ＤＭＡ＜１８０°は自明（それぞれが共に鋭角だから）なので、△ＡＤＭと△ＡＱＤは相似である。
よって、∠ＡＱＤ＝∠ＡＤＭ＝９０°
∴ＡＭ⊥ＤＰ

定理１
△ＡＢＣと△ＤＥＦにおいてＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｅならば、∠Ｃ＝∠Ｆまたは∠Ｃ＋∠Ｆ＝２∠Ｒである。
「モノグラフ 幾何学 －発見的研究法－」矢野健太郎監修・清宮俊雄著より

これの相似バージョンです。

念のため、√を使って△ＡＤＭ∽△ＡＱＤを言える事は明白ですが、それでは面白くないですね。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/6a72d72ece958da8281c7c9ed6435bb74a5165a1（この人、知っていてわざと訊いた可能性も０じゃないですよね。）

解説
＞このＩをもとにしてＲの要素のあいだにつぎのような同値関係を定義しよう。
　ａ－ｂがＩに属するとき、つまり
　　　　　　　　　　ａ－ｂ∈Ｉ
のとき、
　　　　　　　　　　ａ≡ｂ（modＩ）
と書くことにする。

この本でのイデアルの定義は、

「このようなＩはいかなる性質をもつであろうか。
　まず、Ｉは加群をなすことを示そう。
（１）ａ,ｂ∈Ｉならば
　　　　φ(ａ±ｂ)＝φ(ａ)±φ(ｂ)＝０±０＝０
したがってａ±ｂはＩに属する。
（２）Ｒの任意の要素をｘとすると、ｘＩ，ＩｘはＩに含まれる。なぜなら、ａがＩに属するとき、
φ(ｘａ)＝φ(ｘ)φ(ａ)＝φ(ｘ)・０＝０
φ(ａｘ)＝φ(ａ)φ(ｘ)＝０・φ(ｘ)＝０
だからｘａとａｘはともにＩに属する。したがってｘＩ，ＩｘはＩに含まれる。
　このような（１）（２）の条件を満たす環Ｒの部分集合をＲのイデアルという。」
「代数的構造」遠山啓著p.187より

だったので、（２）より、
∀ｘ∈Ｒ，∀ｉ∈Ｉに対して、ｘｉ∈Ｉ
ここで、Ｒを整数環ℤ，Ｉを３の倍数の集合とすると、任意の整数に３の倍数を掛けると３の倍数になるので納得出来るだろう。
そこで、上のＩをｎℤと置くと、
　　ａ－ｂ∈ｎℤのとき、ａ≡ｂ（modｎℤ）
となり、
ｎで割った余りが等しいとき、
ａ≡ｂ（modｎ）
と辻褄が合うだろう。

＞このときこの関係は同値律を満足することを示そう。
ａ－ａ＝０∈Ｉだからａ～ａ（反射律）

上のイデアルの定義の（１）より、Ｉは加法群なので加法の単位元０を含む。∴０∈Ｉ
よって、a－ａ∈Ｉだからａ≡ａ(modＩ)
よって、この合同式は反射律を満たす。
よって、ａ～ａという事。

＞ａ≡ｂ（modＩ）ならばａ－ｂ∈Ｉ
したがって－(ａ－ｂ)＝ｂ－ａもＩに属する。だからｂ≡ａ（modＩ）（対称律）

上のイデアルの定義の（１）より、Ｉは加法群なので、加法の逆元を含む。
よって、ａ－ｂ∈Ｉならば－(ａ－ｂ)∈Ｉ
よって、ｂ－ａ∈Ｉ
よって、定義により、ｂ≡ａ(modＩ)
よって、対称律を満たすので、ｂ～ａ

＞ａ≡ｂ，ｂ≡ｃ（modＩ）のとき、ａ－ｂ，ｂ－ｃが共にＩに属する。したがってその和も
　　　　(ａ－ｂ)＋(ｂ－ｃ)＝ａ－ｃ∈Ｉ
となる。
だからａ≡ｃ（modＩ）（推移律）

上の定義では、
「ａ－ｂがＩに属するとき、つまり
　　　　　　　　　　ａ－ｂ∈Ｉ
のとき、
　　　　　　　　　　ａ≡ｂ（modＩ）
と書くことにする。」
なので、逆は定義されていないが、
ａ－ｂ∈Ｉ⇔ａ≡ｂ（modＩ）
と定義すれば問題ない。（「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著ではそうなっている。）
ちょっと揚げ足取りっぽいですね。対称律の時も同じ。

＞結局、この関係は同値律を満足するから、Ｒの類別を引き起こす。これをＲのＩによる剰余類という。

「Ｒの類別を引き起こす。これをＲのＩによる剰余類」を示すためにわざわざ（あまり関係なさそうな）同値律が成り立つ事を証明したのである。

＞また
　　　　ａｃ－ｂｄ＝ａｃ－ａｄ＋ａｄ－ｂｄ
　　　　　　　　　＝ａ(ｃ－ｄ)＋(ａ－ｂ)ｄ
においてｃ－ｄ，ａ－ｂがＩに属しているから、ａ(ｃ－ｄ)，(ａ－ｂ)ｄもやはりＩに属する。したがってその和もＩに属する。だから
　　　　　　　ａｃ≡ｂｄ（modＩ）

「ｃ－ｄ，ａ－ｂがＩに属しているから、ａ(ｃ－ｄ)，(ａ－ｂ)ｄもやはりＩに属する」は、上のイデアルの定義の（２）からである。（「Ｒの任意の要素をｘとすると、ｘＩ，ＩｘはＩに含まれる」から。）
因みに、乗法の時はＩがイデアルである必要があるが、加法の時はＩがイデアルである必要はない。
（ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）とすれば
　(ａ＋ｃ)－(ｂ＋ｄ)＝(ａ－ｂ)＋(ｃ－ｄ)
でａ－ｂ，ｃ－ｄはＩに属するから、その和はＩに属する。だからａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ）
これはＩがイデアルでなくても成り立つという事。）

＞結局、≡はこれまで＝と同じく辺々加え、辺々乗じてよいことがわかった。このことは、剰余類が加法と乗法に対して分散せず、まとまりを維持していることを物語っている。
　ここで各々の剰余類を１つの要素とみれば１つの環が生まれたことになる。このような環を一般に剰余環といい、Ｒ/Ｉで表わす。

ここで大事な事は、剰余環はＩがイデアルの場合だけであるという事である。

＞Ｒの要素ａに、ａを含むＲ/Ｉの類を対応させる写像φはＲからＲ/Ｉへの準同型を表わしていることは明らかである。　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　φ　
　　　　　　　　　 Ｒ→Ｒ/Ｉ

定理3.1
Ｉを環Ｒのイデアルとする。Ｒの元ａに対して、ａを含むＲ/Ｉの剰余類|ａを対応させると、これは環Ｒから剰余環Ｒ/Ｉへの環の全準同型写像である。
π：Ｒ→Ｒ/Ｉ
　　ａ→|ａ
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

因みに、上のφをφ(ａ)＝|ａと置くと、
φ(ａ＋ｂ)＝|(ａ＋ｂ)＝|ａ＋|ｂ
（ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）ならばａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ（modＩ）より）
＝φ(ａ)＋φ(ｂ)
よって、φ(ａ＋ｂ)＝φ(ａ)＋φ(ｂ)
また、φ(ａｂ)＝|(ａ・ｂ)＝|ａ・|ｂ
（ａ≡ｂ，ｃ≡ｄ（modＩ）ならばａｃ≡ｂｄ（modＩ）より）
＝φ(ａ)・φ(ｂ)
よって、φ(ａｂ)＝φ(ａ)・φ(ｂ)
だから。

＞このことから群における正規部分群と環におけるイデアルが類似の役割を演じていることがわかるだろう。

定理９
Ｇの正規部分群Ｈによって、その剰余群Ｇ/Ｈがつくられ、Ｇ/ＨとＧと準同型であり、そのときＨはＧ/Ｈの単位元に写される要素の全体である。
「代数的構造」遠山啓著p.113より

要は、剰余群はＨが正規部分群の時にしか作れず、剰余環もＩがイデアルの時にしか作れないので、類似の役割を演じているという事である。

おまけ：
「遺体の引取先に指定された四女とその代理人である滝本太郎弁護士が7月7日に麻原の遺体と対面した。滝本は「『麻原彰晃』とは思わなかった。松本智津夫として死んだと思った」と語る。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%BB%E5%8E%9F%E5%BD%B0%E6%99%83#%E6%AD%BB%E5%88%91%E5%9F%B7%E8%A1%8C

問題
図のように円すいと立方体がある。立方体の８個の頂点のうち、上面の４個の頂点は円すいの側面上に、下面の４個の頂点は円すいの底面上にある。また、円すいの側面の展開図をかくと、それは中心角が１２０°の扇形になる。立方体の体積をＶ，円すいの体積をＷとしたとき、ＶのＷに対する割合Ｖ/Ｗを計算しなさい。
（０２　開成）

模範解答
図１（注：添付ファイルの図１を参照）の円すいで、側面の中心角が１２０°であることから、
ｌ：ｒ＝３６０：１２０＝３：１･･････①
∴ｌ＝３ｒ　∴ｈ＝２√２ｒ
すると、図２（注：添付ファイルの図２を参照）で、
ｒ＝ｘ×(１/２√２)＋√２ｘ/２
＝(３/２√２)ｘ
このとき、Ｖ/Ｗ＝ｘ³/(πｒ²ｈ/３)
＝(３/２√２π)×(ｘ/ｒ)³
＝(３/２√２π)×(２√２/３)³＝８/９π
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞ｌ：ｒ＝３６０：１２０＝３：１･･････①

公式で、「底面の半径がｒ，母線の長さがｌの円錐の側面の展開図の扇形の中心角をｘ°とすると、ｘ＝３６０×(ｒ/ｌ)」というものがあるので、
ｘ＝１２０を代入すると、
ｒ/ｌ＝１２０/３６０より、①という事。

＞ｒ＝ｘ×(１/２√２)＋√２ｘ/２
＝(３/２√２)ｘ

図２の左下の直角三角形の底辺の長さを□として、△ＯＡＨとの相似を考えると、
□：ｘ＝ｒ：ｈ
これにｈ＝２√２ｒを代入すると、
＝ｒ：２√２ｒ＝１：２√２
∴□＝ｘ/２√２
ところで、ｒ＝□＋√２ｘ/２より、
ｒ＝ｘ×(１/２√２)＋√２ｘ/２
＝(３/２√２)ｘ
という事。

次回は、普通の私の解法をやりますね。

おまけ：

問題
図のように円すいと立方体がある。立方体の８個の頂点のうち、上面の４個の頂点は円すいの側面上に、下面の４個の頂点は円すいの底面上にある。また、円すいの側面の展開図をかくと、それは中心角が１２０°の扇形になる。立方体の体積をＶ，円すいの体積をＷとしたとき、ＶのＷに対する割合Ｖ/Ｗを計算しなさい。
（０２　開成）

底面の半径をｒ，母線の長さをｌと置いて、底面の円周と側面の展開図の扇形の弧の長さで方程式を作ると、
２πｒ＝２πｌ×(120/360)
∴ｒ＝ｌ/３･･････①
ここで、円錐の高さをｈとすると、三平方の定理（簡単にイメージ出来ない人は前回の添付ファイル△ＯＡＨを参照して下さい）より、
ｈ＝√(ｌ²－ｒ²)･･････②
①を②に代入すると、
ｈ＝√(ｌ²－ｌ²/９)＝√(８ｌ²/９)
＝２√２ｌ/３･･････④
∴Ｗ＝πｒ²×ｈ×(１/３)
これに①，④を代入すると、
Ｗ＝π(ｌ/３)²・(２√２ｌ/３)・(１/３)
＝(２√２π/８１)ｌ³･･････☆
また、Ｖの１辺の長さをｘとして、前回の添付ファイルの図２の△ＯＡＨと中央左上の直角三角形との相似の直角を挟む２辺比より、
ｒ：ｈ＝√２ｘ/２：ｈ－ｘが成り立つ。
これに①，②，④を代入すると、
(ｌ/３)：(２√２ｌ/３)
＝(√２ｘ/２)：(２√２ｌ/３－ｘ)
が成り立つ。
∴１：２√２＝√２ｘ/２：２√２ｌ/３－ｘ
∴２ｘ＝２√２ｌ/３－ｘ
∴３ｘ＝２√２ｌ/３
∴ｘ＝２√２ｌ/９
∴Ｖ＝ｘ³＝(２√２ｌ/９)³
＝１６√２ｌ³/９³･･････☆☆
☆，☆☆より、
Ｖ/Ｗ
＝(１６√２ｌ³/９³)/{(２√２π/８１)ｌ³}
＝８/９π

因みに、

「原題では、「円周率πを３.１４とし、百分率で答えよ（小数第一位を四捨五入）」となっていた」そうです。

ただでさえ、計算が面倒臭いのに大変ですね。（２８％）

おまけ：

解説
＞２つの環Ｒ，|Ｒのあいだに１対１対応φが存在し、φによって加法と乗法とが同型に写されるとき、Ｒと|Ｒは同型であるといい、次のように書く。Ｒ≅|Ｒ

これも誤植ではないのだろうか。つまり、

２つの環Ｒ，|Ｒのあいだに１対１対応φが存在し、φによって加法と乗法とが準同型に写されるとき、Ｒと|Ｒは同型であるといい、次のように書く。Ｒ≅|Ｒ

一応、どちらでも話が通じるという所が前回と同じで悩ましい所である。まぁ、どちらでもいいと言えばどちらでもいいが、初学者用には後者を勧める。

因みに、前回とは、

「昨日の「因みに、「加群M（もちろん可換である）をMの中に同型に写す写像をαとする」は、準同型の誤植のような気もするのだが、この手のものは素人には判断しかねるので、
「本書は、１９７２年５月３０日、筑摩書房より「数学講座」第１０巻として刊行された。文庫化に当たり旧数学用語を改め、誤植を訂正した。」
を信じてそのままにした。ただし、結構誤植ありますが。」
は、やはり誤植でしたね。例１で「ａをｍａに写す準同型をα_m」とありますからね。（同型限定ではないと思っていましたが。）」
2025/8/5 13:40の投稿より

＞このようなとき、φによって|Ｒの０に写されるＲの要素の全体をＩとしよう。このようなＩはいかなる性質をもつであろうか。
　まず、Ｉは加群をなすことを示そう。
（１）ａ,ｂ∈Ｉならば
　　　　φ(ａ±ｂ)＝φ(ａ)±φ(ｂ)＝０±０＝０
したがってａ±ｂはＩに属する。
（２）Ｒの任意の要素をｘとすると、ｘＩ，ＩｘはＩに含まれる。なぜなら、ａがＩに属するとき、
φ(ｘａ)＝φ(ｘ)φ(ａ)＝φ(ｘ)・０＝０
φ(ａｘ)＝φ(ａ)φ(ｘ)＝０・φ(ｘ)＝０
だからｘａとａｘはともにＩに属する。したがってｘＩ，ＩｘはＩに含まれる。
　このような（１）（２）の条件を満たす環Ｒの部分集合をＲのイデアルという。

これも変な教え方である。これではイデアルとは（１）と（２）の性質をもつ「φによって|Ｒの０に写されるＲの要素の全体」だと思ってしまうだろう。
イデアルとは、「（１）（２）の条件を満たす環Ｒの部分集合」である。（（１）は加法群であるという事で、（２）は「Ｒの任意の要素をｘとすると、ｘＩ，ＩｘはＩに含まれる」という事。）
つまり、準同型写像とかは全く関係ない。
また、上の文章から読み取れる事は、「イデアルならばそれ自身がkerｆとなる準同型写像ｆを必ず作れる」という事だろう。（ちょっと面白い。勉強になりました。普通の本では、kerｆはイデアルという事だけ教える（証明する）。）

＞イデアルの考えはデデキントが整数論の問題を解決するためにはじめて導入したものであり、

一応、裏を取ってみました。

「クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。イデアル (Ideal) という名称は、理想数に由来する名前である。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)#%E6%AD%B4%E5%8F%B2

おまけ：

問題
右図のような四面体ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝ＣＤ＝２，ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＤ＝３とし、辺ＡＢ，ＣＤの中点をそれぞれＥ，Ｆとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）線分ＥＦの長さを求めなさい。
（２）頂点Ａから底面ＢＣＤに垂線を下ろし、底面ＢＣＤとの交点をＨとする。線分ＡＨの長さを求めなさい。
（３）四面体ＡＢＣＤに内接する球の半径を求めなさい。
（０５　巣鴨）

図は、上の添付ファイルを参照して下さい。

模範解答
（１）ＡＦ＝ＢＦ＝√(３²－１²)＝√８＝２√２であるから、ＥＦ＝√(８－１²)＝√７
（２）対称面ＡＢＦを抜き出すと、図２（注：添付ファイルの図２）のようになる。
△ＡＢＦの面積の２倍について、
ＢＦ×ＡＨ＝ＡＢ×ＥＦ
∴ＡＨ＝ＡＢ×ＥＦ/ＢＦ＝２×√７/２√２
＝√１４/２
（参考書の）別解
△ＡＢＨ∽△ＦＢＥ（二角相等）より、
ＡＢ：ＡＨ＝ＦＢ：ＦＥ
∴ＡＨ＝ＡＢ×ＦＥ/ＦＢ＝√１４/２
（３）内接球の中心をＯとすると、
Ａ-ＢＣＤ＝Ｏ-ＡＢＣ＋Ｏ-ＡＣＤ＋Ｏ-ＡＤＢ＋Ｏ-ＢＣＤ･･････①
ここで、Ａ-ＢＣＤの４面はすべて合同であるから、
Ａ-ＢＣＤ＝Ｏ-ＢＣＤ×４
よって、内接球の半径をｒとすると、
(１/３)×△ＢＣＤ×ＡＨ＝{(１/３)×△ＢＣＤ×ｒ}×４
∴ｒ＝ＡＨ/４＝√１４/８
(参考書の）別解
図１（注：添付ファイルの図１）で、さらに対称性から、ＯはＥＦの中点Ｍであることに気付いたとすると———
『図２で、ｒ＝ＭＩ　ここで、△ＦＭＩ∽△ＦＢＥであるから、
ｒ＝ＭＦ×ＢＥ/ＢＦ＝(√７/２)×１/２√２
＝√１４/８
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

全体の解説は、読めば分かると思うので省略。次回は、

＞さらに対称性から、ＯはＥＦの中点Ｍであることに気付いたとすると———

ここの解説と（２）の私の別解をやりますね。

おまけ：

問題
右図のような四面体ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝ＣＤ＝２，ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ＝ＢＤ＝３とし、辺ＡＢ，ＣＤの中点をそれぞれＥ，Ｆとする。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）線分ＥＦの長さを求めなさい。
（２）頂点Ａから底面ＢＣＤに垂線を下ろし、底面ＢＣＤとの交点をＨとする。線分ＡＨの長さを求めなさい。
（３）四面体ＡＢＣＤに内接する球の半径を求めなさい。
（０５　巣鴨）

図は、一番上の添付ファイルを参照して下さい。

（２）の別解２
ＡＨ＝ｘ，ＢＨ＝ｙと置いて、△ＡＢＨと△ＡＦＨで三平方の定理を使うと、
ｘ²＋ｙ²＝２²･･････①
ｘ²＋(２√２－ｙ)²＝(２√２)²･･････②
①－②より、
－８＋４√２ｙ＝４－８　∴ｙ＝１/√２
これを①に代入すると、
ｘ²＝４－１/２＝７/２　ｘ＞０より、
ｘ＝√７/√２＝√１４/２
∴ＡＨ＝√１４/２

＞さらに対称性から、ＯはＥＦの中点Ｍであることに気付いたとすると———

まず、平面ＡＣＤと平面ＢＣＤに接する球を考えるために、平面ＡＢＦで切った断面図を描く（添付ファイルを参照）。
△ＡＢＦの内接円を考えると△ＦＡＢは二等辺三角形より中心はＦＥ上にあり、ＦＯ＝ａと置く。
次に、平面ＤＡＢと平面ＣＡＢに接する球を考えるために、平面ＤＣＥで切った断面図を描く（添付ファイルを参照）。
△ＤＣＥの内接円を考えると△ＥＤＣは二等辺三角形より中心はＥＦ上にあり、ＥＯ＝ａである（対称性から同じ比率の場所に中心があるから）。
よって、ＯＥ＝ＯＦ
よって、点ＯはＥＦの中点である。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12920461096.html

https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12864900408.html

解説
＞(ｘ＋ｘ)²＝ｘ＋ｘであるから
　　　　　　ｘ²＋ｘ²＋ｘ²＋ｘ²＝ｘ＋ｘ
となる。ｘ²＝ｘであるからｘ²＋ｘ²＝０
したがって、ｘ＋ｘ＝０，－ｘ＝ｘ
が得られる。

条件より、ⅹ²＝ｘ
このｘにｘ＋ｘを代入（代入出来る理由は下でやる）すると、
(ｘ＋ｘ)²＝ｘ＋ｘ
これを展開すると、
(ｘ＋ｘ)(ｘ＋ｘ)＝ｘ²＋ｘ²＋ｘ²＋ｘ²より、
ｘ²＋ｘ²＋ｘ²＋ｘ²＝ｘ＋ｘ
また、ⅹ²＝ｘを２ヵ所に代入すると、
ｘ²＋ｘ²＋ｘ＋ｘ＝ｘ＋ｘ
よって、ｘ²＋ｘ²＝０
また、ⅹ²＝ｘを代入すると、ｘ＋ｘ＝０
よって、ｘ＝－ｘ
という事。

＞ｘ,ｙは任意の要素とすると
　　　　　　(ｘ＋ｙ)²＝ｘ＋ｙ
から
　　　　　ｘ²＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ²＝ｘ＋ｙ
ｘ²＝ｘ，ｙ²＝ｙから
　　　　　　　ｘｙ＋ｙｘ＝０
　　　　　　　ｘｙ＝－ｙｘ
－ｙｘ＝ｙｘだから
　　　　　　　ｘｙ＝ｙｘ

ｘ,ｙはＲの任意の要素でＲは環なので、加法について閉じているので、ｘ＋ｙ∈Ｒである。
よって、条件のⅹ²＝ｘのｘにｘ＋ｙを代入すると、
(ｘ＋ｙ)²＝ｘ＋ｙ
これを展開すると、
(ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)＝ｘ²＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ²より、
ｘ²＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ²＝ｘ＋ｙ
これに、ｘ²＝ｘ，ｙ²＝ｙを代入すると、
ｘ＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ＝ｘ＋ｙ
よって、ｘｙ＋ｙｘ＝０
よって、ｘｙ＝－ｙｘ･･････①
また、上よりｘ＝－ｘ
このｘにｘｙを代入すると、
ｘｙ＝－ｘｙ……②
①，②より、－ｘｙ＝－ｙｘ
よって、ｘｙ＝ｙｘ
という事。

ところで、具体例を考えてみる。
ⅹ²＝ｘより、ｘ²－ｘ＝０
∴ｘ(ｘ－１)＝０　∴ｘ＝０,１
よって、ℤ₂＝{|０，|１}を考察してみる。
（ただし、|ｎ（ｎ＝０,１）は整数を２で割った余りの集合を意味する。）
加法について、|０＋|０＝|０∈ℤ₂
|０＋|１＝|１∈ℤ₂，|１＋|１＝|２＝|０∈ℤ₂
よって、ℤ₂は加法について閉じている。
また、結合法則は整数と同様に成り立つ事は自明。
また、加法の単位元は|０である。
|０の逆元は|０で|１の逆元は－|１＝|１（mod２だから）でそれぞれ自分自身である。
よって、ℤ₂は加法群である。
乗法について、閉じている事は自明。
また、乗法単位元は|１である。
また、結合法則と分配法則は整数と同様に成り立つ事は自明。
以上より、ℤ₂は環である。
また、|０・|１＝|１・|０
|１・|１＝|１・|１，|０・|０＝|０・|０
より、可換である。
よって、ℤ₂は可換環である。
また、|０＝－|０，|１＝－|１より、「Ｒは可換となり、－ｘ＝ｘとなる」。
念のため、加法の可換は常識なので省略した。また、乗法の逆元は、|１の逆元は|１である。
つまり、ℤ₂は体である。

定義1.4
環Ｒの０_R以外の元がすべてＲにおいて可逆元であるとき、Ｒを斜体という。さらに、Ｒの乗法が可換であれば、Ｒを可換体または単に体という。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

ところで、

例２
環Ｒのすべての要素ｘが、ⅹ²＝ｘなる条件を満足するとき、Ｒは可換となり、－ｘ＝ｘとなることを示せ。

この条件を満たす環は全てℤ₂と同型のような気がするのだが、体限定なのだろうか。

おまけ：
「第五の五百歳のとき、悪鬼の身に入れる大僧等、国中に充満せん。そのときに智人一人出現せん。かの悪鬼の入れる大僧等、ときの王・臣・万民等を語らいて、悪口罵詈、杖木瓦礫、梵帝・日月・四天等に申しくだされ、その時天変地妖盛んなるべし。
　国主等、そのいさめを用いずば、鄰国に仰せつけて、彼々の国々の悪王・悪比丘等をせめらるるならば、前代未聞の大闘諍・一閻浮提に起るべし。
　そのとき、日月所照の四天下の一切衆生、あるいは国を惜しみ、あるいは身を惜しむゆえに、一切の仏菩薩に祈りをかくとも験なくば、かの憎みつる一の小僧を信じて、無量の大僧等・八方の大王等・一切の万民、みな頭を地につけ、掌を合わせて一同に南無妙法蓮華経と唱うべし。例せば神力品の十神力のとき、十方世界の一切衆生、一人もなく娑婆世界に向って大音声を発ちて、南無釈迦牟尼仏・南無釈迦牟尼仏と一同に叫びしがごとし。」
「日蓮の予言」アポカリプス２１研究会著より
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12881258814.html

問題
天井に光源Ｐがあり、図のように半径１の球Ｑの影がうつっている。光源の中心と球の中心は床に垂直な直線上に並んでいる。ＰＱ＝３，ＱＲ＝６のとき、次の問いに答えなさい。ただし、Ｒは影の円の中心である。
（１）影の円の半径を求めなさい。
（２）球の真下の床に、立方体を底面が接するように置く。このとき光源からの光が当たらないように影の内部に置ける立方体で最も大きいものの体積を求めなさい。
（０１　沖縄尚学）

図は、上の添付ファイルを参照して下さい。

模範解答
（１）円錐をＰＲを含む平面で切ると、右図（注：添付ファイルの図１）のようになる。
△ＰＱＳ∽△ＰＴＲで、相似比は、
ＰＳ：ＰＲ＝√(３²－１²)：９＝２√２：９
∴ＴＲ＝ＱＳ×(９/２√２)＝９√２/４･･･①
（２）求める最大の立方体は、その上底面を含む平面で切るときに、円錐の切り口の円が上底面の正方形の外接円になるようなものである。
ここで、上底面の対角線（の１つ）ＡＢとＰＲを含む平面による切り口は、立方体の一辺の長さをｘとすると、右図（注：添付ファイルの図２）のようになる。
ＴＲの長さについて、
ｘ×(１/２√２)＋√２ｘ/２＝①
∴ｘ＋２ｘ＝９　∴ｘ＝３
よって、求める体積は、３³＝２７
➡注　このとき、立方体は球にぶつかりません。
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞求める最大の立方体は、その上底面を含む平面で切るときに、円錐の切り口の円が上底面の正方形の外接円になるようなものである。

要は、立方体が円錐に接する時である。

＞ＴＲの長さについて、
ｘ×(１/２√２)＋√２ｘ/２＝①

私は、ＡＢとＰＲの交点をＨとして、△ＰＡＨ∽△ＰＴＲで求めた。
９：９√２/４＝９－ｘ：√２ｘ/２
∴９√２ｘ/２＝９√２(９－ｘ)/４
∴２ｘ＝９－ｘ　∴３ｘ＝９　∴ｘ＝３

＞➡注　このとき、立方体は球にぶつかりません。

なかなかうっかりポイントだよね。
ｘ＝３＜６－１＝５よりＯＫ。

おまけ：

解説
＞例１
位数ｎの巡回加群Ｃnの自己準同型環をもとめよ。
解
Ｃnの生成元をａとする。ａをｍａに写す準同型をα_mとする。

昨日の「因みに、「加群M（もちろん可換である）をMの中に同型に写す写像をαとする」は、準同型の誤植のような気もするのだが、この手のものは素人には判断しかねるので、
「本書は、１９７２年５月３０日、筑摩書房より「数学講座」第１０巻として刊行された。文庫化に当たり旧数学用語を改め、誤植を訂正した。」
を信じてそのままにした。ただし、結構誤植ありますが。」
は、やはり誤植でしたね。例１で「ａをｍａに写す準同型をα_m」とありますからね。（同型限定ではないと思っていましたが。）

＞α_m(ａ)＝ｍａ
準同型の定義によって
α_m(ｋａ)＝α_m(ａ＋…＋ａ)＝α_m(ａ)＋…＋α_m(ａ)＝ｍｋａ

α_mはＣnの任意の元を同じ法則で写像するという確認。

＞(α_l＋α_m)(ａ)＝ｌａ＋ｍａ＝(ｌ＋ｍ)ａ
＝α_l+m(ａ)

写像の加法を(α_l＋α_m)(ａ)＝α_l(ａ)＋α_m(ａ)とすると、
(α_l＋α_m)(ａ)＝α_l(ａ)＋α_m(ａ)
＝ｌａ＋ｍａ＝(ｌ＋ｍ)ａ＝α_l+m(ａ)
という事。

＞α_lα_m(ａ)＝α_l(α_m(ａ))＝ｌｍａ＝α_lm(ａ)

写像の乗法をα_lα_m(ａ)＝α_l(α_m(ａ))とすると、
α_lα_m(ａ)＝α_l(α_m(ａ))
＝α_l(ｍａ)＝ｌ・ｍａ＝(ｌｍ)ａ
＝α_lm(ａ)

＞したがってα_mの全体は整数の環で、その倍数を０としたときの環と同型である。

上の２つから写像の加法と乗法で準同型が確認出来たので、α_mという写像の集合は加法と乗法について閉じている。
また、α_m(ａ)＝ｍａ（α_m(ｋａ)＝ｍｋａ）の右辺ｍから「α_mの全体は整数」の集合である事が分かるので、加法単位元，逆元，結合律，乗法の単位元，乗法の結合律，分配法則を満たすので環である。
また、「位数ｎの巡回加群Ｃn」より位数がｎなのでｎａ＝０である。
よって、α_m(ｎａ)＝α_m(０)＝ｍ・０＝０･･･①
また、α_m(ｎａ)＝α_m(ａ＋…＋ａ)
＝α_m(ａ)＋…＋α_m(ａ)
＝ｎα_m(ａ)＝ｎ・ｍａ＝ｍ・ｎａ
＝ｍα_n(ａ)･･････②
①，②より、ｍα_n(ａ)＝０
∴α_n(ａ)＝０
∴α_n(ａ)＝ｎａ＝０
よって、ｎの倍数を０とした時の環と同型という事だろう。（でたらめだったらご免なさい。）

おまけ：

問題
工事現場に図１のようなＯＡ＝２５ｍ，ＯＣ＝２４ｍの直方体の形をした鉄骨の枠組みがあり、ＭはＯＡの中点である。この鉄骨の高さ３ｍの位置にＰ，高さ３.５ｍの位置にＱの２つのライトがあり、地面を照らしている。この工事現場に身長１.５ｍのＴ君が立っている。
（１）Ｔ君がＭの位置にいるとき、ＰのライトでできるＴ君の影の長さをｘｍ，ＱのライトでできるＴ君の影の長さをｙｍとする。ｘ：ｙを求めなさい。
（２）長方形ＯＡＢＣの内部で、Ｔ君がＡから２０ｍの地点に立ったとき、Ｐ，ＱのライトでできるＴ君の２つの影が等しくなった。このときのＴ君の位置を図２のような座標軸を考えることにより、座標で答えなさい。
（０２　帝塚山学院泉ヶ丘）

図は、上の添付ファイルを参照して下さい。

模範解答
（１）Ｔ君の頭頂をＴとすると、右図（注：添付ファイルの図１）のようになる。
このとき、斜線の三角形，網目の三角形同士の相似から、
ｘ：ＯＭ＝１.５：１.５
ｙ：ＭＡ＝１.５：２
ＯＭ＝ＭＡであるから、
ｘ：ｙ＝２：１.５＝４：３
（２）Ｔ君の立っている地点をＴ'，等しい影の長さをａ(ｍ)，ＯＴ'＝ｂ(ｍ)とすると、右図（注：添付ファイルの図２）のようになる。
すると、（１）と同様に、
ａ：２０＝１.５：２
ａ：ｂ＝１.５：１.５
∴ａ＝ｂ＝１５(ｍ)
よって、Ｔ'は右図（注：添付ファイルの図３）のような位置にあり、ここで、△ＯＡＴ'，△ＯＴ'Ｈの３辺比ともに３：４：５であるから、
ＯＨ＝１５×(３/５)＝９，Ｔ'Ｈ＝１５×(４/５)＝１２
∴Ｔ'(９，１２)
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説は、図を見ながら読めば分かるので省略。
次回、私の解法をやりますね。ただし、基本的には模範解答と同じですが。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12920461096.html

問題
工事現場に図１のようなＯＡ＝２５ｍ，ＯＣ＝２４ｍの直方体の形をした鉄骨の枠組みがあり、ＭはＯＡの中点である。この鉄骨の高さ３ｍの位置にＰ，高さ３.５ｍの位置にＱの２つのライトがあり、地面を照らしている。この工事現場に身長１.５ｍのＴ君が立っている。
（１）Ｔ君がＭの位置にいるとき、ＰのライトでできるＴ君の影の長さをｘｍ，ＱのライトでできるＴ君の影の長さをｙｍとする。ｘ：ｙを求めなさい。
（２）長方形ＯＡＢＣの内部で、Ｔ君がＡから２０ｍの地点に立ったとき、Ｐ，ＱのライトでできるＴ君の２つの影が等しくなった。このときのＴ君の位置を図２のような座標軸を考えることにより、座標で答えなさい。
（０２　帝塚山学院泉ヶ丘）

図は、一番上の添付ファイルを参照して下さい。

私の解法
（１）Ｔ君の頭頂をＴとすると、添付ファイルの図１のようになる。
ＰＴの延長が点Ａと一致すると気付かなくても、２つの直角三角形の相似を利用すると、
ｘ：ｘ＋１２.５＝１.５：３＝１：２
ｙ：ｙ＋１２.５＝１.５：３.５＝３：７
が成り立つ事が分かる。
∴２ｘ＝ｘ＋１２.５　∴ｘ＝１２.５
また、７ｙ＝３(ｙ＋１２.５)
∴４ｙ＝３７.５　∴ｙ＝３７.５/４
∴ｘ：ｙ＝１２.５：３７.５/４
＝４・１２.５：３７.５＝４：３
よって、答えは、４：３

（２）Ｑのライトの影の長さをａとする（添付ファイルの図２）と、
ａ：ａ＋２０＝１.５：３.５＝３：７
が成り立つ。
∴７ａ＝３(ａ＋２０)＝３ａ＋６０
∴４ａ＝６０　∴ａ＝１５
また、Ｔ君のＯからの距離をｂと置く（添付ファイルの図２）と、影の長さは条件よりａと等しく１５ｍなので、
１５：ｂ＋１５＝１.５：３＝１：２
が成り立つ。
∴ｂ＋１５＝３０　∴ｂ＝１５
よって、添付ファイルの図３のようになり、Ｔ'(ｘ,ｙ)とし、ＴからＯＡに垂線を下ろしその足をＨとする。
△Ｔ'ＯＨで三平方の定理を使うと、
ｘ²＋ｙ²＝１５²……①
また、△Ｔ'ＡＨで三平方の定理を使うと、
(２５－ｘ)²＋ｙ²＝２０²……②
①－②より、
５０ｘ－２５²＝１５²－２０²
∴５０ｘ＝２５²＋１５²－２０²
＝６２５＋２２５－４００＝４５０
∴ｘ＝９
これを①に代入すると、
ｙ²＝１５²－９²＝２２５－８１＝１４４
ｙ＞０より、ｙ＝１２
∴(ｘ,ｙ)＝(９,１２)
∴Ｔ'(９,１２)

おまけ：

解説
＞加群M（もちろん可換である）をMの中に同型に写す写像をαとする。

α：Ｍ→Ｍ（ｕ→α(ｕ)）
また、αは準同型写像かつ全単射である。
という事。（図4.5はない方が分かり易いかもしれない。）

＞αはMの要素ｕをαｕに写すものとして、Ｍの２つの要素に対して
α(ｕ＋ｖ)＝αｕ＋αｖ
なる条件を満足するαはＭの内部の準同型を与えている。

α(ｕ＋ｖ)＝αｕ＋αｖという約束を写像αに課すという事。

定義6.1
演算◦をもつ群(Ｇ,◦)と演算＊をもつ群(Ｇ',＊)に対して、ＧからＧ'への写像ｆ：Ｇ→Ｇ'が
∀ａ,ｂ∈Ｇ，ｆ(ａ◦ｂ)＝ｆ(ａ)＊ｆ(ｂ)
なる条件を満足しているとき、ｆをＧからＧ'への準同型写像という。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

つまり、α(ｕ＋ｖ)＝αｕ＋αｖは、このｆをαにして、◦と＊を共に＋にした状態であるという事。

＞加法は
　　　　　　　　(α＋β)ｕ＝αｕ＋βｕ
と定義する。
　このとき、
(α＋β)(ｕ＋ｖ)＝α(ｕ＋ｖ)＋β(ｕ＋ｖ)
　　　　　　　＝(αｕ＋αｖ)＋(βｕ＋βｖ)
　　　　　　　＝(α＋β)ｕ＋(α＋β)ｖ
したがってこのように定義されたα＋βはやはりＥ(Ｍ)に属する。

(α＋β)(ｕ＋ｖ)＝(α＋β)ｕ＋(α＋β)ｖより、写像α＋βも準同型写像なので、α＋β∈Ｅ(Ｍ)
つまり、α,β∈Ｅ(Ｍ)に対してα＋β∈Ｅ(Ｍ)なので、Ｅ(Ｍ)は加法について閉じているという事である。
念のため、「α(ｕ＋ｖ)＝αｕ＋αｖという約束を写像αに課」しているので、α∈Ｅ(Ｍ)

＞Ｅ(Ｍ)のなかにはすべてのｕを０に写すものφも含まれる。すなわち、
φ(ｕ＋ｖ)＝０，φ(ｕ)＝０，φ(ｖ)＝０だから
φ(ｕ＋ｖ)＝φ(ｕ)＋φ(ｖ)
が成立し、φはＥ(Ｍ)に含まれる。

いわゆる零写像である。そして、０なので、０＋０＝０より、φ(ｕ＋ｖ)＝φ(ｕ)＋φ(ｖ)が成り立つという事。よって、φも準同型写像なので、φ∈Ｅ(Ｍ)
念のため，このφは空集合ではない。

＞また
　　　　　　　(－α)(ｕ)＝－α(ｕ)
なる－αを考えると
　　　　　　　　　α＋(－α)＝０
となることは明らかである。

上から、
「加法は
　　　　　　　　(α＋β)ｕ＝αｕ＋βｕ
と定義する。」
このαを－αにしてβを０（零写像）にすると、
(－α＋０)ｕ＝－αｕ＋０ｕ
よって、(－α)ｕ＝－αｕとなる－αという写像を考えられる。（ｕに括弧を付けるか付けないかは加法と乗法の定義の時の違いである。）
あとは移項して消去律を使えば良い。（本では詳しく触れていないので、厳密性にはこだわらない。）

＞同じく
　　　　　　(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)
も明らかである。

一応、やっておく。
{(α＋β)＋γ}(ｕ)＝(α＋β)(ｕ)＋γ(ｕ)
＝α(ｕ)＋β(ｕ)＋γ(ｕ)
＝α(ｕ)＋(β(ｕ)＋γ(ｕ))
＝α(ｕ)＋(β＋γ)(ｕ)
＝{α＋(β＋γ)}(ｕ)
∴(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)

＞したがってＥ(Ｍ)はこのような加法については加群をなすことは明らかである。

上の「α＋φ＝α」で加法の単位元の存在。
上の「α＋(－α)＝０」で加法の逆元の存在。
上の「α＋βはやはりＥ(Ｍ)に属する」で加法について閉じている。
上の「(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)も明らかである」で加法の結合法則。
以上より、加法群をなすという事。

＞また
α(β＋γ)(ｕ)＝α(β(ｕ)＋γ(ｕ))
＝α(β(ｕ))＋α(γ(ｕ))
＝αβ(ｕ)＋αγ(ｕ)＝(αβ＋αγ)(ｕ)
したがって
　　　　　　α(β＋γ)＝αβ＋αγ
同様に
　　　　　　(β＋γ)α＝βα＋γα
も証明できる。

一応、(β＋γ)α＝βα＋γαもやっておくか。
{(β＋γ)α}(ｕ)＝(β＋γ)α(ｕ)
＝β(α(ｕ))＋γ(α(ｕ))
＝βα(ｕ)＋γα(ｕ)
＝(βα＋γα)(ｕ)
∴(β＋γ)α＝βα＋γα

＞したがってＥ(Ｍ)は環をつくる。このような環をＭの自己準同型環という。

環の定義
つぎのような２種類の結合＋，×をもつ集合Ｒを環と名づける。
１．＋については可換群をなす。すなわち、
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
(ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ)
単位元を０で表わす。すなわち、任意のａに対して
ａ＋０＝ａ
ａの逆元を－ａで表わす。
ａ＋(－ａ＝０
２．×については結合法則が成り立つ。
(ａｂ)ｃ＝ａ(ｂｃ)
３．＋と×のあいだには分配法則が成り立つ。
ａ(ｂ＋ｃ)＝ａｂ＋ａｃ
(ｂ＋ｃ)ａ＝ｂａ＋ｃａ
以上の条件を満足するＲを環という。
「代数的構造」遠山啓著より

上で全部示しているので、Ｅ(Ｍ)は環をなすという事である。
また、「加群MをMの中に同型に写す写像をα」と「このような準同型の全体をＥ(Ｍ)と」したので、「Ｍの自己準同型環」という事。

因みに、「加群M（もちろん可換である）をMの中に同型に写す写像をαとする」は、準同型の誤植のような気もするのだが、この手のものは素人には判断しかねるので、
「本書は、１９７２年５月３０日、筑摩書房より「数学講座」第１０巻として刊行された。文庫化に当たり旧数学用語を改め、誤植を訂正した。」
を信じてそのままにした。ただし、結構誤植ありますが。

おまけ：