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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/8 11:28 (No.499540)削除問題
次の文章を解説して下さい。ただし、完全解説をして下さい。
例題2.4
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
解答
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａは合同式５ａ≡１１（mod７）を満たす。この合同式を解くと、ａ≡５（mod７）ゆえに、ａ＝７ｔ＋５（ｔ∈ℤ）と表される。このとき、ｂはｂ＝－(５ｔ＋２)と表される。
ａの範囲 －２０＜ａ＜３０から、ｔの範囲は －３≦ｔ≦３である。すなわち、ｔ＝－３，－２，－１，０，１，２，３ よって、
（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
おまけ：
次の文章を解説して下さい。ただし、完全解説をして下さい。
例題2.4
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
解答
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａは合同式５ａ≡１１（mod７）を満たす。この合同式を解くと、ａ≡５（mod７）ゆえに、ａ＝７ｔ＋５（ｔ∈ℤ）と表される。このとき、ｂはｂ＝－(５ｔ＋２)と表される。
ａの範囲 －２０＜ａ＜３０から、ｔの範囲は －３≦ｔ≦３である。すなわち、ｔ＝－３，－２，－１，０，１，２，３ よって、
（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/8 13:22削除例題2.4
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
解答
５ａ＋７ｂ＝１１の両辺のmod７を取ると、５ａ≡１１（mod７）―――① また、７ａ≡０（mod７）―――②
②－①より、２ａ≡－１１（mod７）∴２ａ≡１０（mod７）∴ａ≡５（mod７）よって、ａ＝７ｔ＋５（ｔ∈ℤ）と置ける。これを与式に代入すると、５(７ｔ＋５)＋７ｂ＝１１ ∴７ｂ＝－３５ｔ－１４ ∴ｂ＝－５ｔ－２ ∴ｂ＝－(５ｔ＋２)
ところで、－２０＜ａ＜３０より、－２０＜７ｔ＋５＜３０ ∴－２５＜７ｔ＜２５ ∴－２５/７＜ｔ＜２５/７ ｔ∈ℤより、－３≦ｔ≦３―――③
また、－２０＜ｂ＜３０より、－２０＜－(５ｔ＋２)＜３０ ∴２０＞５ｔ＋２＞－３０ ∴－３２＜５ｔ＜１８ ∴－３２/５＜ｔ＜１８/５ ｔ∈ℤより、－６≦ｔ≦３―――④
③，④より、－３≦ｔ≦３ よって、ｔ＝－３，－２，－１，０，１，２，３より、
（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
因みに、模範解答には④の部分がないが、５と７の関係から④より③の方が短くなり、上限の３が共通しているから③だけで十分と考えるのは間違っている。上限が一致したのはたまたまである。例えば、－２０＜ａ，ｂ＜４０とすると－３≦ｔ≦４と－８≦ｔ≦３となり－３≦ｔ≦３である。
次回は、普通の中学生用の解法。
おまけ：
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
解答
５ａ＋７ｂ＝１１の両辺のmod７を取ると、５ａ≡１１（mod７）―――① また、７ａ≡０（mod７）―――②
②－①より、２ａ≡－１１（mod７）∴２ａ≡１０（mod７）∴ａ≡５（mod７）よって、ａ＝７ｔ＋５（ｔ∈ℤ）と置ける。これを与式に代入すると、５(７ｔ＋５)＋７ｂ＝１１ ∴７ｂ＝－３５ｔ－１４ ∴ｂ＝－５ｔ－２ ∴ｂ＝－(５ｔ＋２)
ところで、－２０＜ａ＜３０より、－２０＜７ｔ＋５＜３０ ∴－２５＜７ｔ＜２５ ∴－２５/７＜ｔ＜２５/７ ｔ∈ℤより、－３≦ｔ≦３―――③
また、－２０＜ｂ＜３０より、－２０＜－(５ｔ＋２)＜３０ ∴２０＞５ｔ＋２＞－３０ ∴－３２＜５ｔ＜１８ ∴－３２/５＜ｔ＜１８/５ ｔ∈ℤより、－６≦ｔ≦３―――④
③，④より、－３≦ｔ≦３ よって、ｔ＝－３，－２，－１，０，１，２，３より、
（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
因みに、模範解答には④の部分がないが、５と７の関係から④より③の方が短くなり、上限の３が共通しているから③だけで十分と考えるのは間違っている。上限が一致したのはたまたまである。例えば、－２０＜ａ，ｂ＜４０とすると－３≦ｔ≦４と－８≦ｔ≦３となり－３≦ｔ≦３である。
次回は、普通の中学生用の解法。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/9 07:44削除例題2.4
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
普通の中学生用の解法
５ａ＋７ｂ＝１１にｂ＝３，ａ＝－２を代入すると成り立つので、５・(－２)＋７・３＝１１―――① また、５ａ＋７ｂ＝１１―――②とすると、①，②より、５・(－２)＋７・３＝５ａ＋７ｂ ∴５(ａ＋２)＝７(３－ｂ) ここで、５と７は互いに素より、ａ＋２は７の倍数である。よって、ａ＋２＝７ｍ（ｍ∈ℤ）と置ける。∴ａ＝７ｍ－２
また、ａ＋２＝７ｍを５(ａ＋２)＝７(３－ｂ)に代入すると、５・７ｍ＝７(３－ｂ) ∴５ｍ＝３－ｂ ∴ｂ＝－５ｍ＋３
∴ａ＝７ｍ－２，ｂ＝－５ｍ＋３（ｍ∈ℤ） ところで、－２０＜ａ＜３０より、－２０＜７ｍ－２＜３０ ∴－１８＜７ｍ＜３２ ∴－１８/７＜ｍ＜３２/７ ∴－２≦ｍ≦４―――③
また、－２０＜ｂ＜３０より、－２０＜－５ｍ＋３＜３０ ∴－２３＜－５ｍ＜２７ ∴２３/５＞ｍ＞－２７/５ ∴－５≦ｍ≦４―――④
③，④より、－２≦ｍ≦４ ∴ｍ＝－２，－１，０，１，２，３，４
∴（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
おまけ：
５ａ＋７ｂ＝１１を満たす整数ａ，ｂを求めよ。ただし、－２０＜ａ，ｂ＜３０とする。
普通の中学生用の解法
５ａ＋７ｂ＝１１にｂ＝３，ａ＝－２を代入すると成り立つので、５・(－２)＋７・３＝１１―――① また、５ａ＋７ｂ＝１１―――②とすると、①，②より、５・(－２)＋７・３＝５ａ＋７ｂ ∴５(ａ＋２)＝７(３－ｂ) ここで、５と７は互いに素より、ａ＋２は７の倍数である。よって、ａ＋２＝７ｍ（ｍ∈ℤ）と置ける。∴ａ＝７ｍ－２
また、ａ＋２＝７ｍを５(ａ＋２)＝７(３－ｂ)に代入すると、５・７ｍ＝７(３－ｂ) ∴５ｍ＝３－ｂ ∴ｂ＝－５ｍ＋３
∴ａ＝７ｍ－２，ｂ＝－５ｍ＋３（ｍ∈ℤ） ところで、－２０＜ａ＜３０より、－２０＜７ｍ－２＜３０ ∴－１８＜７ｍ＜３２ ∴－１８/７＜ｍ＜３２/７ ∴－２≦ｍ≦４―――③
また、－２０＜ｂ＜３０より、－２０＜－５ｍ＋３＜３０ ∴－２３＜－５ｍ＜２７ ∴２３/５＞ｍ＞－２７/５ ∴－５≦ｍ≦４―――④
③，④より、－２≦ｍ≦４ ∴ｍ＝－２，－１，０，１，２，３，４
∴（ａ，ｂ）＝（－１６，１３），（－９，８），（－２，３），（５，－２），（１２，－７），（１９，－１２），（２６，－１７）
おまけ：
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返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/7 07:58 (No.498237)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804090001/
これは結構苦労しました。ただし、人によってはそんなに難しくないと思います。
おまけ：
https://true-bow.com/araierina-parent/
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804090001/
これは結構苦労しました。ただし、人によってはそんなに難しくないと思います。
おまけ：
https://true-bow.com/araierina-parent/
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/8 07:55削除解答
ＣＭを結ぶと、長方形の対称性よりＣＭ＝ＤＭ また、ＣＥ＝ＭＡ＝１０ｃｍ よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、△ＭＥＣと△ＤＡＭは合同。
また、ＭからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＭＨＣと△ＭＨＤと△ＤＡＭは合同。
よって、△ＭＨＣと△ＭＨＤと△ＭＥＣは合同より、∠ＨＭＣ＝∠ＨＭＤ＝∠ＥＭＣ
よって、∠ＨＭＤ＝６０°÷３＝２０°よって、△ＭＨＤの内角の和より、ア＝９０°－２０°＝７０°よって、答えは、７０°
おまけ：
ＣＭを結ぶと、長方形の対称性よりＣＭ＝ＤＭ また、ＣＥ＝ＭＡ＝１０ｃｍ よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、△ＭＥＣと△ＤＡＭは合同。
また、ＭからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＭＨＣと△ＭＨＤと△ＤＡＭは合同。
よって、△ＭＨＣと△ＭＨＤと△ＭＥＣは合同より、∠ＨＭＣ＝∠ＨＭＤ＝∠ＥＭＣ
よって、∠ＨＭＤ＝６０°÷３＝２０°よって、△ＭＨＤの内角の和より、ア＝９０°－２０°＝７０°よって、答えは、７０°
おまけ：
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/6 08:04 (No.497221)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804130001/
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804100001/
どちらもそんなに難しくないですね。まぁ、人によっては簡単でしょう。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804130001/
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804100001/
どちらもそんなに難しくないですね。まぁ、人によっては簡単でしょう。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/6 20:08削除問題１の解答
正五角形と正六角形の共通の頂点をＡとし、Ａから反時計回りの正六角形の頂点をＡＢＣＤＥＦとし、正五角形の頂点をＡＧＨＩＪとする。
また、ＡＧとＢＣの交点をＫとし、ＧＨとＣＤの交点をＬとすると、∠ＡＫＣ＝ｘ，∠ＧＬＤ＝ｙ
ところで、正六角形の１つの内角は１２０°で正五角形の１つの内角は１０８°である。（正六角形の内角の和は公式より、１８０°×(６－２)＝７２０°より１つの内角は７２０°÷６＝１２０°，正五角形の内角の和は公式より、１８０°×(５－２)＝５４０°より１つの内角は５４０°÷５＝１０８°）
よって、∠ＢＡＫ＝(１２０°－１０８°)÷２＝６°また、∠ＫＢＡ＝１２０°より、△ＫＢＡの内対角の和より、ｘ＝６°＋１２０°＝１２６°
また、ＣＤ，ＤＥとＨＩとの交点をそれぞれＭ，Ｎとすると、対称性より△ＤＭＮは二等辺三角形で∠ＭＤＮ＝１２０°より∠ＤＭＮ＝(１８０°－１２０°)÷２＝３０°また、∠ＬＨＭ＝１０８°より、△ＬＨＭの内対角の和で、ｙ＝３０°＋１０８°＝１３８°
よって、答えは、ｘ＝１２６°，ｙ＝１３８°
おまけ：
正五角形と正六角形の共通の頂点をＡとし、Ａから反時計回りの正六角形の頂点をＡＢＣＤＥＦとし、正五角形の頂点をＡＧＨＩＪとする。
また、ＡＧとＢＣの交点をＫとし、ＧＨとＣＤの交点をＬとすると、∠ＡＫＣ＝ｘ，∠ＧＬＤ＝ｙ
ところで、正六角形の１つの内角は１２０°で正五角形の１つの内角は１０８°である。（正六角形の内角の和は公式より、１８０°×(６－２)＝７２０°より１つの内角は７２０°÷６＝１２０°，正五角形の内角の和は公式より、１８０°×(５－２)＝５４０°より１つの内角は５４０°÷５＝１０８°）
よって、∠ＢＡＫ＝(１２０°－１０８°)÷２＝６°また、∠ＫＢＡ＝１２０°より、△ＫＢＡの内対角の和より、ｘ＝６°＋１２０°＝１２６°
また、ＣＤ，ＤＥとＨＩとの交点をそれぞれＭ，Ｎとすると、対称性より△ＤＭＮは二等辺三角形で∠ＭＤＮ＝１２０°より∠ＤＭＮ＝(１８０°－１２０°)÷２＝３０°また、∠ＬＨＭ＝１０８°より、△ＬＨＭの内対角の和で、ｙ＝３０°＋１０８°＝１３８°
よって、答えは、ｘ＝１２６°，ｙ＝１３８°
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/7 07:51削除問題２の解答
点線の弧ＡＣの真ん中の点をＯ'とすると、点Ｏ'は実線の弧ＡＣの中心でもある。どちらの円の半径も等しいので、ＯＯ'＝ＯＡ＝O'Ａ
よって、三辺相等より△Ｏ'ＡＯは正三角形。よって、∠Ｏ'ＡＯ＝６０°で折り返しより∠Ｏ'ＡＣ＝∠ＯＡＣ＝３０°また、△ＯＡＣは半径より二等辺三角形なので、∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ＝３０°
よって、∠Ｏ'ＡＣ＝∠ＯＣＡより錯角が等しいので、ＡＯ'//ＯＣ よって、△ＡＯＣを等積変形すると△Ｏ'ＯＣと等しい。よって、色付き部分の面積は、扇形Ｏ'ＯＣの面積と等しい。
よって、扇形Ｏ'ＯＣ＝６×６×３．１４×(６０/３６０)＝６×３．１４＝１８．８４ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積も１８．８４ｃｍ^2 よって、答えは、１８．８４ｃｍ^2
おまけ：
https://thetv.jp/person/1000016268/
点線の弧ＡＣの真ん中の点をＯ'とすると、点Ｏ'は実線の弧ＡＣの中心でもある。どちらの円の半径も等しいので、ＯＯ'＝ＯＡ＝O'Ａ
よって、三辺相等より△Ｏ'ＡＯは正三角形。よって、∠Ｏ'ＡＯ＝６０°で折り返しより∠Ｏ'ＡＣ＝∠ＯＡＣ＝３０°また、△ＯＡＣは半径より二等辺三角形なので、∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ＝３０°
よって、∠Ｏ'ＡＣ＝∠ＯＣＡより錯角が等しいので、ＡＯ'//ＯＣ よって、△ＡＯＣを等積変形すると△Ｏ'ＯＣと等しい。よって、色付き部分の面積は、扇形Ｏ'ＯＣの面積と等しい。
よって、扇形Ｏ'ＯＣ＝６×６×３．１４×(６０/３６０)＝６×３．１４＝１８．８４ｃｍ^2
よって、色付き部分の面積も１８．８４ｃｍ^2 よって、答えは、１８．８４ｃｍ^2
おまけ：
https://thetv.jp/person/1000016268/
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/4 13:41 (No.495069)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/5 07:47削除算数の解法
四角形ＡＢＣＤは正方形よりＤＡ＝ＤＣ また、条件よりＤＥ＝ＤＧ よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、△ＤＡＥと△ＤＣＧは合同。よって、∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＧ また、条件よりア＝イなので、∠ＡＤＦ＝∠ＧＤＦ―――①
また、ＡＤ//ＢＧより錯角で、∠ＡＤＦ＝∠ＧＦＤ―――②
①，②より、∠ＧＤＦ＝∠ＧＦＤ よって、△ＧＤＦは二等辺三角形より、ＧＦ＝ＧＤ＝１３ｃｍ ところで、△ＤＡＥと△ＤＣＧが合同より、ＣＧ＝ＡＥ＝５ｃｍ よって、ＦＣ＝ＧＦ－ＣＧ＝１３－５＝８ｃｍ
よって、答えは、８ｃｍ
おまけ：
四角形ＡＢＣＤは正方形よりＤＡ＝ＤＣ また、条件よりＤＥ＝ＤＧ よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、△ＤＡＥと△ＤＣＧは合同。よって、∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＧ また、条件よりア＝イなので、∠ＡＤＦ＝∠ＧＤＦ―――①
また、ＡＤ//ＢＧより錯角で、∠ＡＤＦ＝∠ＧＦＤ―――②
①，②より、∠ＧＤＦ＝∠ＧＦＤ よって、△ＧＤＦは二等辺三角形より、ＧＦ＝ＧＤ＝１３ｃｍ ところで、△ＤＡＥと△ＤＣＧが合同より、ＣＧ＝ＡＥ＝５ｃｍ よって、ＦＣ＝ＧＦ－ＣＧ＝１３－５＝８ｃｍ
よって、答えは、８ｃｍ
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/6 07:40削除何でもありの解法
△ＥＤＡは５，１２，１３の直角三角形より、ＡＤ＝１２ｃｍ また、四角形ＡＢＣＤは正方形より、ＤＣ＝ＡＤ＝１２ｃｍ
ここで、ＤＥの延長とＣＢの延長との交点をＨとすると、ＡＤ//ＨＣ，ＡＢ//ＤＣより、△ＥＤＡ∽△ＥＨＢ∽△ＤＨＣ
よって、△ＤＨＣも５：１２：１３の直角三角形である。∴ＨＣ＝(１２/５)×１２＝１４４/５ｃｍ
また、△ＤＨＣで角の二等分線の定理を使うと、ＨＦ：ＦＣ＝ＤＨ：ＤＣ＝１３：５ ∴ＦＣ＝(５/１８)ＨＣ＝(５/１８)×(１４４/５)＝１４４/１８＝８ｃｍ
よって、答えは、８ｃｍ
おまけ：
https://www.uta-net.com/song/311567/
△ＥＤＡは５，１２，１３の直角三角形より、ＡＤ＝１２ｃｍ また、四角形ＡＢＣＤは正方形より、ＤＣ＝ＡＤ＝１２ｃｍ
ここで、ＤＥの延長とＣＢの延長との交点をＨとすると、ＡＤ//ＨＣ，ＡＢ//ＤＣより、△ＥＤＡ∽△ＥＨＢ∽△ＤＨＣ
よって、△ＤＨＣも５：１２：１３の直角三角形である。∴ＨＣ＝(１２/５)×１２＝１４４/５ｃｍ
また、△ＤＨＣで角の二等分線の定理を使うと、ＨＦ：ＦＣ＝ＤＨ：ＤＣ＝１３：５ ∴ＦＣ＝(５/１８)ＨＣ＝(５/１８)×(１４４/５)＝１４４/１８＝８ｃｍ
よって、答えは、８ｃｍ
おまけ：
https://www.uta-net.com/song/311567/
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返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/5 13:52削除フェルマーの言葉がはったりじゃなかったら、こんな証明を作っていたのだろうか。
「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC#%E6%A5%AD%E7%B8%BE
まぁ、ここまでのを作っていたら、絶対残しておいたよね。
「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC#%E6%A5%AD%E7%B8%BE
まぁ、ここまでのを作っていたら、絶対残しておいたよね。
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/3 07:45 (No.493511)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804140001/
コピペして検索して下さい。
因みに、算数なので分配法則とか使ってはいけません。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804140001/
コピペして検索して下さい。
因みに、算数なので分配法則とか使ってはいけません。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/4 07:32削除解答
円Ｃ，Ｄと共通外接線との接点をそれぞれＳ，Ｔとし、ＹＴを結ぶと円の中心と接線の関係よりＹＴ⊥ＳＴ また、ＸＳ⊥ＳＴより、ＹＴ//ＸＳである。
ここで、ＹからＸＳに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＨＳ＝ＹＴ＝４ｃｍ また、円Ｃと円Ｄの接点をＵとすると、３点Ｘ，Ｕ，Ｙは一直線上にあり、△ＸＨＹは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。
今、ＸＨを点Ｘを中心に６０°回転させ線分ＸＹ上に重ね点Ｈの行き先をＨ'とすると、Ｈ'Ｕ＝ＨＳ＝４ｃｍである。また、ＵＹ＝４ｃｍより、Ｈ'Ｙ＝４＋４＝８ｃｍ
ところで、△ＸＨＹは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型よりＸＨ：ＸＹ＝１：２ よって、ＸＨ'：ＸＹ＝１：２ よって、ＸＨ'：Ｈ'Ｙ＝１：１
つまり、ＸＨ'＝Ｈ'Ｙ＝８ｃｍ また、Ｈ'Ｕ＝４ｃｍより、ＸＵ＝８＋４＝１２ｃｍ よって、円Ｃの半径は、１２ｃｍ
おまけ：
円Ｃ，Ｄと共通外接線との接点をそれぞれＳ，Ｔとし、ＹＴを結ぶと円の中心と接線の関係よりＹＴ⊥ＳＴ また、ＸＳ⊥ＳＴより、ＹＴ//ＸＳである。
ここで、ＹからＸＳに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＨＳ＝ＹＴ＝４ｃｍ また、円Ｃと円Ｄの接点をＵとすると、３点Ｘ，Ｕ，Ｙは一直線上にあり、△ＸＨＹは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型になる。
今、ＸＨを点Ｘを中心に６０°回転させ線分ＸＹ上に重ね点Ｈの行き先をＨ'とすると、Ｈ'Ｕ＝ＨＳ＝４ｃｍである。また、ＵＹ＝４ｃｍより、Ｈ'Ｙ＝４＋４＝８ｃｍ
ところで、△ＸＨＹは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型よりＸＨ：ＸＹ＝１：２ よって、ＸＨ'：ＸＹ＝１：２ よって、ＸＨ'：Ｈ'Ｙ＝１：１
つまり、ＸＨ'＝Ｈ'Ｙ＝８ｃｍ また、Ｈ'Ｕ＝４ｃｍより、ＸＵ＝８＋４＝１２ｃｍ よって、円Ｃの半径は、１２ｃｍ
おまけ：
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/3 11:59 (No.493729)削除これおかしくないですか。
問題
ａを正の整数とする。このとき、任意の正の整数ｋ（ｋ＞１）に対してａは
ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ1ｋ＋ｒ0
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，・・・，０≦ｒ1＜ｋ，０≦ｒ0＜ｋ
という形に一意的に表されることを証明せよ。ａをこのような形に表すことをａのｋ進法表示という。
証明
（１）表されること：ａについての帰納法で示す。ａ＝１のとき、１＝１でｒ0＝１とすればよい。
ａ＞１として、ａ－１まで成り立つと仮定する。ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，・・・，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋ
と表される。さらに、練習問題９（４）よりａはａ＝[ａ/ｋ]＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
（２）一意的であること：ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０ ⇒ ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０を示せば十分である。仮定の式を変形すると、
ｒn＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＝－ｒ0
ゆえに、ｒ0≡０（modｋ）ここで、０≦ｒ0＜ｋであるからｒ0＝０ したがって、
ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1＝０
帰納法の仮定より、ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ1＝０
演習問題９（４）
ａ，ｂ∈Ｚ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
（引用終わり）
因みに、（２）だけです。（検索はしていません。）
おまけ
問題
ａを正の整数とする。このとき、任意の正の整数ｋ（ｋ＞１）に対してａは
ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ1ｋ＋ｒ0
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，・・・，０≦ｒ1＜ｋ，０≦ｒ0＜ｋ
という形に一意的に表されることを証明せよ。ａをこのような形に表すことをａのｋ進法表示という。
証明
（１）表されること：ａについての帰納法で示す。ａ＝１のとき、１＝１でｒ0＝１とすればよい。
ａ＞１として、ａ－１まで成り立つと仮定する。ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，・・・，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋ
と表される。さらに、練習問題９（４）よりａはａ＝[ａ/ｋ]＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
（２）一意的であること：ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０ ⇒ ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０を示せば十分である。仮定の式を変形すると、
ｒn＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＝－ｒ0
ゆえに、ｒ0≡０（modｋ）ここで、０≦ｒ0＜ｋであるからｒ0＝０ したがって、
ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1＝０
帰納法の仮定より、ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ1＝０
演習問題９（４）
ａ，ｂ∈Ｚ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
（引用終わり）
因みに、（２）だけです。（検索はしていません。）
おまけ
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/3 13:36削除＞ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０ ⇒ ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０を示せば十分である。
ａ＝０でａ＞１に対しておかしいような気もするが、それはスルーして、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０ ⇒ ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０なんて自明である。条件より、ｋ＞１，ｒi≧０なのだから。念のため、ｒnだけｒn＞０（そこもおかしいような気もするがスルー。）
因みに、帰納法的にはこの証明は正しい。（上のように言えば一発だが、ｒ0＝０を言ったのと同じ事をすればｒ1＝０が言え、同様の事を繰り返せば、ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０が言える。これを数学的帰納法で示した訳である。）
個人的には、（１）とほとんど同じに証明出来ると思っている。つまり、ａ－１まで、ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ1ｋ＋ｒ0が一意的に表されると仮定すると、（１）と同様にして、[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1
また、[ａ/ｋ]は整数より除法の定理により、ａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と一意的に表せ、上式をこの式に代入すると、
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
この式が一意的表される事は自明である。よって、ａ－１の時に成り立つと仮定して、ａの時も一意的に表されたので、数学的帰納法によって示された。
おまけ
ａ＝０でａ＞１に対しておかしいような気もするが、それはスルーして、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０ ⇒ ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０なんて自明である。条件より、ｋ＞１，ｒi≧０なのだから。念のため、ｒnだけｒn＞０（そこもおかしいような気もするがスルー。）
因みに、帰納法的にはこの証明は正しい。（上のように言えば一発だが、ｒ0＝０を言ったのと同じ事をすればｒ1＝０が言え、同様の事を繰り返せば、ｒn＝ｒn-1＝・・・＝ｒ0＝０が言える。これを数学的帰納法で示した訳である。）
個人的には、（１）とほとんど同じに証明出来ると思っている。つまり、ａ－１まで、ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ1ｋ＋ｒ0が一意的に表されると仮定すると、（１）と同様にして、[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1
また、[ａ/ｋ]は整数より除法の定理により、ａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と一意的に表せ、上式をこの式に代入すると、
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋・・・＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋・・・＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
この式が一意的表される事は自明である。よって、ａ－１の時に成り立つと仮定して、ａの時も一意的に表されたので、数学的帰納法によって示された。
おまけ
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 19:20 (No.492911)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804150000/
コピペして検索して下さい。
２通り作ってみましたが、スッキリした方１通りで良いと思います。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201804150000/
コピペして検索して下さい。
２通り作ってみましたが、スッキリした方１通りで良いと思います。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 20:33削除解法１
全体の長方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤの３等分点を左からＥ，Ｆと振り、ＢＣの３等分点を左からＧ，Ｈと振る。また、ＤＣの真ん中の点をＩとし、ＡＩとＥＧ，ＦＨとの交点をそれぞれＪ，Ｋと振る。また、ＡＣとＥＧ，ＦＨとの交点をそれぞれＬ，Ｍと振り、ＡＨとＥＧの交点をＮとする。
ここで、ＮＭ，ＪＦを結ぶと、底辺と高さが等しいので、△ＡＮＬ＝△ＭＮＬ，△ＡＬＥ＝△ＦＬＥ よって、△ＭＮＬ，△ＦＬＥを△ＡＮＬ，△ＡＬＥの所に移動させて考えると、斜線部は長方形ＡＢＧＥと△ＮＨＭと△ＪＫＦと台形ＫＭＣＩとなる。
また、底辺と高さが等しいので、△ＮＨＭ＝△ＣＨＭ，△ＪＫＦ＝△ＩＫＦより、△ＮＨＭ，△ＪＫＦを△ＣＨＭ，△ＩＫＦの所に移動させて考えると、
斜線部全体の面積は、長方形ＡＢＧＥ＋台形ＩＦＨＣとなる。よって、斜線部＝３×４＋(２＋４)×３÷２＝１２＋９＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
全体の長方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤの３等分点を左からＥ，Ｆと振り、ＢＣの３等分点を左からＧ，Ｈと振る。また、ＤＣの真ん中の点をＩとし、ＡＩとＥＧ，ＦＨとの交点をそれぞれＪ，Ｋと振る。また、ＡＣとＥＧ，ＦＨとの交点をそれぞれＬ，Ｍと振り、ＡＨとＥＧの交点をＮとする。
ここで、ＮＭ，ＪＦを結ぶと、底辺と高さが等しいので、△ＡＮＬ＝△ＭＮＬ，△ＡＬＥ＝△ＦＬＥ よって、△ＭＮＬ，△ＦＬＥを△ＡＮＬ，△ＡＬＥの所に移動させて考えると、斜線部は長方形ＡＢＧＥと△ＮＨＭと△ＪＫＦと台形ＫＭＣＩとなる。
また、底辺と高さが等しいので、△ＮＨＭ＝△ＣＨＭ，△ＪＫＦ＝△ＩＫＦより、△ＮＨＭ，△ＪＫＦを△ＣＨＭ，△ＩＫＦの所に移動させて考えると、
斜線部全体の面積は、長方形ＡＢＧＥ＋台形ＩＦＨＣとなる。よって、斜線部＝３×４＋(２＋４)×３÷２＝１２＋９＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 20:58削除解法２
解法１と同じようにＡ～Ｎと振り、ＡＨの延長とＤＣの延長との交点をＯとすると、△ＨＡＢと△ＨＯＣは相似で相似比は２：１より、ＯＣ＝４÷２＝２ｃｍ よって、ＤＩ＝ＩＣ＝ＣＯ
よって、△ＡＮＥと△ＡＨＦと△ＡＯＤが相似である事を考えると、ＥＪ＝ＪＬ＝ＬＮ，ＦＫ＝ＫＭ＝ＭＨとなる。
また、△ＨＮＧと△ＨＡＢが相似で相似比は１：２より、ＮＧ＝４÷２＝２ｃｍ よって、ＥＪ＝ＪＬ＝ＬＮ＝２/３ｃｍ，ＦＫ＝ＫＭ＝ＭＨ＝４/３ｃｍ
よって、斜線部＝台形ＡＢＧＮ＋△ＡＬＪ＋台形ＬＮＨＭ＋台形ＥＪＫＦ＋台形ＫＭＣＩ＝台形ＡＢＧＮ＋台形ＬＮＨＭ＋△ＡＩＤ＝(２＋４)×３÷２＋(２/３＋４/３)×３÷２＋２×９÷２＝９＋３＋９＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
おまけ：
解法１と同じようにＡ～Ｎと振り、ＡＨの延長とＤＣの延長との交点をＯとすると、△ＨＡＢと△ＨＯＣは相似で相似比は２：１より、ＯＣ＝４÷２＝２ｃｍ よって、ＤＩ＝ＩＣ＝ＣＯ
よって、△ＡＮＥと△ＡＨＦと△ＡＯＤが相似である事を考えると、ＥＪ＝ＪＬ＝ＬＮ，ＦＫ＝ＫＭ＝ＭＨとなる。
また、△ＨＮＧと△ＨＡＢが相似で相似比は１：２より、ＮＧ＝４÷２＝２ｃｍ よって、ＥＪ＝ＪＬ＝ＬＮ＝２/３ｃｍ，ＦＫ＝ＫＭ＝ＭＨ＝４/３ｃｍ
よって、斜線部＝台形ＡＢＧＮ＋△ＡＬＪ＋台形ＬＮＨＭ＋台形ＥＪＫＦ＋台形ＫＭＣＩ＝台形ＡＢＧＮ＋台形ＬＮＨＭ＋△ＡＩＤ＝(２＋４)×３÷２＋(２/３＋４/３)×３÷２＋２×９÷２＝９＋３＋９＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 18:20 (No.492854)削除返信
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 11:27 (No.492445)削除問題
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ
この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，・・・，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウスの記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈Ｒ，ａ∈Ｚ ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ，ｂ∈Ｚ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
（引用終わり）
別解を作ってみて下さい。因みに、演習問題９の（４）は何の意味があるのでしょうか。まぁ、証明は勉強になりましたが。
おまけ：
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ
この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，・・・，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウスの記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈Ｒ，ａ∈Ｚ ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ，ｂ∈Ｚ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
（引用終わり）
別解を作ってみて下さい。因みに、演習問題９の（４）は何の意味があるのでしょうか。まぁ、証明は勉強になりましたが。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 13:16削除別解
１からｘまでのｎの倍数の個数は、[[ｘ]/ｎ]―――①
また、[ｘ]≦ｘよりこの両辺をｎで割ると、[ｘ]/ｎ≦ｘ/ｎ
この両辺のガウス記号を取ると、[[ｘ]/ｎ]≦[ｘ/ｎ]―――②
ところで、[ｘ]≦ｘの両辺のガウス記号を取ると、左辺は元々整数なので、[[ｘ]]＝[ｘ]である。
よって、②式を考えると、[[ｘ]/ｎ]＝[ｘ/ｎ]―――③である。
①，③より、１からｘまでのｎの倍数の個数は、[ｘ/ｎ] よって、示された。
おまけ：
１からｘまでのｎの倍数の個数は、[[ｘ]/ｎ]―――①
また、[ｘ]≦ｘよりこの両辺をｎで割ると、[ｘ]/ｎ≦ｘ/ｎ
この両辺のガウス記号を取ると、[[ｘ]/ｎ]≦[ｘ/ｎ]―――②
ところで、[ｘ]≦ｘの両辺のガウス記号を取ると、左辺は元々整数なので、[[ｘ]]＝[ｘ]である。
よって、②式を考えると、[[ｘ]/ｎ]＝[ｘ/ｎ]―――③である。
①，③より、１からｘまでのｎの倍数の個数は、[ｘ/ｎ] よって、示された。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/1 20:12 (No.491656)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2022/8/2 07:31削除解答
大外の２つの弓形を１つにして中央の空白部分に移動させると、色部分全体の面積は、小さい方の正方形の面積に変換できる。
よって、答えは、１２×１２＝１４４ｃｍ^2
おまけ：
大外の２つの弓形を１つにして中央の空白部分に移動させると、色部分全体の面積は、小さい方の正方形の面積に変換できる。
よって、答えは、１２×１２＝１４４ｃｍ^2
おまけ：
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