数学

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006060000/

一応、別解を作ってみて下さい。念のため、模範解答の方法では瞬殺でした。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006050002/

公式を使わずに厳密に解いて下さい。ただし、中点連結定理の逆が成り立つぐらいは使って良いものとする。２通り作ってみました。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

定理3.1（対称式の基本定理）
ｎ変数対称式ｆ(ｘ1,…,ｘn)は基本対称式ｓ1,…,ｓn（前節）の多項式として一意的に表される。

ここでは、２変数ｘ,ｙや３変数ｘ,ｙ,ｚの場合に証明します。

■２変数の場合（証明）
変数ｘ,ｙの式を考えます。ｘ,ｙの対称式はｘ,ｙを交換しても不変な式です。したがって、式の中にｘ^aｙ^bの項があれば、その係数はｘ,ｙを交換した項ｘ^bｙ^aの係数と等しくなります。例えばｐｘ^3＋ｑ^2ｙ＋ｒｘｙ^2＋ｓｙ^3＋ｔｘｙが対称式であることは、
ｐｘ^3＋ｑｘ^2ｙ＋ｒｘｙ^2＋ｓｙ^3＋ｔｘｙ
＝ｐｙ^3＋ｑｙ^2＋ｒｙｘ^2＋ｓｘ^3＋ｔｙｘ（ｘ,ｙを交換した式）
より、ｐ＝ｓ，ｑ＝ｒと同値です。上の式を観察すると、ｘ^3＋ｙ^3，ｘ^2ｙ＋ｘｙ^2，ｘｙに定数を掛けて足した式になっています。つまりｐ＝ｓ，ｑ＝ｒより
ｐｘ^3＋ｑｘ^2ｙ＋ｒｘｙ^2＋ｓｙ^3＋ｔｘｙ＝ｐ(ｘ^3＋ｙ^3)＋ｑ(ｘ^2ｙ＋ｘｙ^2)＋ｔｘｙ
となります。これは一般に正しく、対称式は
ｘ^aｙ^b＋ｘ^bｙ^a，ｘ^bｙ^b（ただしａ＞ｂ≧０）
に定数を掛けて足した式です。
したがって２変数の場合に定理3.1を証明するには、上の２つのタイプについて証明すれば十分です。
後者のｘ^bｙ^bはｘ^bｙ^b＝(ｘｙ)^bなので自明です。前者はａ＋ｂが小さい順に証明します。ａ＋ｂ＝１の場合、ａ＝１，ｂ＝０となります。このときｘ^1ｙ^0＋ｘ^0ｙ^1＝ｘ＋ｙなので、基本対称式そのものです。次にａ＋ｂ＝２を考えます。（ａ＞ｂなので）ａ＝２，ｂ＝０となり、
ｘ^2＋ｙ^2＝(ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2)－２ｘｙ＝(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ
と変形されるので、基本対称式の式になります。
一般のａ,ｂの場合を考えます。ａ＞ｂ＞０の場合、ｘ^aｙ^b＋ｘ^bｙ^aは
ｘ^aｙ^b＋ｘ^bｙ^a＝(ｘｙ)^b{ｘ^(a-b)＋ｙ^(a-b)}
と変形されるので、ｘ^(a-b)＋ｙ^(a-b)の場合に帰着されます。ａ－ｂ＜ａ＋ｂより次数が小さい場合に帰着されることから、基本対称式で表されることがわかります。ａ＞ｂ＝０の場合は、
(ｘ^a＋ｙ^a)－(ｘ＋ｙ)^a＝ｘ^cｙ^dの項の和（ただしｃ,ｄ＞０，ｃ＋ｄ＝ａ）
を利用します。左辺は対称式なので右辺も対称式です。右辺はすでに述べた場合（ｘ^aｙ^b，ａ≧ｂ＞０）に帰着されます。よって右辺は基本対称式の式で表され、
ｘ^a＋ｙ^a＝(ｘ＋ｙ)^a＋(右辺を基本対称式で表した式)
も基本対称式の式になります。以上が２変数の場合の証明です。
ここで、上の説明をｘ^4＋ｙ^4（ａ＝４，ｂ＝０）で確認しましょう。まずｘ^4＋ｙ^4から(ｘ＋ｙ)^4を引き、残りの式を変形します：
ｘ^4＋ｙ^4－(ｘ＋ｙ)^4＝ｘ^4＋ｙ^4－(ｘ^4＋４ｘ^3ｙ＋６ｘ^2ｙ^2＋４ｘｙ^3＋ｙ^4)
＝－４(ｘ^3ｙ＋ｘｙ^3)－６ｘ^2ｙ^2（ａ≧ｂ＞０の場合）
＝－４ｘｙ(ｘ^2＋ｙ^2)－６(ｘｙ)^2（次数が小さい場合）
＝－４ｘｙ{(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ}－６(ｘｙ)^2
＝－４ｘｙ(ｘ＋ｙ)^2＋２(ｘｙ)^2
∴ｘ^4＋ｙ^4＝(ｘ＋ｙ)^4－４ｘｙ(ｘ＋ｙ)^2＋２(ｘｙ)^2
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

具体的には、

＞ａ－ｂ＜ａ＋ｂより次数が小さい場合に帰着されることから、基本対称式で表されることがわかります。

＞ａ＞ｂ＝０の場合は、
(ｘ^a＋ｙ^a)－(ｘ＋ｙ)^a＝ｘ^cｙ^dの項の和（ただしｃ,ｄ＞０，ｃ＋ｄ＝ａ）
を利用します。左辺は対称式なので右辺も対称式です。右辺はすでに述べた場合（ｘ^aｙ^b，ａ≧ｂ＞０）に帰着されます。よって右辺は基本対称式の式で表され、

この２ヶ所ぐらいですね。ただし、さっぱり分からないと思います。この先生の日本語の使い方が独特なのでしょうか。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006090000/

別解２通り作ってみました。系を入れれば４通りですが。模範解答の方法は勿論秒殺です。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題 2-3a
次の多項式ｆ(ｘ)，ｇ(ｘ)の最大公約数を求めよ：
ｆ(ｘ)＝ｘ^4－２ｘ^2＋１
ｇ(ｘ)＝ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２

解答
ユークリッドの互除法を利用して求める。
(ｘ^4－２ｘ^2＋１)÷(ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２)＝ｘ＋２　余り・・・３ｘ^2－３
(ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２)÷(３ｘ^2－３)＝(ｘ－２)/３　余り・・・０
したがって最大公約数は３ｘ^2である（ｘ^2－１でもよい）。

問題 2-4a
次のｆ(ｘ)，ｇ(ｘ)で割った余りがそれぞれ１，ｘ^2となる多項式を求めよ：ｆ(ｘ)＝ｘ^4－２ｘ^2＋１
ｇ(ｘ)＝ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２

解答
ユークリッドの互除法の拡張版を用いる。
(ｘ^4－２ｘ^2＋１)・１＋(ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２)・０＝ｘ^4－２ｘ^2＋１・・・①
(ｘ^4－２ｘ^2＋１)・０＋(ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２)・１＝ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２・・・②
(ｘ^4－２ｘ^2＋１)・１＋(ｘ^3－２ｘ^2－ｘ＋２)・(－ｘ－２)＝３ｘ^2－３・・・③＝①－(ｘ＋２)×②
③の右辺がｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の最大公約式である。よって求める式は
{ｇ(ｘ)/(３ｘ^2－３)}(－ｘ－２)・１＋{ｆ(ｘ)/(３ｘ^2－３)}１・ｘ^2＋{ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)/(３ｘ^2－３)}ｍ(ｘ)
＝{(ｘ－２)/３}(－ｘ－２)＋{(ｘ^2－１)/３}ｘ^2＋{(ｘ^2－１)ｇ(ｘ)/３}ｍ(ｘ)
＝(１/３){ｘ^4－２ｘ^2＋４＋(ｘ^5－２ｘ^4－２ｘ^3＋４ｘ^2＋ｘ－２)ｍ(ｘ)}・・・（答え）
ここでｍ(ｘ)は任意の多項式を表す。
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

この後半の解説は、本を持っていても難しいと思います。本持っている用と本持っていない用の解説は２回に分けてやりますね。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題 2-2a
３で割った余りがａ，４で割った余りがｂであるような整数ａ,ｂを用いて表せ。

解答
３・(－１)＋４・１＝１である（このような式を見つけるには、一般にユークリッドの互除法の拡張版を利用するとよい）。したがって、３で割った余りがａで、４で割った余りがｂであるものはａ・４＋ｂ・(－３)＝４ａ－３ｂと１２の倍数（３,４の最小公倍数）の和である。
答え：４ａ－３ｂ＋１２ｍ（ｍは整数）
（例えば、ａ＝１，ｂ＝３のとき、このような整数は－５＋１２ｍ（ｍは整数）である。）
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

この本を持っていないと解説は無理でしょうか。多分、本を持っていても一部の人しか解説出来ないと思いますが。（レビューが２つに分かれている所を見ると。）

おまけ：

素朴な疑問
演習問題６
Ｇ＝Ｈ×Ｋならば、Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)×Ｄ(Ｋ)であることを示せ。ただし、Ｄ(Ｇ)は群Ｇの交換子を表すものとする（§５演習問題９参照）。

解答
Ｇ＝Ｈ×Ｋの定義より
① Ｇ＝ＨＫ，② ｈｋ＝ｋｈ（ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ），③ ①の表現は一意的となっている。そこで、
（１）Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)，（２）ｙｚ＝ｚｙ（ｙ∈Ｄ(Ｈ)，ｚ∈Ｄ(Ｋ)），（３）（１）の表現は一意的
を示せば、定義7.2によってＤ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)×Ｄ(Ｋ)を得る。
（２）について：Ｈの元とＫの元は可換であるから、Ｄ(Ｈ)の元とＤ(Ｋ)の元も可換である。
（３）について：（１）の表現Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)はＧ＝ＨＫの表現の一意性より出る。
（１）Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)を示す。
はじめに、Ｄ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｈ)，Ｄ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｋ)であるから、交換子群の定義によってＤ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)となっている。
　次に、逆の包含関係Ｄ(Ｇ)⊂Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)を示す。はじめに、[ａ，ｂ]＝[ｂ，ａ]^-1（ａ，ｂ∈Ｇ）が成り立つことに注意しよう。
∵[ａ，ｂ]^-1＝(ａｂａ^-1ｂ^-1)^-1＝ｂａｂ^-1ａ^-1＝[ｂ，ａ]
このとき、問3.9によって、交換子の有限個の積がＤ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)に属することを示せばよい。さらに、Ｄ(Ｈ)とＤ(Ｋ)の元が交換可能であるから、１つの交換子がＤ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)に属することを示せば十分である。
　Ｄ(Ｇ)の１つの交換子を[ａ，ｂ]（ａ，ｂ∈Ｇ）とする。ａとｂはａ＝ｈ1ｋ1，ｂ＝ｈ2ｋ2（ｈi∈Ｈ，ｋi∈Ｋ）と表せる。Ｈの元とＫの元が可換であることに注意すれば、
[ａ，ｂ]＝ａｂａ^-1ｂ^-1
＝(ｈ1ｋ1)(ｈ2ｋ2)(ｈ1ｋ1)^-1(ｈ2ｋ2)^-1
＝(ｈ1ｋ1)(ｈ2ｋ2)(ｈ1^-1ｋ1^-1)(ｈ2^-1ｋ2^-1)
＝(ｈ1ｈ2ｈ1^-1ｈ2^-1)(ｋ1ｋ2ｋ1^-1ｋ2^-1)
＝[ｈ1，ｈ2][ｋ1，ｋ2]∈Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)
以上によって、Ｄ(Ｇ)はＤ(Ｈ)とＤ(Ｋ)の直積である。

§５演習問題９
ａ，ｂを群Ｇの２元とするとき、ａｂａ^-1ｂ^-1をａ，ｂの交換子という。Ｇのすべての交換子によって生成される部分群をＧの交換子群といい、Ｄ(Ｇ)で表すことにする。Ｈを群Ｇの部分群とするとき、次のことを示せ。
　ＨがＧの正規部分群でかつＧ/Ｈが可換群であるための必要十分条件は、ＨがＤ(Ｇ)を含むことである。
　したがって、特にＤ(Ｇ)は正規部分群であり、剰余群Ｇ/Ｄ(Ｇ)は可換群である。

問3.9
群Ｇの部分集合をＳとするとき次を示せ。
＜Ｓ＞＝{ａi1^±1・ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著

感想
＞はじめに、[ａ，ｂ]＝[ｂ，ａ]^-1（ａ，ｂ∈Ｇ）が成り立つことに注意しよう。
∵[ａ，ｂ]^-1＝(ａｂａ^-1ｂ^-1)^-1＝ｂａｂ^-1ａ^-1＝[ｂ，ａ]
このとき、問3.9によって、交換子の有限個の積がＤ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)に属することを示せばよい。さらに、Ｄ(Ｈ)とＤ(Ｋ)の元が交換可能であるから、１つの交換子がＤ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)に属することを示せば十分である。

この部分は必要ないのではないでしょうか。ただし、次の「Ｄ(Ｇ)の１つの交換子」は「Ｄ(Ｇ)の任意の交換子」に変えますが。
一応、抜いて書きますね。

問題
Ｇ＝Ｈ×Ｋならば、Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)×Ｄ(Ｋ)であることを示せ。ただし、Ｄ(Ｇ)は群Ｇの交換子を表すものとする。

解答
Ｇ＝Ｈ×Ｋの定義より
① Ｇ＝ＨＫ，② ｈｋ＝ｋｈ（ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ），③ ①の表現は一意的となっている。そこで、
（１）Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)，（２）ｙｚ＝ｚｙ（ｙ∈Ｄ(Ｈ)，ｚ∈Ｄ(Ｋ)），（３）（１）の表現は一意的
を示せば、定義7.2によってＤ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)×Ｄ(Ｋ)を得る。
（２）について：Ｈの元とＫの元は可換であるから、Ｄ(Ｈ)の元とＤ(Ｋ)の元も可換である。
（３）について：（１）の表現Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)はＧ＝ＨＫの表現の一意性より出る。
（１）Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)を示す。
はじめに、Ｄ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｈ)，Ｄ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｋ)であるから、交換子群の定義によってＤ(Ｇ)⊃Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)となっている。
　次に、逆の包含関係Ｄ(Ｇ)⊂Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)を示す。
Ｄ(Ｇ)の任意の交換子を[ａ，ｂ]（ａ，ｂ∈Ｇ）とする。ａとｂはａ＝ｈ1ｋ1，ｂ＝ｈ2ｋ2（ｈi∈Ｈ，ｋi∈Ｋ）と表せる。Ｈの元とＫの元が可換であることに注意すれば、
[ａ，ｂ]＝ａｂａ^-1ｂ^-1
＝(ｈ1ｋ1)(ｈ2ｋ2)(ｈ1ｋ1)^-1(ｈ2ｋ2)^-1
＝(ｈ1ｋ1)(ｈ2ｋ2)(ｈ1^-1ｋ1^-1)(ｈ2^-1ｋ2^-1)
＝(ｈ1ｈ2ｈ1^-1ｈ2^-1)(ｋ1ｋ2ｋ1^-1ｋ2^-1)
＝[ｈ1，ｈ2][ｋ1，ｋ2]∈Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)
∴Ｄ(Ｇ)⊂Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)
∴Ｄ(Ｇ)＝Ｄ(Ｈ)Ｄ(Ｋ)
以上によって、Ｄ(Ｇ)はＤ(Ｈ)とＤ(Ｋ)の直積である。

これではダメなのでしょうか。そもそも問3.9も怪しいと思っていますが。

問3.9
群Ｇの部分集合をＳとするとき、次を示せ。
＜Ｓ＞＝{ａi1^±1ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}

解答
右辺の集合をＨ＝{ａi1^±1ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}とおき、＜Ｓ＞＝Ｈを示す。定理3.5より、
＜Ｓ＞＝{ａi1^e1ａi2^e2…ａin^en｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｅi∈ℤ，ｎ∈ℕ}
であるから、＜Ｓ＞⊃Ｈである。
逆に、＜Ｓ＞の任意の元をａi1^e1ａi2^e2…ａin^en（ａi1,…,ａin∈Ｓ）とする。各ａir^erは
ｅ1＞０のとき、ａi1^e1＝ａi1^1ａi1^1…ａi1^1（ｅ1個）
ｅ1＜０のとき、ａi1^e1＝(ａi1^-1)^|e1|＝ａi1^-1ａi1^-1…ａi1^-1（|ｅ1|個）
と表されるので、ａi1^e1ａi2^e2…ａin^en∈Ｈと考えられる。したがって、＜Ｓ＞⊂Ｈである。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

解説
＞逆に、＜Ｓ＞の任意の元をａi1^e1ａi2^e2…ａin^en（ａi1,…,ａin∈Ｓ）とする。各ａir^erは
ｅ1＞０のとき、ａi1^e1＝ａi1^1ａi1^1…ａi1^1（ｅ1個）
ｅ1＜０のとき、ａi1^e1＝(ａi1^-1)^|e1|＝ａi1^-1ａi1^-1…ａi1^-1（|ｅ1|個）
と表されるので、ａi1^e1ａi2^e2…ａin^en∈Ｈと考えられる。

結局、
＜Ｓ＞＝{ａi1^±1ａi2^±1…ａin^±1｜ａi1,…,ａin∈Ｓ，ｎ∈ℕ}（＝Ｈ）
のａi1などは同じものが沢山あるという理解で良いのでしょうか。
そうじゃないと、ａi1^e1ａi2^e2…ａin^en∈Ｈとはなりませんよね。
しかし、この表示に何の意味があるのでしょうか。巡回群の時にはこんな表示しませんでしたが。因みに、こちらのサイトhttps://mathlandscape.com/group-generate/ではこんな表示していませんが。
ただし、こちらhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%94%9F%E6%88%90%E7%B3%BBではそうしていますが。
よく分かりません。
「2023/11/8 15:11の投稿」より引用。

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006100000/

算数の別解２通り作ってみました。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006090002/

一応、別解を作ってみました。

おまけ：

数学おばさんの特別講義６[君も１３世紀の数学天才！？]
　１３世紀頃、アラビアの代数と１０進記数法を紹介したイタリアのレオナルドの本には、次のような実用的な練習問題が載っていました。
　さあ、君は何題解けるでしょうか？

１．[３０羽の鳥の問題]　ある人がうずら、ハト、スズメの３種類の小鳥を３０羽買いました。それぞれの小鳥１羽につきうずらは銀貨３枚、ハトは２枚、スズメは1/2枚必要です。その人は全部で銀貨を３０枚支払いました。それぞれ何羽ずつ買ったでしょう。

２．[通貨の両替問題]　帝国通貨の１ソリドスは帝国通貨の１２デナリウスです。もし帝国通貨１ソリドスがピサ市通貨の３１デナリウスに相当すると、帝国通貨１１デナリウスはピサ市の通貨では何デナリウスになるでしょう。

３．[フィボナッチ数列]　もし毎月一対のウサギが一対のウサギを生み、生まれた一対のウサギは翌月から一対のウサギを生み始めるとすると、一対のウサギから始めて１年間に合計何対のウサギが生まれるでしょう。
「すぐわかる代数」石村園子著より

念のため、検索はしないで下さい。（私はしませんでした。）

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006120000/

一応、別解を作って下さい。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006110000/

一応、何でもありで裏を取って下さい。

問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006100002/

一応、何でもありでも解いて下さい。念のため、算数では瞬殺でした。

今回は、あまり面白くないですね。

> AB//DE から ∠DAE = 30° を導く
「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて∠ADBを求める」
というラングレーの問題になりますので、何らかのうまい解法はあると思います。
（算数の範囲で解けるかどうかはわかりませんが）
うまくない天下り的解法でよけれぱ、以下のようにはできます。
中心がOの円に内接する正十二角形ABCDEFGHIJKLにおいて直線BFと直線LHの距離は円の半径に等しいので、
OAの垂直二等分線とBF,LHの交点を順にM,Nとすると四角形AMONは正方形。
そして三角形ACOは正三角形なので、
四角形BCMAは上記のラングレーの問題の四角形ABCDの図と等しく、答えは15°。

No.1707
らすかる
1月24日 12:15
引用元：https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/1691

これは面白かったです。その後、私は上の問題をラングレー問題の手法で解きましたが、なつさんという方は私と別の手法で解いていました。

少し脇道にそれますが、途中で出てきた「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角形ABCDにおいて∠ADBを求める」という問題は、1995年算数オリンピックトライアルで設定されている角度の場所は違いますが同じ図形で問題が出ています。
簡単に解くならこんな感じですかね・・・？
辺ACを1辺とする正三角形を点Bの反対側に作り、頂点をEと置く。
∠BDC＝∠DCE=15°なので、BD//CE。…①
また、BC＝AC＝ECであることから、△BCEは二等辺三角形で、∠CEB＝15°
よって、∠DBE＝30°ー15°＝15°
∠DBE＝∠BDC＝15°であることと①より、四角形BCEDは等脚台形なので、∠BCE＝∠DEC＝105°、BC＝DE。
もろもろ計算すると△AEDが直角二等辺三角形であることがわかり、AB＝ADとなって全部の角度が求まります。

No.1723
なつ
1月26日 22:22
…

為になりました。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006130000/

一応、何でもありでも解いて下さい。中学数学２通りと高校数学１通り作ってみましたが、中学数学の１通りは非常に面倒臭いです。念のため、算数は秒殺でした。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

以上の解答を一般的にまとめます。上の２４,６０とその最大公約数１２をｍ,ｎ,ｄとして一般に述べます。難しいときは次節に進んでください。

定理2.1（指定された余りを持つ整数の存在）
正整数ｍ,ｎの最大公約数をｄとする。このときｒ＝０,１,…,ｍ－１とｓ＝０,１,…,ｎ－１について、次の（１）,（２）は同値である。
（１）ｍで割った余りはｒであり、ｎで割った余りはｓであるような整数ｋが存在する。
（２）ｒ－ｓはｄで割り切れる。
また（１）,（２）のいずれかが成り立つとき、（１）の整数ｋはｍ,ｎの最小公倍数の倍数の和を除いて一意的に定まる（つまりｋは０,１,…,ｍｎ/ｄ－１の範囲では一意的である。）
とくにｄ＝１のとき（つまりｍ,ｎが互いに素であるとき）、任意のｒ,ｓについて（１）が成立し、ｋは０,１,…,ｍｎ－１の範囲にただ１つある。

この定理は、具体例と同様に計算すれば確かめられます。
（１）⇒（２）：ｒ,ｓをｍ,ｎの最大公約数ｄで割った余りは、ｋを割った余りに等しいので、ともに等しくなります。よって（２）が成り立ちます。
（２）⇒（１）：具体例と同様にｋを求める方法を説明します。ｍ,ｎの最大公約数がｄなので、ａｍ＋ｂｎ＝ｄとなる整数ａ,ｂを求めます。このとき整数ｋ（の１つ）として
ｋ0＝(ｂｎ/ｄ)ｒ＋(ａｍ/ｄ)ｓ
をとります。このｋ0は（１）に挙げた余りの性質をみたします。（ａｍ/ｄ＋ｂｎ/ｄ＝１を利用します）：
ｋ0＝(ｂｎ/ｄ)ｒ＋(ａｍ/ｄ)ｓ
＝(１－ａｍ/ｄ)ｒ＋(ａｍ/ｄ)ｓ
＝|ｒ－ａｍ{(ｒ－ｓ)/ｄ}
ｋ0＝(ｂｎ/ｄ)ｒ＋(ａｍ/ｄ)ｓ
＝(ｂｎ/ｄ)ｒ＋(１－ｂｎ/ｄ)ｓ
＝|ｓ－ｂｎ{(ｒ－ｓ)/ｄ}
これで（１）が成り立ちます。さらに、（１）をみたす２数の差はｍ,ｎでともに割り切れるので、ｍ,ｎの最小公倍数ｌ（＝ｍｎ/ｄ）の倍数になります。よって（１）をみたすｋはすべて、次のように表されます：
ｋ＝ｋ0＋ｅｌ＝(ｂｎ/ｄ)ｒ＋(ａｍ/ｄ)ｓ＋ｅｌ（ｅは整数）
「本質を学ぶ ガロワ理論 最短コース」梶原健著より

全体的に分かり易く解説して下さい。また、余裕がある人は何故そんな事をするのかなど余計な事もして下さい。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/202006130002/

２通り作ってみました。念のため、もう一方も中学数学です。

おまけ：