数学

問題
図のように、円Ｏと正方形ＡＢＣＤは辺ＢＣ上の点Ｅで接している。Ａ，Ｄは円Ｏの周上の点で、Ｆは円Ｏと辺ＡＢの交点である。
正方形ＡＢＣＤの一辺の長さをａｃｍとするとき、次の各問いに答えよ。
（１）線分ＦＢの長さを求めよ。
（２）円Ｏの半径の長さを求めよ。
（９２　早稲田実業）

模範解答
（１）辺ＢＣが円と接する点Ｅに対して、対称性より、ＥはＢＣの中点。
いま、方べきの定理により、
ＢＦ×ＢＡ＝ＢＥ²
に、わかっている値を代入して、
ＢＦ×ａ＝(ａ/２)²
これを解いて、ＢＦ＝ａ/４（ｃｍ）
（２）Ｏと接点Ｅを結び、その延長と辺ＡＤとの交点をＧとする。円の半径をｘとして、網目部（注：△ＡＯＧ）の△ＡＯＧの３辺をａ，ｘを用いた式で表すと右図のよう（ＯＧ＝ａ－ｘ，ＡＧ＝ａ/２，ＯＡ＝ｘ）になり、この三角形に三平方の定理を用いると、
ｘ²＝(ａ/２)²＋(ａ－ｘ)²
これを解いて、ｘ＝(５/８)ａ（ｃｍ）
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説：∠ＡＧＯ＝９０°，ＡＧ＝ａ/２の理由は、対称性より点ＥがＢＣの中点より△ＥＡＤは二等辺三角形で、点Ｏは△ＥＡＤの外心よりＡＤの垂直二等分線上にあるから、ＥＯの延長とＡＤの交点ＧはＡＤの中点でＥＧ⊥ＡＤだから。

別解
（１）ＡＥ，ＦＥを結ぶと、接弦定理より∠ＥＡＦ＝∠ＦＥＢ＝●と置く。
また、∠Ｂを共有しているので２角が等しく、△ＡＢＥ∽△ＥＢＦである。
ところで、対称性より点ＥはＢＣの中点よりＢＥ＝ａ/２　また、△ＡＢＥは直角を挟む二辺の比が１：２より△ＥＢＦも直角を挟む二辺の比が１：２である。　
よって、ＦＢ＝ＢＥ/２＝ａ/４
よって、答えは、ａ/４ｃｍ
（２）円周角と中心角の関係より、∠ＥＯＦ＝２∠ＥＡＦ＝●●
ここで、ＯからＥＦに垂線を下ろしその足をＨとすると、半径より△ＯＥＦは二等辺三角形なので、∠ＦＯＨ＝●　よって、△ＯＨＦ∽△ＡＢＥで△ＯＨＦも直角を挟む二辺の比が１：２である。
ところで、△ＦＢＥで三平方の定理を使うと、１：２：√５の直角三角形より、
ＦＥ＝√５ＦＢ＝√５ａ/４ｃｍ
∴ＦＨ＝√５ａ/８ｃｍ
∴ＯＦ＝√５ＦＨ＝５ａ/８ｃｍ
よって、答えは、５ａ/８ｃｍ

おまけ：

問題
△ＡＢＣがあり、３辺の長さは、ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１３，ＡＢ＝１５である。
また、２辺ＡＢ，ＢＣに接する円Ｏと、２辺ＣＡ，ＢＣに接する円Ｏ'が外接していて、２つの円の半径は等しい。この２つの円の半径を求めよ。
（８４　早大学院）

模範解答
△ＡＢＣに円が１つ内接している場合、ＡからＢＣに下した垂線の足をＨとし、ＣＨ＝ｘとおくと、１３²－ｘ²＝１５²－(１４－ｘ)²を解いて、ｘ＝５　ＡＨ＝√(ＡＣ²－ＣＨ²)＝１２
ゆえに、△ＡＢＣ＝１２×１４÷２＝８４
内接円の中心をＩとし、内接円の半径をｒとすると、△ＡＢＣ＝△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ＋△ＩＡＢをｒの式で表して、
８４＝(１４ｒ＋１３ｒ＋１５ｒ)÷２
これを解いて、ｒ＝４
さて、次に２つの円が内接する場合と、１つの内接円を重ねて描くと、右図。（Ｏ,Ｏ'からＢＣに垂線を下ろしその足をＪ,Ｋとし、半径をｔ，ＢＪ＝ａ，ＣＫ＝ｂとした図。）
求める２円の半径をｔとおくと、
２ｔ＋ｔ×(１４/４)＝ＢＣ＝１４
これを解いて、ｔ＝２８/１１
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
△ＯＢＪと△Ｏ'ＣＫをくっつけると１つの三角形になり、その三角形と△ＩＢＣは相似より、４：１４＝ｔ：(ａ＋ｂ)が成り立つ。
∴ａ＋ｂ＝ｔ×(１４/４)
という事。

別解
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＣＨ＝５と仮定すると、△ＡＣＨは５，１２，１３の直角三角形より、ＡＨ＝１２
また、ＢＨ＝１４－５＝９より△ＡＢＨは９：１２：１５＝３：４：５の直角三角形。
ここで、逆に５，１２，１３の直角三角形ＡＣＨと９，１２，１５の直角三角形ＡＢＨを用意してＡＨでくっつけると、ＢＨＣは一直線になり△ＡＢＣが出来、３辺の長さは、ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１３，ＡＢ＝１５である。
つまり、３辺の長さが、ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１３，ＡＢ＝１５の三角形のＡからＢＣに下した垂線の長さは１２である。
∴△ＡＢＣ＝１４×１２×(１/２)＝８４———①
また、円Ｏ，Ｏ'の半径をｒと置くと、
△ＡＢＣ＝台形ＯＢＣＯ'＋△ＡＯＯ'＋△ＯＡＢ＋△ＯＡＣ
＝(２ｒ＋１４)×ｒ×(１/２)＋２ｒ×(１２－ｒ)×(１/２)＋１５ｒ/２＋１３ｒ/２
＝ｒ(ｒ＋７)＋ｒ(１２－ｒ)＋１４ｒ
＝ｒ²＋７ｒ＋１２ｒ－ｒ²＋１４🄬
＝３３ｒ———②
①，②より、３３ｒ＝８４を解くと、
ｒ＝２８/１１

因みに、私は模範解答の方はちょっと違く、内心をＩ，内接円とＢＣとの接点をＴとすると、公式より、ＢＴ＝(１４＋１５－１３)/２＝８，ＣＴ＝１４－８＝６
また、内接円の半径は１３Ｒ/２＋１４Ｒ/２＋１５Ｒ/２＝８４を解いて、２１Ｒ＝８４
∴Ｒ＝４
よって、△ＩＢＴは直角を挟む二辺の比が４：８＝１：２で△ＩＣＴは直角を挟む二辺の比が４：６＝２：３
また、△ＯＢＪ∽△ＩＢＴ，△Ｏ'ＣＫ∽△ＩＣＴより、Ｏ，Ｏ'の半径をｒと置くと、
２ｒ＋２ｒ＋(３/２)ｒ＝１４が成り立ち、
４ｒ＋４ｒ＋３ｒ＝２８　∴ｒ＝２８/１１
と求めた。

おまけ：

解説
問題４
写像の列Ⅹ→Ｙ→Ｚ（ｆ：Ｘ→Ｙ，ｇ：Ｙ→Ｚ）について、次の（１）～（４）を示せ。
（３）ｆとｇがともに１対１ならば、ｇ◦ｆも１対１である。
（４）ｇ◦ｆが１対１ならば、ｆも１対１である。

＞たとえば（３）の場合、Ker(ｇ◦ｆ)＝０を示せばよい。

命題
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'において、次の（１）,（２）が成り立つ。
（１）ｘ,ｙ∈Ｖに対し、Ｆ(ｘ)＝Ｆ(ｙ)⇔ｘ－ｙ∈Ｆ^-1(０)
（２）Ｆが１対１である⇔Ｆ^-1(０')＝０
（注：ｘ,ｙ,０は太字）
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.120より

命題と定義
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対し、
（ⅰ）Ｖ'の零元０'のＦによる逆像
Ｆ^-1(０')＝{ａ∈Ｖ｜Ｆ(ａ)＝０'}
はＶの部分空間である。これをＦの核（kernel）といい、KerＦとも表す。
（ⅱ）Ｆの像Ｆ(Ｖ)＝{Ｆ(ａ)｜ａ∈Ｖ}はＶ'の部分空間である。
（注：ａ,０は太字）
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.110より

上の命題の（２）と下の命題と定義の（１）から、
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'において、Ｆが１対１である⇔KerＦ＝０
である事が分かるだろう。
つまり、（３）の場合、ｇ◦ｆが１対１である⇔Ker(ｇ◦ｆ)＝０から、Ker(ｇ◦ｆ)＝０を示せば良いという事である。

＞そこでKer(ｇ◦ｆ)∋ｘとしよう。(ｇ◦ｆ)(ｘ)＝０よりｇ(ｆ(ｘ))＝０。

Ker(ｇ◦ｆ)＝０を示したいので、集合Ker(ｇ◦ｆ)の任意の元ｘを取ると、KerＦの定義より、
(ｇ◦ｆ)(ｘ)＝０（命題と定義の（ⅰ））
∴ｇ(ｆ(ｘ))＝０

＞仮定よりKerｇ＝０。よってｆ(ｘ)＝０でなければならない。

Kerｇというのは（上の定義より）集合で、それが０元のみという事は、KerＦの定義より、ｇ(ｘ)＝０となるｘは０元のみという事である。
また、すぐ上の解説より、ｇ(ｆ(ｘ))＝０なので、ｆ(ｘ)＝０でなければならないという事である。（ｇ(ｘ)＝０のｘの所にｆ(ｘ)が入っているという事。）

＞さらにKerｆ＝０よりｘ＝０となる。したがって、Ker(ｇ◦ｆ)＝０。

上で解説し忘れたが、ｇが１対１写像だから、仮定よりKerｇ＝０。同様にｆも１対１写像だから、Kerｆ＝０　よって、上の解説と同様に、ｆ(ｘ)＝０となるｘは０元のみという事である。
∴ｘ＝０
ところで、初めに「そこでKer(ｇ◦ｆ)∋ｘとしよう」としたので、Ker(ｇ◦ｆ)＝０（のみ）
よって、「たとえば（３）の場合、Ker(ｇ◦ｆ)＝０を示せばよい」が示された。

（４）を同様の方法で示すのは次回。

おまけ：

問題４
写像の列Ⅹ→Ｙ→Ｚ（ｆ：Ｘ→Ｙ，ｇ：Ｙ→Ｚ）について、次の（１）～（４）を示せ。
（３）ｆとｇがともに１対１ならば、ｇ◦ｆも１対１である。
（４）ｇ◦ｆが１対１ならば、ｆも１対１である。

（４）の別解（線型写像を利用する方法）

命題
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'において、次の（１）,（２）が成り立つ。
（１）ｘ,ｙ∈Ｖに対し、Ｆ(ｘ)＝Ｆ(ｙ)⇔ｘ－ｙ∈Ｆ^-1(０)
（２）Ｆが１対１である⇔Ｆ^-1(０')＝０
（注：ｘ,ｙ,０は太字）
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.120より

命題と定義
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対し、
（ⅰ）Ｖ'の零元０'のＦによる逆像
Ｆ^-1(０')＝{ａ∈Ｖ｜Ｆ(ａ)＝０'}
はＶの部分空間である。これをＦの核（kernel）といい、KerＦとも表す。
（ⅱ）Ｆの像Ｆ(Ｖ)＝{Ｆ(ａ)｜ａ∈Ｖ}はＶ'の部分空間である。
（注：ａ,０は太字）
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.110より

上の命題の（２）と下の命題と定義の（１）から、
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'において、Ｆが１対１である⇔KerＦ＝０
より、
「（４）ｇ◦ｆが１対１ならば、ｆも１対１である。」
は、Ker(ｇ◦ｆ)＝０ならばKerｆ＝０を示せば良い。
Ker(ｇ◦ｆ)＝０とは、定義より(ｇ◦ｆ)(ｘ)＝０'となるｘが０のみという事である。
（（３）の時は解説を省略したが、上の２つの命題と定義より、
KerＦ＝０⇔Ｆ^-1(０')＝０⇔Ｆ(０)＝０'だからである。）
別の解説では、Ker(ｇ◦ｆ)＝０とは、集合Ker(ｇ◦ｆ)の元が０元のみで、KerＦの定義より(ｇ◦ｆ)(ｘ)＝０'となる元ｘは唯１つという事である。
そして、次の定理より、線型写像ＦはＦ(０)＝０'なので、
(ｇ◦ｆ)(ｘ)＝０'となるｘは０のみである。

例題3.2.2
Ｖ，Ｖ'を線型写像とする。写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'が線型写像ならば、次の等式が成り立つ事を示せ。ただし０'はＶ'の零ベクトルを表す。
Ｆ(０)＝０'，Ｆ(－ａ)＝－Ｆ(ａ)
Ｆ(ｃ₁ａ₁＋ｃ₂ａ₂＋･･･＋ｃnａn)
＝ｃ₁Ｆ(ａ₁)＋ｃ₂Ｆ(ａ₂)＋･･･＋ｃnＦ(ａn)
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.108より

よって、ｇ(ｆ(ｘ))＝０'となるｘは０のみである。よって、Kerｇ∋ｆ(ｘ)がただ１つで、
ｆ(０)＝０'よりKerｆ＝０
よって、ｆは１対１である。

念のため、この証明が使えるのは（ポイントにもあるように）Ｆが線型写像（厳密には準同型写像）の場合だけである。

ポイント
線型写像が１対１であることを示すには核を利用した方が証明が簡単になる。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著より

おまけ：

解説
＞ｎに関する帰納法で示す。ｎ＝１のとき、ａｘ（ａ≠０）なのでξ＝１とすればよい。

問題 8-7b
０でないｍ個の複素数係数１次式ｆj(ｘ₁,･･･,ｘn)＝ａj₁ｘ₁＋･･･＋ａjnｘn（ｊ＝１,･･･,ｍ）に対して、ｆ(ξ₁,･･･,ξn)がどれも０にならない有理数ξ₁,･･･,ξnがあることを示せ。

例えば、ｎ＝３とすると、
ａｘ₁＋ｂｘ₂＋ｃｘ₃＝０の式がｍ個縦に並ぶ訳だが、ｍの個数は当然ｎとは関係ない。
ところで、ｎ＝１の時、ａｘ＝０の式１つだけで、「０でないｍ個の複素数係数１次式」よりａ≠０　よって、ξ＝１とすると、ａξ≠０と出来るので、ｎ＝１の時は成り立つ。（念のため、１は有理数だから。）

＞ｎ－１＞０で問題の主張が正しいとする。ａj₁≠０をみたす１次式はａj₁^-1を掛けてａj₁＝１としてよい。

ｎ＝３の場合で考えると、ａｘ₁＋ｂｘ₂＋ｃｘ₃＝０の両辺にａ^-1を掛けても方程式を解くという事に関して何も変わらない。
つまり、「ｆ(ξ₁,･･･,ξn)がどれも０にならない有理数ξ₁,･･･,ξnがある」かどうかも同じように最初の項の係数の逆数ａj₁^-1を掛けても関係ない。

＞また１次式を並べ換えてｊ＝１,･･･,ｋまでａj₁＝１とし、残りはａj₁＝０と仮定してよい。

また、ｎ＝３の場合で考えると、
ａｘ₁＋ｂｘ₂＋ｃｘ₃＝０
ｄｘ₁＋ｅｘ₂＋ｆｘ₃＝０
・・・
とｍ個の数式がある訳だが、ｍ個中ｋ個の式の３つの係数は全て０ではないという事である。そして、少なくとも１つの係数に０がある式は、一番初めの項に０を持ってくるという事。

＞ｋ＝ｍのとき、ξ₁＝１，ξj＝０（ｊ≠１）とすればよい。

前回の解説を合わせて考えれば、ｍ個全ての数式の全ての係数に０がない場合である。
この場合は、当然、ξ₁＝１として他のξを全て０にすれば、全ての数式は≠０となり、成り立つ。つまり、ｎの時も成り立つ。
因みに、「ξj＝０（ｊ≠１）」とあるが、ｊを使ってはダメだろう。ｉにした方が良い。（ξ₁,･･･,ξnのｎとｍ（ｊ）は関係ないのだから。）

＞ｋ＜ｍのとき、帰納法の仮定よりｊ＞ｋに対してａj₂ξ₂＋･･･＋ａjnξn≠０をみたすξ₂,･･･,ξnをとる。次に、－(ａj₂ξ₂＋･･･＋ａjnξn)（ｊ＝１,･･･,ｋ）のどれとも等しくないξ₁をとる。

前々回の解説を合わせて考えると、ｋ個の数式の係数が全て０ではなくて、残りのｍ－ｋ個の数式の係数には少なくとも１つ０がある。
ここで、数学的帰納法の仮定よりｎ－１個の数式で、
ａj₂ξ₂＋･･･＋ａjnξn≠０をみたすξ₂,･･･,ξnを取れる。（念のため、これらの数式は全てｎ－１個の項数である。）
そして、－(ａj₂ξ₂＋･･･＋ａjnξn)（ｊ＝１,･･･,ｋ）のどれとも等しくないξ₁を取ると、
ξ₁＋ａj₂(-ξ₂)＋･･･＋ａjn(-ξn)≠０となり、ｎの時も成り立つ。（念のため、項数がｎ。）
因みに、－(ａj₂ξ₂＋･･･＋ａjnξn)（ｊ＝１,･･･,ｋ）の（ｊ＝１,･･･,ｋ）は誤りだと思います。（ｊ＝ｋ＋１,･･･,ｍ）ですよね。

おまけ：
https://www.bepal.net/archives/57763

問題
ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝７ｃｍ，ＣＡ＝５ｃｍである△ＡＢＣに円Ｏが図のように、Ｄ，Ｅ，Ｆで各辺に接している。
（１）面積比△ＡＥＦ：△ＡＢＣを求めよ。
（２）面積比△ＤＥＦ：△ＡＢＣを求めよ。
（８７　ラ・サール）
（３）ＡＤ，ＢＥ，ＣＦが１点で交わる事を証明して下さい。

解答
（１）ＡＥ＝ＡＦ＝ａ，ＢＤ＝ＢＦ＝ｂ，ＣＤ＝ＣＥ＝ｃとおくと、
ａ＋ｂ＝４・・・①
ｂ＋ｃ＝７・・・②
ｃ＋ａ＝５・・・③
①，②，③式を辺々加えて２でわることより、
ａ＋ｂ＋ｃ＝８・・・④
④から①，②，③式をそれぞれひくと、
ｃ＝４，ａ＝１，ｂ＝３
そこで、
△ＡＥＦ：△ＡＢＣ
＝ＡＦ×ＡＥ：ＡＢ×ＡＣ＝１：２０
（２）（１）より、
△ＡＥＦ＝(１/２０)△ＡＢＣ
同様に、
△ＢＤＦ＝(ＢＤ×ＢＦ/ＢＣ×ＢＡ)×△ＡＢＣ＝(９/２８)△ＡＢＣ
△ＣＤＥ＝(ＣＥ×ＣＤ/ＣＡ×ＣＢ)×△ＡＢＣ＝(１６/３５)△ＡＢＣ
よって、△ＤＥＦ：△ＡＢＣ
＝(△ＡＢＣ－△ＡＥＦ－△ＢＤＦ－△ＣＤＥ)：△ＡＢＣ
＝(１－１/２０－９/２８－１６/３５)△ＡＢＣ：△ＡＢＣ＝６：３５
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
初めのａ，ｂ，ｃを求める所は、参考書の欄外にも載っているように公式を使っても良い。参考書の初めの公式集より、
ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ＡＦ＝ＡＥ＝ｘと置くと、ｘ＝(ｂ＋ｃ－ａ)/２で求められる。
また、△ＡＥＦ：△ＡＢＣ
＝ＡＦ×ＡＥ：ＡＢ×ＡＣ
は、１つの角を共有した三角形の面積比の公式ある。（これも参考書の初めの公式集に載っている。図形編の「２４」）

（３）の解答
（１）より、ＡＥ＝ＡＦ＝１，ＢＤ＝ＢＦ＝３，ＣＤ＝ＣＥ＝４
ここで、ＡからＢＣと平行な直線を引き、ＢＥの延長との交点をＰ，ＣＦの延長との交点をＱとし、ＢＥとＣＦの交点をＲとすると、
△ＥＰＡ∽△ＥＢＣで相似比１：４より、ＡＰ＝(１/４)ＢＣ＝７/４
また、△ＦＱＡ∽△ＦＣＢで相似比１：３より、ＡＱ＝(１/３)ＢＣ＝７/３
∴ＡＰ：ＡＱ＝７/４：７/３＝３：４
ところで、△ＲＰＱ∽△ＲＢＣでＡＰ：ＡＱ＝ＤＢ：ＤＣ（＝３：４）なので、△ＲＰＡと△ＲＢＤも相似である。そして、ＢＲＰは一直線より対頂角の定理の逆により、ＡＲＤは一直線である。
よって、ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点Ｒで交わっている。

因みに、ＡＥ＝ＡＦ＝ａ，ＢＤ＝ＢＦ＝ｂ，ＣＤ＝ＣＥ＝ｃと置いて、チェバの定理を使えば一発である。そして、チェバの定理は参考書の初めの公式集に載っている。（図形編の「１６」）

おまけ：
https://eow.alc.co.jp/search?q=bow（尾崎豊は若い。まぁ、永遠に歳を取らないけど。）

解説
＞次にＵ∩Ｖからｆ^-1(０)への写像Ｆを、ｘ→Ｆ(ｘ)＝(ｘ,ｘ)と定める。

示したい事は、「ｆ^-1(０)はＵ∩Ｖと同型であること」なので、
橋渡しの写像Ｆ：Ｕ∩Ｖ→ｆ^-1(０)を考える訳である。そして、具体的には、上より、
ｘ→Ｆ(ｘ)＝(ｘ,ｘ)である。

＞このとき、ｘ∈KerＦとすれば、Ｆ(ｘ)＝(ｘ,ｘ)＝(０,０)となり、KerＦ＝０となる。

ここでは、Ｆが単射という事を示したのである。どういう事かというと、次の命題（２）からである。

命題
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'において、次の（１）,（２）が成り立つ。
（１）ｘ,ｙ∈Ｖに対し、Ｆ(ｘ)＝Ｆ(ｙ)⇔ｘ－ｙ∈Ｆ^-1(０)
（２）Ｆが１対１である⇔Ｆ^-1(０')＝０
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.120より

命題と定義
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対し、
（ⅰ）Ｖ'の零元０'のＦによる逆像
Ｆ^-1(０')＝{ａ∈Ｖ｜Ｆ(ａ)＝０'}
はＶの部分空間である。これをＦの核（kernel）といい、KerＦとも表す。
（ⅱ）は省略。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.110より

＞またｆ^-1(０)の任意の元を(ｘ,ｙ)，ｘ∈Ｕ，ｙ∈Ｖとすれば、ｘ＝ｙより、ｘ∈Ｕ∩Ｖ

ここでは、Ｆが全射という事を示した訳である。それさえ分かれば内容は読めば分かるだろう。

＞したがって、Ｆは１対１で上への写像となるので、ｆ^-1(０)≅Ｕ∩Ｖ

Ｆが線形写像かつ全単射ならばＦは同型写像という事である。（下の（１）より）

命題と定義
Ｕ，Ｖを線型空間，Ｆ：Ｕ→Ｖを線型写像とする。このとき、Ｆについて次の３条件はどの二つもたがいに同値である。
（１）ＦはＶの上への１対１の写像である。
（２）Ｆは逆写像Ｆ^-1：Ｖ→Ｕをもつ。
（３）ある線型写像Ｇ：Ｖ→Ｕがあって、Ｇ◦Ｆ＝Ｉ_U，Ｆ◦Ｇ＝Ｉ_V
これらのどれか一つの条件をみたすとき、Ｆは同型写像であるという。ＵはＶと同型であるといい、Ｕ≅Ｖで表す。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.118より

つまり、厳密には、Ｆが線形写像である事を示した方が良い。
「Ｕ∩Ｖからｆ^-1(０)への写像Ｆを、ｘ→Ｆ(ｘ)＝(ｘ,ｘ)と定める」より、
ｘ₁,ｘ₂∈Ｕ∩Ｖ，Ｆ(ｘ₁＋ｘ₂)＝(ｘ₁＋ｘ₂,ｘ₁＋ｘ₂)＝(ｘ₁,ｘ₁)＋(ｘ₂,ｘ₂)＝Ｆ(ｘ₁)＋Ｆ(ｘ₂)
∴Ｆ(ｘ₁＋ｘ₂)＝Ｆ(ｘ₁)＋Ｆ(ｘ₂)———①
また、Ｆ(ａｘ₁)＝(ａｘ₁,ａｘ₁)＝ａ(ｘ₁,ｘ₁)
＝ａＦ(ｘ₁)
∴Ｆ(ａｘ₁)＝ａＦ(ｘ₁)———②
①，②より、写像Ｆは線型性（和とスカラー倍）を保っているので線型写像である。

定義
Ｖ，Ｖ'を線型空間とする。写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'が二つの条件
（ⅰ）任意のａ,ｂ∈Ｖに対し、
Ｆ(ａ＋ｂ)＝Ｆ(ａ)＋Ｆ(ｂ)
（ⅱ）任意のａ∈Ｖ，任意のｃ∈Ｒに対し、
Ｆ(ｃａ)＝ｃＦ(ａ)
をみたすとき、Ｆを線型写像，一次写像などという。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.108より

また、Ｕ∩Ｖが線形空間である事は、次の問題から。

問題５
Ｖを線型空間，Ｗ₁,Ｗ₂⊆Ｖを部分空間とする。このとき
（１）Ｗ₁∩Ｗ₂もまたＶの部分空間であることを示せ。
（２）は省略。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.104より

また、ｆ^-1(０)が線形空間である事は、上より、

命題と定義
線型写像Ｆ：Ｖ→Ｖ'に対し、
（ⅰ）Ｖ'の零元０'のＦによる逆像
Ｆ^-1(０')＝{ａ∈Ｖ｜Ｆ(ａ)＝０'}
はＶの部分空間である。これをＦの核（kernel）といい、KerＦとも表す。
（ⅱ）は省略。
「よくわかる線型代数」有馬哲・石村貞夫著p.110より

で、Ｖが線型空間だから。

おまけ：

問題
ＡＢ＝１，ＡＣ＝√２である△ＡＢＣが、半径１の円Ｏに内接している。Ｂから線分ＡＯに垂線ＢＤを下し、ＢＤの延長とＡＣとの交点をＥとする。
（１）△ＡＢＥ∽△ＡＣＢを証明し、ＡＥの長さを求めよ。
（２）ＢＣの長さを求めよ。
（８６　白陵）

模範解答
（１）長さを図に書くと右のようになる（OA＝OB＝AB＝１，OA＝OC＝１，AC＝√２）ので、△ＯＡＢは正三角形，△ＯＡＣは直角二等辺三角形，∠ＯＡＢ＝∠ＡＯＢ＝６０°
これより、∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ＝９０°－６０°＝３０°・・・①
∠ＡＣＢ（円周角）＝∠ＡＯＢ（中心角）÷２＝３０°・・・②
∠Ａ共通と①，②より、
△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ（二角相等）・・・③
対応する辺の比をとって、
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＥ：ＡＢ
ゆえに、ＡＥ＝ＡＢ²/ＡＣ＝１²/√２
＝√２/２
（２）△ＡＢＤは３０°定規，△ＡＥＤは４５°定規，
よって、ＢＥ＝ＢＤ＋ＤＥ＝√３/２＋１/２
③より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＢ
よって、ＢＣ＝(ＡＣ/ＡＢ)×ＢＥ
＝(√６＋√２)/２
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

（１）の別解
半径が１よりＯＡ＝ＯＣ＝１　また、ＡＣ＝√２より１：１：√２で△ＯＡＣは直角二等辺三角形である。∴∠ＡＯＣ＝９０°
また、∠ＡＤＥ＝９０°より同位角が等しいので、ＤＥ∥ＯＣ
よって、同位角より∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＯ＝４５°∴∠ＡＥＢ＝４５°
また、円周角と中心角の関係より、
∠ＡＢＣ＝(１/２)∠ＡＯＣ＝４５°
∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＣ　また、∠Ａが共通より２角が等しいので、△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ
ＡＥは相似を利用するのが普通だが、△ＯＡＢが正三角形より△ＢＡＤが１：２：√３の直角三角形と△ＡＤＥが（上より）直角二等辺三角形である事を利用すると、ＡＢ＝１よりＡＤ＝１/２でＡＥ＝√２/２と一発で求まる。（逆に、これを利用して二辺比と挟角で△ＡＢＥ∽△ＡＣＢを言っても良いが、それだと問題文に反する。脱法でセーフかもしれないが。）
（２）の別解は次回。

おまけ：

問題
ＡＢ＝１，ＡＣ＝√２である△ＡＢＣが、半径１の円Ｏに内接している。Ｂから線分ＡＯに垂線ＢＤを下し、ＢＤの延長とＡＣとの交点をＥとする。
（１）△ＡＢＥ∽△ＡＣＢを証明し、ＡＥの長さを求めよ。
（２）ＢＣの長さを求めよ。
（８６　白陵）

（２）の別解１
（２）は△ＯＢＣに注目し、ＯからＢＣに垂線を下して、発展事項p.59（15°,75°の直角三角形）の公式をつかえば、一発で出るが･･･
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
条件より△ＯＡＢは正三角形で△ＯＡＣは直角二等辺三角形より、∠ＡＯＢ＝６０°，∠ＡＯＣ＝９０°∴∠ＢＯＣ＝６０°＋９０°＝１５０°
また、半径よりＯＢ＝ＯＣ　よって、△ＯＢＣは頂角が１５０°の二等辺三角形より、ＯからＢＣに垂線を下ろし１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比を使うと、ＯＢ＝ＯＣ＝１より、
ＢＣ＝２×{(√６＋√２)/４}
＝(√６＋√２)/２

別解１の系
△ＯＢＣは頂角が１５０°の二等辺三角形までは同じ。ここで、ＢＯの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、内対角の和より、∠ＣＯＨ＝１５°×２＝３０°よって、△ＣＯＨは１：２：√３の直角三角形である。
∴ＣＨ＝１/２，ＯＨ＝√３/２　∴ＢＨ＝１＋√３/２　よって、△ＢＣＨで三平方の定理を使うと、ＢＣ²＝(１/２)²＋{１＋√３/２}²
＝１/４＋１＋√３＋３/４＝２＋√３
＝(４＋２√３)/２＝(√３＋１)²/２
ＢＣ＞０より、
ＢＣ＝(√３＋１)/√２＝(√６＋√２)/２

別解２
条件より△ＯＡＢは正三角形で△ＯＡＣは直角二等辺三角形。∴∠ＡＯＢ＝６０°，∠ＡＯＣ＝９０°よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＡＣＢ＝６０°×(１/２)＝３０°
∠ＡＢＣ＝９０°×(１/２)＝４５°
ここで、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＨは直角二等辺三角形で△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形になる。
ＡＢ＝１より、ＢＨ＝ＡＨ＝１√２，
ＣＨ＝√３ＡＨ＝√３/√２
∴ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝１/√２＋√３/√２
＝(√３＋１)/√２＝(√６＋√２)/２

おまけ：

問題
一辺の長さが４ｃｍの正三角形ＡＢＣがある。図のように、Ｂを中心とする半径４ｃｍの弧ＡＣ，Ｃを中心とする半径４ｃｍの弧ＡＢをかき、弧ＡＢ，弧ＡＣの中点をそれぞれＤ，Ｅとする。
（ⅰ）線分ＤＥの長さを求めなさい。
（ⅱ）三角形ＡＤＥの面積を求めなさい。
（９１　東京学芸大付）

模範解答
（ⅰ）Ａ，Ｄから辺ＢＣに下した垂線の足をＡ'，Ｄ'とする。△ＣＤＤ'は３０°定規なので、
ＣＤ'＝(√３/２)ＣＤ＝(√３/２)×４＝２√３
よって、ＤＥ＝２Ｄ'Ａ'＝２(ＣＤ'－ＣＡ')
＝２(２√３－２)＝４(√３－１)（ｃｍ）
（ⅱ）△ＣＡＤは頂角∠ＡＣＤが３０°の二等辺三角形だから、
∠ＣＡＤ＝(１８０°－３０°)÷２＝７５°
同様に、∠ＢＡＥ＝７５°
∴∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＢＡＥ－∠ＢＡＣ
＝７５°＋７５°－６０°＝９０°
よって、△ＡＤＥは（ⅰ）より、斜辺が４(√３－１)の直角二等辺。
△ＡＤＥ＝ＤＥ×(１/２)ＤＥ×(１/２)
＝(１/４)×{４(√３－１)}²＝１６－８√３（ｃｍ²）
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

別解１
（ⅰ）∠ＤＣＢ＝６０°÷２＝３０°よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＤＡＢ＝(１/２)∠ＤＣＢ＝１５°
同様に、∠ＥＡＣ＝１５°（対称性からと言っても良い。）
また、∠ＢＡＣ＝６０°より、
∠ＤＡＥ＝１５°×２＋６０°＝９０°
よって、対称性より△ＡＤＥは直角二等辺三角形である。よって、ＡＤの長さを求めれば良い。
ここで、△ＣＡＤが頂角が３０°の二等辺三角形である事とＣＡ＝４ｃｍから１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比を使うと、ＡＤ＝２(√６－√２)ｃｍと一発で求まるが、それは使わない。
ＡＢとＣＤの交点をＦとすると、ＦはＡＢの中点でＡＢ⊥ＣＤ　また、△ＣＡＦは１：２：√３の直角三角形である。
∴ＤＦ＝４－２√３ｃｍ，ＡＦ＝２ｃｍ
よって、△ＡＤＦで三平方の定理を使うと、
ＡＤ＝√{(４－２√３)²＋２²}
＝√(１６＋１２－１６√３＋４)
＝√(３２－１６√３)＝４√(２－√３)ｃｍ
∴ＤＥ＝√２ＡＤ＝√２・４√(２－√３)
＝４√(４－２√３)＝４√(√３－１)²
＝４(√３－１)ｃｍ
よって、答えは、４(√３－１)ｃｍ
（ⅱ）△ＡＤＥは直角二等辺三角形より、
△ＡＤＥ＝ＡＤ²/２＝{４√(２－√３)}²/２
＝８(２－√３)ｃｍ²
よって、答えは、８(２－√３)ｃｍ²

二重根号を使わない普通の中学生用の別解２は次回。念のため、普通の中学生の知識だけという事で簡単という意味ではない。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-11943874085.html

問題
一辺の長さが４ｃｍの正三角形ＡＢＣがある。図のように、Ｂを中心とする半径４ｃｍの弧ＡＣ，Ｃを中心とする半径４ｃｍの弧ＡＢをかき、弧ＡＢ，弧ＡＣの中点をそれぞれＤ，Ｅとする。
（ⅰ）線分ＤＥの長さを求めなさい。
（ⅱ）三角形ＡＤＥの面積を求めなさい。
（９１　東京学芸大付）

別解２
（ⅰ）ＡＢとＣＤの交点をＦとすると、ＣＦ⊥ＡＢ，∠ＤＣＢ＝６０°÷２＝３０°より△ＦＣＢは１：２：√３の直角三角形。
∴ＤＦ＝４－２√３ｃｍ
また、ＤＥとＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＧ，Ｈとすると、対称性からＤＥ∥ＢＣより、△ＦＤＧ∽△ＦＣＢ　よって、△ＦＤＧも１：２：√３の直角三角形である。
∴ＤＧ＝(２/√３)ＤＦ
＝(２/√３)(４－２√３)＝８/√３－４
＝８√３/３－４ｃｍ
対称性から、ＥＨ＝ＤＧ＝８√３/３－４ｃｍ
また、△ＡＧＨ∽△ＡＢＣより△ＡＧＨも正三角形。∴ＧＨ＝ＡＢ＝ＡＦ－ＧＦ
＝ＡＦ－ＤＧ/２＝２－(４√３/３－２)
＝４－４√３/３ｃｍ
∴ＤＥ＝２ＤＧ＋ＧＨ
＝２(８√３/３－４)＋４－４√３/３
＝１６√３/３－８＋４－４√３/３
＝４√３－４ｃｍ
∴ＤＥ＝４(√３－１)ｃｍ
（ⅱ）模範解答のように△ＡＤＥが直角二等辺三角形である事を言っても良いし、私の別解１のように△ＡＤＥが直角二等辺三角形である事を言っても良い。とにかく、△ＡＤＥは斜辺が４(√３－１)ｃｍの直角二等辺三角形より、
△ＡＤＥ＝{４(√３－１)}²/４
＝４(√３－１)²＝４(４－２√３)
＝８(２－√３)ｃｍ²
よって、答えは、８(２－√３)ｃｍ²

おまけ：
https://www.instagram.com/ugakimisato.mg/p/C6-_domy1pO/?img_index=6

解説
＞ｐ(ｘ)を求める計算から、その根はｘ⁴＝２(２＋ｉ)⁴とその複素共役ｘ⁴＝２(２－ｉ)⁴の８つの根である。

「（２）で計算したβ⁴を利用すると(β⁴＋１４)²＝－４８²である。よってβは
(ｘ⁴＋１４)²＋４８²＝ｘ⁸＋２８ｘ⁴＋２５００」
で、ｐ(ｘ)＝ｘ⁸＋２８ｘ⁴＋２５００より、その根の１つはβである。
そして、上より、β⁴＝２(２＋ｉ)⁴
∴ｘ⁴＝２(２＋ｉ)⁴
ところで、実数係数の方程式の１つの根の複素共役も根であるので、
{ｘ⁴－２(２＋ｉ)⁴}{ｘ⁴－２(２－ｉ)⁴}＝０である。一応、展開して確認すると、
ｘ⁸－２{(２＋ｉ)⁴＋(２－ｉ)⁴}ｘ⁴＋４(２＋ｉ)⁴(２－ｉ)⁴＝０———①
また、ａ⁴＋ｂ⁴＝(ａ²＋ｂ²)²－２ａ²ｂ²より、
(２＋ｉ)⁴＋(２－ｉ)⁴
＝{(２＋ｉ)²＋(２－ｉ)²}²－２(２＋ｉ)²(２－ｉ)²
＝(３＋２ｉ＋３－２ⅰ)²－２(４＋１)²
＝３６－５０＝－１４———②
４(２＋ｉ)⁴(２－ｉ)⁴＝４(４＋１)⁴＝２²・５⁴
＝１０²・５²＝２５００———③
②，③を①に代入すると、
ｘ⁸－２(－１４)ｘ⁴＋２５００＝０
∴ｘ⁸＋２８ｘ⁴＋２５００＝０
よって、ＯＫ。

＞解説した後、全く別にｘ⁸＋２８ｘ⁴＋２５００＝０の解を８つ求めてみて下さい。

(ｘ⁴＋５０)²－７２ｘ⁴＝０
∴(ｘ⁴＋５０＋６√２ｘ²)(ｘ⁴＋５０－６√２ｘ²)＝０
∴ｘ⁴±６√２ｘ²＋５０＝０
これを２次方程式の解の公式で解くと、
ｘ⁴＋６√２ｘ²＋５０＝０の方は、
ｘ²＝－３√２±√(１８－５０)
＝－３√２±√３２ⅰ
＝－３√２±４√２ⅰ
＝√２(－３±４ⅰ)
∴ｘ²＝√２(－３±４ⅰ)———①
ｘ⁴－６√２ｘ²＋５０＝０の方は、
ｘ²＝３√２±√(１８－５０)
＝３√２±√３２ⅰ
＝３√２±４√２ⅰ
＝√２(３±４ⅰ)
∴ｘ²＝√２(３±４ⅰ)———②
①より、
ｘ＝±⁴√２・√{(１±２ⅰ)²}
＝±⁴√２(１±２ⅰ)
②より、
ｘ＝±⁴√２・√{(２±ⅰ)²}
＝±⁴√２(２±ⅰ)
よって、解は、
ｘ＝±⁴√２(１±２ⅰ)，±⁴√２(２±ⅰ)
の８つ。
これが上の「±⁴√２(２＋ｉ)，±⁴√２(２＋ｉ)ⅰ，±⁴√２(２－ｉ)，±⁴√２(２－ｉ)ⅰ」と合うか確認すると、
私の方の後半４つは、±⁴√２(２＋ｉ)と±⁴√２(２－ｉ)で合い、
残りの±⁴√２(２＋ｉ)ⅰと±⁴√２(２－ｉ)ⅰのｉを展開すれば、私の方の前半の４つの±⁴√２(１±２ⅰ)に合う事が分かるだろう。
ただし、私の方の解法は複素数の因数分解には一意性がないので補足解説が必要である。（興味がないのでスルー。）

＞先の２次式とここの１個の積はどれもｘ²に⁴√３の整数倍≠０があるので、ｑ(ｘ)には一致しない。したがってｑ(ｘ)は上の４つの２次式すべてで割り切れ、ｐ(ｘ)は既約である。

先の２次式はｘ²－４⁴√２ｘ＋５⁴√４で、
ここの１個をｘ²＋４⁴√２ｘ＋５⁴√４とすると、その積は、
(ｘ²－４⁴√２ｘ＋５⁴√４)(ｘ²＋４⁴√２ｘ＋５⁴√４）で、ｘ²の係数は、
５⁴√４＋(－４⁴√２)(４⁴√２)＋５⁴√４
＝－６⁴√４
よって、上の「⁴√３」は「⁴√４」の誤植である。（「ｘ²に⁴√３の整数倍≠０がある」は、５と－１６と５の事。また、合計が－６≠０という事。）
全体的には、先の式にここの式の全部を掛けないと有理数係数にならず、全部かけるとｑ(ｘ)＝ｐ(ｘ)となり、ｑ(ｘ)は（求め方から）既約多項式なので、ｐ(ｘ)も既約多項式になるという事。

おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/SARD_UNDERGROUND

図の解説を忘れましたね。

問題
線分ＡＢを直径とする半径１の半円の周を６等分し、図のように２点Ｃ，Ｄをとった。２直線ＣＤ，ＡＢの交点をＥとするとき、線分ＣＤ，ＢＥの長さを求めよ。
（９１　慶応女子）

半円の直径を左から右にＡＢとし、Ａから６等分点の２個目を点Ｃ，Ｂから６等分点の１個目をＤとした図。

問題
線分ＡＢを直径とする半径１の半円の周を６等分し、図のように２点Ｃ，Ｄをとった。２直線ＣＤ，ＡＢの交点をＥとするとき、線分ＣＤ，ＢＥの長さを求めよ。
（９１　慶応女子）

半円の直径を左から右にＡＢとし、Ａから６等分点の２個目を点Ｃ，Ｂから６等分点の１個目をＤとした図。

模範解答
半円の中心ＯとＣ，Ｄを結ぶ。半円周は円周角で９０°にあたるから、これを６等分した１つ（の弧の円周角）は、９０°÷６＝１５°
これを図示すると右下図（弧ＡＣの所に３０，弧ＣＤの所に４５，弧ＢＤの所に１５，ＯＣ，ＯＤの所に１と書かれた図）。
∠ＣＯＤ（中心角）＝４５°×２＝４５°より、網目部（△ＯＣＤ）は４５°定規だから、ＣＤ＝√２ＯＣ＝√２
次に、∠ＡＥＣは、３０°－１５°＝１５°（基本図３５）
よって、∠Ｅ＝∠ＢＣＥ
ＢＥ＝ＢＣ＝√３ＯＢ＝√３（基本図５２）
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

解説
基本図３５はアルハゼンの定理です。http://yosshy.sansu.org/theorem/alhazen.htm（２の方。）
基本図５２は頂角が１２０°の二等辺三角形の二辺比１：√３です。

私の解法（基本的にあまり変わらない）
半円の中心をＯとして、ＯＣ，ＯＤを結ぶと、弧ＣＤは半円の３/６＝１/２なので、
中心角∠ＣＯＤ＝１８０°÷２＝９０°
また、半径よりＯＣ＝ＯＤ＝１なので、直角二等辺三角形より、ＣＤ＝√２である。
次に、ＢＣを結ぶと、弧ＡＣは半円の２/６＝１/３より、∠ＡＯＣ＝１８０°÷３＝６０°
よって、∠ＡＢＣ＝６０°×(１/２)＝３０°
また、弧ＢＤは半円の１/６より∠ＢＣＤ＝１５°である。よって、△ＢＣＥの内対角の和より、∠Ｅ＝３０°－１５°＝１５°
よって、∠ＢＣＤ＝∠Ｅより△ＢＣＥは二等辺三角形である。∴ＢＥ＝ＢＣ
ところで、ＡＢは直径より∠ＡＣＢ＝９０°で∠ＡＢＣ＝３０°より△ＡＢＣは１：２：√３の直角三角形。また、直径よりＡＢ＝２だから、ＢＣ＝√３である。∴ＢＥ＝√３
分かり易さは違うと思います。

あまり意味がない別解
Ｂから２個目の６等分点をＦとして、ＣＦを結ぶと対称性からＣＦ∥ＡＢ
よって、ＢＦを結びＣＥとの交点をＧとすると、△ＧＣＦ∽△ＧＥＢ
また、ＢＣを結ぶと同じ長さの弧の円周角は等しいので、∠ＢＣＤ＝∠ＦＣＤ
よって、△ＣＢＦで角の二等分線の定理を使うと、ＢＧ：ＧＦ＝ＣＢ：ＣＦ＝√３：１（これは△ＦＣＢが頂角が１２０°の二等辺三角形から言っても良いが、△ＯＣＦが正三角形で△ＡＢＣが１：２：√３の直角三角形から言った方が無難だろう。）
よって、△ＧＣＦ∽△ＧＥＢの相似比は１：√３　また、△ＯＣＦは正三角形よりＣＦ＝１　∴ＢＥ＝√３

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/f43d8a970bee4599fb2f874bdfceb984e5c803eb

解説
＞ｐ(ｘ)の根は本文のとおり、±³√２(１－ω)，±³√２(１－ω²)，±³√２ω(１－ω)である。
注：本文とは、
「ｐ(ｘ)＝(ｘ²－β²)(ｘ²－β²ω)(ｘ²－β²ω²)＝ｘ⁶－β⁶＝ｘ⁶＋１０８
β＝α₁－α₂＝³√２(１－ω)

ｐ(ｘ)の根は、ｘ＝±β，±β√ω，±βω
また、β＝³√２(１－ω)より、
ｘ＝±³√２(１－ω)，±³√２(１－ω)√ω，
±³√２ω(１－ω)
よって、±³√２(１－ω)√ωが±³√２(１－ω²)になる事を示せば良い。
つまり、√ω＝１＋ωならば良い。
２乗すると、ω＝(１＋ω)²＝１＋２ω＋ω²
よって、ω²＋ω＋１＝０で合うので問題なし。

＞³√２(１－ω)を根に持つｐ(ｘ)の既約因子をｑ(ｘ)とおくと、ｑ(ｘ)は有理数係数だから、³√２(１－ω)の複素共役³√２(１－ω²)も根に持つ。

まず、³√２(１－ω)の複素共役が³√２(１－ω²)である理由は、
ω＝(－１＋√３ｉ)/２より、
ω²＝{(－１＋√３ｉ)/２}²＝(－２－√３ｉ)/４
＝(－１－√３ｉ)/２
よって、ωとω²は共役関係である。
よって、³√２(１－ω)と³√２(１－ω²)も共役関係という事。
次に、「ｑ(ｘ)は有理数係数だから、³√２(１－ω)の複素共役³√２(１－ω²)も根に持つ」理由は、次の定理から。

定理
α∈ℂがｆ(Ｘ)∈ℝ[Ｘ]の根⇔|α∈ℂがｆ(Ｘ)の根
ただし、|αは複素数αの共役複素数を表す。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著（第３章§４演習問題６（４））より

つまり、有理数とは限らず実数ならば成り立つ話である。

＞(ｘ－³√２(１－ω))(ｘ－³√２(１－ω²))
＝ｘ²－３³√２ｘ＋３³√４

(ｘ－³√２(１－ω))(ｘ－³√２(１－ω²))
＝ｘ²－³√２(２－ω－ω²)ｘ＋³√４(１－ω)(１－ω²)
ここで、ω²＋ω＋１＝０より、－ω－ω²＝１を代入すると、
＝ｘ²－³√２ｘ＋³√４(１－ω)(１－ω²)
＝ｘ²－³√２ｘ＋³√４(１－ω²－ω＋ω³)
また、ω³＝１，－ω²－ωを代入すると、
＝ｘ²－³√２ｘ＋３³√４

＞残りの根についても複素共役を考えると、
(ｘ＋³√２(１－ω))(ｘ＋³√２(１－ω²))
＝ｘ²＋３³√２ｘ＋３³√４
(ｘ－³√２ω(１－ω))(ｘ＋³√２ω(１－ω))
＝ｘ²＋３³√４

根は、±³√２(１－ω)，±³√２(１－ω²)，±³√２ω(１－ω)で、実は６個中２個ずつが共役関係になっている。つまり、
³√２(１－ω)と³√２(１－ω²)（これは上で確認した）
－³√２(１－ω)と－³√２(１－ω²)（これは自明）
³√２ω(１－ω)と－³√２ω(１－ω)だが、これを確認するには、³√２ω(１－ω)のωをω²にして、－³√２ω(１－ω)となれば良い。
よって、³√２ω²(１－ω²)＝³√２ω²－ω⁴
＝³√２ω(ω－ω³)＝³√２ω(ω－１)
＝－³√２ω(１－ω)
よって、ＯＫ。
あとは、
(ｘ－³√２ω(１－ω))(ｘ＋³√２ω(１－ω))
＝ｘ²＋３³√４
これを確認すれば良い。
(ｘ－³√２ω(１－ω))(ｘ＋³√２ω(１－ω))
＝ｘ²－³√４ω²(１－ω)²
＝ｘ²－³√４ω²(１－２ω＋ω²)
＝ｘ²－³√４(ω²－２ω³＋ω⁴)
＝ｘ²－³√４(ω²－２＋ω)
＝ｘ²－³√４(－２－１)
＝ｘ²＋３³√４
よって、ＯＫ。

＞これらの因子を２つとも含まない限り、ｑ(ｘ)は有理数係数にはならない（１つしか含まなければ、ｐ(ｘ)をｑ(ｘ)で割った商が上の残りの１つになり、係数に³√２が現れ矛盾する）。よってｑ(ｘ)＝ｐ(ｘ)となりｐ(ｘ)は既約である。

読めば分かるので解説は省略。

おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/news/entertainment/tbs%E6%B8%A1%E9%83%A8%E5%B3%BB%E3%82%A2%E3%83%8A%E3%81%AE-%E6%9C%9D%E3%81%BE%E3%81%A7%E6%B3%A5%E9%85%94-%E6%B0%91%E5%AE%B6%E4%BE%B5%E5%85%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%96%E3%83%AB-%E3%81%A7%E5%A4%A7%E8%BF%B7%E6%83%91%E3%82%92%E8%A2%AB%E3%81%A3%E3%81%9F-%E5%85%88%E8%BC%A9%E7%BE%8E%E4%BA%BA%E3%82%A2%E3%83%8A-%E3%81%AE%E6%86%A4%E6%BF%80%E8%A2%AB%E5%AE%B3/ar-BB1or0fj?ocid=msedgntp&pc=U531&cvid=eae683259c774a738d50ede2a92ce2ca&ei=14

問題
一辺の長さが４ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐ，Ｑは同時にＡを出発し、周上を、ＰはＢを通ってＣまで、ＱはＤを通ってＣまで、ともに毎秒１ｃｍの速さで動く。次の問いに答えよ。
（１）△ＡＰＱが正三角形になるのは、Ａを出発してから何秒後か。
（２）△ＡＰＱの面積が線分ＢＤで２等分されるのは、Ａを出発してから何秒後か。
（８８　筑波大付駒場）

模範解答
（１）△ＡＰＱが正三角形になるときの図を描くと、右図（ＰＱとＡＣの交点をＨとし、△ＡＰＨを網目で△ＨＰＣを斜線にした図）。
ここで、網目部（△ＡＰＨ），斜線部（△ＨＰＣ）がそれぞれ６０°定規，４５°定規であることを考え、ＣＨ＝ｘとおくと、
ＰＨ＝ｘ，ＡＨ＝√３ｘ，ＰＣ＝√２ｘ
よって、ＡＣ＝４√２＝ＡＨ＋ＨＣ＝√３ｘ＋ｘ＝(√３＋１)ｘより、
ｘ＝４√２/(√３＋１)
＝４√２(√３－１)/(√３＋１)(√３－１)
＝２(√６－√２)
そこで、ＡＢ＋ＢＰ＝ＡＢ＋(ＢＣ－ＰＣ)
＝４＋{４－√２×２(√６－√２)}
＝１２－４√３
この距離(ＡＢ＋ＢＰ)をＰが毎秒１秒で動くのだから、(１２－４√３)÷１で、
１２－４√３秒後
《別解》ＢＰ＝ＢＣ－ＣＰ＝４－√２ｘ，ＡＰ＝２ＰＨ＝２ｘより、△ＡＢＰに三平方の定理を用いて解く方法もある。
（２）対称性から、ＰＱ∥ＢＤ
そこで、右図（ＢＤとＡＰ，ＡＱとの交点をそれぞれＲ，Ｓとした図）で、△ＡＲＳ∽△ＡＰＱ
この２つの三角形の面積比が１：２であることから、相似比はＡＲ：ＡＰ＝１：√２
よって、ＡＤ：ＢＰ＝ＡＲ：ＲＰ＝１：(√２－１)
ＡＢ＋ＢＰ＝ＡＢ＋(√２－１)ＡＤ＝４√２（ｃｍ）より、４√２秒後
「高校への数学　日日のハイレベル演習」より

（１）の別解１
△ＡＰＱが正三角形になるのがｘ秒後とすると、ＢＰ＝ｘ－４ｃｍ，ＡＢ＝４ｃｍより△ＡＢＰで三平方の定理を使うと、
ＡＰ＝√{(ｘ－４)²＋４²}＝√(ｘ²－８ｘ＋３２)ｃｍ———①
また、ＰＣ＝８－ｘｃｍで対称性から△ＣＰＱは直角二等辺三角形になるので、
ＰＱ＝√２(８－ｘ)ｃｍ———②
ところで、①＝②より、
√(ｘ²－８ｘ＋３２)＝√２(８－ｘ)
∴ｘ²－８ｘ＋３２＝２(８－ｘ)²
∴ｘ²－８ｘ＋３２＝２ｘ²－３２ｘ＋１２８
∴ｘ²－２４ｘ＋９６＝０
∴ｘ＝１２±√(１４４－９６)
＝１２±√４８＝１２±４√３
ところで、ＰＣ＝８－ｘ＞０より、ｘ＜８
∴ｘ＝１２－４√３
よって、答えは、１２－４√３秒後

別解２
△ＡＰＱが正三角形になるのがｘ秒後とする。
また、ＡＣとＰＱの交点をＨとすると、△ＨＰＣは直角二等辺三角形で△ＡＰＨは１：２：√３の直角三角形になる。
ところで、ＰＣ＝８－ｘより、ＨＣ＝ＨＰ＝(８－ｘ)/√２，ＡＨ＝√３ＰＨ＝√３(８－ｘ)/√２　また、ＡＣ＝４√２より、
(８－ｘ)/√２＋√３(８－ｘ)/√２＝４√２が成り立つ。
∴８－ｘ＋√３(８－ｘ)＝８
∴８(√３＋１)－(√３＋１)ｘ＝８
∴(√３＋１)ｘ＝８√３
∴ｘ＝８√３/(√３＋１)
＝４√３(√３－１)＝１２－４√３
よって、答えは、１２－４√３秒後

（２）は次回。

おまけ：

問題
一辺の長さが４ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐ，Ｑは同時にＡを出発し、周上を、ＰはＢを通ってＣまで、ＱはＤを通ってＣまで、ともに毎秒１ｃｍの速さで動く。次の問いに答えよ。
（１）△ＡＰＱが正三角形になるのは、Ａを出発してから何秒後か。
（２）△ＡＰＱの面積が線分ＢＤで２等分されるのは、Ａを出発してから何秒後か。
（８８　筑波大付駒場）

（２）の別解
△ＡＰＱの面積が線分ＢＤで２等分される時をｘ秒後とする。
また、ＡＰ，ＡＱとＢＤとの交点をそれぞれＲ，Ｓとすると、対称性からＢＤ∥ＰＱよりＲＳ∥ＰＱ　よって、△ＡＲＳ∽△ＡＰＱで面積比が１：２より相似比は１：√２である。
∴ＡＲ：ＡＰ＝１：√２
ところで、ＢＰ＝ｘ－４ｃｍ，ＡＤ＝４ｃｍで△ＲＢＰ∽△ＲＤＡより、ＡＲ：ＰＲ＝ＡＤ：ＢＰ＝４：ｘ－４
∴ＡＲ：ＡＰ＝４：４＋(ｘ－４)＝４：ｘ
よって、４：ｘ＝１：√２を解くと、
ｘ＝４√２　よって、答えは、４√２秒後
基本的には模範解答と同じ解法ですが、こちらの方が分かり易いと思います。

因みに、相似を使わない場合はちょっと面倒臭いです。

別解
△ＡＰＱの面積が線分ＢＤで２等分される時をｘ秒後とする。
ＢＰ＝ｘ－４ｃｍ，ＡＤ＝４ｃｍで△ＲＢＰ∽△ＲＤＡより、ＢＲ：ＲＤ＝ｘ－４：４
また、対称性よりＤＳ：ＳＢ＝ｘ－４：４
∴ＢＤ：ＲＳ＝(ｘ－４)＋４：４－(ｘ－４)＝ｘ：－ｘ＋８　また、ＢＤ＝４√２ｃｍより、
ＲＳ＝{(－ｘ＋８)/ｘ}ＢＤ
＝{(－ｘ＋８)/ｘ}×４√２
＝４√２(－ｘ＋８)/ｘｃｍ
また、ＡからＲＳに下した垂線の長さは、ｈ＝２√２ｃｍなので、
△ＡＲＳ＝{４√２(－ｘ＋８)/ｘ}×２√２×(１/２)
＝８(－ｘ＋８)/ｘ———①
また、△ＡＰＱ＝正方形ＡＢＣＤ－△ＡＢＰ×２－△ＣＰＱ
＝１６－(ｘ－４)×４×(１/２)×２－(８－ｘ)²/２
＝１６－４ｘ＋１６－(８－ｘ)²/２
＝４(８－ｘ)－(８－ｘ)²/２———②
ところで条件より、②＝①×２
∴４(８－ｘ)－(８－ｘ)²/２＝１６(８－ｘ)/ｘ
８－ｘ≠０より両辺を８－ｘで割ると、
４－(８－ｘ)/２＝１６/ｘ
∴ｘ/２＝１６/ｘ　∴ｘ²＝３２
∴ｘ＝４√２
よって、答えは、４√２秒後

念のため、私は相似で秒殺でした。

おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A6%E3%83%A0%E7%9C%9F%E7%90%86%E6%95%99%E3%81%AE%E4%BF%AE%E8%A1%8C