数学

別解
三角形をＡＢＣ（∠Ｂ＝６０°）とし、三角形の内部の点をＤとする。
今、ＡＣに関して点Ｄと対称な点をＤ'とすると、
∠ＡＣＤ'＝∠ＡＣＤ＝２４°よって、∠Ｄ'ＣＢ＝２４°＋２４°＋１２°＝６０°
よって、∠ＡＢＣ＝∠Ｄ'ＣＢ
また、ＣＤ'＝ＣＤ，また、条件よりＣＤ＝ＢＡ
よって、ＢＡ＝ＣＤ'　よって、四角形ＡＢＣＤ'は等脚台形である。よって、ＡＤ'//ＢＣ　
よって、∠ＢＡＤ'＝１８０°－６０°＝１２０°
また、錯角より∠Ｄ'ＡＣ＝∠ＡＣＢ＝３６°
よって、∠Ｄ'ＡＤ＝３６°×２＝７２°
よって、∠ｘ＝１２０°－７２°＝４８°
よって、答えは、４８°

おまけ：
https://www.glorychrist.com/2021/10/%E5%B0%BE%E5%B4%8E%E8%B1%8A%E3%81%8B%E3%82%89%E3%82%AD%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%81%B8/

http://christianpress.jp/y211014/

解説
演習問題６
次の合同式を証明せよ。
１^30＋２^30＋…＋１０^30≡－１（mod１１）

別解
１１は素数より、フェルマーの小定理により、
ａ^(11-1)≡１（mod１１）が成り立つ。
∴ａ^10≡１（mod１１）
この両辺を３乗すると、ａ^30≡１（mod１１）
このａに１～１０まで代入して総和を取ると、
１^30＋２^30＋…＋１０^30≡１０≡－１（mod１１）
よって、示された。

おまけ：

何でもありの解法
ＡＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置くと、三角関数の面積の公式より、(１/２)ｘｙsin45°＝９が成り立つ。
∴ｘｙ＝１８√２———①
また、△ＣＡＢで余弦定理を使うと、
６^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２ｘｙcos45°が成り立つ。
∴ｘ^2＋ｙ^2－√２ｘｙ＝３６———②
①を②に代入すると、
ｘ^2＋ｙ^2＝７２———③
①より、ｙ＝１８√２/ｘ　これを③に代入すると、
ｘ^2＋６４８/ｘ^2＝７２　
∴ｘ^4－７２ｘ^2＋６４８＝０
∴ｘ^2＝３６±√(３６^2－６４８)＝３６±１８√２
ところで、①，③共に対称式より、
ｙ^2＝３６∓１８√２である。ここで、図より、
ｘ＝ＡＣ＝√(３６－１８√２)———④
ｙ＝ＢＣ＝√(３６＋１８√２)———⑤
また、△ＢＡＣで余弦定理を使うと、
cos∠Ｂ＝(６^2＋ｙ^2－ｘ^2)/２・６・ｙ———⑥
④，⑤を⑥に代入すると、
cos∠Ｂ＝{３６＋３６＋１８√２－(３６－１８√２)}/１２√(３６＋１８√２)
＝(３６＋３６√２)/１２√(３６＋１８√２)
＝(３＋３√２)/√(３６＋１８√２)
＝(１＋√２)/√(４＋２√２)
∴cos∠Ｂ＝(１＋√２)/√(４＋２√２)
これを電卓で計算すると、
cos∠Ｂ＝2.4142136/2.6131259＝0.9238795
これを逆三角関数機能付き電卓で求めると、
∠Ｂ＝22.499998°＝２２.５°
よって、答えは、２２.５°

次回は中学数学の別解。

因みに、ｘｙ＝１８√２———①　
ｘ^2＋ｙ^2＝７２———③
③より、(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ＝７２
これに①を代入すると、(ｘ＋ｙ)^2＝７２＋３６√２
ｘ＋ｙ＞０より、ｘ＋ｙ＝６√(２＋√２)———③'
①，③'より、解と係数の関係により、ｘ，ｙは、
ｔ^2－６√(２＋√２)ｔ＋１８√２＝０の２つの解である。∴ｔ＝３√(２＋√２)±√{９(２＋√２)－１８√２}
＝３√(２＋√２)±３√(２－√２)
ここで、ｘ＜ｙより、
ｘ＝３√(２＋√２)－３√(２－√２)＝3.2471766
ｙ＝３√(２＋√２)＋３√(２－√２)＝7.8393778
また、上に④，⑤より、
ｘ＝３√(４－２√２)＝3.2471766
ｙ＝３√(４＋２√２)＝7.8393778
である。

おまけ：

中学数学の別解
ＡＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置いて、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＡＨ＝ＣＨ＝ｘ/√２
∴ＢＨ＝ｙ－ｘ/√２　よって、△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、(ｙ－ｘ/√２)^2＋(ｘ/√２)^2＝６^2が成り立つ。∴ｙ^2＋ｘ^2－√２ｘ＝３６
∴ｘ^2＋ｙ^2－√２ｘ＝３６———①
また、面積より、ｙ・(ｘ/√２)・(１/２)＝９が成り立つ。∴ｘｙ＝１８√２———②
②を①に代入すると、
ｘ^2＋ｙ^2＝７２———③
②より、ｙ＝１８√２/ｘ　これを③に代入すると、
ｘ^2＋６４８/ｘ^2＝７２　
∴ｘ^4－７２ｘ^2＋６４８＝０
∴ｘ^2＝３６±√(３６^2－６４８)＝３６±１８√２
ところで、②，③共に対称式より、
ｙ^2＝３６∓１８√２である。ここで、図より、
ｘ＝ＡＣ＝√(３６－１８√２)———④
ｙ＝ＢＣ＝√(３６＋１８√２)———⑤
∴ＡＨ＝ｘ/√２＝√(１８－９√２)＝３√(２－√２)
ＡＢ：ＡＨ＝６：３√(２－√２)＝２：√(２－√２)
∴ＡＢ：ＡＨ＝２：√(２－√２)———☆
ここで、直角二等辺三角形ＰＱＲ（Ｒが直角でＰから反時計回り）を描き、∠Ｑの二等分線と辺ＰＲとの交点をＳとすると、角の二等分線の定理より、
ＰＳ：ＳＲ＝ＱＰ：ＱＲ＝√２：１
今、ＰＲ＝ＱＲ＝１とすると、
ＳＲ＝{１/(１＋√２)}ＰＲ＝√２－１　
よって、△ＳＱＲで三平方の定理を使うと、
ＳＱ＝√{(√２－１)^2＋１^2}＝√(４－２√２)
∴ＳＱ：ＳＲ＝√(４－２√２)：√２－１
∴ＳＱ^2：ＳＲ^2＝４－２√２：３－２√２
＝(４－２√２)(４＋２√２)：(３－２√２)(４＋２√２)
＝１６－８：１２＋６√２－８√２－８
＝８：４－２√２＝４：２－√２
∴ＳＱ：ＳＲ＝２：√(２－√２)———☆☆
☆，☆☆より、ＡＢ：ＡＨ＝ＳＱ：ＳＲ
また、△ＡＢＨも△ＳＱＲも共に直角三角形より相似である。∴∠ＡＢＨ＝∠ＳＱＲ＝２２.５°
よって、答えは、２２.５°
念のため、普通の中学生用ではない。スペシャルな中学生用である。

おまけ：

問題１
次の４個の分数を、大きい順に並べてください。
４４/４５，１１８/１２１，１２８/１３１，
１３８/１４１

別解
逆数を取ると大小関係が逆になるので、それで小さい順を求める。
４５/４４＝１＋１/４４
１２１/１１８＝１＋３/１１８＝１＋１/３９.…
１３１/１２８＝１＋３/１２８＝１＋１/４２.…
１４１/１３８＝１＋３/１３８＝１＋１/４６
１/４６＜１/４４＜１/４２.…＜１/３９.…より、
１４１/１３８＜４５/４４＜１３１/１２８＜１２１/１１８
よって、答えは、
１３８/１４１＞４４/４５＞１２８/１３１＞１１８/１２１

問題２の別解
△ＦＥＤ∽ＦＢＣより、ＥＤ：１０＝ｘ：ｘ＋６
∴(ｘ＋６)ＥＤ＝１０ｘ　∴ＥＤ＝１０ｘ/(ｘ＋６)ｃｍ
∴ＡＥ＝１０－１０ｘ/(ｘ＋６)＝６０/(ｘ＋６)ｃｍ
∴ＡＥ：ＥＤ＝６０/(ｘ＋６)：１０ｘ/(ｘ＋６)＝６：ｘ
また、ＡＣを結びＢＥとの交点をＧとすると、△ＢＡＣでの角の二等分線の定理より、ＡＧ：ＧＣ＝６：１０＝３：５
よって、△ＡＣＤと直線ＧＦでメネラウスの定理を使うと、(ＡＧ/ＣＧ)(ＥＤ/ＡＥ)(ＦＣ/ＦＤ)＝１より、
(３/５)(ｘ/６){(ｘ＋６)/ｘ}＝１
∴ｘ＋６＝１０　∴ｘ＝４ｃｍ

おまけ：

別解
四角形を∠ｘの点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、∠ＡＢＤの二等分線を引き、ＣＤの延長との交点をＥとする。
ここで、∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ＝△と置くと、対頂角より∠ＣＢＤ＝●なので、●●△△＝１８０°
∴●△＝９０°∴∠ＣＢＥ＝９０°
また、△ＤＡＢでの内対角の和より、
○○＝△△＋∠ｘ———①
また、△ＤＥＢでの内対角の和より、
○＝△＋∠Ｅ———②
①＝②×２より、∠ｘ＝２∠Ｅ　
ところで、△ＣＢＥの内角の和より、∠Ｅ＝２０°
∴∠ｘ＝２０°×２＝４０°
よって、答えは、４０°

おまけ：

解説
演習問題５
１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れることを証明せよ。

解答
１０≡３(mod７)の両辺を６乗すると、
１０^6≡３^6＝７２９(mod７)≡１(mod７)
∴１０^6≡１(mod７)　∴１０^6n≡１(mod７)
∴１０^6n－１≡０(mod７)
よって、１０^6n－１は７で割り切れる。
また、１０≡１(mod９)より、１０^6≡１(mod９)
∴１０^6n≡１(mod９)　∴１０^6n－１≡０(mod９)
よって、１０^6n－１は９で割り切れる。
また、１０≡－１(mod１１)より、
１０^6≡(－１)^6＝１(mod１１)
∴１０^6n≡１(mod１１)　
∴１０^6n－１≡０(mod１１)
よって、１０^6n－１は１１で割り切れる。
また、１０≡－３(mod１３)より、
１０^6≡(－３)^6＝７２９(mod１３)≡１(mod１３)
∴１０^6≡１(mod１３)　∴１０^6n≡１(mod１３)
∴１０^6n－１≡０(mod１３)
よって、１０^6n－１は１３で割り切れる。
以上より、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。

別解
１０^6n－１＝(１０^3n)^2－１
＝(１０^3n＋１)(１０^3n－１)
＝{(１０^3)^n＋１}{(１０^3)^n－１}

（ⅰ）ｎが奇数の場合
(１０^3)^n＋１＝(１０^3＋１){(１０^3)^(n-１)－(１０^3)^(n-2)＋・・・－１０^3＋１}で、
１０^3＋１＝１００１＝７・１１・１３より、
１０^6n－１は７，１１，１３で割り切れる。
また、(１０^3)^n－１＝(１０^3－１){(１０^3)^(n-1)＋(１０^3)^(n-2)＋・・・＋１０^3＋１}で、
１０^3－１＝９９９より、
１０^6n－１は９で割り切れる。
よって、ｎが奇数の場合、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。

（ⅱ）ｎが偶数の場合
(１０^3)^n－１＝(１０^3＋１){(１０^3)^(n-1)－(１０^3)^(n-2)＋・・・＋１０^3－１}で、
１０^3＋１＝１００１＝７・１１・１３より、
１０^6n－１は７，１１，１３で割り切れる。
また、(１０^3)^n－１＝(１０^3－１){(１０^3)^(n-1)＋(１０^3)^(n-2)＋・・・＋１０^3＋１}で、
１０^3－１＝９９９より、
１０^6n－１は９で割り切れる。
よって、ｎが偶数の場合、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。

（ⅰ），（ⅱ）より、１０^6n－１は７，９，１１，１３で割り切れる。

補足：因数分解の公式
ｎが奇数の時、
ａ^n＋ｂ^n＝(ａ＋ｂ)(ａ^(n-1)－ａ^(n-2)ｂ＋…
＋ｂ^(n-1))
ｎが偶数の時、
ａ^n－ｂ^n＝(ａ＋ｂ)(ａ^(n-1)－ａ^(n-2)ｂ＋…
－ｂ^(n-1))

下の公式は、何故かインターネットで見た事がない。例えば、「モノグラフ ２４．公式集」科学新興社などには当然載っている。当然、私も中学生の頃からよく知っている。

おまけ：

解説
証明
もし解が存在したとすると、
∃ｔ∈ℤ，ｘ^2＝１００ｔ＋３５＝５(２０ｔ＋７)
と表される。定理1.10より５|ｘであるから、ｘ＝５ｙ（ｙ∈ℤ）として上式に代入し、５で割ると５ｙ^2＝２０ｔ＋７という式が得られる。７は５で割り切れないので矛盾である。よって、この合同方程式は解をもたない。

定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ａ|ｃ
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

＞定理1.10より５|ｘであるから、

「定理1.10より」は間違っているね。ｘ^2＝１００ｔ＋３５＝５(２０ｔ＋７)から、ｘ^2/５＝２０ｔ＋７
この右辺が整数より、５|ｘ^2
ここで、定理1.10を使っているようだが、ｘと５が互いに素だから５|ｘ（ｘは５の倍数）って矛盾しているだろう。
ここは、ｘ^2＝５(２０ｔ＋７)より右辺が５の倍数だから左辺も５の倍数。よって、ｘ^2は５の倍数でｘは整数よりｘも５の倍数。よって、ｘ＝５ｙ（ｙ∈ℤ）だけで良い。

演習問題１
次の連立合同式を解け。
（２）ｘ≡１(mod３)———①
　　　ｘ≡２(mod５)———②
　　　ｘ≡６(mod１１)———③

別解
問2.2(１)より、①の全てを５倍すると、
５ｘ≡５(mod１５)———①'
また、②の全てを３倍すると、
３ｘ≡６(mod１５)———②'
①'－②'より、２ｘ≡－１≡１４(mod１５)
２と１５は互いに素より、ｘ≡７(mod１５)
この全てを１１倍すると、
１１ｘ≡７７(mod１６５)———④
また、③の全てを１５倍すると、
１５ｘ≡９０(mod１６５)———③'
③'－④より、
４ｘ≡１３≡１３＋１６５×３＝５０８(mod１６５)
４と１６５は互いに素より、
ｘ≡１２７(mod１６５)

問2.2
整数ａ,ｂ,ｍ,ｎ(ｎ＞１)と正の整数ｋについて、次のことを示せ。
（１）ａ≡ｂ(mod ｍｎ)⇒ａ≡ｂ(modｍ),ａ≡ｂ(modｎ)
（２）ａ≡ｂ(modｎ)⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)
（３）ａ≡ｂ(modｎ)⇒kａ≡kｂ(modｎ)
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

また、互いに素よりのくだりは、定理2.2の下の方から。

定理2.2
ｎを１より大きい整数とする。任意の整数ｍ,ａ,ｂについて、ｄ＝(ｍ,ｎ)，ｎ＝ｎ'ｄ，ｍ＝ｍ'ｄとおくとき、次のことが成り立つ。
ｍａ≡ｍｂ(modｎ)⇔ａ≡ｂ(modｎ')
特に、(ｍ,ｎ)＝１のとき、
ｍａ≡ｍｂ(modｎ)⇔ａ≡ｂ(modｎ)
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

おまけ：

問2.2(２)だった。

演習問題２
ｘ^2≡３５(mod１００)は解を持たないことを証明せよ。

別解
解が存在すると仮定すると、ｘ^2－３５≡０(mod１００)より、ｘ^2－３５は１００の倍数。
よって、ｘ^2の一の位が５よりｘの一の位も５である。ところが、５，１５，２５，・・・の２乗の下２桁は２５である。（下に補足）
よって、ｘ^2－３５は１００の倍数にはならない。よって、矛盾が起こるので、解なしである。

補足
(１０ｍ＋５)^2＝１００ｍ^2＋１００ｍ＋２５
＝１００(ｍ^2＋ｍ)＋２５より、
５，１５，２５，・・・の２乗の下２桁は２５である。

念のため、オリジナルである。

おまけ：

問題１の別解
模範解答と同じ方法より、答えは、２２＋１６＋１０＝４８ｃｍ

何でもありの解法
横の区間の長さを左からａ，ｂ，ｃとし、縦の区間の長さを上からｄ，ｅ，ｆとして、９個のマスの長さを考えると、
ａ＋ｄ＝８———①　
ｂ＋ｄ＝１０———②
ｃ＋ｄ＝１１———③
ａ＋ｅ＝６———④
ｂ＋ｅ＝８———⑤
ｃ＋ｅ＝９———⑥
ａ＋ｆ＝５———⑦
ｂ＋ｆ＝７———⑧
ｃ＋ｆ＝８———⑨
①＋⑤＋⑨より、
(ａ＋ｄ)＋(ｂ＋ｅ)＋(ｃ＋ｆ)＝８＋８＋８＝２４ｃｍ
∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＝２４ｃｍ
よって、答えは、この２倍で、４８ｃｍ
因みに、③＋⑤＋⑦でも出来る。
これだけじゃ面白くないので、この長方形は一定ではない事を示してみましょう。
未知数が６個で式が９個あるので、ａなどの値が求まりそうですが、
①＋②＋③より、ａ＋ｂ＋ｃ＋３ｄ＝２９———ア
④＋⑤＋⑥より、ａ＋ｂ＋ｃ＋３ｅ＝２３———イ
⑦＋⑧＋⑨より、ａ＋ｂ＋ｃ＋３ｆ＝２０———ウ
ここで、ａ＋ｂ＋ｃ＝Ｘと置いて、ア，イ，ウに代入すると、
Ｘ＋３ｄ＝２９，Ｘ＋３ｅ＝２３，Ｘ＋３ｆ＝２０となり、未知数が４個で式が３個しかないので不定方程式である。よって、解が求まらず、長方形は一定ではない。
念のため、私個人の意見ですので、自分で裏を取って下さい。

問題２の算数の解法
○□－□○＝△３より、□と○の差を３と考えると、□の方が○より大きいのでこの式はマイナスになってしまい右の項は正なので不適である。（厳密には正だと思われる。）
そこで、桁下がりして３になる場合を考えると、
一の位は１と８，２と９だけである。
よって、８１－１８と９２－２９を調べると、
８１－１８＝６３，９２－２９＝６３
よって、△＝６である。
よって、答えは、６
念のため、私のオリジナルなのでよく吟味して下さい。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/41964fee89f366dcd1d7c07c07b2a0ea833fa608

別解
条件より、ＤＣ上にＤＦ＝ＤＡ，ＣＦ＝ＣＢとなる点Ｆが取れる。よって、ＡＦ，ＢＦを結ぶと、△ＤＡＦと△ＣＢＦはそれぞれ二等辺三角形になる。
そこで、∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ＝●，∠ＣＢＦ＝∠ＣＦＢ＝○と置く。
ところで、ＡＤ//ＢＣより∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°———①　また、△ＤＡＦ，△ＣＢＦの内角の和より、
∠Ｄ＋●＋●＝１８０°，∠Ｃ＋○＋○＝１８０°
よって、∠Ｄ＋∠Ｃ＋●×２＋○×２＝３６０°———②　①を②に代入すると、
１８０°＋(●＋○)×２＝３６０°
よって、●＋○＝９０°
よって、∠ＡＦＢ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、△ＡＢＦは直角三角形である。ここで、ＥＦを結ぶと、直角三角形の斜辺の中点と直角を結ぶので、ＥＡ＝ＥＢ＝ＥＦ　よって、三辺相等で△ＤＡＥと△ＤＦＥは合同。よって、折り返しの原理よりＡＦ⊥ＤＥ（凧型から言っても良い。）
よって、ＡＦとＤＥの交点をＧとすると、△ＤＦＧの内角の和より、●＝１８０°－９０°－５５°＝３５°
よって、○＝９０°－３５°＝５５°
よって、二等辺三角形ＣＢＦの内角の和より、
∠ｘ＝１８０°－５５°×２＝７０°
よって、答えは、７０°

暗算で解きながら書いたので、ちょっと読み難いかもしれません。

おまけ：

解法１
ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＤＢＨを共有していて、また直角の２角が等しいので、△ＤＢＨと△ＣＢＤは相似。　よって、△ＤＢＨも３：４：５の直角三角形である。よって、ＤＨ＝(４/５)ＤＢ＝(４/５)×６＝２４/５ｃｍ　また、ＢＨ＝(３/５)ＤＢ＝(３/５)×６＝１８/５ｃｍ
よって、△ＤＢＣ＝１０×(２４/５)÷２＝２４ｃｍ^2
また、ＤからＡＢに垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＤＩＢＨは長方形より、ＤＩ＝ＨＢ＝１８/５ｃｍ
よって、△ＤＡＢ＝１５×(１８/５)÷２＝２７ｃｍ^2
また、△ＡＢＣ＝１０×１５÷２＝７５ｃｍ^2
よって、△ＡＤＣ＝７５－２４－２７＝２４ｃｍ^2
よって、答えは、２４ｃｍ^2

因みに、△ＤＢＣは６×８÷２＝２４ｃｍ^2で求めても良い。

解法２
ＢＤの延長上にＡから垂線を下ろしその足をＨとすると、角度の解説は省略で、△ＡＢＨと△ＢＣＤは相似になる。
よって、△ＡＢＨも３：４：５の直角三角形である。
よって、ＡＨ＝(３/５)×１５＝９ｃｍ
よって、△ＡＢＤ＝６×９÷２＝２７ｃｍ^2
また、△ＣＢＤ＝６×８÷２＝２４ｃｍ^2
また、△ＡＢＣ＝１０×１５÷２＝７５ｃｍ^2
よって、△ＡＤＣ＝７５－２７－２４＝２４ｃｍ^2
よって、答えは、２４ｃｍ^2

解法３は次回。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/fdcb09207793388cf8ade9d70223ea12b482de82

解法３
ＣＤの延長とＡＢとの交点をＥとすると、△ＣＤＢと△ＣＢＥは∠ＤＣＢと直角の２角が等しいので、相似。
よって、△ＣＢＥも３：４：５の直角三角形である。
よって、ＢＥ＝(３/４)×１０＝１５/２ｃｍ
よって、ＥＡ＝１５－１５/２＝１５/２ｃｍ　
よって、ＢＥ：ＥＡ＝１：１
よって、三角形の面積比の公式https://manabitimes.jp/math/636より、
△ＣＤＢ：△ＣＤＡ＝１：１
よって、△ＡＤＣ＝△ＣＤＢ＝６×８÷２＝２４ｃｍ^2
よって、答えは、２４ｃｍ^2

おまけ：
２巻１３番の詩
魂の抜けた人はもはや犠牲にはならない
[キリストの]降誕の上に置かれる崩壊の日
崇高な精神は心を至福にさせるだろう
予言者、彼の永遠への言語表現

問題１の解答
△ＥＣＤ＝８×５÷２＝２０ｃｍ^2
また、ＡＢ//ＤＣより等積変形すると、
△ＡＣＤ＝△ＥＣＤ＝２０ｃｍ^2
よって、長方形ＡＢＣＤの面積はこの２倍で４０ｃｍ^2
よって、答えは、４０ｃｍ^2

問題１の何でもありの解法
△ＣＦＤで三平方の定理を使うと、
ＣＤ＝√(２^2＋５^2)＝√２９ｃｍ
ここで、∠ＦＤＣ＝●と置くと、∠ＡＤＥ＝９０°－●
また、△ＡＤＥの内角の和より、
∠ＡＥＤ＝１８０°－９０°－(９０°－●)＝●
∴∠ＦＤＣ＝∠ＡＥＤ　また、∠ＤＦＣ＝∠ＥＡＤより２角が等しいので、△ＤＦＣ∽△ＥＡＤ
∴ＡＤ：８＝５：√２９　∴ＡＤ＝４０/√２９ｃｍ
∴長方形ＡＢＣＤ＝√２９×{４０/√２９}＝４０ｃｍ^2
よって、答えは、４０ｃｍ^2

確かに、「難しく考えてはいけない」問題だが、エンターテイメントとしてはその上を行かないと商売にならないからね。笑
（「show must go on!」https://www.nikkansports.com/entertainment/news/202309070001249.html)

おまけ：
https://ameblo.jp/lyricsgaga/entry-11911409883.html

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問題２の解答
４９°の右わきの端点をＡとして進行方向の頂点にＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ（Ｅは端点）と振り、４８°の所の端点からＡＢ上の端点までＦ～Ｊと振る。
また、ＢＣとＤＥの交点をＫ，ＦＧとＨＩの交点をＬと振ると、△ＫＤＣの内対角の和より、∠ＦＫＣ＝３２°＋３７°＝６９°また、△ＬＨＧの内対角の和より、∠ＦＬＨ＝２９°＋２６°＝５５°また、∠ＫＦＬ＝１８０°－４８°＝１３２°
ここで、ＫＣの延長とＬＨの延長との交点をＭとすると、四角形ＭＫＦＬの内角の和より、∠ＫＭＬ＝３６０°－６９°－５５°－１３２°＝１０４°
ところで、∠ＢＪＩ＝１８０°－４９°＝１３１°
よって、四角形ＭＢＪＩの内角の和より、∠ア＝３６０°－１０４°－４２°－１３１°＝８３°
よって、答えは、８３°

別解
４９°の右わきの端点をＡとして進行方向の頂点にＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ（Ｅは端点）と振り、４８°の所の端点からＡＢ上の端点までＦ～Ｊと振る。また、ＢＣとＤＥの交点をＫ，ＦＧとＨＩの交点をＬと振る。（ここまでは同じ。）
（ⅰ）ＤＥの延長とＡＢとの交点がＢＪ上にある場合、
その交点をＮとすると、∠ＢＫＮ＝∠ＤＫＣ＝１８０°－３７°－３２°＝１１１°よって、△ＮＢＫの内対角の和より、∠ＦＮＪ＝１１１°＋４２°＝１５３°また、∠ＮＪＩ＝１８０°－４９°＝１３１°また、∠ＦＬＩ＝∠ＨＬＧ＝１８０°－２９°－２６°＝１２５°
ところで、五角形の内角の和は５４０°より、五角形ＬＦＮＪＩの内角の和を使うと、∠ア＝５４０°－１２５°－４８°－１５３°－１３１°＝８３°
よって、∠ア＝８３°
（ⅱ）ＤＥの延長とＡＢとの交点がＡＪ上にある場合、
その交点をＭ，ＤＥの延長とＩＪとの交点をＮとし、ＮからＡＢと平行な直線ｍを引くと、同位角より∠ＦＮｍ＝∠ＫＭＢ＝１８０°－１１１°－４２°＝２７°（上の∠ＢＫＮ＝１１１°を利用した。）
また、∠ＩＮｍ＝∠ＩＪＡ＝４９°∴∠ＦＮＩ＝１８０°－２７°－４９°＝１０４°
よって、四角形ＬＦＮＩの内角の和より、∠ア＝３６０°－１２５°－４８°－１０４°＝８３°
よって、∠ア＝８３°
（ⅰ），（ⅱ）より、∠ア＝８３°

よって、ＯＫ。

おまけ：

問2.12
ｎ,ａ,ｂを正の整数とするとき、次を示せ。
(ａ,ｎ)＝１，(ｂ,ｎ)＝１⇒(ａｂ,ｎ)＝１

別証
定義2.3より、
Ｃa∈Ｕ(ℤn)⇔(ａ,ｎ)＝１
よって、仮定より、Ｃa,Ｃb∈Ｕ(ℤn)
ここで、第３章定理2.10より、Ｕ(ℤn)は乗法に関して群をなしているので、乗法に関して閉じている。
∴Ｃa・Ｃb∈Ｕ(ℤn)　∴|ａ・|ｂ∈Ｕ(ℤn)
∴|(ａｂ)∈Ｕ(ℤn)　∴Ｃab∈Ｕ(ℤn)
再び、定義2.3より、(ａｂ,ｎ)＝１
∴(ａ,ｎ)＝１，(ｂ,ｎ)＝１⇒(ａｂ,ｎ)＝１
よって、示された。

定義2.3
ｎを法とするａの剰余類Ｃaは(ａ,ｎ)＝１であるとき、既約剰余類であるという。ｎを法とする剰余類の集合ℤnにおいて、既約剰余類の集合をＵ(ℤn)で表す。
また、Ｃa∈Ｕ(ℤn)⇔(ａ,ｎ)＝１

第３章定理2.10
ｎを法とする既約剰余類全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。
ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12781914265.html