数学

問題１の別解
正方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤの３等分点を左からＥ，Ｆ、ＢＣの３等分点を左からＧ，Ｈとし、ＡＨとＥＢ，ＦＧとの交点をそれぞれＩ，Ｊ、ＥＣとＦＧ，ＤＨとの交点をそれぞれＫ，Ｌとする。
ここで、ＥＧを結び、ＡＨとの交点をＭとすると、△ＭＡＥと△ＭＨＧは合同でＥＭ＝ＧＭ
つまり、点ＭはＥＧの真ん中の点。また、△ＩＡＢと△ＩＭＥは相似で相似比は２：１になるので、面積比は２×２：１×１＝４：１
よって、△ＥＩＭは△ＩＡＢの面積の１/４　
また、点ＭはＡＨの真ん中の点でＩＪの真ん中の点でもある。よって、△ＥＩＭは△ＥＩＪの１/２の面積でひし形ＥＩＪＫの１/４の面積。
よって、△ＩＡＢの面積とひし形ＥＩＪＫの面積は等しい。ところで、ひし形ＫＪＨＬとひし形ＥＩＪＫは合同より、△ＩＡＢとひし形ＥＩＪＫの面積は等しい。
よって、等積移動をすると、色部分の面積は、平行四辺形ＦＧＨＤと等しい。
よって、答えは、２×６＝１２ｃｍ^2

おまけ：
https://gonkaku.jp/articles/6964

問題２
次の計算をしてください。
１＋２＋４＋８＋…＋２５６＋５１２

算数の別解
１＋２＝３
１＋２＋４＝７
１＋２＋４＋８＝１５
１＋２＋４＋８＋１６＝３１
１＋２＋４＋８＋１６＋３２
ここぐらいまでやれば面倒臭くなってきて前のに新しい１つを足すだけでいいんじゃないかと気付くだろう。つまり、
１＋２＋４＋８＋１６＋３２
＝３１＋３２＝６３
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４
＝６３＋６４＝１２７
このままでもあと３つ（１２８，２５６，５１２）なので、求められるが、欲を言えば答えが、３，３，７，１５，３１，６３，１２７，・・・
となっている事の変な感じに気付いて欲しい。つまり、１を足すと、４，８，１６，３２，６４，１２８，…となっている。よって、倍々ゲームという事である。（元の数列も倍々ゲームとなっている。）
そこで、１＋２＋４＋８＋…までを再度見ると、
１＋２に１を足すと４になって、
１＋２＋４に１を足すと８になる。
つまり、１＋２＋４＋８＋…＋２５６＋５１２に１を足すと、５１２の次の数になる。
よって、
１＋２＋４＋８＋…＋２５６＋５１２＋１＝１０２４である。よって、答えは、１０２３

結局、初めの諦めない心が大事なのである。（あと３つは簡単に計算出来る。）

おまけ：

問題２
次の計算をしてください。
１＋２＋４＋８＋…＋２５６＋５１２

何でもありの解法１
与式＝１＋２＋^2＋２^3＋…＋２^8＋２^9
２進法で表すと、
１＋１０＋１００＋１０００＋…＋１００００００００＋１０００００００００
＝１１１１１１１１１１
これに１を加えると、
＝１０００００００００００（０が１０個）
これを１０進法に戻すと、
２^10
よって、与式＝２^10－１＝１０２４－１
＝１０２３
よって、答えは、１０２３

おまけ：https://with.kodansha.co.jp/article/interview-misatougaki-3

問題２
次の計算をしてください。
１＋２＋４＋８＋…＋２５６＋５１２

何でもありの解法２
因数分解の公式
ｘ^n－１
＝(ｘ－１)(ｘ^(n-1)＋ｘ^(n-2)＋…＋ｘ＋１)
よって、
ｘ^(n-1)＋ｘ^(n-2)＋…＋ｘ＋１
＝(ｘ^n－１)/(ｘ－１)
よって、
１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋…＋ｘ^(n-2)＋ｘ^(n-1)＝(ｘ^n－１)/(ｘ－１)———☆
ところで、与式＝１＋２＋２^2＋２^2＋…＋２^8＋２^9より、☆式にｘ＝２，ｎ＝１０を代入すると、
１＋２＋２^2＋２^2＋…＋２^8＋２^9
＝(２^10－１)/(２－１)＝２^10－１
＝１０２４－１
＝１０２３
よって、答えは、１０２３

因みに、等比数列の和の公式と同じですが、求め方が違います。

おまけ：

うち、１つは算数の別解に昇華させました。算数の別解を作れる人はほとんどいないと思います。因みに、模範解答方法は定石の１つです。

おまけ：https://www.msn.com/ja-jp/news/entertainment/%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E7%99%BE%E6%81%B5%E3%81%95%E3%82%93-%E4%BF%B3%E5%84%AA%E6%AC%A1%E7%94%B7%E3%81%AE%E6%B7%B1%E5%88%BB%E3%81%AA-%E8%B1%86%E8%85%90%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%AB-9%E6%9C%88%E3%81%AB%E3%81%AFsns%E3%81%A7%E5%BC%95%E9%80%80%E3%82%82%E7%A4%BA%E5%94%86/ar-AA1k6OZq?ocid=msedgntp&cvid=6be2ad9fd33a428b8a5275aeff9c7066&ei=40
二世タレントあるあるなのかな？ 早く結婚して女房子供のために仕事すれば緊張なんかしないと思うよ。因みに、お袋さんの「蒼い時」を読んでみるといいかも。緊張なんかしている場合じゃないかもしれないね。まぁ、真面目な人なんだろうね。

何でもありの解法１
△ＢＣＥは１：２：√３の直角三角形より、ＢＥ＝８ｃｍ　また、△ＦＢＥは直角二等辺三角形より、ＦＥ＝８/√２＝４√２ｃｍ
ところで、∠ＦＥＤ＝１８０°－６０°－４５°＝７５°∴∠ＥＦＤ＝１５°∴∠ＢＦＡ＝１８０°－１５°－９０°＝７５°
また、ＢＦ＝ＦＥより、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＢＡＦ≡△ＦＤＥ
よって、この２つの三角形をＢＡ，ＦＤでくっつけると頂角が３０°で等辺が４√２ｃｍの二等辺三角形が出来る。
よって、△ＢＡＦをＦＤの上側に移動させて点Ｆの行き先をＦ'として、Ｆ'からＦＥに垂線を下ろしその足をHとすると、△Ｆ'ＦＨは１：２：√３の直角三角形になり、Ｆ'Ｈ＝４√２÷２＝２√２ｃｍ　∴△Ｆ'ＦＥ＝４√２×２√２×(１/２)＝８ｃｍ^2　また、△ＦＢＥ＝４√２×４√２×(１/２)＝１６ｃｍ^2　よって、色付き部分の面積は、８＋１６＝２４ｃｍ^2
よって、答えは、２４ｃｍ^2

何でもありの解法２
△ＢＡＦ≡△ＦＤＥで斜辺が４√２ｃｍの１５°，７５°，９０°の直角三角形までは解法１と同じ。
ここで、１５°，７５°，９０°の三辺比を使うと、ＦＤ＝(√６＋√２)×√２＝２(√３＋１)ｃｍ，ＤＥ＝(√６－√２)×√２＝２(√３－１)ｃｍ　∴ＡＦ＝ＤＥ＝２(√３－１)ｃｍ
∴ＡＤ＝ＡＦ＋ＦＤ＝２(√３－１)＋２(√３＋１)＝４√３ｃｍ
∴台形ＤＡＢＥ＝{２(√３－１)＋２(√３＋１)}×４√３×(１/２)＝(４√３)^2・(１/２)＝２４ｃｍ^2
よって、答えは、２４ｃｍ^2

算数の別解は次回。

おまけ：

算数の別解
∠ＥＦＤ＝●，∠ＦＥＤ＝×と置くと、△ＦＤＥの内角の和より、●＋×＝９０°
また、∠ＢＦＡ＋∠ＢＦＥ＋∠ＥＦＤ＝１８０°より、∠ＢＦＡ＋∠ＥＦＤ＝９０°
よって、∠ＢＦＡ＋●＝９０°で∠ＢＦＡ＝×である。つまり、△ＢＡＦと△ＦＤＥは２角が等しいので相似でＢＦ＝ＦＥなので合同である。（念のため、具体的な角度を求めて示しても良い。）
よって、ＡＢ＝ＤＦ，ＡＦ＝ＤＥ　また、∠ＡＢＥ＋∠ＤＥＢ＝３６０°－９０°×２＝１８０°より、∠ＡＢＥと∠ＤＥＢは補角をなしている。
ここで、四角形ＡＢＥＤを１８０°回転させて、ＥＢがＢＥにくっつくようにコピーして、点Ａ，Ｄの行き先をそれぞれＡ'，Ｄ'とすると、四角形ＡＤ'Ａ'Ｄは正方形になる。（ＡＤ'＝ＡＢ＋ＥＤ＝ＡＢ＋ＡＦ，ＡＤ＝ＡＦ＋ＦＤ＝ＡＦ＋ＡＢより、ＡＤ'＝ＡＤより、隣り合う二辺が等しい長方形になるから。）
よって、正方形ＡＤ'Ａ'Ｄの面積の１/２を求めれば良い。
今、ＣからＢＥに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＣＥと△ＣＨＥはそれぞれ３０°，６０°，９０°の直角三角定規型であるので、ＢＥ＝４×２＝８ｃｍ，ＥＨ＝４÷２＝２ｃｍ
よって、ＢＨ＝８－２＝６ｃｍ
また、△ＢＨＣも３０°，６０°，９０°の直角三角定規型なので、△ＢＣＥと△ＢＨＣは相似である。よって、ＢＣ：ＢＨ＝ＢＥ：ＢＣが成り立つ。よって、ＢＣ：６＝８：ＢＣ　
よって、ＢＣ×ＢＣ＝６×８＝４８　
よって、ＡＤ×ＡＤ＝４８
よって、正方形ＡＤ'Ａ'Ｄ＝４８ｃｍ^2
よって、答えは、この１/２で、２４ｃｍ^2

因みに、四角形ＡＢＥＤを向かい合わせに２倍にすると正方形になる事は、算数的には、（逆から考えて）適当な正方形に適当な正方形を内接させその小さい方の正方形の対角線で切れば大きい方の正方形も二等分される事を言えば、ちまちま証明しなくても良い。（図形的には対称性から自明である。）

おまけ：
https://instagrammernews.com/detail/3236566012325980208

問題１の別解
ＡＤの延長とＢＣの延長との交点をＥとすると、四角形ＡＢＣＤは等脚台形より△ＥＤＣは二等辺三角形になる。
また、△ＥＤＣと△ＥＡＢは相似で相似比は１：２より、ＥＤ＝ＥＣ＝１ｃｍ
よって、△ＥＤＣも△ＥＡＢも正三角形である。また、三辺相等で△ＡＥＣと△ＡＢＣは合同より、∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＣ
よって、∠ア＝６０°÷２＝３０°

「よりシンプルな解法があればコメントをお待ちしております」とありますが、どうでしょう。しかし、模範解答の方は補助線１本ですしね。

問題２の別解１
∠Ｂ＋∠Ｄ＝３６０°－９０°×２＝１８０°より、∠Ｂと∠Ｄは補角をなしている。
そこで、ＡＣを結び、△ＡＣＤをＡＤがＡＢにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、Ｃ'ＢＣは一直線になり、∠Ｃ'ＡＣ＝９０°，ＡＣ＝ＡＣ'となる。
よって、△ＡＣ'Ｃは直角二等辺三角形である。よって、Ｃ'Ｃ＝６×２＝１２ｃｍ
よって、△ＡＣ'Ｃ＝１２×６÷２＝３６ｃｍ^2　よって、元の四角形ＡＢＣＤも３６ｃｍ^2である。

おまけ：
https://twitter.com/Nana74851240735

問題２の別解２
∠Ｂ＋∠Ｄ＝３６０°－９０°×２＝１８０°より、四角形ＡＢＣＤを点Ａを中心にＡＢがＡＤにくっつくまで回転移動コピーし、点Ｃ，Ｄの行き先をそれぞれＣ'，Ｄ'とすると、３点Ｂ，Ａ，Ｄ'と３点Ｃ，Ｄ，Ｃ'はそれぞれ一直線上にあり、Ｄ'Ｃ'⊥ＤＣ'，ＢＣ⊥ＣＤより、Ｄ'Ｃ'//ＢＣ
つまり、Ｄ'ＢＣＣ'は四角形になり台形である。
また、ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとして、Ｈの行き先をＨ'とすると、ＨＨ'は台形Ｄ'ＢＣＣ'の真ん中での平行線となる。
よって、台形の中点連結定理より、
ＨＨ'＝(Ｄ'Ｃ'＋ＢＣ)/２が成り立つので、ＨＨ＝６ｃｍを考えると、１２＝Ｄ'Ｃ'＋８
つまり、Ｄ'Ｃ'＝４ｃｍである。よって、ＤＣ＝Ｄ'Ｃ'＝４ｃｍより、Ｃ'Ｃ＝８＋４＝１２ｃｍ
よって、台形Ｄ'ＢＣＣ'＝(４＋８)×１２÷２＝７２ｃｍ^2　よって、四角形ＡＢＣＤ＝７２÷２＝３６ｃｍ^2　よって、答えは、３６ｃｍ^2

台形の中点連結定理は受験算数では使っても良いと思います。もうちょっと複雑な台形の平行線の長さを中点ではなく比にした公式を使っているようですから。

何でもありの解法のヒント：ＤＣ＝ｘ，ＢＨ＝ｙと置いて方程式を作って下さい。因みに、ＤＣ＝ｘ，ＡＢ＝ｙと置いても出来ますが、計算がこっちの方が楽です。

おまけ：

問題２の何でもありの解法
ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨとし、ＤＣ＝ｘ，ＢＨ＝ｙと置くと、三平方の定理より、
ＡＢ＝√(ｙ^2＋６^2)　また、△ＡＢＤは直角二等辺三角形より、
ＢＤ＝√２・√(ｙ^2＋６^2)
また、△ＤＢＣで三平方の定理を使うと、
ＢＤ＝√(ｘ^2＋８^2)
よって、√(ｘ^2＋８^2)＝√２・√(ｙ^2＋６^2)が成り立つ。∴ｘ^2＋６４＝２ｙ^2＋７２
∴ｘ^2－２ｙ^2＝８———①
また、面積より、
四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＤ＋△ＤＢＣ＝台形ＡＨＣＤ＋△ＡＢＨ
∴(ｙ^2＋３６)/２＋４ｘ＝(ｘ＋６)(８－ｙ)/２＋３ｙ
∴ｙ^2＋３６＋８ｘ＝(ｘ＋６)(８－ｙ)＋６ｙ
∴ｙ^2＋３６＋８ｘ＝８ｘ－ｘｙ＋４８－６ｙ＋６ｙ
∴ｙ^2＋ｘｙ＝１２　∴ｘｙ＝１２－ｙ^2
∴ｘ＝１２/ｙ－ｙ———②
②を①に代入すると、
(１２/ｙ－ｙ)^2－２ｙ^2＝８
∴１４４/ｙ^2＋ｙ^2－２４－２ｙ^2＝８
∴ｙ^2＋３２－１４４/ｙ^2＝０
∴ｙ^4＋３２ｙ^2－１４４＝０
∴ｙ^2＝－１６±√(１６^2＋１４４)
＝－１６±√４００＝－１６±２０
＝－３６，４
∴ｙ^2＝４　∴ｙ＝２　
これを②に代入すると、ｘ＝４
これらを四角形ＡＢＣＤ＝(ｙ^2＋３６)/２＋４ｘに代入すると、
四角形ＡＢＣＤ＝２０＋１６＝３６ｃｍ^2
よって、答えは、３６ｃｍ^2

因みに、①からｘ＝√(２ｙ^2＋８)として②の前身ｙ^2＋ｘｙ＝１２に代入しても求まります。

おまけ：
「9 知恵ある人が愚かな人と争うと、愚かな者はただ怒り、あるいは笑って、休むことがない。
11 愚かな者は怒りをことごとく表わし、知恵ある者は静かにこれをおさえる。
15 むちと戒めとは知恵を与える、わがままにさせた子はその母に恥をもたらす。
17 あなたの子を懲らしめよ、そうすれば彼はあなたを安らかにし、またあなたの心に喜びを与える。」
「箴言」第２９章９節,１１節,１５節,１７節（口語訳）

解説
＞ａ,ｂ∈Ｇについて、
ａ～ｂ⇔ａ＝ｂまたはｂ＝ａ^-1
によってＧにおける関係を定義する。

問3.8より、ａとａ^-1の位数は同じである。つまり、位数が同じ同値類でＧを類別するためにこの同値関係を定義するのである。

問3.8
群Ｇの元をａとするとき、|ａ^-1|＝|ａ|であることを示せ。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

念のため、類別が分からない人のために。例えば、３で割り切れる数の集合と３で割って１余る数の集合と３で割って２余る集合は互いに重なりを持たずに全体集合のℤを分類する。こういうのを同値類による類別という。

＞反射律ａ～ａ：これはａ＝ａより成り立つ。
対称律ａ～ｂ⇒ｂ～ａ：仮定ａ～ｂよりａ＝ｂまたはｂ＝ａ^-1　したがって、ｂ＝ａまたはａ＝ｂ^-1　ゆえに、ｂ～ａである。
推移律ａ～ｂ，ｂ～ｃ⇒ａ～ｃ：
(ａ＝ｂまたはｂ＝ａ^-1)，(ｂ＝ｃまたはｃ＝ｂ^-1)⇒(ａ＝ｃまたはｃ＝ａ^-1)
を示せばよい。４つの場合に分けて調べる。
（ⅰ）ａ＝ｂ,ｂ＝ｃのとき、ａ＝ｃ
（ⅱ）ａ＝ｂ,ｃ＝ｂ^-1のとき、ｃ＝ｂ^-1＝ａ^-1
（ⅲ）ｂ＝ａ^-1,ｂ＝ｃのとき、ｃ＝ｂ＝ａ^-1
（ⅳ）ｂ＝ａ^-1,ｃ＝ｂ^-1のとき、ｃ＝ｂ^-1＝ａ
以上によって推移律が示された。

この部分は、定義したａ～ｂ⇔ａ＝ｂまたはｂ＝ａ^-1が、同値関係である事の証明で、読めば解読出来るので省略。

＞ａの同値類はＣa＝{ａ,ａ^-1}であり、特にａ＝ｅのときにはＣe＝{ｅ}となっている。|ａ|＝２のとき、ａ^2＝ｅだから、ａ＝ａ^-1　ゆえに、このときＣa＝{ａ}

上の同値関係を定義する事によって、同値類Ｃa＝{ａ,ａ^-1}が定義され、位数が同じものの同値類である。位数が１の場合は、Ｃa＝{ａ,ａ^-1}のａをｅとすると、Ｃe＝{ｅ，ｅ^-1＝ｅ}より、Ｃe＝{ｅ}
また、位数が２の場合は、位数の定義よりａ^2＝ｅ　この両辺にａ^-1をかけると、ａ＝ａ^-1
よって、Ｃa＝{ａ,ａ^-1}はＣa＝{ａ}となる。

＞したがって、
|ａ|≦２⇔|Ｃa|＝１，|ａ|≧３⇔|Ｃa|＝２

位数が１または２の場合は、Ｃe＝{ｅ}，Ｃa＝{ａ}だったので、|Ｃa|＝１である。
また、位数が３以上の場合は、普通にＣa＝{ａ,ａ^-1}なので、|Ｃa|＝２である。

＞Ｘをこの同値関係の完全代表系とすると
Ｇ＝⋃(a∈G)Ｃa＝⋃(a∈X)Ｃa
と表される。

要は、Ｇが位数の種類で類別されると言っているだけである。因みに、完全代表系とは、３で割り切れる数の集合だったら０，３で割って１余る数の集合だったら１，３で割って２余る数の集合だったら２というような話である。（他の数でも良い。例えば、３で割り切れる数の集合だったら３や６でも良いという事。）

＞ここで、Ｘの中の位数２の元の集合をＸ1，Ｘの中の位数３以上の元の集合をＸ2とする。すなわち、Ｘ＝{ｅ}∪Ｘ1∪Ｘ2　このとき、
|Ｇ|＝１＋∑(a∈X1)|Ｃa|＋∑(a∈X2)|Ｃa|＝１＋|Ｘ1|＋２|Ｘ2|

完全代表系の集合をＸ＝{ｅ}∪Ｘ1∪Ｘ2で類別する（位数の種類の集合Ｘを位数１の元の集合{ｅ}と位数２の元の集合Ｘ1と位数３以上の元の集合Ｘ2で類別するという事）。
このとき、Ｇも{ｅ}∪Ｘ1∪Ｘ2で類別され、Ｇの元の個数は、
|Ｇ|＝１＋∑(a∈X1)|Ｃa|＋∑(a∈X2)|Ｃa|で表される。
ここで、「位数が１または２の場合は、|Ｃa|＝１で、位数が３以上の場合は、|Ｃa|＝２」だったので、
|Ｇ|＝１＋|Ｘ1|＋２|Ｘ2|となる。

＞ゆえに、２ｎ＝１＋|Ｘ1|＋２|Ｘ2|という式が得られるので、|Ｘ1|≠０　ゆえに、Ｘ1≠φである。すなわち、位数が２の元が存在する。

Ｇは位数２ｎの群なので、|Ｇ|＝２ｎ　よって、左辺は偶数で右辺は１＋２|Ｘ2|が奇数なので、|Ｘ1|＝０では矛盾が起こる。よって、Ｘ1≠φでＸ1は位数が２の元の集合だったので、位数が２の元が少なくとも１つは存在するという事である。

おまけ：

演習問題６
自然数ｒ,ｓの最大公約数をｄとする。群Ｇの元ａに対して、次が成り立つことを示せ。ただし、ｅはＧの単位元とする。
ａ^r＝ｅ，ａ^s＝ｅ⇒ａ^d＝ｅ

別解
ｄはｒとｓの最大公約数より、
ｒ＝ｄｒ'，ｓ＝ｄｓ'（ｒ'とｓ'は互いに素）と置ける。
ここで、ａの位数をｎとすると、ａ^r＝ｅ，ａ^s＝ｅより、定理3.2(1)により、
ｒ≡０（modｎ），ｓ≡０（modｎ）
よって、ｒ，ｓは共にｎの倍数である。
また、ｒ＝ｄｒ'，ｓ＝ｄｓ'より、
ｎはｄの約数である事が分かる。
（∵左辺に因数ｎがあるので右辺にも因数ｎがあり、ｒ'とｓ'は互いに素だから。）
つまり、ｄはｎの倍数である。
よって、ｄ＝ｎｄ'と置くと、
ａ^d＝ａ^nd’=(ａ^n)^d'＝ｅ^d'＝ｅ
∴ａ^d＝ｅ
よって、示された。

定理3.2
群Ｇの単位元をｅとし、Ｇの元ａの位数をｎとする。このとき、非負整数ｋ,ｌについて次が成り立つ。
（１）ａ^k＝ｅ⇔ｋ≡０（modｎ）
（２）ａ^k＝ａ^l⇔ｋ≡ｌ（modｎ）
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/ae897f5ad2a45c184b75e3ff04f2ec8d09fab99b

問題１の積分の解法
扇形の中心をｘｙ座標の中心に置き、下の半径をｘ軸に取ると、円の方程式はｘ^2＋ｙ^2＝６^2より、上半円の方程式は、
ｙ＝√(３６－ｘ^2)
また、１：２：√３の直角三角形を利用すると、斜線部の面積Ｓは、
Ｓ＝∫(3~3√3)√(３６－ｘ^2)ｄｘ―――☆
で求まる。
ここで、ｘ＝６sinθと置いて、両辺をθで微分すると、ｄｘ/ｄθ＝６cosθ　
∴ｄｘ＝６cosθｄθ―――①
また、ｘ＝３～３√３の所は、６sinθ＝３～３√３より、６sinθ＝３とすると、sinθ＝１/２　∴θ＝π/６
また、６sinθ＝３√３とすると、sinθ＝√３/２　∴θ＝π/３
∴∫(π/6~π/3)―――②
また、ｘ＝６sinθ―――③
として、①，②，③を☆に代入すると、
Ｓ＝∫(π/6~π/3)√(３６－３６sin^2θ)・６cosθｄθ
＝３６∫(π/6~π/3)√(１－sin^2θ)cosθｄθ
＝３６∫(π/6~π/3)cos^2θｄθ
∴Ｓ＝３６∫(π/6~π/3)cos^2θｄθ―――★
また、２倍角の公式より、
cos^2θ＝(１＋cos２θ)/２
これを★に代入すると、
Ｓ＝３６∫(π/6~π/3){(１＋cos２θ)/２}ｄθ
＝１８∫(π/6~π/3)(１＋cos２θ)ｄθ
＝１８[θ＋sin２θ/２](π/6~π/3)
＝１８(π/３＋sin(2π/3)/２－π/６－sin(π/3)/２)
＝１８・(π/６)＝３π
よって、答えは、３πｃｍ^2

因みに、３０年ぐらい前の記憶だが、ｘ＝６cosθと置いても出来るが符号が逆になって面倒臭い（勘違いし易い）と思った。
（今回、検証していない。もう興味ないからね。家庭教師でもやるんだったらもう一度やるけど。）

問題２，３は次回。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/1a0397d20c3570f84634d520b2f62e2ead77bb76

問題２の別解
２４と１５の最大公約数は３より公約数は１と３　よって、ＣＧは１ｃｍか３ｃｍ
また、４０と１５の最大公約数は５より公約数は１と５
よって、ＣＤは１ｃｍか５ｃｍ
ここで、長方形ＣＧＨＤの面積が１５ｃｍ^2より、ＣＧ＝３ｃｍ，ＣＤ＝５ｃｍ
よって、ＢＣ＝８ｃｍと分かる。（４０÷５でも２４÷３でもどちらでも良い。）
よって、直方体の体積は、
Ｖ＝３×５×８＝１２０ｃｍ^3

問題３の何でもありの解法
細かい解説は省略で、斜線部の四角形は対称性から正方形で、その１辺の長さは、
６sin75°－６cos75°
＝６(sin75°－cos75°)———①
また、加法定理より、
sin75°＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
＝(１/２)(１/√２)＋(√３/２)(１/√２)
＝(１＋√３)/２√２
＝(√２＋√６)/４———②
cos75°＝cos(30°＋45°)
＝cos30°cos45°－sin30°sin45°
＝(√３/２)(１/√２)－(１/２)(１/√２)
＝(√３－１)/２√２
＝(√６－√２)/４———③
②，③を①に代入すると、
正方形の1辺の長さ
＝６{(√２＋√６)/４－(√６－√２)/４}
＝３√２ｃｍ
よって、答えは、(３√２)^2＝１８ｃｍ^2

何でもありの解法２は１５°，７５°，９０°の直角三角形の三辺比を使うものだが、あまり面白くないので省略。ただし、実戦的には遥かに強力な武器。

おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/news/entertainment/%E5%A4%A7%E6%A9%8B%E7%B4%94%E5%AD%90%E3%81%95%E3%82%93%E9%80%9A%E5%A4%9C-%E5%8F%82%E5%88%97%E3%81%97%E3%81%9F%E6%9D%BE%E6%9C%AC%E6%98%8E%E5%AD%90%E3%81%AF%E6%B6%99-%E3%81%B3%E3%81%A3%E3%81%8F%E3%82%8A%E3%81%97%E3%81%9F-%E3%82%AB%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9B%B2%E3%81%AF-%E5%A4%A7%E5%88%87%E3%81%AB%E6%AD%8C%E3%81%84%E7%B6%9A%E3%81%91%E3%81%9F%E3%81%84/ar-AA1jXA6b?ocid=msedgntp&cvid=966e543e610d435ebf1c78776ad636f2&ei=35

解説
演習問題１
ｎ次の交代群Ａnの位数を求めよ。

解答
ｎ次の交代群ＡnはＳnの偶置換の全体である。Ｓnの奇置換の全体の集合をＢnとおけば、Ｓn＝Ａn∪Ｂn，Ａn∩Ｂn＝φとなっている。ＡnとＢnの個数が一致していれば、上の事実より|Ａn|＝|Ｓn|/２＝ｎ!/２であることがわかる。そこで、以下においてＡnとＢnの個数が一致していることを証明する。
Ｓnの置換の１つである互換τ＝(１２)を固定する。互換τ＝(１２)は奇置換であるからτ∉Ａn　ここで、次のような写像を考える。

ここまでは同じ。

ｆ：Ａn→Ｂn（σ→στ＝ｆ(σ)）
σ1,σ2∈Ａnに対して、ｆ(σ1)＝ｆ(σ2)とすると、σ1τ＝σ2τ　
∴(σ1τ)τ^-1＝(σ2τ)τ^-1　
∴σ1(ττ^-1)＝σ2(ττ^-1)
∴σ1＝σ2
よって、ｆ(σ1)＝ｆ(σ2)⇒σ1＝σ2より、
ｆは単射である。———①
また、どんなστ∈Ｂnに対してもｆ(σ)＝στより、στに対応するσ∈Ａnが存在するので、
ｆは全射である。———②
①，②より、ｆは全単射である。
よって、|Ａn|＝|Ｂn|

これではダメなのかな？

＞ゆえに、(ａｂ)^mn＝ｅであるから、|ａｂ|≦ｍｎ＜∞

|ａｂ|＝ｍｎの場合とｍｎ→∞の場合を解説して下さい。

|ａｂ|＝ｍｎの場合は、定理3.7より、ｍとｎは互いに素である。
ｍｎ→∞の場合は、(ａｂ)^mn＝ｅとならない。

定理3.7
群Ｇの２つの元ａ,ｂが可換で、位数が、それぞれｍ,ｎとする。このとき、ｍとｎが互いに素であれば元ａｂの位数はｍｎである。

定義3.2
単位元をｅとする群Ｇの元ａに対して、ａ^n＝ｅとなるような最小の正の整数を（それがあるときは）ａの位数という。そのような整数がないとき、ａの位数は無限という。記号|ａ|でａの位数を表すことにする。ａの位数が無限のとき、|ａ|＝∞と表す。

素朴な疑問だが、無限は数ではないのに「＝」で結んで良いのだろうか。
「ａの位数が無限のとき、|ａ|→∞と表す」ではおかしいか？　
ところで、鋭い人は定理3.7は逆も成り立つのかと突っ込んでくると思うが、証明を読まなくても逆も成り立つだろう。
念のため、信じる信じないはあなた次第だが、全ては自己責任である。

おまけ：

解説
＞ｍとｎを素因数分解して
ｍ＝ｐ1^e1…ｐr^erｐr+1^f1…ｐr+s^fs（０≦ｅi,ｆi）
ｎ＝ｐ1^e'1…ｐr^e'rｐr+1^f'1…ｐr+s^f's（０≦ｅ'i,ｆ'i）
（ｅ1≧ｅ'1,…,ｅr≧ｅ'r，ｆ1≦ｆ'1,…,ｆs≦ｆ's）
となるように表現することができる。

０乗で同じ個数にする事が出来、指数の大小で順番を変えてひとまとめに出来るという事。

＞今、ａ1＝ａ^m2，ｂ1＝ｂ^n1なる元を考える

ｍ2はｍの指数が低いパートで、ｎ1はｎの指数が低いパート。なぜ、これを作るかは証明を全部読まないと分からないが、定理3.6の系１を使う事によって、ａ1＝ａ^m2からｍ1，ｂ1＝ｂ^n1からｎ2が出て、ｍ1ｎ2が最小公倍数になるからである。（ｍ1はｍの指数が大きいパートでｎ2はｎの指数が大きいパートで、ｌ＝ｍ1ｎ2）

＞ａ1,ｂ1の位数は定理3.6の系１によって、
|ａ1|＝|ａ^m2|＝ｍ1，|ｂ1|＝|ｂ^n1|＝ｎ2

定理3.6の系１
ｒ,ｓを自然数とする。群Ｇの元ａの位数をｒｓとすると、元ａ^rの位数はｓであり、元ａ^sの位数はｒである。すなわち、
|ａ|＝ｒｓ⇒|ａ^r|＝ｓ，|ａ^s|＝ｒ

ａの位数はｍでｍ＝ｍ1ｍ2より、ａ^m2の位数はｍ1になるという事。ｂの方もｂの位数がｎでｎ＝ｎ1ｎ2より、ｂ^n1の位数はｎ2という事。

＞(ｍ1,ｎ2)＝１であるから、前定理3.7よりａ1ｂ1の位数はｍ1ｎ2＝ｌである。

定理3.7
群Ｇの２つの元ａ,ｂが可換で、位数が、それぞれｍ,ｎとする。このとき、ｍとｎが互いに素であれば元ａｂの位数はｍｎである。

|ａ1|＝ｍ1，|ｂ1|＝ｎ2より、ａ1,ｂ1の位数がそれぞれｍ1,ｎ2でｍ1とｎ2が互いに素より、ａ1ｂ1の位数はｍ1ｎ2＝ｌであるという事。
因みに、厳密にはａ1とｂ1が可換である事を言わなければいけないが、それはａ1＝ａ^m2，ｂ1＝ｂ^n1で、条件よりａとｂが可換よりａ1とｂ1も可換だからである。（ａ^m2とｂ^n1も可換だから。）

おまけ：

何でもありの解法
正方形の１辺の長さをａ，ＤＦ＝ｂ，ＢＥ＝ｃと置いて、ＡＢの延長とＤＥの延長との交点をＨとすると、ＥＣ＝ａ－ｃ，ＦＣ＝ａ－ｂ
また、△ＥＨＢ∽△ＥＤＣより、ｃ：ａ－ｃ＝ＢＨ：ａが成り立つ。∴ＢＨ＝ａｃ/(ａ－ｃ)
∴ＡＨ＝ａ＋ａｃ/(ａ－ｃ)＝ａ^2/(ａ－ｃ)
また、△ＧＡＨ∽△ＧＦＤで相似比ａ^2/(ａ－ｃ)：ｂ＝ａ^2：ｂ(ａ－ｃ)＝ａ^2：ａｂ－ｂｃ
よって、ＧからＡＢ，ＤＣに垂線を下ろしその足をそれぞれＩ，Ｊとすると、
ＧＩ＝{ａ^2/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}ＢＣ
＝ａ^3/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)
ＧＪ＝{(ａｂ－ｂｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}ＢＣ
＝ａｂ(ａ－ｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)
よって、△ＧＡＥ＝△ＧＡＨ－△ＥＡＨ
＝{ａ^2/(ａ－ｃ)}×{ａ^3/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}×(１/２)－{ａ^2/(ａ－ｃ)}×ｃ×(１/２)＝３０が成り立つ。
∴{ａ^2/(ａ－ｃ)}{ａ^3/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)－ｃ}＝６０
∴{ａ^2/(ａ－ｃ)}{(ａ^3－ａ^2ｃ－ａｂｃ＋ｂｃ^2)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}＝６０―――①
ここで、後半の分子をａについての方程式にまとめると、
ａ^3－ｃａ^2－ｂｃａ＋ｂｃ^2
これを因数定理でａ＝ｃを代入すると、
ｃ^3－ｃ^3－ｂｃ^2＋ｂｃ^2＝０で成り立つ。
よって、ａ－ｃで割ると、計算省略で、
(ａ－ｃ)(ａ^2－ｂｃ)となる。
∴ａ^3－ｃａ^2－ｂｃａ＋ｂｃ^2＝(ａ－ｃ)(ａ^2－ｂｃ)―――②
②を①に代入すると、
{ａ^2/(ａ－ｃ)}{(ａ－ｃ)(ａ^2－ｂｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}＝６０
∴ａ^2(ａ^2－ｂｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)＝６０―――ア
また、△ＧＦＤ＝ｂ×ａｂ(ａ－ｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)×(１/２)＝１０が成り立つ。
∴ａｂ^2(ａ－ｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)＝２０―――イ
ア÷イより、ａ(ａ^2－ｂｃ)/ｂ^2(ａ－ｃ)＝３
∴ａ(ａ^2－ｂｃ)＝３ｂ^2(ａ－ｃ)
∴ａ^3－ａｂｃ＝３ａｂ^2－３ｂ^2ｃ
∴ａ^3－３ａｂ^2＝ａｂｃ－３ｂ^2ｃ
∴ｃ(ａｂ－３ｂ^2)＝ａ^3－３ａｂ^2
∴ｃ＝(ａ^3－３ａｂ^2)/(ａｂ－３ｂ^2)―――☆
また、イより、
ａｂ^2(ａ－ｃ)＝２０(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)
∴ａ^2ｂ^2－ａｂ^2ｃ＝２０ａ^2＋２０ａｂ－２０ｂｃ
∴(ａｂ^2－２０ｂ)ｃ＝ａ^2ｂ^2－２０ａ^2－２０ａｂ
∴ｃ＝(ａ^2ｂ^2－２０ａ^2－２０ａｂ)/(ａｂ^2－２０ｂ)―――☆☆
☆，☆☆より、
(ａ^3－３ａｂ^2)/(ａｂ－３ｂ^2)＝(ａ^2ｂ^2－２０ａ^2－２０ａｂ)/(ａｂ^2－２０ｂ)
∴(ａｂ－３ｂ^2)(ａ^2ｂ^2－２０ａ^2－２０ａｂ)＝(ａ^3－３ａｂ^2)(ａｂ^2－２０ｂ)
これを展開すると、
ａ^3ｂ^3－２０ａ^3ｂ－２０ａ^2ｂ^2
－３ａ^2ｂ^4＋６０ａ^2ｂ^2＋６０ａｂ^3
＝ａ^4ｂ^2－２０ａ^3ｂ
－３ａ^2ｂ^4＋６０ａｂ^3
これをまとめると、－２０ａ^3ｂと６０ａｂ^3と－３ａ^2ｂ^4は相殺され、
ａ^3ｂ^3＋４０ａ^2ｂ^2－ａ^4ｂ^2＝０
∴ａ^2ｂ^2(ａｂ＋４０－ａ^2)＝０
∴ａｂ＋４０－ａ^2＝０　∴ａ^2－ａｂ＝４０
ところで、グレー部分の面積は、
(ａ－ｂ)×ａ×(１/２)＝(ａ^2－ａｂ)/２＝４０/２＝２０ｃｍ^2となる。
よって、答えは、２０ｃｍ^2

次回は、因数定理を使わない方法でやりますね。

おまけ：

何でもありの解法２
正方形の１辺の長さをａ，ＤＦ＝ｂ，ＢＥ＝ｃと置いて、ＢＣの延長とＡＦの延長との交点をＫとすると、ＥＣ＝ａ－ｃ，ＦＣ＝ａ－ｂ
また、△ＦＤＡ∽△ＦＣＫより、ｂ：ａ－ｂ＝ａ：ＣＫが成り立つ。∴ＣＫ＝ａ(ａ－ｂ)/ｂ
∴ＥＫ＝(ａ－ｃ)＋ａ(ａ－ｂ)/ｂ
＝(ａ^2－ｂｃ)/ｂ
また、△ＧＤＡ∽△ＧＥＫより、
ＡＧ：ＧＫ＝ａ：(ａ^2－ｂｃ)/ｂ
＝ａｂ：ａ^2－ｂｃ
また、△ＡＥＫ＝{(ａ^2－ｂｃ)/ｂ}×ａ×(１/２)＝ａ(ａ^2－ｂｃ)/２ｂ
よって、△ＥＡＫ＝ａ(ａ^2－ｂｃ)/２ｂで、
ＡＧ：ＧＫ＝ａｂ：ａ^2－ｂｃより、
△ＥＡＧ＝{ａｂ/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}×{ａ(ａ^2－ｂｃ)/２ｂ}＝３０が成り立つ。
∴ａ^2(ａ^2－ｂｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)
＝６０―――ア
また、ＤＧ：ＧＥ＝ＡＧ：ＧＫ
＝ａｂ：ａ^2－ｂｃ
△ＧＤＦ＝(ＤＧ/ＤＥ)△ＥＤＦ
＝{ａｂ/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)}×{ｂ×(ａ－ｃ)×(１/２)}＝ａｂ^2(ａ－ｃ)/２(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)＝１０が成り立つ。
∴ａｂ^2(ａ－ｃ)/(ａ^2＋ａｂ－ｂｃ)＝２０―――イ
以後同じ。
因みに、ＤＦ＝ｂでなく、ＦＣ＝ｂと置いても出来ますが、計算が面倒臭くなります。グレー部分は単純化されますが。これは止めておきますね。

おまけ：

解説
＞ｎ次の対称群Ｓnの任意の元は互換の積として表される。

例えば、Ｓ3の元ρ2＝(３１２)はρ0＝(１２３)の１と２を入れ換えた後に２と３を入れ換えたものなので、(３１２)＝(２,３)(１,２)

＞また、任意の互換(ａ,ｂ)に対して、
(ａ,ｂ)＝(１,ａ)(１,ｂ)(１,ａ)
なる関係が成り立つ。

例えば、(２,３)＝(１,２)(１,３)(１,２)
１２３→２１３→２３１→１３２
よって、２と３が入れ換わる。
また、上の(３１２)＝(２,３)(１,２)に、
(２,３)＝(１,２)(１,３)(１,２)を代入すると、
(３１２)＝(１,２)(１,３)(１,２)(１,２)で、
互換は２回やると元に戻るので、
(３１２)＝(１,２)(１,３)
１２３→３２１→３１２

＞したがって、ｎ次の対称群Ｓnの任意の元は、ｎ－１個の互換(１,２),(１,３),…,(１,ｎ)によって生成される。

例えば、Ｓ3の元μ1＝(１３２)は、
μ1＝(１,２)(１,３)(１,２)なので、
Ｓ3＝＜(１,２),(１,３)＞
よって、２個なのでＳnの任意の元は、ｎ－１個の互換(１,２),(１,３),…,(１,ｎ)によって生成されるという事。

おまけ：

問題１
√(４ａ^2－４ａ＋１)＋|ａ＋４|＝ａ＋７たるａの値を全て求めよ。

解答
√(２ａ－１)^2＋|ａ＋４|＝ａ＋７
∴±(２ａ－１)±(ａ＋４)＝ａ＋７
（ⅰ）＋＋の場合、２ａ－１≧０，ａ＋４≧０　∴－４≦ａかつ１/２≦ａ
よって、ａ≧１/２の時で、
(２ａ－１)＋(ａ＋４)＝ａ＋７
∴２ａ＝４　∴ａ＝２　よって、適正。
（ⅱ）＋－の場合、２ａ－１≧０，ａ＋４＜０　∴ａ＜－４かつ１/２≦ａ　よって、不能。
（ⅲ）－＋の場合、２ａ－１＜０，ａ＋４≧０　∴－４≦ａかつａ＜１/２　∴－４≦ａ＜１/２
この時、－(２ａ－１)＋(ａ＋４)＝ａ＋７
∴－２ａ＋１＋ａ＋４＝ａ＋７　∴２ａ＝－２
∴ａ＝－１　よって、適正。
（ⅳ）－－の場合、２ａ－１＜０，ａ＋４＜０　∴ａ＜－４かつａ＜１/２　
よって、ａ＜－４の時で、
－(２ａ－１)－(ａ＋４)＝ａ＋７
∴－２ａ＋１－ａ－４＝ａ＋７　
∴４ａ＝－１０
∴ａ＝－５/２　よって、不適。
（ⅰ）～（ⅳ）より、ａ＝－１，２

問題２
文字ａ,ａ,ｂ,ｃ,ｄを横一列に並べる。
（１）並べ方は全部で何通りあるか。
（２）文字列“ａｂ”が現れる場合は何通りか。
（３）文字ａｂが隣り合う場合は何通りか。

解答
（１）解法１　
同じもののある順列の公式より、５!/２!＝５×４×３×２×１/２×１＝６０通り

解法１の系　小学生用の解法
ａを２つ区別してａ1,ａ2とすると、並べ方は５個の入れ換えより最初が５種類のうちのどれかなので５通り。２番目が初めの１個を除いた４種類より４通り。３番目は残りを考えると３種類なので３通り。４番目も残りは２種類なので２通り。最後の５番目は残りもので１通りなので、５個の入れ換えの並べ方は、５×４×３×２×１＝１２０通りである。
しかし、これはａを区別した場合である。実際は、ａ1,ａ2,ｂ,ｃ,ｄと並んでいるのとａ2,ａ1,ｂ,ｃ,ｄと並んでいるのは同じである。これが例えば、ｂ,ａ2,ｄ,ａ1,ｃの場合などもｂ,ａ1,ｄ,ａ2,ｃの場合なども全て同じなので、全体をダブり分の半分にしなければならない。
よって、答えは、１２０÷２＝６０通り

解法２は次回。

（２）ａｂを１つの固まりと見ると、ａ,ａｂ,ｃ,ｄの順列（４種類の入れ換え）である。
よって、４!＝４×３×２×１＝２４通り

小学生用の解説は省略するが、次回あまり意味がない別解をやりましょう。（裏取りも兼ねて。）

（３）ａｂが隣り合うのでｂａの場合も考えると、（２）の答えの２倍で４８通り。ここで、ダブり分を考えなければいけない。
つまり、ａｂａが入っているのは双方に存在するので、ａｂａを１つの固まりと見て、ａｂａ,ｃ,ｄの入れ換えを考えると、３!＝３×２×１＝６通り　よって、答えは、４８－６＝４２通り

おまけ：

問題２
文字ａ,ａ,ｂ,ｃ,ｄを横一列に並べる。
（１）並べ方は全部で何通りあるか。
（２）文字列“ａｂ”が現れる場合は何通りか。
（３）文字ａｂが隣り合う場合は何通りか。

（１）の解法２
５つを並べた時に２つのａが何番目と何番目にあるかで、5Ｃ2＝１０通り。
また、残りの３個の順列で３!＝６通りより、
答えは、１０×６＝６０通り

（１）の解法２の系　小学生用の解法
例えば、ａｂｃａｄだったら、ａは１番目と４番目にある。これで場合分けすると、
(番目,番目)
(１,２),(１,３),(１,４),(１,５)
(２,３),(２,４),(２,５)
(３,４),(３,５)
(４,５)
よって、１０通り。
例えば、(１,４)だったらａ○○ａ○で、○の中身はｂ,ｃ,ｄの入れ換えより、全部でｂｃｄ，ｂｄｃ，ｃｂｄ，ｃｄｂ，ｄｂｃ，ｄｃｂの６通り。
よって、答えは、１０×６＝６０通り

（２）の別解（裏取り用）
（１）よりａ,ａ,ｂ,ｃ,ｄの並べ方は、６０通り。これから“ａｂ”が現れない場合を引く。
（ⅰ）ａｃｂ，ａｄｂが入っている場合、
ａ,ａｃｂ,ｄの順列より３!＝６通り　
また、ａｄｂの場合も同様で６×２＝１２通り
（ⅱ）ａｃｄｂ,ａｄｃｂが入っている場合、
ａ,ａｃｄｂの順列より２!＝２通り　
また、ａｄｃｂの場合も同様で２×２＝４通り
（ⅲ）ｂ|ａａｃｄ|の｜｜内の入れ換えの場合、同じもののある順列より、
４!/２!＝１２通り
（ⅳ）ｃｂ|ａａｄ|の｜｜内の入れ換えの場合、３通り。また、ｄｂ|ａａｃ|の場合も同様に３通りより、計６通り
（ⅴ）ｃｄｂａａ，ｄｃｂａａの場合、２通り
（ⅰ）～（ⅴ）より、“ａｂ”が現れない場合は、１２＋４＋１２＋６＋２＝３６通り
よって、文字列“ａｂ”が現れる場合は、６０－３６＝２４通り　よって、解法１よりＯＫ。

おまけ：

別解
ＥからＢＣと平行な直線を引き、ＢＤとの交点をＧとすると、△ＤＧＥと△ＤＢＣは相似で相似比は２：３
ここで、条件よりＡＤ：ＢＣ＝１：２より、
ＡＤ＝③，ＢＣ＝⑥と置くと、
ＧＥ＝(２/３)×⑥＝④
また、ＡＤ//ＧＥより、△ＦＤＡと△ＦＧＥも相似で、相似比は③：④＝３：４　
よって、△ＦＤＡと△ＦＧＥの面積比は、
３×３：４×４＝９：１６
よって、△ＦＧＥ＝(１６/９)×１０
＝１６０/９ｃｍ^2
また、ＦＤ：ＦＧ＝３：４より、
△ＤＧＥ＝(７/４)△ＦＧＥ＝(７/４)×(１６０/９)＝２８０/９ｃｍ^2
また、初めより△ＤＧＥと△ＤＢＣの相似比は２：３なので、
面積比は２×２：３×３＝４：９
よって、△ＤＢＣ＝(９/４)×(２８０/９)
＝７０ｃｍ^2
よって、グレー部分の面積は、７０ｃｍ^2

一応、算数にこだわりました。
また、どうでも良い事ですが、模範解答の方法でＤＦ：ＦＢ＝２：５と分かった後、錯角で∠ＡＤＦ＝∠ＤＢＣより１つの角が等しい三角形の面積比の公式を使うと、
ＤＦ：ＢＤ＝２：７，ＤＡ：ＢＣ＝１：２より、△ＤＦＡ：△ＢＤＣ＝２×１：７×２＝１：７
よって、△ＢＤＣ＝７×１０＝７０ｃｍ^2と求まります。

おまけ：
「秘教哲学者の書物からすると、大ピラミッドの構造には、地球上の人類が持つ本性とその宇宙との大変特殊な関係が物質的に表現されているということになる。大ピラミッドの本質は、ベイリー著『秘教占星学』に書かれたプレアデス星団からのメッセージの本質に関わる部分の中に読み取ることができる。これを次に引用しておこう。
「彼らからの光は、他の光とは違っている。それは反応を呼び起こす。―――私は凝結した世界（ヤギ座）の一番奥深い所にいる。私は墓なのだ。そして、私は子宮（カニ座）でもある。私は物質性に深く沈んでしまった岩だ。私は太陽が誕生した山の頂上であり、そこからは太陽が見え、光の最初の光線を把えることができる。―――人類は本日あるがごとく、本日の性質を備えている。母の息子として生まれ、墓から生まれ、誕生してからは光を示すものとなる・・・・」」
「ピラミッド大予言」マックス・トス著