数学

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題１６
可換環Ｒの真のイデアルＩ₁,･･･,Ｉn（ｎ≧２）が２つずつ互いに素であるとする。すなわち、ｉ≠ｊのときＩi＋Ｉj＝Ｒである（§２演習問題１２参照）。このとき、次が成り立つことを示せ（中国式剰余の定理）。
（１）(Ｉ₁Ｉ₂･･･Ｉi-₁Ｉi+₁･･･Ｉn)＋Ｉi＝Ｒ（ｉ＝１,･･･,ｎ）
（２）Ｉ₁∩･･･∩Ｉn＝Ｉ₁･･･Ｉn
（３）Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn)≃Ｒ/Ｉ₁×･･･×Ｒ/Ｉn

証明
（１）は前回済み。
（２）Ｉ₁∩･･･∩Ｉn＝Ｉ₁･･･Ｉn
ｎについての帰納法で証明する。ｎ＝２のときは、§２演習問題１２（２）である。
ｎ＞２として、ｎ－１まで成り立つと仮定する。（１）よりＩ₁･･･Ｉn-₁＋Ｉn＝Ｒであるから、
Ｉ₁∩･･･∩Ｉn＝(Ｉ₁∩･･･∩Ｉn-₁)∩Ｉn
＝(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)∩Ｉn（帰納法の仮定）
＝(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)Ｉn（ｎ＝２の場合）
＝Ｉ₁･･･Ｉn
（３）ｎについての帰納法で証明する。
（ⅰ）ｎ＝２のとき、すなわち「Ｉ₁＋Ｉ₂＝Ｒ⇒Ｒ/(Ｉ₁∩Ｉ₂)≃Ｒ/Ｉ₁×Ｒ/Ｉ₂」を証明する。
ｆ：Ｒ→Ｒ/Ｉ₁×Ｒ/Ｉ₂（ａ→ｆ(ａ)＝(|ａ,~ａ)）
なる写像ｆを考える。ただし、|ａ＝ａ＋Ｉ₁，~ａ＝ａ＋Ｉ₂とする。
●ｆは準同型写像である。
ｆ(ａ＋ｂ)＝（|(ａ＋ｂ),~(ａ＋ｂ)）
＝（|ａ＋|ｂ,~ａ＋(~ｂ)）
＝(|ａ,~ａ)＋(|ｂ,~ｂ)
＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)
ｆ(ａｂ)＝（|(ａｂ),~(ａｂ)）
＝（|ａ|ｂ,~ａ~ｂ）
＝(|ａ,~ａ)・(|ｂ,~ｂ)
＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)
●kerｆ＝Ｉ₁∩Ｉ₂である。
ａ∈kerｆ⇔ｆ(ａ)＝(|０,~０)⇔(|ａ,~ａ)＝(|０,~０)
⇔|ａ＝|０，~ａ＝~０⇔ａ∈Ｉ₁，ａ∈Ｉ₂
⇔ａ∈Ｉ₁∩Ｉ₂
●ｆは全射である。Ｒ/Ｉ₁×Ｒ/Ｉ₂の任意の元は、あるａ,ｂ∈Ｒがあって(|ａ,~ｂ)と表される。
一方、Ｉ₁＋Ｉ₂＝Ｒよりｒ＋ｓ＝１（ｒ∈Ｉ₁，ｓ∈Ｉ₂）なる関係がある。このとき、ｒ∈Ｉ₁より|ｒ＝|０，ｓ∈Ｉ₂より~ｓ＝~０であるから、
|１＝|(ｒ＋ｓ)＝|ｒ＋|ｓ＝|ｓ
~１＝~(ｒ＋ｓ)＝~ｒ＋(~ｓ)＝~ｒ
となっている。ゆえに、
|ｒ＝|０，~ｒ＝~１，|ｓ＝|１，~ｓ＝~０
そこで、ｘ＝ａｓ＋ｂｒ∈Ｒなる元を考えると
|ｘ＝|(ａｓ＋ｂｒ)＝|ａ|ｓ＋|ｂ|ｒ
＝|ａ・|１＋|ｂ・|０＝|ａ
~ｘ＝~(ａｓ＋ｂｒ)＝(~ａ)(~ｓ)＋(~ｂ)(~ｒ)
＝~ａ・~０＋~ｂ・~１＝~ｂ
以上より、ｆ(ｘ)＝(|ｘ,~ｘ)＝(|ａ,~ｂ)が成り立つので、ｆは全射である。
ｆに準同型定理3.5を適用すると
Ｒ/Ｉ₁Ｉ₂＝Ｒ/(Ｉ₁∩Ｉ₂)＝Ｒ/kerｆ≃Ｒ/Ｉ₁×Ｒ/Ｉ₂
（ⅱ）ｎ＞２として、ｎ－１まで成り立つと仮定する。（１）よりＩ₁･･･Ｉn-₁＋Ｉn＝Ｒであるから、
(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)∩Ｉn＝(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)Ｉn＝Ｉ₁･･･Ｉnに注意すると、
Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn)＝Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn-₁・Ｉn)
＝Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)×Ｒ/Ｉn（（ⅰ）より）
＝(Ｒ/Ｉ₁×･･･×Ｒ/Ｉn-₁)×Ｒ/Ｉn
（帰納法の定義）
＝Ｒ/Ｉ₁×･･･×Ｒ/Ｉn

§２演習問題１２
可換環ＲのイデアルをＩ，Ｊとする。Ｉ＋Ｊ＝Ｒのとき、ＩとＪは互いに素であるという。このとき、次のことを証明せよ。
（１）Ｊi（ｉ＝１,２）をＩと互いに素なイデアルとすると、Ｊ₁Ｊ₂もＩと互いに素である。
（２）ＩとＪが互いに素ならば、Ｉ∩Ｊ＝ＩＪが成り立つ。

定理3.5（準同型定理）
ＲとＲ'を環，ｆ：Ｒ→Ｒ'をＲからＲ'への準同型写像であるとする。写像
|ｆ：Ｒ/kerｆ→Ｒ'
　　　|ａ → ｆ(ａ)
は剰余環Ｒ/kerｆから環Ｒ'への単準同型写像である。すなわち、
Ｒ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)
また、|ｆはｆ＝|ｆ◦πを満たす。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、

＞（１）よりＩ₁･･･Ｉn-₁＋Ｉn＝Ｒであるから、
(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)∩Ｉn＝(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)Ｉn＝Ｉ₁･･･Ｉnに注意すると、
Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn)＝Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn-₁・Ｉn)
＝Ｒ/(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)×Ｒ/Ｉn（（ⅰ）より）
＝(Ｒ/Ｉ₁×･･･×Ｒ/Ｉn-₁)×Ｒ/Ｉn
（帰納法の定義）
＝Ｒ/Ｉ₁×･･･×Ｒ/Ｉn

一応、「（１）よりＩ₁･･･Ｉn-₁＋Ｉn＝Ｒであるから、(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)∩Ｉn＝(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)Ｉn＝Ｉ₁･･･Ｉnに注意すると」を入れる理由を述べて下さい。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題１６
可換環Ｒの真のイデアルＩ₁,･･･,Ｉn（ｎ≧２）が２つずつ互いに素であるとする。すなわち、ｉ≠ｊのときＩi＋Ｉj＝Ｒである（§２演習問題１２参照）。このとき、次が成り立つことを示せ（中国式剰余の定理）。
（１）(Ｉ₁Ｉ₂･･･Ｉi-₁Ｉi+₁･･･Ｉn)＋Ｉi＝Ｒ（ｉ＝１,･･･,ｎ）
（２），（３）は省略。

証明
（１）Ｒは可換環であるから、(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)＋Ｉn＝Ｒを示せば十分である。
ｎ＝２のときは、仮定である。
ｎ＝３のとき、Ｉ₁Ｉ₂＋Ｉ₃＝Ｒを示す。Ｉ₁＋Ｉ₃＝Ｒ，Ｉ₂＋Ｉ₃＝Ｒより
ａ₁＋ａ₃＝１（∃ａ₁∈Ｉ₁，∃ａ₃∈Ｉ₃），ｂ₂＋ｂ₃＝１（∃ｂ₂∈Ｉ₂，∃ｂ₃∈Ｉ₃）
ゆえに、これらの式を辺々かけると、
ａ₁ｂ₂＋(ａ₁ｂ₃＋ａ₃ｂ₂＋ａ₃ｂ₃)＝１
ここで、ａ₁ｂ₂∈Ｉ₁Ｉ₂，ａ₁ｂ₃＋ａ₃ｂ₂＋ａ₃ｂ₃∈Ｉ₃であるから、１∈Ｉ₁Ｉ₂＋Ｉ₃　
よって、定理2.2よりＩ₁Ｉ₂＋Ｉ₃＝Ｒを得る。
次に、ｎ－１まで成り立つと仮定すると、
Ｉn＋Ｉn-₁＝Ｒ，Ｉ₁Ｉ₂･･･Ｉn-₂＋Ｉn-₁＝Ｒ，
Ｉ₁Ｉ₂･･･Ｉn-₂＋Ｉn＝Ｒが成り立っている。
したがって、３つのイデアルＩ₁･･･Ｉn-₂，Ｉn-₁，Ｉnに対して、ｎ＝３の場合を適用すれば、
(Ｉ₁Ｉ₂･･･Ｉn-₂)Ｉn-₁＋Ｉn＝Ｒが成り立つ。

§２演習問題１２
可換環ＲのイデアルをＩ，Ｊとする。Ｉ＋Ｊ＝Ｒのとき、ＩとＪは互いに素であるという。このとき、次のことを証明せよ。
（１）Ｊi（ｉ＝１,２）をＩと互いに素なイデアルとすると、Ｊ₁Ｊ₂もＩと互いに素である。
（２）ＩとＪが互いに素ならば、Ｉ∩Ｊ＝ＩＪが成り立つ。

定理2.2
可換環ＲのイデアルＩが単位元１を含めばＩ＝Ｒとなる。したがって、環ＲのイデアルＩが可逆元を含めばＩ＝Ｒとなる。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、

＞Ｒは可換環であるから、(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)＋Ｉn＝Ｒを示せば十分である。

誰にでも分かるように解説して下さい。例えば、整数環ℤは可換ですが、２・３＋４と２・４＋３は当然異なりますよね。
他も適当に分かり易く解説した後、「Ｒは可換環であるから、(Ｉ₁･･･Ｉn-₁)＋Ｉn＝Ｒを示せば十分である」を使わない別解が作れないかどうか検討して下さい。

おまけ：

問題
ＡＢ＝６ｃｍ，ＡＤ＝１０ｃｍ，∠ＡＢＣ＝６０°の平行四辺形がある。次の問いに答えよ。
（１）対角線ＡＣの長さを求めよ。
（２）頂点ＡとＣが重なるように折ったときにできる折り目と、辺ＢＣとの交点をＥとするとき、ＢＥの長さを求めよ。
（８４　東京学芸大付）

（２）は別解でした。

おまけ：

問題
ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＣＡ＝７ｃｍの△ＡＢＣにおいて、２辺ＡＢ，ＢＣ上にそれぞれ２点Ｄ，Ｅをとり、∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥとするとき、△ＢＤＥ，△ＡＤＥ，△ＡＣＥの面積をそれぞれＳ₁，Ｓ₂，Ｓ₃とする。次の問いに答えよ。
（１）Ｓ₁：Ｓ₂を最も簡単な整数の比で表せ。
（２）Ｓ₂：Ｓ₃を最も簡単な整数の比で表せ。
（８５　市川）

別解を作ってみました。

おまけ：

問題
△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上にそれぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒをとり、
ＡＰ：ＰＢ＝２：３
ＢＱ：ＱＣ＝４：３
ＣＲ：ＲＡ＝３：５
線分ＡＱとＰＲの交点をＤとする。
（１）△ＡＢＣの面積をＳとするとき、△ＡＰＱの面積をＳであらわせ。
（２）ＰＤ：ＤＲを、なるべく簡単な整数の比であらわせ。
（８２　甲陽学院）

（２）は別解を作ってみました。因みに、前回の問題の方が難しいですが、別解は前回の方が楽でした。

おまけ：
「Cycle Of Sorrow」

始まりを告げていく この世界の果てに
迫り来るのは 怪しげ
加速していくだけ 退屈な時間
終わることも出来ない 夢の中で生きて

四面楚歌で笑い合う
君の不気味な視線に
狂い合いたいけど それだけじゃ埋められない

叫び足りないのこの世が 乾いた汗になびかせ
変わりゆくものに 一粒の願いだけ
叫び続けるよ 何度でも
残酷な宿命の鎖が絡みついていく
違う悲しみの輪廻

問題
△ＡＢＣで、ＡＢを２：１に内分する点をＤ，ＡＣを１：３に内分する点をＥとする。ＤＥ上に点Ｐをとり、△ＰＢＣ＝(１/２)△ＡＢＣとするとき、ＤＰ：ＰＥを求めよ。
（８８　慶応志木）

私の解答は別解でしたが、模範解答でも難しいと思います。運よく別解ですらすら解けましたが、別解がなかったら大苦戦していたかもしれません。まぁ、最終的には解けると思いますが。

おまけ：
https://cyzowoman.jp/2018/04/post_180288_3.html

次の文章を完全解説して下さい。

問題 8-4a
ｆ(ｘ)＝ｘ³－２の根をα₁＝³√２，α₂＝³√２ω，α₃＝³√２ω²とおき、β＝α₁－α₂，γ＝α₁－α₃，δ＝α₂－α₃とおく。次の問いに答えよ。
（１）ω,ω²をそれぞれγの式、およびδの式で表せ。
（２）γをδの式で表せ。またδをγの式で表せ。
（３）α₁,α₂,α₃をγの式、およびδの式で表せ。

解答
（１）ω＝－(β³＋６)/１２，ω²＝－１－ω＝(β³－６)/１２を利用する。γ＝－βω²，δ＝βωなので、γ³＝－β³，δ³＝β³である。よってω＝(γ³－６)/１２＝－(δ³＋６)/１２，ω²＝－(γ³＋６)/１２＝(δ³－６)/１２である。
（２）（１）よりγ＝－δω＝δ(δ³＋６)/１２，δ＝－γω²＝γ(γ³＋６)/１２である。
（３）（本文と同様に計算して）－３α₃＝γ＋δ，α₁＝γ＋α₃，α₂＝δ＋α₃より、
α₃＝－γ⁴/３６－γ/２＝－δ⁴/３６－δ/２
α₁＝－γ⁴/３６＋γ/２＝δ⁴/１８
α₂＝γ⁴/１８＝－δ⁴/３６＋δ/２
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

全部解説した後、例えば、γ＝α₁－α₃＝³√２－³√２ω²＝³√２(１－ω²) 　∴ω²＝１－γ/³√２
などと出来るが、これでは（１）の解答としてダメかどうか答えて下さい。（その理由も。）

おまけ：

問題
平行四辺形ＡＢＣＤの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄから直線ｇに垂線をひき、交点をそれぞれＡ'，Ｂ'，Ｃ'，Ｄ'とすると、ＡＡ'＝５ｃｍ，ＢＢ'＝３ｃｍ，ＣＣ'＝４ｃｍであった。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）図１のように、平行四辺形の辺がｇと交わらないとき、ＤＤ'の長さを求めよ。
（２）図２のように、平行四辺形の辺ＡＢ，ＢＣがｇと交わるとき、ＤＤ'の長さを求めよ。
（７９　東京学芸大付）

図１の解説：平行四辺形ＡＢＣＤがちょっと右が上の斜めに置かれていて、辺ＢＣの下に水平に直線ｇが引かれている。Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄから直線ｇに下した垂線の足をＡ'，Ｂ'，Ｃ'，Ｄ'とした図。
図２の解説：平行四辺形ＡＢＣＤがちょっと右が上の斜めに置かれていて、直線ｇが水平に引かれていて、ＡＢのかなりＢ寄りの点とＢＣの中央やや左ぐらいを通っている。Ｂから上に垂線が引かれ、Ａから下に垂線が引かれ、Ｃ，Ｄから下に垂線が引かれ、その足がＢ'，Ａ'，Ｃ'，Ｄ'となっている図。（Ａ'だけ平行四辺形の内部になっている図。）

解法が２通り載っていますが、私の解法は別解（解法３）でした。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

第２章演習問題１２
Ｈを群Ｇの部分群，ＫをＧの正規部分群とする。このとき、Ｈ∩ＫはＨの正規部分群であることを示せ。また、次の同型を証明せよ（第２同型定理）。
ＨＫ/Ｋ≃Ｈ/Ｈ∩Ｋ

証明
（１）Ｈ∩Ｋ⊴Ｈは問5.6で、すでに示した。
（２）ＫはＧの正規部分群であるから、ＨＫ＝ＫＨ　したがって、ＨＫはＧの部分群である（問5.4）。
（３）ＫがＨＫの正規部分群であることは問5.6ですでに示した。したがって、剰余群ＨＫ/Ｋへの写像
ｆ：Ｈ→ＨＫ/Ｋ（ｈ→ｆ(ｈ)＝ｈＫ）
を考えることができる。このとき、写像ｆは全射であることを示す。ＨＫ/Ｋの任意の元はｈｋ∈ＨＫ（ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ）によって、ｈｋＫと表される。ところが、ｈｋＫ＝ｈＫであるからＨＫ/Ｋ＝{ｈＫ｜ｈ∈Ｈ}　したがって、ｆは全射であることがわかる。
（５）ｆ：Ｈ→ＨＫ/Ｋは準同型写像であることを示す。
ｆ(ｈ₁ｈ₂)＝ｈ₁ｈ₂Ｋ＝(ｈ₁Ｋ)(ｈ₂Ｋ)＝ｆ(ｈ₁)ｆ(ｈ₂)
ゆえに、ｆ(ｈ₁ｈ₂)＝ｆ(ｈ₁)ｆ(ｈ₂)
（６）kerｆを調べる。ｈ∈Ｈについて、
ｈ∈kerｆ⇔ｆ(ｈ)＝Ｋ⇔ｈＫ＝Ｋ⇔ｈ∈Ｋ
ゆえに、kerｆ＝Ｈ∩Ｋである。
（７）準同型定理6.5によって、Ｈ/Ｈ∩Ｋ≃ＨＫ/Ｋを得る。

問5.6
Ｇを群，ＨとＫをＧの部分群とする。さらに、ＫがＧの正規部分群であるとき、次を示せ。
（１）Ｈ∩Ｋ⊴Ｈ（２）Ｋ⊴ＨＫ

問5.4
Ｇを群，Ｈ,ＫをＧの部分群とする。さらに、ＫがＧの正規部分群であれば、ＨＫ＝ＫＨが成り立ち、集合ＨＫはＧの部分群であることを示せ。

準同型定理6.5
Ｇ,Ｇ'を群，ｆをＧからＧ'への準同型写像とし、Ｋ＝kerｆとする。Ｇ/Ｋの元ａＫにＧ'の元ｆ(ａ)を対応させる写像|ｆは、剰余群Ｇ/Ｋから群Ｇ'への単準同型写像になる。すなわち、Ｇ/kerｆ≃ｆ(Ｇ)　また|ｆは、π：Ｇ→Ｇ/Ｋを自然な準同型写像とするとｆ＝|ｆ◦πを満たしている。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著

適当に分かり易く解説して下さい。本命は、

第３章演習問題１５
Ｒを環とし、ＩとＪをＲのイデアルとする。このとき、(Ｉ＋Ｊ)/Ｉ≃Ｊ/(Ｉ∩Ｊ)が成り立つことを示せ（第２同型定理）。

証明
演習問題１４と同様に、第２章§６演習問題１２（群の第２同型定理）を適用すれば良い。

の解答を作る事です。（これは次の次。）

今回は特に面白くも詰まらなくもありません。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題 8-3a
α＝２cos(2π/9)とおく。次の問いに答えよ。
（１）cos3θをcosθの式で表せ（３倍角の公式を書け）。
（２）αのℚの最小多項式を求めよ。
（３）αは（２）の式の原始元であることを示せ。

解答
（１）（３倍角の公式）cos3θ＝４cos³θ－３cosθ
（２）θ＝2π/9に３倍角の公式を適用すると、
cos(2π/3)＝４cos³(2π/9)－３cos(2π/9)である。
辺々に２を掛けて、cos(2π/3)＝－１/２より
－１＝α³－３α
を得る。ｘ³－３ｘ＋１は整数の根を持たないので（±１を代入して確認すれば十分である）、有理数の根を持たない（問題 1-8）。よってｘ³－３ｘ＋１は既約であり、αの最小多項式はｘ³－３ｘ＋１である。
（３）３倍角の公式より、（２）の式はαのほかに、
２cos(4π/9)，２cos(8π/9)を根に持つ。ゆえに２倍角の公式より、
２cos(4π/9)＝２(２cos²(2π/9)－１)＝α²－２
２cos(8π/9)＝２(２cos²(4π/9)－１)
＝(α²－２)²－２＝－α²－α＋２
である（最後の等式はα³－３α＋１＝０より、α³＝３α－１を代入して求められる）。よってαはｘ³－３ｘ＋１の原始元である。

問題 1-8b
整数係数多項式
ｘ^n＋ａ₁ｘ^(n-1)＋･･･＋ａn-1ｘ＋ａn，ａ₁,･･･,ａnは整数
の有理数根は整数であることを示せ。
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

具体的には、

＞３倍角の公式より、（２）の式はαのほかに、
２cos(4π/9)，２cos(8π/9)を根に持つ。

ここぐらいですね。

おまけ：

問題
図のように、△ＡＢＣが円に内接している。ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０，ＣＡ＝８で、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとするとき、次の各問いに答えよ。
（１）ＣＤの長さを求めよ。
（２）ＡＤの長さを求めよ。
（９０　明大付明治）

（２）は別解を作れますが、これといって面白い訳ではありません。因みに、模範解答の方法は定石で秒殺でした。また、何でもありで解いても良いです。（高校数学は受験的には０点だと思いますが。）

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題１３
Ｒを環とし、ｅをその単位元とする。このとき、
τ：ℤ→Ｒ（τ(ｎ)＝ｎｅ）
なる写像が定義される。τが準同型写像であることを示せ。

証明
（１）ｍ,ｎを整数とする。
τ(ｍ＋ｎ)＝(ｍ＋ｎ)ｅ
＝ｍｅ＋ｎｅ（第２章定理2.5（指数法則））
＝τ(ｍ)＋τ(ｎ)
（２）§１演習問題２を使えば
τ(ｍｎ)＝(ｍｎ)ｅ＝(ｍｅ)(ｎｅ)＝τ(ｍ)τ(ｎ)

第２章定理2.5（指数法則）
群Ｇの元ａと整数ｍ,ｎについて、次の式が成り立つ。
（１）ａ^m・ａ^n＝ａ^(m+n)
（２）(ａ^m)^n＝ａ^mn

§１演習問題２
ａ,ｂを環Ｒの元とする。このとき、任意の整数ｍ,ｎに対して、(ｍａ)(ｎｂ)＝(ｍｎ)ａｂが成り立つことを示せ。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、

＞(ｍ＋ｎ)ｅ＝ｍｅ＋ｎｅ（第２章定理2.5（指数法則））

Ｒは環なので分配法則ではダメなのかとか。

＞τ(ｍｎ)＝(ｍｎ)ｅ＝(ｍｅ)(ｎｅ)＝τ(ｍ)τ(ｎ)

この２ヶ所ぐらいですね。これだけでは面白くないので、次の文章も完全解説して下さい。

問題 8-2a
多項式ｆ(ｘ)はｆ(α)＝０をみたすとき、ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)ｇ(ｘ)（ｇ(ｘ)はαの式を係数とする多項式）と表されることを示せ。

解答
αの式全体は加減乗除で閉じている。そこで、この集合の元を係数とする多項式として、ｆ(ｘ)に因数定理を適用すれば、ｆ(ｘ)は(ｘ－α)で割り切れ、その商はαの式を係数とする多項式である。
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

＞αの式全体は加減乗除で閉じている。

＞ｆ(ｘ)に因数定理を適用すれば、ｆ(ｘ)は(ｘ－α)で割り切れ、その商はαの式を係数とする多項式である。

この２ヶ所ぐらいですね。

おまけ：
https://www.instagram.com/reel/CkVOvN_g_Lf/