数学

問題
関数ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が－２から８まで増加するとき、変化の割合は３/２である。この関数のグラフ上の２点Ａ，Ｂのｘ座標が、それぞれ、－２と８であるとき、次の問いに答えよ。ただし、ａ＞０であり、Ｏは原点とする。
（１）ａの値を求めよ。
（２）線分ＡＢ上に点ＰをＡＯ＝ＡＰとなるようにとる。△ＡＯＰの面積を求めよ。
（３）△ＡＯＢはどんな三角形か。
（４）ｙ軸上に点(０,ｑ)があり、四角形ＡＯＢＱが円に内接するとき、ｑの値を求めよ。
（０１　慶応女子）

模範解答
（１）変化の割合の条件から、
ａ(－２＋８)＝３/２
∴ａ＝１/４
（２）△ＡＯＰ＝△ＡＯＢ×(ＡＰ/ＡＢ)・・・①
直線ＡＢの切片は、(－１/４)×(－２)×８＝４
また、Ａ(－２,１)，Ｂ(８,１６)であるから、
ＡＢ＝√{(８＋２)²＋(１６－１)²}＝５√(２²＋３²)＝５√１３
ＡＰ＝ＡＯ＝√(２²＋１²)＝√５
∴①＝{(８＋２)×４/２}×(√５/５√１３)
＝４√６５/１３
（３）ＯＡ，ＯＢの傾きは、それぞれ、－１/２，２であり、(－１/２)×２＝－１であるから、
ＯＡ⊥ＯＢ　よって、△ＡＯＢは、∠ＡＯＢ＝９０°の直角三角形である。
（４）四角形ＡＯＢＱが円に内接するとき、（３）より、∠ＡＱＢ＝９０°
∴{(１－ｑ)/(－２)}×{(１６－ｑ)/８}＝－１
∴ｑ²－１７ｑ＝０
ｑ≠０より、ｑ＝１７
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞変化の割合の条件から、
ａ(－２＋８)＝３/２

これは放物線上の２点間の傾きの公式を使っている。ｙ＝ａｘ²上の２点Ｐ，Ｑのｘ座標をそれぞれｘ＝ｐ，ｑとすると、傾きｍ＝ａ(ｐ＋ｑ)で求められる。
よって、３/２＝ａ(－２＋８)という事。
（因みに、私はこんなものは暗記していない。）

＞直線ＡＢの切片は、(－１/４)×(－２)×８＝４

これも公式だが、この参考書の初めにも載っていない。
放物線ｙ＝ａｘ²上の２点Ｐ，Ｑのｘ座標をそれぞれｘ＝ｐ，ｑとすると２点を結ぶ直線のｙ切片ｎは、ｎ＝－ａｐｑで求められる。
よって、－(１/４)×(－２)×８という事。（即興で作ったので裏を取っていない。）

続きは、まぁ、簡単なので省略。また、（２）と（３）の別解は次回。

おまけ：

問題
関数ｙ＝ａｘ²において、ｘの値が－２から８まで増加するとき、変化の割合は３/２である。この関数のグラフ上の２点Ａ，Ｂのｘ座標が、それぞれ、－２と８であるとき、次の問いに答えよ。ただし、ａ＞０であり、Ｏは原点とする。
（１）ａの値を求めよ。
（２）線分ＡＢ上に点ＰをＡＯ＝ＡＰとなるようにとる。△ＡＯＰの面積を求めよ。
（３）△ＡＯＢはどんな三角形か。
（４）ｙ軸上に点(０,ｑ)があり、四角形ＡＯＢＱが円に内接するとき、ｑの値を求めよ。
（０１　慶応女子）

私の解答
（１）ｙ＝ａｘ²にｘ＝－２を代入すると、ｙ＝４ａ，ｘ＝８を代入すると、ｙ＝６４ａ
∴Ａ(－２，４ａ)，Ｂ(８，６４ａ)
よって、平均変化率は、
(６４ａ－４ａ)/(８－(－２))＝３/２が成り立つ。
∴６ａ＝３/２　∴ａ＝１/４
（２）よって、点Ａ，Ｂの座標は、
Ａ(－２，１)，Ｂ(８，１６)
また、点Ａからｘ軸と平行な直線を引き、点Ｐからｙ軸と平行な直線を引き、その交点をＨとすると、直線の傾きよりＡＨ：ＰＨ＝２：３なので、ＡＨ＝２ｍ，ＰＨ＝３ｍと置く。
また、△ＰＡＨで三平方の定理を使うと、
ＡＰ²＝(２ｍ)²＋(３ｍ)²＝１３ｍ²———①
また、条件より、ＡＰ＝ＡＯ
∴ＡＰ²＝ＡＯ²＝(－２)²＋１²＝５———②
①，②より、１３ｍ²＝５　∴ｍ²＝５/１３
ｍ＞０より、ｍ＝√(５/１３)＝√６５/１３
ところで、Ｐ(－２＋２ｍ，１＋３ｍ)より、
Ｐ(－２＋２√６５/１３，１＋３√６５/１３)
＝Ｐ((－２６＋２√６５)/１３，(１３＋３√６５)/１３)
ここで、座標上の三角形の面積の公式https://mathwords.net/x1y2hikux2y1を使うと、
△ＡＯＰ＝(１/２)|(－２){(１３＋３√６５)/１３}－１{(－２６＋２√６５)/１３}|
＝(１/２)|(－８√６５)/１３|
＝４√６５/１３
因みに、この公式は「高校への数学　日日のハイレベル演習」の公式集に「発展事項」として載っているので受験で使って良いかどうかは微妙です。（１５°,７５°,９０°の直角三角形の三辺比も同様。）
（３）アバウトな図を描いても明らかに∠ＡＯＢが直角臭いので、三平方の定理に当てはめてみた。
ＯＡ＝√５，ＯＢ＝√(８²＋１６²)＝８√５
ＡＢ＝√{(８＋２)²＋(１６－１)²}＝√(１００＋２２５)＝√３２５＝５√１３
∴ＯＡ²＋ＯＢ²＝５＋３２０＝３２５＝ＡＢ²
よって、三平方の定理の逆により、△ＡＯＢは∠ＡＯＢが直角の直角三角形である。
（４）は模範解答と同じだったので省略。

これだけじゃ面白くないので、こちらの問題https://www.excite.co.jp/news/article/E1735189591375/の∠ｘを求めた後に∠ＢＡｘの角度を求めて下さい。

おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/news/national/%E4%BD%B3%E5%AD%90%E3%81%95%E3%81%BE30%E6%AD%B3%E3%81%AE%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5-%E8%B5%A4%E3%81%84%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%88%E5%A7%BF%E3%82%92%E5%85%AC%E9%96%8B/ar-AA1wCrtp?ocid=msedgntp&pc=U531&cvid=28a13da060be4d72b5ce6edb93808f97&ei=24

問題
正方形ＡＢＣＤの内部にＢＣを１辺とした正三角形ＥＢＣを描き、ＤＥの延長上に∠ＦＢＡ＝４０°となる点Ｆを取る。この時、
（１）∠ＥＦＢの角度を求めて下さい。
（２）∠ＦＡＢの角度を求めて下さい。
アイデア引用元：https://www.excite.co.jp/news/article/E1735189591375/#goog_rewarded

解答
（１）正方形よりＣＤ＝ＣＢ———①
正三角形よりＣＢ＝ＣＥ———②
①，②より、ＣＤ＝ＣＥ
また、∠ＤＣＥ＝９０°－６０°＝３０°
よって、△ＣＤＥは頂角が３０°の二等辺三角形より、∠ＣＥＤ＝７５°
∴∠ＦＥＢ＝１８０°－６０°－７５°＝４５°また、正方形と正三角形の対称性より、∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＥ＝３０°
∴∠ＦＢＥ＝４０°＋３０°＝７０°
よって、△ＥＦＢの内角の和より、
∠ＥＦＢ＝１８０°－４５°－７０°＝６５°
（２）△ＣＤＥは頂角が３０°の二等辺三角形より、正方形の１辺の長さを４とすると、１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比
√６－√２：√６＋√２：４によって、
ＤＥ＝２(√６－√２)となる。
また、∠ＦＥＢ＝４５°より、ＢからＥＦに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＥＨは直角二等辺三角形になる。
∴ＥＨ＝ＢＨ＝ＥＢ/√２＝４/√２＝２√２
∴ＤＨ＝２(√６－√２)＋２√２＝２√６
また、∠ＦＢＥ＝７０°，∠ＨＢＥ＝４５°より、∠ＦＢＨ＝７０°－４５°＝２５°
∴tan25°＝ＦＨ/ＢＨ＝ＦＨ/２√２
∴ＦＨ＝２√２tan25°
∴ＦＤ＝ＤＨ＋ＦＨ＝２√６＋２√２tan25°
ここで、ＦからＤＡの延長上に垂線を下ろしその足をＩとすると、∠ＥＤＡ＝９０°－７５°＝１５°より、△ＦＤＩは１５°，７５°，９０°の直角三角形になる。
∴ＤＩ＝{(√６＋√２)/４}ＦＤ
＝{(√６＋√２)/４}(２√６＋２√２tan25°)
＝√６(√６＋√２)/２＋{√２(√６＋√２)/２}tan25°
＝(３＋√３)＋(√３＋１)tan25°
∴ＡＩ＝(３＋√３)＋(√３＋１)tan25°－４
＝√３－１＋(√３＋１)tan25°
ＦＩ＝{(√６－√２)/４}ＦＤ
＝{(√６－√２)/４}(２√６＋２√２tan25°)
＝√６(√６－√２)/２＋{√２(√６－√２)/２}tan25°
＝(３－√３)＋(√３－１)tan25°
今、ＦからＡＢに垂線を下ろしその足をＪとすると、四角形ＩＦＪＡは長方形になるので、
ＦＪ＝ＡＩ＝√３－１＋(√３＋１)tan25°———ア
ＡＪ＝ＦＩ＝(３－√３)＋(√３－１)tan25°———イ
∴∠ＦＡＢ＝∠ＦＡＪ＝Arctan(ＦＪ/ＡＪ)———☆
ＦＪ/ＡＪ＝{√３－１＋(√３＋１)tan25°}/{(３－√３)＋(√３－１)tan25°}
＝(0.7320508+1.2739762)/(1.2679492+0.3413609)
＝2.006027/1.6093101＝1.2465136
∴ＦＪ/ＡＪ＝1.2465136———☆☆
☆☆を☆に代入すると、
∠ＦＡＢ＝Arctan(1.2465136)＝51.262105°
よって、答えは、約５１.２°

ちょっと面白い数学の話。https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-11041647258.html

おまけ：

解説
＞dimＷ＝dimＦ^-1(０)＝dimℝ³－rankＡ＝３－１＝２

定理
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対し、Ｖが有限次元のとき
（１）dimＶ＝dim(Ｆ^-1(０'))＋dim(Ｆ(Ｖ))が成り立つ。
（２）は省略。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.149より

命題
線型写像Ｆ：ℝ^n→ℝ^mにより定まるｍ行ｎ列の行列をＡとすれば、Ｆ(ℝ^n)の次元は、dimＦ(ℝ^n)＝rankＡ
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.159より

以上より、dimＶ＝dim(Ｆ^-1(０'))＋rankＡ
∴dim(Ｆ^-1(０'))＝dimＶ－rankＡ
＝dimℝ³－rankＡ
という事。
または、Ｗ＝{[ｘ ｙ ｚ]∈Ｖ｜ｘ－２ｙ＋ｚ＝０}を３変数の同次方程式の解空間（解の全体）見る（Ａ＝[１ －２ １]でＡｘ＝Ｏ）と、

命題
ｎ変数の同次方程式Ａｘ＝Ｏの解全体は、行列Ａに対応する線型写像Ｆ_Aの核(Ｆ_A)^-1(０)に一致し、線型空間である。解空間の次元は、dim(Ｆ_A)^-1(０)＝ｎ－rankＡとなっている。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.158より

dimＷ＝dimＦ^-1(０)＝３－rankＡ＝３－１＝２で一発である。

＞dimＷ^⊥＝dimℝ³－dimＷ＝３－２＝１

命題
Ｖを内積空間，Ｗ⊆Ｖを有限次元空間とする。このとき、ＶはＷとＷ^⊥の直和である。
すなわち、Ｖ＝Ｗ⊕Ｗ^⊥となる。

系
有限次元の内積空間Ｖにおいて、dimＶ＝dimＷ＋dimＷ^⊥が成り立つ。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.207,208より

証明は載っていないが、Ｖ＝Ｗ⊕Ｗ^⊥で直和の定義よりＷ∩Ｗ^⊥＝{０}なので、
Ｖ＝Ｗ⊕Ｗ^⊥の両辺の次元を取ると、
dimＶ＝dim(Ｗ⊕Ｗ^⊥)＝dinＷ＋dimＷ^⊥
というような所だろう。

よって、dimℝ³＝dimＷ＋dimＷ^⊥から、
dimＷ^⊥＝dimℝ³－dimＷ＝３－２＝１
という事。

＞そこで、ａ＝[１ －２ １]とおけば、ａ⊥Ｗとなるので、ａをＷ^⊥の基底としてよい。

Ｗ＝{[ｘ ｙ ｚ]∈Ｖ｜ｘ－２ｙ＋ｚ＝０}
高校数学の空間ベクトルでａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０は平面を表していて、その平面と直交する法線ベクトルは[ａ ｂ ｃ]だったので、ａ＝[１ －２ １]とおけば、ａ⊥Ｗとなる事はすぐに分かるが、一応、この参考書の延長で考えよう。
Ｆ_A(ｘ)＝Ａｘ＝Ｏ（０）（Ａ＝[１ －２ １]）でＷはこのｘ全体で、内積が０と考えると、t^Ａ＝ａと取れば良い。（ａ＝[１ －２ １]は列ベクトルである。ややっこしくてすみません。）

部分的な別解は次回。

おまけ：

補足解説
問題
３項列ベクトル空間Ｖ＝ℝ³において、
Ｗ＝{[ｘ ｙ ｚ]∈Ｖ｜ｘ－２ｙ＋ｚ＝０}
とおくとき、Ｗの直交補空間Ｗ^⊥を求めよ。
注：列ベクトルは縦にうまく書けないので行ベクトルで代用した。（他の部分も全てそう。）

解
線型写像Ｆ：ℝ³→ℝ¹，[ｘ ｙ ｚ]→[ｘ－２ｙ＋ｚ]において、Ｆ^-1(０)＝Ｗとなっている。Ｆにより定まる行列をＡとおけば、Ａ＝[１ －２ １]（注：ここだけは元から横書きである）となり、
dimＷ＝dimＦ^-1(０)＝dimℝ³－rankＡ＝３－１＝２
さらに、dimＷ^⊥＝dimℝ³－dimＷ＝３－２＝１より、Ｗ^⊥はただ一つの基底で生成されている。
そこで、ａ＝[１ －２ １]とおけば、ａ⊥Ｗとなるので、ａをＷ^⊥の基底としてよい。
よって、Ｗ^⊥＝ℝａ　（解終）
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著より

＞線型写像Ｆ：ℝ³→ℝ¹，[ｘ ｙ ｚ]→[ｘ－２ｙ＋ｚ]において、Ｆ^-1(０)＝Ｗとなっている。Ｆにより定まる行列をＡとおけば、Ａ＝[１ －２ １]（注：ここだけは元から横書きである）となり、
dimＷ＝dimＦ^-1(０)＝dimℝ³－rankＡ＝３－１＝２

Wの次元が２である事の別解。まぁ、高校数学の空間座標の平面の方程式を考えれば、平面の２次元である事は自明ですが。

別解
Ｗ＝{[ｘ ｙ ｚ]∈Ｖ｜ｘ－２ｙ＋ｚ＝０}より、
Wの元ａ＝(１ １ １)（本当は列ベクトル），
ｂ＝(２ １ ０)がＷの基底である事を示す。
ｃ₁,ｃ₂∈ℝに対して、ｃ₁ａ＋ｃ₂ｂ＝Ｏ（ａ,ｂは本当は太字）と置くと、
ｃ₁ａ＋ｃ₂ｂ＝ｃ₁(１ １ １)＋ｃ₂(２ １ ０)＝(０ ０ ０)　∴ｃ₁＋２ｃ₂＝０，ｃ₁＋ｃ₂＝０，ｃ₁＝０
∴ｃ₁＝ｃ₂＝０
よって、ａとｂは線型独立である。
また、Ｗの任意の元(ｕ ｖ ｗ)に対して、
(ｕ ｖ ｗ)＝ｃ₁(１ １ １)＋ｃ₂(２ １ ０)と置くと、ｕ＝ｃ₁＋２ｃ₂，ｖ＝ｃ₁＋ｃ₂，ｗ＝ｃ₁となり、ｕ－ｖ＝ｃ₂　∴ｃ₁＝ｗ，ｃ₂＝ｕ－ｖ
よって、(ｕ ｖ ｗ)＝ｗ(１ １ １)＋(ｕ－ｖ)(２ １ ０)より、Ｗの任意の元はａ,ｂの線型結合で表わされるので、ａ,ｂはＷの基底となっている。
よって、dimＷ＝２

定理（基底の長さの一意性）
線型空間Ｖにおいて（ｎ≧１）
長さｎの基底が少なくとも一つある⇔dimＶ＝ｎ
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著より

ａ＝(１ １ １)，ｂ＝(２ １ ０)は適当に選んで長さ２の基底が出来たので、少なくとも１つあるからdimＶ＝２で２次元という事である。

おまけ：

問題
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄをとり、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。このとき、次の（１）～（３）が成り立つことを証明せよ。
（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ
（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ²
（３）∠ＢＡＣ＝９０°のとき、四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。
（０１　灘）

模範解答
（１）下の図１において、円周角の定理により、○同士、●同士、△同士の角が等しく、また、三角形ＡＢＣは二等辺三角形であるから、○＝●
（注：∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝●，∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝○，∠ＤＢＣ＝∠ＤＡＣ＝△とした図。）
よって、２角相等であるから、
△ＡＤＣ∽△ＢＤＥ
∴ＡＤ：ＢＤ＝ＣＤ：ＥＤ
∴ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ・・・①
（２）上の図２において、○＝●であるから（注：∠ＡＤＢ＝○，∠ＡＢＣ＝●）、２角相等となり、△ＡＤＢ∽△ＡＢＥ
∴ＡＤ：ＡＢ＝ＡＢ：ＡＥ
∴ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ²・・・②
（３）∠ＢＡＣ＝９０°のとき、右図のようになり、線分の長さを図のようにおく。
（注：△ＡＢＣは直角二等辺三角形になり、△ＤＢＣも直角三角形になる。また、ＡＢ＝ａ，ＢＤ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＡＤ＝ｄと置いた図。）
すると、四角形ＡＢＣＤの面積は、
△ＡＢＣ＋△ＢＤＣ＝(ａ²＋ｂｃ)/２・・・③
一方、①と②の左辺同士をたすと、
ＡＤ・ＤＥ＋ＡＤ・ＡＥ
＝ＡＤ(ＤＥ＋ＡＥ)＝ＡＤ²＝ｄ²
であるから、①と②を辺ごとたすことにより、
ｄ²＝ＣＤ・ＤＢ＋ＡＢ²＝ｂｃ＋ａ²
ここに、ｄ²/２はＡＤを対角線とする正方形の面積を表し、③とから、題意が成り立つ。
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

ワンポイントアドバイス
（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ
（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ²
を見た時に、まず比に変換するべきである。
（１）ＡＤ：ＣＤ＝ＤＢ：ＤＥ
これを図で見ると、△ＤＡＣ∽△ＤＢＥを示せば良い事が分かる。
（２）は、ＡＤ：ＡＢ＝ＡＢ：ＡＥ
これを図で見ると、△ＡＢＥ∽△ＡＤＢを示せば良い事が分かる。
（結果から考える訳である。もっともある程度の経験がないと相似に帰着する事すら分からないと思うが。）
試行錯誤なんかしていたら受験では落ちるだろう。

「「幾何学に王道なし」とは、有名な数学者ユークリッドの言だそうですが、「何か数学に王道はないものか」と日夜血まなこになっている受験生諸君の奮闘を見ていると、単に「王道なし」「がんばれ」と精神論をくりかえしているだけでは無責任のような気がしてきます。そこで、この誌面を借りて、「王道」の秘密をこっそりお教えしましょう。
（中略）
では「骨組」とは何かというと、これは「教科書的な基礎」にあるわけではありません。実状はもう一歩踏みこんだ、教科書よりやや難しいところに、理解しておかねばならない最低限の基礎があって、それを仮に「骨組」と呼んだわけです。
　本書は、「教科書ではたりない」とはいえ、「受験問題の圧倒的なバラエティーを見るとどうもうまくまとめられない」という受験生のために、その中間的部分をしっかり埋め、まとめようという意図をもった演習書です。
（中略）
本書の約３００題にいどんで、解説のすみずみまで読んだとき、君たちの中には、わけのわからなかった膨大な問題を解く指針となる地図が生まれていることでしょう。」（栗田）

基本的には英語と同じで習うより慣れろだと思うが、英語習得の裏技のように英語が話せる外国人と同棲するとかね。数学で言えば、心を開ける家庭教師に巡り合うとかかな。
念のため、その家庭教師のレベルによる事は言うまでもない。

（３）の別解１
（円に内接する直角二等辺三角形と直角三角形ＤＢＣがくっついた円に内接する四角形ＡＢＤＣの図。）
ＡからＤＢの延長上とＢＣのそれぞれに垂線を下ろしその足をＨ，Ｉとすると、四角形ＡＢＤＣは円に内接する四角形より∠ＡＢＨ＝∠ＡＣＩ
また、ＡＢ＝ＡＣより、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＡＢＨ≡△ＡＣＩ
∴ＡＨ＝ＡＩ
よって、四角形ＡＨＤＩは３直角で隣り合う二辺の長さが等しいので、正方形である。
つまり、四角形ＡＨＤＩはＡＤを対角線とする正方形である。また、△ＡＣＩを△ＡＢＨの所に移動させると、四角形ＡＢＤＣの面積は正方形ＡＨＤＩの面積と等しい事が分かる。
よって、「四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい」事が示された。

おまけ：
１０巻７５番の詩
とても期待（予期）されるものは決して戻って来ないだろう
ヨーロッパの中には。アジアの中に現れるだろう
偉大なヘルメスから生まれた同盟の一つ（同盟からの一人）
そして東洋の全ての王たちを越えて成長するだろう
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12876049963.html

問題
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄをとり、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。このとき、次の（１）～（３）が成り立つことを証明せよ。
（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ
（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ²
（３）∠ＢＡＣ＝９０°のとき、四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。
（０１　灘）

（３）の別解２
（円に内接する直角二等辺三角形と直角三角形ＤＢＣがくっついた円に内接する四角形ＡＢＤＣの図。）
ＢＤ＝ａ，ＣＤ＝ｂと置くと、三平方の定理より、ＢＣ＝√(ａ²＋ｂ²)
また、△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、
ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ/√２＝√(ａ²＋ｂ²)/√２
∴△ＡＢＣ＝(ａ²＋ｂ²)/４———①
△ＢＣＤ＝ａｂ/２———②
ここで、ＡＢ＝ＡＣ＝ｘと置いて、四角形ＡＢＤＣでトレミーの定理を使うと、
ａｘ＋ｂｘ＝ｘ√２・ＡＤ
ｘ≠０より、ａ＋ｂ＝√２ＡＤ
∴ＡＤ＝(ａ＋ｂ)/√２
ところで、ＡＤを対角線とする正方形の面積は、
ＡＤ²/２＝{(ａ＋ｂ)/√２}²/２＝(ａ＋ｂ)²/４———☆
また、①＋②より、
四角形ＡＢＤＣ＝(ａ²＋ｂ²)/４＋ａｂ/２
＝(ａ²＋ｂ²＋２ａｂ)/４＝(ａ＋ｂ)²/４———☆☆
☆，☆☆より、
四角形ＡＢＤＣ＝ＡＤ²/２
よって、四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。

因みに、トレミーの定理なんて中学数学の範囲じゃないという人は、②の後に、
ＤＣの延長上にＣＦ＝ＢＤとなる点Ｆを取ると、四角形ＡＢＤＣは円に内接する四角形より、
∠ＡＣＦ＝∠ＡＢＤ
また、△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、
ＡＣ＝ＡＢ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＣＦ≡△ＡＢＤ　∴ＡＦ＝ＡＤ
また、∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＤ
この両辺に∠ＤＡＣを加えると、
∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＣ＝９０°
よって、△ＡＤＦも直角二等辺三角形になる。
∴ＡＤ＝ＤＦ/√２＝(ＣＤ＋ＣＦ)/√２
＝(ＣＤ＋ＢＤ)/√２＝(ｂ＋ａ)/√２
∴ＡＤ＝(ａ＋ｂ)/√２
以後同じとすれば良い。

あと２通りはあまり面白くないので、省略しても良いが、興味がある人のためにやる。

おまけ：
https://miichang.exblog.jp/26053186/

問題
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの外接円の、点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄをとり、線分ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。このとき、次の（１）～（３）が成り立つことを証明せよ。
（１）ＡＤ・ＤＥ＝ＣＤ・ＤＢ
（２）ＡＤ・ＡＥ＝ＡＢ²
（３）∠ＢＡＣ＝９０°のとき、四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい。
（０１　灘）

（３）の別解３
（円に内接する直角二等辺三角形と直角三角形ＤＢＣがくっついた円に内接する四角形ＡＢＤＣの図。）
ＤＣの延長上にＣＦ＝ＢＤとなる点Ｆを取ると、四角形ＡＢＤＣは円に内接する四角形より、
∠ＡＣＦ＝∠ＡＢＤ
また、△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、
ＡＣ＝ＡＢ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＣＦ≡△ＡＢＤ　∴ＡＦ＝ＡＤ
また、∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＤ
この両辺に∠ＤＡＣを加えると、
∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＣ＝９０°
よって、△ＡＤＦも直角二等辺三角形になる。
ここで、ＡからＤＦに垂線を下ろしその足をＨとして、ＡＨで△ＡＤＦを半分に切って組み直すと、ＡＤを対角線とした正方形になる。（点Ａを中心に△ＡＨＦをＡＦがＡＤにくっつくまで９０°回転移動させると考えても良い。）
ところで、△ＡＣＦ≡△ＡＢＤより直角二等辺三角形と四角形ＡＢＤＣの面積は等しいので、
四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい事が示された。

（３）の別解４
四角形ＡＢＤＣは円に内接する四角形より、∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°また、ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°より、四角形ＡＢＤＣを点Ａを中心にＡＢがＡＣにくっつくまで反時計回りに９０°回転移動コピーをし、点Ｃ，Ｄの行き先をそれぞれＣ'，Ｄ'とすると、ＤＣＤ'，ＢＡＣ'はそれぞれ一直線になり、∠Ｄ，∠Ｄ'が直角の台形ＢＤＤ'Ｃ'が出来る。
この回転をもう２回同様に続け、点Ｄの行き先をＤ''，Ｄ'''とすると、正方形ＤＤ'Ｄ''Ｄ'''が出来る。（∠Ｄ系統は全て９０°で四辺の長さは全てＢＤ＋ＤＣの長さとなる。）
そして、その正方形の対角線はＤＤ''でＡＤの直線上の２倍である。
ところで、四角形ＡＢＤＣの面積はこの正方形の１/４で、この正方形の面積は２ＡＤ×２ＡＤ÷２＝２ＡＤ²より、その１/４はＡＤ²/２
これはＡＤを１辺とした正方形の面積に他ならない。よって、四角形ＡＢＤＣの面積はＡＤを対角線とする正方形の面積に等しい事が示された。

おまけ：

https://www.tvu.co.jp/contact/chikiriyatomoko/

問題３．
任意の正方行列Ｘに対し、対称行列Ａと交代行列ＢとがあってＸ＝Ａ＋Ｂとなること、およびこの分解は一意的であることを示せ。また、t^(|Ｃ)＝Ｃ，t^(|Ｄ)＝－Ｄ，Ｘ＝Ｃ＋Ｄとなる行列Ｃ，Ｄがただ一組存在することを示せ。

解
分解可能性：(１/２)(Ｘ＋t^Ｘ)＝Ａ，
(１/２)(Ｘ－t^Ｘ)＝Ｂ，
(１/２)(Ｘ＋t^(|Ｘ))＝Ｃ，
(１/２)(Ｘ－t^(|Ｘ))＝Ｄと置く。
明らかにt^Ａ＝Ａ，t^Ｂ＝－Ｂ，t^(|Ｃ)＝Ｃ，
t^(|Ｄ)＝－Ｄ，Ａ＋Ｂ＝Ｘ，Ｃ＋Ｄ＝Ｘである。
一意性：つぎに、対称行列Ａ'，交代行列Ｂ'，
t^(|Ｃ')＝Ｃ'，t^(|Ｄ')＝－Ｄ'となる行列Ｃ'，Ｄ'が存在して、Ｘ＝Ａ'＋Ｂ'＝Ｃ'＋Ｄ'となったとする。
t^Ｘ＝t^Ａ'＋t^Ｂ'＝Ａ'－Ｂ'だから、
Ａ'＝(１/２)(Ｘ＋t^Ｘ)，Ｂ'＝(１/２)(Ｘ－t^Ｘ)となり、Ａ'＝Ａ，Ｂ'＝Ｂがわかる。
t^(|Ｘ)＝t(|Ｃ')＋t^(|Ｄ')＝Ｃ'－Ｄ'だから、
Ｃ'＝(１/２)(Ｘ＋t^(|Ｘ))，Ｄ'＝(１/２)(Ｘ－t^(|Ｘ))となりＣ'＝Ｃ，Ｄ'＝Ｄがわかる。すなわち分解は一意的である。
「演習詳解 線型代数」有馬哲・浅枝陽共著より

解説
＞２Ａ＝Ｘ＋t^Ｘ，２Ｂ＝Ｘ－t^Ｘとおけ。
「線型代数入門」有馬哲著より

と置くと、Ａ＝(１/２)(Ｘ＋t^Ｘ)
＝(１/２)Ｘ＋(１/２)t^Ｘ
この両辺の転置を取ると、
t^Ａ＝ｔ^{(１/２)Ｘ＋(１/２)t^Ｘ}
＝t^{(１/２)Ｘ}＋t^{(１/２)t^Ｘ}
＝(１/２)t^Ｘ＋(１/２)t^(t^Ｘ)
＝(１/２)t^Ｘ＋(１/２)Ｘ＝Ａ
∴t^Ａ＝Ａ
よって、行列Ａは対称行列。

「転置する演算が
t^(Ａ＋Ｂ)＝t^Ａ＋t^Ｂ，t^(ｃＡ)＝ｃt^Ａ，
t^(t^Ａ)＝Ａ
をみたすのは、明らかである。」
「線型代数入門」有馬哲著より

また、Ｂ＝(１/２)(Ｘ－t^Ｘ)
＝(１/２)Ｘ－(１/２)t^Ｘ
この両辺の転置を取ると、
t^Ａ＝ｔ^{(１/２)Ｘ－(１/２)t^Ｘ}
＝t^{(１/２)Ｘ}－t^{(１/２)t^Ｘ}
＝(１/２)t^Ｘ－(１/２)t^(t^Ｘ)
＝(１/２)t^Ｘ－(１/２)Ｘ＝－Ｂ
∴t^Ｂ＝－Ｂ
よって、行列Ｂは交代行列。
ところで、２Ａ＝Ｘ＋t^Ｘ，２Ｂ＝Ｘ－t^Ｘ
より、２Ａ＋２Ｂ＝２Ｘ　∴Ｘ＝Ａ＋Ｂ
よって、任意の正方行列Ｘに対し、対称行列Ａと交代行列ＢとがあってＸ＝Ａ＋Ｂとなる事が示された。

次に、一意性を証明する。
対称行列Ａ'，交代行列Ｂ'が存在して、
Ｘ＝Ａ'＋Ｂ'が成り立つとする。（t^Ａ'＝Ａ'，t^Ｂ'＝－Ｂ'）
この両辺の転置を取ると、
t^Ｘ＝t^(Ａ'＋Ｂ')＝t^Ａ'＋t^Ｂ'＝Ａ'－Ｂ'
∴Ｘ＋t^Ｘ＝Ａ'＋Ｂ'＋(Ａ'－Ｂ')＝２Ａ'
∴Ａ'＝(１/２)Ｘ＋(１/２)t^Ｘ＝Ａ
∴Ａ'＝Ａ———①
また、Ｘ－t^Ｘ＝Ａ'＋Ｂ'－(Ａ'－Ｂ')＝２Ｂ'
∴Ｂ'＝(１/２)Ｘ－(１/２)t^Ｘ＝Ｂ
∴Ｂ'＝Ｂ———②
①，②より、一意性が示された。

＞２Ｃ＝Ｘ＋t^(|Ｘ)，２Ｄ＝Ｘ－t^(|Ｘ)とおけ。
「線型代数入門」有馬哲著より

と置くと、
Ｃ＝(１/２)Ｘ＋(１/２)t^(|Ｘ)
この両辺の共役を取ると、
|Ｃ＝|{(１/２)Ｘ＋(１/２)t^(|Ｘ)}
＝|{(１/２)Ｘ}＋|{(１/２)t^(|Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ＋(１/２)|{t^(|Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ＋(１/２){t^(||Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ＋(１/２)t^Ｘ
∴|Ｃ＝(１/２)|Ｘ＋(１/２)t^Ｘ
この両辺の転置を取ると、
t^(|Ｃ)＝t^{(１/２)|Ｘ＋(１/２)t^Ｘ}
＝t^{(１/２)|Ｘ}＋t^{(１/２)t^Ｘ}
＝(１/２)t^(|Ｘ)＋(１/２)t^(t^Ｘ)
＝(１/２)t^(|Ｘ)＋(１/２)Ｘ＝Ｃ
∴t^(|Ｃ)＝Ｃ———③
また、Ｄ＝(１/２)Ｘ－(１/２)t^(|Ｘ)より、
この両辺の共役を取ると、
|Ｄ＝|{(１/２)Ｘ－(１/２)t^(|Ｘ)}
＝|{(１/２)Ｘ}－|{(１/２)t^(|Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ－(１/２)|{t^(|Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ－(１/２){t^(||Ｘ)}
＝(１/２)|Ｘ－(１/２)t^Ｘ
∴|Ｄ＝(１/２)|Ｘ－(１/２)t^Ｘ
この両辺の転置を取ると、
t^(|Ｄ)＝t^{(１/２)|Ｘ－(１/２)t^Ｘ}
＝t^{(１/２)|Ｘ}－t^{(１/２)t^Ｘ}
＝(１/２)t^(|Ｘ)－(１/２)t^(t^Ｘ)
＝(１/２)t^(|Ｘ)－(１/２)Ｘ＝－Ｄ
∴t^(|Ｄ)＝－Ｄ———④
また、２Ｃ＝Ｘ＋t^(|Ｘ)，２Ｄ＝Ｘ－t^(|Ｘ)より、２Ｃ＋２Ｄ＝２Ｘ　∴Ｘ＝Ｃ＋Ｄ
よって、任意の正方行列Ｘに対し、t^(|Ｃ)＝Ｃ，t^(|Ｄ)＝－Ｄとなる行列があって、Ｘ＝Ｃ＋Ｄとなる事が示された。

次に一意性を証明する。
t^(|Ｃ')＝Ｃ'，t^(|Ｄ')＝－Ｄ'となる行列Ｃ'，Ｄ'が存在して、Ｘ＝Ｃ'＋Ｄ'が成り立つとする。
この両辺の共役を取ると、
|Ｘ＝|(Ｃ'＋Ｄ')＝|Ｃ'＋|Ｄ'
また、この両辺の転置を取ると、
t^(|Ｘ)＝t^(|Ｃ'＋|Ｄ')＝t^(|Ｃ)＋t^(|Ｄ)
＝Ｃ'－Ｄ'
∴Ｘ＋t^(|Ｘ)＝２Ｃ'
∴Ｃ'＝(１/２)Ｘ＋(１/２)t^(|Ｘ)＝Ｃ
（Ｃ＝(１/２)Ｘ＋(１/２)t^(|Ｘ)より）
また、Ｘ－t^(|Ｘ)＝２Ｄ'
∴Ｄ'＝(１/２)Ｘ－(１/２)t^(|Ｘ)＝Ｄ
（Ｄ＝(１/２)Ｘ－(１/２)t^(|Ｘ)より）
∴Ｃ'＝Ｃ，Ｄ'＝Ｄ
よって、一意性が示された。

ちゃんと読めば簡単ですが、「明らかにt^Ａ＝Ａ，t^Ｂ＝－Ｂ，t^(|Ｃ)＝Ｃ，
t^(|Ｄ)＝－Ｄ，Ａ＋Ｂ＝Ｘ，Ｃ＋Ｄ＝Ｘである。」は凄いですね。教える気全くなし。もっとも、大学は自分で学びに行く所だと私も思っていますが。
（３０年前もこういう塾があったら良かったのに。https://nekonotezemi.com/mathematics/?gad_source=1&gclid=EAIaIQobChMIz8yPutHEigMVURJ7Bx2tuzaCEAAYASAAEgIon_D_BwE

https://kyushinjuku.com/course/daigakufollow/math/）

おまけ：

解説
＞もしｆ(ｘ)の根αが重根ならば、問題1-12よりαはｆ'(ｘ)の根になる。

問題 1-12b
多項式ｆ(ｘ)に対して、次は同値であることを示せ。
（１）ａはｆ(ｘ)の重根である。
（２）ｆ(ａ)＝０かつｆ'(ａ)＝０が成り立つ。

読めば分かりますね。

＞ｆ(ｘ)はαの最小多項式になるので、ｆ'(ｘ)を割り切る（129,130ページ）

129,130ページ
（１）最小多項式による整除性
αを根に持つＡ係数多項式ｇ(ｘ)はαのＡ最小多項式ｆ(ｘ)で割り切れます。

ｆ(ｘ)は既約多項式でαを根に持つので、αの最小多項式である。（下の（２）より）

130ページ
（２）最小多項式となる条件
αを根に持つＡ係数単多項式ｆ(ｘ)について、次の①，②は同値です：
① ｆ(ｘ)はαのＡ最小多項式である。
② ｆ(ｘ)は既約である。

また、ｆ(ｘ)とｆ'(ｘ)は両方ともαを根に持ち、ｆ(ｘ)の方が既約多項式（最小多項式）なのでｆ(ｘ)がｆ'(ｘ)を割り切るという事。（上の（１）より）

＞ところがｆ'(ｘ)の次数はdegｆ－１＞０だから、これは矛盾である。

degは次数で、指数が整数ｎの関数を微分すると、（指数は）ｎ－１となるので、「ｆ'(ｘ)の次数はdegｆ－１＞０」という事。
また、上よりｆ(ｘ)がｆ'(ｘ)を割り切る事になっていたのに、ｆ'(ｘ)の次数の方が小さいので割り切れないので矛盾という事である。

＞（参考：有理数を含む任意の体を係数とする多項式について、問題の主張は成り立つ（有理数を含むことから「定数でないｆ(ｘ)に対してdegｆ'(ｘ)＝degｆ(ｘ)－１が成り立つ」ことを使う）。）

まず、係数が環ではダメで体である理由は、割り算（除法）について閉じていないからである。
だから、ℤ[ｉ]などは係数にならないが、ℚ[ｉ]などは係数になる。
そして、「有理数を含むことから」は、微分した時に指数を前に出して係数と掛け合わせるが、それが同じ体（指数は整数だが有理数の一部なので有理数と見る）に属しているからＯＫという意味ではないだろうか。（正直よく分からない。）
因みに、有限体Ｆp（ℤp）を係数にしたら成り立たないのかと考えて、ℤ₂でｘ²＋１を考えたらｘ²＋１＝ｘ²＋０ｘ＋１＝ｘ²＋２ｘ＋１＝(ｘ＋１)²だが、これはｘ²＋１が可約というだけで意味がない。Ｆp係数でも成り立ちそうな気がした。（「有理数を含む任意の体を係数とする多項式について、問題の主張は成り立つ」という書き方だと係数がＦpでは成り立たなそうな気がしたが。）
ちょっと調べた所、Ｆpでも成り立つらしい。

「有理数体ℚ,実数体ℝ,複素数体ℂ,
ℚ上の有理関数体ℚ(t)など,
標数0の体の場合,
既約多項式は重根を持ちません.

標数が0でない体であっても,
ℤ/pℤ (pは素数)などの有限体の場合,
同じく既約多項式は重根を持ちません.」
引用元：https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10261933340

おまけ：

解説
＞|Ｋ|＝ｑとする。

Ｋは有限体だからＫの位数（元の個数）をｑとする。

＞Ｋ*の位数はｑ－１であるから、Ｋ*に位数ｑ－１の元が存在することを示せばよい。

Ｋ*はＫ－{０}なので元の個数はｑ－１。
また、第２章定理3.4より「位数ｑ－１の元が存在」すれば巡回群である。

定理3.4
ａを群Ｇの元とするとき、元ａの位数はａで生成された巡回部分群＜ａ＞の位数に等しい。すなわち、|＜ａ＞|＝|ａ|

つまり、Ｋ*の位数（元の個数）はｑ－１で位数ｑ－１の元が存在すれば全ての元はその元で生成されるので巡回群という事である。

＞Ｋ*の元のうち、高々ｍ個の元がＸ^m－１の根になる（定理4.6）。

定理4.6
Ｋ[Ｘ]を体Ｋ上の１変数の多項式環とする。０でないＫ[Ｘ]の多項式ｆ(Ｘ)の次数がｎならば、ｆ(α)＝０となるＫの元αは高々ｎ個である。

「Ｘ^m－１の根」。何故、こんな事を考えるかと言うと、位数を考えるからである。つまり、位数ｍの元ａはａ^m＝ｅ（＝１）となるからである。（ａ^m－１＝０）

定義3.2
単位元をｅとする群Ｇの元ａに対して、ａ^n＝ｅとなるような最小の正の整数を（それがあるときは）ａの位数という。

＞ｍ＜ｑ－１であるからＫ*には、ある元βが存在して
β^m－１≠０。

Ｋ*の元の個数はｑ－１個。
また、ｍ＜ｑ－１
また、Ｘ^m－１＝０となるＸ∈Ｋ*はｍ個以下なので、Ｋ*には少なくとも１個はＸ^m－１＝０とならない元が存在する。
よって、その元をβとするとβ^m－１≠０という事。

＞このβの位数をｎとする。第２章定理3.2より
β^m≠１⇔ｎ∤ｍ。

第２章定理3.2
群Ｇの単位元をｅとし、Ｇの元ａの位数をｎとする。このとき、非負整数ｋ,ｌについて次が成り立つ。
（１）ａ^k＝ｅ⇔ｋ≡０（mod ｎ）
（２）ａ^k＝ａ^l ⇔ｋ≡ｌ（mod ｎ）

この（１）の右側はｎ|ｋという意味。
つまり、β^ｍ＝１⇔ｎ|ｍ
（ａをβにし、ｋをｍにする。ｅは１にする。）
または、βの位数がｎよりβ^n＝１でｎは最小。また、β^m＝１でｎが最小よりｎ|ｍは自明。
よって、β^ｍ＝１⇔ｎ|ｍと考えると良い。
（(β^n)^c＝β^m＝１とするとｎｃ＝ｍでｎ|ｍと分かる。ちょっと雑ですが。）
ここで、β^ｍ＝１⇔ｎ|ｍの対偶を取ると、
β^m≠１⇔ｎ∤ｍという事。
一応、β^m＝１⇒ｎ|ｍの対偶は、
ｎ∤ｍ⇒β^m≠１———①
ｎ|ｍ⇒β^m＝１の対偶は、
β^m≠１⇒ｎ∤ｍ———②
①，②より、β^m≠１⇔ｎ∤ｍという事。

＞したがって、ｍとｎの最小公倍数をｌとすればｍ＜ｌである。

ｎ|ｍじゃないから。ｎ|ｍだったらｍとｎの最小公倍数はｍでｍ＝ｌとなる。

＞第２章定理3.8によって、Ｋ*には位数ｌの元が存在する。

第２章定理3.8
群Ｇの可換な２つの元ａ,ｂの位数がそれぞれｍ,ｎとする。ｍとｎの最小公倍数をｌとするとき、Ｇに位数ｌの元が存在する。

読めば分かるので、解説は省略。

＞Ｋ*に位数ｑ－１の元が存在することを示せばよい。このために、Ｋ*の元αの位数ｍがｍ＜ｑ－１と仮定する。このときＫ*の中には位数がｍより大なるものが存在することを示せば、Ｋ*に位数ｑ－１の元があることになる。

この理由を述べて下さい。「Ｋ*の元αの位数ｍがｍ＜ｑ－１と仮定する」からある元αを選んでその元の位数をｍと仮定するんですよね。ｍ＜ｑ－１だから例えば、ｍ＝ｑ－３とすると、「ｍより大なるものが存在することを示」しても位数がｑ－２の元かｑ－１の元か分からないじゃないですか。その辺をはっきりと解説して下さい。

これは次回。

おまけ：

定理6.1
有限体Ｋの０以外の元からなる乗法群Ｋ*は巡回群である。

証明
|Ｋ|＝ｑとする。Ｋ*の位数はｑ－１であるから、Ｋ*に位数ｑ－１の元が存在することを示せばよい。このために、Ｋ*の元αの位数ｍがｍ＜ｑ－１と仮定する。このときＫ*の中には位数がｍより大なるものが存在することを示せば、Ｋ*に位数ｑ－１の元があることになる。
　Ｋ*の元のうち、高々ｍ個の元がＸ^m－１の根になる（定理4.6）。ｍ＜ｑ－１であるからＫ*には、ある元βが存在して
β^m－１≠０。
このβの位数をｎとする。第２章定理3.2より
β^m≠１⇔ｎ∤ｍ。
したがって、ｍとｎの最小公倍数をｌとすればｍ＜ｌである。第２章定理3.8によって、Ｋ*には位数ｌの元が存在する。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

解説の続き
＞Ｋ*に位数ｑ－１の元が存在することを示せばよい。このために、Ｋ*の元αの位数ｍがｍ＜ｑ－１と仮定する。このときＫ*の中には位数がｍより大なるものが存在することを示せば、Ｋ*に位数ｑ－１の元があることになる。

この理由を述べて下さい。「Ｋ*の元αの位数ｍがｍ＜ｑ－１と仮定する」からある元αを選んでその元の位数をｍと仮定するんですよね。ｍ＜ｑ－１だから例えば、ｍ＝ｑ－３とすると、「ｍより大なるものが存在することを示」しても位数がｑ－２の元かｑ－１の元か分からないじゃないですか。その辺をはっきりと解説して下さい。

Ｋ*には単位元の他に位数がｑ－１より小さい位数の元が必ず存在する。
例えば、その元の位数を２として、上の証明のような操作をすれば２より大きい位数の元が存在する。これがｑ－１ならばそれで良いが、違う場合は例えば位数３だったとする。あとはこれを繰り返せば、ｑ－２より大きい位数がｑ－１の元が存在する事が証明出来るので問題ない。（数学的帰納法的な話。）

おまけ：
https://masason-foundation.org/cpt_testimonial/%E9%AB%98%E6%A9%8B-%E6%B4%8B%E7%BF%94/

問題
右の図のように、直径ＡＢの半円Ｏの円周上に点ＰとＱがあり、∠ＰＯＡ＝２８°，∠ＱＯＢ＝６８°である。直径ＡＢ上に点ＲをＰＲ＋ＲＱの長さが最小になるようにとるとき、∠ＰＲＱの大きさを求めよ。
（０１　城北）

図の解説：半円ＡＢを描き、その中心をＯとする。まず、∠ＰＯＡ＝２８°，∠ＱＯＢ＝６８°となる点Ｐ，Ｑを取り、ＯＡ上に点Ｒがある図。

模範解答
ＡＢに関するＰの対称点をＰ'とすると、ＡＢ上の点Ｘに対して、
ＰＸ＋ＸＱ＝Ｐ'Ｘ＋ＸＱ≧Ｐ'Ｑ
等号は、Ｐ'-Ｘ-Ｑが一直線のときに成り立つから、Ｒは、Ｐ'ＱとＡＢとの交点である。
ところで、∠ＰＰ'Ｑ＝∠ＰＯＱ/２
＝{１８０°－(２８°＋６８°)}/２
＝８４°/２＝４２°であるから、
∠ＰＲＱ＝∠ＰＰ'Ｒ＋∠Ｐ'ＰＲ
＝∠ＰＰ'Ｒ×２＝４２°×２＝８４°
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞Ｒは、Ｐ'ＱとＡＢとの交点である。

最短距離の定石で、点ＰのＡＢに関する対称点Ｐ'を取ると、直線Ｐ'ＱとＡＢとの交点ＲがＰＲ＋ＲＱの最短距離の地点Ｒとなる。（理由は上で解説されているので省略。）

＞ところで、∠ＰＰ'Ｑ＝∠ＰＯＱ/２
＝{１８０°－(２８°＋６８°)}/２
＝８４°/２＝４２°

半円を真円にして考えると、点Ｐ'は円Ｏの円周上にある。よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＰＰ'Ｑ＝∠ＰＯＱ/２という事。あとは自明。

私の解法１（ただし、最短距離の定石までは同じ。）
半円を真円にすると、点Ｐ'は円Ｏの円周上にある。また、ＡＢは直径より対称性で
∠ＯＰＲ＝∠ＯＰ'Ｒ＝●———①
また、半径より△ＯＰ'Ｑは二等辺三角形で
∠ＯＰ'Ｑ＝∠ＯＱＰ'＝●———②
①，②より、∠ＯＰＲ＝∠ＯＱＰ'＝∠ＯＱＲ
よって、∠ＯＰＲ＝∠ＯＱＲより円周角の定理の逆により４点Ｐ，Ｒ，Ｏ，Ｑは同一円周上にある。よって、円周角より、
∠ＰＲＱ＝∠ＰＯＱ＝１８０°－２８°－６８°＝８４°
よって、答えは、８４°

私の解法２（ただし、最短距離の定石までは同じ。）
半円を真円にすると、点Ｐ'は円Ｏの円周上にある。また、ＡＢは直径より対称性より、
∠ＰＯＲ＝(１/２)∠ＰＯＰ'———①
また、円周角と中心角の関係より、
∠ＰＱＲ＝∠ＰＱＰ'＝(１/２)∠ＰＯＰ'———②
①，②より、∠ＰＯＲ＝∠ＰＱＲ
よって、円周角の定理の逆により４点Ｐ，Ｒ，Ｏ，Ｑは同一円周上にある。
以後、解法１と同じ。

おまけ：

解説
＞これらの公式の証明は成分の加法とスカラー倍の公式の証明に帰着するが、それは複素数の対応する性質にほかならない。

「たとえば、Ａ＝(ａij)，Ｂ＝(ｂij)であるとき
ａij＋ｂij＝ｂij＋ａij
であるから
Ａ＋Ｂ＝(ａij＋ｂij)＝(ｂij＋ａij)＝Ｂ＋Ａ
といった具合である。」

要は、（２つ以上の）行列同士の和やスカラー倍は、１つにした時の１つの行列内の計算になり、それは普通の計算（それを複素数という範囲に取っている）に過ぎませんよという事。
具体的には、(ａij＋ｂij)＝(ｂij＋ａij)
である。( )が１つの行列でその中では整数や実数や複素数は可換であるので、そうしているという事。（つまり、加法に関しては行列同士も可換になるという事。）

＞残りの等式の証明は読者にゆだねる。

（Ⅰ）（加法の公理）
（１）(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝Ａ＋(Ｂ＋Ｃ) 　（結合律）
（２）Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ　　　　　　　（可換律）
（３）Ｏ＋Ａ＝Ａ＋Ｏ＝Ａ　　　　　（零元）
（４）(－Ａ)＋Ａ＝Ａ＋(－Ａ)＝Ｏ　（反対元）
（Ⅱ）（スカラー倍の公理）
（５）ｃ(Ａ＋Ｂ)＝ｃＡ＋ｃＢ
（６）(ｂ＋ｃ)Ａ＝ｂＡ＋ｃＡ
（７）(ｂｃ)Ａ＝ｂ(ｃＡ)
（８）１Ａ＝Ａ

Ａ＝(ａij)，Ｂ＝(ｂij)とする。（( 　)は行列を表す。）

（１）(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝((ａij)＋(ｂij))＋(ｃij)
＝(ａij＋ｂij)＋(ｃij)＝(ａij＋ｂij＋ｃij)
＝(ａij＋(ｂij＋ｃij))＝(ａij)＋(ｂij＋ｃij)
＝(ａij)＋((ｂij)＋(ｃij))＝Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)
∴(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)
（２）Ａ＋Ｂ＝(ａij)＋(ｂij)＝(ａij＋ｂij)
＝(ｂij＋ａij)＝(ｂij)＋(ａij)＝Ｂ＋Ａ
Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
（３）Ｏ＋Ａ＝(０ij)＋(ａij)＝(０ij＋ａij)
＝(ａij＋０ij)＝(ａij)＋(０ij)＝Ａ＋Ｏ
また、Ｏ＋Ａ＝(０ij)＋(ａij)＝(０ij＋ａij)
＝(ａij)＝Ａ
∴Ｏ＋Ａ＝Ａ＋Ｏ＝Ａ
（４）Ａ＝(ａij)より、－Ａ＝－(ａij)＝(－ａij)（スカラー倍の定義より）
∴(－Ａ)＋Ａ＝(－ａij)＋(ａij)＝(－ａij＋ａij)
＝(０ij)＝Ｏ
また、（２）より、(－Ａ)＋Ａ＝Ａ＋(－Ａ)
∴(－Ａ)＋Ａ＝Ａ＋(－Ａ)＝Ｏ
（５）ｃ(Ａ＋Ｂ)＝ｃ((ａij)＋(ｂij))
＝ｃ(ａij＋ｂij)＝(ｃａij＋ｃｂij)（スカラー倍の定義より）
＝(ｃａij)＋(ｃｂij)＝ｃ(ａij)＋ｃ(ｂij)（スカラー倍の定義より）
＝ｃＡ＋ｃＢ
∴ｃ(Ａ＋Ｂ)＝ｃＡ＋ｃＢ
（６）(ｂ＋ｃ)Ａ＝(ｂ＋ｃ)(ａij)
＝((ｂ＋ｃ)ａij)＝(ｂａij＋ｃａij)
＝(ｂａij)＋(ｃａij)＝ｂ(ａij)＋ｃ(ａij)
＝ｂＡ＋ｃＡ
∴(ｂ＋ｃ)Ａ＝ｂＡ＋ｃＡ
（７）(ｂｃ)Ａ＝(ｂｃ)(ａij)＝(ｂｃａij)
＝(ｂ・ｃａij)＝ｂ(ｃａij)＝ｂ(ｃＡ)
∴(ｂｃ)Ａ＝ｂ(ｃＡ)
（８）１Ａ＝１(ａij)＝(ａij)＝Ａ
∴１Ａ＝Ａ
以上より、８つの公理を満たしているので、行列は線型空間である。（線型空間Ｍ(ｍ,ｎ,Ｋ)を行列空間と言う。）

おまけ：

問題
右図において、ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＥＦ＝４.２ｃｍである。４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同じ円周上にあるとき、
（１）ＣＤの長さとＣＦの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、ＣＤ：ＣＦ＝□：□である。
（２）線分ＢＥの長さは□ｃｍである。
（３）線分ＢＤの長さは□ｃｍである。
（０１　大阪星光学院）

図の解説：二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｅ，ＡＣ上に点Ｆがあり、ＦＥの延長とＣＢの延長との交点がＤとなっている図。

模範解答
（１）Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同じ円周上にあることから、∠Ｄ＝∠Ａ，また∠Ｃが共通より、
△ＤＦＣ∽△ＡＢＣ　
∴ＣＤ：ＣＦ＝ＣＡ：ＣＢ＝５：３
（２）右図のように、Ｅを通り、ＡＣ，ＤＣに平行な直線をひく（注：二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上の点ＥからＡＣ，ＢＣと平行な直線を引き、ＢＣ，ＡＣとの交点をそれぞれＧ，Ｈとする）。
△ＥＦＨ∽△ＤＦＣ∽△ＡＢＣより、
ＥＨ＝ＥＦ＝４.２　∴ＧＣ＝４.２
∴ＢＧ＝１.８
さらに、△ＥＢＧ∽△ＡＢＣより、
ＢＥ＝(５/３)ＢＧ＝３（ｃｍ）
（３）ＥＧ＝ＥＢ＝３
さらに、△ＤＥＧ∽△ＡＢＣより、
ＤＧ＝(５/３)ＥＧ＝５
∴ＢＤ＝ＤＧ－ＢＧ＝３.２（ｃｍ）
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

読めば分かるので、解説は省略。要は、このような補助線が引けるかどうかである。

（２）私の別解
ＢからＥＦと平行な直線を引き、ＡＣとの交点をＧとすると、△ＧＡＢ∽△ＦＡＥより、
ＥＦ：ＡＥ＝ＢＧ：ＡＢ
∴４.２：ＡＥ＝６：１０（（１）より△ＤＦＣ∽△ＡＢＣで今回△ＤＦＣ∽△ＢＧＣより△ＢＧＣは二等辺三角形でＢＧ＝ＢＣ＝６だから）
∴６ＡＥ＝４２　∴ＡＥ＝７
∴ＢＥ＝１０－７＝３ｃｍ
よって、答えは、３
（３）別解の続き
また、４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同一円周上にあるので、△ＥＢＤ∽△ＥＦＡ
∴ＤＥ：ＢＥ＝ＡＥ：ＦＥ
∴ＤＥ：３＝７：４.２　∴４.２ＤＥ＝２１
∴ＤＥ＝２１０/４２＝５ｃｍ
∴ＣＦ＝ＤＥ＋ＥＦ＝５＋４.２＝９.２ｃｍ
ところで、△ＤＦＣも二等辺三角形より、
ＤＣ＝ＤＦ＝９.２ｃｍ
∴ＢＤ＝ＤＣ－ＢＣ＝９.２－６＝３.２ｃｍ
よって、答えは、３.２

「（２）を計算で押し通すのは大変」という別解は次回。（２通り出来ないか検討中。）

おまけ：

問題
右図において、ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＥＦ＝４.２ｃｍである。４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同じ円周上にあるとき、
（１）ＣＤの長さとＣＦの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、ＣＤ：ＣＦ＝□：□である。
（２）線分ＢＥの長さは□ｃｍである。
（３）線分ＢＤの長さは□ｃｍである。
（０１　大阪星光学院）

「（２）を計算で押し通すのは大変」という解法１
（１）より、△ＤＦＣ∽△ＡＢＣ　
∴ＣＤ：ＣＦ＝ＣＡ：ＣＢ＝５：３
ここで、ＢＥ＝ｘ，ＣＦ＝３ｙ，ＣＤ＝５ｙと置くと、ＡＦ＝１０－３ｙ，ＡＥ＝１０－ｘ，ＤＢ＝５ｙ－６
よって、△ＡＢＣと直線ＦＤでメネラウスの定理を使うと、
(ＦＡ/ＣＦ)(ＥＢ/ＡＥ)(ＤＣ/ＤＢ)＝１
よって、{(１０－３ｙ)/３ｙ}{ｘ/(１０－ｘ)}{５ｙ/(５ｙ－６)}＝１が成り立つ。
∴５ｘ(１０－３ｙ)/３(１０－ｘ)(５ｙ－６)＝１
∴５ｘ(１０－３ｙ)＝３(１０－ｘ)(５ｙ－６)———①
また、４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同一円周上にあるので、△ＥＡＦ∽△ＥＤＢ
∴ＥＦ：ＥＢ＝ＡＦ：ＤＢ
よって、４.２：ｘ＝１０－３ｙ：５ｙ－６が成り立つ。
∴ｘ(１０－３ｙ)＝４.２(５ｙ－６)
∴５ｘ(１０－３ｙ)＝２１(５ｙ－６)———②
①，②より、
３(１０－ｘ)(５ｙ－６)＝２１(５ｙ－６)
５ｙ－６＝ＤＢ＞０より、両辺を３(５ｙ－６)で割ると、
１０－ｘ＝７　∴ｘ＝３　∴ＢＥ＝３ｃｍ
よって、答えは、３
（３）別解の続き
②にｘ＝３を代入すると、
５(１０－３ｙ)＝７(５ｙ－６)
∴５０－１５ｙ＝３５ｙ－４２
∴５０ｙ＝９２　∴ｙ＝９２/５０＝４６/２５
∴ＢＤ＝５ｙ－６＝４６/５－６＝１６/５ｃｍ
∴ＢＤ＝３.２ｃｍ
よって、答えは、３.２

計算が結構楽だったので、これが本当に「（２）を計算で押し通すのは大変」という解法なのだろかという疑惑が湧く。そこで、座標でも解いてみました。これは非常に大変でした。逆に大変過ぎて、これが本当にそうなのかという疑惑も湧きますが。ただし、電卓ぐらいで中学数学の範囲を越えていない事は確かです。
どちらか一方を「（２）を計算で押し通すのは大変」に断定しろと言われたら、微妙で本当に分かりません。（第３の選択は、この先生がイメージだけで語っていて実際にはやっていない可能性もあると思います。あまり意味がありませんからね。）

「「幾何学に王道なし」とは、有名な数学者ユークリッドの言だそうですが、「何か数学に王道はないものか」と日夜血まなこになっている受験生諸君の奮闘を見ていると、単に「王道なし」「がんばれ」と精神論をくりかえしているだけでは無責任のような気がしてきます。そこで、この誌面を借りて、「王道」の秘密をこっそりお教えしましょう。
　数学の上達に近道はありませんが、数学の上達に失敗する方法は多々あります。その代表的なものは、「骨組」を理解しないまま、やたら風呂敷を広げてしまう、つまり、あれこれやりすぎて基本がぬけてしまう、という失敗です。
　では「骨組」とは何かというと、これは「教科書的な基礎」にあるわけではありません。実状はもう一歩踏みこんだ、教科書よりやや難しいところに、理解しておかねばならない最低限の基礎があって、それを仮に「骨組」と呼んだわけです。
　本書は、「教科書ではたりない」とはいえ、「受験問題の圧倒的なバラエティーを見るとどうもうまくまとめられない」という受験生のために、その中間的部分をしっかり埋め、まとめようという意図をもった演習書です。
　本書の約３００題にいどんで、解説のすみずみまで読んだとき、君たちの中には、わけのわからなかった膨大な問題を解く指針となる地図が生まれていることでしょう。それをつくることが、君たちの課題であり、上達への王道です。がんばって下さい。」（栗田）

基本的には英語と同じで習うより慣れろだと思うが、英語習得の裏技のように英語が話せる外国人と同棲するとかね。数学で言えば、心を開ける家庭教師に巡り合うとかかな。念のため、王道の話ではない。

おまけ：

問題
右図において、ＡＢ＝ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＥＦ＝４.２ｃｍである。４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｆが同じ円周上にあるとき、
（１）ＣＤの長さとＣＦの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと、ＣＤ：ＣＦ＝□：□である。
（２）線分ＢＥの長さは□ｃｍである。
（３）線分ＢＤの長さは□ｃｍである。
（０１　大阪星光学院）

図の解説：二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｅ，ＡＣ上に点Ｆがあり、ＦＥの延長とＣＢの延長との交点がＤとなっている図。

「（２）を計算で押し通すのは大変」という解法２
ＢＣの中点をｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，点Ａをｙ軸上に取ると、
Ａ(０,√９１)，Ｂ(０,－３)，Ｃ(３,０)と置ける。よって、直線ＡＢ，ＡＣの方程式は、
ＡＢ：ｙ＝(√９１/３)ｘ＋√９１
ＡＣ：ｙ＝(－√９１/３)ｘ＋√９１
よって、点Ｅ，Ｆは、
Ｅ(ｅ,(√９１/３)ｅ＋√９１)
Ｆ(ｅ,(－√９１/３)ｅ＋√９１)
ところで、（１）より、△ＤＦＣ∽△ＡＢＣ　
∴ＣＤ：ＣＦ＝ＣＡ：ＣＢ＝５：３
そこで、まずＦＣを求めると、
ＦＣ＝√[(ｆ－３)²＋{(－√９１/３)ｘ＋√９１}²]
＝√{(ｆ－３)²＋(９１/３)(ｆ－３)²}
＝√{(１００/９)(ｆ－３)²}
＝(１０/３)|ｆ－３|
＝(１０/３)(３－ｆ)
＝１０(３－ｆ)/３
∴ＤＣ＝(５/３)ＦＣ
＝(５/３){１０(３－ｆ)/３}
＝５０(３－ｆ)/９
∴ＤＯ＝５０(３－ｆ)/９－３
＝５０/３－５０ｆ/９－３
＝４１/３－５０ｆ/９
∴Ｄ(５０ｆ/９－４１/３，０)———☆
また、直線ＥＦの方程式は、
(√９１/３)ｅ＋√９１＝ａｅ＋ｂ
(－√９１/３)ｆ＋√９１＝ａｆ＋ｂ
を解くと、計算省略で、
ｙ＝{－√９１(ｆ＋ｅ)/３(ｆ－ｅ)}ｘ
－(√９１/３)ｆ＋√９１＋√９１ｆ(ｆ＋ｅ)/３(ｆ－ｅ)
点Ｄのｘ座標を求めるためにｙ＝０を代入して整理すると、計算省略で、
ｘ＝(２ｆｅ＋３ｆ－３ｅ)/(ｆ＋ｅ)———☆☆
となる。
☆，☆☆より、
(２ｆｅ＋３ｆ－３ｅ)/(ｆ＋ｅ)＝５０ｆ/９－４１/３
これを整理すると、計算省略で、
２５ｆ²＋１６ｅｆ－７５ｆ－４８ｅ＝０
∴２５ｆ²＋(１６ｅ－７５)ｆ－４８ｅ＝０
これを解の公式で解くと、計算省略で、
ｆ＝３，－１６ｅ/２５
（因数分解で解けるという事ですね。
(ｆ－３)(２５ｆ＋１６ｅ)＝０）
ところで、ｆ＜３より、
ｆ＝－１６ｅ/２５———☆☆☆
また、ＥＦ＝√[(ｆ－ｅ)²＋{(√９１/３)ｅ＋√９１}²]＝４.２＝２１/５
これを整理すると、計算省略で、
２５(１００ｆ²＋１００ｅ²＋１６４ｆｅ)＝３９６９（＝２１²・３²）———☆☆☆☆
☆☆☆を☆☆☆☆に代入すると、計算省略で、
ｅ＝±２１/１０
ところで、ｅ＜０より、ｅ＝－２１/１０
∴ｆ＝(－１６/２５)(－２１/１０)
＝１６・２１/２５・１０＝１６８/１２５
よって、☆に代入すると、
Ｄ(５０ｆ/９－４１/３，０)
＝(－３１/５，０)（計算省略）
∴ＢＤ＝３１/５－３＝１６/５＝３.２ｃｍ
（３）３.２（答え）
また、Ｅ(ｅ,(√９１/３)ｅ＋√９１)にｅ＝－２１/１０を代入すると、計算省略で、
Ｅ(－２１/１０，３√９１/１０)
また、Ｂ(－３，０)より、
ＢＥ＝√{(－２１/１０＋３)²＋(３√９１/１０)²}＝√{(９/１０)²＋(３√９１/１０)²}
＝√(８１/１００＋８１９/１００)
＝√(９００/１００)
＝√９＝３
（２）３（答え）

おまけ：

解説
＞ａ,ｂ∈Ｖ，ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１とする。
Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)＝ｔ₁Ｆ(ａ)＋ｔ₂Ｆ(ｂ)だから、
Ｆ(ａ)＞ｃ，Ｆ(ｂ)＞ｃなら、
Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)＞ｔ₁ｃ＋ｔ₂ｃ＝ｃ

要は、写像元で線分ＡＢを作り、Ｆが線型写像より線型性が保たれて線分Ａ'Ｂ'が出来、写像先のＣ₁が凸の定義を満たしているという事である。

定義
Ｖを実線型空間とする。二点ａ,ｂ∈Ｖ（注：ａ,ｂは本当は太字）に対し、集合{ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}をａとｂを結ぶ線分という。部分集合Ｃ⊆Ｖの任意の二点ａ,ｂを結ぶ線分が常にＣに含まれるとき、Ｃは凸であると言う。

しかし、素朴な疑問だが、
Ｃ₁＝{ｘ∈Ｖ｜Ｆ(ｘ)＞ｃ}
をＣ₁＝{ｘ∈Ｖ｜Ｆ(ｘ)＞ｃ}のＦが線型写像でなかったらＣ₁は凸集合ではないのだろうか。
平面の直交座標で考えて、直線ｙ＝ｃより上の領域はどんな２点を取っても必ずその領域に入っていると思うのだが。（まぁ、Ｆを通す事が大事なのだろう。例えば、線分が曲線になったら凸かどうか測れないだけのような気もするが。）
また、Ｃ₃＝{ｘ∈Ｖ｜Ｆ(ｘ)＝ｃ}はイメージ的には直線Ｆ(ｘ)＝ｃの内部（直線上）のどんな線分Ａ'Ｂ'を取っても必ずその直線上（内部）にあるので凸であるという事。

＞ｆ(ｘ)∈Ｆ^-1(０) ⇔ ∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔ＝０（ｘの関数として０）⇔ ｆ＝０ だから、Ｆ^-1(０)＝{０}。

ｆ(ｘ)∈Ｆ^-1(０) という事は、Ｆ(ｆ(ｘ))＝０———①
また、Ｆ：Ｃ⁰(Ｉ,ℝ)→Ｃ¹(Ｉ,ℝ)，ｆ→∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔより、
Ｆ(ｆ(ｘ))＝∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔ———②
①，②より、∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔ＝０
この両辺をｘで微分すると、ｆ(ｘ)＝０
これとｆ(ｘ)∈Ｆ^-1(０) より、
Ｆ^-1(０) ＝{０}のみという事。

＞Ｄ◦Ｆ(ｆ(ｘ))＝(ｄ/ｄｘ){∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔ}＝ｆ(ｘ)。すなわちＤ◦Ｆ＝Ｉ（恒等写像）。

上の②とＤ＝ｄ/ｄｔから、
Ｄ◦Ｆ(ｆ(ｘ))＝(ｄ/ｄｘ){∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔ}＝ｆ(ｘ)
よって、Ｄ◦Ｆ(ｆ(ｘ))＝ｆ(ｘ)でD◦Fは恒等写像という事。

＞Ｆ◦Ｄ(ｆ(ｘ))＝∫(a~x)(ｄｆ/ｄｔ)ｄｔ＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)。

まず、Ｄ(ｆ(ｘ))＝ｄｆ(ｘ)/ｄｔ
また、Ｆ：Ｃ⁰(Ｉ,ℝ)→Ｃ¹(Ｉ,ℝ)，ｆ→∫(a~x)ｆ(ｔ)ｄｔより、
Ｆ◦Ｄ(ｆ(ｘ))＝∫(a~x)(ｄｆ(ｔ)/ｄｔ)ｄｔ＝∫(a~x)ｆ'(ｔ)ｄｔ＝[ｆ(ｔ)](a~x)
＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)
という事。

おまけ：
「11 またわたしが見ていると、天が開かれ、見よ、そこに白い馬がいた。それに乗っているかたは、「忠実で真実な者」と呼ばれ、義によってさばき、また、戦うかたである。
12 その目は燃える炎であり、その頭には多くの冠があった。また、彼以外にはだれも知らない名がその身にしるされていた。
13 彼は血染めの衣をまとい、その名は「神の言」と呼ばれた。
14 そして、天の軍勢が、純白で、汚れのない麻布の衣を着て、白い馬に乗り、彼に従った。
15 その口からは、諸国民を打つために、鋭いつるぎが出ていた。彼は、鉄のつえをもって諸国民を治め、また、全能者なる神の激しい怒りの酒ぶねを踏む。
16 その着物にも、そのももにも、「王の王、主の主」という名がしるされていた。」
「ヨハネの黙示録」第１９章１１節～１６節（口語訳）

解説
問題 7-9b
１の原始ｎ乗根をζと表す。整数係数多項式ｆ(ｘ)に対して、ｆ(ζ)は有理数ならば、整数であることを示せ。

解答
ｆ(ｘ)を円分多項式Φn(ｘ)で割った余りをｒ(ｘ)とすると、
ｆ(ｘ)＝Φn(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)と置ける。
これにｘ＝ζを代入すると、Φn(ζ)＝０より、
ｆ(ζ)＝ｒ(ζ)＝有理数（条件より）———①
また、オイラー関数φ(ｎ)＝ｓと置くと、ζの式の次数はｓ－１次以下である。（「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著p.119~p.120より）
よって、ｆ(ζ)＝ａ₁ζ^(s-1)＋ａ₂ζ^(s-2)＋…＋ａs（ただし、ａ₁,…,ａsは整数）———②
①，②より、ａ₁＝ａ₂＝…＝ａs-1＝０
∴ｆ(ｘ)＝ａs
これにｘ＝ζを代入すると、ｆ(ζ)＝ａs
よって、ｆ(ζ)は整数である。

解答
Φn(ｘ)は整数係数単多項式なので、ｆ(ｘ)をΦn(ｘ)で割った余りｒ(ｘ)は整数係数多項式である。ζの式はφ(ｎ)－１次以下の有理数係数の式で一意的に表されるのｒ(ζ)が有理数ならば、ｒ(ｘ)は定数である。ｒ(ｘ)は整数係数なのでｒ(ｘ)＝ｒ(ζ)は整数である。
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

ちょっとアレンジした形になってしまいましたが、上ので大丈夫ですよね。

おまけ：

＞ちょっとアレンジした形になってしまいましたが、上ので大丈夫ですよね。

良く考えたら、ダメですよね。

問題 7-9b
１の原始ｎ乗根をζと表す。整数係数多項式ｆ(ｘ)に対して、ｆ(ζ)は有理数ならば、整数であることを示せ。

解答
ｆ(ｘ)を円分多項式Φn(ｘ)で割った余りをｒ(ｘ)とすると、
ｆ(ｘ)＝Φn(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)と置ける。
これにｘ＝ζを代入すると、Φn(ζ)＝０より、
ｆ(ζ)＝ｒ(ζ)＝有理数（条件より）———①
また、オイラー関数φ(ｎ)＝ｓと置くと、ζの式の次数はｓ－１次以下である。（「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著p.119~p.120より）
よって、ｆ(ζ)＝ａ₁ζ^(s-1)＋ａ₂ζ^(s-2)＋…＋ａs（ただし、ａ₁,…,ａsは整数）———②
①，②より、ａ₁＝ａ₂＝…＝ａs-1＝０
∴ｆ(ｘ)＝ａs
これにｘ＝ζを代入すると、ｆ(ζ)＝ａs
よって、ｆ(ζ)は整数である。

どこがダメかと言うと、ｆ(ｘ)はｓ－１次以上ですから、ａ₁＝ａ₂＝…＝ａs-1＝０以外のａiは０ではないので「ｆ(ｘ)＝ａs」とは出来ませんね。
そこで、改訂版。

解答
ｆ(ｘ)を円分多項式Φn(ｘ)で割った余りをｒ(ｘ)とすると、
ｆ(ｘ)＝Φn(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)（Φn(ｘ)の次数をｓとすると、ｒ(ｘ)＝０またはｓより小さい次数の多項式）と置ける。
Φn(ｘ)は整数係数単多項式なので、ｆ(ｘ)をΦn(ｘ)で割った余りｒ(ｘ)は整数係数多項式である。———☆
また、ｘ＝ζを代入すると、Φn(ζ)＝０より、
ｆ(ζ)＝ｒ(ζ)＝有理数（条件より）———①
また、オイラー関数φ(ｎ)＝ｓと置くと、ζの式の次数はｓ－１次以下である。（「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著p.119~p.120より）
よって、ｒ(ζ)＝ａ₁ζ^(s-1)＋ａ₂ζ^(s-2)＋…＋ａs（ただし、ａ₁,…,ａsは整数（☆より））———②
①，②より、ａ₁＝ａ₂＝…＝ａs-1＝０（ζは虚数だから。）
∴ｒ(ｘ)＝ａs
これにｘ＝ζを代入すると、ｒ(ζ)＝ａs
これを①に代入すると、ｆ(ζ)＝ａs
よって、ｆ(ζ)は整数である。

おまけ：
https://www.google.com/search?q=%E6%87%90%E7%96%91%E4%B8%BB%E7%BE%A9&sca_esv=790e11adc1912a92&hl=ja&source=hp&ei=rp5kZ9_9NNDP1e8P6JCw0Ao&iflsig=AL9hbdgAAAAAZ2Ssvp9cjvoSi1xZjhsqUhpVcEq-0WU1&oq=%E6%87%90%E7%96%91%E4%B8%BB%E7%BE%A9&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6Igzmh5DnlpHkuLvnvqkqAggAMgUQABiABDIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABDIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABDIFEAAYgAQyBRAAGIAEMgUQABiABEieJFAAWK4UcAB4AJABAJgBSKAB6QWqAQIxMbgBAcgBAPgBAZgCC6ACsQbCAhAQABiABBixAxiDARgEGIoFwgIGEAAYAxgEwgINEAAYgAQYsQMYgwEYBMICChAAGIAEGLEDGATCAgcQABiABBgEmAMAkgcCMTGgB-4h&sclient=gws-wiz