数学

問題１
大きさの異なる2種類の正方形と円を図のように組み合わせました。
小さい正方形1つの面積は8cm^2，大きい正方形1つの面積は25cm^2です。
斜線の八角形の面積は□cm^2です。　
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/001

何でもありで解いて下さい。時が経って記事が消去された場合はこちら。https://note.com/sansu_heros/n/nd721cde02615（算数３の６番の問題）

問題２
図のように1辺の長さが9cmの正方形の中に、２つの正三角形と正方形が入っています。斜線部分の面積は何cm^2ですか。
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/005

何でもありで解いて下さい。時が経って記事が消去された場合はこちら。https://www.yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/pdf/2022_shibushibu_math_q.pdf（3⃣の（３））

おまけ：

問題１
大きさの異なる2種類の正方形と円を図のように組み合わせました。
小さい正方形1つの面積は8cm^2，大きい正方形1つの面積は25cm^2です。
斜線の八角形の面積は□cm^2です。　
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/001

何でもありの解法１
八角形の短い方の辺の長さは２√２ｃｍで長い方の辺の長さは５ｃｍ。
ここで、外接円の中心をＯとして、短い方の辺を左からＡＢとし、長い方の辺を左からＢＣとすると、半径より△ＯＡＢ，△ＯＢＣは共に二等辺三角形。よって、それぞれの底角を○，×と置く。
また、八角形の内角の和は、１８０°×(８－２)÷８＝１０８０°÷８＝１３５°
よって、〇＋×＝１３５°
よって、四角形ＯＡＢＣの内角の和より、∠ＡＯＣ＝３６０°－１３５°×２＝９０°
よって、△ＯＡＣは直角二等辺三角形。
また、∠ＡＢＣ＝１３５°より△ＢＡＣで余弦定理を使うと、
ＡＣ^2＝(２√２)^2＋５^2－２・２√２・５・cos135°＝８＋２５＋２０＝５３
∴ＡＣ＝√５３ｃｍ
∴ＯＡ＝ＯＣ＝√５３/√２ｃｍ
∴△ＯＡＣ＝５３/４ｃｍ^2———①
また、△ＢＡＣ＝(１/２)・２√２・５・sin135°＝５ｃｍ^2———②
①，②より、四角形ＯＡＢＣ＝５３/４＋５
＝７３/４ｃｍ^2
ところで、斜線部の面積は四角形ＯＡＢＣ４個分なので、７３ｃｍ^2
よって、答えは、７３ｃｍ^2

何でもありの解法２（中学数学の解法）
∠ＡＢＣ＝１３５°で△ＯＡＣが直角二等辺三角形までは解法１と同じ。（中学数学で求まる。）
ここで、ＡＢの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＣＢＨは直角二等辺三角形より、ＢＨ＝ＣＨ＝５/√２ｃｍ
∴ＡＨ＝２√２＋５/√２＝４/√２＋５/√２
＝９/√２ｃｍ
よって、△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、
ＡＣ＝√{(９/√２)^2＋(５/√２)^2}
＝√(８１/２＋２５/２)＝√５３ｃｍ
∴ＯＡ＝ＯＣ＝√５３/√２ｃｍ
∴△ＯＡＣ＝５３/４ｃｍ^2———①
また、△ＣＡＢ＝２√２×５/√２×(１/２)
＝５ｃｍ^2———②
①，②より、四角形ＯＡＢＣ＝５３/４＋５
＝７３/４ｃｍ^2
ところで、斜線部の面積は四角形ＯＡＢＣ４個分なので、７３ｃｍ^2
よって、答えは、７３ｃｍ^2

おまけ：
10巻72番の詩
一九九九年の年、七の月
空から恐怖の大王が降ってくる
アンゴルモアの大王を復活させるために
その前後の期間、マルスは幸福の名のもとに支配に乗りだすだろう
「ノストラダムスの大予言」五島勉著より

「KGBの対外情報部員として16年間勤務し、中佐まで昇進したが、1991年に辞職し、サンクトペテルブルクで政治活動を開始した。その後、1996年にモスクワに移り、ボリス・エリツィン政権に参加した。連邦保安庁長官、連邦安全保障会議事務局長を経て、1999年8月に首相に就任した。
　同年12月にエリツィンが辞任し、プーチンは大統領代行に指名された。2000年のロシア大統領選挙を制して大統領に初当選。2004年には再選を果たした。」
「ウラジーミル・プーチン」ウィキペディアより

https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12797489727.html

問題２
図のように1辺の長さが9cmの正方形の中に、２つの正三角形と正方形が入っています。斜線部分の面積は何cm^2ですか。
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/005

何でもありの解法
外枠の正方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、中央の正方形の上の頂点から反時計回りにＰ～Ｓと振る。
また、ＢＤを結び、ＢＤとＱＲ，ＰＳとの交点をそれぞれＭ，Ｎとすると、対称性より点Ｍ，ＮはＱＲ，ＰＳの中点。
ここで、ＱＭ＝ｘと置くと、ＢＭ＝ＤＮ＝√３ｘ，ＭＮ＝２ｘより、ＢＤ＝２ｘ＋２√３ｘ
また、△ＡＢＤは直角二等辺三角形より、
ＢＤ＝９√２ｃｍ　
よって、２ｘ＋２√３ｘ＝９√２が成り立つ。
∴ｘ＝９√２/２(１＋√３)＝９√２(√３－１)/４＝９(√６－√２)/４
∴ｘ＝９(√６－√２)/４———①
また、斜線部の面積をＳとすると、
Ｓ＝(２ｘ)^2＋２ｘ・√３ｘ・(１/２)・２
＝４ｘ^2＋２√３ｘ^2
＝２(２＋√３)ｘ^2
∴Ｓ＝２(２＋√３)ｘ^2———②
①を②に代入すると、
Ｓ＝２(２＋√３)・{９(√６－√２)/４}^2
＝２(２＋√３)・{８１(８－４√３)/１６}
＝８１(２＋√３)(２－√３)/２
＝８１/２＝４０.５
よって、答えは、４０.５ｃｍ^2

問題
ある円の弦ＡＢとＣＤが直交していてその交点をＥとします。ＡＥ＝２４ｃｍ，ＢＥ＝６ｃｍ，ＣＥ＝１８ｃｍ，ＤＥ＝８ｃｍである時、図形ＡＤＥと図形ＢＣＥの面積の和を求めて下さい。
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/003

解法１（模範解答）
円の中心をＯとして、ＯからＡＢ，ＣＤに垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとすると、半径より△ＯＡＢ，△ＯＣＤは二等辺三角形になるので、Ｈ，ＩはそれぞれＡＢ，ＣＤの中点になる。
∴ＡＨ＝ＢＨ＝(２４＋６)÷２＝１５ｃｍ
また、ＤＩ＝ＣＩ＝(８＋１８)÷２＝１３ｃｍ
∴ＥＩ＝ＤＩ－ＤＥ＝１３－８＝５ｃｍ
ところで、３直角より四角形ＯＨＥＩは長方形。よって、ＨＯ＝ＥＩ＝５ｃｍ
よって、△ＯＨＡで三平方の定理を使うと、
ＯＡ^2＝１５^2＋５^2＝５^2(３^2＋１^2)
＝２５・１０＝２５０
よって、円の面積は、２５０πｃｍ^2
ここで、中心Ｏに対してＡＢと点対称な弦ＦＧを引き、また、中心Ｏに対して点対称な弦ＩＪを引き、ＪＩとＡＢ，ＦＧとの交点をそれぞれＫ，Ｌとし、ＦＧとＤＣとの交点をＭとする。
今、図形ＫＡＪ≡図形ＬＦＩ≡図形ＭＧＣ≡図形ＥＢＤ＝★，図形ＫＬＦＡ≡図形ＥＭＧＢ＝◎，図形ＫＥＤＪ≡図形ＬＭＣＩ＝◆と置くと、斜線部＝★★◎◆となり、
(円－長方形KLME)÷２で求まる事が分かる。
ＥＭ＝１８－８＝１０ｃｍ
ＫＥ＝２４－６＝１８ｃｍ
よって、答えは、(２５０π－１８０)÷２
＝１２５π－９０ｃｍ^2

積分の解法は次回。

おまけ：
https://www.uta-net.com/song/348143/

問題
ある円の弦ＡＢとＣＤが直交していてその交点をＥとします。ＡＥ＝２４ｃｍ，ＢＥ＝６ｃｍ，ＣＥ＝１８ｃｍ，ＤＥ＝８ｃｍである時、図形ＡＤＥと図形ＢＣＥの面積の和を求めて下さい。
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/003

解法２
円の中心をｘｙ座標の原点に置き、ＡＢ，ＣＤと平行にｘ軸，ｙ軸を取ると、(２４＋６)÷２＝１５，(１８＋８)÷２＝１３より、
Ａ(－１５,５)，Ｂ(１５,５)，Ｃ(９,－１８)，Ｄ(９,８)，Ｅ(９,０)となる。
∴ＯＡ^2＝１５^2＋５^2＝２５０
よって、円の方程式は、ｘ^2＋ｙ^2＝２５０
∴上半分の半円の方程式は、
ｙ＝√(２５０－ｘ^2)
よって、図形ＡＥＤ＝∫(-15~9){√(２５０－ｘ^2)－５}ｄｘ———①
また、図形ＣＥＢの方も回転させてｘ軸で積分すると、
図形ＣＥＢ＝∫(-13~5){√(２５０－ｘ^2)－９}ｄｘ———②
となる。ここで、先に－５，－９部分を先に積分しておくと、
∫(-15~9){－５}ｄｘ＝[－５ｘ](-15~9)
＝－４５－７５＝－１２０———③
∫(-13~5){－９}ｄｘ＝[－９ｘ](-13~5)
＝－４５－１１７＝－１６２———④
①～④より、求める面積をＳとすると、
Ｓ＝∫(-15~9){√(２５０－ｘ^2)}ｄｘ
＋∫(-13~5){√(２５０－ｘ^2)}ｄｘ
－２８２———☆
置換積分の定石より、ｘ＝5√10sinθと置いて、両辺をθで微分すると、
dｘ/dθ＝5√10cosθ　
∴dｘ＝5√10cosθdθ———ア
9=5√10sinθより、sinθ＝9/5√10
∴θ＝Arcsin(9/5√10)———イ
-15=5√10sinθより、sinθ＝-3/√10
∴θ＝Arcsin(-3/√10)———ウ
5=5√10sinθより、sinθ＝1/√10
∴θ＝Arcsin(1/√10)———エ
-13=5√10sinθより、sinθ＝-13/5√10
∴θ＝Arcsin(-13/5√10)———オ
ア～オとｘ＝5√10sinθを☆に代入すると、
Ｓ＝∫(Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10)){√(２５０－２５０sin^2θ)}・5√10cosθdθ
＋∫(Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10)){√(２５０－２５０sin^sθ)}・5√10cosθdθ
－２８２
∴Ｓ＝∫(Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10)){５√１０cosθ}・5√10cosθdθ
＋∫(Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10)){５√１０cosθ}・5√10cosθdθ
－２８２
＝∫(Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10)){２５０cos^2θ}ｄθ
＋∫(Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10)){２５０cos^2θ}ｄθ
－２８２
＝２５０∫(Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10)){(１＋cos２θ)/２}ｄθ
＋２５０∫(Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10)){(１＋cos２θ)/２}ｄθ
－２８２
＝１２５∫(Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10)){１＋cos２θ}ｄθ
＋１２５∫(Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10)){１＋cos２θ}ｄθ
－２８２
＝１２５[θ＋sin２θ/２](Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10))
＋１２５[θ＋sin２θ/２](Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10))
－２８２
＝１２５[θ＋sinθcosθ](Arcsin(-3/√10)~Arcsin(9/5√10))
＋１２５[θ＋sinθcosθ](Arcsin(-13/5√10)~Arcsin(1/√10))
－２８２
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋(9/5√10)(13/5√10)－Arcsin(－3/√10)－(－3/√10)(1/√10)}
＋１２５{Arcsin(1/√10)＋(1/√10)(3/√10)－Arcsin(－13/√10)－(－13/√10)(9/5√10)}
－２８２
注：Arcsinの値域は－π/２～π/２なので、それぞれ第１象限と第４象限で直角三角形を作ってcosの値を求めた。（全て私のオリジナルなので自分で裏を取って下さい。）
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)－(－3/√10)(1/√10)－(－13/√10)(9/5√10)}－２８２
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)＋１９２/１２５}－２８２
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)}－９０
∴Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)}
続きは次回。電卓を使っても使わなくても良いです。（もう終わりですね。）

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/105728b90501c6eca3949d14aafcae6ff34d40cf

誤植の訂正（「注」のすぐ上から）
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋(9/5√10)(13/5√10)－Arcsin(－3/√10)－(－3/√10)(1/√10)}
＋１２５{Arcsin(1/√10)＋(1/√10)(3/√10)－Arcsin(－13/5√10)－(－13/5√10)(9/5√10)}
－２８２
以後全て訂正すると、
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/5√10)－(－3/√10)(1/√10)－(－13/5√10)(9/5√10)}－２８２
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/5√10)＋１９２/１２５}－２８２
＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)}－９０
∴Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/√10)}

解法２の続き
Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/5√10)}－９０———★

ここで、Arcsinの加法定理を使うと、
Arcsin(ａ)＋Arcsin(ｂ)
＝Arcsin{ａ√(１－ｂ^2)＋ｂ√(１－ａ^2)}
https://harumoto.hatenablog.com/entry/2022/08/25/193242より、
Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)
＝Arcsin{(9/5√10)√(1－1/10)＋(1/√10)√(1－81/250)}
＝Arcsin{(9/5√10)(3/√10)＋(1/√10)(13/5√10)}
＝Arcsin(27/50＋13/50)
＝Arcsin(4/5)———①
Arcsin(－3/√10)＋Arcsin(－13/5√10)
＝Arcsin{(－3/√10)√(1－169/250)＋(－13/5√10)√(1－9/10)}
＝Arcsin{(－3/√10)(9/5√10)＋(－13/5√10)(1/√10)}
＝Arcsin(－27/50－13/50)
＝Arcsin(－4/5)———②
①，②を★に代入すると、
Ｓ＝１２５{Arcsin(4/5)－Arcsin(－4/5)}－９０
これを再びArcsinの加法定理で処理すると、
Arcsin(ａ)－Arcsin(ｂ)
＝Arcsin{ａ√(１－ｂ^2)－ｂ√(１－ａ^2)}
より、
Arcsin(4/5)－Arcsin(－4/5)
＝Arcsin{(4/5)√(1－16/25)－(－4/5)√(1－16/25)}＝Arcsin{(4/5)(3/5)＋(4/5)(3/5)}
＝Arcsin(24/25)
∴Ｓ＝１２５Arcsin(24/25)－９０

正解は、解法１より１２５π－９０ｃｍ^2です。
間違いを探して下さい。結構苦労しました。念のため、★までは合っています。

おまけ：

間違い探しの回答
Arcsinの加法定理の使用範囲が、
－π/２≦Arcsin(ａ)±Arcsin(ｂ)≦π/２
なのに、
Arcsin(－3/√10)＋Arcsin(－13/5√10)
で使っているからＮＧ。
念のため、
－90°≦Arcsin(ａ)±Arcsin(ｂ)≦90°で、
Arcsin(－3/√10)＋Arcsin(－13/5√10)
＝－71.565051°－55.304846°
＝－126.8699°
＝360°－126.8699°＝233.1301°
でＮＧという事。
そこで、
Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/5√10)}－９０———★

から、Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－13/5√10)と
Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)の組み合わせ（これは初めの自然な組み合わせではない）で使用範囲をチェックすると、
Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－13/5√10)
＝34.695154°－(－55.304846°)
＝90°
Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)
＝18.434949°－(－71.565051°)
＝90°
でＯＫ。よって、Arcsinの加法定理を使うと、
Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－13/5√10)
＝Arcsin{(9/5√10)√(1－169/250)－(－13/5√10)√(1－81/250)}
＝Arcsin{(9/5√10)(9/5√10)＋(13/5√10)(13/5√10)}
＝Arcsin{(81＋169)/250}
＝Arcsin１＝π/２———①
Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)
＝Arcsin{(1/√10)√(1－9/10)－(－3/√10)√(1－1/10)}
＝Arcsin{(1/√10)(1/√10)＋(3/√10)(3/√10)}
＝Arcsin{(1＋9)/10}
＝Arcsin１＝π/２———②
①，②を★に代入すると、
Ｓ＝１２５(π/２＋π/２)－９０
＝１２５π－９０
よって、答えは、１２５π－９０ｃｍ^2

因みに、図形ＡＥＤの面積は、
Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋(9/5√10)(13/5√10)－Arcsin(－3/√10)－(－3/√10)(1/√10)}－１２０だが、
Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)の加法定理の使用範囲をチェックすると、
Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)
＝34.695154°－(－71.565051°)
＝106.26021°＞90°でＮＧである。
そこで、加法定理で求めてみると、
Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)
＝Arcsin{(9/5√10)√(1－9/10)－(－3/√10)√(1－81/250)}
＝Arcsin{(9/5√10)(1/√10)＋(3/√10)(13/5√10)}
＝Arcsin(9/50＋39/50)＝Arcsin(48/50)
＝Arcsin(24/25)
これをＳに代入すると、
Ｓ＝125(Arcsin(24/25)＋117/50＋3/10)－120
＝125(Arcsin(24/25)＋132/50)－120
＝125(Arcsin(24/25)＋66/25)－120
＝125(Arcsin(24/25))＋210

また、電卓でArcsinを求めてＳを求めてみると、
Ｓ＝125{Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)}＋210
Arcsin(9/5√10)＝34.695154°
－Arcsin(－3/√10)＝71.565051°
ところで、πラジアン＝180°より、
１°＝π/180ラジアン
∴34.695154°＝34.695154π/180
＝0.1927508π
∴Arcsin(9/5√10)＝0.1927508π
また、71.565051°＝71.565051π/180
＝0.3975836π
∴－Arcsin(－3/√10)＝0.3975836π
∴Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)
＝0.1927508π＋0.3975836π
＝0.5903344π

一方、Arcsin(24/25)をπで表示すると、
Arcsin(24/25)＝73.739795°より、
＝73.739795π/180
＝0.4096655π
よって、やはり一致しない。驚くべき事に加法定理では図形ＡＥＤの面積は求められないのである。

次回は、図形ＣＥＢの方は一致するかどうか確認しよう。（こっちは加法定理の使用範囲に入っているから。）

おまけ：

上の誤植の訂正
Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋(9/5√10)(13/5√10)－Arcsin(－3/√10)－(－3/√10)(1/√10)}－１２０だが、
　　　　　　　　　　　（中略）
これをＳに代入すると、
Ｓ＝125(Arcsin(24/25)＋117/250＋3/10)－120
＝125(Arcsin(24/25)＋192/250)－120
＝125(Arcsin(24/25)＋96/125)－120
＝125(Arcsin(24/25))－24

上の続き
図形ＣＥＤ＝１２５{Arcsin(1/√10)＋(1/√10)(3/√10)－Arcsin(－13/5√10)－(－13/5√10)(9/5√10)}－１６２———☆彡

Arcsin(1/√10)－Arcsin(－13/5√10)を加法定理の使用範囲かどうかチェックすると、
Arcsin(1/√10)＝18.434949°
Arcsin(－13/5√10)＝－55.304846°より、
Arcsin(1/√10)－Arcsin(－13/5√10)
＝18.434949°＋55.304846°
＝73.739795°＜90°でＯＫ。
加法定理で求めると、
Arcsin(1/√10)－Arcsin(－13/5√10)
＝Arcsin{(1/√10)√(1－169/250)－(－13/5√10)√(1－1/10)}
＝Arcsin{(1/√10)(9/5√10)＋(13/5√10)(3/√10)}
＝Arcsin(9/50＋39/50)＝Arcsin(48/50)
＝Arcsin(24/25)
これを☆彡に代入すると、
図形ＣＥＤ＝125(Arcsin(24/25)＋3/10＋117/250)－162
＝125(Arcsin(24/25)＋192/250)－162
＝125(Arcsin(24/25)＋96/125)－162
＝125(Arcsin(24/25))－66

また、電卓でArcsinを求めてＳを求めてみると、
図形ＣＥＢ＝125{Arcsin(1/√10)－Arcsin(－13/5√10)}－66
Arcsin(1/√10)＝18.434949°
－Arcsin(－13/5√10)＝55.304846°
ところで、πラジアン＝180°より、
１°＝π/180ラジアン
∴18.434949°＝18.434949π/180
＝0.1024163π
∴Arcsin(1/√10)＝0.1024163π
また、55.304846°＝55.304846π/180
＝0.3072491π
∴－Arcsin(－13/5√10)＝0.3072491π
∴Arcsin(1/√10)－Arcsin(－13/5√10)
＝0.1024163π＋0.3072491π
＝0.4096654π
一方、Arcsin(24/25)をπで表示すると、
Arcsin(24/25)＝73.739795°より、
＝73.739795π/180
＝0.4096655π
よって、やはり一致している。

結論として、図形ＡＥＤは電卓を使わないと求められない訳だが、加法定理が使えるかどうかは弧の中心角が９０°以内かどうかだろう。
https://news.yahoo.co.jp/articles/37bd34776ee6be02ca1819bad648d32e9e12bde6/images/003
（図が正確かどうか知らないが、弧ＡＤの中心角は106.26021°で弧ＢＣの中心角は73.739795°だろう。）
あとは自分で考察して下さい。

おまけ：

念のため、こういう問題を積分で求めてはいけないという話ではない。
図形ＡＥＤ＝125{Arcsin(9/5√10)－Arcsin(－3/√10)}－24
これはこれで正解である。これを加法定理で、
図形ＡＥＤ＝125(Arcsin(24/25))－24
と無闇に１つにしてはいけないという話である。因みに、
Ｓ＝１２５{Arcsin(9/5√10)＋Arcsin(1/√10)－Arcsin(－3/√10)－Arcsin(－13/5√10)}－９０———★
も正解だが、１２５π－９０としないと世間的には受け入れられないだろう。

問題
複素数z=(1+i)(2+i)……(n+i)が純虚数となる正の整数nをすべて求めてください。

解説
１＋ⅰ＝√２{１/√２＋(１/√２)ⅰ}
＝√２{cos(π/4)＋ⅰsin(π/4)}
２＋ⅰ＝√５{２/√５＋(１/√５)ⅰ}
＝√５[cos{Arctan(1/2)}＋ⅰsin{Arctan(1/2)}]
３＋ⅰ＝√１０{３/√１０＋(１/√１０)ⅰ}
＝√１０[cos{Arctan(1/3)}＋ⅰsin{Arctan(1/3)}]
・・・
ここで、ド・モアブルの公式を使うと、
(cosθ＋ⅰsinθ)(cosφ＋ⅰsinφ)
＝cos(θ＋φ)＋ⅰsin(θ＋φ)
より、
(１＋ⅰ)(２＋ⅰ)(３＋ⅰ)
＝√２{cos(π/4)＋ⅰsin(π/4)}・√５[cos{Arctan(1/2)}＋ⅰsin{Arctan(1/2)}]・√１０[cos{Arctan(1/3)}＋ⅰsin{Arctan(1/3)}]
＝１０[cos{π/4＋Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)}＋ⅰsin{π/4＋Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)}]———☆
ここで、Arctanの加法定理を使うと、
Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)
＝Arctan[{(1/2)＋(1/3)}/{１－(1/2)(1/3)}]
＝Arctan{(5/6)/(5/6)}＝Arctan１＝π/４
∴Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)＝π/４
これを☆に代入すると、
(１＋ⅰ)(２＋ⅰ)(３＋ⅰ)
＝１０{cos(π/4＋π/4)＋ⅰsin(π/4＋π/4)
＝１０{cos(π/2)＋ⅰsin(π/2)}
＝１０ⅰ
よって、(１＋ⅰ)(２＋ⅰ)(３＋ⅰ)は純虚数になる訳だが、全体が純虚数になるには残りが実数であれば良い。そこで、４＋ⅰ以降も極座標表示をして、ド・モアブルの公式を使うと、
４＋ⅰ＝√１７[cos{Arctan(1/4)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)}]
５＋ⅰ＝√２６[cos{Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/5)}]
・・・
(４＋ⅰ)(５＋ⅰ)
＝√１７[cos{Arctan(1/4)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)}]・√２６[cos{Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/5)}]
＝√１７・√２６[cos{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}]
ところで、これが実数になるのは、
Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)＝０，ｎπ（ｎは整数）の時である。ところが、Arctanの加法定理より、
Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)
＝Arctan[{(1/4)＋(1/5)}/{１－(1/4)(1/5)}]
で、この分子が０になる時だけである。しかし、以後、正の分数の和だけなので０にはならない。念のため、Arctanの値域は－π/２～π/２なので、ｎπにはならない。
よって、複素数z=(1+i)(2+i)……(n+i)が純虚数となるのはｎ＝３の場合だけである。

因みに、これは間違い探しです。（面白くなかったらすみません。）

＞無限にありそうですが、その証明は出来ません。

勘違いしました。

＞n=3だけな気がしますよね。しかし証明が難しいです、、、。

その通りだと思います。

間違い探しの回答は次回。

おまけ：

間違い探しの回答
＞よって、複素数z=(1+i)(2+i)……(n+i)が純虚数となるのはｎ＝３の場合だけである。

(４＋ⅰ)(５＋ⅰ)･･･
以降の積がもう１度純虚数になれば(１＋ⅰ)(２＋ⅰ)(３＋ⅰ)＝１０ⅰとの積が実数になり、さらにもう１度純虚数になればｎ＝３の場合以外の場合となる。そこで、
４＋ⅰ＝√１７{４/√１７＋(１/√１７)ⅰ}
＝√１７[cos{Arctan(1/4)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)}]
５＋ⅰ＝√２６{５/√２６＋(１/√２６)ⅰ}
＝√２６[cos{Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/5)}]
より、ド・モアブルの公式を使うと、
(４＋ⅰ)(５＋ⅰ)
＝√１７[cos{Arctan(1/4)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)}]・√２６[cos{Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/5)}]
＝√１７・√２６[cos{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}＋ⅰsin{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}]
これが純虚数になるのは、
cos{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}＝０となる場合で、Arctanの加法定理より、
Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)
＝Arctan[{(1/4)＋(1/5)}/{１－(1/4)(1/5)}]
＝Arctan{(9/20)/(19/20)}
＝Arctan(9/19)
≠π/２は自明なので、cos{Arctan(1/4)＋Arctan(1/5)}＝０とはならないが、
Arctan(a)＋Arctan(b)＝π/２になるとしたら、
Arctan{(a+b)/(1－ab)}＝π/２で、
(a+b)/(1－ab)→∞の時でab＝１の時である。
つまり、今回で言ったら、(１/４)×(１/５)が１になる場合である。そこで、続きを考えると、
(４＋ⅰ)(５＋ⅰ)
＝√１７・√２６[cos{Arctan(9/19)}＋ｉsin{Arctan(9/19)}]
また、６＋ｉ
＝√３７{６/√３７＋(１/√３７)ⅰ}
＝√３７[cos{Arctan(1/6)}＋ⅰsin{Arctan(1/6)}]
∴(４＋ⅰ)(５＋ⅰ)(６＋ｉ)
＝√１７・√２６・√３７・[cos{Arctan(9/19)}＋ｉsin{Arctan(9/19)}]・[cos{Arctan(1/6)}＋ⅰsin{Arctan(1/6)}]
＝√１７・√２６・√３７・[cos{Arctan(9/19)＋Arctan(1/6)}＋ⅰsin{Arctan(9/19)＋Arctan(1/6)}]
これが純虚数になるのは、上と同様に考えると、
(9/19)×(1/6)＝１となる場合で、今回は不適である。これを繰り返しても例えば、１００×(１/１００)＝１となる可能性はなさそうだが、この左辺の左の値は段々大きくなるので簡単には証明出来ない。因みに、前回勘違いしたのは、いつかは１００×(１/１００)＝１のような場合が出来るのではないかと思ったからである。大きさだけだったらあり得るが、丁度逆数の組み合わせなんてあり得ないだろう。ただし、証明は出来ない。
とりあえず、左辺の左の値が段々大きくなる事だけを見せよう。
Arctan(9/19)＋Arctan(1/6)}を加法定理で求めると、
＝Arctan[(9/19+1/6)/{1－(9/19)(1/6)}]
＝Arctan{(73/114)/(1－9/114)}
＝Arctan(73/105)

Arctan(73/105)＋Arctan(1/7)
＝Arctan[(73/105+1/7)/{1－(73/105)(1/7)}]
＝Arctan{(616/735)/(662/735)}
＝Arctan(616/662)＝Arctan(308/331)

Arctan(308/331)＋Arctan(1/8)
＝Arctan[(308/331+1/8)/{1－(308/331)(1/8)}]
＝Arctan{(2795/2648)/(2340/2648)}
＝Arctan(2795/2340)＝Arctan(559/468)
＝Arctan(43/36)

Arctan(43/36)＋Arctan(1/9)
＝Arctan[(43/36+1/9)/{1－(43/36)(1/9)}]
＝Arctan{(423/324)/(281/324)}
＝Arctan(423/281)

Arctan(423/281)＋Arctan(1/10)
＝Arctan[(423/281+1/10)/{1－(423/281)(1/10)}]
＝Arctan{(4511/2810)/(2387/2810)}
＝Arctan(4511/2387)

数値的には段々と２数の積(423/281)(1/10)が逆数関係に近づいていっているが、丁度逆数になるのは奇跡だろう。ただし、数学的には証明が必要な事は言うまでもない。
因みに、ここで奇跡が起きてももう一度起きなければ（問題文の）純虚数にはならないが。笑

おまけ：
https://www.kimiwaka.com/diamond-ippei/

解説
（１），（２）で、
Ｉ,Ｊがℤのイデアル⇔Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアル
を示していて、
（３），（４）で、
Ａがℤ×ℤのイデアル⇒Ａ＝Ｉ×Ｊ
を示しているのである。
よって、この２つから、
ℤ×ℤのイデアルはℤのイデアルＩ,ＪでＩ×Ｊの形で表される事が言え、（５）からℤ×ℤのイデアルは全てある整数ａ,ｂによってａℤ×ｂℤという形で表される事が言えるという事である。

演習問題２
成分ごとに加法，乗法を定義した環ℤ×ℤのイデアルを決定せよ。

解答
（１）Ｉ,Ｊがℤのイデアル⇔Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアルの証明
まず、Ｉ,Ｊがℤのイデアル⇒Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアルの証明：
Ⅰ,Ｊをℤのイデアルとすると、
（ⅰ）加法群として、ＩとＪはℤの部分群であるから、群の直積としてＩ×Ｊも群である。
つまり、Ｉ×Ｊは加法群。
（ⅱ）(ｍ,ｍ')∈ℤ×ℤ，(ｎ,ｎ')∈Ｉ×Ｊとすると、ｎ∈ＩでＩはℤのイデアルより、
ｍｎ∈Ｉ
また、ｎ'∈ＪでＪはℤのイデアルより、
ｍ'ｎ'∈Ｊ
∴(ｍ,ｍ')(ｎ,ｎ')＝(ｍｎ,ｍ'ｎ')∈Ｉ×Ｊ
（ⅰ）,（ⅱ）より、Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアルである。
よって、Ｉ,Ｊがℤのイデアル⇒Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアルが示された。
次に、Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアル⇒Ｉ,Ｊがℤのイデアルの証明：
Ａをℤ×ℤのイデアルとする。この時、
Ｉ＝{ｍ∈ℤ｜(ｍ,ｍ')∈Ａ，∃ｍ'∈ℤ}，
Ｊ＝{ｎ'∈ℤ｜(ｎ,ｎ')∈Ａ，∃ｎ∈ℤ}
と置く。（何故こうするかは、逆を示すための工夫である。）
（ⅰ）ｍ1,ｍ2∈Ｉとすると、（条件より）
∃ｍ1',ｍ2'∈ℤ，(ｍ1,ｍ1')∈Ａ，
(ｍ2,ｍ2')∈Ａ
Ａはイデアルより加法群なので、
(ｍ1,ｍ1')－(ｍ2,ｍ2')∈Ａ
∴(ｍ1－ｍ2,ｍ1'－ｍ2')∈Ａ
よって、Ａの定義（イデアルという事）より、
ｍ1－ｍ2∈Ｉ
よって、ｍ1,ｍ2∈Ｉ⇒ｍ1－ｍ2∈Ｉ
（ⅱ）ａ∈ℤ，ｍ∈Ｉとすると、ｍ∈Ｉより、
∃ｍ'∈ℤ，(ｍ,ｍ')∈Ａ
また、Ａはイデアルより、∀(ａ,１)∈ℤ×ℤに対して、(ａ,１)(ｍ,ｍ')∈Ａ　
∴(ａｍ,ｍ')∈Ａ
よって、Ａの定義より、ａｍ∈Ｉ
よって、ａ∈ℤ，ｍ∈Ｉ⇒ａｍ∈Ｉ
（ⅰ）,（ⅱ）より、Ｉはℤのイデアルである。
同様にＪもℤのイデアルである。
よって、Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアル⇒Ｉ,Ｊがℤのイデアルが示された。
よって、Ｉ,Ｊがℤのイデアル⇔Ｉ×Ｊはℤ×ℤのイデアルが示された。

（２）Ａがℤ×ℤのイデアル⇒Ａ＝Ｉ×Ｊの証明：
まず、Ｉ×(０)⊂Ａ，(０)×Ｊ⊂Ａを示す。
(ｍ,０)∈Ｉ×(０)とすると、ｍ∈Ｉより、
∃ｍ'∈ℤ，(ｍ,ｍ')∈Ａ（条件より）
ここで、Ａはイデアルであるから、
(１,０)∈ℤ×ℤに対して、(１,０)(ｍ,ｍ')∈Ａ
∴(ｍ,０)∈Ａ
よって、(ｍ,０)∈Ｉ×(０)⇒(ｍ,０)∈Ａ
∴Ｉ×(０)⊂Ａ
Ｊ×(０)⊂Ａも同様。
次に、Ａ⊂Ｉ×Ｊを示す。
(ｍ,ｎ)∈Ａとすると、Ｉの定義、Ｉ＝{ｍ∈ℤ｜(ｍ,ｍ')∈Ａ，∃ｍ'∈ℤ}より、ｍ∈Ｉ
また、Ｊの定義、Ｊ＝{ｎ'∈ℤ｜(ｎ,ｎ')∈Ａ，∃ｎ∈ℤ}より、ｎ∈Ｊ
∴(ｍ,ｎ)∈Ｉ×Ｊ
よって、(ｍ,ｎ)∈Ａ⇒(ｍ,ｎ)∈Ｉ×Ｊ
∴Ａ⊂Ｉ×Ｊ
次に、Ａ⊃Ｉ×Ｊを示す。
(ｍ,ｎ)∈Ｉ×Ｊとすると、ｍ∈Ｉ，ｎ∈Ｊであるから、
Ｉ×(０)⊂Ａ，(０)×Ｊ⊂Ａより、
(ｍ,０)，(０,ｎ)∈Ａ
ところで、Ａはイデアルより加法に関して群である。
∴(ｍ,０)＋(０,ｎ)∈Ａ　∴(ｍ,ｎ)∈Ａ
よって、(ｍ,ｎ)∈Ｉ×Ｊ⇒(ｍ,ｎ)∈Ａ
∴Ｉ×Ｊ⊂Ａ
以上より、Ａ＝Ｉ×Ｊ
よって、Ａがℤ×ℤのイデアル⇒Ａ＝Ｉ×Ｊが示された。

（１）,（２）より、ℤ×ℤのイデアルはℤのイデアルＩ,ＪでＩ×Ｊの形で表される。
また、ℤは単項イデアル環（定理2.7）より、Ｉ＝ａℤ，Ｊ＝ｂℤ（ａ,ｂ∈ℤ）と表される。
よって、ℤ×ℤのイデアルは全てある整数ａ,ｂによって、ａℤ×ｂℤという形で表される。

定理2.7
有理整数環ℤのイデアルはすべて単項イデアルである。すなわち、有理整数環ℤは単項イデアル整域（PID）である。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-11932834832.html

解説
＞剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０,~１}は体である。

証明１
定理2.6(２)より、|２ℤ4が極大イデアルである事を示せば良い。

定理2.6
Ｐを可換環Ｒのイデアルとするとき、次が成り立つ。
（１）Ｐは素イデアルである。⇔Ｒ/Ｐは整域。
（２）Ｐは極大イデアルである。⇔Ｒ/Ｐは体。
（３）Ｐが極大イデアルならば、Ｐは素イデアルである。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

念のため、p.155にℤnが可換環の証明があり、|２ℤ4がイデアルである事はp.169の単項イデアルから自明とする。

極大イデアルの定義
Ｐを可換環のイデアルとする。Ｐを含んでいるＲの真のイデアルが存在しないとき、すなわちＩをＲのイデアルとするとき
Ｐ⊂Ｉ⇒Ｐ＝Ｉ または Ｉ＝Ｒ
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

よって、|２ℤ4＝{|０,|２}を含むℤ4の部分集合Ｉ1＝{|０,|１,|２}，Ｉ2＝{|０,|２,|３}がイデアルにならない事を示せば良い。
イデアルの定義よりℤ4＝{|０,|１,|２,|３}の任意の元|３とＩ1の元|１の積を調べると、
|３・|１＝|３∉Ｉ1
よって、ℤ4のＩ1はイデアルではない。
同様にℤ4＝{|０,|１,|２,|３}の元|３とＩ2の元|３との積を調べると、
|３・|３＝|９＝|１∉Ｉ2
よって、ℤ4のＩ2もイデアルではない。
よって、|２ℤ4を含んでいる真のイデアルが存在しないので、|２ℤ4は極大イデアルである。
よって、定理2.6の（２）より、ℤ4/|２ℤ4は体である。よって、示された。

因みに、Ｉ1＝{|０,|１,|２}，Ｉ2＝{|０,|２,|３}がそれぞれ加法群にならない事を示してイデアルではない事を示しても良い。

証明２
ℤ4/|２ℤ4＝{~０,~１}
ただし、~０＝|０＋|２ℤ4，~１＝|１＋|２ℤ4
（ⅰ）加法群である事：
~０＋~０＝~０
~０＋~１＝~１
~１＋~１＝~２＝|２＋|２ℤ4∈ℤ4/|２ℤ4
（納得出来ない人のために、|２＋|２ℤ4から＝|２＋{|０,|２}＝{|２,|４}＝{|２,|０}＝|０＋{|０,|２}＝|０＋|２ℤ4＝~０∈ℤ4/|２ℤ4）
よって、ℤ4/|２ℤ4は加法について閉じている。
また、結合法則はℤ4で成り立つので、ここでも成り立つ。
また、~０が加法単位元である。
さらに、~１の逆元は、|１＋|２ℤ4の逆元で－|１＋|２ℤ4＝|３＋|２ℤ4∈ℤ4/|２ℤ4
（|３＋|２ℤ4＝|３＋{|０,|２}＝{|３,|５}＝{|３,|１}＝|１＋{|０,|２}＝~１∈ℤ4/|２ℤ4）
~０の逆元は~０
以上より、ℤ4/|２ℤ4は加法群である。
（ⅱ）乗法群である事：
(ℤ4/|２ℤ4)^*＝{~１}が乗法に関して群をなせば良いので、~１・~１＝~１∈{~１}より乗法について閉じている。また、~１は乗法単位元である。また、~１の逆元を考えると、
~１・~１＝~１より自分自身が逆元である（~１は乗法の単位元）。乗法の結合法則が成り立つのは自明（ℤ4で成り立つから）として、(ℤ4/|２ℤ4)^*＝{~１}は乗法に関して群をなす。（ⅰ）,（ⅱ）より、
剰余環ℤ4/|２ℤ4＝{~０，~１}は体である。

続きは次回。

おまけ：

解説の続き
＞直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子をもつ。

この問題は第３章§２の演習問題だが、第３章§１の演習問題５に、

演習問題５
環Ｒ,Ｒ'の直積集合Ｒ×Ｒ'の２元(ａ,ｂ)，(ａ',ｂ')に対して、加法と乗法をそれぞれ
(ａ,ｂ)＋(ａ',ｂ')＝(ａ＋ａ',ｂ＋ｂ')，
(ａ,ｂ)・(ａ',ｂ')＝(ａ・ａ',ｂ・ｂ')
と決めるとき、Ｒ×Ｒ'はこれら演算に関して環をつくることを示せ。また、この環Ｒ×Ｒ'は零因子をもつことを示せ。Ｒ×Ｒ'をＲとＲ'の直積という。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

とあるので、「ℤ×ℤは零因子をもつ」。

＞(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤp

第２章§７の演習問題９に、

演習問題９
群の直積Ｇ＝Ｇ1×Ｇ2において、Ｈ1,Ｈ2をそれぞれＧ1,Ｇ2の正規部分群とすれば、次が成り立つことを証明せよ。
Ｇ/(Ｈ1×Ｈ2)≃Ｇ1/Ｈ1×Ｇ2/Ｈ2
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

とあるので、(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)に適用すると、
(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)≃ℤ/ℤ×ℤ/pℤで、ℤ/ℤはℤ/nℤがｎで割った余りの集合より、ℤ/ℤは１で割った余りの集合なので{０}である。（全ての整数は１で割り切れるから。）
また、p.169に{０}＝(０)とあるので、
ℤ/ℤ×ℤ/ℤp＝(０)×ℤ/ｐℤである。
∴(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)≃(０)×ℤ/pℤ
また、(０)×ℤ/pℤ≃ℤpは自明なので、
(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)≃ℤp

＞その剰余環(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。

上より、(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)≃ℤpでℤpは定理2.9より体なので、それと同型な(ℤ×ℤ)/(ℤ×pℤ)も体である。
また、定理1.4より、体ならば整域で零因子を持たない。

定理2.9
有理整数環ℤにおいて、次の５つの命題は同値である。
（１）ｐは素数である。
（２）(ｐ)＝ｐℤは素イデアルである。
（３）(ｐ)＝ｐℤは極大イデアルである。
（４）ℤ/(ｐ)は整域である。
（５）ℤ/(ｐ)は体である。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

念のため、ℤp＝ℤ/pℤ＝ℤ/(ｐ)である。

定理1.4
体は０と異なる零因子をもたない。すなわち、体は整域である。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

因みに、上の、

（注意）他の例として、直積環ℤ×ℤについて考えれば、ℤ×ℤは零因子をもつ。しかし、
(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)≃(０)×ℤ/ｐℤ≃ℤp
であるから、その剰余環(ℤ×ℤ)/(ℤ×ｐℤ)は体であって零因子をもたない。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

のｐにｐは素数と書いていないので、厳密にはアウトである。もっとも暗黙の了解だと思うが。

おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/news/opinion/%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%9A%E3%82%A4%E3%81%AF%E8%BA%AB%E3%81%AE%E5%8D%B1%E9%99%BA%E3%82%92%E6%84%9F%E3%81%98%E3%81%A6%E3%81%84%E3%81%9F-%E5%A4%A7%E8%B0%B7%E7%BF%94%E5%B9%B3%E3%81%AE%E9%80%9A%E8%A8%B3-%E6%B0%B4%E5%8E%9F%E6%B0%8F%E3%81%8C-%E5%91%BD%E3%82%92%E7%8B%99%E3%82%8F%E3%82%8C%E3%82%8B%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7-%E3%81%A8-%E3%81%9D%E3%81%AE%E8%83%8C%E5%BE%8C%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B-%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E7%8A%AF%E7%BD%AA%E7%B5%84%E7%B9%94-%E3%81%AE%E6%AD%A3%E4%BD%93/ar-BB1ksuPA?ocid=msedgntp&pc=U531&cvid=29ac177a165045299ba02210dd4b2111&ei=6

問題１の別解
半円の中心をＯとして、ＯＥを結ぶと、
ＯＥ∥ＡＤ　また、ＡＥとＤＣの交点をＦとすると、△ＦＤＡと△ＦＯＥは相似で相似比はＤＡ：ＯＥ＝３：２　
よって、ＦＤ：ＦＯ＝３：２
よって、ＦＤ＝(３/５)×２＝６/５ｃｍ，
ＦＯ＝(２/５)×２＝４/５ｃｍ
また、ＢＥとＤＣの交点をＧとすると、
ＦＧ＝(４/５)×２＝８/５ｃｍ
よって、求める面積は、
半円＋△ＦＤＡ×２－△ＥＦＧ
＝２×２×３.１４÷２＋３×(６/５)÷２×２－(８/５)×２÷２
＝６.２８＋１８/５－８/５
＝６.２８＋２
＝８.２８ｃｍ^2
よって、答えは、８.２８ｃｍ^2

問題２
次の計算をしてください。
２１９.８－１２５.６＋１５７－２５１.２

別解
小数だけ先に計算すると、
０.８－０.６－０.２＝０
よって、与式＝２１９－１２５＋１５７－２５１＝９４－９４＝０
よって、答えは、０

問題３の算数の別解
ＣからＡＢと平行な直線を引き、ＡＤの延長との交点をＥとすると、四角形ＡＢＣＥは平行四辺形よりＡＥ＝ＢＣ＝５ｃｍ
よって、ＤＥ＝５－１.８＝３.２ｃｍ
また、平行四辺形よりＥＣ＝ＡＢ
また、条件よりＡＢ＝ＤＣ
よって、ＥＣ＝ＤＣより△ＣＤＥは二等辺三角形。また、ＡＣ＝ＡＥ＝５ｃｍより△ＡＣＥも二等辺三角形で∠Ｅを共有しているので、△ＣＤＥと△ＡＣＥは相似である。
よって、？：３.２＝５：？が成り立つ。
よって、？×？＝３.２×５＝１６
よって、？×？＝４×４より、？＝４ｃｍ
よって、答えは、４ｃｍ

何でもありの解法
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、等脚台形より、ＢＨ＝(５－１.８)÷２＝１.６ｃｍ　∴ＣＨ＝５－１.６＝３.４ｃｍ
よって、△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、
ＡＨ＝√(５^2－３.４^2)＝√(２５－１１.５６)＝√１３.４４ｃｍ
また、△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、
ＡＢ＝√(１.６^2＋１３.４４)＝√(２.５６＋１３.４４)＝√１６＝４ｃｍ
よって、答えは、４ｃｍ

問題４
定価の２０％引きで売っても、原価の２０％の利益があるには、定価を原価の何％増しにすればよいですか。

何でもありの解法
原価をｘ円，定価をｘｙ円とすると、
原価の２０％は０.２ｘ円で、
０.８ｘｙ－ｘ＝０.２ｘが成り立つという事である。ｘ≠０より両辺をｘで割ると、
０.８ｙ－１＝０.２　∴０.８ｙ＝１.２
∴ｙ＝１２/８＝３/２＝１.５
よって、定価は原価の１.５倍である。
よって、答えは、５０％

おまけ：

何でもありの解法
ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとし、△ＡＢＨ，△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、
ＢＨ＝√(４^2－３^2)＝√７ｃｍ
ＣＨ＝√(９^2－３^2)＝６√２ｃｍ
∴ＢＣ＝√７＋６√２ｃｍ
∴ＡＤ＝√７＋６√２ｃｍ
ここで、ＤからＢＣに垂線を下ろし、その線分にＡから垂線を下ろしその足をＩとすると、
ＡＩ//ＢＣより錯角で、∠ＣＡＩ＝∠Ｃ
また、∠ＥＡＤ＝∠Ｂより、
∠ＤＡＩ＝∠Ｂ－∠Ｃ
∴ＤＩ＝ＡＤsin∠ＤＡＩ＝ＡＤsin(Ｂ－Ｃ)
＝(√７＋６√２)sin(Ｂ－Ｃ)———☆
また、sinＢ＝３/４，cosＢ＝√７/４，
sinＣ＝１/３，cosＣ＝２√２/３———①
sin(Ｂ－Ｃ)＝sinＢcosＣ－cosＢsinＣ———②
①を②に代入すると、
sin(Ｂ－Ｃ)＝(３/４)(２√２/３)－(√７/４)(１/３)＝√２/２－√７/１２———★
★を☆に代入すると、
ＤＩ＝(√７＋６√２)(√２/２－√７/１２)
＝√１４/２－７/１２＋６－√１４/２
＝６－７/１２＝６５/１２
∴ＤＩ＝６５/１２ｃｍ
ところで、あ＝ＤＩ＋ＡＨより、
あ＝６５/１２＋３＝１０１/１２ｃｍ

算数の別解は次回。

おまけ：
https://gendai.media/articles/-/126258?page=2

算数の別解
ＢＡの延長上に点Ｆを取ると、△ＡＢＣの内対角の和で∠ＡＢＣ＝∠ＥＡＤより、∠ＤＡＦ＝∠Ｃという事が分かる。
また、∠Ｄ＝∠Ｃより、∠ＤＡＦ＝∠Ｄ
よって、錯角が等しいので、ＡＦ∥ＥＤ
よって、ＢＡ∥ＥＤより、ＤからＢＣに垂線を下ろしその線分にＥから垂線を下ろしＨとすると、△ＤＥＨは左下の直角三角形と相似になる。よって、ＤＥ：ＤＨ＝４：３でＤＥ＝ＣＡ＝９ｃｍより、ＤＨ＝２７/４ｃｍ
また、ＡＥ＝ＢＡ＝４ｃｍより、ＣＥ＝９－４＝５ｃｍ　ここで、ＥからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、相似よりＣＥ：ＥＩ＝９：３＝３：１となり、ＣＥ＝５ｃｍより、
ＥＩ＝５/３ｃｍ　
ところで、あ＝ＤＨ＋ＥＩより、
あ＝２７/４＋５/３＝８１/１２＋２０/１２
＝１０１/１２ｃｍ
よって、答えは、１０１/１２ｃｍ

おまけ：
https://smart-flash.jp/sports/278609/image/1/?rf=2

解説

問題 4-16b
群Ｇの部分群Ｈ,ＮがＧ⊃Ｈ⊃Ｎをみたすとき、(Ｇ：Ｈ)，(Ｈ：Ｎ)が有限ならば
(Ｇ：Ｎ)＝(Ｇ：Ｈ)(Ｈ：Ｎ)を示せ。

解答
Ｇにおける右Ｈ傍系全体をｈiＨ（ｉ＝１,･･･,ｓ；ｓ＝(Ｇ：Ｈ)），Ｈにおける右Ｎ傍系全体をｎjＮ（ｊ＝１,･･･,ｔ；ｔ＝(Ｈ：Ｎ)）とおく。このときｈiｎjＮ（１≦ｉ≦ｓ；１≦ｊ≦ｔ　全部でｓｔ個）は、Ｇにおける右Ｎ傍系全体であることを示す（これよりｓｔ＝(Ｇ：Ｎ)となり、問題の公式が従う）。
まずｈiｎjＮの和集合はＧ全体であることを示す。任意のｇ∈ＧはあるｈiＨに含まれる。定義よりｈi^-1ｇはＨに含まれるので、あるｎjＮに含まれる：ｈi^-1ｇ∈ｎjＮ　よってｇ∈ｈiｎjＮであり、ＧはｈiｎjＮの和集合である。
次にｈiｎjＮ＝ｈkｎmＮならばｉ＝ｋ，ｊ＝ｍを示す。仮定よりｈiｎj＝ｈkｎmｌ（ｌ∈Ｎ）と表される。よって(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｌ∈Ｎ⊂Ｈである。この式の左辺は
(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｎm^-1ｈk^-1ｈiｎj＝ｎm^-1(ｈk^-1ｈi)ｎj＝ｌ∈Ｎ⊂Ｈ・・・（＊）
と変形できる。したがってｈk^-1ｈi＝ｎmｌｎj^-1はＨに含まれる（ｎm,ｎj∈Ｈだから）。よってｋ＝ｉが従う。これより上式（＊）はｎm^-1ｎj＝ｌ∈Ｎとなり、ｍ＝ｊが従う。以上よりｈiｎjＮがＧのＮに関する右傍系全体であることが示された。
「本質を学ぶ ガロワ理論最短コース」梶原健著より

＞まずｈiｎjＮの和集合はＧ全体であることを示す。任意のｇ∈ＧはあるｈiＨに含まれる。定義よりｈi^-1ｇはＨに含まれるので、あるｎjＮに含まれる：ｈi^-1ｇ∈ｎjＮ　よってｇ∈ｈiｎjＮであり、ＧはｈiｎjＮの和集合である。

要は、Ｇ＝ｈ1ｎ1Ｎ∪･･･∪ｈsｎtＮとなる事を示すという事である。
また、上の「Ｇにおける右Ｈ傍系全体をｈiＨ（ｉ＝１,･･･,ｓ；ｓ＝(Ｇ：Ｈ)）」とは、
Ｇ＝ｈ1Ｈ∪ｈ2Ｈ∪･･･∪ｈsＨとなっているという事なので、Ｇの任意の元ｇはこのどこかに入っているはずである。よって、「ｇ∈ＧはあるｈiＨに含まれる」。
よって、ｇ∈ｈiＨ　この両辺に左からｈi^-1をかけると、ｈi^-1ｇ∈Ｈ———①
また、上の「Ｈにおける右Ｎ傍系全体をｎjＮ（ｊ＝１,･･･,ｔ；ｔ＝(Ｈ：Ｎ)）」より、
Ｈ＝ｎ1Ｎ∪ｎ2Ｎ∪･･･∪ｎtＮ———②
①，②より、ｈi^-1ｇは②のどこかに入っているはずである。∴ｈi^-1ｇ∈ｎjＮ
この両辺に左からｈiをかけると、
ｇ∈ｈiｎjＮ
ところで、ｇはＧの任意の元なので、
ｇ∈Ｇ⇒ｇ∈ｈiｎjＮより、ＧはｈiｎjＮの部分集合である。∴Ｇ⊂ｈiｎjＮ
また、Ｇ⊃ｈiｎjＮは自明なので、
Ｇ＝ｈiｎjＮである。
∴Ｇ＝ｈ1ｎ1Ｎ∪･･･∪ｈsｎtＮ
よって、「ＧはｈiｎjＮの和集合である」。

＞次にｈiｎjＮ＝ｈkｎmＮならばｉ＝ｋ，ｊ＝ｍを示す。仮定よりｈiｎj＝ｈkｎmｌ（ｌ∈Ｎ）と表される。よって(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｌ∈Ｎ⊂Ｈである。この式の左辺は
(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｎm^-1ｈk^-1ｈiｎj＝ｎm^-1(ｈk^-1ｈi)ｎj＝ｌ∈Ｎ⊂Ｈ・・・（＊）
と変形できる。したがってｈk^-1ｈi＝ｎmｌｎj^-1はＨに含まれる（ｎm,ｎj∈Ｈだから）。よってｋ＝ｉが従う。

「仮定よりｈiｎj＝ｈkｎmｌ（ｌ∈Ｎ）と表される」とは、ｈiｎjＮ＝ｈkｎmＮの左のＮから単位元ｅを選ぶと、ｈiｎj・ｅ＝ｈiｎjは右の集合ｈkｎmＮに含まれるので、あるＮの元ｌが存在して、ｈiｎj＝ｈkｎmｌとなっているという事である。この両辺に左から(ｈkｎm)^-1をかけると、
(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｌとなり、ｌ∈Ｎより、
(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｌ∈Ｎ
また、問題の条件より「群Ｇの部分群Ｈ,ＮがＧ⊃Ｈ⊃Ｎをみたす」ので、Ｎ⊂Ｈである。
∴(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝ｌ∈Ｎ⊂Ｈ
また、この左辺より、
(ｈkｎm)^-1(ｈiｎj)＝(ｎm^-1ｈk^-1)(ｈiｎj)＝ｎm^-1(ｈk^-1ｈi)ｎj
∴ｎm^-1(ｈk^-1ｈi)ｎj∈Ｈ・・・（＊）
ところで、ｎm,ｎj∈Ｈ（「Ｈにおける右Ｎ傍系全体をｎjＮ」と「次にｈiｎjＮ＝ｈkｎmＮ」から）でＨは群より、ｎm^-1，ｎj∈Ｈ
これと（＊）より、ｈk^-1ｈi∈Ｈである。
また、ｈk^-1，ｈiはＧの元である。（「Ｇにおける右Ｈ傍系全体をｈiＨ」と「次にｈiｎjＮ＝ｈkｎmＮ」より）
よって、Ｇの任意の元ｈiとｈk^-1の積がｉ＝１,･･･,ｓまで変化しても全てＧの部分集合Ｈに入るのはｋ＝ⅰの場合だけでｈk^-1ｈi＝ｈi^-1ｈi＝ｅとなる場合である。（単位元は部分群も共有している。）
よって、「よってｋ＝ｉが従う」という事である。

おまけ：

何でもありの解法
ＤＡの延長上にＡＥ＝ＡＣとなる点Ｅを取ると、∠ＢＡＥ＝１８０°－７７°－２６°＝７７°より、∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥ≡△ＡＢＣ　∴ＡＥ＝ＡＣ＝④
また、∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣより△ＢＤＥで角の二等分線の定理を使うと、ＢＥ：ＢＤ＝ＡＥ：ＡＤ＝④：⑦＝４：７
また、ＢＥ＝ＢＣより、ＢＣ：ＢＤ＝４：７となる。∴ＢＣ：ＣＤ＝４：３

因みに、角の二等分線の定理を使わないで算数の解法に出来るが、もっと簡単な算数の解法が沢山あるので省略。

別解１
ＣからＡＤと平行な直線を引き、ＡＢとの交点をＥとすると、錯角より∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＤ＝２６°よって、△ＣＡＥの内角の和より、∠ＣＥＡ＝１８０°－２６°－７７°＝７７°
よって、∠ＣＡＥ＝∠ＣＥＡより△ＣＡＥは二等辺三角形。よって、ＣＥ＝ＣＡ＝④
また、△ＢＣＥと△ＢＤＡは相似より、
ＢＣ：ＢＤ＝ＣＥ：ＤＡ＝④：⑦＝４：７
よって、ＢＣ：ＣＤ＝４：３

算数の別解あと３通りは、次回。

おまけ：https://manba.co.jp/topics/11652

別解２
ＤからＡＣと平行な直線を引き、ＢＡの延長との交点をＥとすると、同位角より∠ＤＥＡ＝∠ＣＡＢ＝７７°また、∠ＤＡＥ＝１８０°－７７°－２６°＝７７°より、
∠ＤＥＡ＝∠ＤＡＥ
よって、△ＤＡＥは二等辺三角形より、ＤＥ＝ＤＡ＝⑦　また、△ＢＡＣと△ＢＥＤは相似より、ＢＣ：ＢＤ＝ＣＡ：ＤＥ＝④：⑦＝４：７
よって、ＢＣ：ＣＤ＝４：３

別解３
ＤからＡＢと平行な直線を引き、ＡＣの延長との交点をＥとすると、錯角より∠ＡＥＤ＝∠ＣＡＢ＝７７°よって、△ＡＤＥの内角の和より、∠ＡＤＥ＝１８０°－２６°－７７°＝７７°よって、∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＥより△ＡＤＥは二等辺三角形。よって、ＡＥ＝ＡＤ＝⑦
よって、ＣＥ＝⑦－④＝③
また、△ＣＡＢと△ＣＥＤは相似で相似比はＣＡ：ＣＥ＝④：③＝４：３
よって、ＢＣ：ＣＤ＝４：３

別解４（勘違いで何でもありの解法）
ＢからＡＤと平行な直線を引き、ＡＣの延長との交点をＥとすると、錯角より∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ＝２６°
よって、△ＥＡＢの内角の和より∠ＥＢＡ＝１８０°－２６°－７７°＝７７°
よって、∠ＥＡＢ＝∠ＥＢＡより△ＥＡＢは二等辺三角形。
ここで、ＣＥ＝ｘと置くと、ＥＡ＝ｘ＋④より、ＥＢ＝ｘ＋④
ところで、△ＣＡＤ∽△ＣＥＢより、
④：ｘ＝⑦：ｘ＋④が成り立つ。
計算上、①＝１と置くと、
４：ｘ＝７：ｘ＋４　∴７ｘ＝４(ｘ＋４)
∴７ｘ＝４ｘ＋１６　∴３ｘ＝１６
∴ｘ＝１６/３　∴ＣＥ＝(16/3)
∴ＢＣ：ＤＣ＝ＥＣ：ＡＣ＝(16/3)：④
＝16/3：４＝4/3：１＝４：３
∴ＢＣ：ＣＤ＝４：３

勘違いついでに何でもありの解法３も作って下さい。（簡単です。）

おまけ：

何でもありの解法３
ＢからＡＣと平行な直線を引き、ＤＡの延長との交点をＥとすると、錯角より∠ＥＢＡ＝∠ＣＡＢ＝７７°また、∠ＥＡＢ＝１８０°－７７°－２６°＝７７°より∠ＥＢＡ＝∠ＥＡＢ
よって、△ＥＡＢは二等辺三角形より、ＥＡ＝ＥＢ＝ｘと置くと、△ＤＡＣ∽△ＤＥＢより、７：７＋ｘ＝４：ｘが成り立つ。
∴７ｘ＝４(７＋ｘ)　∴３ｘ＝２８　∴ｘ＝２８/３　∴ＥＢ＝(28/3)
∴ＤＣ：ＤＢ＝ＡＣ：ＥＢ＝④：(28/3)
＝１：７/３＝３：７　
∴ＢＣ：ＣＤ＝４：３

おまけ：
「精神病理学の解釈では、ナオは発狂者ということになる。天才と狂人は紙一重というが、ある意味で、すべての霊能者（オカルティスト）や見神者は狂人と紙一重である。霊的にみれば狂人というのは、神経回路が混線したり、ショートした人間のことである。そして、神経とは、すなわち「神の経（みち）」である。
　数万年、数十万年のあいだ幽閉されてきた神々は、みずからを顕現化させる容器を求めていた。そのあまりに巨大な噴出力は、ときには、まず容器になるべき人間の周辺や、その地域全体の神経回路を混乱させたり、ショートさせてしまうのだ。だから、この地域の異常性、ナオをとりまく悲惨の数々は、きたるべき神の、壮大なる世界の登場のきざしのようなものであったともいえる。
　ついでにいっておくと、後年までナオに投げかけられる「気狂い婆」という罵倒にたいし、王仁三郎に投げかけられた悪罵は「山師」であった。　　　　　　（中略）
　だから、もともと高次の霊界との交感性は、いま述べたように、ある選別された特定の人間によってしか確保されえないし、かりにそういう器でも、コンバート機構を自分のなかにつくれないと、霊界が神経に逆流して、発狂したりするのである。」
「出口王仁三郎の霊界からの警告」武田崇元著より

定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}

（Ｇ３）逆元の存在：
別証
ℤnには、ａ,ｂ,ｃ∈ℤ，|(ａｃ)＝|(ｂｃ)となる元が存在する。
∴ａｃ≡ｂｃ（modｎ）
ここで、|ｃ∈ℤnの逆元が存在すると仮定すると、ａ≡ｂ（modｎ）となる。
∴ａ－ｂ≡０（modｎ）
よって、ａ－ｂはｎの倍数。———☆
また、ａｃ－ｂｃ≡０（modｎ）
∴ｃ(ａ－ｂ)≡０（modｎ）（ℤnは環だから分配法則が使える。）
よって、ｃ(ａ－ｂ)＝ｎｄ（ｄは整数）と置ける。∴ｃ(ａ－ｂ)/ｎ＝ｄ
ここで、ｃとｎが互いに素でないとすると、ａ－ｂがｎの倍数にならない場合が出来る。これは☆に矛盾するので、ｃとｎは必ず互いに素である。
∴|ｃ∈Ｕ(ℤn)
よって、ℤnに |ｃの逆元が存在すると仮定すると、|ｃ∈Ｕ(ℤn)となる。
よって、Ｕ(ℤn)の全ての元には逆元が存在する。（Ｕ(ℤn)⊊ℤnだから。）

どうでしょう。念のため、私のオリジナルです。

おまけ：

解説
＞ほかの原始根は２^a（ａは４と互いに素）である。つまり３である。

ａは４と互いに素なので、ａ＝１,３のみ。
∴２^1＝２，２^3＝８≡３(mod５)
よって、他の原始根は３のみ。

＞ほかの原始根は３^a（ａは６と互いに素）である。つまり５である。

ａは６と互いに素なので、ａ＝１,５のみ。
∴３^1＝３，３^5＝２４３≡５(mod７)
よって、他の原始根は５のみ。

＞ほかの原始根は２^a（ａは１０と互いに素）である。つまり８,７,６である。

ａは１０と互いに素なので、ａ＝１,３,７,９
∴２^1＝２，２^3＝８，２^7＝１２８≡７(mod１１)，２^9＝５１２≡６(mod１１)
よって、他の原始根は８，７，６

＞出来れば「ほかの原始根は２^a（ａは４と互いに素）」の理由も述べて下さい。

よく観察すると、
「ｐ＝５のとき(ℤ/５ℤ)^×＝{２,２^2＝４,２^3＝３,２^4＝１}より、２は原始根である。ほかの原始根は２^a（ａは４と互いに素）である。つまり３である。」
から、２は巡回群の生成元で、要は、２以外の生成元を求めれば良い話である。
そこで、定理3.6の系２を思い出すと、

定理3.6の系２
Ｇをａによって生成される位数ｎの巡回群とする。このとき、Ｇの元ａ^kがＧの生成元であるための必要十分条件は、(ｎ,ｋ)＝１なることである。
ａ^kがＧの生成元 ⇔ (ｎ,ｋ)＝１
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

(ℤ/ｐℤ)^×は、

問題 4-12b
ｐを素数とする。このとき(ℤ/ｐℤ)^×はある整数ａのべきの集合{ａ,ａ^2,･･･,ａ^(p-1)＝１}に等しいことを示せ。このａを(ℤ/ｐℤ)^×の原始根という。

から、巡回群である。そして、(ℤ/ｐℤ)^×＝{１,２,３,･･･,ｐ－１}より、(ℤ/ｐℤ)^×の位数はｐ－１である。
ここで、(ℤ/ｐℤ)^×の原始根をａとすると、ａは位数ｐ－１の巡回群の生成元で、定理より(ℤ/ｐℤ)^×の元ａ^kが生成元になる条件は、(ｐ－１,ｋ)＝１である。つまり、ａ^kが原始根であるための条件はｐ－１とｋが互いに素である事である。
よって、「ほかの原始根は２^a（ａは４と互いに素）」である事が分かるだろう。ここでの「４」は「ｐ－１」で、「２」は原始根（生成元）。

おまけ：

解説
＞Ｇ＝(ℤ/ｐℤ)^×の元ａのべき全体がＧに一致しないとする。このときａのべきで表せない元ｂをとる。

例えば、Ｇ＝(ℤ/ｐℤ)^×＝{１,２,･･･,ｐ－１}の中の３という元ではこの巡回群の生成元にならないとする。すると、{１,２,･･･,ｐ－１}の中には必ず、３を生成元とした巡回部分群以外の元が存在する。その元をｂとして選ぶという事である。
念のため、ａ＝３としたという事である。また、「この巡回群」と書いたが、本当はこの時点では乗法についての巡回群とは言えない。

＞ａの位数をｄ，ｂの位数をｄ'とし、ｄ,ｄ'の最大公約数をｒとする。このときａ^(d/r)，ｂ^(d'/r)の位数はともにｒ

{ａ^(d/r)}^r＝ａ^d＝ｅより、{ａ^(d/r)}^r＝ｅ
また、ｄはａの位数よりこれより小さいｄではｅとはならず、{ａ^(d/r)}^rもｒより小さいｒではｅとはならない事が分かる。
よって、ａ^(d/r)の位数はｒである。
ｂ^(d'/r)も同様。

＞このときａ^(d/r)，ｂ^(d'/r)の位数はともにｒで、両者のべきの集合は一致する。なぜならば、これらのべきはそれぞれｒ個ずつあり、ｘ^r－１の根だからである（整域の元を係数とする多項式の根の個数はその次数以下であるから（問題 1-10））。

（整域の元を係数とする多項式の根の個数はその次数以下であるから（問題 1-10））は全く不要だと思う。
両方ともｘ^r－１＝０の解だから一致するだけである。

＞したがってｄ'＞ｒである。

今、ｄ'＝ｒとすると、ｂ^(d'/r)＝ｂとなり、また、ａ^(d/r)，ｂ^(d'/r)のべき集合が一致しているので、ｂ＝{ａ^(d/r)}^mで表されるという事である。これは「このときａのべきで表せない元ｂをとる」という事に矛盾する。
したがってｄ'＞ｒである。念のため、ｒはｄとｄ'の最大公約数だからｄ'≧ｒだからである。
しかし、問題 1-10は何だったのでしょう。お陰で悩みました。

＞そこでａとｂ'＝ｂ^rの積ａｂ'の位数はｄ(ｄ'/ｒ)（＞ｄ）である（問題 4-10）。この操作を繰り返せば、いずれＧ全体が、べき全体と一致するような整数が得られる。

ここで、ｂ'＝ｂ^r（ｒはｄとｄ'の最大公約数）という元を選ぶとｂ'の位数はｄ'/ｒである。
∵ｂ'^(ｄ'/ｒ)＝(ｂ^r)^(ｄ'/ｒ)＝ｂ^d'＝ｅ
また、ｂの位数はｄ'よりｄ'より小さいｄ'ではｅとならないので、ｂ'もｄ'/ｒより小さい数ではｅとならない。よって、ｂ'の位数はｄ'/ｒである。
ところで、ｒはｄとｄ'の最大公約数より、ｄとｄ'/ｒは互いに素である。

問題 4-10b
ｄ,ｄ'が互いに素な正整数のとき、可換群Ｇの位数ｄの元ｇと位数ｄ'の元ｇ'の積ｇｇ'の位数はｄｄ'に等しいことを示せ。

よって、問題 4-10bより、
ａｂ'の位数はｄ(ｄ'/ｒ)である。
また、上よりｄ'＞ｒなので、ｄ'/ｒ＞１
∴ｄ(ｄ'/ｒ)＞ｄ
よって、ａｂ'の位数はｄより大きい。
つまり、ａｂ'はＧ＝(ℤ/ｐℤ)^×＝{１,２,･･･,ｐ－１}の中の新たな元になり、位数がもとの元ａより大きくなるので、これを繰り返すといつかは位数がｐ－１（最大）になる元が現れる。
よって、(ℤ/ｐℤ)^×は乗法についての巡回群になるという訳である。

おまけ：

次の疑問に答えて下さい。

問題 4-12b
ｐを素数とする。このとき(ℤ/ｐℤ)^×（下に「注」）はある整数ａのべきの集合{ａ,ａ^2,･･･,ａ^(p-1)＝１}に等しいことを示せ。このａを(ℤ/ｐℤ)^×の原始根という。

解答
Ｇ＝(ℤ/ｐℤ)^×の元ａのべき全体がＧに一致しないとする。このときａのべきで表せない元ｂをとる。ａの位数をｄ，ｂの位数をｄ'とし、ｄ,ｄ'の最大公約数をｒとする。このときａ^(d/r)，ｂ^(d'/r)の位数はともにｒで、両者のべきの集合は一致する。なぜならば、これらのべきはそれぞれｒ個ずつあり、ｘ^r－１の根だからである（整域の元を係数とする多項式の根の個数はその次数以下であるから（問題 1-10））。したがってｄ'＞ｒである。そこでａとｂ'＝ｂ^rの積ａｂ'の位数はｄ(ｄ'/ｒ)（＞ｄ）である（問題 4-10）。この操作を繰り返せば、いずれＧ全体が、べき全体と一致するような整数が得られる。
「本質を学ぶ ガロワ理論最短コース」梶原健著より

この証明には、ｐが素数という要素が使われていないが、それで大丈夫なのかどうか。

おまけ：

＞この証明には、ｐが素数という要素が使われていないが、それで大丈夫なのかどうか。

回答
大丈夫です。

問題 4-12b
ｐを素数とする。このとき(ℤ/ｐℤ)^×（下に「注」）はある整数ａのべきの集合{ａ,ａ^2,･･･,ａ^(p-1)＝１}に等しいことを示せ。このａを(ℤ/ｐℤ)^×の原始根という。

この証明は、ｐが素数の場合は(ℤ/ｐℤ)^×は乗法に関して群になるという仮定のもとになされているからです。
例えば、「この操作を繰り返せば、いずれＧ全体が、べき全体と一致するような整数が得られる」などは、Ｇが乗法に関して群だからａｂ'が再びＧの元になり、同様の事を繰り返す事が出来る訳です。
念のため、ｐが合成数の場合は(ℤ/ｐℤ)^×は乗法に関して群にならない。

「ｎ＝ｐ（素数）のとき、ℤp^*は乗法に関して群になる。逆に、ℤn^*が乗法に関して群になるならば、ｎは素数である。」
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

と思いましたが、そうだとしたら既約剰余類全体の集合は乗法に関して群になるので、それらも巡回群になるのでしょうか。

定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

ところが、Ｕ(ℤ9)＝{|１,|２,|４,|５,|７,|８}やＵ(ℤ10)＝{|１,|３,|７,|９}などは巡回群になるのですが（前者の生成元は|２，後者の生成元は|３）、Ｕ(ℤ8)＝{|１,|３,|５,|７}やＵ(ℤ12)＝{|１,|５,|７,|１１}などは巡回群になりません。２乗で単位元になるクラインの４元群です。

やはり、証明にｐが素数の要素が使われていないとダメなのでしょうか。（保留）

念のため、^×と^＊の意味は多少異なりますが、スルーして下さい。

おまけ：

＞やはり、証明にｐが素数の要素が使われていないとダメなのでしょうか。（保留）

問題 4-12b
ｐを素数とする。このとき(ℤ/ｐℤ)^×（下に「注」）はある整数ａのべきの集合{ａ,ａ^2,･･･,ａ^(p-1)＝１}に等しいことを示せ。このａを(ℤ/ｐℤ)^×の原始根という。

解答
Ｇ＝(ℤ/ｐℤ)^×の元ａのべき全体がＧに一致しないとする。このときａのべきで表せない元ｂをとる。ａの位数をｄ，ｂの位数をｄ'とし、ｄ,ｄ'の最大公約数をｒとする。このときａ^(d/r)，ｂ^(d'/r)の位数はともにｒで、両者のべきの集合は一致する。なぜならば、これらのべきはそれぞれｒ個ずつあり、ｘ^r－１の根だからである（整域の元を係数とする多項式の根の個数はその次数以下であるから（問題 1-10））。したがってｄ'＞ｒである。そこでａとｂ'＝ｂ^rの積ａｂ'の位数はｄ(ｄ'/ｒ)（＞ｄ）である（問題 4-10）。この操作を繰り返せば、いずれＧ全体が、べき全体と一致するような整数が得られる。
「本質を学ぶ ガロワ理論最短コース」梶原健著より

回答
＞Ｇ＝(ℤ/ｐℤ)^×の元ａのべき全体がＧに一致しないとする。このときａのべきで表せない元ｂをとる。ａの位数をｄ，ｂの位数をｄ'とし、ｄ,ｄ'の最大公約数をｒとする。

ｐが素数の場合は、ｄ≠ｄ'となるｂを選べる事の証明が必要だと思います。
ｄ＝ｄ'の場合は、ｄ＝ｄ'＝ｒとなり、ｄ'＞ｒが言えず証明が上手く行きません。
因みに、(ℤ/ｐℤ)^×が巡回群と分かっていれば「ｄ≠ｄ'となるｂを選べる」事は言えますが。

第２章演習問題１２
Ｇを位数ｍの有限可換群とするとき、次の条件は同値であることを示せ。
（１）Ｇは巡回群である。
（２）ｍの任意の約数ｋに対して、Ｇに位数ｋの部分群が唯１つ存在する。
（３）もあるが省略。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

(ℤ/ｐℤ)^×は乗法についても可換である事は自明で、巡回群ならば同じ位数の元は存在しないという事である。つまり、ｄ≠ｄ'の元ｂを選べる。

あとは専門家（プロ）に任せましょう。

おまけ：

＞あとは専門家（プロ）に任せましょう。

その後、「ところが、Ｕ(ℤ9)＝{|１,|２,|４,|５,|７,|８}やＵ(ℤ10)＝{|１,|３,|７,|９}などは巡回群になるのですが（前者の生成元は|２，後者の生成元は|３）、Ｕ(ℤ8)＝{|１,|３,|５,|７}やＵ(ℤ12)＝{|１,|５,|７,|１１}などは巡回群になりません。２乗で単位元になるクラインの４元群です。」
から、(ℤ/ｐℤ)^×のｐが素数＋１の場合がダメなのかと思い、Ｕ(ℤ14)＝{|１,|３,|５,|９,|１１,|１３}を調べてみましたが、生成元を|３としても|５としても巡回群になりました。
つまり、Ｕ(ℤ9)とＵ(ℤ10)のようにクラインの４元群になる方が異常で、それらを除けばｐが素数である要素を使う必要などないのでしょうか。（ｎが大きくなれば４元群になどなるはずがないですから。）

問題１
濃度５％の食塩水３００ｇがあり、この濃度を３％にしたいとき、水をいくら加えればよいでしょうか？

別解
　　　３　　：　　２
０％　　　 ３％　　５％
□ｇ　　　　　　　３００ｇ

天秤算で０％から３％の長さと３％から５％の長さの比が３：２より、釣り合うための天秤の重りの比は逆になって□ｇ：３００ｇ＝２：３である必要がある。（シーソーを考えれば分かると思う。）
よって、□＝２００ｇ
よって、答えは、２００ｇ

問題２の別解
外心をＯとしてＡＯの延長と円との交点をＤとすると、ＡＤは直径より∠ＡＢＤ＝９０°
また、円周角より∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＝４５°
よって、△ＢＡＤは直角二等辺三角形より、ＡＤ＝√２ＢＡ＝√２・√６＝２√３ｃｍ
よって、直角が２√３ｃｍより半径は√３ｃｍ
よって、円の面積Ｓは、Ｓ＝３πｃｍ^2

何でもありの解法
工夫なんて全く要らなくて、正弦定理を使うと、
√６/sin45°＝２Ｒ　
∴√６/(１/√２)＝２Ｒ
∴２Ｒ＝２√３　∴Ｒ＝√３ｃｍ
∴Ｓ＝３πｃｍ^2

問題３は次回。一応、３通り作って下さい。ただし、公式はなしです。
工夫と言えば、問題１の別解のような解き方は昔自力で考え出しました。後に、天秤算という事に気付いた訳ですが。因みに、どちらにどれぐらい引っ張られるかで考えました。今回だったら、水は０％の食塩水で５％の食塩水とパーセンテージを比べると３％は５％の方により引っ張られているので量も５％の方が多くてその比は２：３になるだろうという事。

おまけ：

改題
（１）ＡＤの中点，ＦＧの中点，ＡＥの中点の３点を通る平面でこの立方体を切った時の切断面の面積を求めて下さい。
（２）１辺の長さが１３ｃｍの正四面体の体積を求めて下さい。
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202007150002/

解答
（１）この３点を通る平面と立方体の他の交点は、ＥＦ，ＧＣ，ＣＤの中点でそれぞれＳ，Ｔ，Ｕと置くと、三角形の合同からＭＬ＝ＬＳ＝ＳＮ＝ＮＴ＝ＴＵ＝ＵＭで、立方体の対称性から∠ＭＬＳ＝∠ＬＳＮ＝∠ＳＮＴ＝∠ＮＴＵ＝∠ＴＵＭ＝∠ＵＭＬ
よって、六角形ＭＬＳＮＴＵは正六角形である。そして、１辺の長さは、１３√２/２ｃｍ
よって、１辺がこの長さの正三角形６個分の面積を求めれば良い。
∴Ｓ＝(１３√２/２)×(１３√２/２)×(√３/２)×(１/２)＝(１３√２/２)^2・(√３/４)
＝(１３^2/２)・(√３/４)＝１６９√３/８
∴６Ｓ＝５０７√３/４
よって、答えは、５０７√３/４ｃｍ^2

（２）解法１　正四面体をＯ－ＡＢＣとして、ＢＣの中点をＭとする。ここで、Ｏから底面ＡＢＣに垂線を下ろすと正三角形ＡＢＣの重心におり、その点をＧとすると、ＡＧ：ＧＭ＝２：１
ところで、ＯＭ＝ＡＭ＝１３√３/２ｃｍ
∴ＧＭ＝１３√３/６ｃｍ
よって、△ＯＭＧで三平方の定理を使うと、
ＯＧ＝√{(１３√３/２)^2－(１３√３/６)^2}
＝１３√６/３ｃｍ（計算省略）
∴体積Ｖ＝１３×(１３√３/２)×(１/２)×(１３√６/３)×(１/３)＝１３^3・３√２/３６＝２１９７√２/１２ｃｍ^2
よって、答えは、２１９７√２/１２ｃｍ^3

解法２
正四面体をＯ－ＡＢＣとして、ＢＣの中点をＭとする。ここで、断面図△ＭＯＡを考えると、等辺が１３√３/２ｃｍで底辺が１３ｃｍの二等辺三角形である。よって、三平方の定理で高さを求めると、
ｈ＝√{(１３√３/２)^2－(１３/２)^2}
＝１３√２/２ｃｍ（計算は簡単）
∴△ＭＯＡ＝１３^2√２/４＝１６９√２/４ｃｍ^2
∴体積Ｖ＝ＢＣ×△ＭＯＡ×(１/３)
＝１３×(１６９√２/４)×(１/３)
＝２１９７√２/１２ｃｍ^3
よって、答えは、２１９７√２/１２ｃｍ^3

解法３
ところで、図の立方体のＤＥ，ＥＧ，ＧＤ，ＢＤ，ＢＥ，ＢＧを結ぶと正四面体が現れる。
つまり、立方体から四隅の底面が直角二等辺三角形の三角錐を引けば良い。
そこで、立方体の１辺の長さを１３/√２ｃｍに調整すると、
体積Ｖ＝(１３/√２)^3－(１３/√２)^3×(１/２)×(１/３)×４
＝１３^3√２/１２（計算省略）
＝２１９７√２/１２ｃｍ^3
よって、答えは、２１９７√２/１２ｃｍ^3

おまけ：