数学

問題
次の合同式を証明せよ。
１^30＋２^30＋・・・・＋１０^30≡－１（mod１１）

別解
１１は素数より、フェルマーの小定理https://manabitimes.jp/math/680
を使うと、
ａ^(11-1)≡１（mod１１）より、
ａ^10≡１（mod１１）
この両辺を３乗すると、
ａ^30≡１（mod１１）
よって、ａ＝１～１０まで代入して総和を取ると、
１^30＋２^30＋・・・・＋１０^30≡１＋１＋・・・＋１＝１０≡－１（mod１１）
∴１^30＋２^30＋・・・・＋１０^30≡－１（mod１１）
よって、示された。

おまけ：

問題
１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れることを証明せよ。

別解１
１０≡３（mod７），１０≡１（mod９）
１０≡－１（mod１１），
１０≡－３（mod１３）
１０≡３（mod７）の両辺を６乗すると、
１０^6≡３^6＝７２９≡１（mod７）
この両辺をｎ乗すると、
１０^6n≡１（mod７）
∴１０^6n－１≡０（mod７）
よって、１０^6n－１は７で割り切れる。
また、１０≡１（mod９）の両辺を６ｎ乗すると、１０^6n≡１（mod９）
∴１０^6n－１≡０（mod９）
よって、１０^6n－１は９で割り切れる。
また、１０≡－１（mod１１）の両辺を６ｎ乗すると、
１０^6n≡(－１)^6n＝１（mod１１）
∴１０^6n－１≡０（mod１１）
よって、１０^6n－１は１１で割り切れる。
また、１０≡－３（mod１３）の両辺を６乗すると、１０^6≡(－３)^6＝７２９≡１（mod１３）
この両辺をｎ乗すると、
１０^6n≡１（mod１３）　
∴１０^6n－１≡０（mod１３）
よって、１０^6n－１は１３で割り切れる。
以上より、１０^6n－１は７，９，１１，
１３で割り切れる。

中途半端な別解。

おまけ：

問題
１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れることを証明せよ。

別解２
１０^6n－１＝(１０^3n)^2－１
＝(１０^3n＋１)(１０^3n－１)
={(１０^3)^n＋１}{(１０^3)^n－１}
（ⅰ）ｎが奇数の場合
(１０^3)^n＋１
＝(１０^3＋１){(１０^3)^(n-1)－(１０^3)^(n-2)＋・・・・－１０^3＋１}で、
１０^3＋１＝１００１＝７・１１・１３
よって、１０^6n－１は７，１１，１３で割り切れる。
また、(１０^3)^n－１
＝(１０^3－１){(１０^3)^(n-1)＋(１０^3)^(n-2)＋・・・・＋１０^3＋１}で、
１０^3－１＝９９９
よって、１０^6n－１は９で割り切れる。
以上より、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。
（ⅱ）ｎが偶数の場合
(１０^3)^n－１
＝(１０^3＋１){(１０^3)^(n-1)－(１０^3)^(n-2)＋・・・・＋１０^3－１}で、
１０^3＋１＝１００１＝７・１１・１３
よって、１０^6n－１は７，１１，１３で割り切れる。
また、(１０^3)^n－１
＝(１０^3－１){(１０^3)^(n-1)＋(１０^3)^(n-2)＋・・・・＋１０^3＋１}で、
１０^3－１＝９９９
よって、１０^6n－１は９で割り切れる。
以上より、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。
（ⅰ），（ⅱ）より、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。

因みに、私が中学生の時には常識でしたが、
ｎが偶数の時、ａ^n－ｂ^n＝(ａ＋ｂ){ａ^(n-1)－ａ^(n-2)ｂ＋・・・・－ｂ^(n-1)}
という公式は忘れ去られてしまったのでしょうか。ネットでは見た事がありません。
参考：https://manabitimes.jp/math/576
https://math.nakaken88.com/textbook/standard-difference-of-n-th-powers/
https://mathwords.net/insubunkaikoshiki

おまけ：

解答
算数や数学の問題の折れ線の最短距離の問題の定石には次のようなものがある。https://hibikore-tanren.com/broken-line/
この定石を使うために、問題の図の長方形をＰＱの長さ分縮めて考えて求めても良いが、私のオリジナルを紹介しよう。
ところで、ビリヤードで球をクッション（壁）で反射させると（球に変化を付けていなければ）、入射角と反射角は等しい。つまり、それが最短の軌道である。
そう考えると、問題の図の∠ＡＰＢと∠ＥＱＣが等しい時が最短距離である。また、その時、△ＡＰＢと△ＥＱＣは相似で相似比は５：３で、ＢＰ＋ＱＣ＝１０－３＝７ｃｍより、ＱＣ＝(３/８)×７＝２１/８ｃｍ
よって、答えは、２と５/８ｃｍ

おまけ：

何でもありの解法
ＱＣ＝ｘと置くと、ＢＰ＝７－ｘ　よって、△ＡＢＰと△ＥＣＱで三平方の定理を使うと、
ＡＰ＝√{(７－ｘ)^2＋５^2}＝√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)，ＱＥ＝√(ｘ^2＋９)
よって、ｙ＝ＡＰ＋ＱＥと置くと、
ｙ＝√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)＋√(ｘ^2＋９)
ところで、ＰＱを点Ｂの所から点Ｃの所まで移動させると、ＡＰ＋ＱＥの長さは徐々に減って、ある地点で最小になりまた徐々に増える事が分かる。つまり、１回微分してイコール０とした時のｘの値を求めれば良い。
∴ｙ'＝(２ｘ－１４)/２√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)＋２ｘ/２√(ｘ^2＋９)＝０
∴(ｘ－７)/√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)＋ｘ/√(ｘ^2＋９)＝０
∴(ｘ－７)√(ｘ^2＋９)＋ｘ√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)＝０
∴(ｘ－７)√(ｘ^2＋９)＝－ｘ√(ｘ^2－１４ｘ＋７４)
∴(ｘ－７)^2(ｘ^2＋９)＝ｘ^2(ｘ^2－１４ｘ＋７４)
∴(ｘ^2＋９)(ｘ^2－１４ｘ＋４９)＝ｘ^4－１４ｘ^3＋７４ｘ^2
∴ｘ^4－１４ｘ^3＋４９ｘ^2＋９ｘ^2－１２６ｘ＋４４１＝ｘ^4－１４ｘ^3＋７４ｘ^2
∴１６ｘ^2＋１２６ｘ－４４１＝０
これを解の公式で解くと、
ｘ＝{－６３±√(６３^2＋１６・４４１)}/１６＝(－６３±１０５)/１６＝４２/１６，－１６８/１６＝２１/８，－２１/２
ｘ＞０より、ｘ＝２１/８　∴ＱＣ＝２１/８ｃｍ
よって、答えは、２と５/８ｃｍ

おまけ：

問題
ｘ^2≡３５（mod１００）は解をもたないことを証明せよ。

別解
ｘ^2－３５≡０（mod１００）より、ｘ^2－３５は１００の倍数である。
よって、ｘの一の位は５である。ところが、５，１５，２５，・・・・の２乗を考えると、２５，２２５，６２５，・・・など下２桁は２５である。よって、ｘ^2－３５は１００の倍数にはなり得ない。
よって、ｘ^2≡３５（mod１００）は解を持たない。

補足
５，１５，２５，・・・・の２乗の下２桁は２５である証明。
１０ｍ＋５（ｍ∈ℤ）と置いて２乗すると、
(１０ｍ＋５)^2＝１００ｍ^2＋１００ｍ＋２５
＝１００(ｍ^2＋ｍ)＋２５
よって、下２桁は２５である。

おまけ：

解答
ｘ＝７^2008と置いて、両辺の常用対数を取ると、
logｘ＝log(７^2008)＝２００８・log７＝２００８・０．８４５＝１６９６．７６
∴１６９６＜logｘ＜１６９７
∴１０^1696＜ｘ＜１０^1697
これは、ｘが１６９７桁の数字である事を意味している。
例えば、１０＜ｘ＜１０^2だったら、ｘは２桁である事は自明だろう。
よって、答えは、１６９７桁。

一応、pythonで裏取りをすると、
検算１
len(str(7**2008))
結果
1697

検算２
import math
int(math.log10(7**2008))+1
結果
1697

よって、ＯＫ。

おまけ：

問題
次の連立合同式を解け。
２ｘ≡１（mod５）
３ｘ≡４（mod７）

別解１
２ｘ≡１（mod５）―――①　
３ｘ≡４（mod７）―――②
また、５ｘ≡０（mod５）―――③
７ｘ≡０（mod７）―――④
③－①より、３ｘ≡－１≡９（mod５）
３と５は互いに素より、ｘ≡３（mod５）―――（ア）
④－②より、４ｘ≡－４（mod７）
４と７は互いに素より、ｘ≡－１≡６（mod７）―――（イ）
（ア）より、ｘ＝５ｔ＋３（ｔ∈ℤ）と置ける。これを（イ）に代入すると、５ｔ＋３≡６（mod７）∴５ｔ≡３（mod７）―――⑤
また、７ｔ≡０（mod７）―――⑥
⑥－⑤より、２ｔ≡－３≡１８（mod７）
２と７は互いに素より、ｔ≡９（mod７）
この全てを5倍すると、５ｔ≡４５（mod３５）
∴ｘ＝５ｔ＋３≡４５＋３＝４８≡１３（mod３５）
∴ｘ≡１３（mod３５）

中途半端な別解です。

おまけ：

問題
次の連立合同式を解け。
２ｘ≡１（mod５）
３ｘ≡４（mod７）

別解２
２ｘ≡１（mod５）―――①　
３ｘ≡４（mod７）―――②
また、５ｘ≡０（mod５）―――③
７ｘ≡０（mod７）―――④
③－①より、３ｘ≡－１≡９（mod５）
３と５は互いに素より、ｘ≡３（mod５）―――（ア）
④－②より、４ｘ≡－４（mod７）
４と７は互いに素より、ｘ≡－１≡６（mod７）―――（イ）
（ア）の全てに７を掛けると、
７ｘ≡２１（mod３５）―――⑤
また、（イ）の全てに５を掛けると、
５ｘ≡３０（mod３５）―――⑥
⑤－⑥より、２ｘ≡－９≡２６（mod３５）
２と３５は互いに素より、
ｘ≡１３（mod３５）

ちょっと検索した所、このように解いている人はいないようですが、何故なのでしょう。

おまけ：

解答
７
７×７＝４９
７×７×７＝３４３
７×７×７×７＝２４０１
これに７を掛けると十の位と一の位は０７になり、以後同じ事を繰り返すことが分かる。
そこで、２００８÷４＝５０２・・・０より、４の倍数なので周期的に７×７×７×７＝２４０１と同じになる事が分かる。
よって、答えは、０と１

裏取りで検索しても解答がないので、pythonで計算すると、
7**2008
結果
90544974055997865445693479242901554832182706850565464167556180338534794598423771363105958598146099281392179756207765632773662483836406798758411752066622902308605659632876352529481112178776991389404109705901252493060303183862973924893130494281412381549242820126803964480006016686472510780038153233407750607637382783907418076445432622625571349344318856091816595949380670301078391588144664220074801630338411901479607275222527757724474192839483557048524563529565426570175995532623859054577686058007862785808017626843683917783756044802768639604107408161384889662579127489587141049377261276017543840791400213443338377558322852472018356427228531567978171319814711828863414647258974938196258871083027320133196427080553033269871266434986448387984798210030954731539432063405155223541338532184861837298968441941202879269439465798038468650438784333226969380443982787834929136117851754220112768987336027389638596866451780461753674366947369919287563326084166605208435608173933750233705748467931215653238184513447104504982719055927559457357874269943158576237473054164856166390977474347481883415084667135173956116477967722873625836873767755734425242631148048914835464504822551418644534049164672978584903804286241970861249755577385291454829370485795026334973304833933822024435631867524775231721692752277748918285091614574114086609805376299788891464180213970299063105082589397074057830654029647462326804864193588680433346365291346602631640297507913321168085878676127296490633282613350567984526901963371382076526862162429613854411860338684824263370426772758424676947666759331457127190481820582422909019320989571033183852852846989857290968131922726034363653980621052283469116724249224469668096446380585052628326964801

よって、０と１でＯＫ。因みに、この数字の桁数は、１６９７桁。（一応、プログラムはlen(str(7**2008))）

おまけ：

問題
ｎ，ａ，ｂを正の整数とするとき、次を示せ。
(ａ，ｎ)＝１，(ｂ，ｎ)＝１ ⇒ (ａｂ，ｎ)＝１

別解１
下の定理より、ある整数ｘ，ｙ，ｘ'，ｙ'が存在して、ａｘ＋ｎｙ＝１，ｂｘ'＋ｎｙ'＝１と出来る。２式を掛け合わせると、
(ａｘ＋ｎｙ)(ｂｘ'＋ｎｙ')＝１　これを展開すると、
ａｂｘｘ'＋ａｎｘｙ'＋ｂｎｘ'ｙ＋ｎ^2・ｙｙ'＝１
∴ａｂｘｘ'＋ｎ(ａｘｙ'＋ｂｘ'ｙ＋ｎｙｙ')＝１
ここで、ａｂとｎに２以上の公約数があったとすると、左辺はその数でくくれ、右辺は１より矛盾する。つまり、ａｂとｎは互いに素である。
∴(ａｂ，ｎ)＝１　よって、示された。

定理
２つの整数ａ，ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ，ｙが存在する。すなわち、
(ａ，ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ，ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ

おまけ：

問題
ｎ，ａ，ｂを正の整数とするとき、次を示せ。
(ａ，ｎ)＝１，(ｂ，ｎ)＝１ ⇒ (ａｂ，ｎ)＝１

別解２
(ａ，ｎ)＝１より、ａとｎは互いに素であり、
(ｂ，ｎ)＝１より、ｂとｎも互いに素である。
よって、ａとｂを掛け合わせたａｂもｎと互いに素である。
∴(ａｂ，ｎ)＝１　よって、示された。

おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2897980404791696623

解答
３つの円の中心を正面上の円の中心から反時計回りにＯ1～Ｏ3と置き、円Ｏ1と円Ｏ2の点Ａじゃない方の交点をＢ，円Ｏ2と円Ｏ3の点Ａじゃない方の交点をＣ，円Ｏ3と円Ｏ1の点Ａじゃない方の交点をＤとすると、Ｏ1ＢＯ2ＣＯ3Ｄは六角形になり、その内角の和は公式より、１８０°×(６－２)＝１８０°×４＝７２０°
また、３つの円の半径が等しいので、四角形Ｏ1ＢＯ2Ａ，Ｏ2ＣＯ3Ａ，Ｏ3ＤＯ1Ａはそれぞれひし形となり、
∠Ｏ1ＢＯ2＝∠Ｏ1ＡＯ2―――①　
∠Ｏ2ＣＯ3＝∠Ｏ2ＡＯ3―――②　
∠Ｏ3ＤＯ1＝∠Ｏ3ＡＯ1―――③　
①＋②＋③より、∠Ｏ1ＢＯ2＋∠Ｏ2ＣＯ3＋∠Ｏ3ＤＯ1＝∠Ｏ1ＡＯ2＋∠Ｏ2ＡＯ3＋∠Ｏ3ＡＯ1＝３６０°
また、六角形Ｏ1ＢＯ2ＣＯ3Ｄの内角の和が７２０°より、
∠ＤＯ1Ｂ＋∠ＢＯ2Ｃ＋∠ＣＯ3Ｄ＝７２０°－３６０°＝３６０°
よって、弧ＤＢ＋弧ＢＣ＋弧ＣＤの長さは、円Ｏ1（Ｏ２でもＯ3でも良い）の周の長さと等しい。
よって、１０×３．１４＝３１．４ｃｍ
よって、黄色い部分の周の長さは、３１．４ｃｍ

おまけ：

邪道解
交わり方に条件がないので、どんな交わり方でも一定になる事が推定できる。
そこで、２円の接点をＡとし、点Ａを通る第３の円を左右のバランスよく置いて、それぞれの円の中心と交点を考えると、半径の長さの正方形を２つくっつけた長方形が現れ、黄色部分の周の長さは、四分円４個分の周の長さより、１つの円の円周と等しい事が分かる。
よって、答えは、１０×３．１４＝３１．４ｃｍ

または、図の３つの部分を均等にし、それぞれの円同士の交点をＰ ，Ｑ，Ｒとすると、△ＰＱＲは正三角形で点Ａはその重心より∠ＰＡＱ＝∠ＱＡＲ＝∠ＲＡＰ＝３６０°÷３＝１２０°
また、１つの円の中心をＯとすると、∠ＯＡＰ＝∠ＯＡＱ＝１２０°÷２＝６０°で半径よりＯＡ＝ＯＰなので、△ＯＡＰは正三角形。よって、∠ＡＯＰ＝６０°
よって、弧ＡＰの長さは１つの円の円周の１/６より、黄色部分の周の長さはその６個分より、円周と等しい。
よって、答えは、１０×３．１４＝３１．４ｃｍ

おまけ：

解法１
条件より、Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ―――①
Ａ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＜Ｂ＋Ｆ―――②
また、Ａ～Ｆの全ての重さは、１×４＋２×１＋３×１＝４＋２＋３＝９ｇ
よって、②より、Ａ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝４，Ｂ＋Ｆ＝５である。つまり、Ａ＝Ｃ＝Ｄ＝Ｅ＝１ｇ，また、Ｂ，Ｆはどちらかが２ｇと３ｇ。
Ｂを２ｇとすると、①より２＋１＋１＝１＋ＦでＦを３ｇとすれば合う。
また、Ｆを２ｇとすると、①よりＢ＋１＋１＝１＋２でＢを３ｇとすると不適。
よって、Ｂ＝２ｇ，Ｆ＝３ｇ　
よって、答えは、２ｇはＢ，３ｇはＦ

おまけ：

解法２
条件より、Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ―――①
Ａ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＜Ｂ＋Ｆ―――②
①より、Ｅ，Ｆを共に１にすると成り立たないので、Ｅ，Ｆの少なくとも１つは２か３である。（左辺は３以上（実際は４以上）だから。）
また、Ｅ，Ｆを２と３にしても成り立たない。よって、Ｅ，Ｆは１と２か１と３の組み合わせである。
（ⅰ）Ｅ，Ｆが１と２の組み合わせの場合、①より１＋１＋１＝１＋２で残りのＡは３ｇである。
ところが、②よりＡ＝３では成り立たない。（左辺が右辺より大きくなってしまうから。）
（ⅱ）Ｅ，Ｆが１と３の組み合わせの場合、全ての場合を書き出すと（３×２＝６通り）、
Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ａ
１＋１＋２＝１＋３　１
１＋１＋２＝３＋１　１
１＋２＋１＝１＋３　１
１＋２＋１＝３＋１　１
２＋１＋１＝１＋３　１
２＋１＋１＝３＋１　１
よって、②より、上から調べていくと、
１＋１＋２＋１＜１＋３　不適
１＋１＋２＋３＜１＋１　不適
１＋２＋１＋１＜１＋３　不適
１＋２＋１＋３＜１＋１　不適
１＋１＋１＋１＜２＋３　適正
１＋１＋１＋３＜２＋１　不適

よって、Ｂ＝２ｇ，Ｆ＝３ｇ
よって、答えは、２ｇはＢ，３ｇはＦ

念のため、私のオリジナルです。もっとも、こんな効率の悪いのはあまり作らないと思いますが。

おまけ：

問題１の解答
線分図を描くと、
男子――――
女子―

それぞれ１６人増えると、

男子――――-
女子―-

「―」が初めのの女子の人数で「-」が１６人である。この女子の３倍が男子と等しいので、

男子――――-
女子―-―-―-

それぞれの等しい部分を相殺させて考えると、男子の「―」と女子の「--」が残って等しい事が分かる。つまり、女子の初めの人数は１６×２＝３２人である。

よって、男子の初めの人数は、３２×４＝１２８人で女子の初めの人数は、３２人。

おまけ：

https://president.jp/articles/-/55495?page=3

問題２の解答
長方形の短い辺と長い辺に注目して、１８ｃｍの所の一番右の短い辺を６ｃｍの下の所に移動させると、縦は長い辺になるので、１８ｃｍ＋６ｃｍ＝長い辺２本＋短い辺１本となる。

つまり、長い辺２本＋短い辺１本＝２４ｃｍ―――①　
また、１８ｃｍの所から、長い辺１本＋短い辺２本＝１８ｃｍ―――②

①と②を全て加えると、長い辺３本＋短い辺３本＝４２ｃｍ　
よって、長い辺１本＋短い辺１本＝４２÷３＝１４ｃｍ―――③

①－③より、長い辺１本＝２４－１４＝１０ｃｍ
②－③より、短い辺１本＝１８－１４＝４ｃｍ

よって、長方形の面積は、１０×４＝４０ｃｍ^2

おまけ：

（１）の別解
３１ｘ≡３（mod５６）―――①　
また、５６ｘ≡０（mod５６）―――②
②－①より、２５ｘ≡－３（mod５６）　
∴２５ｘ≡－３＋５６×３＝１６５（mod５６）
ところで、２５と５６は互いに素より、両辺を５で割ると、５ｘ≡３３≡３３＋５６×２＝１４５（mod５６）　∴５ｘ≡１４５（mod５６）
∴ｘ≡２９（mod５６）

（２）の別解１
(４１，３１０)＝１，１｜１０であるから、定理2.4より解は３１０を法として唯１つである。
４１ｘ≡１０（mod３１０）―――①
また、３１０ｘ≡０（mod３１０）―――②
①×１０より、４１０ｘ≡１００（mod３１０）―――①'
①'－②より、１００ｘ≡１００（mod３１０）
この全てを１０で割ると、１０ｘ≡１０（mod３１）
また、１０と３１は互いに素より、両辺を１０で割ると、ｘ≡１（mod３１）
∴ｘ＝１，３２，６３，９４，１２５，１５６，１８７，２１８，２４９，２８０，・・・
ところで、①よりｘの一の位は０である。（４１ｘを３１０で割った余りが１０なのだから。）

∴ｘ≡２８０（mod３１０）

おまけ：

（２）の別解２
４１ｘ≡１０（mod３１０）―――①
また、３１０ｘ≡０（mod３１０）―――②
①×１０より、４１０ｘ≡１００（mod３１０）―――①'
①'－②より、１００ｘ≡１００（mod３１０）―――③
また、①×２より、８２ｘ≡２０（mod３１０）―――①''
③－①''より、１８ｘ≡８０（mod３１０）―――④
①－④より、２３ｘ≡－７０≡２４０（mod３１０）―――⑤
⑤－④より、５ｘ≡１６０（mod３１０）―――⑥
⑥×３より、１５ｘ≡４８０（mod３１０）―――⑦
④－⑦より、３ｘ≡－４００≡２２０（mod３１０）―――⑧
⑧×２より、６ｘ≡４４０≡１３０（mod３１０）―――⑨
⑨－⑥より、ｘ≡－３０≡２８０（mod３１０）

∴ｘ≡２８０（mod３１０）

おまけ：