数学

問題１の解答
４８－３０＝ＤＦ＋ＣＥ＝１８ｃｍ
また、ＤＦ＝ＣＥより、ＤＦ＝ＣＥ＝９ｃｍ
よって、ＡＤ＝ＢＣ＝９÷３＝３ｃｍ
よって、ＡＦ＝ＡＤ＋ＤＦ＝３＋９＝１２ｃｍ
ところで、ＡＢ＋ＡＦ＝４８÷２＝２４ｃｍ
よって、ＡＢ＝２４－１２＝１２ｃｍ
よって、長方形ＡＢＣＤ＝１２×３＝３６ｃｍ^2

問題２の解答
条件より、ア＝イ　この両辺に白い部分の図形を加えると、四分円＝台形になる。
よって、２×２×３.１４×(１/４)＝(ｘ＋３)×２÷２
よって、３.１４＝ｘ＋３　よって、ｘ＝０.１４ｃｍ

問題３
３＜√ａ＜４を満たす整数ａは何個ありますか？

解答
全ての辺を２乗すると、９＜ａ＜１６
よって、ａ＝１０,１１,１２,１３,１４,１５
よって、答えは、６個

問題４
１５番目の数は何？
１，２，２，４，３，６，４，・・・

解答
１番目から１つ置きで、１，２，３，４，・・・
２番目から１つ置きで、２，４，６，・・・

１５番目の１５は奇数より上段である。
１，３，５，・・・，２×□－１，（番目）
１，２，３　　　　　　　□　　　（対応する数）

２×□－１＝１５とすると、□＝８　
よって、答えは、８である。

おまけ：

解説
＞φ(ｎ)＝φ(２^e)φ(ａ)＝２^e(１－１/２)φ(ａ)＝２^(e-1)φ(ａ)

定理3.3より、
φ(２^e)＝２^e(１－１/２)＝２^(e-1)だから。

定理3.3
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）であれば、次の等式が成り立つ。
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

＞φ(ｎ)＝φ(３^e・ａ)＝φ(３^e)φ(ａ)＝２・３^(e-1)φ(ａ)

定理3.3より、
φ(３^e)＝３^e(１－１/３)＝３^e・(２/３)＝２・３^(e-1)だから。

＞あとは補足として、（２）の「ｎが３で割り切れないとき、φ(３ｎ)＝２φ(ｎ)」の証明ですね。

３∤ｎのとき、３とｎは互いに素より定理3.2により、
φ(３ｎ)＝φ(３)φ(ｎ)＝２φ(ｎ)（φ(３)＝２より）
∴φ(３ｎ)＝２φ(ｎ)

＞ついでに一般化出来ないか検討してみて下さい。

定理
ｎが素数ｐの倍数であるとき、φ(ｐｎ)＝ｐφ(ｎ)でありｎがｐで割り切れないとき、
φ(ｐｎ)＝(ｐ－１)φ(ｎ)である。

証明
ｐ|ｎのとき、ｎ＝ｐ^e・ａ（１≦ｅ，ｐ∤ａ）と表される。したがって、
φ(ｎ)＝φ(ｐ^e・ａ)＝φ(ｐ^e)φ(ａ)———①
ここで、定理3.3より、
φ(ｐ^e)＝ｐ^e(１－１/ｐ)＝ｐ^e{(ｐ－１)/ｐ}
＝(ｐ－１)ｐ^(e-1)———②
②を①に代入すると、
φ(ｎ)＝(ｐ－１)ｐ^(e-1)φ(ａ)———☆
また、φ(ｐｎ)＝φ(ｐ^(e+1)・ａ)＝φ(ｐ^(e+1))φ(ａ)
再び、定理3.3より、
φ(ｐ^(e+1))＝ｐ^(e+1)(１－１/ｐ)
＝ｐ^(e+1){(ｐ－１)/ｐ}＝(ｐ－１)ｐ^e
∴φ(ｐｎ)＝(ｐ－１)ｐ^eφ(ａ)———☆☆
☆，☆☆より、φ(ｐｎ)＝ｐφ(ｎ)
ｐ∤ｎのとき、ｐとｎは互いに素より定理3.2により、
φ(ｐｎ)＝φ(ｐ)φ(ｎ)＝(ｐ－１)φ(ｎ)（ｐは素数よりφ(ｐ)＝ｐ－１より）
∴φ(ｐｎ)＝(ｐ－１)φ(ｎ)
よって、示された。

因みに、ちょっと検索した感じでは見当たりませんでした。まさか、新定理ではないですよね。次回は、別解をやりますね。念のため、私のオリジナルです。

おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1705210978558963767

演習問題４
次を証明せよ。
（１）ｎが偶数のとき、φ(２ｎ)＝２φ(ｎ)であり、ｎが奇数のとき、φ(２ｎ)＝φ(ｎ)である。
（２）ｎが３の倍数であるとき、φ(３ｎ)＝３φ(ｎ)でありｎが３で割り切れないとき、φ(３ｎ)＝２φ(ｎ)である。

別証
定理3.3
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）であれば、次の等式が成り立つ。
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より
ただし、ｐ1＜ｐ2＜･･･＜ｐsとする。

（１）（ⅰ）ｎが奇数のとき、ｐ1～ｐsは全て奇素数より、
２ｎ＝２・ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es
∴φ(２ｎ)＝２ｎ(１－１/２)(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝φ(ｎ)
∴φ(２ｎ)＝φ(ｎ)
（ⅱ）ｎが偶数のとき、
２ｎ＝ｐ1^(e1+1)・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es
∴φ(２ｎ)＝２ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝２φ(ｎ)
∴φ(２ｎ)＝２φ(ｎ)
（２）（ⅰ）ｎが３の倍数でないとき、ｐ1～ｐsに素数３はないので、
３ｎ＝３・ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es
∴φ(３ｎ)＝３ｎ(１－１/３)(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝２ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝２φ(ｎ)
∴φ(３ｎ)＝２φ(ｎ)
（ⅱ）ｎが３の倍数のとき、
３ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^(e2+1)・･･･・ｐs^es
∴φ(３ｎ)＝３ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝３φ(ｎ)
∴φ(２ｎ)＝３φ(ｎ)
よって、示された。

念のため、３ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^(e2+1)・･･･・ｐs^esは一例として挙げただけである。
３ｎ＝ｐ1^(e1+1)・ｐ2^e2・･･･・ｐs^esの可能性もあるが同じ事だから。

定理
ｎが素数ｐの倍数であるとき、φ(ｐｎ)＝ｐφ(ｎ)でありｎがｐで割り切れないとき、
φ(ｐｎ)＝(ｐ－１)φ(ｎ)である。

証明
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）と素因数分解する。
（ⅰ）ｎがｐiの倍数の時、
ｐi・ｎ＝ｐ1^e1・･･･・ｐi^(ei+1)・･･･・ｐs^es
よって、定理3.3より、
φ(ｐi・ｎ)＝(ｐi・ｎ)(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝ｐi・ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝ｐi・φ(ｎ)
∴φ(ｐi・ｎ)＝ｐi・φ(ｎ)
∴φ(ｐｎ)＝ｐφ(ｎ)
（２）ｎがｐの倍数でない時、ｐはｐ1～ｐsにないので、
ｐｎ＝ｐ・ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es
よって、定理3.3より、
∴φ(ｐｎ)＝ｐｎ(１－１/ｐ)(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝ｐｎ{(ｐ－１)/ｐ}(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝ｎ(ｐ－１)(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝(ｐ－１)・ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝(ｐ－１)φ(ｎ)
∴φ(ｐｎ)＝(ｐ－１)φ(ｎ)
よって、示された。

因みに、この定理は別証のお陰で思い付きました。

おまけ：

解法１
∠ＰＡＣ＝●と置くと、∠ＰＡＢ＝６０°－●
よって、△ＰＡＢの内角の和より∠ＰＢＡ＝１８０°－１２０°－(６０°－●)＝●（これは図形的に考えれば算数で分かる。）
よって、∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＡ
ここで、ＡＰを延長してＡＰ＝ＰＱとなる点Ｑを取ると、ＡＱ＝ＢＰ　また、ＡＣ＝ＢＡより、二辺挟角が等しいので、△ＰＢＡと△ＱＡＣは合同になる。
よって、∠ＱＣＡ＝∠ＰＡＢ＝６０°－●より、∠ＱＣＢ＝６０°－(６０°－●)＝●（これも図形的考えれば算数でわ分かる。）
よって、ＣＱの延長とＢＰとの交点をＲとすると、∠ＰＡＣ＝∠ＲＢＣ＝∠ＱＣＢ＝●より対称性で△ＰＱＲは正三角形になる。
よって、あとはこちらhttps://www.msn.com/ja-jp/lifestyle/other/%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E5%95%8F%E9%A1%8C-%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E9%83%A8%E5%88%86%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E3%82%92%E6%B1%82%E3%82%81%E3%82%88-vol-219/ar-AA1haaaJ?ocid=msedgntp&cvid=edba4aa54a534e8c9d0436904ac1aa5f&ei=6の模範解答のように解けば、全体の１/７の面積である事が分かる。
よって、答えは、１/７ｃｍ^2

おまけ：

解法２
∠ＰＡＣ＝●と置くと、∠ＰＡＢ＝６０°－●
よって、△ＰＡＢの内角の和より∠ＰＢＡ＝１８０°－１２０°－(６０°－●)＝●（これは図形的に考えれば算数で分かる。）
よって、∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＡ
よって、１つの角が等しい三角形の面積比の公式より、
△ＡＰＣ：△ＢＰＡ＝ＡＰ×ＡＣ：ＢＰ×ＢＡ＝ＡＰ：ＢＰ＝１：２（△ＡＢＣは正三角形よりＡＣ＝ＢＡだから。）
よって、△ＡＰＣ：△ＢＰＡ＝１：２———①
この公式を使わない場合は、ＰからＡＢ，ＡＣに垂線を下ろして、相似を利用して高さの比を求めれば良い。（底辺がＡＢ＝ＡＣで等しいから面積は高さの比と等しい。）
また、∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝６０°－●より、△ＡＰＢと△ＢＰＣで１つの角が等しい面積比の公式を使うと、
△ＡＰＢ：△ＢＰＣ＝ＡＰ×ＡＢ：ＢＰ×ＢＣ＝ＡＰ：ＢＰ＝１：２
よって、△ＢＰＡ：△ＢＰＣ＝１：２———②
これも公式を使わなくても上と同様に求められる。
①，②より、
△ＡＰＣ：△ＢＰＡ：△ＢＰＣ＝１：２：４
よって、△ＡＰＣ＝❶と置くと、△ＢＰＡ＝❷，△ＢＰＣ＝❹　よって、△ＡＢＣ＝❶＋❷＋❹＝❼＝１ｃｍ^2 よって、△ＣＡＰ＝❶＝１/７ｃｍ^2
よって、答えは、１/７ｃｍ^2

おまけ：

解法３
△ＡＰＣを点Ａを中心にＡＣがＡＢにくっつくまで６０°回転させ点Ｐの行き先をＰ'とすると、ＡＰ＝ＡＰ'，∠ＰＡＰ'＝６０°より△ＡＰ'Ｐは正三角形。
ここで、ＡＰ＝ｘと置くと条件よりＢＰ＝２ｘ　また、正三角形よりＰＰ'＝ｘ，∠ＡＰＰ'＝６０°
また、条件より∠ＡＰＢ＝１２０°より∠ＢＰＰ'＝１２０°－６０°＝６０°
よって、ＢＰ：ＰＰ'＝２ｘ：ｘ＝２：１で∠ＢＰＰ'＝６０°より△ＢＰＰ'は１：２：√３の直角三角形である。
∴∠ＢＰ'Ｐ＝９０°，ＢＰ'＝√３ｘ
∴∠ＡＰ'Ｂ＝６０°＋９０°＝１５０°
∴∠ＡＰＢ＝１５０°∴∠ＢＰＣ＝３６０°－１２０°－１５０°＝９０°また、ＰＣ＝Ｐ'Ｂ＝√３ｘ
ここで、ＡＰの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＣＰＨ＝３０°より△ＣＰＨは１：２：√３の直角三角形。∴ＣＨ＝ＰＣ/２＝√３ｘ/２
∴△ＡＰＣ＋△ＡＰＢ＝△ＡＰ'Ｂ＋△ＡＰＢ＝△ＡＰ'Ｐ＋△ＢＰ'Ｐ＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＋ｘ・√３ｘ・(１/２)＝√３ｘ^2/４＋√３ｘ^2/２＝３√３ｘ^2/４———①
また、△ＰＢＣ＝ＢＰ・ＣＰ・(１/２)＝２ｘ・√３ｘ・(１/２)＝√３ｘ^2———②
①，②より、△ＡＢＣ＝３√３ｘ^2/４＋√３ｘ^2＝７√３ｘ^2/４＝１が成り立つ。
ところで、△ＣＡＰ＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＝√３ｘ^2/４より、△ＣＡＰ＝１/７ｃｍ^2（７√３ｘ^2/４＝１より）
よって、答えは、１/７ｃｍ^2

因みに、△ＢＰＣを点Ｂを中心にＢＣがＢＡにくっつまで，△ＡＰＢを点Ａを中心にＡＢがＡＣにくっつまで，△ＢＰＡを点Ｂを中心にＢＡがＢＣにくっつまで回転移動させても出来るが、△ＣＰＡを点Ｃを中心にＣＡがＣＢにくっつまで，△ＣＰＢを点Ｃを中心にＣＢがＣＡにくっつまで回転させても出来ない。これで全部で６通りだが、結局１２０°に関連付けられないと解けないという事。
別解はあと２通り。

おまけ：

解法４
点ＰのＡＢに関する対称点をＰ'，ＢＣに関する対称点をＰ''，ＣＡに関する対称点をＰ'''とすると、
ＡＰ＝ＡＰ'，ＡＰ＝ＡＰ'''より、ＡＰ'＝ＡＰ'''
また、∠ＰＡＢ＝∠Ｐ'ＡＢ＝○，∠ＰＡＣ＝∠Ｐ'''ＡＣ＝●と置くと、
∠Ｐ'ＡＰ'''＝○○●●＝２∠Ａ＝１２０°
ここで、条件よりＡＰ＝ｘと置くと、ＢＰ＝２ｘ
よって、△ＡＰ'Ｐ'''は頂角が１２０°の二等辺三角形でＡＰ'＝ｘより、Ｐ'Ｐ'''＝√３ｘ
同様に、△ＢＰ''Ｐ'も頂角が１２０°の二等辺三角形でＢＰ'＝２ｘより、Ｐ'Ｐ''＝２√３ｘ
∴Ｐ'Ｐ'''：Ｐ'Ｐ''＝√３ｘ：２√３ｘ＝１：２
また、∠ＡＰ'Ｐ'''＝(１８０°－１２０°)÷２＝３０°
∠ＢＰ'Ｐ''＝(１８０°－１２０°)÷２＝３０°
また、∠ＡＰ'Ｂ＝∠ＡＰＢ＝１２０°より、
∠Ｐ''Ｐ'Ｐ'''＝１２０°－３０°－３０°＝６０°
よって、△Ｐ''Ｐ'Ｐ'''はＰ'Ｐ'''：Ｐ'Ｐ''＝１：２，∠Ｐ''Ｐ'Ｐ'''＝６０°より、１：２：√３の直角三角形。
∴Ｐ''Ｐ'''＝√３Ｐ'Ｐ'''＝√３・√３ｘ＝３ｘ
また、△ＣＰ''Ｐ'''も頂角が１２０°の二等辺三角形より、ＣＰ'''＝Ｐ''Ｐ'''/√３＝√３ｘ　∴ＣＰ＝√３ｘ
∴六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝△ＡＰ'Ｐ'''＋△ＢＰ''Ｐ'＋△ＣＰ'''Ｐ''＋△Ｐ'Ｐ''Ｐ'''
＝√３ｘ・(ｘ/２)・(１/２)＋２√３ｘ・ｘ・(１/２)＋３ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＋√３ｘ・３ｘ・(１/２)
＝√３ｘ^2/４＋√３ｘ^2＋３√３ｘ^2/４＋３√３ｘ^2/２＝２√３ｘ^2＋３√３ｘ^2/２＝７√３ｘ^2/２
∴六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝７√３ｘ^2/２———①
また、六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝２△ＡＢＣ＝２ｃｍ^2———②
①，②より、７√３ｘ^2/２＝２　
∴７√３ｘ^2/４＝１———☆
ところで、∠ＡＰ'''Ｃ＝∠ＡＰ'''Ｐ'＋∠Ｐ'Ｐ'''Ｐ''＋∠ＣＰ'''Ｐ''＝３０°＋９０°＋３０°＝１５０°
∴∠ＡＰＣ＝１５０°
よって、ＡＰを延長してＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＣＰＨは１：２：√３の直角三角形。
∴ＣＨ＝ＣＰ/２＝√３ｘ/２　∴△ＣＡＰ＝ＡＰ・ＣＨ・(１/２)＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＝√３ｘ^2/４
∴△ＣＡＰ＝√３ｘ^2/４＝１/７（☆より）
よって、答えは、１/７ｃｍ^2

おまけ：

解法５
△ＢＰＣを点Ｂを中心にＢＣがＢＡにくっつくまで６０°回転移動させ点Ｐの行き先をＰ'，△ＣＰＡを点Ｃを中心にＣＡがＣＢにくっつくまで６０°回転移動させ点Ｐの行き先をＰ''，△ＡＰＢを点Ａを中心にＡＢがＡＣにくっつくまで回転移動させ点Ｐの行き先をＰ'''とすると、
△ＢＰ'Ｐ，△ＣＰ''Ｐ，△ＡＰ'''Ｐはそれぞれ頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形になる。
また、∠ＡＰＰ'＝１２０°－６０°＝６０°となり、条件よりＡＰ：ＢＰ＝１：２で正三角形よりＢＰ＝Ｐ'Ｐより、ＡＰ：Ｐ'Ｐ＝１：２
よって、△ＡＰＰ'は１：２：√３の直角三角形になる。また、証明は簡単で省略するが三辺相等で△ＡＰＰ'≡△Ｐ''ＢＰ≡△ＰＰ'''Ｃとなる。
よって、条件よりＡＰ＝ｘ，ＢＰ＝２ｘと置くと、△ＰＰ'''Ｃは△ＡＰＰ'と合同な１：２：√３の直角三角形なので、ＣＰ＝√３ｘ，∠ＣＰＰ'''＝９０°
∴∠ＡＰＣ＝６０°＋９０°＝１５０°
ここで、ＡＰを延長してＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＣＰＨも１：２：√３の直角三角形より、
ＣＨ＝ＣＰ/２＝√３ｘ/２
∴△ＣＡＰ＝ＡＰ・ＣＨ・(１/２)＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＝√３ｘ^2/４———①
また、六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝△ＡＰＰ'''＋△ＢＰＰ'＋△ＣＰＰ''＋△ＡＰＰ'×３
＝ｘ・(√３ｘ/２)・(１/２)＋２ｘ・√３ｘ・(１/２)＋√３ｘ・(３ｘ/２)・(１/２)＋ｘ・√３ｘ・(１/２)×３
＝√３ｘ^2/４＋√３ｘ^2＋３√３ｘ^2/４＋３√３ｘ^2/２＝２√３ｘ^2＋３√３ｘ^2/２＝７√３ｘ^2/２
∴六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝７√３ｘ^2/２
また、六角形ＡＰ'ＢＰ''ＣＰ'''＝２△ＡＢＣ＝２より、
７√３ｘ^2/２＝２が成り立つ。
∴√３ｘ^2/４＝１/７———②
①，②より、△ＣＡＰ＝１/７ｃｍ^2

おまけ：
https://encount.press/archives/197904/2/

演習問題３
次の問に答えよ。
（１）φ(ｎ)＝(１/２)ｎを満たす自然数ｎを求めよ。
（２）φ(ｎ)＝(２/３)ｎを満たす自然数ｎを求めよ。

解答
（１）ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）と素因数分解すると、定理3.3より、
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝(１/２)ｎと置ける。
∴１/２＝(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
ここで、ｐiは素数より最小の素数２をｐ1に代入すると、１/２＝１/２で成り立ち、(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)は皆１より小さいので成り立つ可能性がないので不要である。
よって、必要なのはｐ1＝２のみで答えは、
ｎ＝２^e1（ｅ1＞０）

定理3.3
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）であれば、次の等式が成り立つ。
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

（２）（１）と同様に考えると、
(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)＝２/３
ｐ1＝３を代入すると、２/３＝２/３で成り立ち、(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)は皆１より小さいので成り立つ可能性がないので不要である。
よって、必要なのはｐ1＝３のみで答えは、
ｎ＝３^e（ｅ＞０）

pythonで裏を取ると、
（１）の場合、ｎ＝１０００まで調べると、
import math

def φ(n):
count = 0
for i in range (1,n):
if math.gcd(n,i) == 1:
count += 1
return count

if __name__ == '__main__':
ans = [ ]
for i in range(1,1000):
if φ(i) == (1/2)*i:
ans.append(i)
print(ans)
結果：[2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512]
よって、ＯＫ。

（２）同じく、ｎ＝１０００まで調べると、
import math

def φ(n):
count = 0
for i in range (1,n):
if math.gcd(n,i) == 1:
count += 1
return count

if __name__ == '__main__':
ans = [ ]
for i in range(1,1000):
if φ(i) == (2/3)*i:
ans.append(i)
print(ans)
結果：[3, 9, 27, 81, 243, 729]
よって、ＯＫ。

おまけ：

何でもありの別解
ＡＤの延長とＢＣとの交点をＧとして、△ＣＢＦと直線ＧＥでメネラウスの定理を使うと、
(ＧＣ/ＢＧ)(１/１)(２/１)＝１　∴ＧＣ/ＢＧ＝１/２
∴ＢＧ：ＧＣ＝２：１
また、△ＥＢＧと直線ＦＣでメネラウスの定理を使うと、
(１/１)(ＤＧ/ＥＤ)(３/１)＝１　∴ＤＧ/ＥＤ＝１/３
∴ＥＤ：ＤＧ＝３：１　また、ＡＥ＝ＥＤより、
ＡＥ：ＥＤ：ＤＧ＝３：３：１　∴ＡＧ：ＥＧ＝７：４
まず、△ＡＢＧ＝(２/３)△ＡＢＣ＝(２/３)×３５＝７０/３ｃｍ^2 　∴△ＢＡＧ＝７０/３ｃｍ^2
∴△ＢＥＧ＝(４/７)△ＢＡＧ＝(４/７)×(７０/３)＝４０/３ｃｍ^2　∴△ＥＢＧ＝４０/３ｃｍ^2
ここで、１つの角を共有した三角形の面積比の公式を使うと、△ＥＦＤ＝(１/２)×(３/４)×△ＥＢＧ＝(３/８)×(４０/３)＝５ｃｍ^2
よって、答えは、５ｃｍ^2

おまけ：

解説
＞このとき、ｐi－１にあたるものは１,２,４,６である。したがって、ｎの素因数である可能性のあるｐiは２,３,７であることがわかる。

ｐi＝５の時は、ｐi－１＝４＝２^2となるので、
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
＝ｐ1^(e1-1)(ｐ1－１)ｐ2^(e2-1)(ｐ2－１)･･･ｐs^(es-1)(ｐs－１)
のｐi－１の所が２^2となり、φ(ｎ)＝６＝２・３に矛盾するからである。

誤植情報
＞また、ｎ＝２^αとすると、
φ(ｎ)＝２^(α-1)(２－１)＝２^(α-1)≠６
したがって、
ｎ＝２^α３^β（０≦α，０≦β）・・・①
ｎ＝２^α７^γ（０≦α，０≦γ）・・・②
の場合を考えればよい。

①は１≦β，②は１≦γですね。（念のため、私の打ち込みミスではありません。）
β＝０の場合は、ｎ＝２^αとなりこの場合は上よりあり得ないからである。②も同じ。

＞ｎ＝２^α３^β（１≦α，０≦β）のとき、
＞ｎ＝２^α７^γ（１≦α，０≦γ）のとき、

これらの時も１≦β，１≦γですね。

pythonを使った解法
import math

def φ(n):
count = 0
for i in range (1,n):
if math.gcd(n,i) == 1:
count += 1
return count

if __name__ == '__main__':
ans = [ ]
for i in range(1,100):
if φ(i) == 6:
ans.append(i)
print(ans)

結果：[7, 9, 14, 18]

７，９，１４，１８でＯＫですね。

おまけ：

問題１
2つの同心円(中心が共通)があります。小さい円に接する大きい円の弦の長さは10㎝であるとき、色部分の面積を求めてください。

解答
同心円の中心をＯとして、大円の弦を左から右にＡＢ，ＡＢと小円との接点をＴとすると、ＯＴ⊥ＡＢ
また、半径よりＯＡ＝ＯＢ　また、ＯＴは共通より、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、
△ＯＴＡ≡△ＯＴＢ　∴ＡＴ＝ＢＴ＝５ｃｍ
ここで、大円の半径をＲ，小円の半径をｒと置いて△ＯＴＢで三平方の定理を使うと、Ｒ^2－ｒ^2＝５^2
この両辺にπを掛けると、π(Ｒ^2－ｒ^2)＝２５π
∴πＲ^2－πｒ^2＝２５π
よって、大円の面積－小円の面積＝２５πｃｍ^2
よって、色部分の面積は、２５πｃｍ^2

問題２の解法１
右２つの長方形の面積の和は４６＋２４＝７０ｃｍ^2
よって、全体の長方形の縦の長さは、
７０÷７＝１０ｃｍ
よって、左の２個の長方形の面積の和は、
９×１０＝９０ｃｍ^2　
よって、左上の長方形の面積は、
９０－５３＝３７ｃｍ^2　
よって、答えは、３７ｃｍ^2

解法２
５３ｃｍ^2の長方形の上の辺を右に延長してベージュの長方形を２つに切ると、
下のベージュと緑の長方形の和は、
(７/９)×５３＝３７１/９ｃｍ^2
よって、上のベージュの長方形の面積は、
４６＋２４－３７１/９＝７０－３７１/９
＝６３０/９－３７１/９＝２５９/９ｃｍ^2
よって、赤い長方形の面積は、
(９/７)×(２５９/９)＝３７ｃｍ^2
よって、答えは、３７ｃｍ^2

問題３
①と②ではどちらが大きいですか。
①３２３３２３２３×３２３３２２２２
②３２３３２３２２×３２３３２２２３

解法１
３２３３２３２２＝ｘ，３２３３２２２２＝ｙと置くと、
①は、(ｘ＋１)×ｙ＝ｘｙ＋ｙ
②は、ｘ×(ｙ＋１)＝ｘｙ＋ｘ
ところで、ｙ＜ｘより、①＜②
よって、答えは、②の方が大きい。

解法２
例えば、５×４の大きい方の５に１を加えると、
６×４＝２４
小さい方の４に１を加えると、
５×５＝２５
よって、小さい方に１を加える方が大きくなる。
この理由は簡単で、５×４を５が４個分と４が５個分と考えれば小さい方に１を加えた方（前者）が全体が大きくなるのは自明だろう。
よって、答えは、②
（３２３３２３２２×３２３３２２２２と考えて小さい方に１を加えているのは②だから。）

おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/news/opinion/%E5%BD%BC%E5%A5%B3%E3%81%AE%E7%88%B6%E3%81%AB-%E5%AE%B6%E6%9F%84%E3%82%84%E5%AD%A6%E6%AD%B4-%E3%82%92%E4%BE%AE%E8%BE%B1%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E7%94%B7%E3%81%8C-%E6%9C%80%E5%BE%8C%E3%81%AB%E3%81%97%E3%81%9F-%E4%BB%95%E8%BF%94%E3%81%97-%E4%BB%B0%E5%A4%A9%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%B9-%E3%83%88%E3%83%83%E3%83%973/ar-AA1ha9RF?ocid=msedgntp&cvid=b5ae6381680d4632a38c081d0bae14dd&ei=16（確かに作り話っぽい。）

問題１の回答
１．３分と５分の砂時計を同時にひっくり返す。
２．３分の砂時計が終わったら再びひっくり返す。
３．５分の砂時計が終わると同時に３分の砂時計をひっくり返す。
４．その３分の砂時計の砂が落ち切ったら７分である。

証明
２が終わった時点で３分経過。
３の途中で５分の砂時計が終わった時点で３分の砂時計は５－３＝２分進んでいるので残り１分ぶん。ここで、ひっくり返すので３分の砂時計の残りは３－１＝２分ぶん。
４が終わると、５分＋２分＝７分経過している。
よって、示された。

問題２の何でもありの解法
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＣＨは１：２：√３の直角三角形で∠ＢＡＨ＝９６°－６０°＝３６°よって、cos３６°を求めればＡＨが求まりＡＣも求まる。
そこで、θ＝３６°と置くと、５θ＝１８０°
∴２θ＝１８０°－３θ　
∴sin２θ＝sin(１８０°－３θ)
∴sin２θ＝sin３θ
∴２sinθcosθ＝３sinθ－４sin^3θ
sinθ＝sin３６°≠０より、２cosθ＝３－４sin^2θ
∴２cosθ＝３－４(１－cos^2θ)
∴４cos^2θ－２cosθ－１＝０
∴cosθ＝(１±√５)/４
ところで、θ＝３６°は第１象限の角より、cosθ＞０
∴cosθ＝(１＋√５)/４
∴cos３６°＝(１＋√５)/４
∴ＡＨ＝(１＋√５)/４　∴ＡＣ＝(１＋√５)/２
よって、答えは、(１＋√５)/２ｃｍ

念のため、何も見ないで解きました。

中学数学の解法のアレンジ
ＢＣに関して点Ａと対称な点を取りＡ'とすると、△ＣＡＡ'は正三角形になり、△ＢＡＡ'は頂角が１０８°の二等辺三角形になる。
ここで、ＡＡ'上にＡＤ＝ＡＢとなる点Ｄを取ると、△ＡＢＤは頂角が３６°の二等辺三角形になるので、∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝７２°∴∠ＤＢＡ'＝１０８°－７２°＝３６°，∠ＢＤＡ'＝１８０°－７２°＝１０８°また、∠ＤＡ'Ｂ＝∠ＢＡ'Ａ＝３６°より、△ＤＡ'Ｂも頂角が１０８°の二等辺三角形。∴△ＢＡ'Ａ∽△ＤＡ'Ｂ
また、ＡＤ＝ＡＢ＝１ｃｍ，ＡＣ＝ＡＡ'＝ｘｃｍと置くと、ＤＡ'＝ｘ－１ｃｍ
∴１：ｘ＝ｘ－１：１　∴ｘ(ｘ－１)＝１
∴ｘ^2－ｘ－１＝０　∴ｘ＝(１±√５)/２
ｘ＞０より、ｘ＝(１＋√５)/２
∴ＡＣ＝(１＋√５)/２ｃｍ

おまけ：

問題１の数学の解法
半円ＡＢの中心をＯ，半円ＣＤの中心をＯ'とすると、半円ＣＤはＡＢと点Ｏで接し、Ｏ'Ｏ⊥ＡＢ，Ｏ'Ｏ⊥ＣＤ
また、半径よりＯ'Ｏ＝Ｏ'Ｄ　よって、△Ｏ'ＯＤは直角二等辺三角形。また、ＯＤ＝ＯＢ＝２ｃｍ（半径より）
∴Ｏ'Ｏ＝√２ｃｍ
また、∠ＤＯＢ＝９０°－４５°＝４５°
よって、色部分の面積＝２×２×π×(４５/３６０)＋√２×√２×(１/２)－√２×√２×π×(１/４)＝π/２＋１－π/２＝１ｃｍ^2
よって、答えは、１ｃｍ^2

問題１の算数の解法
半円ＡＢの中心をＯ，半円ＣＤの中心をＯ'とすると、半円ＣＤはＡＢと点Ｏで接し、Ｏ'Ｏ⊥ＡＢ，Ｏ'Ｏ⊥ＣＤ
また、半径よりＯ'Ｏ＝Ｏ'Ｄ　よって、△Ｏ'ＯＤは直角二等辺三角形。また、ＯＤ＝ＯＢ＝２ｃｍ（半径より）
ここで、ＤからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、△Ｏ'ＯＤが直角二等辺三角形より四角形Ｏ'ＯＨＤは正方形になる。よって、正方形Ｏ'ＯＨＤ＝Ｏ'Ｈ×ＯＤ÷２＝ＯＤ×ＯＤ÷２＝２×２÷２＝２ｃｍ^2———①
また、正方形Ｏ'ＯＨＤ＝Ｏ'Ｏ×Ｏ'Ｄ———②
①，②より、Ｏ'Ｏ×Ｏ'Ｄ＝２———③
ところで、色部分の面積＝△Ｏ'ＯＤ＋扇形ＯＤＢ－扇形Ｏ'ＯＤ＝Ｏ'Ｏ×Ｏ'Ｄ÷２＋２×２×３.１４×(４５/３６０)－Ｏ'Ｏ×Ｏ'Ｄ×３.１４×(１/４)———④
③を④に代入すると、
色部分の面積＝２÷２＋３.１４×(１/２)－３.１４×(１/２)＝１ｃｍ^2　よって、答えは、１ｃｍ^2

問題２の算数の解法
ＥからＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると、ＥＨ//ＡＢ　よって、等積変形より、△ＢＥＨ＝△ＡＥＨ
よって、色部分の三角形＝△ＢＥＨ＋△ＣＥＨ＝△ＡＥＨ＋△ＣＥＨ＝△ＡＨＣ＝ＨＣ×ＡＢ÷２＝２×６÷２＝６ｃｍ^2　よって、答えは、６ｃｍ^2

問題２の何でもありの解法
ＥからＢＣに下ろした垂線の足をＨとすると、ＥＨ//ＡＢ
∴△ＣＥＨ∽△ＣＡＢ
ここで、ＥＨ＝ｘｃｍ，ＢＨ＝ｙｃｍと置くと、ｘ：２＝６：ｙが成り立つ。∴ｘｙ＝１２
∴ｘｙ/２＝６———①
ところで、△ＥＢＣ＝ｘｙ/２———②
①，②より、△ＥＢＣ＝６ｃｍ^2
よって、色部分の面積は、６ｃｍ^2

おまけ：
https://www.afpbb.com/articles/-/2240366

https://jp.reuters.com/article/people-salman-rushdie-iran-idJPL6N2ZR068

解説
＞メビュースの反転公式を利用して∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎからφ(ｎ)を求めてみよう。

定理3.4
ｎを自然数とするとき、次の等式が成り立つ。
∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎ
ここで、和はｎのすべての約数についての和を意味するものとする。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

定理3.3
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐs^es（ｐiは互いに異なる素数，ｅi≧１）であれば、次の等式が成り立つ。
φ(ｎ)＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐs)
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

定理3.7を利用して、定理3.4から定理3.3を求めるという事である。

＞ｎの素因数分解を　
ｎ＝ｐ1^e1・ｐ2^e2・･･･・ｐr^er
とすると、
φ(ｎ)＝∑(d|n){(ｎ|ｄ)μ(ｄ)}

定理3.7（メビュースの反転公式）
Ｆ(ｎ)，ｆ(ｄ)を整数の集合ℤからℤへの関数とする。このとき、Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)が成り立てばｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}が成り立つ。ただし、和はｎのすべての約数ｄについての和を表すものとする。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎと定理3.7のＦ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)を比較して、Ｆ(ｎ)＝ｎ，ｆ(ｄ)＝φ(ｄ)とすると、ｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}より、
φ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｄ)(ｎ|ｄ)}となる。
∴φ(ｎ)＝∑(d|n){(ｎ|ｄ)μ(ｄ)}

＞φ(ｎ)＝∑(d|n){(ｎ|ｄ)μ(ｄ)}
＝ｎΣ(d|n){μ(ｄ)/ｄ}
＝ｎ(１－１/ｐ1－１/ｐ2－･･･－１/ｐr＋１/ｐ1ｐ2＋１/ｐ2ｐ3＋･･･＋(－１)^r・(１/ｐ1ｐ2･･･ｐr)
＝ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐr)

定義3.2
ｎ＝１であるとき　　　　μ(１)＝１
ｎが素数の２乗で割り切れるとき　μ(ｎ)＝０
ｎが相異なるｒ個の素数の積であるとき　μ(ｎ)＝(－１)^r
として定義される関数μ(ｎ)をメビュース関数という。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

上の「ｎΣ(d|n){μ(ｄ)/ｄ}」のｄはｎの約数で約数の指数が２乗以上の場合はμ(ｄ)は０となり、約数の指数が１乗の場合はμ(ｄ)＝(－１)^rとなるので、
ｎΣ(d|n){μ(ｄ)/ｄ}
＝ｎ(１－１/ｐ1－１/ｐ2－･･･－１/ｐr＋１/ｐ1ｐ2＋１/ｐ2ｐ3＋･･･＋(－１)^r・(１/ｐ1ｐ2･･･ｐr)となる。
あとは、ｎ(１－１/ｐ1)(１－１/ｐ2)･･･(１－１/ｐr)を展開して考えれば良い。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

定理3.7（メビュースの反転公式）
Ｆ(ｎ)，ｆ(ｄ)を整数の集合ℤからℤへの関数とする。このとき、Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)が成り立てばｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}が成り立つ。ただし、和はｎのすべての約数ｄについての和を表すものとする。

証明
ｄがｎのすべての正の約数を動けば、ｎ/ｄもｎのすべての約数を動くから
ｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}
を示せば十分である。
ｎ/ｄ＝ｄ'とおけば
Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)＝∑(n=dd')ｆ(ｄ)
と表される。ここで、∑(n=dd')はｎ＝ｄｄ'を満足するすべての正の整数ｄについて加えることを意味している。
∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}
＝∑(n=cd){μ(ｃ)Ｆ(ｄ)}
ここで、Ｆ(ｄ)＝∑(d=ab)ｆ(ａ)であるから
∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(n=cd)μ(ｃ)∑(d=ab)ｆ(ａ)
＝∑(n=cd)∑(d=ab)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(a|n)ｆ(ａ){∑(n/a=bc)μ(ｃ)}
＝ｆ(ｎ)
上の式の最後のところは、ｎ/ａ＞１のとき∑(n/a=bc)μ(ｃ)＝０，ｎ/ａ＝１のとき∑(bc=1)μ(ｃ)＝μ(１)＝１（定理3.6）より得られる。

解説
＞ｄがｎのすべての正の約数を動けば、ｎ/ｄもｎのすべての約数を動く

例えば、ｎ＝８とすると、ｎの約数ｄはｄ＝{１,２,４,８}でｎ/ｄ＝{８,４,２,１}で一致するので、分かるだろう。

＞ｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}
を示せば十分である。

メビュースの反転公式の「ｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}が成り立つ」事を示すのに、ｄとｎ/ｄを入れ換えた「ｆ(ｎ)＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}を示せば十分である」という事である。

＞ｎ/ｄ＝ｄ'とおけば
Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)＝∑(n=dd')ｆ(ｄ)
と表される。

∑(d|n)ｆ(ｄ)ではｎの約数全てのｄにおいて総和を取るという事を、∑(n=dd')ｆ(ｄ)と表し方を変えるという事を予告しただけである。念のため、∑(n=dd')もｎの約数全てのｄについて総和を取るという事である。

＞∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}
＝∑(n=cd){μ(ｃ)Ｆ(ｄ)}

この初めの式は、メビュースの反転公式の「∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}が成り立つ」という結果の式である。そして、次の式で先ほどのｄとｎ/ｄが同じ集合なので入れ換えるという事である。
最後は、上の「ｎ/ｄ＝ｄ'とおけばＦ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)＝∑(n=dd')ｆ(ｄ)と表される」のｄ'を実戦的にｃにしたという事である。つまり、ｎ/ｄ＝ｃと置く。そして、代入しただけである。

＞ここで、Ｆ(ｄ)＝∑(d=ab)ｆ(ａ)であるから

ここで、メビュースの反転公式の条件の「Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)が成り立てば」のｎをｄとして（元の）ｄをａとすると、この式が出来上がる。また、ｄ/ａ＝ｂである。
因みに、∑(d=ab)ｆ(ａ)は∑(a|d)ｆ(ａ)と同じ事である。

＞∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(n=cd)μ(ｃ)∑(d=ab)ｆ(ａ)
＝∑(n=cd)∑(d=ab)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(a|n)ｆ(ａ){∑(n/a=bc)μ(ｃ)}
＝ｆ(ｎ)

その上の式の両端から、
∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(n=cd){μ(ｃ)Ｆ(ｄ)}
このＦ(ｄ)にすぐ上にＦ(ｄ)＝∑(d=ab)ｆ(ａ)を代入すると、１行目が成り立つ。次の
＝∑(n=cd)∑(d=ab)ｆ(ａ)μ(ｃ)は自明だろう。次の
＝∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)も同様。さらに次の
＝∑(a|n)ｆ(ａ){∑(n/a=bc)μ(ｃ)}もこう出来ると信じると、
＝ｆ(ｎ)（下に解説が続く。）

＞上の式の最後のところは、ｎ/ａ＞１のとき∑(n/a=bc)μ(ｃ)＝０，ｎ/ａ＝１のとき∑(bc=1)μ(ｃ)＝μ(１)＝１（定理3.6）より得られる。

定理3.6
ｎを自然数とするとき、つぎの式が成り立つ。
∑(d|n)μ(ｄ)＝１（ｎ＝１）
　　　　　　＝０（ｎ＞１）

最後の式の後半∑(n/a=bc)μ(ｃ)でｎ/ａ＞１の場合は定理3.6より＝０で、ｎ/ａ＝１の時＝１である。つまり、
∑(n/a=bc)μ(ｃ)＝０＋０＋･･･＋１
また、前半の∑(a|n)ｆ(ａ)＝ｆ(ａ1)＋ｆ(ａ2)＋･･･＋ｆ(ｎ)である。（ａはｎの約数という扱いとなるから。）
よって、∑(a|n)ｆ(ａ){∑(n/a=bc)μ(ｃ)}＝{ｆ(ａ1)＋ｆ(ａ2)＋･･･＋ｆ(ｎ)}(０＋０＋･･･＋１)＝ｆ(ａ1)＋ｆ(ａ2)＋･･･＋ｆ(ｎ)となって、＝ｆ(ｎ)とならないというのが私の主張である。
まず、上から「因みに、∑(d=ab)ｆ(ａ)は∑(a|d)ｆ(ａ)と同じ事である」とあり、ａはｄの約数扱いではないのだろうか。
ただし、
＞∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(n=cd)μ(ｃ)∑(d=ab)ｆ(ａ)
＝∑(n=cd)∑(d=ab)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(a|n)ｆ(ａ){∑(n/a=bc)μ(ｃ)}
＝ｆ(ｎ)

この２行目の段階で、∑(d=ab)∑(n=cd)ｆ(ａ)μ(ｃ)
＝∑(a|d)∑(c|n)ｆ(ａ)μ(ｃ)だが、３行目の段階から、
∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)＝∑(a|n)∑(c|n)ｆ(ａ)μ(ｃ)と出来れば、
＝ｆ(ａ1)・０＋ｆ(ａ2)・０＋･･･＋ｆ(ｎ)・１
＝ｆ(ｎ)
と出来ると思うのだが、これはこじつけだと思う。
そもそも、初めの、
「∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(d|n){μ(ｎ/ｄ)Ｆ(ｄ)}
＝∑(n=cd){μ(ｃ)Ｆ(ｄ)}」
この段階ではｄが前半と後半に連動しているのに、次の
「ここで、Ｆ(ｄ)＝∑(d=ab)ｆ(ａ)であるから
∑(d|n){μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)}＝∑(n=cd)μ(ｃ)∑(d=ab)ｆ(ａ)」
この∑(n=cd)μ(ｃ)∑(d=ab)ｆ(ａ)の式では前半と後半は連動させているのだろうか。（前半はｄ（ｃ）で後半はａ）
もっとも次の次の式では＝∑(n=abc)ｆ(ａ)μ(ｃ)となっていて問題なさそうにはなっているのだが。
とにかく、他に分かり易い証明があるので、この証明は避けた方が良いのではないでしょうか。私の勘違いだったらすみません。

おまけ：

問題１
次の□に入る数字は何でしょう。
(１７－□×７７)×(２０１９/５)＝３１＋３/５－７/１３

解答
from sympy import Symbol,solve
from fractions import Fraction

x = Symbol('x')
expr = (17 - x*77)*Fraction(2019,5) - 31 - Fraction(3,5) + Fraction(7,13)
sol = solve(expr)
print(sol)

結果：[20/91]

よって、答えは、２０/９１

＞「出題者の気遣いが感じられる良問！」という理由を述べて下さい。

問題文に２０１９が入っているので、２０１９年度の入試問題なのだろう。そこで、解答が２０/９１で２０１９という事である。念のため、コ型に読む。


問題２の算数の解法
左右の正方形の底辺をそれぞれ内側に９０°折り返すと、真ん中の正方形の２本の縦の長さに組み込まれる。
つまり、２５ｃｍ＋８ｃｍ＋３ｃｍは真ん中の正方形の３つの辺の長さの和と等しい。
よって、真ん中の正方形の１辺の長さは、３６÷３＝１２ｃｍ　よって、左の正方形の１辺の長さは、１２－８＝４ｃｍ　また、右の正方形の１辺の長さは、１２－３＝９ｃｍ
よって、３つの正方形の面積の和は、４×４＋１２×１２＋９×９＝１６＋１４４＋８１＝１６０＋８１＝２４１ｃｍ^2
よって、答えは、２４１ｃｍ^2

問題２の何でもありの解法
左の正方形の１辺の長さをｘ，真ん中の正方形の１辺の長さをｙ，右の正方形の１辺の長さをｚと置くと、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５———①
ｘ＋８＝ｙ———②
ｚ＋３＝ｙ———③
が成り立つ。
②＋③より、ｘ＋ｚ＋１１＝２ｙ———④
①－④より、ｙ－１１＝２５－２ｙ
∴３ｙ＝３６　∴ｙ＝１２
これを②に代入すると、ｘ＝４
③に代入すると、ｚ＝９
よって、求める面積をＳとすると、
Ｓ＝４^2＋１２^2＋９^2＝１６＋１４４＋８１＝２４１
よって、答えは、２４１ｃｍ^2

問題３の解答
∠ＦＡＣ＝６０°，∠ＤＡＣ＝４５°より、∠ＧＡＤ＝６０°－４５°＝１５°
また、∠ＧＤＡ＝６０°より、△ＧＡＤの内対角の和より、∠ｘ＝１５°＋６０°＝７５°
また、ＥＣを結ぶと、ＤＥ＝ＤＡ＝ＤＣより△ＤＥＣはの等辺三角形で、∠ＥＤＣ＝６０°＋９０°＝１５０°
よって、∠ＤＥＣ＝(１８０°－１５０°)÷２＝１５°
ここで、ＥＣとＡＦの交点をＨとすると、△ＥＧＨの内角の和より、∠ＥＨＧ＝１８０°－１５°－７５°＝９０°
よって、ＥＣ⊥ＡＦよりＣＨ⊥ＡＦで、△ＣＡＦは正三角形より点ＨはＡＦの真ん中の点である。
よって、△ＥＡＦも二等辺三角形。（二等辺三角形の性質だが、凧型ＥＡＣＦを考えても良い。）
ところで、∠ＥＡＦ＝∠ＥＡＣ－∠ＣＡＦ＝６０°＋４５°－６０°＝４５°より、△ＥＡＦは直角二等辺三角形。
よって、∠ｙ＝４５°
よって、答えは、∠ｘ＝７５°，∠ｙ＝４５°

結構、難しい問題だったのではないでしょうか。というより、数学だけ出来る人は解ける人も少ないでしょう。
「教科書発展レベルのありがちな問題！」は大いに疑問ですね。（昔はやらなかった。）

おまけ：