数学

何でもありの別解
ＢＤ：ＤＣ＝４：３より、ＢＤ＝４ｘ，ＤＣ＝３ｘと置いて、△ＡＢＤ，△ＡＤＣで余弦定理を使うと、
(４ｘ)^2＝ＡＢ^2＋４^2－２ＡＢ・４・cos20°
(３ｘ)^2＝ＡＣ^2＋４^2－２ＡＣ・４・cos80°
∴１６ｘ^2＝ＡＢ^2＋１６－８ＡＢcos20°———①
９ｘ^2＝ＡＣ^2＋１６－８ＡＣcos80°———②
①×９－②×１６より、
１４４ｘ^2＝９ＡＢ^2＋１４４－７２ＡＢcos20°
１４４ｘ^2＝１６ＡＣ^2＋２５６－１２８ＡＣcos80°
—————————————————————————
∴０＝９ＡＢ^2－１６ＡＣ^2－１１２－７２ＡＢcos20°＋１２８ＡＣcos80°
∴９ＡＢ^2－１６ＡＣ^2－７２ＡＢcos20°＋１２８ＡＣcos80°－１１２＝０———☆
また、△ＡＢＤ：△ＡＤＣ＝４：３より、
(１/２)ＡＢ・４sin20°：(１/２)ＡＣ・４sin80°
＝４：３
∴ＡＢsin20°：ＡＣsin80°＝４：３
∴４ＡＣsin80°＝３ＡＢsin20°
∴ＡＣ＝３ＡＢsin20°/４sin80°
これを☆に代入すると、
９ＡＢ^2－１６(３ＡＢsin20°/４sin80°)^2
－７２ＡＢcos20°＋１２８(３ＡＢsin20°/４sin80°)cos80°－１１２＝０
∴９ＡＢ^2－(９ＡＢ^2sin20°^2/sin80°^2)
－７２ＡＢcos20°
＋９６ＡＢsin20°cos80°/sin80°－１１２＝０
∴９{１－(sin20°/sin80°)^2}－２４(３cos20°－４sin20°cos80°/sin80°)ＡＢ－１１２＝０
これを以上まとめても良いが、あまり意味がないので係数を電卓で計算すると、
7.9144672ＡＢ^2－61.868361ＡＢ－１１２＝０
これを解の公式で解くと、
ＡＢ＝{61.868361±√(61.868361^2+4・112・7.9144672)}/(2・7.9144672)
＝9.3333334（８桁の電卓使用。）
つまり、ＡＢ＝９＋１/３＝２８/３
よって、答えは、２８/３ｃｍ

おまけ：

別解１　Youtubeを見ないで思い付いた順
ＢＡの延長上にＡＥ＝ＡＤとなる点Ｅを取ると、
∠ＥＡＣ＝１８０°－２０°－８０°＝８０°より、
∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ　
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＤＣ≡△ＡＥＣ　
∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＥ　
よって、ＣＡは∠ＥＣＢの二等分線である。
また、ＣＥ＝ＣＤ＝③
よって、△ＣＥＢで角の二等分線の定理を使うと、
ＡＢ：ＡＥ＝ＣＢ：ＣＥ＝⑦：③＝７：３
ところで、ＡＥ＝ＡＤ＝４ｃｍより、ＡＢ：４＝７：３
∴ＡＢ＝２８/３ｃｍ
ただし、これは中学生以上の解法なので厳密には別解ではない。

別解２
ＤからＡＢと平行な直線を引き、ＡＣとの交点をＥとすると、錯角より∠ＥＤＡ＝∠ＢＡＤ＝２０°
よって、△ＤＡＥの内角の和より、
∠ＤＥＡ＝１８０°－２０°－８０°＝８０°
よって、∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ＝８０°より△ＤＡＥは二等辺三角形。よって、ＤＥ＝ＤＡ＝４ｃｍ
また、ＤＥとＢＡが平行より△ＣＤＥと△ＣＢＡは相似で相似比は３：７　
よって、ＡＢ＝(７/３)ＤＥ＝(７/３)×４
＝２８/３ｃｍ　
よって、答えは、２８/３ｃｍ

別解３
ＤからＡＣと平行な直線を引き、ＡＢとの交点をＥとすると、錯角と△ＡＤＥの内角の和より△ＡＤＥは二等辺三角形になる。よって、ＡＥ＝ＡＤ＝４ｃｍ
また、ＤＥとＣＡが相似より△ＢＤＥと△ＢＣＡは相似で相似比は４：７　
よって、ＡＥ：ＡＢ＝３：７
よって、ＡＢ＝(７/３)ＡＥ＝(７/３)×４
＝２８/３ｃｍ
よって、答えは、２８/３ｃｍ

別解４
ＣからＡＢと平行な直線を引き、ＡＤの延長との交点をＥとすると、△ＤＡＢと△ＤＥＣは相似で相似比は４：３より、ＤＥ＝(３/４)ＡＤ＝３ｃｍ　
よって、ＥＡ＝７ｃｍ
また、錯角と△ＥＡＣの内角の和より△ＥＡＣは二等辺三角形。よって、ＥＣ＝ＥＡ＝７ｃｍ
よって、ＡＢ＝(４/３)ＥＣ＝(４/３)×７
＝２８/３ｃｍ
よって、答えは、２８/３ｃｍ

別解５
ＢからＡＣと平行な直線を引き、ＡＤの延長との交点をＥとすると、
△ＤＥＢと△ＤＡＣは相似で相似比は４：３
よって、ＤＥ＝(４/３)ＡＤ＝１６/３ｃｍ
よって、ＡＥ＝４＋１６/３＝２８/３ｃｍ
ところで、錯角と△ＡＢＥの内角の和より△ＡＢＥは二等辺三角形。よって、ＡＢ＝ＡＥ＝２８/３ｃｍ
よって、答えは、２８/３ｃｍ

別解６
ＢからＡＤと平行な直線を引き、ＣＡの延長との交点をＥとすると、∠ＢＡＥ＝１８０°－２０°－８０°＝８０°また、錯角より∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＤ＝２０°
よって、△ＡＢＥの内角の和より、∠ＢＥＡ＝１８０°－２０°－８０°＝８０°
よって、∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡより△ＢＡＥは二等辺三角形。よって、ＡＢ＝ＥＢ
また、ＡＤとＥＢが平行より△ＣＡＤと△ＣＥＢは相似で相似比は３：７　
よって、ＥＢ＝(７/３)ＡＤ＝２８/３ｃｍ　
よって、ＡＢ＝ＥＢ＝２８/３ｃｍ
よって、答えは、２８/３ｃｍ

おまけ：

演習問題９
集合Ｇと結合律（Ｇ１）を満足している演算◦が与えられている。このとき、次の条件が満足されれば、Ｇは群であることを証明せよ。
（１）∃ｅ∈Ｇ，∀ａ∈Ｇ，ａ◦ｅ＝ａ
（２）∀ａ∈Ｇ，∃ｂ∈Ｇ，ａ◦ｂ＝ｅ

別解
群の公理の結合律（Ｇ１）は満足されているので、（Ｇ２）と（Ｇ３）が成り立つことを示せばよい。
（ⅰ）（Ｇ２）について：Ｇの任意の元をａとする。このとき（１）より、ある元ｅがＧに存在して
ａ◦ｅ＝ａ———①
が成り立っている。このとき、ｅ◦ａ＝ａであることを示す。
ｅ◦ａを作り、これに①を代入すると、
ｅ◦ａ＝ｅ◦(ａ◦ｅ)＝(ｅ◦ａ)◦ｅ
ここで、ｅ◦ａ＝ｆと置くと、ｆ＝ｆ◦ｅ———②
また、①より、ａ＝ａ◦ｅ———①'
①'，②より、ａ＝ｆ　
これをｅ◦ａ＝ｆに代入すると、ｅ◦ａ＝ａ———③
①，③より、ａ◦ｅ＝ｅ◦ａ＝ａ
よって、ｅは単位元である。
よって、群の定義（Ｇ２）が示された。
（ⅱ）（Ｇ３）について：Ｇの任意の元をａとする。このとき（２）より、ある元ｂがＧに存在してａ◦ｂ＝ｅ
ここで、ｂ◦ａ◦ｂを作ると、
ｂ◦ａ◦ｂ＝ｂ◦(ａ◦ｂ)＝ｂ◦ｅ＝ｂ———④
また、ｂ◦ａ◦ｂ＝(ｂ◦ａ)◦ｂ———⑤
④，⑤より、(ｂ◦ａ)◦ｂ＝ｂ
∴ｂ◦ａ＝ｅ
∴ａ◦ｂ＝ｂ◦ａ＝ｅ
よって、ｂは逆元である。
よって、群の定義（Ｇ３）が示された。

因みに、ａ◦ｂ◦ａを作ってみると、
ａ◦ｂ◦ａ＝(ａ◦ｂ)◦ａ＝ｅ◦ａ＝ａ（（ⅰ）より）
また、ａ◦ｂ◦ａ＝ａ◦(ｂ◦ａ)
∴ａ◦(ｂ◦ａ)＝ａ　∴ｂ◦ａ＝ｅ
∴ａ◦ｂ＝ｂ◦ａ＝ｅ
よって、ｂは逆元である。

としても良い。（１周目の時は解読するだけで手一杯で気付かなかったようである。）

おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1708693540736516204

算数の別解
正八面体を真ん中で水平に切り、２つの正四角錘にして２つを並べる。
片方をＯ－ＡＢＣＤ，もう一方をＰ－ＥＦＧＨとし、辺ＤＣと辺ＥＦをくっつけるという訳である。
この時、Ｏ－ＡＢＣＤをスライドさせてＰ－ＥＦＧＨの所に移動させると考えると、ＯＰの長さはＢＣの長さと一致する。つまり、立体ＯＰＣＤは全ての辺の長さが等しい三角錐より正四面体である。また、スライドよりＯＢＧＰは一平面である。
ここで、ＢＤを結び、三角錐Ｄ－ＯＢＣを考えると、正四面体Ｄ－ＯＣＰと等しい体積である。（底面が一平面上の合同な正三角形で頂点Ｄを共有しているので高さが等しいから。）
また、三角錐Ｄ－ＯＢＣは正四角錘Ｏ－ＡＢＣＤの１/２なので、正四角錘２個分は正四面体４個分である。
つまり、正八面体は正四面体４個分である分である。
よって、答えは、６×４＝２４ｃｍ^3

何でもありの解法
立体の体積の公式や重心の性質を使わないで解く事にする。
正四面体をＯ－ＡＢＣと置いて、１辺の長さをｘとする。また、ＢＣの中点をＭとし、断面図ＯＡＭを描くと、ＯＭ＝ＡＭ＝√３ｘ/２，ＯＡ＝ｘ
ここで、ＯからＡＭに垂線を下ろしその足をＨとし、ＯＨ＝ｍ，ＭＨ＝ｎと置いて、三平方の定理を使うと、
ｍ^2＋ｎ^2＝(√３ｘ/２)^2———①
ｍ^2＋(√３ｘ/２－ｎ)^2＝ｘ^2———②
①－②より、
√３ｘｎ－３ｘ^2/４＝３ｘ^2/４－ｘ^2
∴√３ｘｎ＝３ｘ^2/２－ｘ^2＝ｘ^2/２
∴ｎ＝ｘ/２√３　これを①に代入すると、
ｍ^2＋ｘ^2/１２＝３ｘ^2/４
∴ｍ^2＝８ｘ^2/１２＝２ｘ^2/３
∴ｍ＝√２ｘ/√３＝√６ｘ/３
∴ＯＨ＝√６ｘ/３
∴Ｏ－ＡＢＣ＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)・(√６ｘ/３)・(１/３)＝３√２ｘ^3/３６＝√２ｘ^3/１２
これが条件より６ｃｍ^3より、√２ｘ^3/１２＝６とすると、ｘ^3＝７２/√２＝３６√２———③
一方、１辺の長さがｘの正八面体の体積は、水平に切った正四角錘を考えると、断面図は等辺がｘの直角二等辺三角形になるので、高さは、√２ｘ/２
∴Ｖ＝ｘ^2・(√２ｘ/２)・(１/３)×２＝√２ｘ^3/３———④
③を④に代入すると、
Ｖ＝７２/３＝２４ｃｍ^3
よって、答えは、２４ｃｍ^3

おまけ：

別解１　思い付いた順
ＣからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、２角が等しいので△ＡＢＥ∽△ＡＣＨで相似比は３：２
∴ＢＥ：ＣＨ＝３：２
また、対頂角と直角の２角が等しいので、△ＤＢＥ∽△ＤＣＨ　∴ＤＥ：ＤＨ＝３：２
ここで、ＡＨ＝２ａ，ＡＥ＝３ａと置くと、ＨＥ＝３ａ－２ａ＝ａ　∴ＤＨ＝(２/５)ＨＥ＝２ａ/５
∴ＡＤ＝ＡＨ＋ＤＨ＝２ａ＋２ａ/５＝１２ａ/５
また、ＤＥ＝(３/５)ＨＥ＝３ａ/５
∴ＡＤ：ＤＥ＝１２ａ/５：３ａ/５＝４：１
よって、答えは、４：１

別解２
ＣからＡＤと平行な直線を引き、ＢＡの延長との交点をＦとすると、錯角と同位角より∠ＡＦＣ＝∠ＡＣＦ＝●となるので、△ＡＦＣは二等辺三角形になる。
∴ＡＦ＝ＡＣ＝２ｃｍ　∴ＢＦ＝３＋２＝５ｃｍ　よって、△ＢＡＤ∽△ＢＦＣの相似比は３：５
∴ＡＤ：ＦＣ＝３：５　よって、ＡＤ＝３ａ，ＦＣ＝５ａと置く。ここで、ＡからＦＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＦＨ＝ＦＣ/２＝５ａ/２
ところで、２角が等しいので、△ＦＡＨ∽△ＡＢＥで相似比は２：３より、ＡＥ＝(３/２)ＦＨ＝(３/２)×(５ａ/２)＝１５ａ/４　∴ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝１５ａ/４－３ａ＝３ａ/４　∴ＡＤ：ＤＥ＝３ａ：３ａ/４＝４：１
よって、答えは、４：１

一応、２つとも暗算で解きましたが、解法３の方が簡単です。

解法３
ＢからＡＣと平行な直線を引き、ＡＥの延長との交点をＦとすると、錯角より∠ＢＦＡ＝∠ＢＡＦ＝●となり△ＢＦＡは二等辺三角形である。∴ＢＦ＝ＢＡ＝３ｃｍ
また、△ＤＢＦ∽△ＤＣＡで相似比３：２より、ＡＤ：ＤＦ＝２：３　よって、ＡＤ＝２ａ，ＤＦ＝３ａと置くと、ＡＦ＝５ａ　また、△ＢＦＡは二等辺三角形より、ＡＥ＝５ａ/２　ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝５ａ/２－２ａ＝ａ/２　∴ＡＤ：ＤＥ＝２ａ：ａ/２＝４：１
よって、答えは、４：１

もっと出来るかもしれませんが、もう飽きたので省略。

おまけ：

問題
２桁の整数があり、この整数を５倍して９を引くと、十の位と一の位の数が入れかわった２桁の整数になります。もとの２桁の整数を求めてください。

別解
ところで、１２と２１，３６と６３などの２数の差は経験上９の倍数である。（証明：２桁の整数を１０ａ＋ｂと置くと、もう一方の数はａ＋１０ｂ。よって、その差は９ａ－９ｂだから。）
よって、元の数をｘと置くと、もう一方の数は５ｘ－９でその差は、４ｘ－９。これが９の倍数より４ｘは９の倍数である。つまり、ｘは９の倍数。
ここで、９の倍数の判定法より各桁の総和は９の倍数である。今回は２桁より、１８，２７，３６，４５，５４，６３，７２，８１が候補である。
１８を調べると、１８×５－９＝８１で適正。
２７を調べると、２７×５－９＝１３５－９＝１２６
よって、３桁なので不適。以後すべてさらに大きくなるので不適である。
よって、答えは、１８のみ。

おまけ：

問題１の解答
分子は、１，１，２，１，２，３，･･･
分母は、１，２，２，３，３，３，･･･
となっているので、どちらも１＋２＋３＋･･･＝１００となる（正確には最も近い）最後の数を求める。（分母はその数字になる。）
そこで、受験算数でも使われる１＋２＋３＋･･･＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２を使うと、ｎ×(ｎ＋１)＝２００となるｎを求めれば良い。
これを当てはめ方式で試行錯誤すると、１３×１４＝１８２，１４×１５＝２１０より、
１＋２＋３＋･･･＋１３＝９１
１＋２＋３＋･･･＋１４＝１０５
という事である。つまり、分母は１４である。
次に、分子は、１００－９１＝９より、９である。
よって、答えは、９/１４

因みに、「中学受験しない小学生でも解けるはずです。」とは、１＋２＋３＋･･･＋１３＝９１を手計算で求めるのだろうか。まぁ、１から１０まで足すと５５とか知っていれば当たりは付けられるが。

問題２の中学生用の別解
∠Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＥとすると、角の二等分線の定理より、ＢＥ：ＣＥ＝８：６＝４：３
∴ＣＥ＝(３/７)ＢＣ———①
ところで、△ＡＢＣで三平方の定理を使うと、
ＢＣ＝√(８^2－６^2)＝√(６４－３６)＝√２８
＝２√７ｃｍ———②
②を①に代入すると、
ＣＥ＝６√７/７ｃｍ
∴ＡＣ：ＣＥ＝６：６√７/７＝７：√７＝√７：１
また、ＢＣ：ＣＤ＝２√７：２＝√７：１
∴ＡＣ：ＣＥ＝ＢＣ：ＣＤ
よって、二辺比と挟角が等しいので、△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ　∴∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣ＝(１/２)∠ア
よって、△ＡＢＣの内角の和より、
∠ア＋∠イ＋(１/２)∠ア＝９０°
∴３∠ア＋２∠イ＝１８０°
よって、答えは、１８０°

高校生用と大学生用は次回。また、似たようなものですが何でもありでもやります。

おまけ：
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im4335909

「未来の社会はどんな様相を見せるだろうか。同志諸君、申し上げよう。まず闘争によって選りぬかれた貴族階級が現われる。新しい中産階級、無知な大衆、新しい奴隷、仕えるものの集団、永遠の未成年者の集団があろう。
　そしてこれらすべての上に、さらに新しい貴族がある。特別の指導的人物である。このように、支配をめぐる闘争によって、国の内外に新しい身分が成立する。しかも東方が巨大な実験の場になる・・・・そこに新しいヨーロッパの社会秩序が生まれるのだ」
「１９９９年以後」五島勉著より

問題２の高校生用の解法
△ＡＢＣで三平方の定理を使うと、
ＢＣ＝√(８^2－６^2)＝√(６４－３６)＝√２８
＝２√７ｃｍ
また、ＤからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＤＨ∽△ＡＢＣで相似比ＡＤ：ＡＢ＝４：８＝１：２より、ＤＨ＝ＢＣ/２＝√７ｃｍ，ＡＨ＝ＡＣ/２＝３ｃｍ　∴ＢＨ＝８－３＝５ｃｍ　また、△ＤＢＣで三平方の定理を使うと、ＢＤ＝√{(２√７)^2＋２^2}＝√３２＝４√２ｃｍ
ここで、求めたいのは、３ア＋２イより、sin(３ア＋２イ)を作ると、加法定理より、
sin(３ア＋２イ)＝sin３アcos２イ＋cos３アsin２イ———☆
ところで、２倍角，３倍角の公式より、
sin２θ＝２sinθcosθ
cos２θ＝２cos^2θ－１
sin３θ＝３sinθ－４sin^3θ
cos３θ＝４cos^3θ－３cosθ

∴sin３ア＝３sinア－４sin^3ア———①
cos２イ＝２cos^2イ－１———②
cos３ア＝４cos^3ア－３cosア———③
sin２イ＝２sinイcosイ———④
また、sinア＝√７/４，cosイ＝５/４√２
cosア＝３/４，sinイ＝√７/４√２
これらを①～④に代入すると、
sin３ア＝３(√７/４)－４(√７/４)^3＝３√７/４－７√７/１６＝１２√７/１６－７√７/１６＝５√７/１６
∴sin３ア＝５√７/１６———①'
cos２イ＝２(５/４√２)^2－１＝２(２５/３２)－１＝２５/１６－１＝９/１６
∴cos２イ＝９/１６———②'
cos３ア＝４(３/４)^3－３(３/４)＝２７/１６－９/４＝２７/１６－３６/１６＝－９/１６
∴cos３ア＝－９/１６———③'
sin２イ＝２(√７/４√２)(５/４√２)＝５√７/１６
∴sin２イ＝５√７/１６———④'
①'～④'を☆に代入すると、
sin(３ア＋２イ)＝sin３アcos２イ＋cos３アsin２イ
＝(５√７/１６)(９/１６)＋(－９/１６)(５√７/１６)
＝０
∴３ア＋２イ＝０，１８０°，３６０°，・・・
ところで、ア＋イ＜９０°より、３ア＋３イ＜２７０°
∴３ア＋２イ＜２７０°
∴３ア＋２イ＝１８０°
よって、答えは、１８０°

大学生用の解法と何でもありの解法は次回。

おまけ：

問題２の大学生用の解法
△ＡＢＣで三平方の定理を使うと、
ＢＣ＝√(８^2－６^2)＝√(６４－３６)＝√２８
＝２√７ｃｍ
また、ＤからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＤＨ∽△ＡＢＣで相似比ＡＤ：ＡＢ＝４：８＝１：２より、ＤＨ＝ＢＣ/２＝√７ｃｍ，ＡＨ＝ＡＣ/２＝３ｃｍ　∴ＢＨ＝８－３＝５ｃｍ
∴∠ア＝Arctan(√7/3)，∠イ＝Arctan(√7/5)
∴３∠ア＋２∠イ
＝３Arctan(√7/3)＋２Arctan(√7/5)
＝２{Arctan(√7/3)＋Arctan(√7/5)}＋Arctan(√7/3)———①
まず、Arctanの加法定理で、
Arctan(√7/3)＋Arctan(√7/5)
＝Arctan[(√7/3＋√7/5)/{１－(√7/3)(√7/5)}]
＝Arctan{(8√7/15)/(１－7/15)}
＝Arctan{(8√7/15)/(8/15)}
＝Arctan(√7)———②
②を①に代入すると、
３∠ア＋２∠イ＝２Arctan(√7)＋Arctan(√7/3)———③
また、２Arctan(√7)＝Arctan(√7)＋Arctan(√7)としてArctanの加法定理を使うと、
２Arctan(√7)＝Arctan{(√7＋√7)/(1－√7・√7)}
Arctan{2√7/(－6)}＝Arctan(－√7/3)———④
④を③に代入すると、
３∠ア＋２∠イ＝Arctan(－√7/3)＋Arctan(√7/3)
これを加法定理で処理すると、
＝Arctan[{(－√7/3)＋(√7/3)}/{１－(－√7/3)(√7/3)}]
＝Arctan０
よって、３∠ア＋２∠イ＝０，１８０°，３６０°，・・・
ところで、∠ア＋∠イ＜９０°より、
３∠ア＋３∠イ＜２７０°
∴３∠ア＋２∠イ＜２７０°
∴３∠ア＋２∠イ＝１８０°
よって、答えは、１８０°

何でもありの解法
tanの３倍角の公式より、
tan３θ＝(３tanθ－tan^3θ)/(１－３tan^2θ)
（ネットで調べたらあったのでこれを使う。）
ところで、上と同じようにすると、
tanア＝√7/３，tanイ＝√7/５
ここで、tan(３ア＋２イ)を作り加法定理で展開すると、
tan(３ア＋２イ)
＝(tan3ア＋tan2イ)/(１－tan3アtan2イ)———①
また、tanの３倍角の公式より、
tan3ア＝{3(√7/3)－(√7/3)^3}/{1－3(√7/3)^2}
＝(√7－7√7/27)/(1－7/3)＝(20√7/27)/(－4/3)
＝(－3/4)×(20√7/27)＝－5√7/9———②
また、tanの２倍角の公式より、
tan2イ＝{2(√7/5)/{1－(√7/5)^2}
＝(2√7/5)/(1－7/25)＝(2√7/5)/(18/25)
＝(25/18)×(2√7/5)＝5√7/9———③
②，③を①に代入すると、
tan(３ア＋２イ)
＝(－5√7/9＋5√7/9)/{1－(－5√7/9)(5√7/9)}
＝０
∴３ア＋２イ＝０，１８０°，３６０°，・・・
ところで、ア＋イ＜９０°より、３ア＋３イ＜２７０°
∴３ア＋２イ＜２７０°
∴３ア＋２イ＝１８０°
よって、答えは、１８０°

おまけ：
https://www.uta-net.com/song/92128/

解説
＞（１）＊はＳ上の演算であること、すなわち
ａ,ｂ∈Ｓ⇒ａ＊ｂ∈Ｓ
であることを示す。ａ∈Ｓ⇔ａ≠－１であることに注意すると、このことは
ａ≠－１，ｂ≠－１⇒ａ＊ｂ≠－１
と同値である。以下対偶によってこれを示す。

対偶にする必要がないのに、わざわざ対偶にするのが謎である。

∀ａ,ｂ∈Ｓに対して、ａ＊ｂ＝ａ＋ｂ＋ａｂ
＝(ａ＋１)(ｂ＋１)－１
ところで、Ｓ＝ℝ－{－１}より、ａ≠－１，ｂ≠－１
よって、ａ＊ｂ≠－１より、ａ＊ｂ∈Ｓ
∴ａ,ｂ∈Ｓ⇒ａ＊ｂ∈Ｓ
よって、＊はＳ上の演算である。

まぁ、対偶の方が付け入る隙がないような気もしないでもないが。例えば、(ａ＋１)(ｂ＋１)－１が－１にならないのはａ≠－１かつｂ≠－１以外の場合にはないのか、とか。
それはない。(ａ＋１)(ｂ＋１)－１≠－１とすると、(ａ＋１)(ｂ＋１)≠０⇔ａ≠－１かつｂ≠－１だから。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題５
ＧＬ2(ℤ5)をℤ5の元を成分とする２次正則行列全体とする。ＧＬ2(ℤ5)は乗法に関して群になることを示せ。

別解
(ａ ｂ)　(ｅ ｆ)　(ｉ ｊ)
(ｃ ｄ)，(ｇ ｈ)，(ｋ ｌ)∈ＧＬ2(ℤ5)に対して、
{(ａ ｂ)(ｅ ｆ)}(ｉ ｊ)＝(ae+bg　af+bh)(ｉ ｊ)
{(ｃ ｄ)(ｇ ｈ)}(ｋ ｌ)　(ce+bg　cf+dh)(ｋ ｌ)
＝(aei+bgi+afk+bhk　aej+bgj+afl+bhl)
　(cei+dgi+cfk+dhk　cej+dgj+cfl+dhl)———①
(ａ ｂ){(ｅ ｆ)(ｉ ｊ)}＝(ａ ｂ)(ei+fk　ej+fl)
(ｃ ｄ){(ｇ ｈ)(ｋ ｌ)}　(ｃ ｄ)(gi+hk　gj+hl)
＝(aei+afk+bgi+bhk　aej+afl+bgj+bhl)
　(cei+cfk+dgi+dhk　cej+cfl+dgj+dhl)———②
①，②より、
{(ａ ｂ)(ｅ ｆ)}(ｉ ｊ)＝(ａ ｂ){(ｅ ｆ)(ｉ ｊ)}
{(ｃ ｄ)(ｇ ｈ)}(ｋ ｌ)　(ｃ ｄ){(ｇ ｈ)(ｋ ｌ)}
よって、結合法則が成り立つ。
単位元は、Ｅ＝(|１ |０)
　　　　　　　(|０ |１)
に取れば、
ＡＥ＝(|ａ |ｂ)(|１ |０)＝(|ａ |ｂ)＝Ａ
　　　(|ｃ |ｄ)(|０ |１)　(|ｃ |ｄ)

ＥＡ＝(|１ |０)(|ａ |ｂ)＝(|ａ |ｂ)＝Ａ
　　　(|０ |１)(|ｃ |ｄ)　(|ｃ |ｄ)

∴ＡＥ＝ＥＡ＝Ａ
ところで、正則行列より、
|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ≢０（mod５）
よって、|ａ|ｄ－|ｂ|ｃと５は互いに素より、
(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）となるｘが存在する。
よって、そのｘを使って、
Ａ^-1＝ ｘ・(|ｄ －|ｂ)
　　　　　　(－|ｃ |ａ)
と取れば、逆元が存在する。よって、ＧＬ2(ℤ5)は乗法に関して群になる。

具体的には、

＞よって、|ａ|ｄ－|ｂ|ｃと５は互いに素より、
(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）となるｘが存在する。


＞よって、そのｘを使って、
Ａ^-1＝ ｘ・(|ｄ －|ｂ)
　　　　　　(－|ｃ |ａ)
と取れば、逆元が存在する。

この２ヶ所ぐらいですね。因みに、ＧＬ2(ℤ5)が乗法について閉じている事は省略されていますね。
念のため、Ａ,Ｂ∈ＧＬ2(ℤ5)とすると、正則行列より、|Ａ|≠|０，|Ｂ|≠|０　ゆえに、|ＡＢ|＝|Ａ||Ｂ|≠|０　したがって、ＡＢ∈ＧＬ2(ℤ5)
よって、ＧＬ2(ℤ5)は乗法について閉じている。

おまけ：

解説
＞よって、|ａ|ｄ－|ｂ|ｃと５は互いに素より、
(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）となるｘが存在する。

定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。すなわち
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ

ここでは整数となっているが、ℤ5の元にも適用出来る。（プロの人は証明して下さい。私は素人なので省略。ただし、|ａ|ｄ－|ｂ|ｃと５は互いに素より、(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）の両辺を|ａ|ｄ－|ｂ|ｃで割れるので、そのｘが存在する事の確信はある。念のため、右辺は分数ではない。）
よって、|ａ|ｄ－|ｂ|ｃと５は互いに素より、ｄ＝|１とすると、
|１＝(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)|ｘ＋５|ｙを満足する|ｘ,|ｙが存在する。この両辺のmod５を取ると、
(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)|ｘ＋５|ｙ≡|１（mod５）
∴(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)|ｘ≡|１（mod５）
よって、(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）となるｘが存在する。

＞よって、そのｘを使って、
Ａ^-1＝ ｘ・(|ｄ －|ｂ)
　　　　　　(－|ｃ |ａ)
と取れば、逆元が存在する。

AＡ^-1＝ (|ａ |ｂ)ｘ・(|ｄ －|ｂ)
　　　　　(|ｃ |ｄ)　　(－|ｃ |ａ)　

＝ｘ・(|ａ |ｂ)(|ｄ －|ｂ)
　　　(|ｃ |ｄ)(－|ｃ |ａ)　

＝ｘ・(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ　　|０)
　　　(|０　－|ｂ|ｃ＋|ａ|ｄ)

＝(ｘ(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)　　|０)
　(|０　　ｘ(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ))

＝(|１ |０)
　(|０ |１)
（(|ａ|ｄ－|ｂ|ｃ)ｘ≡１（mod５）より）

∴AＡ^-1＝Ｅ（Ａ^-1Ａ＝Ｅも同様。）
よって、逆元Ａ^-1が存在する。

おまけ：

解説
＞単射であること：ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)とすると、(中略)ｙ＝ｘ

これを示すと単射の証明になる理由を述べて下さい。

写像とは、１対１対応か多対１対応で、１対多対応は写像ではない。そこで、多対１対応を考えると、
ａ,ｂ∈Ｇに対して写像をｆとし、ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)となったら単射ではない。
つまり、単射だったら、ａ≠ｂ⇒ｆ(ａ)≠ｆ(ｂ)である。
この対偶を取ると、ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)⇒ａ＝ｂ
これが単射である必要十分条件である。
よって、「ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)とすると、(中略)ｙ＝ｘ」を示している訳である。

＞全射であること：Ｇの任意の元をｘとする。Ｇは群であるから、ｘ^-1がＧに存在する。ゆえに、ｆ(ｘ^-1)＝(ｘ^-1)^-1＝ｘ

これは次のものと同じなので、次の所で解説する。

＞全射であること：Ｇの任意の元をｘとする。ａ∈Ｇより、ａ^-1∈Ｇ　ゆえに、ａ^-1ｘ∈Ｇである。
したがって、ｌa(ａ^-1ｘ)＝ａ(ａ^-1ｘ)＝ｘ

（２）ｌa：Ｇ→Ｇ，ｘ→ａｘ（ただし、ａ∈Ｇ）

写像先のａｘの(任意の)ｘに対して、写像元の元をａ^-1ｘと取れば対応する元がＧに存在するので全射という事であるが、こんな事をする必要はない。
写像先の任意のａｘに対して写像元には対応するｘが必ず存在する(同じｘだから)ので、全射である事は自明だからである。
因みに、Ｇが群でなくても全単射である。（模範解答はＧが群である事を利用しているが。）

＞あと、これだけじゃ面白くないので、ｆもｌaも同型写像（自己同型写像）になれる事を証明して下さい。

（１）ｆ：Ｇ→Ｇ，ｘ→ｘ^-1
（２）ｌa：Ｇ→Ｇ，ｘ→ａｘ（ただし、ａ∈Ｇ）

（１）群Ｇの演算を乗法とすると、
∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して、ｆ(ｘ・ｙ)＝(ｘ・ｙ)^-1＝ｙ^-1・ｘ^-1＝ｆ(ｙ)・ｆ(ｘ)
∴ｆ(ｘ・ｙ)＝ｆ(ｘ)・ｆ(ｙ)
よって、ｆは準同型写像である。また、全単射であるので、ｆは同型写像である。よって、ｆはＧからＧへの自己同型写像である。
（２）群Ｇの演算を加法にすると、
∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して、ｌa(ｘ＋ｙ)＝ａ(ｘ＋ｙ)＝ａｘ＋ａｙ＝ｌa(ｘ)＋ｌa(ｙ)
∴ｌa(ｘ＋ｙ)＝ｌa(ｘ)＋ｌa(ｙ)
よって、ｌaは準同型写像である。また、全単射であるので、ｌaは同型写像である。よって、ｌaはＧからＧへの自己同型写像である。
と思ったが、分配法則を使っているのでダメか。しかし、p.119の例6.2では大丈夫なようだが。

例6.2
ａを０でない実数とするとき、ｆ(ｘ)＝ａｘによって与えられる写像ｆ：ℝ→ℝは実数の加法群(ℝ,＋)から(ℝ,＋)への同型写像を与える。
ｆが全単射であることは容易に示すことができる。また
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ａ(ｘ＋ｙ)＝ａｘ＋ａｙ＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)
∴ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)
ゆえに、ｆは同型写像であることがわかる。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

念のため、ａ∈ℝだから分配法則ですよね。乗法が定義されていないからいいのか？（保留）

おまけ：

算数の別解
右上と左下の頂点から各辺に対して垂線を立て、長方形を作り、その左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振る。
辺ＢＣ上の点をＥ，ＣＤ上の点をＦとし、ＢＦとＤＥの交点をＧとすると、∠ｘ＝∠ＢＧＥという事。
ここで、ＡＤ上にＡＨ＝２ｃｍとなる点Ｈを取ると、ＨＤ＝８－２＝６ｃｍ
よって、△ＢＨＡと△ＨＦＤは二辺挟角が等しいので合同になる。よって、ＢＨ＝ＨＦ　また、角度を考えると、∠ＢＨＦ＝９０°となる。（これは形として定石で覚えておいた方が良い。証明は模範解答を見ると良い。同じ構図だから。）
ところで、ＨＢ//ＤＥより、錯角で∠ＨＢＦ＝∠ＢＧＥ
よって、∠ｘ＝４５°

何でもありの解法
上と同じようにＢ～Ｇと振り、ＥからＢＧに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＥＨ∽△ＢＦＣで△ＢＦＣは直角を挟む二辺の比が１：２より、△ＢＥＨも１：２：√５の直角三角形である。
∴ＨＥ＝６/√５＝６√５/５ｃｍ
また、△ＢＣＦと直線ＤＥでメネラウスの定理を使うと、(６/２)(ＧＦ/ＢＧ)(６/２)＝１　
∴ＧＦ/ＢＧ＝１/９
∴ＧＦ：ＢＧ＝１：９　∴ＢＧ：ＢＦ＝９：１０
∴ＢＧ＝(９/１０)×ＢＦ＝(９/１０)×４√５
＝１８√５/５ｃｍ　
また、ＢＨ＝２ＨＥ＝１２√５/５ｃｍ
∴ＨＧ＝ＢＧ－ＢＨ＝１８√５/５－１２√５/５
＝６√５/５ｃｍ　∴ＨＥ＝ＨＧ
よって、△ＨＧＥは直角二等辺三角形。
∴∠ｘ＝４５°

おまけ：

演習問題３
Ｇを群とする。ｅはＧの単位元を表す。
（１）任意の元ｘ∈Ｇに対して、ｘ^2＝ｅが成り立つならば、Ｇは可換群であることを示せ。
（２）任意の元ｘ,ｙ∈Ｇに対して(ｘｙ)^2＝ｘ^2ｙ^2が成り立つならば、Ｇは可換群であることを示せ。

別解
（１）Ｇは群より、∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して、ｘｙ∈Ｇ
よって、ｘｙはＧの元より、(ｘｙ)^2＝ｅ
∴ｘｙｘｙ＝ｅ　この両辺に左からｘ^-1，右からｙ^-1をかけると、ｙｘ＝ｘ^-1ｙ^-1———①
また、ｘ^2＝ｅより、ｘｘ＝ｅ　この両辺にｘ^-1をかけると、ｘ＝ｘ^-1　また、同様にして、ｙ＝ｙ^-1
∴ｘｙ＝ｘ^-1ｙ^-1———②
①，②より、ｘｙ＝ｙｘ
よって、Ｇは可換群である。
（２）(ｘｙ)^2＝ｘ^2ｙ^2より、ｘｙｘｙ＝ｘｘｙｙ
この両辺に左からｘ^-1，右からｙ^-1をかけると、
ｙｘ＝ｘｙ
よって、Ｇは可換群である。

おまけ：

算数の解法
△ＦＥＣの内対角の和より、∠ＤＦＣ＝２３°＋４５°＝６８°また、正方形の対称性より、∠ＢＦＣ＝∠ＤＦＣ　∴∠ア＝６８°

何でもありの解法
ＡＢとＤＥの交点をＧとして、正方形の１辺の長さを１とすると、ＡＧ＝tan23°
また、△ＦＡＧ∽△ＦＣＤより、
tan23°：１＝ＡＦ：ＦＣが成り立つ。
∴ＡＦ＝{tan23°/(１＋tan23°)}ＡＣ
＝√２tan23°/(１＋tan23°)
また、正方形の中心をＯとすると、△ＯＡＢは直角二等辺三角形になり、ＯＡ＝ＯＢ＝√２/２＝１/√２
∴ＯＦ＝√２/２－√２tan23°/(１＋tan23°)
＝{√２(１＋tan23°)－２√２tan23°}/２(１＋tan23°)
＝(√２－√２tan23°)/２(１＋tan23°)
＝(１－tan23°)/√２(１＋tan23°)
∴tan∠ア＝ＯＢ/ＯＦ
＝(１/√２)/{(１－tan23°)/√２(１＋tan23°)}
＝(１＋tan23°)/(１－tan23°)
＝(tan45°＋tan23°)/(１－tan45°tan23°)
＝tan(45°＋23°)＝tan68°
∴tan∠ア＝tan68°
∴∠ア＝６８°

おまけ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%9E%A3%E7%BE%8E%E9%87%8C