数学

解説
＞Ｇの１つの要素ａiでｘａiに写す写像はＧの要素の番号の置換を引き起こす。

必ず置換になる理由は、次の定理による。

定理
Ｇが群であるとする。このとき、Ｇに属する任意の２つの元ａ,ｂに対して、
ａ◦ｘ＝ｂ，ｙ◦ａ＝ｂ
を満足するＧの元ｘおよびｙが存在し、しかも、唯一通りに定まる。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

つまり、Ｇ→Ｇへの写像で全単射になるという事である。つまり、置換となるという事。

＞この２つを引き続いて行なえば
ｘ→ｘａi → (ｘａi)ａk＝ｘ(ａiａk)
つまりａiａkによる写像と同じである。だからＧはｎ次の対称群の部分群と同型である。

例えば、４次対称群の部分群に、
(１ ２ ３ ４)，(２ ３ ４ １)，(３ ４ １ ２)，
(４ １ ２ ３)
という群がある。（本当は２段で表すが、書けないので変換後を１段で表す。）
一応、群をなす確認をすると、
(１ ２ ３ ４)は無変換（恒等変換）で単位元である。
(２ ３ ４ １)の逆元は、逆回転（逆に１つずらすという事）を考えて(４ １ ２ ３)である。（本当は２段で書いて実際に変換させて単位元になる確認をした方が良い。）
(３ ４ １ ２)の逆元は、(３ ４ １ ２)自身である。（５次対称群の部分群だったらだったら自分自身にはならない。偶数だから単位元を除くと奇数個になるから真ん中の逆元は自分自身になるという事。）
(４ １ ２ ３)の逆元は、同様に考えて(２ ３ ４ １)である。
閉じている事は、互いに位置をずらすだけだから自明だろう。
よって、上の４つの元の集合は群をなす。
ところで、
(２ ３ ４ １)(３ ４ １ ２)＝(４ １ ２ ３)
となる。つまり、(３ ４ １ ２)で２個ずらし(２ ３ ４ １)でさらに１個ずらすと３個ずれで(４ １ ２ ３)になるという訳である。（一応、２段の元で書いて写像的にも確認して下さい。）これはすべての元で成り立つ。
よって、「この２つを引き続いて行なえば
ｘ→ｘａi → (ｘａi)ａk＝ｘ(ａiａk)
つまりａiａkによる写像と同じである」
と同型という事である。
よって、「位数ｎの群はｎ次対称群Ｓnの部分群と同型である」。

おまけ：

問題
図のように、点Ｏを中心としＡＢを直径とする円と△ＣＡＯおよび△ＣＤＢがあって、∠ＤＣＢ＝２∠ＡＣＯ，△ＣＡＯ＝△ＣＤＢである。∠ＣＡＯと∠ＣＢＤの大きさをそれぞれ求めなさい。
（９８　慶應女子）

図の解説：円を描き中心をＯとする。水平に半径ＯＡ（Ａは左）を描きＡＯの延長上に点Ｂを取る（ただし、ＯＢは無線）。ここで、上半円ＡＢの中点より３０°ぐらい右に点Ｃを取り、下半円の中点より１５°ぐらい右に点Ｄがある図。

模範解答
△ＣＡＯ＝△ＣＯＢであるから、
△ＣＡＯ＝△ＣＤＢのとき、
△ＣＯＢ＝△ＣＤＢ　∴ＯＤ∥ＢＣ･･････①
また、∠ＣＡＯ＝ｘとおくと、与えられた条件から右図のようになり（注：①の平行線を引き、∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝●（ｘ），∠ＢＣＤ＝●●とした図）、さらに①およびＯＣ＝ＯＤより、
∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＣ＝∠ＤＣＢ＝２ｘ
すると、∠ＡＣＢの大きさについて、５ｘ＝９０°∴ｘ＝１８°
一方、∠ＣＤＢ＝∠ＣＡＢ＝ｘであるから、△ＣＤＢの内角の和を考えて、∠ＣＢＤ＝１８０°－３ｘ＝１８０°－３×１８°＝１２６°
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞△ＣＡＯ＝△ＣＯＢであるから、
△ＣＡＯ＝△ＣＤＢのとき、
△ＣＯＢ＝△ＣＤＢ　∴ＯＤ∥ＢＣ･･････①

半径より、ＯＡ＝ＯＢ　また、ＡＢは直径よりＡＯＢは一直線より、△ＣＡＯ＝△ＣＯＢ
また、条件より△ＣＡＯ＝△ＣＤＢ
よって、△ＣＯＢ＝△ＣＤＢ
よって、等積変形の逆を考えると、ＯＤ∥ＢＣ
（底辺ＢＣを共有していて面積が等しいので高さも等しいから、Ｏ，ＤからＢＣ（とその延長上）に垂線を下ろし、その足をＨ，Ｉとすると、ＯＨ＝ＤＩ，ＯＨ∥ＤＩとなり四角形ＯＨＩＤは平行四辺形（実際は長方形）になるので、ＯＤ∥ＢＣという事。）

＞また、∠ＣＡＯ＝ｘとおくと、与えられた条件から右図のようになり（注：①の平行線を引き、∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝●（ｘ），∠ＢＣＤ＝●●とした図）、さらに①およびＯＣ＝ＯＤより、
∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＣ＝∠ＤＣＢ＝２ｘ
すると、∠ＡＣＢの大きさについて、５ｘ＝９０°∴ｘ＝１８°

∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝●と置くと、条件より∠ＤＣＢ＝●●
よって、△ＯＣＤが二等辺三角形である事とＯＤ∥ＢＣの錯角より、
∠ＯＣＤ＝∠ＯＤＣ＝∠ＤＣＢ＝●●
よって、∠ＡＣＢ＝●＋●●＋●●＝●×５
ところで、ＡＢは直径より、∠ＡＣＢ＝９０°
よって、●×５＝９０°より、●＝１８°
よって、∠ＣＡＯ＝●＝１８°

＞一方、∠ＣＤＢ＝∠ＣＡＢ＝ｘであるから、△ＣＤＢの内角の和を考えて、∠ＣＢＤ＝１８０°－３ｘ＝１８０°－３×１８°＝１２６°

円周角より、∠ＣＤＢ＝∠ＣＡＢ＝●
よって、△ＣＤＢの内角の和より、
∠ＣＢＤ＝１８０°－●●●＝１２６°

おまけ：

問題
半径１の円に内接する正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪがある。
（１）ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²の値を求めなさい。
（２）この正十角形の１０個の頂点から異なる２点を選んで結び、線分を作る。そのような線分の長さの平方をすべて考えるとき、それらの平均の値を求めなさい。
（０１　開成）

模範解答
（１）ＡＢ＝ＩＪ，ＩＡ＝ＢＪであるから、
ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²
＝(ＩＪ²＋ＥＩ²)＋(ＢＥ²＋ＢＪ²)
＝ＥＪ²×２＝２²×２＝８
（２）ＡＢと同じ長さの線分は、１０本。
ＡＣ（＝ＩＡ）と同じ長さの線分は、ＡＣ，ＢＤ，･･･，ＩＡ，ＪＢの１０本。
ＡＤ（＝ＢＥ）と同じ長さの線分、ＡＥ（＝ＥＩ）と同じ長さの線分も、同様に１０本ずつある。
最後に、ＡＦ（＝２）と同じ長さの線分（直径）は５本あるから、求める値は、
(ＡＢ²×１０＋ＩＡ²×１０＋ＢＥ²×１０＋ＥＩ²×１０＋２²×５)/(１０＋１０＋１０＋１０＋５)
＝{(ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²)×１０＋２０}/４５･･････①
（１）より、
①＝(８×１０＋２０)/４５＝２０/９
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説は、読めば分かるので省略。（分かり易く知りたい人は、2024/12/17 16:36の投稿にあります。）
そこで、（１）の別解。
マニアックな定理（この参考書の初めの公式集には載っていないが、途中の問題の補足解説に出て来る）より、

定理
円の内部で直交する２弦を４つの線分に分け、ａ,ｂ,ｃ,ｄ，半径をＲとすると、
２Ｒ＝√(ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋ｄ²)
で求められる。

（１）の別解
ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²から四角形ＡＢＥＩに注目すると、ＡＥ⊥ＢＩ
よって、ＡＥとＢＩの交点をＰとすると、
２Ｒ＝√(ＡＰ²＋ＢＰ²＋ＥＰ²＋ＩＰ²)
＝√(ＡＢ²＋ＥＩ²）
∴４Ｒ²＝ＡＢ²＋ＥＩ²
これにＲ＝１を代入すると、
ＡＢ²＋ＥＩ²＝４･･････①
また、
２Ｒ＝√(ＡＰ²＋ＢＰ²＋ＥＰ²＋ＩＰ²)
＝√(ＡＰ²＋ＩＰ²＋ＢＰ²＋ＥＰ²）
＝√(ＡＩ²＋ＢＥ²)
∴４Ｒ²＝ＡＩ²＋ＢＥ²
∴ＩＡ²＋ＢＥ²＝４･･････②
①＋②より、
ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²＝８

因みに、上の定理に興味がある人は、2024/7/6 07:40の投稿の列で複数通りで証明しています。

おまけ：

＞これを今朝、チャチャっと考えてみたのですが、正三角形しか成り立たないのではないでしょうか。

失礼しました。ちゃんと考えたら正しかったです。証明は次回にしますね。因みに、検索はしていないので、既存のものかどうかは知りません。自分で作っていたとしたら凄いですよね。（本当に失礼しました。）

おまけ：

問題
△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をDEFとする。
△DEFの外心は、Ｉに一致する事を証明して下さい。
アイデア引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/2679

解答
点Ｉは内心より、∠ＩＢＡ＝∠ＩＢＣ＝○，∠ＩＣＡ＝∠ＩＣＢ＝×と置くと、３点Ｄ，Ｅ，ＦのＩに対する対称性より、
∠ＦＢＡ＝∠ＩＢＡ＝○，∠ＤＢＣ＝∠ＩＢＣ＝○となり、ＢＩは∠ＦＢＤの二等分線になる。（∠ＦＢＩ＝∠ＤＢＩ＝○○だから。）
同様に、ＣＩも∠ＤＣＥの二等分線になる。
また、先の対称性より、ＢＤ＝ＢＩ，ＢＦ＝ＢＩより、ＢＤ＝ＢＦ
よって、△ＢＤＦは二等辺三角形でＢＩは頂角∠ＦＢＤの二等分線より、ＢＩはＤＦの中点で直交している。･･････①
同様に、△ＣＤＥも二等辺三角形でＣＩは頂角∠ＤＣＥの二等分線より、ＣＩはＤＥの中点で直交している。･･････②
①，②より、点Ｉは△ＤＥＦの外心である。
よって、△ＤＥＦの外心は△ＡＢＣの内心Ｉと一致している。

次回はこちらをやりますね。

△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
No.2692　ks　5月28日 18:44

相変わらず、検索はしていないので確かな事は言えませんが、飛び飛びで投稿している所を見ると、自分で作っているのでしょうね。凄いですね。
証明は今回のと同じぐらい簡単です。（まぁ、受験勉強の暗記数学の人は解けないかもしれませんが。念のため、暗記数学を極める人はコンピューターと同じで最強でしょう。そんな人間は存在しないだろうが。）

おまけ：
「レリジョンという言葉は、その語義解釈によれば、キリスト教では「神と人間との再結合」という意味である。エデンの園において神との約束を破った人間は、神に背いたという原罪を持って生まれているが、神にその罪を懴悔することによって、再び神と結び付き救済されるという意味であり、「宗教とは人間と神（聖なるもの）との出会いである」などと説明されるのも、この語義解釈による理解をあらわしたものである。（中略）
　ところが、このレリジョンについては、キリスト教以前では、「再び観察すること」と語義解釈されている。そうであれば、宗教とは自らの人生を立ち止まってもう一度見直すことという意味となる」
引用元：https://www.otani.ac.jp/yomu_page/b_yougo/nab3mq0000000qb7.html

問題
△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する事を証明して下さい。
アイデア引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/2679

解答
点ＯのＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとし、ＯＤ，ＯＥ，ＯＦと各辺との交点をＰ，Ｑ，Ｒとすると、３点Ｐ，Ｑ，ＲはＯＤ，ＯＥ，ＯＦの中点で、ＯＤ⊥ＢＣ，ＯＥ⊥ＣＡ，ＯＦ⊥ＡＢである。
よって、△ＯＥＦでの中点連結定理より、
ＲＱ∥ＦＥ･･････①
また、点Ｏは△ＡＢＣの外心より、点Ｒ，Ｑはそれぞれ辺ＡＢ，ＡＣの中点。（ＯＦ⊥ＡＢよりＯＲ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣよりＯＱ⊥ＡＣだから。）
よって、△ＡＢＣでの中点連結定理より、
ＲＱ∥ＢＣ･･････②
①，②より、ＦＥ∥ＢＣ
また、ＯＤ⊥ＢＣより、ＯＤ⊥ＦＥとなる。
∴ＤＯ⊥ＥＦ
（鋭角）三角形の対称性より、同様に、
ＥＯ⊥ＦＤ，ＦＯ⊥ＤＥとなる。
よって、点Ｏは△ＤＥＦの垂心である。

次回はこちら。

△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）
No.2695　ks　5月29日 21:10

しかし、よくポンポンと作れますね。尊敬します。因みに、証明は簡単なので、中３数学が分かる人は挑戦して下さい。

おまけ：
https://x.com/satndRvjMpc4tl7/status/1928082494420648160

追加
逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）
No.2696　ｋｓ　今日 11:19
引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/2679

明日の朝は、２題やりますね。

問題
△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する事を証明して下さい。

問題
△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点をそれぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致する事を証明して下さい。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12864790211.html

問題
△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する事を証明して下さい。
アイデア引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/2679

解答
円周角より、∠ＢＡＤ＝∠ＢＥＤ＝○･･････①と置く。
また、ＤＨ，ＥＨ，ＦＨと各辺との交点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとすると、ＡＰ⊥ＢＣ，ＢＱ⊥ＣＡ，ＣＲ⊥ＡＢ
よって、△ＡＢＰと△ＣＢＲにおいて直角が等しく、∠Ｂを共有しているので、残りの１角も等しい。よって、∠ＢＡＰ＝∠ＢＣＲ＝○
よって、∠ＢＣＦ＝○で円周角より、
∠ＢＥＦ＝∠ＢＣＦ＝○･･････②
①，②より、∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＝○
よって、ＢＥは∠ＤＥＦの二等分線。
（鋭角）三角形の対称性より、同様に、ＣＦ，ＡＤはそれぞれ∠ＥＦＤ，∠ＦＤＥの二等分線になる。よって、点Ｈは△ＤＥＦの内心である。
よって、△ＡＢＣの垂心と△ＤＥＦの内心は一致している。

問題
△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点をそれぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致する事を証明して下さい。

逆だから当然成り立つのですが、この問題だけ出された時の最適解（法）を示しておきますね。

解答
点Ｉは内心より、∠ＩＡＢ＝∠ＩＡＣ＝○，∠ＩＢＡ＝∠ＩＢＣ＝×，∠ＩＣＢ＝∠ＩＣＡ＝●と置くと、円周角より∠ＢＥＤ＝∠ＢＡＤ＝○
∴∠ＩＥＤ＝○･･････①
また、∠ＤＦＣ＝∠ＤＡＣ＝○
∴∠ＩＦＤ＝○･･････②
①，②より、∠ＩＥＤ＝∠ＩＦＤ＝○
（鋭角）三角形の対称性より、同様に、
∠ＩＤＦ＝∠ＩＥＦ＝●
∠ＩＤＥ＝∠ＩＦＥ＝×
となる。
ここで、ＡＩとＥＦの交点をＰとすると、
∠ＤＰＦ＝１８０°－∠ＰＤＦ－∠ＰＦＤ
＝１８０°－●－(○＋×)
＝１８０°－(○＋×＋●)･･････☆
ところで、△ＡＢＣの内角の和より、
○○＋××＋●●＝１８０°
∴○＋×＋●＝９０°
これを☆に代入すると、
∠ＰＤＦ＝１８０°－９０°＝９０°
∴ＤＰ⊥ＥＦ　∴ＤＡ⊥ＥＦ
（鋭角）三角形の対称性より、同様に、
ＥＢ⊥ＦＤ，ＦＣ⊥ＤＥ
よって、点Ｉは△ＤＥＦの垂心である。
よって、△ＡＢＣの内心と△ＤＥＦの垂心は一致している。

おまけ：

解説
＞まずＤ₄のすべての部分群を列挙してみよう。
Ｄ₄＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³,ｂ,ａｂ,ａ²ｂ,ａ³ｂ}
（ａ⁴＝ｅ，ｂ²＝ｅ，ｂａｂ^-1＝ａ^-1）

p.83に、
「この群をＤ₄で表わす。それは正方形をその上に重ねる操作（裏返しを含む）と言う意味である」
とあるので、ａを左９０°回転とすると、ａ²で１８０°，ａ³で２７０°，ａ⁴で元に戻るので、ａ⁴＝ｅである。また、ｂを裏返しとすると、ｂ，ａｂ，ａ²ｂ，ａ³ｂはそれぞれ裏返して０°，９０°，１８０°，２７０°回転なので、これで全てで４×２＝８通りという事である。
ａ⁴＝ｅは上で書いた通りで、ｂ²＝ｅは２回裏返すと元に戻るという事。
また、ｂａｂ^-1＝ａ^-1は、裏返して９０°回転させてさらに裏返すと、元の状態から逆９０°回転になるという事。実際に示すと、
正方形の４隅を１,２,３,４と振り、
１　４　　　４　１　　　　　　　１　２
２　３　→　３　２（裏返し）→　４　３（左９０°回転）→
２　１
３　４（裏返し）
これは右９０°回転なので、ａ^-1である。
よって、ｂａｂ^-1＝ａ^-1が成り立つ。

＞Ｄ₄自身の他に次のものがある。
ｇ₁＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³}，ｇ₂＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}，
ｇ₃＝{ｅ,ａ²,ｂ,ａ²ｂ}，ｇ₄＝{ｅ,ａ²}，
ｇ₅＝{ｅ,ｂ}，ｇ₆＝{ｅ,ａ²ｂ}，ｇ₇＝{ｅ}

部分群であるが、群には単位元と逆元と演算について閉じているという性質がなければならない。
そこで、ｇ₂を調べてみよう。
まず、単位元ｅは存在している。
次に、ａ²の逆元はａ²自身である。その理由は、ａ²・ａ²＝ａ⁴＝ｅだからである。
また、ａｂの逆元もａｂ自身である。その理由は、ａｂ・ａｂ＝ａ(ｂａ)ｂ＝ａ(ａ^-1ｂ)ｂ（ｂａｂ^-1＝ａ^-1よりｂａ＝ａ^-1ｂだから）
＝(ａａ^-1)ｂ²＝ｅ・ｅ＝ｅだからである。
残りのａ³ｂの逆元もａ³ｂ自身である。
ａ³ｂ・ａ³ｂ＝ａ³(ｂａ)ａ²ｂ＝ａ³(ａ^-1ｂ)ａ²ｂ=ａ²(ｂａ)ａｂ＝ａ²(ａ^-1ｂ)ａｂ＝ａｂａｂ＝ａ(ｂａ)ｂ＝ａ(ａ^-1ｂ)ｂ＝(ａａ^-1)ｂ²＝ｅ・ｅ＝ｅだからである。
また、演算について閉じている事は、
ａ²・ａｂ＝ａ³ｂ∈ｇ₂
ａ²・ａ³ｂ＝ａ⁵ｂ＝ａｂ∈ｇ₂
ａｂ・ａ³ｂ＝ａ(ｂａ)ａ²ｂ＝ａ(ａ^-1ｂ)ａ²ｂ＝ｅ(ｂａ)ａｂ＝(ａ^-1ｂ)ａｂ＝ａ^-1(ｂａ)ｂ＝ａ^-1(ａ^-1ｂ)ｂ＝ａ^-2ｂ²＝ａ²・ｅ＝ａ²∈ｇ₂
ａｂ・ａ²＝ａ(ｂａ)ａ＝ａ(ａ^-1ｂ)ａ＝ｅ・ｂａ＝ｂａ＝ａ^-1ｂ＝ａ³ｂ∈ｇ₂
ａ³ｂ・ａ²＝ａ³(ｂａ)ａ＝ａ³(ａ^-1ｂ)ａ＝ａ²(ｂａ)＝ａ²(ａ^-1ｂ)＝ａｂ∈ｇ₂
ａ³ｂ・ａｂ＝ａ³(ｂａ)ｂ＝ａ³(ａ^-1ｂ)ｂ＝ａ²ｂ²＝ａ²・ｅ＝ａ²∈ｇ₂
ａ²・ａ²＝ａ⁴＝ｅ∈ｇ₂
ａｂ・ａｂ＝ａ(ｂａ)ｂ＝ａ(ａ^-1ｂ)ｂ＝ｅ・ｂ²＝ｅ∈ｇ₂
ａ³ｂ・ａ³ｂ＝ａ³(ｂａ)ａ²ｂ＝ａ³(ａ^-1ｂ)ａ²ｂ＝ａ²(ｂａ)ａｂ＝ａ²(ａ^-1ｂ)ａｂ＝ａｂａｂ＝ａ(ｂａ)ｂ＝ａ(ａ^-1ｂ)ｂ＝ｅ・ｂ²＝ｅ∈ｇ₂
よって、ｇ₂は演算について閉じている。（単位元との関係は自明なので省略した。）

他の部分群は省略で、続きは次回。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/b8528fa58bb2b00a7a3e68ffd88c5cf5513614f5

解説の続き

例 13
Ｄ₄のなかの正規部分群をえらび出せ。
解　まずＤ₄のすべての部分群を列挙してみよう。
Ｄ₄＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³,ｂ,ａｂ,ａ²ｂ,ａ³ｂ}
（ａ⁴＝ｅ，ｂ²＝ｅ，ｂａｂ^-1＝ａ^-1）
という形になるから、Ｄ₄自身の他に次のものがある。
ｇ₁＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³}，ｇ₂＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}，
ｇ₃＝{ｅ,ａ²,ｂ,ａ²ｂ}，ｇ₄＝{ｅ,ａ²}，
ｇ₅＝{ｅ,ｂ}，ｇ₆＝{ｅ,ａ²ｂ}，ｇ₇＝{ｅ}
まずｇ₁をしらべてみよう。
　Ｇのｇ₁による剰余類の代表は(ｅ,ｂ)である。このｅとｂでｘ^-1Ｈｘをつくると、
ｅ^-1ｇ₁ｅ＝{ｅ^-1ｅｅ,ｅ^-1ａｅ,ｅ^-1ａ²ｅ,
ｅ^-1ａ³ｅ}＝{ｅａ,ａ²,ａ³}＝ｇ₁
ｂ^-1ｇ₁ｂ＝{ｂ^-1ｅｂ,ｂ^-1ａｂ,ｂ^-1ａ²ｂ,
ｂ^-1ａ³ｂ}＝{ｅａ,ａ²,ａ³}＝ｇ₁
したがって正規部分群である。
　ｇ₂の場合は、その剰余類の代表は(ｅ,ａ)である。
ｅ^-1ｇ₂ｅ＝ｇ₂
ａ^-1ｇ₂ａ＝{ａ^-1ｅａ,ａ^-1ａ²ａ,ａ^-1ａｂａ,
ａ^-1ａ³ｂａ}＝{ｅ,ａ²,ａ^-1ｂ,ａｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａ³ｂ,ａｂ}＝ｇ₂
ｇ₂は正規部分群である。
（中略）
結局Ｄ₄の正規部分群は
Ｄ₄自身
{ｅ,ａ,ａ²,ａ³}
{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}
{ｅ,ａ²,ｂ,ａ²ｂ}
{ｅ,ａ²}
{ｅ}
である。
「代数的構造」遠山啓著より

＞Ｇのｇ₁による剰余類の代表は(ｅ,ｂ)である。

これは同値類による類別という奴である。
Ｇ＝Ｄ₄＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³,ｂ,ａｂ,ａ²ｂ,ａ³ｂ}
Ｇ＝ｅｇ₁∪ｂｇ₁（部分群ｇ₁で類別）
ここで、ｅｇ₁＝ｇ₁は自明なので、ｂｇ₁を調べると、
ｂｇ₁＝ｂ{ｅ,ａ,ａ²,ａ³}
＝{ｂｅ,ｂａ,ｂａ²,ｂａ³}
＝{ｂ,ｂａ,ｂａ²,ｂａ³}
∴ｅｇ₁∪ｂｇ₁＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³}∪{ｂ,ｂａ,ｂａ²,ｂａ³}＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³,ｂ,ａｂ,ａ²ｂ,ａ³ｂ}＝Ｄ₄＝Ｇ
よって、Ｇ＝ｅｇ₁∪ｂｇ₁となっていてＯＫ。

＞Ｇのｇ₁による剰余類の代表は(ｅ,ｂ)である。このｅとｂでｘ^-1Ｈｘをつくると、
ｅ^-1ｇ₁ｅ＝{ｅ^-1ｅｅ,ｅ^-1ａｅ,ｅ^-1ａ²ｅ,
ｅ^-1ａ³ｅ}＝{ｅａ,ａ²,ａ³}＝ｇ₁
ｂ^-1ｇ₁ｂ＝{ｂ^-1ｅｂ,ｂ^-1ａｂ,ｂ^-1ａ²ｂ,
ｂ^-1ａ³ｂ}＝{ｅａ,ａ²,ａ³}＝ｇ₁
したがって正規部分群である。

要は、ｇ₁が正規部分群である事の証明をしている訳だが、Ｇ（Ｄ₄）の全ての元で示さなければいけないと思っていたが、完全代表系の元だけで良いようである。残念ながら、これは「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著や「すぐわかる代数」石村園子著には載っていないと思う。
ただし、後者には、

定理3.8.3
剰余類全体{Ｈ,Ｈg₁,Ｈg₂,…}は演算
Ｈg₁・Ｈg₂＝Ｈg₁g₂
により群をなす。

この証明で、「Ｈg₁・Ｈg₂＝Ｈg₁g₂で定義された演算の結果が代表元ｇ₁,ｇ₂のとり方によらず類によって決まることを示しておこう」とあるので、上の証明も全ての元でやらずに（同値類の）代表元だけでやれば十分なような気はする。念のため、意味合いが違う事は分かっているが。

＞ｇ₂の場合は、その剰余類の代表は(ｅ,ａ)である。
ｅ^-1ｇ₂ｅ＝ｇ₂
ａ^-1ｇ₂ａ＝{ａ^-1ｅａ,ａ^-1ａ²ａ,ａ^-1ａｂａ,
ａ^-1ａ³ｂａ}＝{ｅ,ａ²,ａ^-1ｂ,ａｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａ³ｂ,ａｂ}＝ｇ₂
ｇ₂は正規部分群である。

ｇ₂＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}
これも部分群ｇ₂で類別すると、
Ｇ＝ｅｇ₂∪ａｇ₂
＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}∪ａ{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}∪{ａ,ａ³,ａ²ｂ,ａ⁴ｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}∪{ａ,ａ³,ａ²ｂ,ｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ,ａ,ａ³,ａ²ｂ,ｂ}
＝{ｅ,ａ,ａ²,ａ³,ｂ,ａｂ,ａ²ｂ,ａ³ｂ}＝Ｄ₄＝Ｇ
よって、ＯＫ。
また、ａ^-1ｇ₂ａ＝{ａ^-1ｅａ,ａ^-1ａ²ａ,ａ^-1ａｂａ,ａ^-1ａ³ｂａ}
＝{ｅ,ａ²,ｂａ,ａ²ｂａ}
ここで、ｂａｂ^-1＝ａ^-1より、ｂａ＝ａ^-1ｂを使うと、
＝{ｅ,ａ²,ａ^-1ｂ,ａ²・ａ^-1ｂ}
＝{ｅ,ａ²,ａ³ｂ,ａｂ}（ａ⁴＝ｅより）
＝{ｅ,ａ²,ａｂ,ａ³ｂ}＝ｇ₂
よって、ａ^-1ｇ₂ａ＝ｇ₂が成り立つ。

一応、正規部分群の定義を挙げておこう。

定義5.1
Ｇのすべての元ａに対しａＨ＝Ｈａとなるとき、あるいは、いいかえるとＧのすべての元ａに対しａＨａ^-1＝Ｈとなるとき、ＨをＧの正規部分群または不変部分群といい、Ｈ⊴Ｇで表す。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著

定理3.8.2
部分群ＨがＧの正規部分群
⇔(NS)Ｇ∋∀ｇ，Ｈ∋∀ｈに対してｇ^-1ｈｇ∈Ｈ
（「NS」はnormal subgroupより）
「すぐわかる代数」石村園子著

補足
「(NS)は正規部分群であるための必要十分条件です」
「すぐわかる代数」石村園子著

おまけ：

解説
＞２つの群Ｇ,Ｇ'があり、ＧからＧ'への写像φ(ａ)＝ａ'があるものとする。
＞φ(ａｂ)＝ａ'ｂ'＝φ(ａ)φ(ｂ)

つまり、ある写像φがφ(ａｂ)＝φ(ａ)φ(ｂ)という性質を持っていれば、φは準同型写像という事。

＞因みに、実例では、
ａ^(x₁+x₂)＝ａ^x₁・ａ^x₂＝ｘ₁'・ⅹ₂'
つまり、φ(ｘ₁＋ｘ₂)＝φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)の例だし、初学者には無理がありますね。

因みに、φ(ａｂ)＝φ(ａ)φ(ｂ)
この定義は、φ(ａ◦ｂ)＝φ(ａ)＊φ(ｂ)と書くのが厳密で、Ｇ（写像元）での演算◦とＧ'（写像先）での演算が異なっていても良いという事である。

定義6.1
演算◦をもつ群(Ｇ,◦)と演算＊をもつ群(Ｇ',＊)に対して、ＧからＧ'への写像ｆ：Ｇ→Ｇ'が
∀ａ,ｂ∈Ｇ，ｆ(ａ◦ｂ)＝ｆ(ａ)＊ｆ(ｂ)
なる条件を満足しているとき、ｆをＧからＧ'への準同型写像という。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

念のため、著者は定義を述べた訳じゃなく、関係が保存されるという事が言いたかったから、より具体的な表現にしたのだろう。

＞準同型Ｇ→Ｇ'があったとき、Ｇ'の単位元ｅ'に対応するＧの要素の全体をＨとしよう。
Ｈ→ｅ'，Ｈ⊆Ｇ
　ところでこのＨはＧのなかでどのような性質をもっているだろうか。
ｈ₁∈Ｈ
ｈ₂∈Ｈ
であるとき、φ(ｈ₁)＝ｅ'，φ(ｈ₂)＝ｅ'となる。
φ(ｈ₁ｈ₂)＝φ(ｈ₁)φ(ｈ₂)＝ｅ'・ｅ'＝ｅ'
φ(ｈ₁^-1)＝φ(ｈ₁)^-1＝ｅ'^-1＝ｅ'
したがってｈ₁ｈ₂はＨに属する。またｈ₁^-1もＨに属する。つまりＨはＧの部分群である。

p.71に、
§２　群の定義
以上の準備をした上で群の厳密な定義をしておこう。
（１）集合Ｇ＝{ａ₁,ａ₂,…,ａn,…}は有限もしくは無限の集合でその上に２変数の関数φ(ａ,ｂ)＝ｃが定義され、その値は常にＧに属する。このφ(ａ,ｂ)＝ｃをａｂ＝ｃで表わす。
（２）任意の３要素ａ,ｂ,ｃに対して結合法則が成立する。
(ａｂ)ｃ＝ａ(ｂｃ)
（３）Ｇはａｅ＝ｅａ＝ａなる要素ｅを含む。
このようなｅを単位元という。
（４）Ｇの任意の要素ａに対して、ａａ^-1＝ｅとなるようなａ^-1がＧに含まれる。ａ^-1をａの逆元という。
以上４つの条件を満たす集合Ｇを群という。
「代数的構造」遠山啓著より

とあり、「したがってｈ₁ｈ₂はＨに属する。またｈ₁^-1もＨに属する」から（１）と（４）は満たしているが、（２）と（３）は満たしていない。まぁ、（２）は昨日も解説したので、今回は（３）を示そう。
ｅを単位元とすると、ｅ＝ｅ・e
この両辺にφを施すと、
φ(ｅ)＝φ(ｅ・ｅ)＝φ(ｅ)φ(ｅ)（φは準同型写像だから。）
∴φ(ｅ)＝φ(ｅ)φ(ｅ)
ところで、φ(ｅ)はＧ'の元でＧ'は群なので逆元が存在している。その逆元φ^-1(ｅ)を上の等式の両辺に左から掛けると、
φ^-1(ｅ)φ(ｅ)＝φ(ｅ)^-1(φ(ｅ)φ(ｅ))
＝(φ(ｅ)^-1φ(ｅ))φ(ｅ)
＝ｅ'φ(ｅ)
∴ｅ'＝ｅ'φ(ｅ)
∴φ(ｅ)＝ｅ'
よって、ｅはＨに属する。（念のため、「Ｇ'の単位元ｅ'に対応するＧの要素の全体をＨとしよう。
Ｈ→ｅ'，Ｈ⊆Ｇ」だから。）
よって、（１）～（４）を満たし、ＨはＧの部分集合より、「ＨはＧの部分群である」という事。

＞だがＨは単なる部分群ではなく、そのほかにつぎのような著しい性質をもつ。
　Ｇ'の同じ要素ａi'に写されるＧの要素の全体をＬとしよう。このときＬの２つの要素ａ₁,ａ₂は
φ(ａ₁)＝φ(ａ₂)＝ａi'
であり、
φ(ａ₁ａ₂^-1)＝φ(ａ₁)φ(ａ₂^-1)
＝φ(ａ₁)φ(ａ₂)^-1＝ａi'ａi'^-1＝ｅ'
となるからＨの定義によってａ₁ａ₂^-1はＨに属する。　
ａ₁ａ₂^-1∈Ｈ
　したがってａ₁はＨａ₂に属する。逆にＨａ₂はすべてａi'に写されるからＬと一致する。

ａ₁ａ₂^-1∈Ｈの両辺に右からａ₂を掛けると、
(ａ₁ａ₂^-1)ａ₂∈Ｈａ₂
（こんな集合に等式のように両辺に同じものを掛けてもいいの？と思う人は、具体的にＨの元をｈとして、(ａ₁ａ₂^-1)ａ₂＝ｈａ₂として同じ事をすれば納得出来るだろう。）
∴ａ₁(ａ₂^-1ａ₂)∈Ｈａ₂
∴ａ₁ｅ∈Ｈａ₂　∴ａ₁∈Ｈａ₂
よって、「ａ₁はＨａ₂に属する」という事。
また、φ(Ｈａ₂)＝φ(Ｈ)φ(ａ₂)＝ｅ'ａi'＝ａi'（念のため、「Ｈ→ｅ'，Ｈ⊆Ｇ」と「φ(ａ₁)＝φ(ａ₂)＝ａi'」から。）
よって、「逆にＨａ₂はすべてａi'に写される」という事。

＞したがってａ₁はＨａ₂に属する。逆にＨａ₂はすべてａi'に写されるからＬと一致する。

ａ₁はＬの任意の要素で、
ａ₁∈Ｌならばａ₁∈Ｈａ₂
より、Ｌ⊂Ｈａ₂･･････①
また、「Ｈａ₂はすべてａi'に写される」から、
Ｈａ₂⊂Ｌ･･････②
（念のため、「Ｇ'の同じ要素ａi'に写されるＧの要素の全体をＬ」より。）
①，②より、Ｈａ₂＝Ｌ
よって、「Ｈａ₂はＬと一致する」という事。

＞したがって　Ｈａ₂＝ａ₂Ｈ
これを少し変形してみると、
ａ₂^-1Ｈａ₂＝Ｈ
　ここでａ₂はＧの任意の要素にとってもよい。
　つまりＧをＨによって剰余類に分けてみると、その左剰余類と右剰余類は一致する。このような部分群Ｈを正規部分群という。

ところで、初めに「準同型Ｇ→Ｇ'があったとき、Ｇ'の単位元ｅ'に対応するＧの要素の全体をＨとしよう」とあり、Ｈａ₂＝ａ₂Ｈが示され、「このような部分群Ｈを正規部分群という」とあるので、結局、kerｆは正規部分群であるという事の証明をした訳である。

定理6.3
ｆをＧからＧ'への準同型写像とすると、Ｇの部分集合
kerｆ＝{ａ∈Ｇ｜ｆ(ａ)＝ｅ'}
はＧの正規部分群になる。ただし、ｅ'はＧ'の単位元とする。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

因みに、この本、ヤフー知恵袋で高校生が群論を勉強したいので、お薦め本を教えて下さいというので、知って買ったんだけど、初学者には難しいよね。まぁ、お薦めした人も雰囲気を教えたかったのかもしれないが。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1432821259（ここには載っていない。）

おまけ：

問題
右図のように、２つの合同な正方形が重なっている。点Ａ，Ｄは正方形の頂点、点Ｂ，Ｃ，Ｅは２辺の交点で、ＡＢ＝３，ＣＤ＝６，ＤＥ＝８とする。
（１）ＣＥの長さを求めなさい。
（２）正方形の１辺の長さを求めなさい。
（０４　日大習志野）

図は上の添付ファイルを見て下さい。

模範解答
（１）ＣＥ＝√(６²＋８²)＝１０
（２）図２のように、正方形の頂点Ｇ（注：下の正方形の右下の頂点）を通りＣＥに平行な直線ｌを引き、Ｂ，Ｅからｌに下ろした垂線の足をＨ，Ｉとする。
ここで、ｌ∥ＣＥ、△＝○（注：∠ＢＧＩ＝▲，∠ＥＧＩ＝△，∠ＤＣＥ＝●，∠ＤＥＣ＝○と置く）
また、▲＝９０°－△＝９０°－○＝●
よって、二角相等で、網目の３つの三角形（注：△ＣＤＥと△ＥＩＧと△ＧＩＢ）は相似であり、これらの３辺比は、３：４：５である。
したがって、正方形の１辺の長さをｘとすると、
ＢＨ＝ＢＧ×(４/５)＝(ｘ－３)×(４/５)，
ＩＥ＝ＧＥ×(３/５)＝(ｘ－８)×(３/５)
∴(４/５)(ｘ－３)＋(３/５)(ｘ－８)＝ｘ
∴ｘ＝１８
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
参考書の補足解説に、
「与えられた条件によると、図１の太実線の辺が乗る直線は決まりますが、太破線の方は決まりません。そこで、太破線を消して考えてみます。」
とあるので、まず、これを解説する。
上の正方形を乗せた事によって３点Ｂ，Ｃ，Ｅが決まるが、これは上の正方形の上下の２線分（２辺）だけで決まる事なので、左右の２線分は取り除いて考えた方が見え易いという事。（図２はそういう図。）

＞ここで、ｌ∥ＣＥ、△＝○（注：∠ＢＧＩ＝▲，∠ＥＧＩ＝△，∠ＤＣＥ＝●，∠ＤＥＣ＝○と置く）
また、▲＝９０°－△＝９０°－○＝●
よって、二角相等で、網目の３つの三角形（注：△ＣＤＥと△ＥＩＧと△ＧＨＢ）は相似であり、

Ｇ（下の正方形の右下の頂点）からＣＥと平行な直線を引き、Ｂ，Ｅからその直線に垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとした時点で（私の）定石で△ＢＨＧ∽△ＧＩＥであり、また、△ＧＩＥ∽△ＥＤＣは自明である。つまり、網目の３つの三角形は相似であるという事。

私の定石
直角を適当に２つに分けている角を含むそれぞれの直角三角形は相似である。

＞したがって、正方形の１辺の長さをｘとすると、
ＢＨ＝ＢＧ×(４/５)＝(ｘ－３)×(４/５)，
ＩＥ＝ＧＥ×(３/５)＝(ｘ－８)×(３/５)
∴(４/５)(ｘ－３)＋(３/５)(ｘ－８)＝ｘ
∴ｘ＝１８

ＢＨ＋ＥＩは消した正方形の左右の辺と同じ長さなので、(４/５)(ｘ－３)＋(３/５)(ｘ－８)＝ｘという事。∴(７/５)ｘ－３６/５＝ｘ
∴(２/５)ｘ＝３６/５　∴ｘ＝１８

私の解法は次回。ただし、エレガントではありません。

おまけ：

また、何でもありでも解いて下さい。結構、エレガントに解けるかもしれませんよ。

おまけ：

問題
右図のように、２つの合同な正方形が重なっている。点Ａ，Ｄは正方形の頂点、点Ｂ，Ｃ，Ｅは２辺の交点で、ＡＢ＝３，ＣＤ＝６，ＤＥ＝８とする。
（１）ＣＥの長さを求めなさい。
（２）正方形の１辺の長さを求めなさい。
（０４　日大習志野）

図は上の添付ファイルを見て下さい。

（２）の別解
△ＣＤＥは３：４：５の直角三角形で、対頂角と直角の２角が等しいので、全ての直角三角形は相似である。
よって、正方形の１辺の長さをｘと置き、上の正方形の右上の直角三角形の３辺を３ｙ，４ｙ，５ｙと置くと、
下の正方形の右の辺の下の部分（下の正方形の右下の直角三角形の１辺）の長さは、ｘ－５ｙ－３
よって、３：４：５の比を利用すると、右下の直角三角形の残りの２辺の長さは、
(５/４)(ｘ－５ｙ－３)と
(３/４)(ｘ－５ｙ－３)
よって、上の正方形の右の辺の残り部分の長さは、ｘ－４ｙ－(５/４)(ｘ－５ｙ－３)
＝ｘ－４ｙ－５ｘ/４＋２５ｙ/４＋１５/４
＝－ｘ/４＋９ｙ/４＋１５/４
再び、３：４：５の比を利用すると、下に飛び出た直角三角形の斜辺の長さは、
(５/３)(－ｘ/４＋９ｙ/４＋１５/４)
よって、下の正方形の下の辺で方程式を作ると、
(５/３)(－ｘ/４＋９ｙ/４＋１５/４)＋(３/４)(ｘ－５ｙ－３)＋８＝ｘが成り立つ。
∴－５ｘ/１２＋１５ｙ/４＋２５/４＋３ｘ/４－１５ｙ/４－９/４＋８＝ｘ
∴ｘ＋５ｘ/１２－３ｘ/４＝２５/４－９/４＋８
∴１２ｘ＋５ｘ－９ｘ＝７５－２７＋９６
∴８ｘ＝１４４　∴ｘ＝１８
よって、答えは、１８

うまくｙが相殺されるんですね。もうちょっとアレンジしてみましょう。
正方形の１辺の長さをｘ，上の正方形の右上の直角三角形の３辺を３ｙ，４ｙ，５ｙ，下の正方形の右下の３辺を３ｚ，４ｚ，５ｚと置くと、下の正方形の右の辺より、
ｘ＝３＋５ｙ＋４ｚ･･････①
また、上の正方形の右の辺の下の部分の長さは、ｘ－４ｙ－５ｚより、下に飛び出た直角三角形の斜辺の長さは、
(５/３)(ｘ－４ｙ－５ｚ)
よって、下の正方形の下の辺より、
ｘ＝(５/３)(ｘ－４ｙ－５ｚ)＋８＋３ｚ･･････②
ここで、聡明な人はもう一つ方程式を作らなければ解けないと思い、混乱してしまうかもしれない。そこで、愚直にとりあえず整理してみようとして、②の両辺に３を掛けると、
３ｘ＝５(ｘ－４ｙ－５ｚ)＋２４＋９ｚ
∴３ｘ＝５ｘ－２０ｙ－２５ｚ＋２４＋９ｚ
∴－２ｘ＋２０ｙ＋１６ｚ＝２４
∴－ｘ＋１０ｙ＋８ｚ＝１２･･････③
これを①と比較すると、ｙ，ｚが消せる事に気が付くだろう。
つまり、①×２と③より、
２ｘ＝６＋１０ｙ＋８ｚ
－ｘ＋１０ｙ＋８ｚ＝１２
—————————————
－ｘ＋２ｘ－６＝１２
∴ｘ＝１８
よって、答えは、１８

運とあきらめない気持ちが大事な例でした。何でもありの解法は次回。

おまけ：

問題
右図のように、２つの合同な正方形が重なっている。点Ａ，Ｄは正方形の頂点、点Ｂ，Ｃ，Ｅは２辺の交点で、ＡＢ＝３，ＣＤ＝６，ＤＥ＝８とする。
（１）ＣＥの長さを求めなさい。
（２）正方形の１辺の長さを求めなさい。
（０４　日大習志野）

図は上の添付ファイルを見て下さい。

何でもありの解法
下の正方形の左下の頂点をｘｙ座標の原点に置き、横の辺をｘ軸，縦の辺をｙ軸に取り、下の正方形の右上の直角三角形の残りの頂点をＦとすると、ＦＢ∥ＣＥでＣＥの傾きが６/(－８)＝－３/４より、直線ＦＢの傾きは－３/４
また、Ａ(ａ,ａ)，Ｂ(ａ,ａ－３)と置けるので、直線ＦＢの方程式は、
ｙ－(ａ－３)＝(－３/４)(ｘ－ａ)
∴４ｙ－４(ａ－３)＝－３(ｘ－ａ)
∴４ｙ－４ａ＋１２＝－３ｘ＋３ａ
∴３ｘ＋４ｙ－７ａ＋１２＝０
また、Ｃ(０,６)より、点Ｃと直線ＦＢの距離は、点と直線の距離の公式（ヘッセの公式）より、
ｄ＝|３・０＋４・６－７ａ＋１２|/√(３²＋４²)
これが正方形の１辺の長さと等しいので、
|２４－７ａ＋１２|/５＝ａが成り立つ。
∴|－７ａ＋３６|＝５ａ
∴－７ａ＋３６＝±５ａ
∴１２ａ＝３６または２ａ＝３６
∴ａ＝３，１８
ところで、ａ＞８より、ａ＝１８
よって、正方形の１辺の長さは、１８

地道に中３数学で座標の別解を作っても良いが、面白くないので省略。受験生は一応、作っておいた方が良いかもしれない。座標はうまくはまれば（邪道な）必殺技ですよね。

次回はこれを証明して下さい。

△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）
No.2690　ks　5月26日 10:58
引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/2679

一応、問題の形にしておきますね。

問題
鋭角△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致する事を証明して下さい。

中３数学で証明出来ます。私は今朝２,３分でチャチャっと証明しましたが、こういうのは作る方がはるかに難しいです。因みに、検索はしていないので既存のものかどうかは知りません。

おまけ：

解説
＞ａ∈Ａ，ａ^-1∈Ａ^-1のとき、ａａ^-1＝ｅはＡに含まれる。

ａ∈Ａ，ａ^-1∈Ａ^-1の両辺同士を掛け合わせると、ａａ^-1∈ＡＡ^-1
ここで、条件より、ＡＡ^-1⊆Ａなので、
ｅ＝ａａ^-1∈ＡＡ^-1⊆Ａ　∴ｅ∈Ａ
よって、集合Ａには単位元ｅが含まれているという事。

＞Ａの任意の要素ａに対し、ｅ∈Ａ，ａ^-1∈Ａ^-1であるから
ｅａ^-1＝ａ^-1∈Ａ
つまりその逆元ａ^-1がＡに含まれる。

前回より、ｅ∈Ａ　
また、条件より、ａ^-1∈Ａ^-1
この両辺を掛け合わせると、
ｅａ^-1∈ＡＡ^-1
また、条件よりＡＡ^-1⊆Ａなので、
ｅａ^-1∈ＡＡ^-1⊆Ａ
∴ａ^-1∈Ａ
よって、集合Ａには任意の元ａの（全ての元の）逆元が含まれているという事。

＞Ａの任意の要素ｂに対して、
ｂ^-1∈Ａ，(ｂ^-1)^-1＝ｂ∈Ａ^-1

p.71に、
「（４）Ｇの任意の要素ａに対して、ａａ^-1＝ｅとなるようなａ^-1がＧに含まれる。ａ^-1をａの逆元という。」
「代数的構造」遠山啓著より

とあり、このａにｂ^-1を当てはめると、
(ｂ^-1)(ｂ^-1)^-1＝ｅ
この両辺に左からｂを掛けると、
ｂ(ｂ^-1)(ｂ^-1)^-1＝ｂｅ
∴(ｂｂ^-1)(ｂ^-1)^-1＝ｂ
∴ｅ(ｂ^-1)^-1＝ｂ
∴(ｂ^-1)^-1＝ｂ
ここで、ｂ^-1∈Ａより、(ｂ^-1)^-1∈Ａ^-1
よって、ｂ＝(ｂ^-1)^-1∈Ａ^-1より、
ｂ∈Ａ^-1

＞したがって、Ａの任意の要素ａとの積は
ａｂ∈ＡＡ^-1⊆Ａ
だからＡの任意の２要素の積はまたＡに含まれる。

ａ∈Ａ，ｂ∈Ａ^-1
この両辺を掛け合わせると、
ａｂ∈ＡＡ^-1
また、条件より、ＡＡ^-1⊆Ａなので、
ａｂ∈ＡＡ^-1⊆Ａ
∴ａｂ∈Ａ
よって、Ａの任意の２元の積がＡに含まれているので、集合Ａは演算について閉じているという事。

＞したがってＡはＧの部分群である。

p.71に、
§２　群の定義
以上の準備をした上で群の厳密な定義をしておこう。
（１）集合Ｇ＝{ａ₁,ａ₂,…,ａn,…}は有限もしくは無限の集合でその上に２変数の関数φ(ａ,ｂ)＝ｃが定義され、その値は常にＧに属する。このφ(ａ,ｂ)＝ｃをａｂ＝ｃで表わす。
（２）任意の３要素ａ,ｂ,ｃに対して結合法則が成立する。
(ａｂ)ｃ＝ａ(ｂｃ)
（３）Ｇはａｅ＝ｅａ＝ａなる要素ｅを含む。
このようなｅを単位元という。
（４）Ｇの任意の要素ａに対して、ａａ^-1＝ｅとなるようなａ^-1がＧに含まれる。ａ^-1をａの逆元という。
以上４つの条件を満たす集合Ｇを群という。
「代数的構造」遠山啓著より

とあり、上で、
「よって、集合Ａには単位元ｅが含まれているという事。」
「よって、集合Ａには任意の元ａの（全ての元の）逆元が含まれているという事。」
「集合Ａは演算について閉じているという事。」
という事を示したので、（３），（４），（１）を満たしたという事。念のため、（１）の関数φが演算という事で「その値は常にＧに属する」が閉じているという事である。
つまり、あと（２）を満足させる必要があるのだが、Ａは群Ｇの部分集合でＧは群なので（２）を満たしている。つまり、Ｇの元は全て結合法則が成り立つので、その部分集合のＡの元も全て結合法則が成り立つという事。
よって、ＡはＧの部分集合で上の（１）～（４）をすべて満たしているので、Ｇの部分群であるという事。

おまけ：
https://x.com/matsuke88324572/status/1870090640933171236

https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12904049190.html

問題
一辺の長さがａの正三角形ＡＢＣがある。右図のように、△ＡＢＣの内部の勝手な点Ｐから各辺に下ろした垂線をそれぞれＰＸ，ＰＹ，ＰＺとする。
（１）ＰＸ＋ＰＹ＋ＰＺの値を求めなさい。
（０５　巣鴨）
（２）ＡＸ＋ＢＹ＋ＣＺの値を求めなさい。
（００　樟蔭）

模範解答
（１）△ＡＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡより、
(１/２)×ａ×{(√３/２)ａ}＝(１/２)×ａ×ＰＸ＋(１/２)×ａ×ＰＹ＋(１/２)×ａ×ＰＺ
＝(１/２)×ａ×(ＰＸ＋ＰＹ＋ＰＺ)
∴ＰＸ＋ＰＹ＋ＰＺ＝(√３/２)ａ･･････㋐
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

（１）の別解（私の別解）
Ｐから各辺と平行な直線を引き、辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの交点を定めると、ＰＸ，ＰＹ，ＰＺの周りにはそれぞれ正三角形が出来、ＰＸ，ＰＹ，ＰＺはそれぞれの正三角形の高さになる。
また、頂点ＢとＰの所と頂点ＣとＰの所に平行四辺形が出来、ＰＸの周りに正三角形の１辺がＢＣ上に移され、ＰＺの周りの正三角形の１辺もＢＣ上に移される。つまり、ＰＹの周りの正三角形の１辺の合わせて、３つの正三角形の１辺の長さの和は辺ＢＣの長さと等しい。
そして、ＰＸ＋ＰＹ＋ＰＺはそれぞれの正三角形の高さの和より、＝正三角形ＡＢＣの高さ（同じ比率だから）となる。
よって、答えは、(√３/２)ａ

この定石を使うと（２）も解ける。

（２）右図のように、Ｐを通って△ＡＢＣの各辺に平行な線を引き、できた小正三角形（網目部）の１辺の長さをｘ,ｙ,ｚとする（注：ＰからＡＣと平行な直線を引きＡＢとの交点をＤ，ＰからＡＢと平行な直線を引きＡＣとの交点をＥ，ＰからＢＣと平行な直線を引きＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＧ，Ｆとし、ＰＸの周りの正三角形の１辺の長さをｘ，ＰＹの周りの正三角形の１辺の長さをｙ，ＰＺの周りの正三角形の１辺の長さをｚとした図）。
このとき、ＡＸ＝ＡＤ＋ＤＸ＝ｚ＋ｘ/２
同様に、ＢＹ＝ｘ＋ｙ/２，ＣＺ＝ｙ＋ｚ/２
∴ＡＸ＋ＢＹ＋ＣＺ＝(３/２)(ｘ＋ｙ＋ｚ)･･････①
ここで、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ＤＧ＋ＧＢ＋ＡＤ＝ＡＢ＝ａであるから、①＝(３/２)ａ
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
ＰからＡＢと平行な直線とＢＣとの交点をH，PからＡＣと平行な直線とＢＣとの交点をＩとすると、四角形ＰＤＡＥと四角形ＰＧＢＨと四角形ＰＦＣＩはそれぞれ平行四辺形になる。

＞ＡＸ＝ＡＤ＋ＤＸ＝ｚ＋ｘ/２

四角形ＰＤＡＥが平行四辺形より、
ＡＤ＝ＥＰ＝ｚでＤＸ＝ＰＤ/２＝ｘ/２だから。

＞同様に、ＢＹ＝ｘ＋ｙ/２，ＣＺ＝ｙ＋ｚ/２

その通り。

＞ｘ＋ｙ＋ｚ＝ＤＧ＋ＧＢ＋ＡＤ＝ＡＢ＝ａ

四角形ＰＧＢＨが平行四辺形より、
ｙ＝ＰＨ＝ＧＢ
また、四角形ＰＤＡＥが平行四辺形より、
ｚ＝ＥＰ＝ＡＤ
また、ｘ＝ＤＧより、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ＤＧ＋ＧＢ＋ＡＤ＝ＡＢ＝ａ

定石を知らないとちょっと苦しいと思います。いや、ダメでしょう。

おまけ：

部分集合の乗法
　これまでの議論をわかりやすくするために、新しい乗法の記号を導入する。　群Ｇの部分集合を、Ａ,Ｂ,Ｃ,…としよう。このとき、Ａの任意の要素ａとＢの任意の要素ｂの積ａｂのすべての集合をＡＢで表わす。このとき、
(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ)
が成り立つことは明らかであろう。
　またＡの任意の要素ａの逆ａ^-1のすべての集合をＡ^-1で表わすことにしよう。　
　ＡがＧの部分群であるとき、
Ａ＝Ａ^-1，ＡＡ^-1＝Ａ
が成り立つことは明らかであろう。
「代数的構造」遠山啓著より

(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ)の証明
「Ａの任意の要素ａとＢの任意の要素ｂの積ａｂのすべての集合をＡＢで表わす」より、
ＡＢ＝{ａｂ｜ａ∈Ａ,ｂ∈Ｂ}と置ける。
∴(ＡＢ)Ｃ＝{(ａｂ)ｃ｜ａ∈Ａ,ｂ∈Ｂ,ｃ∈Ｃ}
ところで、Ａ,Ｂ,ＣはＧの部分集合なのでａ,ｂ,ｃはＧの元で、Ｇは群で結合法則が成り立つので、(ａｂ)ｃ＝ａ(ｂｃ)が成り立つ。
∴(ＡＢ)Ｃ＝{(ａｂ)ｃ｜ａ∈Ａ,ｂ∈Ｂ,ｃ∈Ｃ}
＝{ａ(ｂｃ)｜ａ∈Ａ,ｂ∈Ｂ,ｃ∈Ｃ}
＝Ａ(ＢＣ)
∴(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ)

Ａ＝Ａ^-1，ＡＡ^-1＝Ａの証明
今回の条件よりＡはＧの部分群で、群だからＡの全ての元には逆元が存在するので、
Ａ＝Ａ^-1である。
ここで、ＡＡ^-1を作り、Ａ^-1＝Ａを代入すると、ＡＡ^-1＝ＡＡ⊂Ａ（Ａは群で演算に関して閉じているから。）
∴ＡＡ^-1⊂Ａ･･････①
また、ＡＡ^-1⊃Ａ（集合Ａ^-1を単位元と考えた場合のみＡ＝Ａでそれ以外の元が存在する事は明らかなので、Ａ⊇Ａという事。）
∴ＡＡ^-1⊃Ａ･･････②
①，②より、ＡＡ^-1＝Ａ

おまけ：

問題
一辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦの辺ＢＣ，ＤＥ上にそれぞれ点Ｐ，Ｑをとって三角形ＡＰＱをつくるとき、三角形ＡＰＱの三辺の長さの和の最小値とそのときの線分ＢＰ，ＤＱの長さを求めなさい。
（９９　甲陽学院）

模範解答
直線ＢＣ，ＤＥに関するＡの対称点をそれぞれＡ'，Ａ''とすると、
ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＡ＝Ａ'Ｐ＋ＰＱ＋ＱＡ''
≧Ａ'Ａ''･･････①
ここで等号は、Ａ'-Ｐ-Ｑ-Ａ''が一直線（Ｐ＝Ｐ₀，Ｑ＝Ｑ₀）のときに成り立つ（注：直線にした時のＰをＰ₀，ＱをＱ₀にするという事）。
ところで、右図（注：正六角形ＡＢＣＤＥＦと点Ａ'，Ａ''を定め、ＣＢの延長とＡＡ'との交点をM，Ａ'Ａの延長上にＡ''から下ろした垂線の足をＧとし、ＤＥの延長とＡ''Ｇとの交点をＨとした図）において、
ＡＡ'＝ＡＢ×√３＝√３･･････②
ＡＡ''＝２ＡＥ＝２ＡＡ'＝２√３
また、△ＡＡ''Ｇはは３０°定規の形であるから、
ＡＧ＝ＡＡ''×(１/２)＝√３･･････③
Ａ''Ｇ＝ＡＧ×√３＝３･･････④
∴Ａ'Ｇ＝②＋③＝2√３･･････⑤
∴①＝√(④²＋⑤²)＝√２１
次に、△Ａ'ＭＰ₀∽△Ａ'ＧＡ''より、
Ｐ₀Ｍ＝Ａ'Ｍ×(Ａ''Ｇ/Ａ'Ｇ)
＝(√３/2)×(３/２√３)＝３/４･･････⑥
∴ＢＰ₀＝Ｐ₀Ｍ－ＢＭ＝３/４－１/２＝１/４
さらに、上図において、△ＡＤＥ≡△Ａ''ＨＥより、Ａ''Ｈ＝ＡＤ＝２
また、ＡＩ＝⑥×２＝３/２より、ＩＤ＝１/２
よって、△ＩＤＱ₀∽△Ａ''ＨＱ₀の相似比は、
ＩＤ：Ａ''Ｈ＝１：４
∴ＤＱ₀＝ＤＨ×１/(１＋４)＝２×(１/５)
＝２/５
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞直線ＢＣ，ＤＥに関するＡの対称点をそれぞれＡ'，Ａ''とすると、
ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＡ＝Ａ'Ｐ＋ＰＱ＋ＱＡ''
≧Ａ'Ａ''･･････①
ここで等号は、Ａ'-Ｐ-Ｑ-Ａ''が一直線（Ｐ＝Ｐ₀，Ｑ＝Ｑ₀）のときに成り立つ。

最短距離の定石である。（基本的には同じだが、私の解法は次回。）

＞ＡＡ'＝ＡＢ×√３＝√３･･････②
ＡＡ''＝２ＡＥ＝２ＡＡ'＝２√３
また、△ＡＡ''Ｇはは３０°定規の形であるから、
ＡＧ＝ＡＡ''×(１/２)＝√３･･････③
Ａ''Ｇ＝ＡＧ×√３＝３･･････④
∴Ａ'Ｇ＝②＋③＝2√３･･････⑤
∴①＝√(④²＋⑤²)＝√２１

「右図（注：正六角形ＡＢＣＤＥＦと点Ａ'，Ａ''を定め、ＣＢの延長とＡＡ'との交点をM，Ａ'Ａの延長上にＡ''から下ろした垂線の足をＧとし、ＤＥの延長とＡ''Ｇとの交点をＨとした図）」
を描くと、△ＢＡＡ'は頂角が１２０°の二等辺三角形より２辺比は１：√３でＡＢ＝１より、
ＡＡ'＝√３という事。
また、３点Ａ，Ｅ，Ａ''は一直線上にありＤＥ⊥ＡＡ''，ＡＡ''＝２ＡＥである。また、∠ＦＡＥ＝∠ＦＡＧ＝３０°より∠Ａ''ＡＧ＝３０°×２＝６０°よって、△ＡＡ''Ｇは１：２：√３の直角三角形である。
∴ＡＧ＝ＡＡ''×(１/２)＝ＡＥ＝√３
∴Ａ''Ｇ＝ＡＧ×√３＝３
∴Ａ'Ｇ＝ＡＡ'＋ＡＧ＝√３＋√３＝２√３
よって、△Ａ'Ａ''Ｇで三平方の定理を使うと、
Ａ'Ａ''＝√{３²＋(２√３)²}＝√２１

続きは次回。その時は私の解法も。

おまけ：
https://aanii.net/peppermint-jack-arabesque/

問題
一辺の長さが１の正六角形ＡＢＣＤＥＦの辺ＢＣ，ＤＥ上にそれぞれ点Ｐ，Ｑをとって三角形ＡＰＱをつくるとき、三角形ＡＰＱの三辺の長さの和の最小値とそのときの線分ＢＰ，ＤＱの長さを求めなさい。
（９９　甲陽学院）

解説の続きは、読めば分かるので省略。

私の解法
辺ＢＣの左横に合同な正六角形を描き、その真上の頂点をＡ'とし、ＤＥの右下にも合同な正六角形を描き、右下の点をＡ''とすると、対称性よりＡＰ＝Ａ'Ｐ，ＡＱ＝Ａ''Ｑとなるので、
ＡＰ＋ＰＱ＋ＡＱ＝Ａ'Ｐ＋ＰＱ＋Ａ''Ｑ
で、折れ線Ａ'ＰＱＡ''が直線になる時がＡＰ＋ＰＱ＋ＡＱの長さが最小になる場合である。
そこで、ＣＤを水平にして、折れ線Ａ'ＢＣＤＥ□Ａ''（□は右下に描いた正六角形の右上の点）を抜き書きすると、正六角形の半分の形をでこぼこにつなげたような形である。
よって、ＣＤ＝１，ＤＡ''＝２はすぐ分かる（正六角形は小さな正三角形を６個組み合わせた形）。
また、△ＢＡ'Ｃは頂角が１２０°の二等辺三角形でＢＡ'＝１より、Ａ'Ｃ＝√３
また、ＤＣの延長上にＡ'から垂線を下ろしその足をＨとすると、∠Ａ'ＣＨ＝６０°－３０°＝３０°より△Ａ'ＣＨは１：２：√３の直角三角形になるので、ＨＣ＝(√３/２)Ａ'Ｃ＝３/２
∴Ａ''Ｈ＝１＋２＋３/２＝９/２
また、Ａ'Ｈ＝Ａ'Ｃ/２＝√３/２
よって、△Ａ'Ａ''Ｈで三平方の定理を使うと、
Ａ'Ａ''＝√{(９/２)²＋(√３/２)²}
＝√(８４/４)＝√２１
よって、最小値は√２１
また、Ａ'Ｂ∥ＣＡ''より△ＰＡ'Ｂ∽△ＰＡ''Ｃで相似比Ａ'Ｂ：Ａ''Ｃ＝１：３
∴ＢＰ＝(１/４)ＢＣ＝１/４
また、Ａ'Ｅ∥ＤＡ''より△ＱＡ'Ｅ∽△ＱＡ''Ｄで相似比Ａ'Ｅ：Ａ''Ｄ＝１＋２：２＝３：２
∴ＤＱ＝(２/５)ＤＥ＝２/５

因みに、参考書の模範解答には補足として「ここからの、ＤＱ₀を求める部分が難しい」とあるので、私の解法の方が楽だと思います。

おまけ：
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14137538834

https://www.uta-net.com/song/348908/

おまけ
自動翻訳してみました。

Rock me after midnight
I wanna be just like a baby
Rock me after midnight
Tell me a fairytale
That love not for sale

Look at the lives that I live
I'm hooked and money you give for my love
I'll pay there is no other way
To buy me what I need to go on
Who knows for how long

Rock me after midnight
I wanna be just like a baby
Rock me after midnight
Tell me a fairytale
That love not for sale

Love is a word I had banned
I mean love like I thought it was meant long ago
Today since you kissed me this way
I know that if I follow you now
I'll find the way out

Rock me after midnight
I wanna be just like a baby
Rock me after midnight
Tell me a fairytale
That love not for sale

Rock me after midnight
Rock me

Rock me after midnight
Rock me

Rock me after midnight
I wanna be just like a baby
Rock me after midnight
Tell me a fairytale
That love not for sale

Rock me after midnight
I wanna be just like a baby
Rock me after midnight
Tell me a fairytale
That love not for sale
引用元：https://www.kkbox.com/jp/ja/song/4kE32Az_WkaL-slqyb（ただし、上から9行目の「To buy me what ineed to go on」は「To buy me what I need to go on」に訂正させて頂きましたが、真相は分かりません。因みに、他のサイトも全部「To buy me what ineed to go on」です。検索レベルでは「ineed」なんて単語は存在しませんが、語学は文法だけじゃありませんからね。）

真夜中過ぎても私を揺らして
赤ちゃんみたいになりたい
真夜中過ぎても私を揺らして
おとぎ話を教えて
その愛は売り物じゃない

私の生き方を見て
私は夢中よ、あなたが私の愛のためにくれるお金
払うわ、他に方法はないの
私が生きていくために必要なものを買うために
どれくらい続くかなんて誰にもわからない

真夜中過ぎても私を揺らして
赤ちゃんみたいになりたい
真夜中過ぎても私を揺らして
おとぎ話を教えて
その愛は売り物じゃない

愛とは私が禁じていた言葉
ずっと前に思っていたような愛
今日、あなたがこうして私にキスをしてくれたから
今あなたについていけば
抜け道が見つかるってわかってる

真夜中過ぎても私を揺らして
赤ちゃんみたいになりたい
真夜中過ぎても私を揺らして
おとぎ話を教えて
その愛は売り物じゃない

真夜中過ぎても私を揺らして
私を揺らして

真夜中過ぎても私を揺らして
私を揺らして

真夜中過ぎても私を揺らして
私は赤ちゃんみたいになりたい
真夜中過ぎても私を揺らして
おとぎ話を教えて
その愛は売り物じゃない

真夜中過ぎても私を揺らして
赤ちゃんみたいになりたい
真夜中過ぎても私を揺らして
おとぎ話を教えて
その愛は売り物じゃない
https://translate.google.co.jp/?hl=ja&sl=auto&tl=ja&text=Rock%20me%20after%20midnight%20%0AI%20wanna%20be%20just%20like%20a%20baby%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ATell%20me%20a%20fairytale%0AThat%20love%20not%20for%20sale%0A%0ALook%20at%20the%20lives%20that%20I%20live%0AI%27m%20hooked%20and%20money%20you%20give%20for%20my%20love%0AI%27ll%20pay%20there%20is%20no%20other%20way%0ATo%20buy%20me%20what%20I%20need%20to%20go%20on%0AWho%20knows%20for%20how%20long%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0AI%20wanna%20be%20just%20like%20a%20baby%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ATell%20me%20a%20fairytale%0AThat%20love%20not%20for%20sale%0A%0ALove%20is%20a%20word%20I%20had%20banned%0AI%20mean%20love%20like%20I%20thought%20it%20was%20meant%20long%20ago%0AToday%20since%20you%20kissed%20me%20this%20way%0AI%20know%20that%20if%20I%20follow%20you%20now%0AI%27ll%20find%20the%20way%20out%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0AI%20wanna%20be%20just%20like%20a%20baby%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ATell%20me%20a%20fairytale%0AThat%20love%20not%20for%20sale%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ARock%20me%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ARock%20me%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0AI%20wanna%20be%20just%20like%20a%20baby%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ATell%20me%20a%20fairytale%0AThat%20love%20not%20for%20sale%0A%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0AI%20wanna%20be%20just%20like%20a%20baby%0ARock%20me%20after%20midnight%20%0ATell%20me%20a%20fairytale%0AThat%20love%20not%20for%20sale%0A%0A&op=translate

解説
＞σ(γi)＝σ(β)＋σ²(β)ζ^i＋σ³(β)ζ^2i＋…＋σ^p(β)ζ^(p-1)i
＝ζ^-i(σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋σ³(β)ζ^3i＋…＋σ^p(β)ζ^pi)
＝ζ^-i・γi（∵σ^p(β)＝β，ζ^p＝１）

γi＝β＋σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)i（ｉ＝０,１,･･･,ｐ－１）の両辺にσを施すと、σはｆ(ｘ)の根の入れ換えより、右辺は、
σ(β＋σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)i)
＝σ(β)＋σ²(β)ζ^i＋σ³(β)ζ^2i＋…＋σ^p(β)ζ^(p-1)i
となる。（βはｆ(ｘ)の原始元よりｆ(ｘ)の根で表されるからσがかかり、ζは関係ないのでσがかからない。）
また、その式をζ^-iでくくると、
＝ζ^-i(σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋σ³(β)ζ^3i＋…＋σ^p(β)ζ^pi)
となり、σ^p(β)＝β，ζ^p＝１を代入すると、最後の項はσ^p(β)ζ^pi＝βとなり、
γi＝β＋σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)iと等しくなるという事。
∴σ(γi)＝ζ^-i・γi
因みに、σ^p(β)＝β，ζ^p＝１は、βはｆ(ｘ)の原始元よりｆ(ｘ)の根の式で、σ^pはｆ(ｘ)の根をｐ回入れ換えるので元に戻り恒等入れ換えだから、σ^p(β)＝β
また、ζ^p＝１はζが１の原始ｐ乗根だから。

＞したがってγi^pはσで不変です：
σ(γi^p)＝(γiζ^-i)^p＝γi^pζ^-ip＝γi^p

σ(γi^p)＝σ(γi)^pとして良い。根の入れ換えだから。（ｐ乗してから根を入れ換えても、入れ換えてからｐ乗しても同じという事。）
∴σ(γi^p)＝{σ(γi)}^p＝(γiζ^-i)^p
＝γi^pζ^-ip＝γi^p(ζ^p)^-i＝γi^p

＞よってγi^p（ｉ＝０,１,･･･,ｐ－１）は定数です。

これは定理9.1(２)から。

定理9.1（基本定理）
重根を持たないｄ次多項式ｆ(ｘ)に対して、その根α₁,…,αdの入れ換えのなす群Ｇfであって、次の性質をみたすものがただ１つ存在する：
（１）は省略。
（２）α₁,…,αdの式に対して、その値は、Ｇfのどの元で根を入れ換えても変わらないとき、定数である。
この群Ｇfを多項式ｆ(ｘ)の群という。

σ(γi^p)＝γi^pより、σで不変なので、σ^i（ｉ＝０,１,…,p-1）で不変だから（条件より、Ｇfは巡回群）。

＞もしγi≠０かつｉ≠０ならばσ^k(γi)＝γiζ^-ik≠γi（ｋ＝１,･･･,ｐ－１）です。

上より、σ(γi)＝ζ^-i・γiでσは括弧の中のものにζ^-iを付け加える。
∴σ^k(γi)＝{σ(γi)}^k＝{γiζ^-i}^k
＝γiζ^-ik≠γi（ｋ≠０,ｐだから。）

＞ゆえにγiを不変にする入れ換えは恒等入れ換えしかなく、ガロワ対応より、γiの式全体はｆ(ｘ)の根の式全体に一致します。

上より、σ^k(γi)≠γi（ｋ＝１,･･･,ｐ－１）だからσの恒等変換以外の変換では全て不変にならないので、「γiを不変にする入れ換えは恒等入れ換えしかない」という事。
また、ガロワ対応で恒等入れ換えに対応する体は全ての根の式（全体）である。
つまり、γiはｆ(ｘ)の根という事である。

＞したがって命題の証明を完成させるには、γ₁,…,γp-1のなかに０でないものがあれば十分です。

上より、「よってγi^p（ｉ＝０,１,･･･,ｐ－１）は定数です」とあり、前回の終わりから「つまり、γiはｆ(ｘ)の根という事である」となったので、γiを変数ｘで表すと、ｘ^p＝ａ（定数）となり、ｘはｆ(ｘ)の根となる。
つまり、「ｆ(ｘ)の根がｘ^p－ａの根の式で表される」ような定数ａが存在するという事である。（問題文から）
そして、その条件は「もしγi≠０かつｉ≠０」だったので、「γ₁,…,γp-1のなかに０でないものがあれば十分」という事になる。（１つでもあれば、γi^p＝ａとなりＯＫという事。）

＞１＋ζ＋ζ²＋…＋ζ^(p-1)＝０より
γ₀＋γ₁＋…＋γp-1＝ｐβ

γi＝β＋σ(β)ζ^i＋σ²(β)ζ^2i＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)i（ｉ＝０,１,･･･,ｐ－１）
これにｉ＝０～ｐ－１まで代入して総和を取ると、
γ₀＝β＋σ(β)＋σ²(β)＋…＋σ^(p-1)(β)
γ₁＝β＋σ(β)ζ¹＋σ²(β)ζ²＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)
γ₂＝β＋σ(β)ζ²＋σ²(β)ζ⁴＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^2(p-1)
・
・
・
γp-1＝β＋σ(β)ζ^(p-1)＋σ²(β)ζ^2(p-1)＋…＋σ^(p-1)(β)ζ^(p-1)²

∴γ₀＋γ₁＋…＋γp-1
＝ｐβ＋σ(β){１＋ζ＋ζ²＋…＋ζ^(p-1)}
＋σ²(β){１＋ζ²＋ζ⁴＋…＋ζ^2(p-1)}
＋・・・
＋σ^(p-1)(β){１＋ζ^(p-1)＋ζ^2(p-1)＋…＋ζ^(p-1)²}———☆
また、１＋ζ^(p-1)＋ζ^2(p-1)＋…＋ζ^(p-1)²は、初項１，公比ζ^(p-1)の等比数列の和より、等比数列の和の公式より、
＝{１－(ζ^(p-1))^p}/{１－ζ^(p-1)}
＝{１－ζ^p(p-1)}/{１－ζ^(p-1)}
ところで、ζは１の原始ｐ乗根よりζ^p＝１
よって、１－ζ^p(p-1)＝１－(ζ^p)^(p-1)
＝１－１^(p-1)＝１－１＝０
∴１＋ζ^(p-1)＋ζ^2(p-1)＋…＋ζ^(p-1)²＝０
よって、☆の式の右辺は初めの項以外は全て０である。
∴γ₀＋γ₁＋…＋γp-1＝ｐβ

因みに、「１＋ζ＋ζ²＋…＋ζ^(p-1)＝０より
γ₀＋γ₁＋…＋γp-1＝ｐβ」の１＋ζ＋ζ²＋…＋ζ^(p-1)＝０は不要である。

＞右辺のｐβ－γ₀は定数ではありません。なぜならばβは定数でなく、γ₀は定数（σ(γ₀)＝γ₀）だからです。

βはｆ(ｘ)の原始元で１つではないからである。また、上より「σ(γi)＝ζ^-i・γi」でこれにｉ＝０を代入すると、σ(γ₀)＝γ₀だからγ₀は定数。（念のため、σ^k（k=0,1,…,p-1）で不変だからである。）

＞とくにｐβ－γ₀≠０なのでγ₁,…,γp-1の中に０でないものが存在します。

先の「γ₀＋γ₁＋…＋γp-1＝ｐβ」から、
γ₁＋…＋γp-1＝ｐβ－γ₀で「ｐβ－γ₀は定数ではありません」ので、ｐβ－γ₀≠０とすると、γ₀＋γ₁＋…＋γp-1≠０
よって、「γ₁,…,γp-1の中に０でないものが存在します」という事。
（γ₁,…,γp-1が全て０の場合はγ₀＋γ₁＋…＋γp-1＝０だから。そうじゃない場合は少なくとも１個は０じゃないから。）

おまけ：
https://www.amazon.co.jp/-/en/gp/aw/review/B00DVJ8R0C/RD6EW6MRCTNO4