数学

問題
右の図で、△ＯＡＣと△ＯＢＤはともに正三角形であり、四角形ＯＣＥＤは平行四辺形である。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）△ＤＥＢ≡△ＣＡＥであることを証明しなさい。
（２）∠ＢＤＥ＝∠ＢＯＡであることを証明しなさい。
（３）∠ＡＥＢ＝６０°であることを証明しなさい。
（０１　大阪教大付天王寺）

図の解説：１５°ぐらいの∠ＢＯＡを描き、ＯＢよりＯＡの方をちょっと長く取る。ここで、ＯＢ，ＯＡの外側に１辺がＯＢ，ＯＡの正三角形ＤＯＢとＣＯＡを描き、ＯＤ，ＯＣを二辺とした平行四辺形ＯＣＥＤを描く。（参考書の図では∠ＢＯＡ内に点Ｅがある。）また、ＥＢ，ＥＡを結んだ図。

模範解答
正３角形，平行４辺形の等長の線分をマークすると、右図の通り。（注：ＯＢ＝ＢＤ＝ＤＯ＝ＥＣ，ＯＡ＝ＡＣ＝ＣＯ＝ＥＤという事。）
（１）四角形ＯＣＥＤは平行４辺形・・・ア　
であるから∠ＯＤＥ＝∠ＯＣＥ
∴∠ＢＤＥ＝６０°－∠ＯＤＥ＝６０°－∠ＯＣＥ＝∠ＥＣＡ
これと ＢＤ＝ＥＣ，ＤＥ＝ＣＡ
２辺夾角相等により △ＤＥＢ≡△ＣＡＥ・・・①
（２）アより、
∠ＯＤＥ＋∠ＤＯＣ＝１８０°・・・②
ここに、∠ＯＤＥ＝６０°－∠ＢＤＥ
∠ＤＯＣ＝１２０°＋∠ＢＯＡ
これらを②に代入し、
∠ＢＤＥ＝∠ＢＯＡ・・・③
（３）③と、ＢＤ＝ＢＯ，ＤＥ＝ＯＡより
△ＢＤＥ≡△ＢＯＡ（２辺夾角相等）
これと①より、ＥＡ＝ＢＥ＝ＢＡ
△ＡＢＥは正３角形であるから、
∠ＡＥＢ＝６０°
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

読めば分かるので、解説は省略。

（２）の別解
ＤＥの延長とＯＡとの交点をＦとすると、四角形ＯＣＥＤは平行四辺形よりＤＦ∥ＯＣとなる。
よって、錯角より∠ＤＦＯ＝∠ＦＯＣ＝６０°
また、∠ＤＢＯ＝６０°より、
∠ＤＦＯ＝∠ＤＢＯ
よって、円周角の定理の逆により、４点Ｂ，Ｄ，Ｏ，Ｆは同一円周上にある。
よって、円周角より∠ＢＤＦ＝∠ＢＯＦ
∴∠ＢＤＥ＝∠ＢＯＡ

念のため、ＣＥの延長とＯＢとの交点を定めても出来るが、（１）を利用する事になり効率的ではない。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-11827120857.html

解説
＞定義
Ｖを実線型空間とする。二点ａ,ｂ∈Ｖ（注：ａ,ｂは本当は太字）に対し、集合{ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}をａとｂを結ぶ線分という。部分集合Ｃ⊆Ｖの任意の二点ａ,ｂを結ぶ線分が常にＣに含まれるとき、Ｃは凸であると言う。

例えば、球に洞穴のような穴をあけて、その洞穴以外の領域をＣとする。
そして、洞穴の上下で２点Ａ,Ｂを取り、ＡＢを結ぶと線分ＡＢはその領域の外に出る。つまり、この領域は凸ではない。念のため、球は凸であるという事。
因みに、初めに思い付いたのは、平面でのブーメラン型のＶの両方に２点Ａ,Ｂを取り線分ＡＢはブーメラン型の外に出るので凸ではない、だったが、空間図形にしてみた。

＞ａ',ｂ'を結ぶ線分は{ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}

これは昨日解説した。

「線分ＡＢをｌとし、Ａ，Ｂを点と見て基準点のＯを消すと、
ｌ＝{ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ｜ｔ₁≧０,ｔ₂≧０,ｔ₁＋ｔ₂＝１}
と表され」
2024/12/17 15:42の投稿より

＞{ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}＝{Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}である

上より、ａ'＝Ｆ(ａ)，ｂ'＝Ｆ(ｂ)なので、
ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'＝ｔ₁Ｆ(ａ)＋ｔ₂Ｆ(ｂ)
＝Ｆ(ｔ₁ａ)＋Ｆ(ｔ₂ｂ)（Ｆは線型写像より）
＝Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)（Ｆは線型写像より）
よって、ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'＝Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)より、
{ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}＝{Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}
が成り立つという事。

＞Ｃが凸だからａ,ｂを結ぶ線分はＣに含まれる。したがってａ,ｂを結ぶ線分の像はＦ(Ｃ)に含まれる。すなわちＦ(Ｃ)は凸である。

条件より「凸集合Ｃ」だから、凸集合の定義より「二点ａ,ｂを結ぶ線分が常にＣに含まれる」。
よって、Ｌ＝{ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１}と置くと、Ｌ⊆Ｃ
この両辺のＦを取ると、Ｆ(Ｌ)⊆Ｆ(Ｃ)
Ｌ（ａ,ｂを結ぶ線分）の像はＦ(Ｃ)に含まれるので、凸の定義によりＦ(Ｃ)は凸である。

ここで、本当に、Ｌ⊆Ｃ⇒Ｆ(Ｌ)⊆Ｆ(Ｃ)なのだろうかと疑問が沸かないだろうか。そこで、石村先生の力を借りて、

定理1.2.1
写像ｆ：Ａ→Ｂがあり、Ａ⊇Ａ₁,Ａ₂とする。このとき次のことが成り立つ。
Ａ₁⊆Ａ₂⇒ｆ(Ａ₁)⊆ｆ(Ａ₂)
「すぐわかる代数」石村園子著より

証明が厳密にされていて面白いが、ここでは省略しよう。念のため、線型写像とか準同型写像とか関係なく、ただの写像である。

＞Ｆ^-1(Ｃ')の任意の二点ａ,ｂをとるとＦ(ａ),Ｆ(ｂ)∈Ｃ'である。ａ,ｂを結ぶ線分上の任意の点をｃとすると、ｃ＝ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ，ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１と書ける。
Ｆ(ｃ)＝ｔ₁Ｆ(ａ)＋ｔ₂Ｆ(ｂ)であり、Ｃ'は凸であるから、Ｆ(ａ),Ｆ(ｂ)を結ぶ線分上の点Ｆ(ｃ)はＣ'に属する。したがってｃ∈Ｆ^-1(Ｃ')。すなわちＦ^-1(Ｃ')は凸である。

Ｆ^-1(Ｃ')の任意の二点ａ,ｂを取ると、
Ｆ(ａ)＝ａ'，Ｆ(ｂ)＝ｂ'となるａ',ｂ'∈Ｃ'が存在する。また、ａ,ｂを結ぶ線分上の任意の点をｃとすると、ｃ＝ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ，ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１と書ける。
この両辺のＦを取ると、
Ｆ(ｃ)＝Ｆ(ｔ₁ａ＋ｔ₂ｂ)
＝Ｆ(ｔ₁ａ)＋Ｆ(ｔ₂ｂ)（Ｆは線型写像だから）
＝ｔ₁Ｆ(ａ)＋ｔ₂Ｆ(ｂ)（Ｆは線型写像だから）
＝ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'
よって、Ｆ(ｃ)＝ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'より、
Ｆ(ｃ)＝ｔ₁ａ'＋ｔ₂ｂ'，ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＝１となり、ａ'ｂ'は線分である。
ここで、条件よりＣ'は凸集合より線分ａ'ｂ'は常にＣ'に含まれる。
つまり、Ｆ(ｃ)∈Ｃ'　この両辺のＦ^-1を取ると、ｃ∈Ｆ^-1(Ｃ')
ところで、ｃは線分ａｂ上の任意の点より、線分ａｂは常にＦ^-1(Ｃ')に含まれる。
よって、凸の定義によりＦ^-1(Ｃ')は凸である。

おまけ：

問題
半径１の円に内接する正十角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪがある。
（１）ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²の値を求めよ。
（２）この正十角形の１０個の頂点から異なる２点を選んで結び、線分を作る。そのような線分の長さの平方をすべて考えるとき、それらの平均の値を求めよ。
（０１　開成）

模範解答
（１）ＡＢ＝ＩＪ，ＩＡ＝ＢＪであるから、
ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²
＝(ＩＪ²＋ＥＩ²)＋(ＥＩ²＋ＩＡ²)
＝ＥＪ²×２＝２²×２＝８
（２）ＡＢと同じ長さの線分は、１０本。
ＡＣ（＝ＩＡ）と同じ長さの線分は、ＡＣ，ＢＤ，…，ＩＡ，ＪＢの１０本。
ＡＤ（＝ＢＥ）と同じ長さの線分、ＡＥ（＝ＥＩ）と同じ長さの線分も、同様に１０本ずつある。
最後に、ＡＦ（＝２）と同じ長さの線分（直径）は５本あるから、求める値は、
(ＡＢ²×１０＋ＩＡ²×１０＋ＢＥ²×１０＋ＥＩ²×１０＋２²×５)/(１０＋１０＋１０＋１０＋５)
＝{(ＡＢ²＋ＢＥ²＋ＥＩ²＋ＩＡ²)×１０＋２０}/４５・・・①
（１）より、①＝(８×１０＋２０)/４５
＝２０/９
➡注（２）の線分の本数は、(１０×９)/２
＝４５（本）です。
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
＞(ＩＪ²＋ＥＩ²)＋(ＥＩ²＋ＩＡ²)
＝ＥＪ²×２

ＥＪが直径より、その円周角は９０°で△ＢＥＪと△ＩＥＪで三平方の定理を使ったという事。

＞ＡＢと同じ長さの線分は、１０本。

弦の長さで分類すると、一番短いのは正十角形の１辺と同じなので１０本。

＞ＡＣ（＝ＩＡ）と同じ長さの線分は、ＡＣ，ＢＤ，…，ＩＡ，ＪＢの１０本。

２番目に短いのは文字を１個飛ばしで５本で１周し、飛ばした所からも始めれば同じく５本で１周するので、計１０本。

＞ＡＤ（＝ＢＥ）と同じ長さの線分

３番目に短いのは２個飛ばしで、Ａから左回転していくと、
Ａ→Ｄ→Ｇ→Ｊ→Ｃ→Ｆ→Ｉ→Ｂ→Ｅ→Ｈ→Ａ
で矢印の数は１０本より弦の数も１０本。

＞ＡＥ（＝ＥＩ）と同じ長さの線分も、同様に１０本ずつある。

次は３個飛ばしで、
Ａ→Ｅ→Ｉ→Ｃ→Ｇ→Ａ
Ｂ→Ｆ→Ｊ→Ｄ→Ｈ→Ｂ
の２コースあり、それぞれ５本ずつより、計１０本。

＞最後に、ＡＦ（＝２）と同じ長さの線分（直径）は５本ある

これは自明だが、一応、
ＡＦ，ＢＧ，ＣＨ，ＤＩ，ＥＪの５本。

ところで、１０個から２個選ぶ組み合わせは、
10Ｃ2＝(１０×９)/(２×１)＝４５本なので、上の計１０＋１０＋１０＋１０＋５＝４５本で合っている確認が大事である。（参考書でも「注」が付いているのはそのため。）
ところで、直径以外の弦は１０か所それぞれから、ある一定の（１ヶ所の）場所に相手を求めるので１０本であるが、直径だけ往復でダブる事になるので、１０÷２＝５本という事である。
（往復と言う言い方がおかしいが、直径の両端点、例えばＡからとＦからは同じＡＦでダブるという事である。）

おまけ：

解説
＞（ⅰ）三点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ＝{Ｐ＋ｔＱ｜－∞<ｔ<∞}上にある

これは昨日解説したので省略。その時、Ｏを消す時に直線ｌ上に基準点を持ってくるなどと書いてしまったが、よく考えたらＰやＱは空間上の点扱いなので、基準点はそのままで良かったですね。

「∴↑ＯＸ＝↑ＯＰ＋ｔ↑ＯＡ
Ｘはｌ上の任意の点で、位置ベクトルのＯを消す（Ｏを直線ｌ上に持ってくる）と、Ｘ＝Ｐ＋ｔＡで、ｌはＰ＋ｔＡ（－∞<ｔ<∞）で表わされるという訳である。」
引用元：2024/12/16 14:14の投稿

平面の方も同様に（　　）内は取り消し。

「↑ＯＸ＝↑ＯＰ＋ｓ↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢとなる。
Ｘはπ上の任意の点で位置ベクトルのＯを消す（Ｏを平面π上に持ってくる）と、
Ｘ＝Ｐ＋ｓＡ＋ｔＢ（－∞<ｓ,ｔ<∞）となるという訳である。」
引用元：2024/12/16 14:14の投稿

＞Ｂ－ＡとＣ－Ａとが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ－Ａ)とＦ(Ｃ－Ａ)とが線型従属

線型従属の定義から解説しよう。

定義
実線型空間Ｖの元ａ₁,…,ａkの間の
ｃ₁ａ₁＋…＋ｃkａk＝０（ｃ₁,…,ｃk∈ℝ）
の形の関係を線型関係と言う（ｋ≧１）。
ａ₁,…,ａk∈Ｖに対して
ｃ₁ａ₁＋…＋ｃkａk＝０，(ｃ₁,…,ｃk)≠(０,…,０)
となるｃ₁,…,ｃk∈ℝが少なくとも一組存在するとき、ａ₁,…,ａkは（ℝ上）線型従属または一次従属であると言う。
「演習詳解 線型代数」有馬哲・浅枝陽共著より

つまり、Ｂ－ＡとＣ－Ａが線型従属という事は、
ｃ₁(Ｂ－Ａ)＋ｃ₂(Ｃ－Ａ)＝０（ｃ₁,ｃ₂∈ℝ）とすると、少なくとも１組の実数ｃ₁,ｃ₂が存在するという事である。
∴Ｂ－Ａ＝(－ｃ₂/ｃ₁)(Ｃ－Ａ)
ここで、－ｃ₂/ｃ₁＝ｍ∈ℝと置くと、
Ｂ－Ａ＝ｍ(Ｃ－Ａ)
∴Ｆ(Ｂ－Ａ)＝Ｆ(ｍ(Ｃ－Ａ))＝ｍＦ(Ｃ－Ａ)（Ｆは線型写像だから）
よって、Ｆ(Ｂ－Ａ)＝ｍＦ(Ｃ－Ａ)
これにｍ＝－ｃ₂/ｃ₁を代入すると、
Ｆ(Ｂ－Ａ)＝(－ｃ₂/ｃ₁)Ｆ(Ｃ－Ａ)
∴ｃ₁Ｆ(Ｂ－Ａ)＝(－ｃ₂)Ｆ(Ｃ－Ａ)
∴ｃ₁Ｆ(Ｂ－Ａ)＋ｃ₂Ｆ(Ｃ－Ａ)＝０
よって、この式が成り立つ実数ｃ₁,ｃ₂が存在するので、Ｆ(Ｂ－Ａ)とＦ(Ｃ－Ａ)は線型従属である。
よって、Ｂ－ＡとＣ－Ａとが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ－Ａ)とＦ(Ｃ－Ａ)とが線型従属
が成り立つ。

＞Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)とＦ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)とが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₁Ｄ，Ｆ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₂ＤとなるＤ∈Ｅ³とｓ₁,ｓ₂∈ℝとがある

線型従属とは、上のＦ(Ｂ－Ａ)＝ｍＦ(Ｃ－Ａ)式から分かるように、（ベクトルが）２つの場合は、一直線か平行という事である。よって、同じＤ（ベクトルで考えると良い）で表わせるという事。念のため、長さ（ノルム）はそれぞれなのでｓ₁とｓ₂とする。

＞Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₁Ｄ，Ｆ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₂ＤとなるＤ∈Ｅ³とｓ₁,ｓ₂∈ℝとがある
⇒三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が直線{Ｆ(Ａ)＋ｓＤ｜－∞<ｓ<∞}上にある。

これは移項して考えれば分かるだろう。念のため、Ｆ(Ａ)がこの直線状にある場合はｓ＝０という事。

＞したがって、三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が同一直線上になければ、三点Ａ,Ｂ,Ｃも同一直線上にない。

結局、
三点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ＝{Ｐ＋ｔＱ｜－∞<ｔ<∞}上にある
⇒三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が直線{Ｆ(Ａ)＋ｓＤ｜－∞<ｓ<∞}上にある。
となり、この対偶を取ると、
三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が直線{Ｆ(Ａ)＋ｓＤ｜－∞<ｓ<∞}上にない
⇒三点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ＝{Ｐ＋ｔＱ｜－∞<ｔ<∞}上にない
となり、「三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が同一直線上になければ、三点Ａ,Ｂ,Ｃも同一直線上にない」事が示された。

＞（なお上の証明は、Ｆ(Ａ)＝Ｆ(Ｂ)＝Ｆ(Ｃ)のときも、ｓ₁＝ｓ₂＝０，Ｄを任意の点とすることにより成り立つ。）

「⇒Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₁Ｄ，Ｆ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₂ＤとなるＤ∈Ｅ³とｓ₁,ｓ₂∈ℝとがある」
ここから左辺がＯでｓ₁＝０とすればＤを任意に取っても成り立つ事が分かるだろう。

＞問題５を使えばもっと簡単。

問題５
Ｆ：(Ｅ³,Ｏ)→(Ｅ³,Ｏ)を実線型写像とする。
（ⅰ）直線ｌ⊂Ｅ³のＦによる像Ｆ(ｌ)は点か直線であることを示せ。
（ⅱ）平面π⊂Ｅ³のＦによる像Ｆ(π)は点か直線か平面であることを示せ。

問題５（ⅰ）より、
３点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ上にある⇒３点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)は１点かある直線上にある
（１点である事は直線上の任意の点が点になるから３点とも１点になるという事。これは問題５（ⅰ）の証明を見ればより明らかである。）
この対偶を取ると、
３点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)は１点でない かつ 任意の直線上にない⇒３点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ上にない
ところで、問題の条件は「三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)∈Ｅ³が同一直線上にないとする」だったので、１点ではないし、任意の直線上にもないので、３点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ上にない。
つまり、「三点Ａ,Ｂ,Ｃが同一直線上にない」事が示された。

続きは次回。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12878718800.html

解説の続き

問題
Ｆ：(Ｅ³,Ｏ)→(Ｅ³,Ｏ)を実線型写像，三点Ａ,Ｂ,Ｃ∈Ｅ³に対し、対応する三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)∈Ｅ³が同一直線上にないとする。このとき、
（ⅰ）三点Ａ,Ｂ,Ｃが同一直線上にないことを示せ。
（ⅱ）三角形ＡＢＣ上にある点全体を⊿とすると、像Ｆ(⊿)は三角形Ｆ(Ａ)Ｆ(Ｂ)Ｆ(Ｃ)上にある点全体であることを示せ。

解
（ⅰ）三点Ａ,Ｂ,Ｃが直線ｌ＝{Ｐ＋ｔＱ｜－∞<ｔ<∞}上にある
⇒Ａ＝Ｐ＋ｔ₁Ｑ，Ｂ＝Ｐ＋ｔ₂Ｑ，Ｃ＝Ｐ＋ｔ₃Ｑとなるｔ₁,ｔ₂,ｔ₃∈ℝがある⇒Ｂ－ＡとＣ－Ａとが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ－Ａ)とＦ(Ｃ－Ａ)とが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)とＦ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)とが線型従属
⇒Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₁Ｄ，Ｆ(Ｃ)－Ｆ(Ａ)＝ｓ₂ＤとなるＤ∈Ｅ³とｓ₁,ｓ₂∈ℝとがある
⇒三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が直線{Ｆ(Ａ)＋ｓＤ｜－∞<ｓ<∞}上にある。
したがって、三点Ｆ(Ａ),Ｆ(Ｂ),Ｆ(Ｃ)が同一直線上になければ、三点Ａ,Ｂ,Ｃも同一直線上にない。（なお上の証明は、Ｆ(Ａ)＝Ｆ(Ｂ)＝Ｆ(Ｃ)のときも、ｓ₁＝ｓ₂＝０，Ｄを任意の点とすることにより成り立つ。）
問題５を使えばもっと簡単。
（ⅱ）⊿＝{ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ＋ｔ₃Ｃ｜ｔ₁≧０,ｔ₂≧０,ｔ₃≧０,ｔ₁＋ｔ₂＋ｔ₃＝１}と書けることに注意する（§１.２，問題５参照）。
Ｆが実線型写像であるから、Ｆ(ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ＋ｔ₃Ｃ)＝ｔ₁Ｆ(Ａ)＋ｔ₂Ｆ(Ｂ)＋ｔ₃Ｆ(Ｃ)。
したがってＦ(⊿)＝{ｔ₁Ｆ(Ａ)＋ｔ₂Ｆ(Ｂ)＋ｔ₃Ｆ(Ｃ)｜ｔi≧０，ｔ₁＋ｔ₂＋ｔ₃＝１}となり、Ｆ(⊿)は三角形Ｆ(Ａ)Ｆ(Ｂ)Ｆ(Ｃ)上にある点全体である。

問題５
Ｆ：(Ｅ³,Ｏ)→(Ｅ³,Ｏ)を実線型写像とする。
（ⅰ）直線ｌ⊂Ｅ³のＦによる像Ｆ(ｌ)は点か直線であることを示せ。
（ⅱ）平面π⊂Ｅ³のＦによる像Ｆ(π)は点か直線か平面であることを示せ。

§１.２，問題５
普通の空間Ｅ³において、一点Ｏを定めるとき、
（ⅰ）線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点をＸとすれば、
(ｍ＋ｎ)(↑ＯＸ)＝ｎ(↑ＯＡ)＋ｍ(↑ＯＢ)が成り立つことを示せ。
（ⅱ）線分ＡＢは次のように助変数表示されることを示せ。
{Ｘ｜((↑ＯＸ)＝ａ(↑ＯＡ)＋ｂ(↑ＯＢ)，ａ≧０,ｂ≧０,ａ＋ｂ＝１}
（ⅲ）△ＡＢＣ（の周と内部）は次のように助変数表示されることを示せ。
{Ｘ｜((↑ＯＸ)＝ａ(↑ＯＡ)＋ｂ(↑ＯＢ)＋ｃ(↑ＯＣ)，ａ≧０,ｂ≧０,ｃ≧０,ａ＋ｂ＋ｃ＝１}
（ⅳ）四面体ＡＢＣＤ（の面と内部）は次のように助変数表示されることを示せ。
{Ｘ｜((↑ＯＸ)＝ａ(↑ＯＡ)＋ｂ(↑ＯＢ)＋ｃ(↑ＯＣ)＋ｄ(↑ＯＤ)，ａ≧０,ｂ≧０,ｃ≧０,ｄ≧０,ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１}
「演習詳解 線型代数」有馬哲・浅枝陽共著より

＞⊿＝{ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ＋ｔ₃Ｃ｜ｔ₁≧０,ｔ₂≧０,ｔ₃≧０,ｔ₁＋ｔ₂＋ｔ₃＝１}と書けることに注意する（§１.２，問題５参照）。

問題５の（ⅲ）を見れば自明。（ⅱ）を軽く解説して（ⅲ）もその拡張としよう。
（ⅰ）より、ある線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点Ｘの公式は、
(↑ＯＸ)＝{ｎ(↑ＯＡ)＋ｍ(↑ＯＢ)}/(ｍ＋ｎ)
（これは高校数学で習う公式。）
∴(↑ＯＸ)＝{ｎ/(ｍ＋ｎ)}(↑ＯＡ)＋{ｍ/(ｍ＋ｎ)}(↑ＯＢ)
ここで、ｎ/(ｍ＋ｎ)＝ａ，ｍ/(ｍ＋ｎ)＝ｂと置くと、ａ＋ｂ＝１，ａ＜１，ｂ＜１で、
(↑ＯＸ)＝ａ(↑ＯＡ)＋ｂ(↑ＯＢ)
ところで、内分点なので、ｍ≧０，ｎ≧０（外分点の場合は片方が異符号になる。）
∴０≦ａ＜１，０≦ｂ＜１
よって、
{Ｘ｜((↑ＯＸ)＝ａ(↑ＯＡ)＋ｂ(↑ＯＢ)，ａ≧０,ｂ≧０,ａ＋ｂ＝１}
となり、ＸはＡＢ上の任意の点（端点を考えてｍ＝０,ｎ＝０も入れる）より、線分ＡＢをｌとし、Ａ，Ｂを点と見て基準点のＯを消すと、
ｌ＝{ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ｜ｔ₁≧０,ｔ₂≧０,ｔ₁＋ｔ₂＝１}
と表され、
⊿＝{ｔ₁Ａ＋ｔ₂Ｂ＋ｔ₃Ｃ｜ｔ₁≧０,ｔ₂≧０,ｔ₃≧０,ｔ₁＋ｔ₂＋ｔ₃＝１}はその拡張とする。

おまけ：

問題
ＡＢ＝ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°の直角二等辺三角形ＡＢＣがある。ＡＢ，ＡＣ上にそれぞれ点Ｅ，Ｆをとり、ＥＦを折り目として△ＡＥＦを折り曲げたら、頂点Ａは辺ＢＣ上の点Ｄに重なり、ＢＤ＝２となった。次の問いに答えよ。
（１）ＡＥの長さを求めよ。
（２）ＡＦの長さを求めよ。
（３）四角形ＡＥＤＦの面積を求めよ。
（０１　青雲）

模範解答
（１）ＡＥ＝ＤＥ＝ｘとすると、△ＥＢＤにおいて、ｘ²＝(６－ｘ)²＋２²
∴ｘ＝１０/３
（２）ＡＦ＝ＤＦ＝ｙとし、右図のように点Ｈをとる（注：ＤからＡＣに下ろした垂線の足をＨとする）と、
ＣＨ＝ＤＨ＝４/√２＝２√２
∴ＦＨ＝６√２－ｙ－２√２＝４√２－ｙ
よって、△ＦＤＨにおいて、
ｙ²＝(２√２)²＋(４√２－ｙ)²
∴ｙ＝５√２/２
（３）右上図のように点Ｉをとる（注：ＦからＡＥに下ろした垂線の足をＩとする）と、
四角形ＡＥＤＦ＝２×△ＡＥＦ＝ＡＥ×ＦＩ
＝ｘ×(ｙ/√２)＝(１０/３)×(５/２)
＝２５/３
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

本当の初心者向けに解説した方が良いかもしれないが、一応、数学掲示板なのでスルーしよう。

参考書の別解
図のように座標をとる（注：点Ｂをｘｙ座標の原点Ｏに置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取り、ＥＦを直線ｌとした図）と、ＡＤの中点はＭ（１,３）だから、ＡＤの垂直二等分線ｌの式は、
ｙ＝(１/３)(ｘ－１)＋３
∴ｙ＝(１/３)ｘ＋８/３・・・ア
（１）ＡＥ＝６－８/３＝１０/３
（２）Ｆのｘ座標は、アとｙ＝－ｘ＋６を解いて、ｘ＝５/２・・・イ
∴ＡＦ＝イ×√２＝５√２/２
（３）四角形ＡＥＤＦ＝２×△ＡＥＦ
＝(１０/３)×イ＝２５/３
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
折り返しの原理より、ＥＦ⊥ＡＤ
また、ＡＤとＥＦの交点をＭとすると、点ＭはＡＤの中点になる。

＞ＡＤの垂直二等分線ｌの式は、
ｙ＝(１/３)(ｘ－１)＋３

まず、直線ＡＤの傾きは、ＡＢ＝６，ＢＤ＝２より、－３
よって、ＡＤと直交する直線ｌの傾きは、１/３（符号に－をかけて分母分子を逆転させる。）
また、点（ａ,ｂ)を通り傾きｍの直線の方程式の１つの公式は、ｙ－ｂ＝ｍ(ｘ－ａ)
よって、ｌの方程式は、傾きが１/３で点Ｍ（１,３）を通るので、
ｙ－３＝(１/３)(ｘ－１)
∴ｙ＝(１/３)(ｘ－１)＋３
という事。

＞∴ｙ＝(１/３)ｘ＋８/３・・・ア
（１）ＡＥ＝６－８/３＝１０/３

アのｙ切片が８/３より、ＥＢ＝８/３
よって、ＡＥ＝６－８/３＝１０/３
という事。

＞Ｆのｘ座標は、アとｙ＝－ｘ＋６を解いて、ｘ＝５/２・・・イ

まず、直線ＡＣの方程式は、△ＡＢＣが直角二等辺三角形より∠ＡＣＢ＝４５°なので、傾きが－１　また、ｙ切片がＡＢ＝６なので、
ｙ＝－ｘ＋６
よって、これと直線ｌ：ｙ＝(１/３)ｘ＋８/３を連立させると、
－ｘ＋６＝(１/３)ｘ＋８/３
∴(４/３)ｘ＝６－８/３＝１０/３
∴ｘ＝１０/４＝５/２
という事。

＞∴ＡＦ＝イ×√２＝５√２/２

Ｆからｙ軸に垂線を下ろすと直角二等辺三角形が出来るので、その辺の比で√２をかけるという事。

＞（３）四角形ＡＥＤＦ＝２×△ＡＥＦ
＝(１０/３)×イ＝２５/３

△ＡＥＦ＝ＡＥ×点Ｆのｘ座標の値×(１/２)より、四角形ＡＥＤＦはその２倍で、
ＡＥ×点Ｆのｘ座標の値＝(１０/３)×(５/２)
＝２５/３
という事。

おまけ：

問題
ＡＢ＝ＢＣ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°の直角二等辺三角形ＡＢＣがある。ＡＢ，ＡＣ上にそれぞれ点Ｅ，Ｆをとり、ＥＦを折り目として△ＡＥＦを折り曲げたら、頂点Ａは辺ＢＣ上の点Ｄに重なり、ＢＤ＝２となった。次の問いに答えよ。
（１）ＡＥの長さを求めよ。
（２）ＡＦの長さを求めよ。
（３）四角形ＡＥＤＦの面積を求めよ。
（０１　青雲）

マニアックな別解
（１）折り返しの性質より、ＥＦ⊥ＡＤ
また、ＡＤとＥＦの交点をＧとすると、点ＧはＡＤの中点になる。
（厳密な証明は、折り返しより△ＥＡＤは二等辺三角形でＥＦは∠ＡＥＤの二等分線だから二等辺三角形の性質により。）
よって、∠ＡＧＥ＝∠ＡＢＤ＝９０°　
また、∠ＥＡＧは共通より２角が等しいので、
△ＡＧＥ∽△ＡＢＤ
ところで、△ＡＢＤは直角を挟む二辺の比が２：６＝１：３より、△ＡＧＥも直角を挟む二辺の比が１：３
よって、ＥＧ＝ｘ，ＡＧ＝３ｘと置くと、ＡＤ＝２ＡＧ＝６ｘより、△ＡＢＤで三平方の定理を使うと、２²＋６²＝(６ｘ)²が成り立つ。
∴３６ｘ²＝４０　∴ｘ²＝１０/９
ｘ＞０より、ｘ＝√１０/３
また、１：３：√１０の三辺比を使うと、
ＡＥ＝√１０ｘ＝１０/３
（２）ここで、マニアックな定理、直角を挟む二辺の比が１：２の直角三角形の最小角と直角を挟む二辺の比が１：３の直角三角形の最小角の和が４５°になり、その逆も成り立つという定理を使うと、
∠ＥＡＦ＝４５°で△ＡＧＥが直角を挟む二辺の比が１：３より、△ＡＧＦは直角を挟む二辺の比が１：２の直角三角形になる。
ところで、ＡＧ＝３ｘ＝√１０
また、△ＡＧＦの三辺比は上の定理より、１：２：√５　よって、ＡＦ＝(√５/２)ＡＧ＝(√５/２)・√１０＝５√２/２
（３）ＧＦ＝ＡＧ/２＝√１０/２
また、ＥＧ＝ｘ＝√１０/３
∴ＥＦ＝√１０/３＋√１０/２＝５√１０/６
また、ＡＤ＝２ＡＧ＝２√１０
∴四角形ＡＥＤＦ＝(５√１０/６)・(２√１０)・(１/２)＝１００/１２＝２５/３

定理の幾何的な証明：https://x.com/Paul_Painleve/status/1023977915233460224（Arctanとかに惑わされずに図だけ見れば小学生でも納得するはずである。）
今回、何故かいつものサイトや似たようなサイトが全く見つからなかった。（グーグルの検索基準か何かが変わったのかな？）

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12876895951.html

解説
＞Ｆ：(Ｅ³,Ｏ)→(Ｅ³,Ｏ)を実線型写像とする。

(Ｅ³,Ｏ)の意味は、空間ベクトルの実線型空間Ｖ³と同じと考えておけば良い。因みに、列ベクトル空間ℝ³とも同型である。
因みに、「われわれの住んでいる普通の空間をＥ³で表す」のだそうである。だから、Ｏは位置ベクトルの基準点と考えれば良いだろう。

＞ｌ＝{Ｐ＋ｔＡ｜－∞<ｔ<∞}と書ける。

これは「線型代数入門」有馬哲著のp.15に書いてある事だから、そのまま使えば良いが、それでは解説（商売）にならないので一応解説する。
直線ｌ上のある固定点をＰとし、位置ベクトルの基準点Ｏ（念のため、直線ｌ上の点ではない）から直線ｌと平行なベクトル↑ＯＡを取ると、直線ｌ上の任意の点Ｘは、↑ＯＸ－↑ＯＰ＝↑ＰＸと表され、↑ＰＸは直線ｌ上で↑ＯＡと平行なので、↑ＯＸ－↑ＯＰ＝ｔ↑ＯＡと書ける。
∴↑ＯＸ＝↑ＯＰ＋ｔ↑ＯＡ
Ｘはｌ上の任意の点で、位置ベクトルのＯを消す（Ｏを直線ｌ上に持ってくる）と、Ｘ＝Ｐ＋ｔＡで、ｌはＰ＋ｔＡ（－∞<ｔ<∞）で表わされるという訳である。
（私の勝手なアレンジなので、裏を取って下さい。）

＞Ｆ(ｌ)＝{Ｆ(Ｐ＋ｔＡ)｜－∞<ｔ<∞}
＝{Ｆ(Ｐ)＋ｔＦ(Ａ)｜－∞<ｔ<∞}。
したがってＦ(Ａ)≠ＯならＦ(ｌ)は直線であり、Ｆ(Ａ)＝Ｏなら点である。

Ｆは線型写像だから、Ｆ(Ｐ＋ｔＡ)＝Ｆ(Ｐ)＋ｔＦ(Ａ)が成り立つから。
また、点Ａの写像先がたまたま位置ベクトルの基準点の場合は点になり、それ以外だったら直線になるという訳である。（これも勝手に踏み込んでいるので自分で裏を取って下さい。）

＞π＝{Ｐ＋ｓＡ＋ｔＢ｜－∞<ｔ<∞}と書ける。

平面の場合も同じだが、一応解説する。
平面π上にある固定点Ｐを取り、平面以外の点で位置ベクトルの基準点Ｏを取る。
Ｏから平面πと平行で線型独立なベクトル↑ＯＡと↑ＯＢを取り、点Ｐの所に平行移動させ、平面π上の任意の点をＸとすると、Ｘはｓ↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢで表され、↑ＰＸ＝ｓ↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢ
また、↑ＯＸ＝↑ＯＰ＋↑ＰＸより、
↑ＯＸ＝↑ＯＰ＋ｓ↑ＯＡ＋ｔ↑ＯＢとなる。
Ｘはπ上の任意の点で位置ベクトルのＯを消す（Ｏを平面π上に持ってくる）と、
Ｘ＝Ｐ＋ｓＡ＋ｔＢ（－∞<ｓ,ｔ<∞）となるという訳である。
（私の勝手なアレンジなので、裏を取って下さい。）

＞Ｆ(π)＝{Ｆ(Ｐ＋ｓＡ＋ｔＢ)｜－∞<ｓ,ｔ<∞}
＝{Ｆ(Ｐ)＋ｓＦ(Ａ)＋ｔＦ(Ｂ)｜－∞<ｓ,ｔ<∞}。
したがって、Ｆ(Ａ)とＦ(Ｂ)が線型独立ならＦ(π)は平面であり、Ｆ(Ａ)とＦ(Ｂ)が線型従属ではあるが、Ｆ(Ａ)またはＦ(Ｂ)がＯでないならＦ(π)は直線であり、Ｆ(Ａ)＝Ｆ(Ｂ)＝ＯならＦ(π)は点である。

Ｆ(Ａ)とＦ(Ｂ)が線型従属ならば（ｓＦ(Ａ)とｔＦ(Ｂ)が）１つにまとまり、
ｌ＝{Ｐ＋ｔＡ｜－∞<ｔ<∞}の形になるから直線になる。ただし、Ｆ(Ａ)またはＦ(Ｂ)がＯでない事が条件。（「Ｆ(Ａ)またはＦ(Ｂ)」がＯでないので、Ｆ(Ａ)≠ＯかつＦ(Ｂ)≠Ｏという事。）
また、どちらもＯならば点である事は自明。念のため、Ｏを０と考える。

おまけ：

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

模範解答
（１）与えられた条件より、図１（注：図は普通に上の条件の図）のようになる。
∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ
＝(１８０°－７５°×２)＋６０°
＝９０°
これとＡＢ＝ＡＤより、∠ＡＤＢ＝４５°
（２）（１）より、図１の点Ｅ（注：ＡＣとＢＤの交点をＥとしている）に対して、
∠ＢＥＣ＝∠ＡＥＤ＝１８０°－６０°－４５°＝７５°
よって、ＢＣ＝ＢＥ・・・①　である。
ところで、△ＡＥＤは図２（△ＥＡＤの頂点ＥからＡＤに下ろした垂線の足をＥとした図）のようになって、ＡＨ＝ｘとすると、
ＤＨ＝ＥＨ＝√３ｘ
よって、ＡＤについて、ｘ＋√３ｘ＝２
∴ｘ＝２/(√３＋１)
＝２(√３－１)/(√３＋１)(√３－１)
＝√３－１
∴①＝ＢＤ－ＥＤ＝２√２－√３ｘ×√２
＝２√２－√６(√３－１)
＝√６－√２・・・②
（３）図１（注：ＢＣの延長上にＤから垂線を下ろしその足をＫとした図）で、∠ＤＣＫ＝１８０°－７５°－６０°＝４５°
よって、△ＤＣＫは４５°定規形であるから、
ＤＫ＝２/√２＝√２
∴△ＢＣＤ＝(②×√２)/２＝√３－１
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説は読めば分かるので省略。（２）についての参考書の「注」を挙げておこう。

➡注
△ＡＢＣだけで解こうとすると、右図（注：△ＡＢＣの頂点ＢからＡＣに垂線を下ろしその足をＩ，頂点ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＪ，ＢＣ＝ｙとした図）で、ＢＩ＝１，ＡＩ＝√３より、
ｙ²＝１²＋(２－√３)²＝８－４√３
[△ＢＣＩ∽△ＡＢＪに着目しても、同じ式になる。]ここから、”二重根号”を解くことになります。[８－４√３＝(√６－√２)²！]

次回は（１）と（３）の別解と二重根号の別解をやりますね。マニアの人は二重根号を使わない別解を考えてみて下さい。

おまけ：
http://takaoadventure.blog98.fc2.com/blog-entry-2115.html

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

（１）別解
ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝ＡＤより、
ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ
よって、点Ａを中心に半径ＡＢの円を描くと３点Ｂ，Ｃ，Ｄを通る。
つまり、３点Ｂ，Ｃ，Ｄは同一円周上にあり、その円の中心はＡである。
よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＢＤＣ＝(１/２）∠ＢＡＣ———①
また、△ＡＢＣは底角が７５°の二等辺三角形より、∠ＢＡＣ＝３０°———②
①，②より、∠ＢＤＣ＝１５°
また、△ＡＣＤは正三角形より、∠ＡＤＣ＝６０°∴∠ＡＤＢ＝６０°－１５°＝４５°
（３）の別解
ＣからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形になるので、ＣＨ＝１，また、ＡＢ＝ＡＣ＝２より、
△ＡＢＣ＝２×１×(１/２)＝１
また、△ＡＣＤは１辺が２の正三角形より、
△ＡＣＤ＝２×√３×(１/２)＝√３
よって、四角形ＡＢＣＤ＝１＋√３———①
また、∠ＢＡＣ＝３０°，∠ＣＡＤ＝６０°より∠ＢＡＤ＝９０°でＡＢ＝ＡＤより△ＡＢＤは直角二等辺三角形。
∴△ＡＢＤ＝２×２×(１/２)＝２———②
①－②より、
△ＢＣＤ＝√３－１

（２）の別解１
△ＡＢＣは底角が７５°の二等辺三角形より、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＨはＢＣの中点になり１５°，７５°，９０°の直角三角形が出来る。
よって、その三辺比を使うと、短い順に√６－√２：√６＋√２：４で、ＡＢ＝２より、
ＢＨ＝(√６－√２)/２となる。
∴ＢＣ＝２ＢＨ＝√６－√２
（「高校への数学　日日のハイレベル演習」の初めの公式集のような所には当然載っている。また、5・25の問題の欄外には「発展事項」（難関校受験者向け）として載っている。まぁ、基本的には使っていないようですが。）

別解２
➡注
△ＡＢＣだけで解こうとすると、右図（注：△ＡＢＣの頂点ＢからＡＣに垂線を下ろしその足をＩ，頂点ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＪ，ＢＣ＝ｙとした図）で、ＢＩ＝１，ＡＩ＝√３より、
ｙ²＝１²＋(２－√３)²＝８－４√３
[△ＢＣＩ∽△ＡＢＪに着目しても、同じ式になる。]ここから、”二重根号”を解くことになります。[８－４√３＝(√６－√２)²！]

こんなの見ないで作りましたが、一応、同じ解法なので。先に上からやりますね。

△ＡＢＣは二等辺三角形より、ＡＢ＝ＡＣ＝２
ここで、ＣからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、∠Ａ＝３０°より△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形になる。∴ＣＨ＝１，ＡＨ＝√３
∴ＢＨ＝２－√３
よって、△ＣＢＨで三平方の定理を使うと、
ＢＣ＝√{１²＋(２－√３)²}＝√(８－４√３)
＝√{(√６)²＋(√２)²－２√１２}
＝√(√６－√２)²
＝√６－√２
（本当は定石に則って二重根号を外した方が良い。念のため、結果からこうした訳ではない。経験則からこの程度はすぐ出来る。もちろん、暗算で。）

別解３
ＣからＡＢに垂線を下ろしその足をＨ，ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、∠Ｂと直角の２角が等しいので、△ＡＢＩ∽ＣＢＨ
また、ＢＨ＝２－√３，ＢＣ＝ｘ，ＢＩ＝ｘ/２より、ｘ：２－√３＝２：ｘ/２が成り立つ。
∴ｘ²/２＝２(２－√３)　∴ｘ²＝４(２－√３)
∴ＢＣ²＝８－４√３
以後、上と同じ。

別解４も二重根号で別解５は二重根号を使わない別解で次回。

おまけ：
https://ameblo.jp/helloworkfan/entry-12878166400.html（他意はありません。）

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

（２）の別解４
ＢＣを１辺とした正三角形ＥＢＣを頂点ＥがＢＣに関して点Ａ側に作りＡＥを結ぶと、対称性から∠ＥＡＢ＝３０°÷２＝１５°
また、∠ＥＢＡ＝７５°－６０°＝１５°
よって、∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡより△ＥＡＢは二等辺三角形。
ここで、ＡＥの延長とＢＣとの交点をＭとすると、点ＭはＢＣの中点で△ＥＢＭは１：２：√３の直角三角形になる。
よって、ＢＣ＝ｘと置くと、ＢＭ＝ｘ/２，ＥＭ＝√３ｘ/２，ＡＥ＝ＢＥ＝ｘ　
∴ＡＭ＝ｘ＋√３ｘ/２
よって、△ＡＢＭで三平方の定理を使うと、
(ｘ＋√３ｘ/２)²＋(ｘ/２)²＝２²が成り立つ。
∴ｘ²＋３ｘ²/４＋√３ｘ＋ｘ²/４＝４
∴２ｘ²＋√３ｘ＝４　∴(２＋√３)ｘ²＝４　
∴ｘ²＝４/(２＋√３)＝４(２－√３)
＝８－４√３
∴ｘ＝√(８－４√３)
＝√{(√６)²＋(√２)²－２√１２}
＝√(√６－√２)²
＝√６－√２
これは二重根号を外す解法ですね。次は、二重根号を使わない解法ですが、今朝思い付いた代替案を先にやりますね。因みに、今朝は二重根号を外すのと使わないのをもう１通りずつ思い付きました。

（２）の別解５
ＡＣの外側に正三角形ＤＡＣを点ＤがＡＣに関して点Ｂと反対側に作りＢＤを結ぶ。（模範解答と同じ構図ですね。）
ＢＣの延長上にＤから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＢＣＤ＝７５°＋６０°＝１３５°∴∠ＤＣＨ＝４５°より△ＤＣＨは直角二等辺三角形である。また、ＣＤ＝ＡＣ＝２より、ＤＨ＝ＣＨ＝２/√２＝√２　
∴ＢＨ＝ＢＣ＋√２
また、△ＡＢＤは直角二等辺三角形になるので、ＢＤ＝２√２
よって、△ＤＢＨで三平方の定理を使うと、
(ＢＣ＋√２)²＋(√２)²＝(２√２)²が成り立つ。
∴(ＢＣ＋√２)²＝８－２＝６
∴ＢＣ＋√２＝±√６
∴ＢＣ＝±√６－√２
ＢＣ＞０より、ＢＣ＝√６－√２

解法６～８（解法が増える可能性もあります）は次回。二重根号を使わない解法はあと２つですが、１つでも出来たら凄いと思います。私が金持ちだったら懸賞金を付けて楽しみたい所ですね。念のため、そんなに超難問じゃない所が良いのです。（誰でも挑戦できる所が。）

おまけ：
「6 ここにひとりの人があって、神からつかわされていた。その名をヨハネと言った。
7 この人はあかしのためにきた。光についてあかしをし、彼によってすべての人が信じるためである。
8 彼は光ではなく、ただ、光についてあかしをするためにきたのである。
15 ヨハネは彼についてあかしをし、叫んで言った、「『わたしのあとに来るかたは、わたしよりもすぐれたかたである。わたしよりも先におられたからである』とわたしが言ったのは、この人のことである」。」
「ヨハネによる福音書」第１章６節～８節，１５節（口語訳）

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

（２）の別解６
ＡＢを１辺とした正三角形ＥＡＢをＡＢに関して点Ｅが点Ｃ側に作ると、∠ＢＡＣ＝３０°よりＡＣは∠ＢＡＤの二等分線になるので、ＡＣ⊥ＢＤ
よって、四角形ＡＢＣＥは凧型でＡＣとＢＤの交点をＦとする。
また、ＢＣの延長上にＥから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＢＣＤ＝７５°＋７５°＝１５０°より、∠ＤＣＨ＝３０°で△ＤＣＨは１：２：√３の直角三角形になる。
ここで、ＢＣ＝ｘと置くと、四角形ＡＢＣＥは凧型より、ＣＥ＝ＣＢ＝ｘ　∴ＤＨ＝ｘ/２，ＣＨ＝√３ｘ/２
ところで、２角が等しいので、△ＢＣＦ∽△ＢＤＨ
よって、ｘ：１＝２：ｘ＋√３ｘ/２が成り立つ。
∴ｘ(ｘ＋√３ｘ/２)＝２
∴ｘ²(１＋√３/２)＝２　∴ｘ²(２＋√３)＝４
∴ｘ²＝４/(２＋√３)＝４(２－√３)
＝８－４√３
∴ｘ＝√(８－４√３)
＝√{(√６)²＋(√２)²－２√１２}
＝√(√６－√２)²
＝√６－√２
ＢＣ＝√６－√２
因みに、△ＢＤＨで三平方の定理を使っても同じで二重根号です。

（２）の別解７
ＡＢ，ＡＣの外側に△ＡＢＣと合同な二等辺三角形△ＡＥＢ，△ＡＦＣを作り、ＥＦを結び、ＥＦとＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＧ，Ｈとすると、∠ＥＡＦ＝３０°×３＝９０°，ＡＥ＝ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＦより、△ＡＥＦは直角二等辺三角形になる。
∴ＥＦ＝２√２　また、∠ＣＦＨ＝７５°－４５°＝３０°，∠ＦＣＨ＝７５°より２角が等しいので、△ＡＣＦ∽△ＦＣＨ
よって、△ＦＣＨも二等辺三角形である。
ここで、ＢＣ＝ｘと置くと、ＦＣ＝ＦＨ＝ｘ
また、対称性よりＥＧ＝ＦＨ＝ｘ
∴ＧＨ＝２√２－２ｘ
また、対称性よりＢＣ∥ＥＦでＧＨ∥ＢＣ
よって、△ＡＧＨ∽△ＡＢＣ
また、ＣからＦＨに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＣＦＩは１：２：√３の直角三角形になるので、ＣＩ＝ｘ/２
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしＧＨ，ＢＣとの交点をそれぞれＪ，Ｋとすると、
ＡＪ＝√２，ＡＫ＝√２＋ｘ/２より、
√２：√２＋ｘ/２＝２√２－２ｘ：ｘが成り立つ。∴√２ｘ＝(√２＋ｘ/２)(２√２－２ｘ)
∴√２ｘ＝４－２√２ｘ＋√２ｘ－ｘ²
∴ｘ²＋２√２ｘ－４＝０
∴ｘ＝－√２±√６
ｘ＞０より、ｘ＝√６－√２
∴ＢＣ＝√６－√２

即興で適当に書いているので、ちょっと読みにくい所があると思いますが、スルーして下さい。
別解７は次回。（二重根号は使わない解法。）

おまけ：

＞別解７は次回。（二重根号は使わない解法。）

別解８，９の間違いでした。（１つ増えました。）どちらも二重根号は使わない解法。

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

（２）の別解８
ＢＣを１辺とした正三角形ＥＢＣを点ＥがＢＣに関して点Ａと反対側に作り、ＡＥをＢＣの交点をＦとすると、対称性から点ＦはＢＣの中点になり、△ＥＢＦは１：２：√３の直角三角形になる。
よって、ＢＣ＝ｘと置くと、ＢＦ＝ｘ/２，ＥＦ＝√３ｘ/２　また、△ＡＢＦで三平方の定理を使うと、ＡＦ＝√{２²－(ｘ/２)²}＝√(４－ｘ²/４)
∴ＡＥ＝√(４－ｘ²/４)＋√３ｘ/２
また、∠ＡＢＥ＝７５°＋６０°＝１３５°より、∠ＥＢＨ＝１８０°－１３５°＝４５°
よって、ＥからＡＢの延長上に垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＥＢＨは直角二等辺三角形となるので、ＥＨ＝ＢＨ＝ｘ/√２
ところで、２角が等しいので、△ＡＢＦ∽△ＡＥＨ　∴ＡＢ：ＢＦ＝ＡＥ：ＥＨ
よって、２：ｘ/２＝√(４－ｘ²/４)＋√３ｘ/２：ｘ/√２が成り立つ。
∴√２ｘ＝(ｘ/２){√(４－ｘ²/４)＋√３ｘ/２}
ｘ≠０より、両辺をｘで割って２をかけると、
２√２＝√(４－ｘ²/４)＋√３ｘ/２
∴√(４－ｘ²/４)＝２√２－√３ｘ/２
∴４－ｘ²/４＝８＋３ｘ²/４－２√６ｘ
∴ｘ²－２√６ｘ＋４＝０
これを解の公式で解くと、
ｘ＝√６±√２
ところで、ｘ＝ＢＣ＜２より、
ｘ＝√６－√２　∴ＢＣ＝√６－√２

因みに、△ＡＢＦ∽△ＡＥＨの相似を使わずに△ＡＥＨで三平方の定理を使うと、ちょっと面白い現象が起こる。
(２＋ｘ/√２)²＋(ｘ/√２)²＝{√(４－ｘ²/４)＋√３ｘ/２}²を解くと、計算省略で、
ｘ²＋２√２ｘ－４＝０
これを解の公式で解くと、
∴ｘ＝－√２±√６
ｘ＞０より、ｘ＝√６－√２
∴ＢＣ＝√６－√２

これは今まで２回、別解５と別解７で出てきた方程式です。（別解５は展開するとこうなる。）
つまり、別解８のｘ²－２√６ｘ＋４＝０という方程式で解くのは非常にレアなケースと言えるでしょう。
別解９は次回。これは別解８より前に思い付きました。これが出来る人は希でしょう。

おまけ：

問題
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣとする二等辺三角形で、△ＡＣＤは正三角形である。また、∠ＡＣＢ＝７５°，ＡＣ＝２とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）∠ＡＤＢの大きさを求めなさい。
（２）ＢＣの長さを求めなさい。
（３）△ＢＣＤの面積を求めなさい。
（０１　那須高原海城）

（２）の別解９
△ＡＢＣの辺ＡＣ上にＢＥ＝ＢＣとなる点Ｅを取り、辺ＡＢ上にＥＦ＝ＥＢとなる点Ｆを取ると、∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝７５°より、
∠ＥＢＣ＝３０°
∴∠ＥＢＦ＝７５°－３０°＝４５°
よって、△ＥＦＢは直角二等辺三角形より、
∠ＢＥＦ＝９０°
∴∠ＦＥＡ＝１８０°－７５°－９０°
＝１５°また、∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＣ＝３０°
ここで、ＢＣ＝ｘと置くと、ＢＥ＝ＥＦ＝ｘ，ＢＦ＝√２ｘ　∴ＡＦ＝２－√２ｘ
また、ＦからＡＥに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＦＨは１：２：√３の直角三角形より、ＦＨ＝(２－√２ｘ)/２
今、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、２角が等しいので、△ＡＢＩ∽△ＥＦＨ
∴ＡＢ：ＢＩ＝ＥＦ：ＦＨ
よって、２：ｘ/２＝ｘ：(２－√２ｘ)/２が成り立つ。
∴ｘ²/２＝２－√２ｘ　
∴ｘ²＋２√２ｘ－４＝０
これを解の公式で解くと、
∴ｘ＝－√２±√６
ｘ＞０より、ｘ＝√６－√２
∴ＢＣ＝√６－√２

おまけ：
https://bunshun.jp/articles/-/75003

問題
Ｆ：Ｖ→Ｖ'が線型写像，Ｗ⊆Ｖ，Ｗ'⊆Ｖ'が部分空間であれば、Ｗの像Ｆ(Ｗ)はＶ'の部分空間，Ｗ'の逆像Ｆ^-1（W’)はVの部分空間であることを証明せよ。

解答
Wは部分空間よりW≠{φ}　
よって、Ｆ(Ｗ)≠{φ}　
そこで、ｘ',ｙ'∈Ｆ(Ｗ)とすると、
ｘ'＝Ｆ(ｘ)，ｙ'＝Ｆ(ｙ)となるｘ,ｙ∈Ｗが存在して、ｘ'＋ｙ'＝Ｆ(ｘ)＋Ｆ(ｙ)＝Ｆ(ｘ＋ｙ)
（Ｆは線型写像だから。）
また、ｘ,ｙ∈ＷでＷは部分空間よりｘ＋ｙ∈Ｗ
∴ｘ'＋ｙ'＝Ｆ(ｘ＋ｙ)∈Ｆ(Ｗ)———①
また、ｘ'∈Ｆ(Ｗ)，ａ∈Ｋ（Ｋは数体）とすると、ｘ'＝Ｆ(ｘ)となるｘ∈Ｗが存在して、
ａｘ'＝ａＦ(ｘ)＝Ｆ(ａｘ)
（Ｆは線型写像だから。）
また、ｘ∈Ｗ，ａ∈ＫでＷは部分空間より、
ａｘ∈Ｗ
∴ａｘ'＝Ｆ(ａｘ)∈Ｆ(Ｗ)———②
①，②より、部分空間の条件により、
Ｆ(Ｗ)はＶ'の部分空間である。

Ｗ'は部分空間よりＷ'≠{φ}
よって、Ｆ^-1(Ｗ’)≠{φ}
そこで、ｘ,ｙ∈Ｆ^-1(W')とすると、
ｘ'＝Ｆ(ｘ)，ｙ'＝Ｆ(ｙ)となるｘ',ｙ'∈Ｗ'が存在して、
ｘ'＋ｙ'＝Ｆ(ｘ)＋Ｆ(ｙ)＝Ｆ(ｘ＋ｙ)
（Ｆは線型写像だから。）
∴ｘ＋ｙ＝Ｆ^-1(ｘ'＋ｙ')
また、ｘ',ｙ'∈Ｗ'でＷ'は部分空間よりｘ'＋ｙ'∈Ｗ'
∴ｘ＋ｙ＝Ｆ^-1(ｘ'＋ｙ')＝Ｆ^-1(Ｗ')———③
また、ｘ＝Ｆ^-1(W')，ａ∈Ｋとすると、
ｘ'＝Ｆ(ｘ)となるｘ'∈Ｗ'が存在して、
ａｘ'＝ａＦ(ｘ)＝Ｆ(ａｘ)
（Ｆは線型写像だから。）
∴ａｘ＝Ｆ^-1(ａｘ')
また、ｘ'∈Ｗ'，ａ∈ＫでＷ'は部分空間よりａｘ'∈Ｗ'　
∴ａｘ＝Ｆ^-1(ａｘ')∈Ｆ^-1(Ｗ')———④
③，④より、部分空間の条件により、
Ｆ^-1(Ｗ')はＶの部分空間である。

おまけ：

問題１
ａを数体Ｋの数とする。線型写像Ｆ：Ｋ[ｔ]→Ｋ[ｔ]，ｆ(ｔ)→ｆ(ｔ＋ａ)の逆写像を求めることにより、Ｆが同型写像であることを証明せよ。

解法１（多分、模範解答）
Ｆ(ｆ(ｔ))＝ｆ(ｔ＋ａ)＝ｇ(ｔ)と置くと、
ｆ(ｔ)＝ｇ(ｔ－ａ)
したがって、Ｇ：Ｋ[ｔ]→Ｋ[ｔ]，ｇ(ｔ)→ｇ(ｔ－ａ)はＦの逆写像である。
これはＦが同型写像である事を示す。

解説
命題（1.4.11）
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対して、次の三条件は同値である。
（ⅰ）Ｆは同型写像である。
（ⅱ）Ｆは双射である。
（ⅲ）線型写像Ｇ：Ｖ'→Ｖがあって
Ｇ◦Ｆ＝Ｉv，Ｆ◦Ｇ＝Ｉv'
が成り立つ。（このとき、ＧをＦの逆写像と呼んだ。）
「線型代数入門」有馬哲著より

要は、（ⅲ）を使ったという事である。線型写像が逆写像を持てば同型写像という事。念のため、Ｉは恒等写像という意味。
解法２は次回。

問題２
Ｖが数体Ｋ上の線型空間，ＷがＶの部分空間であるとき、Ｖの双対空間ℒ(Ｖ,Ｋ)（1.4.14）の部分集合Ｗ^⊥＝{ｆ∈ℒ(Ｖ,Ｋ)｜ｆ(Ｗ)＝{０}}が空間ℒ(Ｖ,Ｋ)の部分空間であることを証明せよ。

解答（私の解法）
ｆ,ｇ∈Ｗ^⊥とすると、ｆ(Ｗ)＝{０}，ｇ(Ｗ)＝{０}
∴ｆ(Ｗ)＋ｇ(Ｗ)＝{０}＋{０}＝{０}
また、定義より、
(ｆ＋ｇ)(Ｗ)＝ｆ(Ｗ)＋ｇ(Ｗ)＝{０}となる。

定義
数体Ｋ上の線型空間Ｖ，Ｖ'の間の二つの写像Ｆ，Ｇ：Ｖ→Ｖ'の和Ｆ＋Ｇとスカラー倍ａＦとを
(Ｆ＋Ｇ)(ｘ)＝Ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)
(ａＦ)(ｘ)＝ａＦ(ｘ)
によって定義する。
「線型代数入門」有馬哲著p.27より

よって、(ｆ＋ｇ)(Ｗ)＝{０}より、
ｆ＋ｇ∈Ｗ^⊥———①
（厳密にはｆ＋ｇ∈ℒ(Ｖ,Ｋ)を言った方が良いと思うが、それは命題（1.4.13）よりℒ(Ｖ,Ｖ')は線型写像空間で線型空間だから。）

命題（1.4.13）
Ｖ，Ｖ'を数体Ｋ上の線型空間とする。このとき、ＶからＶ'の中へのＫ線型写像の全体ℒ(Ｖ,Ｖ')は、和Ｆ＋Ｇとスカラー倍ａＦを
(Ｆ＋Ｇ)(ｘ)＝Ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)，(ａＦ)(ｘ)＝ａＦ(ｘ)
で定義するとき、Ｋ上の線型空間となる。零写像Ｏがその零元である。Ｆの反対元－Ｆは(－１)Ｆである。ℒ(Ｖ,Ｖ')を線型写像空間と言う。
「線型代数入門」有馬哲著より

また、ｆ∈Ｗ^⊥，ａ∈Ｋに対して、
ｆ(Ｗ)＝{０}　∴ａｆ(Ｗ)＝{０}
よって、上の定義より、
(ａｆ)(Ｗ)＝ａｆ(Ｗ)＝{０}　
∴ａｆ∈Ｗ^⊥———②
（厳密には、ａｆ∈ℒ(Ｖ,Ｋ)を言った方が良いと思うが、それは命題（1.4.13）よりℒ(Ｖ,Ｖ')は線型写像空間で線型空間だから。）
①，②より、部分空間の定義より、
Ｗ^⊥は空間ℒ(Ｖ,Ｋ)の部分空間である。

命題（1.3.1）
Ｖを数体Ｋ上の線型空間とする。Ｖの空でない部分集合Ｗが部分空間であるために、次の条件がみたされることは必要充分である。
部分空間の条件
（ⅰ）ｘ,ｙ∈Ｗ ならば ｘ＋ｙ∈Ｗ
（ⅱ）ｘ∈Ｗ，ａ∈Ｋ ならば ａｘ∈Ｗ
「線型代数入門」有馬哲著より

念のため、自分で全て考えてみました。

おまけ：

問題１
ａを数体Ｋの数とする。線型写像Ｆ：Ｋ[ｔ]→Ｋ[ｔ]，ｆ(ｔ)→ｆ(ｔ＋ａ)の逆写像を求めることにより、Ｆが同型写像であることを証明せよ。

解法２
ｆ(ｔ)＝ａ₀＋ａ₁ｔ＋…＋ａnｔ^n，ａi∈Ｋ
と置く。
また、Ｆ(ｆ(ｔ))＝ｆ(ｔ＋ａ)より、
Ｆ^-1(ｆ(ｔ＋ａ))＝ｆ(ｔ)
∴Ｆ^-1(ｆ(ｔ))＝ｆ(ｔ－ａ)
＝ａ₀＋ａ₁(ｔ－ａ)＋…＋ａn(ｔ－ａ)^n
ここで、ｆ(ｔ)＝０とすると、ｔの値に関わらず０より、ａ₀＝ａ₁＝…＝ａn＝０
∴ｆ(ｔ－ａ)＝０　
∴Ｆ^-1(０)＝{０}
よって、命題（1.4.9）より、Ｆは単射である。

命題（1.4.9）
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対して、
Ｆが単射である⇔Ｆの核が零元のみ，すなわちＦ^-1(０')＝{０}

また、Ｆが全射である事は自明。（任意のｆ(ｔ＋ａ)に対して必ず対応するｆ(ｔ)が存在するから。）
よって、Ｆは全単射である。つまり、双射。
よって、線型写像かつ双射より、命題（1.4.11）によりＦは同型写像である。

命題（1.4.11）
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対して、次の三条件は同値である。
（ⅰ）Ｆは同型写像である。
（ⅱ）Ｆは双射である。
（ⅲ）線型写像Ｇ：Ｖ'→Ｖがあって
Ｇ◦Ｆ＝Ｉv，Ｆ◦Ｇ＝Ｉv'
が成り立つ。（このとき、ＧをＦの逆写像と呼んだ。）

補足
Ｋを数体，ＶをＫからＫ自身の中への関数全体のなすＫ線型空間とする。すなわちＶ＝ℱ(Ｋ,Ｋ)。Ｋの数を係数とする一変数ｔの多項式
ａ₀＋ａ₁ｔ＋ａ₂ｔ²＋…＋ａnｔ^n，ａi∈Ｋ
はＶの元とみなすことができる。Ｋに係数をもつ多項式全体の集合を普通
Ｋ[ｔ]
で表わす。
「線型代数入門」有馬哲著より

どうでしょうか。間違いがあるとすれば「ｆ(ｔ)＝０とすると、ｔの値に関わらず０より、ａ₀＝ａ₁＝…＝ａn＝０」の部分だと思いますが、結果（別解）からＯＫだと信じています。

おまけ：

問題 7-6b
Φp^n(ｘ)＝Φp(ｘ^p^(n-1))＝Φp^(n-1)(ｘ^p)を示せ。

解答の続き
１の原始ｐ^n乗根ζに対して、
η'＝ζ^pは１の原始ｐ^(n-1)乗根である。
（η'^p^(n-1)＝(ζ^p)^p^(n-1)＝ζ^{p・p^(n-1)}＝ζ^p^n＝１だから。）
よって、Φp^(n-1)(η')＝Φp^(n-1)(ζ^p)＝０であり（η'は１の原始ｐ^(n-1)乗根で円分多項式の定義より）、
Φp^(n-1)(ｘ^p)はζを根に持つ。
よって、Φp^n(ｘ)とΦp^(n-1)(ｘ^p)は共に１の原始ｐ^n乗根ζを根に持つ。———☆
また、Φp^n(ｘ)の次数はφ(ｐ^n)であるので、

「Φn(ｘ)の次数をｓとおきます。このｓは１,２,…,ｎ－１のうち、ｎと互いに素な整数の個数になります。この数をφ(ｎ)と表し、φ(ｎ)をオイラー関数といいました。」
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

これを求めると、ｐは素数よりｐ^nと互いに素でないものはｐの倍数だけである。その個数は、ｐ^n÷ｐ＝ｐ^(n-1)個。また、１からｐ^nまでの自然数の個数はｐ^n個より、ｐ^nと互いに素な自然数の個数は、ｐ^n－ｐ^(n-1)＝ｐ^(n-1)(ｐ－１)個である。∴φ(ｐ^n)＝ｐ^(n-1)(ｐ－１)
よって、Φp^n(ｘ)の次数は、
degΦp^n(ｘ)＝ｐ^(n-1)(ｐ－１)———①
また、Φp^(n-1)(ｘ^p)の次数は、まずΦp^(n-1)(ｘ)の次数を求めてｘ^pのｐをかければ良い。（最大次数の項の指数を想像すれば良いだろう。）
よって、まずφ(p^(n-1))を求めると、ｐは素数より１からp^(n-1)でｐと互いに素でないものはｐの倍数だけである。そして、その個数はp^(n-1)÷ｐ＝ｐ^(n-2)個。また、１からp^(n-1)までの自然数の個数はp^(n-1)個より、p^(n-1)と互いに素なものの個数は、p^(n-1)－p^(n-2)＝ｐ^(n-2)(ｐ－１)個。よって、上で述べたようにこれにｐをかければ、Φp^(n-1)(ｘ^p)の次数が出る。
∴degΦp^(n-1)(ｘ^p)＝ｐ・ｐ^(n-2)(ｐ－１)
＝ｐ^(n-1)(ｐ－１)———②
①，②より、degΦp^n(ｘ)＝degΦp^(n-1)(ｘ^p)———☆☆
☆，☆☆より、
ζの最小多項式Φp^n(ｘ)は、Φp^(n-1)(ｘ^p)と一致する。

次回は、以前に作った別解をやりますね。（我ながらよくそんなものが出来たなと思いますよ。多分、「ガロワ理論の頂を踏む」石井俊全著などから作っていると思われる。）

おまけ：

問題 7-6b
Φp^n(ｘ)＝Φp(ｘ^p^(n-1))＝Φp^(n-1)(ｘ^p)を示せ。

別解
まず、Φp^n(ｘ)＝Φp(ｘ^p^(n-1))を示す。

定義4.1　円分多項式
ζ＝cos(360°/n)＋ｉsin(360°/n)のとき、
Φn(ｘ)＝Π(k,n)=1,1≦k≦n (ｘ－ζ^k)
を円分多項式という。
「ガロア理論の頂を踏む」石井俊全著より
注：(k,n)=1はｋとｎの最大公約数が１、つまりｋとｎは互いに素という事。また、Πは(ｘ－ζ^k)のｋを１～ｎにして全てかけるという意味。（∑の積バージョンという事。）

より、Φp^n(ｘ)＝(ｘ－ζ)(ｘ－ζ^2)(ｘ－ζ^4)(ｘ－ζ^5)･･･{ｘ－ζ^(p^n-1)}———①
（ここで、抜けているのはｐ＝３としているが要はｐの倍数の指数のものが抜ける。念のため、ｐが素数だから。）
また、

定理4.7　１のｎ乗根
ζ＝cos(360°/n)＋ｉsin(360°/n)とおくとき、１のｎ乗根は、
ζ^0(＝１),ζ^1,ζ^2,･･･,ζ^(n-1)
のｎ個である。１のｎ乗根を用いると、
ｘ^n－１＝(ｘ－１)(ｘ－ζ)(ｘ－ζ^2)･･･(ｘ－ζ^(n-1))
と因数分解出来る。
「ガロア理論の頂を踏む」石井俊全著より

より、ｘ^p^n－１＝(ｘ－１)(ｘ－ζ)･･･{ｘ－ζ^(p^n-1)}＝(ｘ－ζ)･･･{ｘ－ζ^(p^n-1)}(ｘ－ζ^p^n)———②
（念のため、ζ^p^n＝１だから。）
ここで、①で抜けているｐの倍数を集めたものを作ると、
(ｘ－ζ^p)(ｘ－ζ^2p)･･･(ｘ－ζ^p^n)で、
この括弧の数はｐ^n÷ｐ＝ｐ^(n-1)個より、
ｘ^p^(n-1)－１＝(ｘ－ζ^p)(ｘ－ζ^2p)･･･(ｘ－ζ^p^n)———③
（ζ^p～ζ^p^nは１のｐ^(n-1)乗根の全てだから定理4.7より）
①＝②÷③より、
Φp^n(ｘ)＝(ｘ^p^n－１)/{ｘ^p^(n-1)－１}
＝[{ｘ^p^(n-1)}^p－１]/{ｘ^p^(n-1)－１}
＝{ｘ^p^(n-1)－１}[{ｘ^p^(n-1)}^(p-1)＋{ｘ^p^(n-1)}^(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１]/{ｘ^p^(n-1)－１}
＝{ｘ^p^(n-1)}^(p-1)＋{ｘ^p^(n-1)}^(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１
＝ｘ^p^(n-1)・(p-1)＋ｘ^p^(n-1)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１———ア
一方、Φp(ｘ^p^(n-1))の方は、
Φp(ｘ)＝ｘ^(p-1)＋ｘ^(p-2)＋･･･＋ｘ＋１より、
Φp(ｘ^p^(n-1))＝{ｘ^p^(n-1)}^(p-1)＋{ｘ^p^(n-1)}^(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１
＝ｘ^p^(n-1)・(p-1)＋ｘ^p^(n-1)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１———イ
ア，イより、Φp^n(ｘ)＝Φp(ｘ^p^(n-1))
よって、示された。

次に、Φp(ｘ^p^(n-1))＝Φp^(n-1)(ｘ^p)を示す。
アより、
Φp^n(ｘ)
＝ｘ^p^(n-1)・(p-1)＋ｘ^p^(n-1)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１———ア
このｎにｎ－１を代入すると、
Φp^(n-1)(ｘ)
＝ｘ^p^(n-2)・(p-1)＋ｘ^p^(n-2)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-2)＋１
このｘにｘ^pを代入すると、
Φp^(n-1)(ｘ^p)
＝(ｘ^p)^p^(n-2)・(p-1)＋(ｘ^p)^p^(n-2)・(p-2)＋･･･＋(ｘ^p)^p^(n-2)＋１
＝ｘ^p・p^(n-2)・(p-1)＋ｘ^p・p^(n-2)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p・p^(n-2)＋１
＝ｘ^p^(n-1)・(p-1)＋ｘ^p^(n-1)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１———ア'
また、イより、
Φp(ｘ^p^(n-1))
＝ｘ^p^(n-1)・(p-1)＋ｘ^p^(n-1)・(p-2)＋･･･＋ｘ^p^(n-1)＋１———イ
イ，ア'より、
Φp(ｘ^p^(n-1))＝Φp^(n-1)(ｘ^p)

以上より、Φp^n(ｘ)＝Φp(ｘ^p^(n-1))＝Φp^(n-1)(ｘ^p)が示された。

前回のものを見たら試行錯誤から作っていますね。自分で言うのも何ですが、大したものです。（というより何で出来るのかよく分かりません。）

おまけ：

解説
問題１
（ⅰ）実線型写像Ｆ＝ｄ²/ｄｔ²：
Ｄ²(Ｉ)→ℱ(Ｉ,ℝ)，ｆ→ｆ''の核を求めよ。
（ⅱ）実線型写像Ｇ＝ｄ^n/ｄｔ^n：
Ｄ^n(Ｉ)→ℱ(Ｉ,ℝ)，ｆ→ｆ^(n)の核を求めよ。

解答
（ⅰ）要は、２回微分して０になる（元の）式がkerＦという事だから、１次式ｆ(ｔ)＝ａｔ＋ｂ（ａ,ｂ∈ℝ）を１回微分すると、ｆ'(ｔ)＝ａ（定数）で２回微分するとｆ''(ｔ)＝０より、kerＦはｔの１次式全体。（注：ａ＝０の時は定数だから１次式以下で高々１次式という事。）
よって、答えは、Ｆ^-1(０)＝{高々一次の多項式全体}
（ⅱ）また、こちらはｎ回微分して０になる式全体がkerＧということだから、ｎ－１次式以下全体という事。
よって、答えは、Ｇ^-1(０)＝{高々ｎ－１次の多項式全体}

問題２
実線型写像Ｆ：ℝ[ｔ]→ℝ，ｆ(ｔ)→ｆ(３)の核を求めよ。

解答
ｆ(ｔ)＝ａ₀＋ａ₁ｔ＋ａ₂ｔ²＋…
＋ａnｔ^n∈ℝ[ｔ]，ａi∈ℝ
これがｆ(３)＝０になるのだから、ｔ－３を因数に持つ式全体である。
よって、答えは、Ｆ^-1(０)＝{ｔ－３で整除される多項式全体}

補足
「整数ｎ＞０に対して、Ｖの元でＩにおいてｎ回微分可能なもの全体のなす集合をＤ^nで表わす。
「線型代数入門」有馬哲著より

おまけ：
「13 人がその友のために自分の命を捨てること、これよりも大きな愛はない。
14 あなたがたにわたしが命じることを行うならば、あなたがたはわたしの友である。
15 わたしはもう、あなたがたを僕とは呼ばない。僕は主人のしていることを知らないからである。わたしはあなたがたを友と呼んだ。わたしの父から聞いたことを皆、あなたがたに知らせたからである。」
「ヨハネによる福音書」第１５章１３節～１５節（口語訳）

解説

問題１
関数ｆ：ℝ→ℂ，ｘ→ｅ^ixによる点１∈ℂの逆像
ｆ^-1(１)を求めよ。

解法１
ｆ(ｘ)＝ｅ^ix＝cosｘ＋ｉsinｘ＝１とすると、
cosｘ＝１，sinｘ＝０
∴ｘ＝２ｎπかつｘ＝ｍπ（ｍ,ｎは整数）
∴ｘ＝２ｎπ
∴ｆ^-1(１)＝{２ｎπ｜ｎは整数}

解法２
ｆ(ｘ)＝ｅ^ix＝１として、両辺の自然対数を取ると、log(ｅ^ix)＝log１
∴ｉｘ＝０＋２ｎπｉ（ｎは整数）
（複素関数ｅ^zは周期２πｉの周期関数だから。）

「周期性: 任意の複素数 z に対して exp(z + 2πi) = exp(z) が成り立つ。すなわち、複素指数函数は周期（実は基本周期）2πi を持つ周期函数である。一般に任意の整数 n に対して exp(z + 2nπi) = exp(z) が成り立つ。この周期性のために、逆函数となるべき対数函数の複素数への拡張は無限多価となる。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0#%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E3%81%AA%E6%80%A7%E8%B3%AA

この両辺をｉで割ると、ｘ＝２ｎπ
∴ｆ^-1(１)＝{２ｎπ｜ｎは整数}

問題２
線型写像Ｆ，Ｇ，Ｈの核と像とを求めよ。
Ｆ：ℝ²→ℝ，(ｘ ｙ)→ｘ－ｙ
（注：いつものように列ベクトルは書けないので行ベクトルにして書く。）
Ｇ：ℝ³→ℝ²，(ｘ ｙ ｚ)→(ｘ－ｙ ｘ＋ｙ－２ｚ)
Ｈ：ℝ³→ℝ³，(ｘ ｙ ｚ)→
(ｘ＋３ｙ＋１１ｚ ｘ－２ｙ－３ｚ ｘ＋４ｚ)

解答
まず、核（kerＦ）から。
Ｆ((ｘ ｙ))＝ｘ－ｙ＝０とすると、ｘ＝ｙ
これを(ｘ ｙ)に代入すると、(ｘ ｘ)
∴kerＦ＝Ｆ^-1(０)＝{(ｘ ｘ)｜ｘ∈ℝ}
次に像は、Ｆ(ℝ²)＝ℝ

Ｇ((ｘ ｙ ｚ))＝(ｘ－ｙ ｘ＋ｙ－２ｚ)＝(０ ０)とすると、ｘ－ｙ＝０———①
ｘ＋ｙ－２ｚ＝０———②
①＋②より、２ｘ－２ｚ＝０　∴ｚ＝ｘ
また、①よりｙ＝ｘ
これらを(ｘ ｙ ｚ)に代入すると、(ｘ ｘ ｘ)
∴kerＧ＝Ｇ^-1(０)＝{(ｘ ｘ ｘ)｜ｘ∈ℝ}
また、像は、Ｇ(ℝ³)＝ℝ²

Ｈ((ｘ ｙ ｚ))＝(ｘ＋３ｙ＋１１ｚ ｘ－２ｙ－３ｚ ｘ＋４ｚ)＝(０ ０ ０)とすると、
ｘ＋３ｙ＋１１ｚ＝０———①
ｘ－２ｙ－３ｚ＝０———②
ｘ＋４ｚ＝０———③
①×２＋②×３より、
　　２ｘ＋６ｙ＋２２ｚ＝０
＋）３ｘ－６ｙ－９ｚ＝０
————————————
　５ｘ＋１３ｚ＝０———④
④－③×５より、－７ｚ＝０　∴ｚ＝０
これを③に代入すると、ｘ＝０
これらを①に代入すると、ｙ＝０
∴(ｘ ｙ ｚ)＝(０ ０ ０)
∴kerＨ＝Ｈ^-1(０)＝{(０ ０ ０)}
＝{０(ベクトル)}
また、像は、Ｈ(ℝ³)＝ℝ³

おまけ：
https://mainichi.jp/articles/20241208/k00/00m/030/063000c