数学

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910020000/

暗算で２通りで解いてみました。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910010000/

簡単ですね。

問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201909300001/

これも簡単ですね。一応、２通りぐらい作って下さい。ほとんど同じですが。

問題４
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201909280000/

一応、別解を作ってみて下さい。別解の方が簡単かもしれません。

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910080000/

暗算で解いてみました。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910070000/

別解作ってみました。別解も暗算で解けます。

問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910040000/

電卓ありで解いてみて下さい。念のため、私は何も見ないで３通りで解けますが、これはこれで面白いと思います。何通りもあると思いますが、縁があった解法１つで良いです。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

定理1.5
Ｇを空でない有限集合とする。Ｇが群であるためには、次の３条件の成り立つことが必要十分である。
（１）演算が定義されている。
（２）この演算に関して結合律（Ｇ１）が成り立つ。
（３）この演算に関して消去律が成り立つ。

証明
（１）,（２）,（３）が必要条件であること：
（１）,（２）は定義からただちに得られる。（３）は定理1.4により正しい。
（１）,（２）,（３）が十分条件であること：
結合律（Ｇ１）は仮定により満たされているから、定理1.3より逆演算可能性の条件が成り立てばよい。すなわち
∀ａ,ｂ∈Ｇ，∃ｘ,ｙ∈Ｇ，ａ◦ｘ＝ｂ
　　　　　　　　　　　　 ｙ◦ａ＝ｂ
を示せばよい。Ｇは有限集合であるから、Ｇの各元に番号をつけて
Ｇ＝{ａ1,･･･,ａn}（ａ1,･･･,ａnは相異なるｎ個の元）
と表すことができる。Ｇの各要素にａを左からかけた元の集合
ａ◦Ｇ＝{ａ◦ａ1,ａ◦ａ2,･･･,ａ◦ａn}⊂Ｇ
を考える。ここで、仮定（３）の消去律によって
ｉ≠ｊ⇒ａ◦ａi≠ａ◦ａj
したがって、集合ａ◦Ｇを構成している元の個数はｎ個である。すると、ａ◦ＧはＧの部分集合で、ａ◦Ｇの個数とＧの個数は一致するからａ◦Ｇ＝Ｇでなければならない。
今ｂ∈Ｇであるから、あるｉがあってｂ＝ａ◦ａiとなっている。ここでａi＝ｘとすれば、ｂ＝a ◦ｘとなる。
ｙ◦ａ＝ｂなる元ｙの存在についても同様である。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

定理1.2（逆演算可能性）
Ｇが群であるとする。このとき、Ｇに属する任意の２つの元ａ,ｂに対して、
ａ◦ｘ＝ｂ
ｙ◦ａ＝ｂ
を満足するＧの元ｘおよびｙが存在し、しかも、唯一通りに定まる。

定理1.3
演算の与えられた空でない集合Ｇが、結合律（Ｇ１）を満足し、またＧにおいて逆演算可能であれば、Ｇはその演算に関して群である。

定理1.4（消去律）
群Ｇにおいては、消去律が成り立つ。
すなわち、群Ｇに属する任意の元ａ,ｂ,ｃについて
ａ◦ｃ＝ｂ◦ｃ ならば ａ＝ｂ
ｃ◦ａ＝ｃ◦ｂ ならば ａ＝ｂ
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

具体的には、

＞（１）,（２）,（３）が必要条件であること：
（１）,（２）は定義からただちに得られる。（３）は定理1.4により正しい。
（１）,（２）,（３）が十分条件であること：
結合律（Ｇ１）は仮定により満たされているから、定理1.3より逆演算可能性の条件が成り立てばよい。

＞ａ◦Ｇ＝{ａ◦ａ1,ａ◦ａ2,･･･,ａ◦ａn}⊂Ｇ

＞ここで、仮定（３）の消去律によって
ｉ≠ｊ⇒ａ◦ａi≠ａ◦ａj

あとは、最も大事な事だが、この定理によって具体的にどういう事が言えるかを述べて下さい。

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910110000/

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910100000/

問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910090000/

３題とも暗算で解いてみました。問題１は何でもありで暗算の別解も作ってみましたが、マニアしか解けないでしょう。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問1.5
ℚ[√２]から０を除いた集合ℚ[√２]^*は乗法に関して群になることを確かめよ。

証明
演算が定義されること：ｘ,ｙ∈ℚ[√２]^*とすると、ｘ≠０,ｙ≠０である。
ｘとｙはｘ＝ａ＋ｂ√２，ｙ＝ｄ√２（ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈ℚ）と表される。このとき、
ｘｙ＝(ａｃ＋２ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ)√２
この式で、ａｃ＋２ｂｄ∈ℚ，ａｄ＋ｂｃ∈ℚであるから、ｘｙ∈ℚ[√２]である。
ｘｙ＝０と仮定すると、ａｃ＋２ｂｄ＝０,ａｄ＋ｂｃ＝０　これより、ａ＝ｂ＝０またはｃ＝ｄ＝０　これは矛盾である。よって、ｘｙ≠０である。すなわち、ｘｙ∈ℚ[√２]^*　以上より、ℚ[√２]^*は乗法に関して閉じている。
（Ｇ１）結合律を満足すること：ｘ,ｙ∈ℚ[√２]^*に対して、簡単な計算によってｘ(ｙｚ)＝(ｘｙ)ｚであることが確かめられる。
（Ｇ２）単位元の存在：１＝１＋０・√２∈ℚ[√２]^*であって、ｘ∈ℚ[√２]^*に対して、ｘ・１＝１・ｘを満たすので、１が単位元である。
（Ｇ３）逆元の存在：ｘ∈ℚ[√２]^*とする。このとき、ｘ＝ａ＋ｂ√２（ａ,ｂ∈ℚ）と表される。ｘ≠０なのでａ≠０，またはｂ≠０である。√２は有理数でないので、ａ^2－２ｂ^2≠０　ゆえに、
ｙ＝１/(ａ＋ｂ√２)＝(ａ－ｂ√２)/(ａ^2－２ｂ^2)＝ａ/(ａ^2－２ｂ^2)＋{－ｂ/(ａ^2－２ｂ^2)}√２
という数を考えることができる。ここで、ａ/(ａ^2－２ｂ^2)∈ℚ，－ｂ/(ａ^2－２ｂ^2)∈ℚであるから、ｙ＝１/(ａ＋ｂ√２)∈ℚ[√２]^*で、ｘｙ＝ｙｘ＝１が成り立つ。よって、ｘの逆元ｙがℚ[√２]^*に存在する。
以上により、ℚ[√２]^*は乗法に関して群になる。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、

＞ａｃ＋２ｂｄ＝０,ａｄ＋ｂｃ＝０　これより、ａ＝ｂ＝０またはｃ＝ｄ＝０

＞結合律を満足すること：ｘ,ｙ∈ℚ[√２]^*に対して、簡単な計算によってｘ(ｙｚ)＝(ｘｙ)ｚであることが確かめられる。

一応、具体的に示して下さい。

＞ｘ≠０なのでａ≠０，またはｂ≠０である。

＞√２は有理数でないので、ａ^2－２ｂ^2≠０

この４ヶ所ぐらいですね。また、一応、ℚ[√２]^*を集合で表して下さい。

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910140000/

試行錯誤より数学的に考えた方がいいかもしれません。数学的と言っても数式という意味ではありません。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910120000/

算数と何でもありでも解いて下さい。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問1.4
絶対値１の複素数の全体は乗法に関して群になることを確かめよ。

証明
Ｇ＝{ｚ∈ℂ｜|Ｚ|＝１}とおく。ｚ1,ｚ2∈Ｇのとき、|ｚ1ｚ2|＝|ｚ1||ｚ2|＝１・１＝１であるから、ｚ1ｚ2∈Ｇ　よって、Ｇは乗法に関して閉じている。
（Ｇ１）普通の数の乗法であるから、Ｇにおいて結合律は成り立っている。
（Ｇ２）|１|＝１であるから、１はＧに属しており、１がＧの単位元であることは容易に確かめられる。
（Ｇ３）ｚ∈Ｇのとき、|ｚ^-1|＝１/|ｚ|＝１であるから、ｚ^-1∈Ｇ　よって、逆元も存在するからＧは群である。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

読めば分かるので、別解を作って下さい。念のため、私のオリジナルのベタな方法です。

今日は友達の命日だから、これをお供えしよう。https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1708693540736516204（生前にコンパスを使わないで、与えられた線分を二等分する方法をプレゼントした事がある。）

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題７
λ(１)＝１とし、ｎ＞１のとき、ｎを素因数分解して偶数個または奇数個の素数の積になるとき、それぞれλ(ｎ)＝１またはλ(ｎ)＝－１と定める。次にｎが平方数のとき１，そうでないとき０と定めて、これをｆ(ｎ)で表す。このとき、次を示せ。
（１）ｆ(ｎ)＝∑(d|n)λ(ｄ)
（２）λ(ｎ)＝∑(d|n)μ(ｄ)ｆ(ｎ/ｄ)
λ(ｎ)をリウヴィルの関数という。

証明
はじめにλ(ａｂ)＝λ(ａ)λ(ｂ)が成り立つことを場合に分けて示す。
① ａが偶数個の素数の積で、ｂが偶数個の素数の積のとき、ａｂは偶数個の素数の積であるから、
λ(ａｂ)＝１＝１・１＝λ(ａ)λ(ｂ)
② ａが偶数個の素数の積で、ｂが奇数個の素数の積のとき、ａｂは奇数個の素数の積であるから、
λ(ａｂ)＝－１＝１・(－１)＝λ(ａ)λ(ｂ)
(ａ,ｂ)＝(奇,偶)，(ａ,ｂ)＝(奇,奇)のときも同様に確かめられる。
同様にして、ａ,ｂが平方数であるかないかということで場合分けをすれば、ｆ(ａｂ)＝ｆ(ａ)ｆ(ｂ)が示される。
ｎの素因数分解をｎ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2･･･ｐr^αr（ｐiは素数）とする。
（１）ｒについての帰納法によって、ｆ(ｎ)＝∑(d|n)λ(ｄ)を示す。
（ⅰ）ｒ＝１，すなわち、ｎ＝ｐ1^α1のとき：
∑(d|n)λ(ｄ)＝∑(0≦β1≦α1)λ(ｐ1^β1)
＝∑(0≦β1≦α1)(－１)^β1
ここで、∑(0≦k≦2n)(－１)^k＝１，
∑(0≦k≦2n+1)(－１)^k＝０が成り立つことに注意する。
ｎが平方数のとき、α1は偶数である。このとき、上で調べたことを使うと、
∑(d|n)λ(ｄ)＝１＝ｆ(ｎ)
ｎが平方数でないとき、α1は奇数である。ゆえに、
∑(d|n)λ(ｄ)＝０＝ｆ(ｎ)
（ⅱ）ｒ＞１として、ｒ－１まで正しいと仮定する。
ｆ(ｎ)＝ｆ(ｐ1^e1･･･ｐr^er)
＝ｆ((ｐ1^e1･･･ｐr-1^er-1)ｆ(ｐr^er)
＝∑(d1|p1^e1･･･pr-1^er-1)λ(ｄ1)・∑(d2|pr^er)λ(ｄ2)
＝∑(d1d2|p1^e1･･･pr^er)λ(ｄ1ｄ2)
＝∑(d|n)λ(ｄ)
（２）（１）において、反転公式（定理3.7）を使えば良い。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、間違い探しと補足解説ですね。また、私のオリジナルではない別解をやりますね。（次の次の回かもしれない。）

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題６
ｎを１より大きい正の整数とする。ｎより小さく、ｎと互いに素な正の整数をａ1,ａ2,･･･,ａφ(n)とするとき、次を求めよ。
ａ1＋ａ2＋･･･＋ａφ(n)＝∑((x,n)=1,0≦x＜n)ｘ

証明
ｆ(ｎ)＝ａ1＋ａ2＋･･･＋ａφ(n)＝∑((x,n)=1)ｘとおく。
１≦ｘ＜ｎで(ｘ,ｎ)＝ｄなるｘの和はｄｆ(ｎ/ｄ)に等しい（定理3.4の証明参照）。ｄをｎの約数全部動かして足せば、０からｎ－１までの数全部が現れるから、
∑(d|n)ｄｆ(ｎ/ｄ)＝０＋１＋･･･＋(ｎ－１)＝ｎ(ｎ－１)/２
ここで、∑(d|n)ｄｆ(ｎ/ｄ)＝∑(d|n)(ｎ/ｄ)ｆ(ｄ)であるから、
∑(d|n)(ｎ/ｄ)ｆ(ｄ)＝ｎ(ｎ－１)/２　すなわち、
∑(d|n)ｆ(ｄ)/ｄ＝(ｎ－１)/２を得る。反転公式（定理3.7）と定理3.6より、
ｆ(ｎ)/ｎ＝∑(d|n){(ｄ－１)/２}μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)(ｄ－１)μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)ｄμ(ｎ/ｄ)－(１/２)∑(d|n)μ(ｄ)
＝(１/２)φ(ｎ)－(１/２)・０＝φ(ｎ)/２
∴ｆ(ｎ)＝ｎφ(ｎ)/２

定理3.6
ｎを自然数とするとき、つぎの式が成り立つ。
∑(d|n)μ(ｄ)＝１（ｎ＝１）
　　　　　　 ＝０（ｎ＞１）
ただし、和はｎのすべての正の約数ｄについての和を表すものとする。

定理3.7（メビュースの反転公式）
Ｆ(ｎ)，ｆ(ｄ)を整数の集合ℤからℤへの関数とする。このとき、Ｆ(ｎ)＝∑(d|n)ｆ(ｄ)が成り立てば、
ｆ(ｎ)＝∑(d|n)μ(ｄ)Ｆ(ｎ/ｄ)が成り立つ。ただし、和はｎのすべての正の約数ｄについての和を表すものとする。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

定理3.4
ｎを自然数とするとき、次の等式が成り立つ。
∑(d|n)φ(ｄ)＝ｎ
ここで、和はｎのすべての約数についての和を意味するものとする。

証明
Ｓ＝{１,２,･･･,ｎ}とおく。
（１）ｄ1,ｄ2,･･･,ｄkをｎのすべての相異なる約数として
Ａi＝{ａ∈Ｓ｜(ａ,ｎ)＝ｄi}（ｉ＝１,２,･･･,ｋ）
とおく。ａをＳの任意の元とする。(ａ,ｎ)＝ｄとするとｄはｎの約数であるから、あるｄi（１≦ｉ≦ｋ）があってｄ＝ｄi　このとき、ａ∈Ａi　したがって、
Ｓ⊂Ａ1∪･･･∪Ａk
各ＡiはＳの部分集合であるから、
Ｓ⊃Ａ1∪･･･∪Ａk
よって、Ｓ＝Ａ1∪･･･∪Ａk
またＡi∩Ａj＝φとすると、あるａがＡi∩Ａjに存在する。このとき、ａ∈Ａiより(ａ,ｎ)＝ｄi，ａ∈Ａjより(ａ,ｎ)＝ｄj　ゆえに、ｄi＝ｄj　すなわち、ｉ＝ｊ　したがって、
ｉ≠ｊ⇒Ａi∩Ａj＝φ
以上より、Ｓ＝Ａ1∪･･･∪Ａk，Ａi∩Ａj＝φ（ｉ≠ｊ）
であることがわかった。このことより、
ｎ＝|Ｓ|＝|Ａ1|＋･･･＋|Ａk|を得る。
（２）ｎi＝ｎ/ｄiとすると集合Ａiの元の個数はφ(ｎi)であることを示す。
集合Ａiの任意の元をａとすると、(ａ,ｎ)＝ｄiであるから
ａ＝ａ'iｄi（ａ'i,ｎi∈Ｓ）
ｎ＝ｎiｄi（ａ'i,ｎi)＝１
と表現される。ここで、ｄi≦ａ≦ｎより１≦ａ'i≦ｎi　よって、
∀ａ∈Ａi，∃ａ'i∈Ｓ，ａ＝ａ'iｄi，(ａ'i,ｎi)＝１，１≦ａ'i≦ｎi
と表現される。
逆に、ａ'iを１≦ａ'i≦ｎiなる数でｎiと互いに素であるとすると、このようなａ'iによって定まる数ａ＝ａ'iｄiはｎとの最大公約数がｄiとなる。したがって、集合Ａiは、
Ａi＝{ａ'iｄi｜１≦ａ'i≦ｎi，(ａ'i,ｎi)＝１}
と表される。また、
Ａ'i＝{ａ'i｜１≦ａ'i≦ｎi，(ａ'i,ｎi)＝１}
なる集合を考えると、Ａiの元の個数とＡ'iの元の個数は等しい。ところが、集合Ａ'iの元の個数は１,２,･･･,ｎiのなかでｎiと互いに素であるものの個数であるから、定義によってオイラーの関数の値φ(ｎi)に等しい。ゆえに、
|Ａi|＝|Ａ'i|＝φ(ｎi)
（３）ｎiはｎ＝ｎiｄiによって定まる数であるから、{ｎ1,･･･,ｎk}は{ｄ1,･･･,ｄk}なる集合と一致する。
以上（１）,（２）,（３）により、
ｎ＝|Ａ1|＋･･･＋|Ａk|＝φ(ｎ1)＋･･･＋φ(ｎk)＝φ(ｄ1)＋･･･＋φ(ｄk)
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

具体的には、

＞１≦ｘ＜ｎで(ｘ,ｎ)＝ｄなるｘの和はｄｆ(ｎ/ｄ)に等しい（定理3.4の証明参照）。ｄをｎの約数全部動かして足せば、０からｎ－１までの数全部が現れる

ここは本当に難しいと思います。具体例だけ挙げて確認してスルーしても良いです。（私は今回何とか解読出来たと思います。）

＞すなわち、
∑(d|n)ｆ(ｄ)/ｄ＝(ｎ－１)/２を得る。反転公式（定理3.7）と定理3.6より、
ｆ(ｎ)/ｎ＝∑(d|n){(ｄ－１)/２}μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)(ｄ－１)μ(ｎ/ｄ)
＝(１/２)∑(d|n)ｄμ(ｎ/ｄ)－(１/２)∑(d|n)μ(ｄ)
＝(１/２)φ(ｎ)－(１/２)・０＝φ(ｎ)/２
∴ｆ(ｎ)＝ｎφ(ｎ)/２

あとはここぐらいですね。

おまけ：

問題
https://www.msn.com/ja-jp/news/opinion/%E6%96%87%E7%B3%BB%E5%AD%A6%E9%83%A8%E3%81%AA%E3%81%AE%E3%81%AB%E5%8F%97%E9%A8%93%E3%81%A7-%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%81%A3%E3%81%A6-%E6%B1%82%E3%82%81%E3%82%89%E3%82%8C%E3%82%8B-%E6%96%87%E7%90%86%E8%9E%8D%E5%90%88/ar-AA1hnlbV?ocid=msedgntp&cvid=8f105c442f5e4e159486a48b4fd7ee4c&ei=17#image=1

何も見ないで、図と数式の意味を解説して下さい。

おまけ：
「16 主なる神は、こう言われる、君たる者が、もしその嗣業から、その子のひとりに財産を与える時は、それはその子らの嗣業の所有となる。
17 しかし彼がその奴隷のひとりに、嗣業の一部分を与える時は、それは彼の解放の年まで、その人に属していて、その後は君たる人に帰る。彼の嗣業は、ただその子らにだけ伝わるべきである。
18 君たる者はその民の嗣業を取って、その財産を継がせないようにしてはならない。彼はただ、自分の財産のうちから、その子らにその嗣業を、与えなければならない。これはわが民のひとりでも、その財産を失わないためである」。」
「エゼキエル書」第４６章１６節～１８節（口語訳）

「46:16主なる神はこう言われる。「君主が、その子のだれかに嗣業を贈与するならば、それはその子の所有地となり、それは嗣業に含まれる。 46:17君主が家臣のだれかに嗣業の一部を贈与すれば、それは解放の年まで彼のものとなる。しかしその後、君主に返さねばならない。君主の嗣業を所有できるのは、その子らだけである。 46:18君主は民の嗣業を取り上げてはならない。彼らの所有地を奪ってはならない。自分の所有地は自分の子らに相続させねばならない。それは、わが民の一人でも、その所有地から追い立てられることがないためである。」」
「エゼキエル書」第４６章１６節～１８節（新共同訳）

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910190000/

暗算で２通りで解いてみました。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910170000/

これも暗算で２通りで解いてみました。

問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201910150000/

これも暗算で２通りで解けました。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

演習問題５
∑(d|n)|μ(ｄ)|＝２^k（＊）を証明せよ。ただし、ｋはｎの相異なる素因数の個数である。

証明
ｎ＝１のとき、定義よりμ(１)＝１であり、ｎの素因数の個数は０であるから式（＊）は成り立つ。
ｎ＞１として、ｎの素因数分解をｎ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2･･･ｐk^αk（ｐiは素数）とする。
このとき、ｎの約数はｐ1^β1･･･ｐk^βk（０≦βi≦αi）という形をしている。
∑(d|n)|μ(ｄ)|＝∑(d|n)|μ(ｐ1^β1･･･ｐk^βk)|（βi＝０または１）
＝|μ(１)|＋|μ(ｐ1)|＋･･･＋|μ(ｐk)|＋|μ(ｐ1ｐ2)|＋･･･＋|μ(ｐk-1ｐk)|＋･･･＋|μ(ｐ1ｐ2･･･ｐk)|
＝１＋kＣ1＋kＣ2＋･･･＋kＣk＝２^k
最後のところの等式は、ｎ個の集合のべき集合の個数であることに注意しよう。
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

具体的には、

＞∑(d|n)|μ(ｄ)|＝∑(d|n)|μ(ｐ1^β1･･･ｐk^βk)|（βi＝０または１）

＞|μ(１)|＋|μ(ｐ1)|＋･･･＋|μ(ｐk)|＋|μ(ｐ1ｐ2)|＋･･･＋|μ(ｐk-1ｐk)|＋･･･＋|μ(ｐ1ｐ2･･･ｐk)|
＝１＋kＣ1＋kＣ2＋･･･＋kＣk＝２^k

＞最後のところの等式は、ｎ個の集合のべき集合の個数であることに注意しよう。

この３ヶ所ぐらいですね。

おまけ：