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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/31 11:49 (No.890558)削除次の文章を完全解説して下さい。
問2.2
整数ａ,ｂ,ｍ,ｎ(ｎ＞１)と正の整数ｋについて、次のことを示せ。
（１）ａ≡ｂ(mod ｍｎ)⇒ａ≡ｂ(modｍ),ａ≡ｂ(modｎ)
（２）ａ≡ｂ(modｎ)⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)
（３）ａ≡ｂ(modｎ)⇒kａ≡kｂ(modｎ)
証明
（１）ａ≡ｂ(mod ｍｎ)⇔ｍｎ|ａ－ｂ⇒ｍ|ａ－ｂ，ｎ|ａ－ｂ
（２）ａ≡ｂ(modｎ)⇔ｎ|ａ－ｂ⇔kｎ|ｋ(ａ－ｂ)
⇔kｎ|kａ－kｂ⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)
（３）ａ≡ｂ(modｎ)⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)（（２）より）
⇒ kａ≡kｂ(modｎ)（（１）より）
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、（１）と（３）の逆が成り立つ条件を述べ、それを証明して下さい。
おまけ：
https://www.tv-asahi.co.jp/reading/goodmorning/225966/
問2.2
整数ａ,ｂ,ｍ,ｎ(ｎ＞１)と正の整数ｋについて、次のことを示せ。
（１）ａ≡ｂ(mod ｍｎ)⇒ａ≡ｂ(modｍ),ａ≡ｂ(modｎ)
（２）ａ≡ｂ(modｎ)⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)
（３）ａ≡ｂ(modｎ)⇒kａ≡kｂ(modｎ)
証明
（１）ａ≡ｂ(mod ｍｎ)⇔ｍｎ|ａ－ｂ⇒ｍ|ａ－ｂ，ｎ|ａ－ｂ
（２）ａ≡ｂ(modｎ)⇔ｎ|ａ－ｂ⇔kｎ|ｋ(ａ－ｂ)
⇔kｎ|kａ－kｂ⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)
（３）ａ≡ｂ(modｎ)⇔kａ≡kｂ(mod kｎ)（（２）より）
⇒ kａ≡kｂ(modｎ)（（１）より）
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、（１）と（３）の逆が成り立つ条件を述べ、それを証明して下さい。
おまけ：
https://www.tv-asahi.co.jp/reading/goodmorning/225966/
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/29 19:52 (No.889074)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907190000/
何でもありでも解けたら凄いと思います。私は２通り作ってみましたが、２０年ぐらいの歴史がありますからね。ある意味出来て当然ですね。確か１つは私のオリジナルです。
おまけ：
https://twitter.com/after6junction/status/1696451285887955098
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907190000/
何でもありでも解けたら凄いと思います。私は２通り作ってみましたが、２０年ぐらいの歴史がありますからね。ある意味出来て当然ですね。確か１つは私のオリジナルです。
おまけ：
https://twitter.com/after6junction/status/1696451285887955098
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/30 07:32削除解法１ 多分、模範解答
点Ｂを中心に△ＤＢＣをＢＣがＢＡにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ'とする。
また、点Ａを中心に△ＤＡＢをＡＢがＡＣにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ''とする。
さらに、点Ｃを中心に△ＤＣＡをＣＡがＣＢにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ'''とする。
すると、∠Ｄ'ＢＤ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠Ｄ''ＡＤ＝∠ＣＡＢ＝６０°，∠Ｄ'''ＣＤ＝∠ＢＣＡ＝６０°
また、ＢＤ＝ＢＤ'，ＡＤ＝ＡＤ''，ＣＤ＝ＣＤ'''より、△ＢＤ'Ｄ，△ＡＤ''Ｄ，△ＣＤ'''Ｄはそれぞれ頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形になる。
よって、△ＢＤ'Ｄは１辺が４ｃｍの正三角形で△ＡＤ''Ｄは１辺が５ｃｍの正三角形で△ＣＤ'''Ｄは１辺が３ｃｍの正三角形になり、△ＡＤＤ'，△ＢＤＤ'''，△ＣＤＤ''はそれぞれ３辺の長さが３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍの直角三角形になる。
よって、六角形ＡＤ'ＢＤ'''ＣＤ''の面積は、
Ｓ＝３×(３√３/２)×(１/２)＋４×(４√３/２)×(１/２)＋５×(５√３/２)×(１/２)＋３×４×(１/２)×３
＝９√３/４＋１６√３/４＋２５√３/４＋１８
＝２５√３/２＋１８ｃｍ^2
ところで、△ＡＢＣの面積はこの半分なので、答えは、
２５√３/４＋９ｃｍ^2
解法２は次回。
おまけ：
点Ｂを中心に△ＤＢＣをＢＣがＢＡにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ'とする。
また、点Ａを中心に△ＤＡＢをＡＢがＡＣにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ''とする。
さらに、点Ｃを中心に△ＤＣＡをＣＡがＣＢにくっつくまで回転移動コピーさせ、点Ｄの行き先をＤ'''とする。
すると、∠Ｄ'ＢＤ＝∠ＡＢＣ＝６０°，∠Ｄ''ＡＤ＝∠ＣＡＢ＝６０°，∠Ｄ'''ＣＤ＝∠ＢＣＡ＝６０°
また、ＢＤ＝ＢＤ'，ＡＤ＝ＡＤ''，ＣＤ＝ＣＤ'''より、△ＢＤ'Ｄ，△ＡＤ''Ｄ，△ＣＤ'''Ｄはそれぞれ頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形になる。
よって、△ＢＤ'Ｄは１辺が４ｃｍの正三角形で△ＡＤ''Ｄは１辺が５ｃｍの正三角形で△ＣＤ'''Ｄは１辺が３ｃｍの正三角形になり、△ＡＤＤ'，△ＢＤＤ'''，△ＣＤＤ''はそれぞれ３辺の長さが３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍの直角三角形になる。
よって、六角形ＡＤ'ＢＤ'''ＣＤ''の面積は、
Ｓ＝３×(３√３/２)×(１/２)＋４×(４√３/２)×(１/２)＋５×(５√３/２)×(１/２)＋３×４×(１/２)×３
＝９√３/４＋１６√３/４＋２５√３/４＋１８
＝２５√３/２＋１８ｃｍ^2
ところで、△ＡＢＣの面積はこの半分なので、答えは、
２５√３/４＋９ｃｍ^2
解法２は次回。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/31 07:57削除解法２
点ＤのＡＢ，ＢＣ，ＣＡに関する対称点をそれぞれＤ'，Ｄ''，Ｄ'''と置いて、
∠Ｄ'ＡＢ＝∠ＤＡＢ＝○，∠Ｄ'''ＡＣ＝∠ＤＡＣ＝×と置くと、∠ＢＡＣ＝○×で∠Ｄ'ＡＤ'''＝○○××より、∠Ｄ'ＡＤ'''＝６０°×２＝１２０°
また、ＡＤ'＝ＡＤ＝ＡＤ'''より、△ＡＤ'Ｄ'''は頂角が１２０°で等辺がＡＤ＝５ｃｍの二等辺三角形になる。
同様に、△ＢＤ''Ｄ'は頂角が１２０°で等辺がＢＤ＝４ｃｍ，△ＣＤ'''Ｄ''は頂角が１２０°で等辺がＣＤ＝３ｃｍの二等辺三角形になる。
よって、頂角が１２０°の二等辺三角形の二辺比を考えると、Ｄ'Ｄ'''＝５√３ｃｍ，Ｄ'Ｄ''＝４√３ｃｍ，Ｄ''Ｄ'''＝３√３ｃｍより、△Ｄ'Ｄ''Ｄ'''は３：４：５の直角三角形。
また、頂角が１２０°の二等辺三角形は半分に切って組み直すと等辺を１辺とした正三角形になるので、
五角形ＡＤ'ＢＤ''ＣＤ'''＝３×(３√３/２)×(１/２)＋４×(４√３/２)×(１/２)＋５×(５√３/２)×(１/２)＋(３√３)×(４√３)×(１/２)
＝９√３/４＋１６√３/４＋２５√３/４＋１８
＝２５√３/２＋１８ｃｍ^2
ところで、△ＡＢＣの面積はこの半分なので、答えは、
２５√３/４＋９ｃｍ^2
確かこの問題を初めて見たのは「高校への数学 日日のハイレベル演習」で、解法１が模範解答だったと思いますが、私のオリジナルの解法２の方が簡単ですよね。初期のこれしかなかったという記憶が強くて別解を考えられない状態だったのでしょうか。まぁ、伝統とはそういうものだと思いますが。
因みに、私も「フェルマーの最終定理 ｎ＝３,４の場合」の初等的な別証明なんて考えもしませんでした。しかも、無限降下法なんてちょっと面倒臭い方法を全く使わないなんて。
おまけ：
https://twitter.com/ATDY6GzGZoYWRWz/status/1696520290111770823
点ＤのＡＢ，ＢＣ，ＣＡに関する対称点をそれぞれＤ'，Ｄ''，Ｄ'''と置いて、
∠Ｄ'ＡＢ＝∠ＤＡＢ＝○，∠Ｄ'''ＡＣ＝∠ＤＡＣ＝×と置くと、∠ＢＡＣ＝○×で∠Ｄ'ＡＤ'''＝○○××より、∠Ｄ'ＡＤ'''＝６０°×２＝１２０°
また、ＡＤ'＝ＡＤ＝ＡＤ'''より、△ＡＤ'Ｄ'''は頂角が１２０°で等辺がＡＤ＝５ｃｍの二等辺三角形になる。
同様に、△ＢＤ''Ｄ'は頂角が１２０°で等辺がＢＤ＝４ｃｍ，△ＣＤ'''Ｄ''は頂角が１２０°で等辺がＣＤ＝３ｃｍの二等辺三角形になる。
よって、頂角が１２０°の二等辺三角形の二辺比を考えると、Ｄ'Ｄ'''＝５√３ｃｍ，Ｄ'Ｄ''＝４√３ｃｍ，Ｄ''Ｄ'''＝３√３ｃｍより、△Ｄ'Ｄ''Ｄ'''は３：４：５の直角三角形。
また、頂角が１２０°の二等辺三角形は半分に切って組み直すと等辺を１辺とした正三角形になるので、
五角形ＡＤ'ＢＤ''ＣＤ'''＝３×(３√３/２)×(１/２)＋４×(４√３/２)×(１/２)＋５×(５√３/２)×(１/２)＋(３√３)×(４√３)×(１/２)
＝９√３/４＋１６√３/４＋２５√３/４＋１８
＝２５√３/２＋１８ｃｍ^2
ところで、△ＡＢＣの面積はこの半分なので、答えは、
２５√３/４＋９ｃｍ^2
確かこの問題を初めて見たのは「高校への数学 日日のハイレベル演習」で、解法１が模範解答だったと思いますが、私のオリジナルの解法２の方が簡単ですよね。初期のこれしかなかったという記憶が強くて別解を考えられない状態だったのでしょうか。まぁ、伝統とはそういうものだと思いますが。
因みに、私も「フェルマーの最終定理 ｎ＝３,４の場合」の初等的な別証明なんて考えもしませんでした。しかも、無限降下法なんてちょっと面倒臭い方法を全く使わないなんて。
おまけ：
https://twitter.com/ATDY6GzGZoYWRWz/status/1696520290111770823
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/30 12:07 (No.889614)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題１１
ａを正の整数とする。このとき、任意の正の整数ｋ（ｋ＞１）に対してａは
ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ1ｋ＋ｒ0
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ1＜ｋ，０≦ｒ0＜ｋ
という形に一意的に表されることを証明せよ。ａをこのような形に表すことをａもｋ進法表示という。
証明
（１）表されること：ａについての帰納法で示す。ａ＝１のとき、１＝１でｒ0＝１とすればよい。
ａ＞１として、ａ－１まで成り立つと仮定する。ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。
ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n
ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n
ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋ
と表される。さらに、練習問題９(４)よりａはａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
（２）一意的であること：
ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。仮定の式を変形すると、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＝－ｒ0
ゆえに、ｒ0≡０（mod ｋ）ここで、０≦ｒ0＜ｋであるからｒ0＝０ したがって、
ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1＝０
帰納法の仮定より、ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ1＝０
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、
＞ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。
その理由を述べて下さい。０の場合は特別のような気もしますが。
そもそも「ａは正の整数」とか色々考えてみて下さい。
おまけ：
演習問題１１
ａを正の整数とする。このとき、任意の正の整数ｋ（ｋ＞１）に対してａは
ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ1ｋ＋ｒ0
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ1＜ｋ，０≦ｒ0＜ｋ
という形に一意的に表されることを証明せよ。ａをこのような形に表すことをａもｋ進法表示という。
証明
（１）表されること：ａについての帰納法で示す。ａ＝１のとき、１＝１でｒ0＝１とすればよい。
ａ＞１として、ａ－１まで成り立つと仮定する。ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。
ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n
ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n
ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋ
と表される。さらに、練習問題９(４)よりａはａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
（２）一意的であること：
ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。仮定の式を変形すると、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＝－ｒ0
ゆえに、ｒ0≡０（mod ｋ）ここで、０≦ｒ0＜ｋであるからｒ0＝０ したがって、
ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1＝０
帰納法の仮定より、ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ1＝０
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、
＞ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。
その理由を述べて下さい。０の場合は特別のような気もしますが。
そもそも「ａは正の整数」とか色々考えてみて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/30 13:33削除解説
＞ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。
その理由を述べて下さい。０の場合は特別のような気もしますが。
そもそも「ａは正の整数」とか色々考えてみて下さい。
やはり、ｎ進法（ここではｋ進法）で０の時も任意の整数の場合も同じなので、０の場合が一意的である事を示せば十分という事だろう。「ａは正の整数」とかは関係ない。一意的である事を示すのに０の場合を利用するだけだからである。
一応、（１）のようにも示してみよう。
ａについての帰納法で示す。
ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。
ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。
ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n
ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n
ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから（[ａ/ｋ]はａ－１以下の整数だから）帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋと一意的に表される。さらに、練習問題９(４)と除法の定理1.5よりａはａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と一意的に表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
∴ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
ｒn～ｒ1とｒ0がそれぞれ一意的なので、この式も一意的に表される。
よって、ａ－１まで成り立つと仮定してａでも成り立つので、数学的帰納法により一意的である事が示された。
定理1.5（除法の定理）
ａ,ｂを整数で、ｂ＞０とすると、
ａ＝ｑｂ＋ｒ，０≦ｒ＜ｂ
を満足する整数ｑ,ｒが存在する。しかも、ｑ,ｒはａ,ｂにより一意的に定まる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
因みに、「ａ－１まで正しいと仮定」は十分条件である。本当に必要なのは「[ａ/ｋ]以下で正しいと仮定」である。
そうすれば、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋと一意的に表せるからである。（最大指数がｎ－１にも注意。のちにｋがかかってｎになる。）
おまけ：
https://asagei.biz/excerpt/35185
＞ａ－１まで正しいと仮定する。このとき、
ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0＝０⇒ｒn＝ｒn-1＝…＝ｒ0＝０
を示せば十分である。
その理由を述べて下さい。０の場合は特別のような気もしますが。
そもそも「ａは正の整数」とか色々考えてみて下さい。
やはり、ｎ進法（ここではｋ進法）で０の時も任意の整数の場合も同じなので、０の場合が一意的である事を示せば十分という事だろう。「ａは正の整数」とかは関係ない。一意的である事を示すのに０の場合を利用するだけだからである。
一応、（１）のようにも示してみよう。
ａについての帰納法で示す。
ａ＝１のとき、表現が一意的であることは容易にわかる。
ａ＞１として、ａ－１まで正しいと仮定する。
ａを超えないｋの累乗のうち、最大のものをｋ^nとする。
ｋ^n≦ａ＜ｋ^(n+1)よりｋ^(n-1)≦ａ/ｋ＜ｋ^n
ゆえに、ｋ^(n-1)≦[ａ/ｋ]＜ｋ^n
ここで、[ａ/ｋ]＜ａであるから（[ａ/ｋ]はａ－１以下の整数だから）帰納法の仮定より、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋと一意的に表される。さらに、練習問題９(４)と除法の定理1.5よりａはａ＝[ａ/ｋ]ｋ＋ｒ0（０≦ｒ0＜ｋ）と一意的に表されるから、この式に上式を代入すると次が得られる。
ａ＝ｋ(ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1)＋ｒ0
＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
∴ａ＝ｒnｋ^n＋ｒn-1ｋ^(n-1)＋…＋ｒ2ｋ^2＋ｒ1ｋ＋ｒ0
ｒn～ｒ1とｒ0がそれぞれ一意的なので、この式も一意的に表される。
よって、ａ－１まで成り立つと仮定してａでも成り立つので、数学的帰納法により一意的である事が示された。
定理1.5（除法の定理）
ａ,ｂを整数で、ｂ＞０とすると、
ａ＝ｑｂ＋ｒ，０≦ｒ＜ｂ
を満足する整数ｑ,ｒが存在する。しかも、ｑ,ｒはａ,ｂにより一意的に定まる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
因みに、「ａ－１まで正しいと仮定」は十分条件である。本当に必要なのは「[ａ/ｋ]以下で正しいと仮定」である。
そうすれば、
[ａ/ｋ]＝ｒnｋ^(n-1)＋ｒn-1ｋ^(n-2)＋…＋ｒ2ｋ＋ｒ1
０＜ｒn＜ｋ，０≦ｒn-1＜ｋ，…，０≦ｒ2＜ｋ，０≦ｒ1＜ｋと一意的に表せるからである。（最大指数がｎ－１にも注意。のちにｋがかかってｎになる。）
おまけ：
https://asagei.biz/excerpt/35185
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 16:07 (No.887903)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907220000/
方程式で解ければ良いです。ただし、受験算数の先生にはなれませんが。当然ですが、東大出ててもなれない人はなれませんね。
私は検索しないで解きましたが、検索しても解けないかもしれません。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907220000/
方程式で解ければ良いです。ただし、受験算数の先生にはなれませんが。当然ですが、東大出ててもなれない人はなれませんね。
私は検索しないで解きましたが、検索しても解けないかもしれません。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/29 18:51削除問題
今までのテストの平均点は８４.６点でしたが、今回のテストの得点が９３点だったので、今回のテストを加えた平均点が８６点になりました。今回のテストも含めて、全部で何回のテストを受けましたか。
解法１ 方程式の解法
今までのテストの回数をｘ回と置くと、
８４.６ｘ＋９３＝８６(ｘ＋１)が成り立つ。
∴８４.６ｘ＋９３＝８６ｘ＋８６
∴１.４ｘ＝７ ∴１４ｘ＝７０ ∴ｘ＝５
よって、ｘ＋１＝６
よって、答えは、６回。
解法２ 算数の解法
８４.６点 ８６点 ９３点
□回 １回
これを天秤算で考えると、
８６点と８４.６点の差が１.４点
９３点と８６点の差が７点
より、１.４：７＝１４：７０＝１：５
よって、□＝５回である。
よって、全部で５＋１＝６回より、
答えは、６回。
解法３ 邪道な解法
今までのテストの平均点は８４.６点より、今までのテストの回数は５の倍数である。（合計が整数だから。）
よって、５回としてみると、８４.６×５＝４２３点
これに今回の９３点を加えると、４２３＋９３＝５１６点
これを５＋１＝６回で割ると、５１６÷６＝８６点で合う。
よって、答えは、６回。
おまけ：
今までのテストの平均点は８４.６点でしたが、今回のテストの得点が９３点だったので、今回のテストを加えた平均点が８６点になりました。今回のテストも含めて、全部で何回のテストを受けましたか。
解法１ 方程式の解法
今までのテストの回数をｘ回と置くと、
８４.６ｘ＋９３＝８６(ｘ＋１)が成り立つ。
∴８４.６ｘ＋９３＝８６ｘ＋８６
∴１.４ｘ＝７ ∴１４ｘ＝７０ ∴ｘ＝５
よって、ｘ＋１＝６
よって、答えは、６回。
解法２ 算数の解法
８４.６点 ８６点 ９３点
□回 １回
これを天秤算で考えると、
８６点と８４.６点の差が１.４点
９３点と８６点の差が７点
より、１.４：７＝１４：７０＝１：５
よって、□＝５回である。
よって、全部で５＋１＝６回より、
答えは、６回。
解法３ 邪道な解法
今までのテストの平均点は８４.６点より、今までのテストの回数は５の倍数である。（合計が整数だから。）
よって、５回としてみると、８４.６×５＝４２３点
これに今回の９３点を加えると、４２３＋９３＝５１６点
これを５＋１＝６回で割ると、５１６÷６＝８６点で合う。
よって、答えは、６回。
おまけ：
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/29 11:39 (No.888652)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題１０
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，…，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
分かり易く解説した後、別解を考えてみて下さい。因みに、私は２通り作ってみましたが、１通りはどうでしょう。吟味してみて下さい。
おまけ：
演習問題１０
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，…，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
分かり易く解説した後、別解を考えてみて下さい。因みに、私は２通り作ってみましたが、１通りはどうでしょう。吟味してみて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/29 13:51削除演習問題１０
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，…，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
解説
演習問題９（１）の）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１のｘの所にｘ/ｎを代入すると、[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ この全ての辺にｎを掛けると、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ
ｘは正の実数より、
０＜ｘ＜ｎの場合、０≦ｘ＜ｎ ｎの倍数は０個。
ｎ≦ｘ＜２ｎの場合、ｎの倍数はｎの１個のみ。
２ｎ≦ｘ＜３ｎの場合、ｎの倍数は２ｎの１個のみ。
３ｎ≦ｘ＜４ｎの場合、ｎの倍数は３ｎの１個のみ。
・
・
・
[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎの場合、ｎの倍数は[ｘ/ｎ]ｎの１個のみ。
以上から、ｎの倍数は、計[ｘ/ｎ]×１＝[ｘ/ｎ]個である事が分かる。
よって、１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しい。よって、示された。
別解
ｘをｎで割った商をｑ，余りをｒ（０≦ｒ＜ｎ）とすると、ｘ＝ｑｎ＋ｒ ただし、ｒは整数とは限らない。
この両辺をｎで割ると、ｘ/ｎ＝ｑ＋ｒ/ｎ
∴[ｘ/ｎ]＝[ｑ＋ｒ/ｎ]———①
ここで、０≦ｒ＜ｎの全ての辺をｎで割ると、
０≦ｒ/ｎ＜１ また、ｑは整数より、
[ｑ＋ｒ/ｎ]＝ｑ———②
①，②より、[ｘ/ｎ]＝ｑ
ところで、ｑはｘをｎで割った商より、１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数である。
よって、それが[ｘ/ｎ]に等しいことが示された。
やっぱり、別解は１通りにしました。よく吟味して下さい。
おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12817924332.html
ｘを正の実数，ｎを正の整数とする。１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しいことを示せ。
証明
演習問題９（１）より[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ ゆえに、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ この式より、１からｘまでの整数のうち、ｎの倍数となるものはｎ，２ｎ，…，[ｘ/ｎ]ｎであるから、[ｘ/ｎ]個である。
解説
演習問題９（１）の）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１のｘの所にｘ/ｎを代入すると、[ｘ/ｎ]≦ｘ/ｎ＜[ｘ/ｎ]＋１ この全ての辺にｎを掛けると、[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎ
ｘは正の実数より、
０＜ｘ＜ｎの場合、０≦ｘ＜ｎ ｎの倍数は０個。
ｎ≦ｘ＜２ｎの場合、ｎの倍数はｎの１個のみ。
２ｎ≦ｘ＜３ｎの場合、ｎの倍数は２ｎの１個のみ。
３ｎ≦ｘ＜４ｎの場合、ｎの倍数は３ｎの１個のみ。
・
・
・
[ｘ/ｎ]ｎ≦ｘ＜([ｘ/ｎ]＋１)ｎの場合、ｎの倍数は[ｘ/ｎ]ｎの１個のみ。
以上から、ｎの倍数は、計[ｘ/ｎ]×１＝[ｘ/ｎ]個である事が分かる。
よって、１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数は[ｘ/ｎ]に等しい。よって、示された。
別解
ｘをｎで割った商をｑ，余りをｒ（０≦ｒ＜ｎ）とすると、ｘ＝ｑｎ＋ｒ ただし、ｒは整数とは限らない。
この両辺をｎで割ると、ｘ/ｎ＝ｑ＋ｒ/ｎ
∴[ｘ/ｎ]＝[ｑ＋ｒ/ｎ]———①
ここで、０≦ｒ＜ｎの全ての辺をｎで割ると、
０≦ｒ/ｎ＜１ また、ｑは整数より、
[ｑ＋ｒ/ｎ]＝ｑ———②
①，②より、[ｘ/ｎ]＝ｑ
ところで、ｑはｘをｎで割った商より、１からｘまでの正の整数のうち、ｎの倍数であるものの個数である。
よって、それが[ｘ/ｎ]に等しいことが示された。
やっぱり、別解は１通りにしました。よく吟味して下さい。
おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12817924332.html
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 22:21 (No.888250)削除次の文章を完全解説して下さい。
「ところで、円の面積公式の厳密な証明について、よく「高校数学で習う積分を使うと証明できる」と言う人がいる。
しかし、その説明方法には大きな欠陥が潜んでいて、三角関数の微分積分の出発点にある極限に関する公式を用いている。
ところが、この式の証明では扇形の面積公式、すなわち円の面積公式を用いている。それゆえ、円の面積公式から円の面積公式を導く“循環論法”に陥っているので、重大な欠陥論法である。」
引用元：https://news.yahoo.co.jp/articles/a9e1e7a9628ed6165bba1ed124b7816c5198f3be?page=2
実際に半径１の円の面積を積分で求めて、どこが循環論法になっているか解説して下さい。
おまけ：
「ところで、円の面積公式の厳密な証明について、よく「高校数学で習う積分を使うと証明できる」と言う人がいる。
しかし、その説明方法には大きな欠陥が潜んでいて、三角関数の微分積分の出発点にある極限に関する公式を用いている。
ところが、この式の証明では扇形の面積公式、すなわち円の面積公式を用いている。それゆえ、円の面積公式から円の面積公式を導く“循環論法”に陥っているので、重大な欠陥論法である。」
引用元：https://news.yahoo.co.jp/articles/a9e1e7a9628ed6165bba1ed124b7816c5198f3be?page=2
実際に半径１の円の面積を積分で求めて、どこが循環論法になっているか解説して下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/29 07:56削除解説
半径１の単位円の方程式は、ｘ^2＋ｙ^2＝１ よって、第１象限だけに限れば、ｙ＝√(１－ｘ^2)で表される。
よって、円の面積をＳとすると、
Ｓ＝４∫(0~1)√(１－ｘ^2)ｄｘ———☆
これを置換積分でｘ＝sinθと置いて、この両辺をθで微分すると、ｄｘ/ｄθ＝cosθ ∴ｄｘ＝cosθｄθ———①
また、１＝sinθと置くと、θ＝π/２ ０＝sinθと置くと、θ＝０———②
①，②を☆に代入すると、
Ｓ＝４∫(0~π/2)√{１－(sinθ)^2}cosθｄθ
＝４∫(0~π/2)(cosθ)^2ｄθ
＝４∫(0~π/2){(１＋cos２θ)/２}ｄθ
＝２∫(0~π/2)(１＋cos２θ)ｄθ
＝２[θ＋sin２θ/２](0~π/2)
＝２（π/２＋０－０－０）＝π
∴Ｓ＝π
一方、Ｓ＝１×１×π＝πよりＯＫ。（一応、何も見ないで導きました。まぁ、記憶しているだけですが。）
ところで、sinを微分するとcosになるが、この過程を見ると（面倒くさいので他のサイトから引用する）、
https://hiraocafe.com/note/differential_of_sinx.html
（私の手元の参考書は和と積の公式を使っていて、そっちの方が簡単である。）
lim(h→0)(sinｈ/ｈ)＝１を使っている事が分かるだろう。
これを導く時にラジアンによる扇形の面積の公式を利用しているのである。こちらのサイトの図を参照して下さい。https://manabitimes.jp/math/669
因みに、今朝、たまたま見つけたのだが、これを使えば循環論法にならないのではないだろうか。ただし、厳密な証明とは言えないと思うが。
https://www.headboost.jp/derivative-of-sinx/#:~:text=2.-,sin%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AFcos,%E3%81%AF%20cos%20%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8A%E3%81%BE%E3%81%99%E3%80%82
また、lim(h→0)(sinｈ/ｈ)＝１の定理自体、循環論法説もあるらしい。https://todai-counseling.com/?p=461（そうでない方法でも証明していますね。）
結論として、これ以上深堀しないが、
「ところで、円の面積公式の厳密な証明について、よく「高校数学で習う積分を使うと証明できる」と言う人がいる。
しかし、その説明方法には大きな欠陥が潜んでいて、三角関数の微分積分の出発点にある極限に関する公式を用いている。
ところが、この式の証明では扇形の面積公式、すなわち円の面積公式を用いている。それゆえ、円の面積公式から円の面積公式を導く“循環論法”に陥っているので、重大な欠陥論法である。」
「重大な欠陥論法」ではない可能性もあるのではないだろうか。
おまけ：
半径１の単位円の方程式は、ｘ^2＋ｙ^2＝１ よって、第１象限だけに限れば、ｙ＝√(１－ｘ^2)で表される。
よって、円の面積をＳとすると、
Ｓ＝４∫(0~1)√(１－ｘ^2)ｄｘ———☆
これを置換積分でｘ＝sinθと置いて、この両辺をθで微分すると、ｄｘ/ｄθ＝cosθ ∴ｄｘ＝cosθｄθ———①
また、１＝sinθと置くと、θ＝π/２ ０＝sinθと置くと、θ＝０———②
①，②を☆に代入すると、
Ｓ＝４∫(0~π/2)√{１－(sinθ)^2}cosθｄθ
＝４∫(0~π/2)(cosθ)^2ｄθ
＝４∫(0~π/2){(１＋cos２θ)/２}ｄθ
＝２∫(0~π/2)(１＋cos２θ)ｄθ
＝２[θ＋sin２θ/２](0~π/2)
＝２（π/２＋０－０－０）＝π
∴Ｓ＝π
一方、Ｓ＝１×１×π＝πよりＯＫ。（一応、何も見ないで導きました。まぁ、記憶しているだけですが。）
ところで、sinを微分するとcosになるが、この過程を見ると（面倒くさいので他のサイトから引用する）、
https://hiraocafe.com/note/differential_of_sinx.html
（私の手元の参考書は和と積の公式を使っていて、そっちの方が簡単である。）
lim(h→0)(sinｈ/ｈ)＝１を使っている事が分かるだろう。
これを導く時にラジアンによる扇形の面積の公式を利用しているのである。こちらのサイトの図を参照して下さい。https://manabitimes.jp/math/669
因みに、今朝、たまたま見つけたのだが、これを使えば循環論法にならないのではないだろうか。ただし、厳密な証明とは言えないと思うが。
https://www.headboost.jp/derivative-of-sinx/#:~:text=2.-,sin%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%81%AFcos,%E3%81%AF%20cos%20%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8A%E3%81%BE%E3%81%99%E3%80%82
また、lim(h→0)(sinｈ/ｈ)＝１の定理自体、循環論法説もあるらしい。https://todai-counseling.com/?p=461（そうでない方法でも証明していますね。）
結論として、これ以上深堀しないが、
「ところで、円の面積公式の厳密な証明について、よく「高校数学で習う積分を使うと証明できる」と言う人がいる。
しかし、その説明方法には大きな欠陥が潜んでいて、三角関数の微分積分の出発点にある極限に関する公式を用いている。
ところが、この式の証明では扇形の面積公式、すなわち円の面積公式を用いている。それゆえ、円の面積公式から円の面積公式を導く“循環論法”に陥っているので、重大な欠陥論法である。」
「重大な欠陥論法」ではない可能性もあるのではないだろうか。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/26 17:04 (No.885993)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907300000/
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907260001/
問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907260000/
問題４
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907250000/
問題４は頭の中だけでは無理だと思います。もっとも、目が見えなくて数学をする人はそれが普通だと思いますが。凄いですよね。尊敬。地頭がどうのとか言っている人は爪の垢を煎じて飲んだ方が良い。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907300000/
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907260001/
問題３
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907260000/
問題４
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201907250000/
問題４は頭の中だけでは無理だと思います。もっとも、目が見えなくて数学をする人はそれが普通だと思いますが。凄いですよね。尊敬。地頭がどうのとか言っている人は爪の垢を煎じて飲んだ方が良い。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 07:56削除問題１の解答
Ｏと接点２か所を結ぶと、右下に出来る四角形は、３直角から長方形で半径から隣り合う２辺の長さが等しいので、正方形になる。
また、右上の直角三角形（左下の直角三角形でも良い）は全体の大きな直角三角形と相似である。
よって、直角を挟む二辺の比が１：２より、２辺を①，②と置くと、正方形より②の方は縦に変換でき、①＋②＝３ｃｍとなる。よって、③＝３ｃｍより、①＝１ｃｍ
よって、半径＝②＝２ｃｍ ところで、黄色部分の面積は直角三角形から半円の面積を引いたものなので、
黄色部分＝３×６÷２－２×２×３.１４÷２＝９－６.２８＝２.７２ｃｍ^2
よって、答えは、２.７２ｃｍ^2
一応、「左下の直角三角形でも良い」でやると、①＋②＝６ｃｍより、①＝２ｃｍ よって、半径は２ｃｍとこっちの方が速かった。
問題２
１０から時計回りに１つ置きに考えると、
１０，１１，１３，１６，？，２５，３１で、
この階差を取ると、１，２，３，□，□，６より、
□を４，５とすると、？＝２０で合う。
よって、答えは、２０
問題３
条件より、
内側の弧＋外側の弧＝２４－５×２＝１４ｃｍ
よって、そのど真ん中の弧の長さは平均より、
(内側の弧＋外側の弧)÷２＝１４÷２＝７ｃｍ
ここで、黄色部分をまっすぐに伸ばして長方形の面積で考えると、答えは、５×７＝３５ｃｍ^2
しかし、そんな事をして良いのか？ 伸ばしたら面積に影響は出ないのか？ 一応、普通の方法でも裏を取ろう。中学数学で求めても良いが、ラジアンの公式を使う事にする。
半径をｒ，中心角をθ，弧の長さをｌ，弧の面積をＳと置くと、公式より、ｌ＝ｒθ，Ｓ＝(１/２)ｒ^2・θ（Ｓ＝(１/２)ｒｌ）
∴黄色部分＝(１/２)(ｒ＋５)^2・θ－(１/２)ｒ^2・θ
＝(１/２)(１０ｒ＋２５)θ＝(５/２)(２ｒ＋５)θ
∴黄色部分＝(５/２)(２ｒ＋５)θ———①
また、ｌ＝ｒθより、ｒθ＋(ｒ＋５)θ＋５×２＝２４
∴(２ｒ＋５)θ＝１４———②
②を①に代入すると、黄色部分＝(５/２)×１４＝３５
よって、答えは、３５ｃｍ^2
よって、ＯＫ。因みに、似たような便利な方法にパップス・ギュルダンの定理というのがあるので紹介しておこう。https://manabitimes.jp/math/874
念のため、便利という事だけの共通点である。
おまけ：
https://www.jiji.com/jc/article?k=2023082600339&g=int
Ｏと接点２か所を結ぶと、右下に出来る四角形は、３直角から長方形で半径から隣り合う２辺の長さが等しいので、正方形になる。
また、右上の直角三角形（左下の直角三角形でも良い）は全体の大きな直角三角形と相似である。
よって、直角を挟む二辺の比が１：２より、２辺を①，②と置くと、正方形より②の方は縦に変換でき、①＋②＝３ｃｍとなる。よって、③＝３ｃｍより、①＝１ｃｍ
よって、半径＝②＝２ｃｍ ところで、黄色部分の面積は直角三角形から半円の面積を引いたものなので、
黄色部分＝３×６÷２－２×２×３.１４÷２＝９－６.２８＝２.７２ｃｍ^2
よって、答えは、２.７２ｃｍ^2
一応、「左下の直角三角形でも良い」でやると、①＋②＝６ｃｍより、①＝２ｃｍ よって、半径は２ｃｍとこっちの方が速かった。
問題２
１０から時計回りに１つ置きに考えると、
１０，１１，１３，１６，？，２５，３１で、
この階差を取ると、１，２，３，□，□，６より、
□を４，５とすると、？＝２０で合う。
よって、答えは、２０
問題３
条件より、
内側の弧＋外側の弧＝２４－５×２＝１４ｃｍ
よって、そのど真ん中の弧の長さは平均より、
(内側の弧＋外側の弧)÷２＝１４÷２＝７ｃｍ
ここで、黄色部分をまっすぐに伸ばして長方形の面積で考えると、答えは、５×７＝３５ｃｍ^2
しかし、そんな事をして良いのか？ 伸ばしたら面積に影響は出ないのか？ 一応、普通の方法でも裏を取ろう。中学数学で求めても良いが、ラジアンの公式を使う事にする。
半径をｒ，中心角をθ，弧の長さをｌ，弧の面積をＳと置くと、公式より、ｌ＝ｒθ，Ｓ＝(１/２)ｒ^2・θ（Ｓ＝(１/２)ｒｌ）
∴黄色部分＝(１/２)(ｒ＋５)^2・θ－(１/２)ｒ^2・θ
＝(１/２)(１０ｒ＋２５)θ＝(５/２)(２ｒ＋５)θ
∴黄色部分＝(５/２)(２ｒ＋５)θ———①
また、ｌ＝ｒθより、ｒθ＋(ｒ＋５)θ＋５×２＝２４
∴(２ｒ＋５)θ＝１４———②
②を①に代入すると、黄色部分＝(５/２)×１４＝３５
よって、答えは、３５ｃｍ^2
よって、ＯＫ。因みに、似たような便利な方法にパップス・ギュルダンの定理というのがあるので紹介しておこう。https://manabitimes.jp/math/874
念のため、便利という事だけの共通点である。
おまけ：
https://www.jiji.com/jc/article?k=2023082600339&g=int
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 20:34削除問題４の解答
３点Ｂ'，Ｄ'，Ｃが一直線になった図を描き、
正方形ＡＢ'Ｃ'Ｄ'の中心をＯ'とすると、３点Ｏ，Ｄ'，Ｃは一直線上にあり、Ｂ'Ｄ'⊥ＡＯ'
また、ＡＯ'：ＡＣ＝１：２より、△ＡＯ'Ｃは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠ＣＡＯ'＝６０°また、正方形ＡＢＣＤの中心をＯとすると、∠ＯＡＯ'＝６０°という事である。
よって、答えは、６０°
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/4bba150f9646137b5a05d6c72c7d5e9ebe4688bf
３点Ｂ'，Ｄ'，Ｃが一直線になった図を描き、
正方形ＡＢ'Ｃ'Ｄ'の中心をＯ'とすると、３点Ｏ，Ｄ'，Ｃは一直線上にあり、Ｂ'Ｄ'⊥ＡＯ'
また、ＡＯ'：ＡＣ＝１：２より、△ＡＯ'Ｃは３０°，６０°，９０°の直角三角定規型である。
よって、∠ＣＡＯ'＝６０°また、正方形ＡＢＣＤの中心をＯとすると、∠ＯＡＯ'＝６０°という事である。
よって、答えは、６０°
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/4bba150f9646137b5a05d6c72c7d5e9ebe4688bf
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 11:34 (No.887663)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
証明
ｘ∈ℝに対して、ｘ－[ｘ]＝ｒとおけば、０≦ｒ＜１である。ゆえに、ｘ＝[ｘ]＋ｒ（０≦ｒ＜１）と表される。このとき、次の性質がある。
（１）０≦ｒ＜１より[ｘ]≦[ｘ]＋ｒ＜[ｘ]＋１ ゆえに、[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒[ｙ]≦[ｘ]：ｘとｙをそれぞれ、
ｘ＝[ｘ]＋ｒ，０≦ｒ＜１ ｙ＝[ｙ]＋ｒ'，０≦ｒ'＜１
と表す。仮定より[ｙ]＋ｒ'≦[ｘ]＋ｒであるから、[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０ ゆえに、[ｙ]≦[ｘ]を得る。
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒[ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ：ｘ＝[ｘ]＋ｒ，０≦ｒ＜１であるから[ｘ＋ａ]＝[[ｘ]＋ａ＋ｒ]＝[ｘ]＋ａを得る。
（４）除法の定理1.5よりａ＝ｂｑ＋ｒ（ｑ,ｒ∈ℤ，０≦ｒ＜ｂ）と表される。これより、ａ/ｂ＝ｑ＋ｒ/ｂ（０≦ｒ/ｂ＜１） ゆえに、[ａ/ｂ]＝[ｑ＋ｒ/ｂ]＝ｑであるからｒ＝ａ－[ａ/ｂ]ｂ したがって、ａ＝ｑｂ＋ｒ＝[ａ/ｂ]ｂ＋ｒ＝[ａ/ｂ]ｂ＋ａ－[ａ/ｂ]ｂ
定理1.5（除法の定理）
ａ,ｂを整数で、ｂ＞０とすると、
ａ＝ｑｂ＋ｒ，０≦ｒ＜ｂ
を満足する整数ｑ,ｒが存在する。しかも、ｑ,ｒはａ,ｂにより一意的に定まる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、
＞[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０
別に難しくありませんが、誰でも分かるように解説して下さい。
また、（１）～（４）に別解を作ってみました。
ただし、以前の、
問1.23
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
しかし、ｎとａが互いに素でｎとｂが互いに素ならば、ａ,ｂ共にｎと共通因数がないので、それらを掛け合わせたａｂもｎと互いに素に決まっているね。（2023/8/22 13:47からの引用）
的な別解も含まれます。念のため、前回は別解扱いはしなかった。
おまけ：
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
証明
ｘ∈ℝに対して、ｘ－[ｘ]＝ｒとおけば、０≦ｒ＜１である。ゆえに、ｘ＝[ｘ]＋ｒ（０≦ｒ＜１）と表される。このとき、次の性質がある。
（１）０≦ｒ＜１より[ｘ]≦[ｘ]＋ｒ＜[ｘ]＋１ ゆえに、[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒[ｙ]≦[ｘ]：ｘとｙをそれぞれ、
ｘ＝[ｘ]＋ｒ，０≦ｒ＜１ ｙ＝[ｙ]＋ｒ'，０≦ｒ'＜１
と表す。仮定より[ｙ]＋ｒ'≦[ｘ]＋ｒであるから、[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０ ゆえに、[ｙ]≦[ｘ]を得る。
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒[ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ：ｘ＝[ｘ]＋ｒ，０≦ｒ＜１であるから[ｘ＋ａ]＝[[ｘ]＋ａ＋ｒ]＝[ｘ]＋ａを得る。
（４）除法の定理1.5よりａ＝ｂｑ＋ｒ（ｑ,ｒ∈ℤ，０≦ｒ＜ｂ）と表される。これより、ａ/ｂ＝ｑ＋ｒ/ｂ（０≦ｒ/ｂ＜１） ゆえに、[ａ/ｂ]＝[ｑ＋ｒ/ｂ]＝ｑであるからｒ＝ａ－[ａ/ｂ]ｂ したがって、ａ＝ｑｂ＋ｒ＝[ａ/ｂ]ｂ＋ｒ＝[ａ/ｂ]ｂ＋ａ－[ａ/ｂ]ｂ
定理1.5（除法の定理）
ａ,ｂを整数で、ｂ＞０とすると、
ａ＝ｑｂ＋ｒ，０≦ｒ＜ｂ
を満足する整数ｑ,ｒが存在する。しかも、ｑ,ｒはａ,ｂにより一意的に定まる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、
＞[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０
別に難しくありませんが、誰でも分かるように解説して下さい。
また、（１）～（４）に別解を作ってみました。
ただし、以前の、
問1.23
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
しかし、ｎとａが互いに素でｎとｂが互いに素ならば、ａ,ｂ共にｎと共通因数がないので、それらを掛け合わせたａｂもｎと互いに素に決まっているね。（2023/8/22 13:47からの引用）
的な別解も含まれます。念のため、前回は別解扱いはしなかった。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/28 13:33削除解説
＞[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０
０≦ｒ＜１———① ０≦ｒ'＜１———②
②×－１より、０≧－ｒ'＞－１ ∴－１＜－ｒ'≦０———②'
①＋②'より、－１＜ｒ－ｒ'＜１
ところで、[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ'
この左辺は整数より、[ｙ]－[ｘ]≦０ ∴[ｙ]≦[ｘ]
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
別解
（１）ｘ＝ａ＋ｂ———①
（ａは整数，ｂは正の小数(０≦ｂ＜１)）と置くと、
[ｘ]＝[ａ＋ｂ]＝ａ———②
また、０≦ｂ＜１の全ての辺にａを加えると、
ａ≦ａ＋ｂ＜ａ＋１———③
①，②を③に代入すると、
[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１ よって、示された。
念のため、模範解答の後付けで作った訳ではありません。
（２）（１）より、[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
また、[ｙ]≦ｙ＜[ｙ]＋１
ここで条件より、ｙ≦ｘなので、左辺同士，右辺同士も、[ｙ]≦[ｘ]，[ｘ]＋１≦[ｙ]＋１である。
（これはガウス記号の性質より自明とする。）
∴[ｙ]≦[ｘ] よって、示された。
（３）ｘ＝ｐ＋ｑ（ｐは整数でｑは小数(０≦ｑ＜１)）と置くと、ｘ＋ａ＝ｐ＋ｑ＋ａ＝(ｐ＋ａ)＋ｑ
∴[ｘ＋ａ]＝[(ｐ＋ａ)＋ｑ]
ここで、ｐ＋ａは整数で０≦ｑ＜１より、
[ｘ＋ａ]＝ｐ＋ａ———①
ところで、[ｘ]＝[ｐ＋ｑ]＝ｐ———②
②を①に代入すると、[ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
よって、示された。
念のため、これも模範解答の後付けで作った訳ではありません。
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
この右辺の括弧を外せば、ａ＝ａで成り立つ。
よって、示された。
因みに、[ｂ/ａ]ｂにしようが何にしようが相殺されるので成り立ちますが、一応、[ｂ/ａ]ｂの時点では何でも整数ですね。別に[ａ/ｂ]ｂや[ｂ/ａ]ａとしても特に意味はありませんね。（この命題自体に何か意味があるのでしょうか？）
おまけ：
＞[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ' ここで、ｒ－ｒ'＜１より[ｙ]－[ｘ]≦０
０≦ｒ＜１———① ０≦ｒ'＜１———②
②×－１より、０≧－ｒ'＞－１ ∴－１＜－ｒ'≦０———②'
①＋②'より、－１＜ｒ－ｒ'＜１
ところで、[ｙ]－[ｘ]≦ｒ－ｒ'
この左辺は整数より、[ｙ]－[ｘ]≦０ ∴[ｙ]≦[ｘ]
演習問題９
ｘを任意の実数とするとき、ｘを超えない整数すべての集合において最大のものを記号[ｘ]で表す。これをガウス記号という。このとき、次を証明せよ。
（１）[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
（２）ｙ≦ｘ⇒ [ｙ]≦[ｘ]
（３）ｘ∈ℝ，ａ∈ℤ⇒ [ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
別解
（１）ｘ＝ａ＋ｂ———①
（ａは整数，ｂは正の小数(０≦ｂ＜１)）と置くと、
[ｘ]＝[ａ＋ｂ]＝ａ———②
また、０≦ｂ＜１の全ての辺にａを加えると、
ａ≦ａ＋ｂ＜ａ＋１———③
①，②を③に代入すると、
[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１ よって、示された。
念のため、模範解答の後付けで作った訳ではありません。
（２）（１）より、[ｘ]≦ｘ＜[ｘ]＋１
また、[ｙ]≦ｙ＜[ｙ]＋１
ここで条件より、ｙ≦ｘなので、左辺同士，右辺同士も、[ｙ]≦[ｘ]，[ｘ]＋１≦[ｙ]＋１である。
（これはガウス記号の性質より自明とする。）
∴[ｙ]≦[ｘ] よって、示された。
（３）ｘ＝ｐ＋ｑ（ｐは整数でｑは小数(０≦ｑ＜１)）と置くと、ｘ＋ａ＝ｐ＋ｑ＋ａ＝(ｐ＋ａ)＋ｑ
∴[ｘ＋ａ]＝[(ｐ＋ａ)＋ｑ]
ここで、ｐ＋ａは整数で０≦ｑ＜１より、
[ｘ＋ａ]＝ｐ＋ａ———①
ところで、[ｘ]＝[ｐ＋ｑ]＝ｐ———②
②を①に代入すると、[ｘ＋ａ]＝[ｘ]＋ａ
よって、示された。
念のため、これも模範解答の後付けで作った訳ではありません。
（４）ａ,ｂ∈ℤ，ｂ＞０，ａ＝[ａ/ｂ]ｂ＋(ａ－[ａ/ｂ]ｂ)
この右辺の括弧を外せば、ａ＝ａで成り立つ。
よって、示された。
因みに、[ｂ/ａ]ｂにしようが何にしようが相殺されるので成り立ちますが、一応、[ｂ/ａ]ｂの時点では何でも整数ですね。別に[ａ/ｂ]ｂや[ｂ/ａ]ａとしても特に意味はありませんね。（この命題自体に何か意味があるのでしょうか？）
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/26 14:31 (No.885865)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/27 07:58削除解法１
∠ＢＤＣ＝∠ＢＥＣより円周角の定理の逆により、４点Ｄ，Ｂ，Ｃ，Ｅは同一円周上にある。
よって、四角形ＤＢＣＥは円に内接する四角形。
∴∠ＤＥＡ＝∠ＤＢＣ
ところで、△ＤＢＣは直角二等辺三角形より∠ＤＢＣ＝４５°∴∠ＤＥＡ＝４５°
よって、答えは、４５°
解法２
ＢＤの延長とＡＣとの交点をＦとすると、ＦＢ⊥ＣＤ，ＦＣ⊥ＢＥより、ＢＥとＣＤの交点をＨとすると、点Ｈは△ＦＢＣの垂心である。
よって、ＦＨの延長とＢＣとの交点をＧとすると、ＦＧ⊥ＢＣ ∴∠ＨＧＣ＝９０°
ところで、△ＤＢＣは直角二等辺三角形より∠ＤＣＢ＝４５°∴∠ＨＣＧ＝４５°∴∠ＣＨＧ＝４５°
よって、対頂角より∠ＤＨＦ＝４５°
また、∠ＦＤＨ＝∠ＦＥＨ＝９０°より四角形ＦＤＨＥは円に内接する四角形。よって、円周角より∠ＤＥＦ＝∠ＤＨＦ＝４５°よって、答えは、４５°
因みに、ＡＢ＝ＡＣとなっているが、全く意味がない。むしろ、惑わせているのだろうか。
因みに、解法１の系なら色々作れる。
１つだけ挙げると、
△ＥＤＣの内対角の和より∠ＡＥＤ＝∠ＥＤＣ＋∠ＥＣＤで、円周角より＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ＝４５°となる。
おまけ：
∠ＢＤＣ＝∠ＢＥＣより円周角の定理の逆により、４点Ｄ，Ｂ，Ｃ，Ｅは同一円周上にある。
よって、四角形ＤＢＣＥは円に内接する四角形。
∴∠ＤＥＡ＝∠ＤＢＣ
ところで、△ＤＢＣは直角二等辺三角形より∠ＤＢＣ＝４５°∴∠ＤＥＡ＝４５°
よって、答えは、４５°
解法２
ＢＤの延長とＡＣとの交点をＦとすると、ＦＢ⊥ＣＤ，ＦＣ⊥ＢＥより、ＢＥとＣＤの交点をＨとすると、点Ｈは△ＦＢＣの垂心である。
よって、ＦＨの延長とＢＣとの交点をＧとすると、ＦＧ⊥ＢＣ ∴∠ＨＧＣ＝９０°
ところで、△ＤＢＣは直角二等辺三角形より∠ＤＣＢ＝４５°∴∠ＨＣＧ＝４５°∴∠ＣＨＧ＝４５°
よって、対頂角より∠ＤＨＦ＝４５°
また、∠ＦＤＨ＝∠ＦＥＨ＝９０°より四角形ＦＤＨＥは円に内接する四角形。よって、円周角より∠ＤＥＦ＝∠ＤＨＦ＝４５°よって、答えは、４５°
因みに、ＡＢ＝ＡＣとなっているが、全く意味がない。むしろ、惑わせているのだろうか。
因みに、解法１の系なら色々作れる。
１つだけ挙げると、
△ＥＤＣの内対角の和より∠ＡＥＤ＝∠ＥＤＣ＋∠ＥＣＤで、円周角より＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ＝４５°となる。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 20:37 (No.884188)削除問題１
https://www.excite.co.jp/news/article/E1692199790227/
何でもありの別解を作って下さい。
問題２
https://www.excite.co.jp/news/article/E1692199575120/
普通に別解と何でもありでも解いて下さい。
おまけ：
https://www.excite.co.jp/news/article/E1692199790227/
何でもありの別解を作って下さい。
問題２
https://www.excite.co.jp/news/article/E1692199575120/
普通に別解と何でもありでも解いて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/26 07:56削除問題１の別解
正方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、正方形の内部の点をＥとする。
ここで、∠ＥＣＤ＝●と置くと、△ＥＣＤの内角の和より、∠ＥＤＣ＝９０°－●
よって、∠ＥＤＡ＝９０°－(９０°－●)＝●
よって、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＡ
今、ＥからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＥＨ＝ｘｃｍ，正方形の１辺の長さをｙｃｍと置くと、直角と●の２角が等しいので、△ＣＤＥ∽△ＤＥＨ よって、
ｙ：６＝６：ｘが成り立つ。∴ｘｙ＝３６———①
また、△ＥＡＤ＝ｘｙ/２———②
①を②に代入すると、△ＥＡＤ＝１８ｃｍ^2
よって、グレー部分の面積は、１８ｃｍ^2
問題２の別解
ＡＢ＋ＢＣ＝６ｃｍより、ＡＢの延長上にＢＣ'＝ＢＣとなる点Ｃ'を取ると、ＡＣ'＝６ｃｍ
また、△ＣＢＣ'は直角二等辺三角形になるので、∠ＣＣ'Ｂ＝４５°
ここで、正方形の右上の頂点をＤとすると、∠ＡＤＢ＝４５°より、∠ＡＤＣ＝∠ＡＣ'Ｃ
また、∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＣ'より、２角が等しいので△ＣＡＤと△ＣＡＣ'は相似で、ＡＣを共有しているので合同である。
よって、ＡＤ＝ＡＣ'＝６ｃｍ
ところで、正方形の面積は対角線×対角線÷２より、
答えは、６×６÷２＝１８ｃｍ^2
何でもありの解法
右上の頂点をＤとし、正方形の１辺の長さをｘとすると、ＡＤ＝√２ｘｃｍ
ここで、△ＡＤＢで角の二等分線の定理を使うと、
ＤＣ：ＣＢ＝ＡＤ：ＡＢ＝√２：１
∴ＢＣ＝{１/(√２＋１)}ＤＢ＝ｘ/(√２＋１)ｃｍ
よって、条件より、
ｘ＋ｘ/(√２＋１)＝６が成り立つ。
∴(√２＋１)ｘ＋ｘ＝６(√２＋１)
∴(√２＋２)ｘ＝６(√２＋１)
∴ｘ＝６(１＋√２)/(２＋√２)
＝３(１＋√２)(２－√２)
＝３(２－√２＋２√２－２)＝３√２
∴ｘ^2＝１８
よって、答えは、１８ｃｍ^2
おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/sports/other/%E5%96%A7%E5%98%A9%EF%BC%93%EF%BC%90%EF%BC%90%EF%BC%90%E6%88%A6%E7%84%A1%E6%95%97%E3%81%AE%E6%89%80%E6%B2%A2%E3%81%AE%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%82%BD%E3%83%B3-%E3%81%82%E3%82%93%E3%81%AA%E8%8C%B6%E7%95%AA%E3%82%84%E3%81%A3%E3%81%A6%E3%82%89%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%8B%E3%82%88-%EF%BD%82%EF%BD%92%EF%BD%85%EF%BD%81%EF%BD%8B%EF%BD%89%EF%BD%8E%EF%BD%87%EF%BD%84%EF%BD%8F%EF%BD%97%EF%BD%8E%E4%BC%9A%E8%A6%8B%E3%83%89%E3%82%BF%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3-%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%82%82%E3%82%B9%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%81%A0%E3%82%88/ar-AA1fLtJi?ocid=msedgntp&cvid=c0ea3bce89314c218be5d394a3581717&ei=31
正方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、正方形の内部の点をＥとする。
ここで、∠ＥＣＤ＝●と置くと、△ＥＣＤの内角の和より、∠ＥＤＣ＝９０°－●
よって、∠ＥＤＡ＝９０°－(９０°－●)＝●
よって、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＡ
今、ＥからＡＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＥＨ＝ｘｃｍ，正方形の１辺の長さをｙｃｍと置くと、直角と●の２角が等しいので、△ＣＤＥ∽△ＤＥＨ よって、
ｙ：６＝６：ｘが成り立つ。∴ｘｙ＝３６———①
また、△ＥＡＤ＝ｘｙ/２———②
①を②に代入すると、△ＥＡＤ＝１８ｃｍ^2
よって、グレー部分の面積は、１８ｃｍ^2
問題２の別解
ＡＢ＋ＢＣ＝６ｃｍより、ＡＢの延長上にＢＣ'＝ＢＣとなる点Ｃ'を取ると、ＡＣ'＝６ｃｍ
また、△ＣＢＣ'は直角二等辺三角形になるので、∠ＣＣ'Ｂ＝４５°
ここで、正方形の右上の頂点をＤとすると、∠ＡＤＢ＝４５°より、∠ＡＤＣ＝∠ＡＣ'Ｃ
また、∠ＣＡＤ＝∠ＣＡＣ'より、２角が等しいので△ＣＡＤと△ＣＡＣ'は相似で、ＡＣを共有しているので合同である。
よって、ＡＤ＝ＡＣ'＝６ｃｍ
ところで、正方形の面積は対角線×対角線÷２より、
答えは、６×６÷２＝１８ｃｍ^2
何でもありの解法
右上の頂点をＤとし、正方形の１辺の長さをｘとすると、ＡＤ＝√２ｘｃｍ
ここで、△ＡＤＢで角の二等分線の定理を使うと、
ＤＣ：ＣＢ＝ＡＤ：ＡＢ＝√２：１
∴ＢＣ＝{１/(√２＋１)}ＤＢ＝ｘ/(√２＋１)ｃｍ
よって、条件より、
ｘ＋ｘ/(√２＋１)＝６が成り立つ。
∴(√２＋１)ｘ＋ｘ＝６(√２＋１)
∴(√２＋２)ｘ＝６(√２＋１)
∴ｘ＝６(１＋√２)/(２＋√２)
＝３(１＋√２)(２－√２)
＝３(２－√２＋２√２－２)＝３√２
∴ｘ^2＝１８
よって、答えは、１８ｃｍ^2
おまけ：
https://www.msn.com/ja-jp/sports/other/%E5%96%A7%E5%98%A9%EF%BC%93%EF%BC%90%EF%BC%90%EF%BC%90%E6%88%A6%E7%84%A1%E6%95%97%E3%81%AE%E6%89%80%E6%B2%A2%E3%81%AE%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%82%BD%E3%83%B3-%E3%81%82%E3%82%93%E3%81%AA%E8%8C%B6%E7%95%AA%E3%82%84%E3%81%A3%E3%81%A6%E3%82%89%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%8B%E3%82%88-%EF%BD%82%EF%BD%92%EF%BD%85%EF%BD%81%EF%BD%8B%EF%BD%89%EF%BD%8E%EF%BD%87%EF%BD%84%EF%BD%8F%EF%BD%97%EF%BD%8E%E4%BC%9A%E8%A6%8B%E3%83%89%E3%82%BF%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%B3-%E8%A8%88%E9%87%8F%E3%82%82%E3%82%B9%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%81%A0%E3%82%88/ar-AA1fLtJi?ocid=msedgntp&cvid=c0ea3bce89314c218be5d394a3581717&ei=31
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/25 11:07 (No.884677)削除問題
自然数nに対し、r(n)を、十進数表記で1をn個並べてできる自然数とする。例えばr(2)=11, r(5)=11111である。
(1) r(n)をnの式で表せ。
(2) kを自然数とするとき、次を示せ。
「r(n)が3^kの倍数 ⇔ nが3^kの倍数」
引用元：https://twitter.com/math_TomoK/status/1694575285759582263
（１）は簡単です。（２）はちょっと難しいと思います。因みに、こちらの方とは違うやり方です。https://twitter.com/K_Nagatoshi/status/1476775204114546692
おまけ：
自然数nに対し、r(n)を、十進数表記で1をn個並べてできる自然数とする。例えばr(2)=11, r(5)=11111である。
(1) r(n)をnの式で表せ。
(2) kを自然数とするとき、次を示せ。
「r(n)が3^kの倍数 ⇔ nが3^kの倍数」
引用元：https://twitter.com/math_TomoK/status/1694575285759582263
（１）は簡単です。（２）はちょっと難しいと思います。因みに、こちらの方とは違うやり方です。https://twitter.com/K_Nagatoshi/status/1476775204114546692
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/25 20:04削除問題
自然数nに対し、r(n)を、十進数表記で1をn個並べてできる自然数とする。例えばr(2)=11, r(5)=11111である。
(1) r(n)をnの式で表せ。
(2) kを自然数とするとき、次を示せ。
「r(n)が3^kの倍数 ⇔ nが3^kの倍数」
解答
（１）
ｒ(ｎ)＝１０^(n-1)＋１０^(n-2)＋…＋１０＋１
（２）数学的帰納法で示す。
（ⅰ）ｋ＝１の時、「r(n)が3の倍数⇔nが3の倍数」を示す。
（ア）r(n)が3の倍数⇒nが3の倍数の証明
r(n)が3の倍数より、111…1（1がn個）が３の倍数。よって、３の倍数の判定法の逆により１＋１＋１＋…＋１は３の倍数。 よって、１の個数が３の倍数。よって、ｎが３の倍数。よって、示された。
（イ）nが3の倍数⇒r(n)が3の倍数の証明
nが3の倍数より、111…1の１の個数が３の倍数。よって、１＋１＋１＋…＋１も３の倍数。よって、３の倍数の判定法によりr(n)＝111…1は３の倍数。よって、示された。
（ア）,（イ）より、ｋ＝１の時、成り立つ。
補足：https://rikeinvest.com/math-a/sanbaisu/
（ⅱ）ｋ＝ｍの時成り立つと仮定すると、
「r(n)が3^mの倍数 ⇔ nが3^mの倍数」
また、ｋ＝ｍ＋１の時、３^(m+1)＝３・３^mより、
ｋ＝ｍの時の３倍で、r(n)＝111…1の３倍より、
r(n)＝111…1|111…1|111…1
（本当は|（区切り）はない。）
帰納法の仮定より、111…1の１の個数は３^mの倍数より、111…1|111…1|111…1の１の個数は３^(m+1)の倍数である。
よって、ｎは３^(m+1)の倍数。
また、111…1|111…1|111…1は111…1で割り切れ、
111…1|111…1|111…1＝111…1×(100…0100…01)となる。（例えば、111111を電卓で11で割れば10101となる事からも分かる。）
ここで、100…0100…01は３の倍数の判定法より３の倍数である。また、帰納法の仮定より111…1は３^mの倍数。よって、111…1|111…1|111…1は３^(m+1)の倍数である。
よって、ｋ＝ｍ＋１の時も成り立つ。
（ⅰ）,（ⅱ）より、数学的帰納法により示された。
因みに、（１）は、等比数列の和の公式を使えば、
r(n)＝(10^n－1)/9と表される。こっちの方が模範解答だろう。ただし、私の方も間違いではないので、このままにしておこう。
おまけ：
https://dmokabusikigaisya.com/2018/06/23/seank-eigo/
自然数nに対し、r(n)を、十進数表記で1をn個並べてできる自然数とする。例えばr(2)=11, r(5)=11111である。
(1) r(n)をnの式で表せ。
(2) kを自然数とするとき、次を示せ。
「r(n)が3^kの倍数 ⇔ nが3^kの倍数」
解答
（１）
ｒ(ｎ)＝１０^(n-1)＋１０^(n-2)＋…＋１０＋１
（２）数学的帰納法で示す。
（ⅰ）ｋ＝１の時、「r(n)が3の倍数⇔nが3の倍数」を示す。
（ア）r(n)が3の倍数⇒nが3の倍数の証明
r(n)が3の倍数より、111…1（1がn個）が３の倍数。よって、３の倍数の判定法の逆により１＋１＋１＋…＋１は３の倍数。 よって、１の個数が３の倍数。よって、ｎが３の倍数。よって、示された。
（イ）nが3の倍数⇒r(n)が3の倍数の証明
nが3の倍数より、111…1の１の個数が３の倍数。よって、１＋１＋１＋…＋１も３の倍数。よって、３の倍数の判定法によりr(n)＝111…1は３の倍数。よって、示された。
（ア）,（イ）より、ｋ＝１の時、成り立つ。
補足：https://rikeinvest.com/math-a/sanbaisu/
（ⅱ）ｋ＝ｍの時成り立つと仮定すると、
「r(n)が3^mの倍数 ⇔ nが3^mの倍数」
また、ｋ＝ｍ＋１の時、３^(m+1)＝３・３^mより、
ｋ＝ｍの時の３倍で、r(n)＝111…1の３倍より、
r(n)＝111…1|111…1|111…1
（本当は|（区切り）はない。）
帰納法の仮定より、111…1の１の個数は３^mの倍数より、111…1|111…1|111…1の１の個数は３^(m+1)の倍数である。
よって、ｎは３^(m+1)の倍数。
また、111…1|111…1|111…1は111…1で割り切れ、
111…1|111…1|111…1＝111…1×(100…0100…01)となる。（例えば、111111を電卓で11で割れば10101となる事からも分かる。）
ここで、100…0100…01は３の倍数の判定法より３の倍数である。また、帰納法の仮定より111…1は３^mの倍数。よって、111…1|111…1|111…1は３^(m+1)の倍数である。
よって、ｋ＝ｍ＋１の時も成り立つ。
（ⅰ）,（ⅱ）より、数学的帰納法により示された。
因みに、（１）は、等比数列の和の公式を使えば、
r(n)＝(10^n－1)/9と表される。こっちの方が模範解答だろう。ただし、私の方も間違いではないので、このままにしておこう。
おまけ：
https://dmokabusikigaisya.com/2018/06/23/seank-eigo/
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/25 11:48 (No.884699)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題７
２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキであることを示せ。２^r＋１の形の素数をフェルマーの素数という。
証明
ｒ＝ｓｋ＝２^e・ｋ，(ｋ,２)＝１，２^e＝ｓとおけば、１≦ｓかつ１≦ｋである。ｒが２のベキでないとすると、ｋは奇数である。このとき、ｋ＝２ｔ＋１とおけば
２^r＋１＝２^sk＋１＝２^(2t+1)s＋１＝(２^s＋１)(２^2ts－２^(2t-1)s＋…＋２^2s－２^s＋１)
と分解される。１＜２^s＋１，１＜２^2ts－２^(2t-1)s＋…＋２^2s－２^s＋１であるから、２^r＋１は素数ではない。対偶によって、２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキになる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
普通の中学生にも分かるように解説して下さい。念のため、「ベキ」とは「累乗」の事と考えて良い。厳密には、累乗は自然数や整数でベキ乗は実数や複素数全般だそうである。
おまけ：
演習問題７
２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキであることを示せ。２^r＋１の形の素数をフェルマーの素数という。
証明
ｒ＝ｓｋ＝２^e・ｋ，(ｋ,２)＝１，２^e＝ｓとおけば、１≦ｓかつ１≦ｋである。ｒが２のベキでないとすると、ｋは奇数である。このとき、ｋ＝２ｔ＋１とおけば
２^r＋１＝２^sk＋１＝２^(2t+1)s＋１＝(２^s＋１)(２^2ts－２^(2t-1)s＋…＋２^2s－２^s＋１)
と分解される。１＜２^s＋１，１＜２^2ts－２^(2t-1)s＋…＋２^2s－２^s＋１であるから、２^r＋１は素数ではない。対偶によって、２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキになる。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
普通の中学生にも分かるように解説して下さい。念のため、「ベキ」とは「累乗」の事と考えて良い。厳密には、累乗は自然数や整数でベキ乗は実数や複素数全般だそうである。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/25 13:27削除解説
演習問題７
２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキであることを示せ。２^r＋１の形の素数をフェルマーの素数という。
解答
まず、ｒを奇数とすると、因数分解の公式より、
２^r＋１＝(２＋１)(２^(r-1)－２^(r-2)＋…－２＋１)
＝３(２^(r-1)－２^(r-2)＋…－２＋１)
となり、素数ではない。
次に、ｒを素因数に奇数を含んだ偶数とする（例えば６とか）と、ｒ＝ｓｔ（ｓは偶数，ｔは奇数）と置け、
２^r＋１＝２^st＋１＝(２^s)^t＋１
＝(２^s＋１){(２^s)^(t-1)－(２^s)^(t-2)＋…－２^s＋１}
となり、これも素数ではない。
よって、ｒが２のベキ乗数でないならば２^r＋１は素数ではない。
（２のベキ乗数は、素因数に奇数を含まない偶数で余事象だから。）
この対偶を取ると、
２^r＋１が素数ならばｒは２のベキ乗数である。
よって、示された。
対偶とか余事象とか知らない人でも、「これも素数ではない。」から、２^r＋１が素数になるにはｒが奇数を含まない偶数しかあり得ない事は分かるだろう。（残りの場合はそれしかないから。）
よって、２^r＋１が素数ならばｒは２のベキ乗数である。
因みに、因数分解の公式はこちら。https://manabitimes.jp/math/576（下の方。）
おまけ：
演習問題７
２^r＋１が素数であれば、ｒは２のベキであることを示せ。２^r＋１の形の素数をフェルマーの素数という。
解答
まず、ｒを奇数とすると、因数分解の公式より、
２^r＋１＝(２＋１)(２^(r-1)－２^(r-2)＋…－２＋１)
＝３(２^(r-1)－２^(r-2)＋…－２＋１)
となり、素数ではない。
次に、ｒを素因数に奇数を含んだ偶数とする（例えば６とか）と、ｒ＝ｓｔ（ｓは偶数，ｔは奇数）と置け、
２^r＋１＝２^st＋１＝(２^s)^t＋１
＝(２^s＋１){(２^s)^(t-1)－(２^s)^(t-2)＋…－２^s＋１}
となり、これも素数ではない。
よって、ｒが２のベキ乗数でないならば２^r＋１は素数ではない。
（２のベキ乗数は、素因数に奇数を含まない偶数で余事象だから。）
この対偶を取ると、
２^r＋１が素数ならばｒは２のベキ乗数である。
よって、示された。
対偶とか余事象とか知らない人でも、「これも素数ではない。」から、２^r＋１が素数になるにはｒが奇数を含まない偶数しかあり得ない事は分かるだろう。（残りの場合はそれしかないから。）
よって、２^r＋１が素数ならばｒは２のベキ乗数である。
因みに、因数分解の公式はこちら。https://manabitimes.jp/math/576（下の方。）
おまけ：
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