掲示板

BBS
アイコン設定
投稿者さん使い方

数学好きの人は、誰でも投稿して下さい。
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/1 11:31 (No.523525)削除
問題
∑(d|n)|μ(d)|=2^k(*)を証明せよ。ただし、kはnの相異なる素因数の個数である。
注:μ(d)はメビュース関数を表す。

定義
n=1であるときμ(1)=1,nが素数の2乗で割り切れるときμ(n)=0,nが相異なるr個の素数の積であるときμ(n)=(-1)^rとして定義される関数μ(n)をメビュースの関数という。

解答
n=1のとき、定義よりμ(1)=1であり、nの素因数の個数は0であるから式(*)は成り立つ。
n>1として、nの素因数分解をn=p1^α1・p2^α2…pk^αk(piは素数)とする。このとき、nの約数はp1^β1…pk^βk(0≦βi≦αi)という形をしている。
∑(d|n)|μ(d)|=∑(d|n)|μ(p1^β1…pk^βk)|(βi=0または1)
=|μ(1)|+|μ(p1)|+…+|μ(pk)|+|μ(p1p2)|+…+|μ(pk-1pk)|+…+|μ(p1p2…pk)|
=1+kC1+kC2+…+kCk=2^k
最後のところの等式は、n個の集合のべき集合の個数であることに注意しよう。

完全解説して下さい。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/2 13:54削除
解説
>∑(d|n)|μ(d)|=∑(d|n)|μ(p1^β1…pk^βk)|(βi=0または1)

βi≧2の場合は、メビュース関数の定義よりμ(d)=0だから。

>=|μ(1)|+|μ(p1)|+…+|μ(pk)|+|μ(p1p2)|+…+|μ(pk-1pk)|+…+|μ(p1p2…pk)|

2乗以上がないので、括弧の中は0個からk個までの相異なる素数の積である。

>|μ(1)|+|μ(p1)|+…+|μ(pk)|+|μ(p1p2)|+…+|μ(pk-1pk)|+…+|μ(p1p2…pk)|
=1+kC1+kC2+…+kCk

μ(n)=(-1)^rに絶対値が付くので符号は正で、あとはi個だったらk個からi個選ぶ場合の数より、kCi(0≦i≦k)個なので、kCi×1=kCi(0≦i≦k)よって、
|μ(1)|+|μ(p1)|+…+|μ(pk)|+|μ(p1p2)|+…+|μ(pk-1pk)|+…+|μ(p1p2…pk)|
=kC0+kC1+kC2+…+kCk
=1+kC1+kC2+…+kCk
(k=0の場合は素数が0個という事でμ(1))

>1+kC1+kC2+…+kCk=2^k

二項定理より、(a+b)^k=kC0a^k+kC1a^(k-1)・b+…+kCia^(k-i)・b^i+…+kCkb^k
これにa=b=1を代入すると、
2^k=kC0+kC1+…+kCk 
ところで、kC0=kCk=1より、これを代入すると、
1+kC1+kC2+…+kCk=2^k

>最後のところの等式は、n個の集合のべき集合の個数であることに注意しよう。

別の見方をすると、kC0+kC1+kC2+…+kCkは、あるk個の集合の部分集合全体の集合の要素の個数である。因みに、kC0は空集合の個数なので1であり、kCkは全体の集合なので1個である。(k個からk個選んだ部分集合という事。)
そこで、例えば、k=3としてA={a,b,c}を考えてみよう。この部分集合は、φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}の8個である。
つまり、aが入っているか入っていないかの2通りとbが入っているか入っていないかの2通りとcが入っているか入っていないかの2通りで決まる。よって、2^3=8通りという事である。
k個でも同様に考えると、k個の集合の部分集合の個数は、2^k個である。よって、
kC0+kC1+kC2+…+kCk=2^kが成り立つ。
よって、1+kC1+kC2+…+kCk=2^k

おまけ:
返信
返信1
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/1 17:03 (No.523825)削除
改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805120001/

簡単なので、マニアにしか解けないような問題に改題してみました。
∠CED=10°とし、AC上に∠FDC=50°,AD上に∠GCD=60°となる点F,Gを取る。
この時、∠FGCの角度を求めて下さい。
念のため、△ABC,△ACD,△ADEは合同な二等辺三角形です。
何でもありで挑戦してみて下さい。

関係ありませんが、こちらhttps://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/187のカギ括弧みたいなのはガンマ関数です。知識がなくてもこれhttps://keisan.casio.jp/exec/system/1161228683に数値を代入すれば納得出来ます。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/2 07:27削除
解法1 本当の何でもありの解法
△ACDと△ADEが合同よりCD=DE
よって、△DCEは二等辺三角形。よって、∠CDE=180°-10°×2=160°よって、∠ADE=∠ADC=160°÷2=80°
よって、△ACDは底角が80°の二等辺三角形でその辺AC上に∠FDC=50°,AD上に∠GCD=60°となる点F,Gがある形である。
つまり、有名なラングレー問題http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.htmlの形である。そこで、解答をクリックすると、答えは30°と分かる。
普通の小学生レベルの知識あれば解ける解法でした。

おまけ:https://www.msn.com/ja-jp/news/techandscience/%E5%A4%A7%E5%8F%8D%E9%9F%BF-%E5%A4%A9%E6%89%8Dai%E3%81%8C%E6%95%B0%E7%A7%92%E3%81%A7-%E5%90%8D%E7%94%BB-%E4%BD%9C%E6%88%90-%E5%AE%9F%E5%86%99%E3%81%AE%E7%94%BB%E5%83%8F%E3%82%82-%E3%81%8A%E7%B5%B5%E6%8F%8F%E3%81%8D/ar-AA11lESz?ocid=msedgdhp&pc=U531&cvid=a75751b7179649cba16a7f3691e5971f
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/2 09:54削除
改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805120001/

簡単なので、マニアにしか解けないような問題に改題してみました。
∠CED=10°とし、AC上に∠FDC=50°,AD上に∠GCD=60°となる点F,Gを取る。
この時、∠FGCの角度を求めて下さい。
念のため、△ABC,△ACD,△ADEは合同な二等辺三角形です。

解答
△ACDと△ADEが合同よりCD=DE
よって、△DCEは二等辺三角形。よって、∠CDE=180°-10°×2=160°よって、∠ADE=∠ADC=160°÷2=80°
よって、△ACD,△ABC,△ADEは底角が80°の二等辺三角形。
よって、∠BAC=∠CAD=∠DAE=20°よって、∠BAE=20°×3=60°,AB=AEより、△ABEは正三角形。
また、四角形BCDEの内角の和と等脚台形の対称性より、∠CBE=(360°-80°×4)÷2=20°また、対称性より、∠FBC=∠FDC=50°よって、∠FBE=50°-20°=30°
よって、BFは正三角形BAEの頂角Bの二等分線である。―――①
また、対称性より、∠GED=∠GCD=60°また、∠AED=80°より、∠GEA=80°-60°=20°また、∠GAE=∠DAE=20°より、∠GEA=∠GAE 
よって、点GはAEの垂直二等分線上にある。―――② 
また、△BAEは正三角形である。―――③
①,②,③より、3点B,F,Gは一直線上にある。ところで、∠CFD=180°-80°-50°=50°よって、対称性より、∠CFB=50°よって、∠CFG=180°-50°=130°また、∠FCG=80°-60°=20°
よって、△FCGの内角の和より、
∠FGC=180°-130°-20°=30°
よって、答えは、30°

おまけ:https://www.nicovideo.jp/watch/sm18910586
返信
返信2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/31 11:47 (No.522519)削除
問題 次を証明せよ。
(1)nが偶数のとき、φ(2n)=2φ(n)であり、nが奇数のとき、φ(2n)=φ(n)である。
(2)nが3の倍数であるとき、φ(3n)=3φ(n)でありnが3で割り切れないとき、φ(3n)=2φ(n)である。

証明
(1)(ⅰ)nが偶数であればn=2^e・a(1≦e,2∤a)と表される。(2^e,a)=1だから、定理3.2より、
φ(n)=φ(2^e)φ(a)
=2^e・(1-1/2)φ(a)=2^(e-1)・φ(a)
一方、2n=2^(e+1)・aだから、
φ(2n)=φ(2^(e+1))φ(a)=2^e・φ(a)
ゆえに、φ(2n)=2φ(n)を得る。
(ⅱ)nが奇数であれば(2,n)=1だから、定理3.2よりφ(2n)=φ(2)・φ(n)=φ(n)
(2)3|nのとき、n=3^e・a(1≦e,3∤a)と表される。したがって、
φ(n)=φ(3^e・a)=φ(3^e)φ(a)
=2・3^(e-1)・φ(a)
φ(3n)=φ(3^(e+1)・a)
=φ(3^(e+1))φ(a)=2・3^e・φ(a)
∴φ(3n)=3φ(n)

定理3.2
オイラーの関数は乗法的である。すなわち、
n=n1・n2のとき、次が成り立つ。
(n1,n2)=1⇒φ(n)=φ(n1)・φ(n2)

完全解説して下さい。また、余裕がある人は別解を考えてみて下さい。ただし、今回は私のオリジナルではありません。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/1 07:49削除
解説
>φ(n)=φ(2^e)φ(a)
=2^e・(1-1/2)φ(a)=2^(e-1)・φ(a)

φ(2^e)=2^e・(1-1/2)の部分は、定理3.3より。

定理3.3
n=p1^e1・p2^e2…ps^es(piは互いに異なる素数,ei≧1)であれば、次の式が成り立つ。
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)

これにp1=2,n=2^eを代入するという事。

>φ(n)=φ(3^e・a)=φ(3^e)φ(a)
=2・3^(e-1)・φ(a)

これも同じで定理3.3を使用すると、
φ(3^e)=3^e・(1-1/3)=3^e・(2/3)=2・3^(e-1)
∴φ(3^e)=2・3^(e-1) よって、
φ(n)=φ(3^e・a)=φ(3^e)φ(a)
=2・3^(e-1)・φ(a)ですね。

因みに、(2)は「nが3で割り切れないとき」がありませんが、私もそれは省略して、この問題の成り立つ法則を考えてみましょう。

問題
nがpの倍数であるとき、φ(pn)=pφ(n)でありnがpで割り切れないとき、φ(pn)=(p-1)φ(n)である。ただし、pは素数である。

証明は上と同じように出来ますが、省略します。注意点だけ挙げると、上の(2)で、
>φ(n)=φ(3^e・a)=φ(3^e)φ(a)

とありますが、真ん中の項から一番右の項へは3が素数だから出来る事です。例えば、3を4にすると、a=4m+2(m∈ℕ)の場合もあり、この時は4^eとaは互いに素ではないので、定理3.2を使えないからです。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/9/1 15:26削除
上の「また、余裕がある人は別解を考えてみて下さい。ただし、今回は私のオリジナルではありません。」
は欠陥が発覚したので取り消しました。
全然覚えていませんが、意外と私が以前にオリジナルで作ったものなのかもしれません。
返信
返信2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 20:09 (No.521947)削除
問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805140001/

一応、何でもありでも解いて下さい。算数の解法は知っていれば簡単ですが、知らないとまず解けないと思います。その点、何でもありの解法は普通の頭の良さと根性があれば解けると思います。
ただし、最低でも高校数学、場合によっては大学数学も必要ですが。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/31 07:47削除
何でもありの解法
基本的に何でもありで解ければ良いというスタンスなので、こちらを先にやりますね。

正方形の1辺を1とすると、
BE=tan12°,DF=tan33°
∴EC=1-tan12°,FC=1-tan33°
∴tan∠FEC=(1-tan33°)/(1-tan12°)―――①
また、tan33°=tan(45°-12°)
=(tan45°-tan12°)/(1+tan45°tan12°)
=(1-tan12°)/(1+tan12°)
∴1-tan33°=1-(1-tan12°)/(1+tan12°)=2tan12°/(1+tan12°)
∴1-tan33°=2tan12°/(1+tan12°)―――②
②を①に代入すると、
tan∠FEC=2tan12°/(1-tan12°)(1+tan12°)=2tan12°/{1-(tan12°)^2}
よって、2倍角の公式より、
=tan2・12°=tan24°
∴tan∠FEC=tan24° ∴∠FEC=24°
ところで、△ABEの内角の和より、∠AEB=90°-12°=78°
よって、∠AEF=180°-78°-24°=78°
よって、答えは、78°

変な所で改行されていて読み難いですが、我慢して読んでみて下さい。結構、面白いと思います。
また、下書きの時はArctanを使っていたのですが、使わない方がすっきりしますね。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/31 15:48削除
模範解答
∠EAF=90°-12°-33°=45°
ここで、△ABEを点Aを中心にABがADにくっつまで90°回転移動させ、点Eの行き先をE'とすると、∠E'AF=12°+33°=45°よって、∠EAF=∠E'AF
また、AE=AE',AFは共通より、
ニ辺挟角が等しいので、△AEFと△AE'Fは合同。
よって、∠AEF=∠AE'F=∠AE'D=∠AEB=90°-12°=78°
よって、答えは、78°

おまけ:
返信
返信2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/29 07:54 (No.520542)削除
問題1
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805170000/

即興で暗算で3通り作ってみました。

問題2
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805150001/

これも即興で何でもありを合わせて3通り作ってみました。

おまけ:

壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 07:55削除
問題1の解答
解法1
六角形の内角の和は公式より、180°×(6-2)=180°×4=720°
よって、1つの内角は、720°÷6=120°
ここで、BAの延長とEFの延長との交点をP,ABの延長とDCの延長との交点をQ,CDの延長とFEの延長との交点をRとすると、△PAF,△QCB,△REDはそれぞれ2つの角が60°の三角形になるので正三角形である。
よって、PA=PF=AF=2cm,BQ=QC=BC=3cmより、PQ=AP+AB+BQ=2+4+3=9cm ところで、∠APF=∠BQC=∠DRE=60°より△PQRも正三角形である。よって、QR=PQ=9cm また、QC=3cm,CD=5cmより、DR=9-3-5=1cm よって、ER=DR=1cm
よって、PR=PQ=9cm,PF=2cm,ER=1cmより、FE=9-2-1=6cm
よって、答えは、6cm

解法2
1つの内角が120°までは同じ。
ここで、FAの延長とCBの延長との交点をP,CDの延長とFEの延長との交点をQとすると、△PABと△QDEはそれぞれ2つの角が60°の三角形になるので正三角形である。
よって、PA=PB=AB=4cm よって、PF=4+2=6cm,PC=4+3=7cm
ところで、∠P=∠Q=60°,∠C=∠F=120°より2組の対角が等しいので四角形PCQFは平行四辺形である。(また、60°と120°を利用して2組の対辺が平行である事を言っても良い。)
よって、CQ=PF=6cm よって、DQ=6-5=1cm よって、EQ=DQ=1cm また、FQ=PC=7cmより、FE=7-1=6cm 
よって、答えは、6cm

解法3
1つの内角が120°までは同じ。もっとも、六角形ABCDEFの内部に適当な点Oを取り、△OAB,△OBC,△OCD,△ODE,△OEF,△OFAに分けると、それぞれの内角の和が180°より、六角形ABCDEFの内角の和と点Oの周りの360°を足した角度が180°×6=1080°なので、六角形ABCDEFの内角の和は、1080°-360°=720°と求められる。
ここで、AFの延長とDEの延長との交点をP,ABの延長とDCの延長との交点をQとすると、△PEFと△QBCはそれぞれ2つの角が60°の三角形になるので正三角形。よって、QC=BC=3cm よって、QD=3+5=8cm
ところで、解法2と同じようにして四角形AQDPは平行四辺形である。よって、AP=QD=8cm よって、FP=8-2=6cm よって、FE=FP=6cm(正三角形より)
よって、答えは、6cm

ただし、平行四辺形の性質が小学生の範囲かどうかは知りません。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 18:40削除
問題2の解答
解法1 邪道な解法
(ア),(イ),(ウ),(エ)に特に指定がないので、2つの式さえ満たしていればどんな値でも面積は常に一定になると推定出来る。
よって、ア=3cm,イ=2cm,ウ=2cm,エ=1cmとすると、正方形の1辺の長さは8cmより残りの隙間も全て求められる。
8-3=5cm,8-2=6cm,8-2=6cm,8-1=7cm
よって、正方形から四隅の直角三角形の面積を引いて四角形ABCDの面積を求めると、
四角形ABCD=8×8-5×2÷2-6×2÷2-6×1÷2-7×3÷2=64-5-6-3-21/2=50-21/2=100/2-21/2=79/2=39.5cm^2
よって、答えは、39.5cm^2

小学生はもう1通り作って裏を取った方が良い。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 19:14削除
解法2 模範解答
正方形の左上の頂点から反時計回りにP~Sと置き、AからQRと平行な直線を引き、DからPQと平行な直線を引き、その交点をEとする。
また、BからPQと平行な直線を引き、AEとの交点をFとする。
また、CからQRと平行な直線を引き、BFとの交点をGとする。
また、DからPQと平行に引いた直線とCGとの交点をHとすると、四角形EFGHは長方形になり、FG=8-(ア+イ)=8-5=3cm
FE=8-(ウ+エ)=8-3=5cm
よって、長方形EFGH=3×5=15cm^2
ところで、四角形AQBF,GBRC,DHCS,PAEDは全て長方形で対角線で面積が二等分されている。よって、求める面積は、
四角形ABCD=(正方形PQRS-長方形EFGH)÷2+長方形EFGH=(64-15)÷2+15=49/2+30/2=79/2=39.5cm^2
よって、答えは、39.5cm^2

または、四角形ABCD=正方形PQRS-(正方形PQRS-長方形EFGH)÷2
=64-(64-15)÷2=64-49/2=128/2-49/2=79/2=39.5cm^2

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 19:40削除
問題2の何でもありの解法
ア=a,イ=b,ウ=c,エ=dと置くと、条件より、a+b=5―――① c+d=3―――②
また、正方形から四隅の直角三角形を引いて、四角形ACBDの面積を求めると、
四角形ABCD=64-c(8-a)/2-b(8-c)/2-d(8-b)/2-a(8-d)/2
=64-{c(8-a)+b(8-c)+d(8-b)+a(8-d)}/2
=64-{8(a+b+c+d)-ac-bc-bd-ad}/2
=64-{8(a+b+c+d)-c(a+b)-d(a+b)}/2
=64-{8(a+b+c+d)-(a+b)(c+d)}/2―――☆
☆に②,③を代入すると、
四角形ABCD=64-{8×(5+3)-5×3}/2=64-(64-15)/2=64-49/2=128/2-49/2=79/2=39.5cm^2
よって、答えは、39.5cm^2

おまけ:
返信
返信4
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 11:33 (No.521585)削除
問題 次の問いに答えよ。
(1)φ(n)=(1/2)nを満たす自然数nを求めよ。
(2)φ(n)=(2/3)nを満たす自然数nを求めよ。

解答
(1)nの素因数分解をn=p1^e1…ps^es(pi>0)とする。このとき、
φ(n)/n=(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps) したがって、
1/2=(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)
通分して整理すると、p1p2…ps=2(p1-1)(p2-1)…(ps-1) ゆえに、p1,…,psの中のどれかは2である。そこで、p1=2としてよい。
1<sとすると、p2…ps=(p2-1)…(ps-1) この式は成り立たない。
よって、p1=2で、p2,…,psは現れない。すなわち、φ(n)=n/2を満たす自然数nは、n=2^e1(e1>0)という形をしている。

(2)(1)と同様に考えると、
(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)=2/3より、
2p1p2…ps=3(p1-1)(p2-1)…(ps-1)
このとき、左辺には必ず3が現れる。p1=3としてよい。s>1と仮定すると、
p2…ps=(p2-1)…(ps-1)となる。ところがこの式は成り立たない。すなわち、nの素因数分解において3の他に素数は現れない。
よって、n=3^e(e>0)である。
引用終わり

定理3.3(補足)
n=p1^e1・p2^e2…ps^es(piは互いに異なる素数,ei≧1)であれば、次の式が成り立つ。
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)

時間短縮のための補足解説
>よって、p1=2で、p2,…,psは現れない。すなわち、φ(n)=n/2を満たす自然数nは、n=2^e1(e1>0)という形をしている。

n=p1^e1…ps^esの第一番目の素数のみになるという事。(p2,…,psは現れないから。)
よって、n=2^e1

(1),(2)共に別解を作ってみて下さい。また、この問題が作れる法則を考えてみて下さい。

おまけ:https://instagrammernews.com/detail/2897980404791696623
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/30 13:56削除
問題 次の問いに答えよ。
(1)φ(n)=(1/2)nを満たす自然数nを求めよ。
(2)φ(n)=(2/3)nを満たす自然数nを求めよ。

別解
(1)今、nを奇数の因数を全く含まない偶数と考えると、奇数は全てその数と互いに素より、φ(n)=n/2である。
よって、答えは、n=2^m(m∈ℕ)

(2)(1)を参考にしてn=3^m(m∈ℕ)を考えると、3で割ると1余る数と3で割ると2余る数はnと互いに素より、φ(n)=(2/3)nである。
よって、答えは、n=3^m(m∈ℕ)

以上より、この問題は、

φ(n)={(p-1)/p}nを満たす自然数nを求めよ。ただし、pは素数。

と出来、解答は、p^m(m∈ℕ)である。一応、模範解答の方でも証明もしておく。

証明
nの素因数分解をn=p1^e1…ps^es(pi>0)とする。このとき、定理3.3より、
φ(n)/n=(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)―――①と出来る。
また、φ(n)={(p-1)/p}nの両辺をnで割ると、φ(n)/n=(p-1)/p―――②
①,②より、(p-1)/p=(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/ps)
通分して整理すると、(p-1)p1p2…ps=p(p1-1)(p2-1)…(ps-1) 
右辺にpがあるので左辺にもpがあり、p1=pとしても一般性を失わない。
s>1として、p1にpを代入すると、
(p-1)pp2…ps=p(p-1)(p2-1)…(ps-1) 両辺をp(p-1)で割ると、
p2…ps=(p2-1)…(ps-1)
この式は成り立たない。すなわち、nの素因数分解にはp1=pしか現れない。
∴n=p^m(m∈ℕ)

おまけ:
返信
返信1
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/29 12:23 (No.520719)削除
問題
φ(n)=6を満たす自然数nを求めよ。ただし、φ(n)はオイラー関数である。

解答
nを素因数分解してn=p1^e1・・・ps^esとすると、定理3.3より、
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
=p1^(e1-1)・(p1-1)・p2^(e2-1)・(p2-1)・・・ps^(es-1)・(ps-1)
そこで、6=p1^(e1-1)・(p1-1)・・・ps^(es-1)・(ps-1)なる式を考えると、nの素因数として現れるpiはpi≦7でなければならない。このような素数は、2,3,5,7で全部である。このとき、pi-1にあたるものは1,2,4,6である。したがって、nの素因数である可能性のあるpiは2,3,7であることがわかる。すなわち、nは次の形をしている。
n=2^α・3^β・7^γ(0≦α,0≦β,0≦γ)
はじめに、nは3と7の積の形にはなり得ない。何故ならば、n=3^β・7^γとすると、
φ(n)=3^(β-1)・(3-1)・7^γ・(7-1)=12・3^(β-1)・7^γ≠6
また、n=2^αとすると、
φ(n)=2^(α-1)・(2-1)=2^(α-1)≠6
したがって、n=2^α・3^β(0≦α,0≦β)―――① n=2^α・7^γ(0≦α,0≦γ)―――② の場合を考えればよい。
①の場合を調べる。さらに、α=0のとき、n=3^βであるから、
6=φ(n)=3^(β-1)・(3-1)=2・3^(β-1)
ゆえに、3=3^(β-1)であるから、β=2である。したがって、このとき、n=3^2=9
n=2^α・3^β(1≦α,0≦β)のとき、
6=φ(n)=2^(α-1)・(2-1)・3^(β-1)・(3-1)より、3=2^(α-1)・3^(β-1) ゆえに、α=1,β=2 したがって、このとき、n=2^1・3^2=18
②の場合を調べる。さらに、α=0のとき、n=7^γであるから、
6=φ(n)=7^(γ-1)・(7-1)=6・7^(γ-1)
ゆえに、1=7^(γ-1)であるから、γ=1である。したがって、このとき、n=7^1=7
n=2^α・7^γ(1≦α,0≦γ)のとき、
6=φ(n)=2^(α-1)・(2-1)・7^(γ-1)・(7-1)
ゆえに、1=2^(α-1)・7^(γ-1)であるから、α=1,γ=1である。したがって、このとき、n=2^1・7^1=14
以上によって、φ(n)=6を満たす自然数は7,9,14,18である。

定理3.3
n=p1^e1・p2^e2・・・ps^es(piは互いに異なる素数,ei≧1)であれば、次の式が成り立つ。
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)・・・(1-1/ps)
引用終わり

問題
(1)「piはpi≦7でなければならない」理由を述べて下さい。
(2)「piは2,3,7であることがわかる」pi=5が抜ける理由を述べて下さい。
(3)「φ(n)=3^(β-1)・(3-1)・7^γ・(7-1)=12・3^(β-1)・7^γ≠6」γの所がγ-1でない理由を述べて下さい。
(4)「また、n=2^αとすると、φ(n)=2^(α-1)・(2-1)=2^(α-1)≠6」これを「n=2^α・3^β(1≦α,0≦β)のとき」と個別にやる理由を述べて下さい。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/29 13:23削除
問題
(1)「piはpi≦7でなければならない」理由を述べて下さい。
(2)「piは2,3,7であることがわかる」pi=5が抜ける理由を述べて下さい。
(3)「φ(n)=3^(β-1)・(3-1)・7^γ・(7-1)=12・3^(β-1)・7^γ≠6」γの所がγ-1でない理由を述べて下さい。
(4)「また、n=2^αとすると、φ(n)=2^(α-1)・(2-1)=2^(α-1)≠6」これを「n=2^α・3^β(1≦α,0≦β)のとき」と個別にやる理由を述べて下さい。

解答
(1)6=p1^(e1-1)・(p1-1)・・・ps^(es-1)・(ps-1)という式のp1=7,e1=1の場合がpiの最大の時だから。
因みに、piは素数だからφ(pi)=6と言ったらpi=7なので、pi≧11(7の次の素数)の訳がない。

(2)pi=5は、pi-1=4=2^2となり、φ(n)=2・3の2^1に矛盾するから。

(3)誤植です。

(4)定理3.3は指数がei≧1だから0の場合は個別にやらなければならない。
厳密には、
n=2^α・3^β(0≦α,1≦β)―――① 
n=2^α・7^γ(0≦α,1≦γ)―――② 
n=2^α・3^β(1≦α,1≦β)のとき、
n=2^α・7^γ(1≦α,1≦γ)のとき、
と訂正すべきである。

おまけ:
返信
返信1
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/28 14:44 (No.519860)削除
問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805180001/

暗算で解けました。意外と良問なのではないでしょうか。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/29 07:32削除
解答
各辺の長さは全て等しいので、AB=AD,CB=CD,BDは共通より、三辺相等で△ABDと△CBDは合同。よって、∠BAD=∠BCD=90°(対称性より四角形BCDEは正方形になるから。念のため、4辺が等しいだけではひし形だが、それではAB=AC=AD=AEとはならない。)
よって、△ABDは直角二等辺三角形である。ところで、対称性より、Aから平面BCDEに垂線を下ろすと正方形BCDEの対角線の交点に下りる。その点をHとすると、HはBDの真ん中の点で△ABDは直角二等辺三角形より、△ABHと△ADHも合同な直角二等辺三角形になる。
よって、AH=BH=DH よって、BD=AH×2=10×2=20cm よって、正方形BCDE=20×20÷2=200cm^2 
よって、四角錘A-BCDE=200×10×(1/3)=2000/3=666と2/3cm^2
よって、答えは、666と2/3cm^2

おまけ:
返信
返信1
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/26 13:50 (No.517783)削除
問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805190001/

暗算で解けました。ただし、暗算で解くには相当算数慣れしていないと無理だと思います。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/28 07:54削除
解法1 
1つのトゲに注目すると、対称性から二等辺三角形で△ABCとする。
また、bの頂点の所を全部結ぶと、対称性から正十二角形が出来る。
よって、その内角の和は公式より、
180°×(12-2)=1800°
よって、1つの内角は、1800°÷12=150°(公式を使わない場合は、正十二角形の中心をOとすると、
∠BOC=360°÷12=30°よって、∠OBC=(180°-30°)÷2=75°よって、正十二角形の1つの内角はこの2倍で150°と求めれば良い。)
ここで、BCの隣りの頂点をDとすると、
∠BCD=150°また、CDを底辺とした二等辺三角形(隣りのトゲ)の頂点をEとすると、b=150°+∠ACB+∠ECD=150°+∠ACB+∠ABC=150°+180°-a
よって、a+b=330°(これは移項しているように見えるが、じっくり考えていると図形的にa+bが閃いて小学生でも作れる。)
よって、a=30°,b=300°とすると、条件の10倍に合う。
よって、b=300°より、
∠ACE=360°-300°=60°
また、AC=ECより△CAEは正三角形。よって、∠CAE=60°また、∠BAC=a=30°より、∠BAE=30°+60°=90°
また、AB=AC,AC=AEより、AB=AE よって、四角形ABDEは正方形である。(対称性も考えて)
ところで、bが頂点の正十二角形を1つ飛ばしで考えると、正六角形になる。
つまり、BDを1辺とした正六角形に正方形ABDEが6個くっついた図形を考えると、正六角形は正三角形が6個集まった形なので、その正六角形を6個の正三角形に分割して先の正三角形CAEの所(他5か所も)に移動させると、求める面積は、正方形ABDE6個分である事が分かる。
よって、答えは、2×2×6=24cm^2

解法2は次回。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/28 21:01削除
解法2
ところで、この図形は二十四角形(二十四辺形)なので、多角形の内角の和の公式より、内角の和=180°×(24-2)
=180°×22=3960°よって、
a+b=3960°÷12=330°
よって、a=30°,b=300°に取ると、条件の10倍を満たす。
よって、a=30°
また、bの頂点の所を全部結ぶと、対称性から正十二角形が出来る。その正十二角形の中心をOとすると、1つの中心角は、
360°÷12=30°より頂角が30°の二等辺三角形が出来る。
それと1つのトゲの部分と合わせると、1辺が2cmのひし形が出来、そのひし形の1つの鈍角から対辺に垂線を下ろすと30°,60°,90°の直角三角定規型が出来るので、その高さは2÷1=1cm
よって、ひし形の面積は2×1=2cm^2
ところで、求める面積はそのひし形12個分なので、2×12=24cm^2
よって、答えは、24cm^2

おまけ:
返信
返信2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/25 07:55 (No.516550)削除
問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805200000/

一応、算数もどきと2通りやりますね。因みに、検索しても出ませんでした。

おまけ:

https://news.yahoo.co.jp/articles/bdc33946c8f20d38f22bd9208e20269a1b913846
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/27 07:22削除
解法1
正方形の左上の頂点から反時計回りにA~Dと振り、BCと平行な線分をEF,ABと平行な線分をGHとし、EFとGHの交点をIとする。(アの部分は長方形AEIGとなる。)
今、BHを3等分した点を左からJ,K、DFを2等分した点をLとし、J,K,Lから正方形の各辺と平行な線分を引くと、点J,K,Hは辺BCを4等分し、点L,Fは辺DCを3等分しているので、それらの線分で正方形ABCDは3×4=12等分されている。
また、アの部分の長方形は小さい長方形6個分(数えても良いが2×3=6個)より、小さい長方形1つの面積は、72÷6=12cm^2
よって、元の正方形の面積は、12×12=144cm^2 よって、答えは、144cm^2

念のため、オリジナルです。

おまけ:https://instagrammernews.com/detail/2912952538028162992
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/27 07:49削除
解法2
正方形の左上の頂点から反時計回りにA~Dと振り、BCと平行な線分をEF,ABと平行な線分をGHとし、EFとGHの交点をIとする。(アの部分は長方形AEIGとなる。)
イ:エ=3:1より、BH:CH=3:1 よって、CH=(1),BH=(3)と置く。
また、ウ:エ=2:1より、DF:CF=2:1 よって、DF=②,CF=①と置く。
よって、ア=(3)×②=72cm^2―――(a)
また、BC=DCより、(4)=③ この両辺を3で割ると、(4/3)=① 
よって、②=(8/3)―――(b)
(b)を(a)に当てはめると、
(3)×(8/3)=72cm^2 よって、(1)×(8)=72cm^2 
よって、(1)×(1)=72÷8=9cm^2
よって、(1)=3cm よって、BC=(4)=3×4=12cm よって、DC=12cm
よって、正方形ABCDの面積は、12×12=144cm^2 
よって、答えは、144cm^2

算数もどきの解法は、中学受験参考書で見かけますが、どこまで使って良いかは分かりません。

おまけ:
返信
返信2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/24 07:54 (No.515678)削除
問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201805210001/

一応、算数で2通り作ってみました。私はたまたまですが、結構難しい問題のようです。https://sansu-seijin.jp/nyushimondai/2017-nyushimondai/8215/
あと、私は厳密に算数の範囲を知りません。例えば、等脚台形の性質や平行四辺形の性質や多角形の内角の和などを(どこまで)使って良いかとか。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/25 07:34削除
解法1
弧DE上にDF=3cm,EF=5cmとなる点Fを取ると、△AEBと△FDEと△CBDは合同になるので、∠EAB=∠DFE=∠BCD―――①
また、△EAFと△DFCと△BCAも合同になり、△AFCは正三角形になる。
よって、∠AEF=∠FDC=∠CBA―――②
ところで、同じ円に内接している正三角形は合同なので、△AFCと△EDBは合同である。
つまり、(△AEBと△FDEと△CBD)と(△EAFと△DFCと△BCA)は全て合同になる。よって、①と②の角度は全て等しい。
ここで、多角形の内角の和の公式より、六角形の内角の和は、180°×(6-2)=180°×4=720°(これは使わなくても出来るが省略。)
よって、①,②の角度は、
720°÷6=120°である。
今、ABの延長とDCの延長との交点をGとすると、∠ABC=∠DCB=120°より、∠GBC=∠GCB=180°-120°=60°よって、△GBCは正三角形。よって、GB=GC=3cm,∠BGC=60°
よって、GA=3+5=8cm,GD=3+5=8cm,∠AGD=60°より、△GADは頂角が60°の二等辺三角形より正三角形。
よって、AD=GA=8cm 
よって、答えは、8cm

おまけ:

https://instagrammernews.com/detail/2910830734743026883
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/25 13:49削除
解法2
CEを結ぶと、円の中で適当な線分ABがあって、AE=BCなので、四角形AECBは等脚台形になる。(小学生には証明は無理だが、そうなる事は分かるだろう。因みに、受験算数では1+2+・・・+n=n×(n+1)÷2を使うが、証明はしているのだろうか。)
よって、AB//EC,AC=BE=7cm よって、ED=AC=7cm よって、円の中にある線分EAがあってED=ACより、四角形EDCAも等脚台形である。よって、△ECDと△ADCは合同である。よって、∠DEC=∠CAD―――①
また、四角形AECBが等脚台形である事より、ACとBEの交点をFとすると△FABと△FECは相似な二等辺三角形(対称性と錯角から証明出来る)で∠FEC=∠FAB
よって、∠BEC=∠CAB―――②
①+②より、∠DEB=∠DAB 
ところで、△BDEは正三角形より∠DEB=60°よって、∠DAB=60°
ここで、ADとECの交点をGとすると、
AB//ECよりAB//GC―――③ また、円の中にある線分BCがあってBA=CDより四角形BADCは等脚台形。
よって、BC//ADより、BC//AG―――④
③,④より、四角形AGCBは平行四辺形。よって、AG=BC=3cm―――(ア)
また、AB//GCより同位角で∠DGC=DAB=60°ところで、四角形EDCAが等脚台形である事より対称性で、△GDCは二等辺三角形である。よって、△GDCは頂角が60°の二等辺三角形より正三角形。よって、GD=CD=5cm―――(イ)
(ア),(イ)より、AD=AG+GD=3+5=8cm よって、答えは、8cm

因みに、∠DAB=60°から四角形BADCが等脚台形である事を利用して、さらにABの延長とDCの延長との交点をGとして△GBCと△GADが正三角形である事を利用しても良い。(ただし、これは解法1とダブる。)

おまけ:

https://www.dailyshincho.jp/article/2020/11041146/?photo=2
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/26 07:57削除
解法3
円の中心をOとすると、正三角形の中心と一致している。よって、OB,OD,OEを結ぶと、∠BOE=∠EOD=∠DOB=360°÷3=120°
よって、優角EOB=240°
ところで、半径より△OBAと△OAEはそれぞれ二等辺三角形より、∠OBA=∠OAB=×,∠OAE=∠OEA=○と置き、AOの延長上に点Fを取ると、△OBAの内対角の和より、∠FOB=×× また、△OAEの内対角の和より、∠FOE=○○ よって、優角EOB=∠FOE+∠FOB=○○××
よって、○○××=240°という事が分かるので、○×=120°である。
よって、∠EAB=∠OAE+∠OAB=○×=120°
よって、∠EAB=120°―――①
また、△OADも二等辺三角形より、∠OAD=∠ODA=●と置くと、△OADの内対角の和より、∠FOD=●● 
よって、∠DOB=∠FOD+∠FOB=●●××=120°
よって、●×=60°よって、∠DAB=∠OAD+∠OAB=●×=60°
よって、∠DAB=60°―――②
ところで、△ABEと△CDBは三辺相等で合同より、∠BCD=∠EAB=120°(①より)
また、∠AEB=∠CBD=△,∠ABE=∠CDB=□と置くと、△+□=180°-120°=60°で、∠ABC=□+60°+△より、
∠ABC=60°+60°=120°
よって、四角形ABCDの内角の和より、
∠ADC=360°-60°-120°-120°=60°
よって、∠DAB=∠ADC=60°,∠ABC=∠BCD=120°である。よって、四角形ABCDは等脚台形。
よって、ABとDCの延長との交点を定めて解法1のように解いてもいいし、CからABと平行な直線を引きADとの交点を定めて解法2のように解いても良い。以下省略。

一応、四角形ABCDが等脚台形の証明は、ABの延長上に点Gを取ると、∠GBC=180°-120°=60°また、∠DAB=60°より同位角が等しいので、AD//BC また、∠DAB=∠ADBより等脚台形。因みに、最後の所をAB=CDでやると平行四辺形の可能性もあるのでダメ。

おまけ:
返信
返信3
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/22 13:24 (No.513968)削除
改題 その3
https://sansu-seijin.jp/drill/1877/

色部分の周の長さを積分で求めて下さい。

おまけ:
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/23 20:59削除
解答
正方形の左上の頂点から反時計回りにA~Dと振り、色部分の中央上の点から反時計回りにP~Sと振る。
ここで、点Bをxy座標の原点に置き、BCをx軸,ABをy軸に取ると、
A(0,6),C(6,0),D(6,6)
また、弧PSの方程式は、x^2+y^2=6^2―――☆
ところで、曲線の長さの公式は、
L=∫(a~b)√{1+(dy/dx)^2}dx
https://rikeilabo.com/curve-length
ここで、☆の両辺をxで微分すると、
2x+2yy'=0 ∴y'=-x/y 
∴dy/dx=-x/y
また、点Pのx座標は、x=3
点Sのx座標は、計算省略で3√3(△SABが正三角形より裏が取れるだろう。)
よって、公式より、
PS=∫(3~3√3)√{1+(-x/y)^2}dx
=∫(3~3√3)√(1+x^2/y^2)dx
=∫(3~3√3)√{1+x^2/(6^2-x^2)}dx
=∫(3~3√3)√{36/(36-x^2)}dx
=∫(3~3√3){6/√(36-x^2)}dx
=6∫(3~3√3){1/√(36-x^2)}dx―――☆☆
ここで、x=6sinθと置いて両辺をθで微分すると、dx/dθ=6cosθ
∴dx=6cosθdθ―――①
また、3=6sinθとすると、sinθ=1/2 ∴θ=30°=π/6―――②
また、3√3=6sinθとすると、sinθ=√3/2 ∴θ=60°=π/3―――③
x=6sinθ―――④ 
①~④を☆☆に代入すると、
PS=6∫(π/6~π/3)[1/√{36-(6sinθ)^2}]6cosθdθ=6∫(π/6~π/3)[{1/(1-sin^2θ)}cosθ]dθ
=6∫(π/6~π/3){(1/cosθ)cosθ}dθ
=6∫(π/6~π/3)1dθ
=6[θ](π/6~π/3)
=6(π/3-π/6)=6(π/6)=π
∴PS=πcm
よって、答えは、この4倍で、4πcm

おまけ:
返信
返信1

Copyright © 数学, All Rights Reserved.