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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 20:58 (No.883223)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908010000/
算数で３通り作ってみました。また、ＥＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置いて方程式で解いてみて下さい。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908010000/
算数で３通り作ってみました。また、ＥＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置いて方程式で解いてみて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 07:55削除何でもありの解法
ＥＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置いて△ＥＢＣで三平方の定理を使うと、ＢＥ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)
また、△ＦＢＥは直角二等辺三角形より、
ＦＢ＝ＦＥ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)/√２
∴四角形ＢＣＥＦ＝△ＦＢＥ＋△ＥＢＣ
＝(ｘ^2＋ｙ^2)/４＋ｘｙ/２
＝(ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ)/４
＝(ｘ＋ｙ)^2/４———☆
また、∠Ｆ＝∠Ｃ＝９０°より四角形ＢＣＥＦは円に内接する四角形。
よって、円周角より、∠ＦＣＢ＝∠ＦＥＢ＝４５°
よって、ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＦＨ＝ＣＨ＝５/√２ ∴ＢＨ＝ｙ－５/√２
よって、△ＦＢＨで三平方の定理を使うと、
(５/√２)^2＋(ｙ－５/√２)^2
＝{√(ｘ^2＋ｙ^2)/√２}^2
∴２５/２＋ｙ^2－５√２ｙ＋２５/２
＝(ｘ^2＋ｙ^2)/２
∴ｙ^2－５√２ｙ＋２５＝(ｘ^2＋ｙ^2)/２
∴２ｙ^2－１０√２ｙ＋５０＝ｘ^2＋ｙ^2
∴ｘ^2＝ｙ^2－１０√２ｙ＋５０
∴ｘ^2＝(ｙ－５√２)^2
∴ｘ＝±(ｙ－５√２) ∴ｘ＝±ｙ∓５√２
∴ｘ∓ｙ＝∓５√２
∴ｘ－ｙ＝－５√２，ｘ＋ｙ＝５√２
（ⅰ）ｘ－ｙ＝－５√２の場合、
ｙ－５√２＝ｘ＞０だが、図よりＨＣ＝５/√２＝５√２/２でこの２倍をＢＣから引いたら、ｙ－５√２＜０で不適。（厳密な証明も出来るが省略。）
（ⅱ）ｘ＋ｙ＝５√２の場合、☆に代入すると、
四角形ＢＣＥＦ＝(ｘ＋ｙ)^2/４＝(５√２)^2/４
＝２５/２ｃｍ^2
よって、答えは、１２.５ｃｍ^2
おまけ：
ＥＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙと置いて△ＥＢＣで三平方の定理を使うと、ＢＥ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)
また、△ＦＢＥは直角二等辺三角形より、
ＦＢ＝ＦＥ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)/√２
∴四角形ＢＣＥＦ＝△ＦＢＥ＋△ＥＢＣ
＝(ｘ^2＋ｙ^2)/４＋ｘｙ/２
＝(ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ)/４
＝(ｘ＋ｙ)^2/４———☆
また、∠Ｆ＝∠Ｃ＝９０°より四角形ＢＣＥＦは円に内接する四角形。
よって、円周角より、∠ＦＣＢ＝∠ＦＥＢ＝４５°
よって、ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＦＨ＝ＣＨ＝５/√２ ∴ＢＨ＝ｙ－５/√２
よって、△ＦＢＨで三平方の定理を使うと、
(５/√２)^2＋(ｙ－５/√２)^2
＝{√(ｘ^2＋ｙ^2)/√２}^2
∴２５/２＋ｙ^2－５√２ｙ＋２５/２
＝(ｘ^2＋ｙ^2)/２
∴ｙ^2－５√２ｙ＋２５＝(ｘ^2＋ｙ^2)/２
∴２ｙ^2－１０√２ｙ＋５０＝ｘ^2＋ｙ^2
∴ｘ^2＝ｙ^2－１０√２ｙ＋５０
∴ｘ^2＝(ｙ－５√２)^2
∴ｘ＝±(ｙ－５√２) ∴ｘ＝±ｙ∓５√２
∴ｘ∓ｙ＝∓５√２
∴ｘ－ｙ＝－５√２，ｘ＋ｙ＝５√２
（ⅰ）ｘ－ｙ＝－５√２の場合、
ｙ－５√２＝ｘ＞０だが、図よりＨＣ＝５/√２＝５√２/２でこの２倍をＢＣから引いたら、ｙ－５√２＜０で不適。（厳密な証明も出来るが省略。）
（ⅱ）ｘ＋ｙ＝５√２の場合、☆に代入すると、
四角形ＢＣＥＦ＝(ｘ＋ｙ)^2/４＝(５√２)^2/４
＝２５/２ｃｍ^2
よって、答えは、１２.５ｃｍ^2
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/25 07:57削除算数の解法１
四角形ＢＣＥＦの内角の和より、
∠ＦＢＣ＋∠ＦＥＣ＝３６０°－９０°×２＝１８０°
一方、∠ＦＥＤ＋∠ＦＥＣ＝１８０°より、
∠ＦＢＣ＝∠ＦＥＤである。
ここで、ＦからＢＣ，ＤＣに垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＦＢＨと△ＦＥＩは合同。
よって、ＦＨ＝ＦＩ また、四角形ＦＨＣＩは３直角より内角の和を考えると４直角になる。つまり、長方形。
よって、隣り合う２辺の長さが等しい長方形より、
四角形ＦＨＣＩは正方形である。
ところで、△ＦＢＨと△ＦＥＩは合同より、△ＦＢＨを△ＦＥＩの所に移動させると、四角形ＢＣＥＦの面積は正方形ＦＨＣＩの面積と等しい。
よって、正方形ＦＨＣＩの面積を求めれば良く、対角線の長さが５ｃｍより、
面積は５×５÷２＝１２.５ｃｍ^2
よって、答えは、１２.５ｃｍ^2
算数の解法２
四角形ＢＣＥＦの内角の和より、
∠ＦＢＣ＋∠ＦＥＣ＝３６０°－９０°×２＝１８０°
また、ＦＥ＝ＦＢより、△ＦＣＥを点Ｆを中心にＦＥがＦＢにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、３点Ｃ'，Ｂ，Ｃは一直線上にあり、∠Ｃ'ＦＣ＝９０°となるので、△ＦＣ'Ｃは等辺の長さが５ｃｍの直角二等辺三角形になる。
ところで、四角形ＢＣＥＦの面積は直角二等辺三角形ＦＣ'Ｃの面積と等しいので、これを求めれば良い。
よって、答えは、５×５÷２＝１２.５ｃｍ^2
算数の解法３
四角形ＢＣＦＥを点Ｆを中心にＦＢがＦＥにくっつくまで９０°回転移動コピーをし、点Ｅ，Ｃの行き先をそれぞれＥ'，Ｃ'とすると、３点Ｂ，Ｆ，Ｅ'は一直線上にあり、∠Ｃは直角の台形Ｅ'ＢＣＣ'が出来る。（９０°回転なのでＥ'Ｃ'はＥＣと垂直だからＢＣと平行になる。また、補角の所の解説は省略した。）
このコピーをあと２回繰り返すと、対角線の半分が５ｃｍの正方形が出来、その面積は１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2 よって、求める面積はその１/４より、
５０÷５＝１２.５ｃｍ^2
おまけ：
四角形ＢＣＥＦの内角の和より、
∠ＦＢＣ＋∠ＦＥＣ＝３６０°－９０°×２＝１８０°
一方、∠ＦＥＤ＋∠ＦＥＣ＝１８０°より、
∠ＦＢＣ＝∠ＦＥＤである。
ここで、ＦからＢＣ，ＤＣに垂線を下ろしその足をそれぞれＨ，Ｉとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＦＢＨと△ＦＥＩは合同。
よって、ＦＨ＝ＦＩ また、四角形ＦＨＣＩは３直角より内角の和を考えると４直角になる。つまり、長方形。
よって、隣り合う２辺の長さが等しい長方形より、
四角形ＦＨＣＩは正方形である。
ところで、△ＦＢＨと△ＦＥＩは合同より、△ＦＢＨを△ＦＥＩの所に移動させると、四角形ＢＣＥＦの面積は正方形ＦＨＣＩの面積と等しい。
よって、正方形ＦＨＣＩの面積を求めれば良く、対角線の長さが５ｃｍより、
面積は５×５÷２＝１２.５ｃｍ^2
よって、答えは、１２.５ｃｍ^2
算数の解法２
四角形ＢＣＥＦの内角の和より、
∠ＦＢＣ＋∠ＦＥＣ＝３６０°－９０°×２＝１８０°
また、ＦＥ＝ＦＢより、△ＦＣＥを点Ｆを中心にＦＥがＦＢにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、３点Ｃ'，Ｂ，Ｃは一直線上にあり、∠Ｃ'ＦＣ＝９０°となるので、△ＦＣ'Ｃは等辺の長さが５ｃｍの直角二等辺三角形になる。
ところで、四角形ＢＣＥＦの面積は直角二等辺三角形ＦＣ'Ｃの面積と等しいので、これを求めれば良い。
よって、答えは、５×５÷２＝１２.５ｃｍ^2
算数の解法３
四角形ＢＣＦＥを点Ｆを中心にＦＢがＦＥにくっつくまで９０°回転移動コピーをし、点Ｅ，Ｃの行き先をそれぞれＥ'，Ｃ'とすると、３点Ｂ，Ｆ，Ｅ'は一直線上にあり、∠Ｃは直角の台形Ｅ'ＢＣＣ'が出来る。（９０°回転なのでＥ'Ｃ'はＥＣと垂直だからＢＣと平行になる。また、補角の所の解説は省略した。）
このコピーをあと２回繰り返すと、対角線の半分が５ｃｍの正方形が出来、その面積は１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2 よって、求める面積はその１/４より、
５０÷５＝１２.５ｃｍ^2
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 11:51 (No.883774)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題６
２^r－１が素数とすると、ｒは素数であることを示せ。２^r－１の形の素数をメルセンヌ素数という。
証明
もし、ｒが素数でないとすると、ｒ＝ｓｔ（ｓ＞１,ｔ＞１）と分解される。すると、２^r－１＝２^st－１＝(２^s)^t－１＝(２^s－１)(２^(t-1)s＋･･･＋２^2s＋２^s＋１) ここで、２^s－１＞１，２^(t-1)s＋…＋２^2s＋２^s＋１＞１であるから、２^r－１も素数でなくなる。ゆえに、対偶によって、２^r－１が素数であれば、ｒは素数である。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
分かり易く解説した後、別解を作ってみて下さい。我ながら画期的な別解だと思います。ちょっと検索した所、存在していないようです。
おまけ：
演習問題６
２^r－１が素数とすると、ｒは素数であることを示せ。２^r－１の形の素数をメルセンヌ素数という。
証明
もし、ｒが素数でないとすると、ｒ＝ｓｔ（ｓ＞１,ｔ＞１）と分解される。すると、２^r－１＝２^st－１＝(２^s)^t－１＝(２^s－１)(２^(t-1)s＋･･･＋２^2s＋２^s＋１) ここで、２^s－１＞１，２^(t-1)s＋…＋２^2s＋２^s＋１＞１であるから、２^r－１も素数でなくなる。ゆえに、対偶によって、２^r－１が素数であれば、ｒは素数である。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
分かり易く解説した後、別解を作ってみて下さい。我ながら画期的な別解だと思います。ちょっと検索した所、存在していないようです。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 16:14削除解説
演習問題６
２^r－１が素数とすると、ｒは素数であることを示せ。２^r－１の形の素数をメルセンヌ素数という。
証明１
ｒが素数でないと仮定すると、
ｒ＝ｓｔ（ｓ＞１,ｔ＞１）と置ける。
∴２^r－１＝２^st－１＝(２^s)^t－１
＝(２^s－１){(２^s)^(t-1)＋(２^s)^(t-2)＋…＋２^s＋１}
ここで、２^s－１＞１，２^s(t-1)＋２^s(t-2)＋…＋２^s＋１＞１より、２^r－１は合成数である。
よって、２^r－１が素数という事に矛盾する。
よって、背理法により、ｒは素数である。
対偶で示しても良いが、背理法の方が分かり易いと思って変更した。
証明２ オリジナル
２^rを２進法で表すと、１０…０（０がｒ個）である。
よって、２^r－１を２進法で表すと、
１１１…１（１がｒ個）である。
ここで、ｒを合成数とすると、１１…１（１の個数はｒの因数）で割り切れる。
例えば、１１１１１１を１１１で割ると１００１×１１１であり、１１で割ると１０１０１×１１である。（電卓で試して下さい。証明は１０進法でやれば出来る。）
よって、割り切れないならばｒは素数である。
つまり、元の２^r－１が素数ならばｒは素数である。
よって、示された。
念のため、ｒが素数だからと言って２^r－１が素数な訳ではない。例えば、２^11－１＝２０４７＝２３×８９
これを２進法で表すとちょっと面白い。
１１１１１１１１１１１（１が１１個）
＝１０１１１×１０１１００１だが、これを計算機で計算すると、＝１０２２２２３１１１１
これを２進法にすると、１１１１１１１１１１１（１が１１個）である。
１１１１１１１１１１１を計算機で１０１１１で割っても１０１１００１とはならない。（１０進法だから小数となってしまう。）
２進法では、素数個の１１１…１は（１０進法で）合成数でも発見出来ませんね。もっとも、２進法電卓があれば出来ると思いますが。その場合、１０１１１×１０１１００１のどちらかを見つけないとダメですね。
その後、発見して試しました。https://calculator-online.net/ja/binary-calculator/
ＯＫです。
おまけ：
演習問題６
２^r－１が素数とすると、ｒは素数であることを示せ。２^r－１の形の素数をメルセンヌ素数という。
証明１
ｒが素数でないと仮定すると、
ｒ＝ｓｔ（ｓ＞１,ｔ＞１）と置ける。
∴２^r－１＝２^st－１＝(２^s)^t－１
＝(２^s－１){(２^s)^(t-1)＋(２^s)^(t-2)＋…＋２^s＋１}
ここで、２^s－１＞１，２^s(t-1)＋２^s(t-2)＋…＋２^s＋１＞１より、２^r－１は合成数である。
よって、２^r－１が素数という事に矛盾する。
よって、背理法により、ｒは素数である。
対偶で示しても良いが、背理法の方が分かり易いと思って変更した。
証明２ オリジナル
２^rを２進法で表すと、１０…０（０がｒ個）である。
よって、２^r－１を２進法で表すと、
１１１…１（１がｒ個）である。
ここで、ｒを合成数とすると、１１…１（１の個数はｒの因数）で割り切れる。
例えば、１１１１１１を１１１で割ると１００１×１１１であり、１１で割ると１０１０１×１１である。（電卓で試して下さい。証明は１０進法でやれば出来る。）
よって、割り切れないならばｒは素数である。
つまり、元の２^r－１が素数ならばｒは素数である。
よって、示された。
念のため、ｒが素数だからと言って２^r－１が素数な訳ではない。例えば、２^11－１＝２０４７＝２３×８９
これを２進法で表すとちょっと面白い。
１１１１１１１１１１１（１が１１個）
＝１０１１１×１０１１００１だが、これを計算機で計算すると、＝１０２２２２３１１１１
これを２進法にすると、１１１１１１１１１１１（１が１１個）である。
１１１１１１１１１１１を計算機で１０１１１で割っても１０１１００１とはならない。（１０進法だから小数となってしまう。）
２進法では、素数個の１１１…１は（１０進法で）合成数でも発見出来ませんね。もっとも、２進法電卓があれば出来ると思いますが。その場合、１０１１１×１０１１００１のどちらかを見つけないとダメですね。
その後、発見して試しました。https://calculator-online.net/ja/binary-calculator/
ＯＫです。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 10:22 (No.883701)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題５
ｎを自然数とするとき、次を示せ。
１/２＋１/３＋…＋１/ｎ∉ℕ
証明
Ａ＝１/２＋１/３＋…＋１/ｎとおく。このとき、
２^m≦ｎ＜２^(m+1)・・・・・（＊）
を満たす自然数ｍが存在する。分母の最小公倍数Ｎ＝[２,３,…,ｎ]を共通分母としてＡを通分すると、Ａ＝Ｍ/Ｎと表される。Ｎを素因数分解したときの、２の累乗部分は（＊）より２^mである。Ａの和の項の１つに１/２^mがある。１/２^m＝ａ/Ｎと表したとき、ａは奇数である。他の項について、通分したときの分子はすべて偶数である。よって、分子Ｍは奇数である。したがって、分数
Ｍ/Ｎ＝奇数/(…２^m…)
は約分できない。ゆえに、Ａは自然数ではない。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
普通の人にも分かるように解説して下さい。（やる気がある）普通の中学生にも分からせて下さい。累乗や最小公倍数は高１でしたっけ？
おまけ：
演習問題５
ｎを自然数とするとき、次を示せ。
１/２＋１/３＋…＋１/ｎ∉ℕ
証明
Ａ＝１/２＋１/３＋…＋１/ｎとおく。このとき、
２^m≦ｎ＜２^(m+1)・・・・・（＊）
を満たす自然数ｍが存在する。分母の最小公倍数Ｎ＝[２,３,…,ｎ]を共通分母としてＡを通分すると、Ａ＝Ｍ/Ｎと表される。Ｎを素因数分解したときの、２の累乗部分は（＊）より２^mである。Ａの和の項の１つに１/２^mがある。１/２^m＝ａ/Ｎと表したとき、ａは奇数である。他の項について、通分したときの分子はすべて偶数である。よって、分子Ｍは奇数である。したがって、分数
Ｍ/Ｎ＝奇数/(…２^m…)
は約分できない。ゆえに、Ａは自然数ではない。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
普通の人にも分かるように解説して下さい。（やる気がある）普通の中学生にも分からせて下さい。累乗や最小公倍数は高１でしたっけ？
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/24 13:46削除解説
演習問題５
ｎを自然数とするとき、次を示せ。
１/２＋１/３＋…＋１/ｎ∉ℕ
方針：
１/２＋１/３＝３/６＋２/６＝５/６
１/２＋１/３＋１/４＝６/１２＋４/１２＋３/１２
＝１３/１２
１/２＋１/３＋１/４＋１/５＝３０/６０＋２０/６０
＋１５/６０＋１２/６０＝奇数/６０
以後全て、奇数/偶数
となりそうである。
そこで、１/２＋１/３＋…＋１/ｎのｎを
２^m≦ｎ＜２^(m+1)と置く。これはｎがいくつでも、２^mと２^(m+1)の間で挟めるという意味である。
すると、全ての項を通分した分母の因数２の数は２^mである。これは例を見て貰った方が良いだろう。
１/２＋１/３だったら２^1≦３＜２^2で通分した６の因数２の数は２^1であり、
１/２＋１/３＋１/４＋１/５だったら、２^2≦５＜２^3で通分した６０の因数２の数は２^2である。（６０＝２^2×１５だから。）よく考えれば分かるはずである。
今、１/２^mという項を考えると、ａ/(最小公倍数)と表され、ａは奇数である事が分かる。
例えば、１/２＋１/３＋１/４＋１/５＝３０/６０＋２０/６０＋１５/６０＋１２/６０だったら、１/４で１５/６０という事である。
また、他の項の分子には少なくとも１つは因数２が入っていて、偶数である。これらもよく考えれば何故そうなるのか分かるはずである。
よって、通分した分子の和は、偶数＋偶数＋…＋奇数＋…＋偶数＋偶数＝奇数となる。（偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数だから。）
また、分母は最小公倍数で初めの２がかかっているので、必ず偶数である。
よって、奇数/偶数となり、これは割り切れないので整数にはならない。
よって、示された。
おまけ：
演習問題５
ｎを自然数とするとき、次を示せ。
１/２＋１/３＋…＋１/ｎ∉ℕ
方針：
１/２＋１/３＝３/６＋２/６＝５/６
１/２＋１/３＋１/４＝６/１２＋４/１２＋３/１２
＝１３/１２
１/２＋１/３＋１/４＋１/５＝３０/６０＋２０/６０
＋１５/６０＋１２/６０＝奇数/６０
以後全て、奇数/偶数
となりそうである。
そこで、１/２＋１/３＋…＋１/ｎのｎを
２^m≦ｎ＜２^(m+1)と置く。これはｎがいくつでも、２^mと２^(m+1)の間で挟めるという意味である。
すると、全ての項を通分した分母の因数２の数は２^mである。これは例を見て貰った方が良いだろう。
１/２＋１/３だったら２^1≦３＜２^2で通分した６の因数２の数は２^1であり、
１/２＋１/３＋１/４＋１/５だったら、２^2≦５＜２^3で通分した６０の因数２の数は２^2である。（６０＝２^2×１５だから。）よく考えれば分かるはずである。
今、１/２^mという項を考えると、ａ/(最小公倍数)と表され、ａは奇数である事が分かる。
例えば、１/２＋１/３＋１/４＋１/５＝３０/６０＋２０/６０＋１５/６０＋１２/６０だったら、１/４で１５/６０という事である。
また、他の項の分子には少なくとも１つは因数２が入っていて、偶数である。これらもよく考えれば何故そうなるのか分かるはずである。
よって、通分した分子の和は、偶数＋偶数＋…＋奇数＋…＋偶数＋偶数＝奇数となる。（偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数だから。）
また、分母は最小公倍数で初めの２がかかっているので、必ず偶数である。
よって、奇数/偶数となり、これは割り切れないので整数にはならない。
よって、示された。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 10:08 (No.882730)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908050000/
ちょっと難しく改題して、辺ＡＢが通過する部分の面積にしましょう。まぁ、大して変わりませんが。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908040000/
算数でもあの公式（1+2+3+…）は使って良い事になっています。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908050000/
ちょっと難しく改題して、辺ＡＢが通過する部分の面積にしましょう。まぁ、大して変わりませんが。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201908040000/
算数でもあの公式（1+2+3+…）は使って良い事になっています。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 22:42削除問題１の解答
△ＯＡＢを点Ｏを中心に９０°回転させた時の点Ａ,Ｂの行き先をそれぞれＡ',Ｂ'とすると、求める面積は、扇形ＯＢ'Ｂ＋△ＯＡＢで、∠Ｂ'ＯＢ＝９０°より、
５×５×３.１４×(１/４)＋４×３÷２＝１９.６２５＋６＝２５.６２５ｃｍ^2
改題の解答
求める面積は、扇形ＯＢ'Ｂ＋△ＯＡＢ－△ＯＡ'Ｂ'－扇形ＯＡ'Ａ＝扇形ＯＢ'Ｂ－扇形ＯＡ'Ａ＝５×５×３.１４×(１/４)－４×４×３.１４×(１/４)＝９×３.１４×(１/４)＝７.０６５ｃｍ^2
問題２の解答
斜めの数列に着目すると、１，３，７，１３，…より、
１，１＋２，１＋(２＋４)，１＋(２＋４＋６)，…
（階差を取ると、２，４，６，…となっているから分かる。）
よって、ｎ番目は１＋２×(１＋２＋…＋(ｎ－１))である。ここで、１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２という公式を使うと、ｎ番目は、１＋２×{(ｎ－１)×ｎ÷２}＝１＋ｎ×(ｎ－１)である。
ここで、９８に近い数で１＋ｎ×(ｎ－１)を考えると、ｎ＝１０として、１＋１０×９＝９１である。
つまり、１０段目の１０列の数字は９１である。ところで、偶数段偶数列と奇数段奇数列の数の増え方は図より逆で、１０段目１０列は偶数段偶数列なので、上から下に右から左に数が増えて行く。
よって、１０段目１列の数字は９１＋９＝１００で９８は１０段目３列の数字である。
よって、答えは、１０段目３列
因みに、天才君は、斜めの数列に着目した後、１＝１×１－０，３＝２×２－１，７＝３×３－２，１３＝４×４－３，…となっている事に気付き、９８に近い数では、１０×１０－９＝９１と分かり、以後同じとするだろう。
おまけ：
△ＯＡＢを点Ｏを中心に９０°回転させた時の点Ａ,Ｂの行き先をそれぞれＡ',Ｂ'とすると、求める面積は、扇形ＯＢ'Ｂ＋△ＯＡＢで、∠Ｂ'ＯＢ＝９０°より、
５×５×３.１４×(１/４)＋４×３÷２＝１９.６２５＋６＝２５.６２５ｃｍ^2
改題の解答
求める面積は、扇形ＯＢ'Ｂ＋△ＯＡＢ－△ＯＡ'Ｂ'－扇形ＯＡ'Ａ＝扇形ＯＢ'Ｂ－扇形ＯＡ'Ａ＝５×５×３.１４×(１/４)－４×４×３.１４×(１/４)＝９×３.１４×(１/４)＝７.０６５ｃｍ^2
問題２の解答
斜めの数列に着目すると、１，３，７，１３，…より、
１，１＋２，１＋(２＋４)，１＋(２＋４＋６)，…
（階差を取ると、２，４，６，…となっているから分かる。）
よって、ｎ番目は１＋２×(１＋２＋…＋(ｎ－１))である。ここで、１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ×(ｎ＋１)÷２という公式を使うと、ｎ番目は、１＋２×{(ｎ－１)×ｎ÷２}＝１＋ｎ×(ｎ－１)である。
ここで、９８に近い数で１＋ｎ×(ｎ－１)を考えると、ｎ＝１０として、１＋１０×９＝９１である。
つまり、１０段目の１０列の数字は９１である。ところで、偶数段偶数列と奇数段奇数列の数の増え方は図より逆で、１０段目１０列は偶数段偶数列なので、上から下に右から左に数が増えて行く。
よって、１０段目１列の数字は９１＋９＝１００で９８は１０段目３列の数字である。
よって、答えは、１０段目３列
因みに、天才君は、斜めの数列に着目した後、１＝１×１－０，３＝２×２－１，７＝３×３－２，１３＝４×４－３，…となっている事に気付き、９８に近い数では、１０×１０－９＝９１と分かり、以後同じとするだろう。
おまけ：
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 11:33 (No.882788)削除次の文章を完全解説して下さい。
演習問題３
整数ｃ0,ｃ1,…,ｃnにおいてｃ0≠０,ｃn≠０とする。このとき次の方程式
ｃ0ｘ^n＋ｃ1ｘ^(n-1)＋…＋ｃn-1ｘ＋ｃn＝０
が有理数の解ａ/ｂ（(ａ,ｂ)＝１）をもつならば、ｂはｃ0の約数であり、ａはｃnの約数であることを示せ。
証明
ａ/ｂが上の方程式の解とすると、次の式を満たす。
ｃ0(ａ^n/ｂ^n)＋ｃ1(ａ^(n-1)/ｂ^(n-1))＋…＋ｃn-1(ａ/ｂ)＋ｃn＝０
両辺をｂ^n倍すると
ｃ0ａ^n＋ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1)＋ｃnｂ^n＝０———（＊）
∴ｃ0ａ^n＝－(ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1)＋ｃnｂ^n)
右辺はｂで割り切れるのでｂ|ｃ0ａ^nである。一方、(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である（問1.24）。すると、ｂ|ｃ0ａ^nよりｂ|ｃ0（定理1.10）。次に、（＊）の式のｃnｂ^nという項に注目すると、
ｃnｂ^n＝－(ｃ0ａ^n＋ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1))
右辺がａで割り切れるので、ａ|ｃnｂ^n ここで、(ａ,ｂ^n)＝１であるからａ|ｃnが得られる。
問1.24
ｎ(ｎ＞０),ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ａ,ｂ)＝１⇒ (ａ^n,ｂ^n)＝１
定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ ａ|ｃ
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、問1.24の所がちょっと変化形なので、何も見ないで「(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である」事を証明して下さい。
また、別解をやりますね。ただし、私のオリジナルではありません。
おまけ：
演習問題３
整数ｃ0,ｃ1,…,ｃnにおいてｃ0≠０,ｃn≠０とする。このとき次の方程式
ｃ0ｘ^n＋ｃ1ｘ^(n-1)＋…＋ｃn-1ｘ＋ｃn＝０
が有理数の解ａ/ｂ（(ａ,ｂ)＝１）をもつならば、ｂはｃ0の約数であり、ａはｃnの約数であることを示せ。
証明
ａ/ｂが上の方程式の解とすると、次の式を満たす。
ｃ0(ａ^n/ｂ^n)＋ｃ1(ａ^(n-1)/ｂ^(n-1))＋…＋ｃn-1(ａ/ｂ)＋ｃn＝０
両辺をｂ^n倍すると
ｃ0ａ^n＋ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1)＋ｃnｂ^n＝０———（＊）
∴ｃ0ａ^n＝－(ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1)＋ｃnｂ^n)
右辺はｂで割り切れるのでｂ|ｃ0ａ^nである。一方、(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である（問1.24）。すると、ｂ|ｃ0ａ^nよりｂ|ｃ0（定理1.10）。次に、（＊）の式のｃnｂ^nという項に注目すると、
ｃnｂ^n＝－(ｃ0ａ^n＋ｃ1ａ^(n-1)ｂ＋…＋ｃn-1ａｂ^(n-1))
右辺がａで割り切れるので、ａ|ｃnｂ^n ここで、(ａ,ｂ^n)＝１であるからａ|ｃnが得られる。
問1.24
ｎ(ｎ＞０),ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ａ,ｂ)＝１⇒ (ａ^n,ｂ^n)＝１
定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ ａ|ｃ
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
具体的には、問1.24の所がちょっと変化形なので、何も見ないで「(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である」事を証明して下さい。
また、別解をやりますね。ただし、私のオリジナルではありません。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 13:28削除解説
＞具体的には、問1.24の所がちょっと変化形なので、何も見ないで「(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である」事を証明して下さい。
(ａ^n,ｂ)≠１と仮定すると、(ａ^n,ｂ)＝ｄ＞１が存在して素因数ｐ＞１を含む。
また、ｄ|ａ^2，ｄ|ｂより、ｐ|ａ^2，ｐ|ｂである。
ここで、ｐは素数よりｐ|ａである。
よって、ｐ|ａかつｐ|ｂよりｐはａとｂの公約数。
よって、(ａ,ｂ)＝１に矛盾するので、背理法により、
(ａ^n,ｂ)＝１である。よって、示された。
演習問題３
整数ｃ0,ｃ1,…,ｃnにおいてｃ0≠０,ｃn≠０とする。このとき次の方程式
ｃ0ｘ^n＋ｃ1ｘ^(n-1)＋…＋ｃn-1ｘ＋ｃn＝０
が有理数の解ａ/ｂ（(ａ,ｂ)＝１）をもつならば、ｂはｃ0の約数であり、ａはｃnの約数であることを示せ。
別解
与式の両辺をｃ0で割ると、
ｘ^n＋(ｃ1/ｃ0)ｘ^(n-1)＋…＋(ｃn-1/ｃ0)ｘ＋ｃn/ｃ0＝０
また、ｘ＝ａ/ｂがこの方程式の解より、
(ｘ－ａ/ｂ)(ｘ^(n-1)＋ｐ1ｘ^(n-2)＋…＋ｐn-1)＝０ ただし、ｐiは有理数。
この両辺にｂをかけると、
(ｂｘ－ａ)(ｘ^(n-1)＋ｐ1ｘ^(n-2)＋…＋ｐn-1)＝０———☆
これを展開すると、
ｂｘ^n＋(ｂｐ1－ａ)ｘ^(n-1)＋…－ａｐn-1＝０
この式の第２項以降は係数が有理数より係数が全て整数になるまで各分母の数を両辺に掛け続けて、与式のｘ^nの係数と比較すると、
ｂ・ｑ1・ｑ2・…・ｑm＝ｃ0 ただし、ｑiは整数。
よって、ｂはｃ0の約数である。
また、定数項の方も比較すると、
－ａ・ｐ・ｑk・…・ｑl＝ｃn ただし、ｐはｐn-1の分子の整数。
よって、ａはｃnの約数である。
よって、示された。
注：ａとｂが互いに素でない場合、☆式の両辺をａとｂの公約数で割るとｂが変化して消えてしまうので、ａとｂは互いに素でなければならない。
おまけ：
＞具体的には、問1.24の所がちょっと変化形なので、何も見ないで「(ａ,ｂ)＝１より(ａ^n,ｂ)＝１である」事を証明して下さい。
(ａ^n,ｂ)≠１と仮定すると、(ａ^n,ｂ)＝ｄ＞１が存在して素因数ｐ＞１を含む。
また、ｄ|ａ^2，ｄ|ｂより、ｐ|ａ^2，ｐ|ｂである。
ここで、ｐは素数よりｐ|ａである。
よって、ｐ|ａかつｐ|ｂよりｐはａとｂの公約数。
よって、(ａ,ｂ)＝１に矛盾するので、背理法により、
(ａ^n,ｂ)＝１である。よって、示された。
演習問題３
整数ｃ0,ｃ1,…,ｃnにおいてｃ0≠０,ｃn≠０とする。このとき次の方程式
ｃ0ｘ^n＋ｃ1ｘ^(n-1)＋…＋ｃn-1ｘ＋ｃn＝０
が有理数の解ａ/ｂ（(ａ,ｂ)＝１）をもつならば、ｂはｃ0の約数であり、ａはｃnの約数であることを示せ。
別解
与式の両辺をｃ0で割ると、
ｘ^n＋(ｃ1/ｃ0)ｘ^(n-1)＋…＋(ｃn-1/ｃ0)ｘ＋ｃn/ｃ0＝０
また、ｘ＝ａ/ｂがこの方程式の解より、
(ｘ－ａ/ｂ)(ｘ^(n-1)＋ｐ1ｘ^(n-2)＋…＋ｐn-1)＝０ ただし、ｐiは有理数。
この両辺にｂをかけると、
(ｂｘ－ａ)(ｘ^(n-1)＋ｐ1ｘ^(n-2)＋…＋ｐn-1)＝０———☆
これを展開すると、
ｂｘ^n＋(ｂｐ1－ａ)ｘ^(n-1)＋…－ａｐn-1＝０
この式の第２項以降は係数が有理数より係数が全て整数になるまで各分母の数を両辺に掛け続けて、与式のｘ^nの係数と比較すると、
ｂ・ｑ1・ｑ2・…・ｑm＝ｃ0 ただし、ｑiは整数。
よって、ｂはｃ0の約数である。
また、定数項の方も比較すると、
－ａ・ｐ・ｑk・…・ｑl＝ｃn ただし、ｐはｐn-1の分子の整数。
よって、ａはｃnの約数である。
よって、示された。
注：ａとｂが互いに素でない場合、☆式の両辺をａとｂの公約数で割るとｂが変化して消えてしまうので、ａとｂは互いに素でなければならない。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 20:57 (No.882283)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/23 07:58削除解法１ 暗算で解いた解法
ＦＰを結び、ＦＰとＧＤの交点をＱとすると、条件より△ＦＢＰ＝四角形ＦＢＤＧなので、共通部分の四角形ＦＢＤＱを引くと、△ＱＤＰ＝△ＱＧＦとなる。
この両辺に四角形ＧＱＰＣを加えると、
△ＧＤＣ＝△ＦＰＣとなる。ところで、△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形で△ＧＤＣ∽△ＡＢＣより△ＧＤＣも３：４：５の直角三角形である。∴ＧＤ＝３ｃｍ
∴△ＧＤＣ＝４×３×(１/２)＝６ｃｍ^2
よって、△ＦＰＣの面積も６ｃｍ^2である。
また、△ＢＦＣ∽△ＡＢＣより△ＢＦＣも３：４：５の直角三角形である。∴ＣＦ＝(４/５)×８＝３２/５ｃｍ
ここで、ＰからＣＧに垂線を下ろしその足をＨとすると、(３２/５)×ＰＨ×(１/２)＝６が成り立つ。
∴ＰＨ＝５×１２/３２＝１５/８ｃｍ
また、△ＰＨＣ∽△ＡＢＣで△ＰＨＣも３：４：５の直角三角形より、
ＣＰ＝(５/３)×(１５/８)＝２５/８ｃｍ
∴ＢＰ＝８－２５/８＝６４/８－２５/８＝３９/８ｃｍ
よって、答えは、３９/８ｃｍ
解法２ 裏を取るための解法
四角形ＦＢＤＧの面積を求めるために△ＡＢＦと△ＣＧＤの面積を求め△ＡＢＣの面積から引く。ところで、この３つの三角形は全て相似で３：４：５の直角三角形である。∴ＡＦ＝(３/５)×６＝１８/５ｃｍ
ＢＦ＝(４/５)×６＝２４/５ｃｍ，ＧＤ＝３ｃｍ
∴四角形ＦＢＤＧ＝６×８×(１/２)－(１８/５)×(２４/５)×(１/２)－３×４×(１/２)
＝２４－２１６/２５－６＝１８－２１６/２５
＝４５０/２５－２１６/２５＝２３４/２５ｃｍ^2
また、ＡＣ＝１０ｃｍより、
ＦＣ＝１０－１８/５＝３２/５ｃｍ
ここで、ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＦＨＣも３：４：５の直角三角形で、
ＦＨ＝(３/５)×(３２/５)＝９６/２５ｃｍ
よって、条件より、
ＢＰ×(９６/２５)×(１/２)＝２３４/２５が成り立つ。∴ＢＰ＝２３４/４８＝３９/８ｃｍ
よって、裏が取れた。
おまけ：
https://kotobank.jp/word/%E7%94%98%E9%9C%B2-49785
ＦＰを結び、ＦＰとＧＤの交点をＱとすると、条件より△ＦＢＰ＝四角形ＦＢＤＧなので、共通部分の四角形ＦＢＤＱを引くと、△ＱＤＰ＝△ＱＧＦとなる。
この両辺に四角形ＧＱＰＣを加えると、
△ＧＤＣ＝△ＦＰＣとなる。ところで、△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形で△ＧＤＣ∽△ＡＢＣより△ＧＤＣも３：４：５の直角三角形である。∴ＧＤ＝３ｃｍ
∴△ＧＤＣ＝４×３×(１/２)＝６ｃｍ^2
よって、△ＦＰＣの面積も６ｃｍ^2である。
また、△ＢＦＣ∽△ＡＢＣより△ＢＦＣも３：４：５の直角三角形である。∴ＣＦ＝(４/５)×８＝３２/５ｃｍ
ここで、ＰからＣＧに垂線を下ろしその足をＨとすると、(３２/５)×ＰＨ×(１/２)＝６が成り立つ。
∴ＰＨ＝５×１２/３２＝１５/８ｃｍ
また、△ＰＨＣ∽△ＡＢＣで△ＰＨＣも３：４：５の直角三角形より、
ＣＰ＝(５/３)×(１５/８)＝２５/８ｃｍ
∴ＢＰ＝８－２５/８＝６４/８－２５/８＝３９/８ｃｍ
よって、答えは、３９/８ｃｍ
解法２ 裏を取るための解法
四角形ＦＢＤＧの面積を求めるために△ＡＢＦと△ＣＧＤの面積を求め△ＡＢＣの面積から引く。ところで、この３つの三角形は全て相似で３：４：５の直角三角形である。∴ＡＦ＝(３/５)×６＝１８/５ｃｍ
ＢＦ＝(４/５)×６＝２４/５ｃｍ，ＧＤ＝３ｃｍ
∴四角形ＦＢＤＧ＝６×８×(１/２)－(１８/５)×(２４/５)×(１/２)－３×４×(１/２)
＝２４－２１６/２５－６＝１８－２１６/２５
＝４５０/２５－２１６/２５＝２３４/２５ｃｍ^2
また、ＡＣ＝１０ｃｍより、
ＦＣ＝１０－１８/５＝３２/５ｃｍ
ここで、ＦからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＦＨＣも３：４：５の直角三角形で、
ＦＨ＝(３/５)×(３２/５)＝９６/２５ｃｍ
よって、条件より、
ＢＰ×(９６/２５)×(１/２)＝２３４/２５が成り立つ。∴ＢＰ＝２３４/４８＝３９/８ｃｍ
よって、裏が取れた。
おまけ：
https://kotobank.jp/word/%E7%94%98%E9%9C%B2-49785
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 18:24 (No.882150)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 20:36削除解答
２行目を左から右にＢ，Ｃ，Ｄ
３行目を左から右にＥ，Ｆ，Ｇと置く。
また、１列（１行）の和をＸと置くと、
Ａ＋Ｂ＋Ｅ＝Ａ＋Ｃ＋Ｆ＝Ａ＋Ｄ＋Ｇ＝Ｘ———①
Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝Ｘ———②
①より、
(Ａ＋Ｂ＋Ｅ)＋(Ａ＋Ｃ＋Ｆ)＋(Ａ＋Ｄ＋Ｇ)＝３Ｘ
よって、２Ａ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝３Ｘ
よって、２Ａ＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝３Ｘ
よって、２Ａ＋２８＝３Ｘ———③
②より、Ａ＋(Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)＋(Ｅ＋Ｆ＋Ｇ)＝Ａ＋２Ｘ
よって、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝Ａ＋２Ｘ
よって、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝Ａ＋２Ｘ
よって、２８＝Ａ＋２Ｘ———④
④を③に代入すると、２Ａ＋Ａ＋２Ｘ＝３Ｘ
よって、Ｘ＝３Ａ———⑤
⑤を④に代入すると、２８＝Ａ＋６Ａ＝７Ａ
よって、Ａ＝４
おまけ：
２行目を左から右にＢ，Ｃ，Ｄ
３行目を左から右にＥ，Ｆ，Ｇと置く。
また、１列（１行）の和をＸと置くと、
Ａ＋Ｂ＋Ｅ＝Ａ＋Ｃ＋Ｆ＝Ａ＋Ｄ＋Ｇ＝Ｘ———①
Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝Ｘ———②
①より、
(Ａ＋Ｂ＋Ｅ)＋(Ａ＋Ｃ＋Ｆ)＋(Ａ＋Ｄ＋Ｇ)＝３Ｘ
よって、２Ａ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝３Ｘ
よって、２Ａ＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝３Ｘ
よって、２Ａ＋２８＝３Ｘ———③
②より、Ａ＋(Ｂ＋Ｃ＋Ｄ)＋(Ｅ＋Ｆ＋Ｇ)＝Ａ＋２Ｘ
よって、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＝Ａ＋２Ｘ
よって、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝Ａ＋２Ｘ
よって、２８＝Ａ＋２Ｘ———④
④を③に代入すると、２Ａ＋Ａ＋２Ｘ＝３Ｘ
よって、Ｘ＝３Ａ———⑤
⑤を④に代入すると、２８＝Ａ＋６Ａ＝７Ａ
よって、Ａ＝４
おまけ：
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返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 15:40 (No.882029)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 20:09削除解法１ 何でもありの解法
△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、∠Ａ＝４５°
また、△ＡＢＭは直角を挟む二辺の比が１：２より、ḾからＡＣに垂線を下ろして出来る直角三角形の二辺比はマニアックな定理（の逆）により１：３。
（定理：Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)＝π/４）
また、その垂線の足をHとすると、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＨＭ
よって、△ＡＢＤの直角を挟む二辺比は１：３より、
ＢＤ＝１２×(１/３)＝４ｃｍ
解法２ 中学数学の解法１
ḾからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＣが直角二等辺三角形より△ＭＨＣも直角二等辺三角形。
∴ＭＨ＝ＣＨ＝６/√２＝３√２ｃｍ
∴ＡＨ＝１２√２－３√２＝９√２ｃｍ
ところで、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＨＭ
∴ＡＢ：ＢＤ＝９√２：３√２＝３：１
∴１２：ＢＤ＝３：１ ∴ＢＤ＝４ｃｍ
解法３ 中学数学の解法２
ＡＭの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＩとすると、２角が等しいので△ＡＢＭ∽△ＣＩＭ
ところで、△ＡＢＭの直角を挟む二辺比が１：２より、△ＣＩＭも同様。よって、ＭＩ＝ｘ，ＣＩ＝２ｘと置いて三平方の定理を使うと、ｘ^2＋(２ｘ)^2＝６^2
∴５ｘ^2＝３６ ∴ｘ^2＝３６/５
∴ｘ＝６/√５ｃｍ
∴ＭＩ＝６/√５＝６√５/５ｃｍ，
ＣＩ＝１２√５/５ｃｍ
また、△ＡＢＭで三平方の定理を使うと、ＡＭ＝６√５ｃｍ ∴ＡＩ＝６√５＋６√５/５＝３６√５/５ｃｍ
∴ＡＩ：ＣＩ＝３６√５/５：１２√５/５＝３：１
ところで、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＩＣ
∴ＡＢ：ＢＤ＝ＡＩ：ＩＣ＝３：１
∴１２：ＢＤ＝３：１ ∴ＢＤ＝４ｃｍ
解法１は４５°の性質を使い、解法２は直角二等辺三角形の性質を使い、解法３は相似を２回使う事により４５°の性質を使いませんね。（ちょっと面白い。）
おまけ：
△ＡＢＣは直角二等辺三角形より、∠Ａ＝４５°
また、△ＡＢＭは直角を挟む二辺の比が１：２より、ḾからＡＣに垂線を下ろして出来る直角三角形の二辺比はマニアックな定理（の逆）により１：３。
（定理：Arctan(1/2)＋Arctan(1/3)＝π/４）
また、その垂線の足をHとすると、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＨＭ
よって、△ＡＢＤの直角を挟む二辺比は１：３より、
ＢＤ＝１２×(１/３)＝４ｃｍ
解法２ 中学数学の解法１
ḾからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＣが直角二等辺三角形より△ＭＨＣも直角二等辺三角形。
∴ＭＨ＝ＣＨ＝６/√２＝３√２ｃｍ
∴ＡＨ＝１２√２－３√２＝９√２ｃｍ
ところで、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＨＭ
∴ＡＢ：ＢＤ＝９√２：３√２＝３：１
∴１２：ＢＤ＝３：１ ∴ＢＤ＝４ｃｍ
解法３ 中学数学の解法２
ＡＭの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＩとすると、２角が等しいので△ＡＢＭ∽△ＣＩＭ
ところで、△ＡＢＭの直角を挟む二辺比が１：２より、△ＣＩＭも同様。よって、ＭＩ＝ｘ，ＣＩ＝２ｘと置いて三平方の定理を使うと、ｘ^2＋(２ｘ)^2＝６^2
∴５ｘ^2＝３６ ∴ｘ^2＝３６/５
∴ｘ＝６/√５ｃｍ
∴ＭＩ＝６/√５＝６√５/５ｃｍ，
ＣＩ＝１２√５/５ｃｍ
また、△ＡＢＭで三平方の定理を使うと、ＡＭ＝６√５ｃｍ ∴ＡＩ＝６√５＋６√５/５＝３６√５/５ｃｍ
∴ＡＩ：ＣＩ＝３６√５/５：１２√５/５＝３：１
ところで、２角が等しいので、△ＡＢＤ∽△ＡＩＣ
∴ＡＢ：ＢＤ＝ＡＩ：ＩＣ＝３：１
∴１２：ＢＤ＝３：１ ∴ＢＤ＝４ｃｍ
解法１は４５°の性質を使い、解法２は直角二等辺三角形の性質を使い、解法３は相似を２回使う事により４５°の性質を使いませんね。（ちょっと面白い。）
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 11:21 (No.881849)削除次の文章を完全解説して下さい。
問1.23
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
証明
(ｎ,ａｂ)＝ｄ＞１と仮定する。ｄの素因数をｐとすると、ｐ＞１ このとき、
ｄ|ｎ，ｄ|ａｂ ⇒ ｐ|ｎ，ｐ|ａｂ
ここで、問1.21(1)を使うと、ｐ|ａｂよりｐ|ａまたはｐ|ｂ
ゆえに、ｐ|ｎ，ｐ|ａであれば、ｐ≦(ｎ,ａ)であり、
またｐ|ｎ，ｐ|ｂであればｐ≦(ｎ,ｂ)で矛盾である。
問1.21
ｐを素数とするとき、次を示せ。
（１）ｐ|ａｂ⇒ ｐ|ａ または ｐ|ｂ
（２）ｐ|ａ1ａ2…ａn ⇒ ∃ｉ(1≦i≦n)，ｐ|ａi
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
全体的にもっと分かり易く解説した後に別解を作ってみて下さい。
関係ないけど、フェルマーの最終定理ｎ＝３の新証明に間違いを見つけた人には懸賞金を１万円ぐらい付けようと思います。挑戦は無料なので、ぜひ挑戦して下さい。
おまけ：
問1.23
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
証明
(ｎ,ａｂ)＝ｄ＞１と仮定する。ｄの素因数をｐとすると、ｐ＞１ このとき、
ｄ|ｎ，ｄ|ａｂ ⇒ ｐ|ｎ，ｐ|ａｂ
ここで、問1.21(1)を使うと、ｐ|ａｂよりｐ|ａまたはｐ|ｂ
ゆえに、ｐ|ｎ，ｐ|ａであれば、ｐ≦(ｎ,ａ)であり、
またｐ|ｎ，ｐ|ｂであればｐ≦(ｎ,ｂ)で矛盾である。
問1.21
ｐを素数とするとき、次を示せ。
（１）ｐ|ａｂ⇒ ｐ|ａ または ｐ|ｂ
（２）ｐ|ａ1ａ2…ａn ⇒ ∃ｉ(1≦i≦n)，ｐ|ａi
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
全体的にもっと分かり易く解説した後に別解を作ってみて下さい。
関係ないけど、フェルマーの最終定理ｎ＝３の新証明に間違いを見つけた人には懸賞金を１万円ぐらい付けようと思います。挑戦は無料なので、ぜひ挑戦して下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 13:47削除問1.23
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
解法１
(ｎ,ａｂ)≠１と仮定すると、最大公約数ｄ＞１が存在して、(ｎ,ａｂ)＝ｄ ∴ｄ|ｎ，ｄ|ａｂ
また、ｄは素因数ｐ＞１を含んでいるので、
ｐ|ｎ，ｐ|ａｂである。ここで、問1.21(1)を使うと、
ｐ|ａｂよりｐ|ａまたはｐ|ｂ
よって、ｐ|ｎ，ｐ|ａならば、ｐはｎとａの公約数より、最大公約数はｐ以上で、(ｎ,ａ)≧ｐ＞１
また、ｐ|ｎ，ｐ|ｂならば、ｐはｎとｂの公約数より、最大公約数はｐ以上で、(ｎ,ｂ)≧ｐ＞１
どちらにしろ、(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１に矛盾する。
よって、背理法により、 (ｎ,ａｂ)＝１である。
よって、示された。
問1.21
ｐを素数とするとき、次を示せ。
（１）ｐ|ａｂ⇒ ｐ|ａ または ｐ|ｂ
（２）ｐ|ａ1ａ2…ａn ⇒ ∃ｉ(1≦i≦n)，ｐ|ａi
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
解法２
定理1.7より、ｎｘ＋ａｙ＝１，ｎｘ'＋ｂｙ'＝１となる整数ｘ,x’,ｙ,ｙ'が存在する。
この２式を掛け合わせると、
(ｎｘ＋ａｙ)(ｎｘ'＋ｂｙ')＝１
∴ｎ^2ｘｘ'＋ｂｎｘｙ'＋ａｎｘ'ｙ＋ａｂｙｙ'＝１
∴ｎ(ｎｘｘ'＋ｂｘｙ'＋ａｘ'ｙ)＋ａｂ・ｙｙ'＝１
ここで、ｎとａｂに２以上の公約数があったとすると、左辺はその数でくくれ、右辺は１より矛盾する。
（ｎ,ａ,ｂ,ｘ,x’,ｙ,ｙ'∈ℤでℤは環より、
ｎｘｘ'＋ｂｘｙ'＋ａｘ'ｙ，ｙｙ'∈ℤだから。）
よって、ｎとａｂは互いに素である。∴ (ｎ,ａｂ)＝１
よって、示された。
定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ
しかし、ｎとａが互いに素でｎとｂが互いに素ならば、ａ,ｂ共にｎと共通因数がないので、それらを掛け合わせたａｂもｎと互いに素に決まっているね。
おまけ：
ｎ,ａ,ｂを整数とするとき、次を示せ。
(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１⇒ (ｎ,ａｂ)＝１
解法１
(ｎ,ａｂ)≠１と仮定すると、最大公約数ｄ＞１が存在して、(ｎ,ａｂ)＝ｄ ∴ｄ|ｎ，ｄ|ａｂ
また、ｄは素因数ｐ＞１を含んでいるので、
ｐ|ｎ，ｐ|ａｂである。ここで、問1.21(1)を使うと、
ｐ|ａｂよりｐ|ａまたはｐ|ｂ
よって、ｐ|ｎ，ｐ|ａならば、ｐはｎとａの公約数より、最大公約数はｐ以上で、(ｎ,ａ)≧ｐ＞１
また、ｐ|ｎ，ｐ|ｂならば、ｐはｎとｂの公約数より、最大公約数はｐ以上で、(ｎ,ｂ)≧ｐ＞１
どちらにしろ、(ｎ,ａ)＝１，(ｎ,ｂ)＝１に矛盾する。
よって、背理法により、 (ｎ,ａｂ)＝１である。
よって、示された。
問1.21
ｐを素数とするとき、次を示せ。
（１）ｐ|ａｂ⇒ ｐ|ａ または ｐ|ｂ
（２）ｐ|ａ1ａ2…ａn ⇒ ∃ｉ(1≦i≦n)，ｐ|ａi
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著より
解法２
定理1.7より、ｎｘ＋ａｙ＝１，ｎｘ'＋ｂｙ'＝１となる整数ｘ,x’,ｙ,ｙ'が存在する。
この２式を掛け合わせると、
(ｎｘ＋ａｙ)(ｎｘ'＋ｂｙ')＝１
∴ｎ^2ｘｘ'＋ｂｎｘｙ'＋ａｎｘ'ｙ＋ａｂｙｙ'＝１
∴ｎ(ｎｘｘ'＋ｂｘｙ'＋ａｘ'ｙ)＋ａｂ・ｙｙ'＝１
ここで、ｎとａｂに２以上の公約数があったとすると、左辺はその数でくくれ、右辺は１より矛盾する。
（ｎ,ａ,ｂ,ｘ,x’,ｙ,ｙ'∈ℤでℤは環より、
ｎｘｘ'＋ｂｘｙ'＋ａｘ'ｙ，ｙｙ'∈ℤだから。）
よって、ｎとａｂは互いに素である。∴ (ｎ,ａｂ)＝１
よって、示された。
定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ
しかし、ｎとａが互いに素でｎとｂが互いに素ならば、ａ,ｂ共にｎと共通因数がないので、それらを掛け合わせたａｂもｎと互いに素に決まっているね。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/20 16:47 (No.880224)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/21 18:31削除問題１の解答
四角形ＡＢＣＤは１辺が２ｃｍの正方形より、ＡＣ＝２√２ｃｍ また、ＯＡ＝ＯＣ＝２ｃｍより、三平方の定理の逆により∠ＡＯＣ＝９０°（直角二等辺三角形の二辺比より）
因みに、三辺相等から△ＯＡＣ≡△ＢＡＣを言えば、∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°と中１の知識で言える。
よって、平面ＯＡＣで切った断面図を考えると、ＡＣは断面の円の直径である。（円周角の定理の逆より）
よって、直径ＡＣ＝２√２ｃｍより、半径は√２ｃｍ
因みに、見た目から勘違いかもしれないと思うかもしれないが、正八面体が球に内接する事を考えると、全ての辺の長さが等しい正四角錘はその半分なので正しい事が分かるだろう。
http://school.city.tajimi.lg.jp/koizm/media/math/3D/seitamenntai.html
おまけ：
四角形ＡＢＣＤは１辺が２ｃｍの正方形より、ＡＣ＝２√２ｃｍ また、ＯＡ＝ＯＣ＝２ｃｍより、三平方の定理の逆により∠ＡＯＣ＝９０°（直角二等辺三角形の二辺比より）
因みに、三辺相等から△ＯＡＣ≡△ＢＡＣを言えば、∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°と中１の知識で言える。
よって、平面ＯＡＣで切った断面図を考えると、ＡＣは断面の円の直径である。（円周角の定理の逆より）
よって、直径ＡＣ＝２√２ｃｍより、半径は√２ｃｍ
因みに、見た目から勘違いかもしれないと思うかもしれないが、正八面体が球に内接する事を考えると、全ての辺の長さが等しい正四角錘はその半分なので正しい事が分かるだろう。
http://school.city.tajimi.lg.jp/koizm/media/math/3D/seitamenntai.html
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/22 07:54削除問題２の解答
△ＤＡＢの内対角の和より、
∠Ｂ＝８６°－３６°＝５０°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＡＯＣ＝５０°×２＝１００°
また、半径より△ＯＡＣは二等辺三角形なので、
∠ＯＡＣ＝(１８０°－１００°)÷２＝４０°
よって、∠ＤＡＣ＝４０°
または、△ＯＡＢが二等辺三角形より、
∠ＡＯＢ＝１８０°－３６°×２＝１０８°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠Ｃ＝１０８°÷２＝５４°
よって、△ＡＤＣの内角の和より、
∠ＤＡＣ＝１８０°－８６°－５４°＝４０°
問題３の解答
円に内接する正六角形を描き、円の半径を１とすると、正六角形の周の長さは６（中心をＯとして１辺が半径の正六角形６個に分けて考えると自明）である。
また、円周の長さは２πより、６＜２πが成り立つ。
よって、π＞３で円周率は３より大きい。
次に、円に外接する正六角形を考えると、その１辺の長さは６分割した正三角形の高さが半径であるので、三辺比より、(１/√３)×２＝２/√３である。
よって、円に外接する正六角形の周の長さは、
(２/√３)×６＝１２/√３＝４√３
また、円周の長さは２πより、
２π＜４√３が成り立つ。
よって、π＜２√３＝３.４６…＜４で円周率は４より小さい。よって、円周率は３より大きく４より小さい。
今朝、思い付いた解法。前半は同じ。後半は、円に外接する正方形を描くと、周の長さは２×４＝８
また、円周の長さは２πより、２π＜８が成り立つ。
よって、π＜４
よって、円周率は３より大きく４より小さい。
こっちが模範解答ですね。因みに、電卓ありなら別解も作れますが省略します。区分求積法的な事で下と上から長方形の面積で挟むという事です。（下は第１象限を１０分割ではダメで２０分割ぐらいでやって下さい。）
おまけ：
△ＤＡＢの内対角の和より、
∠Ｂ＝８６°－３６°＝５０°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＡＯＣ＝５０°×２＝１００°
また、半径より△ＯＡＣは二等辺三角形なので、
∠ＯＡＣ＝(１８０°－１００°)÷２＝４０°
よって、∠ＤＡＣ＝４０°
または、△ＯＡＢが二等辺三角形より、
∠ＡＯＢ＝１８０°－３６°×２＝１０８°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠Ｃ＝１０８°÷２＝５４°
よって、△ＡＤＣの内角の和より、
∠ＤＡＣ＝１８０°－８６°－５４°＝４０°
問題３の解答
円に内接する正六角形を描き、円の半径を１とすると、正六角形の周の長さは６（中心をＯとして１辺が半径の正六角形６個に分けて考えると自明）である。
また、円周の長さは２πより、６＜２πが成り立つ。
よって、π＞３で円周率は３より大きい。
次に、円に外接する正六角形を考えると、その１辺の長さは６分割した正三角形の高さが半径であるので、三辺比より、(１/√３)×２＝２/√３である。
よって、円に外接する正六角形の周の長さは、
(２/√３)×６＝１２/√３＝４√３
また、円周の長さは２πより、
２π＜４√３が成り立つ。
よって、π＜２√３＝３.４６…＜４で円周率は４より小さい。よって、円周率は３より大きく４より小さい。
今朝、思い付いた解法。前半は同じ。後半は、円に外接する正方形を描くと、周の長さは２×４＝８
また、円周の長さは２πより、２π＜８が成り立つ。
よって、π＜４
よって、円周率は３より大きく４より小さい。
こっちが模範解答ですね。因みに、電卓ありなら別解も作れますが省略します。区分求積法的な事で下と上から長方形の面積で挟むという事です。（下は第１象限を１０分割ではダメで２０分割ぐらいでやって下さい。）
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/21 10:55 (No.880879)削除次の文章を完全解説して下さい。
定理1.12（素因数分解の一意性）
１と異なる自然数は有限個の素数の積に分解される。また、その結果は因数の順序を除いて唯一通りである。
証明
正の整数について考えれば十分であるから、自然数ｎ＞１についての帰納法で示す。
ｎ＝２のとき、２は素数であるから、有限個の素数の積と考えられる。また、２＝２という表現は唯１通りである。
ｎ＞２とするとき、ｎより小さい自然数について定理1.12が成り立つことを仮定して、ｎについても成り立つことを示す。
（１）有限個の素数の積に表されることを示す。
ｎが素数でなければｎ＝ｎ1ｎ2（１＜ｎ1,ｎ2＜ｎ）となっている。ｎ1,ｎ2は帰納法の仮定で、それぞれ有限個の素数の積として表されるので、ｎも有限個の素数の積として表される。
（２）一意性を示す。ｎが２通りに
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr
＝ｑ1ｑ2…ｑs（ｐi,ｑiは素数）
と表されたとする。
はじめに、ｐ1はｑ1,…,ｑsのどれかに等しいことを示す。
もし、ｐ1≠ｑ1とすれば、ｐ1とｑ1は素数であるから(ｐ1,ｑ1)＝１ 従って定理1.10より
ｐ1|ｎ ⇔ ｐ1|(ｑ1…ｑs) ⇒ ｐ1|(ｑ2…qｓ)
同様にして、ｐ1≠ｑ2のとき、ｐ1|(ｑ3…ｑs)が得られる。このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ａ|ｃ
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より
具体的には、
＞このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
＞そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
普通の人にも分かるように解説して下さい。念のため、普通の人とは独学で勉強してみようと思うような人の中の普通レベルという事である。
おまけ：
定理1.12（素因数分解の一意性）
１と異なる自然数は有限個の素数の積に分解される。また、その結果は因数の順序を除いて唯一通りである。
証明
正の整数について考えれば十分であるから、自然数ｎ＞１についての帰納法で示す。
ｎ＝２のとき、２は素数であるから、有限個の素数の積と考えられる。また、２＝２という表現は唯１通りである。
ｎ＞２とするとき、ｎより小さい自然数について定理1.12が成り立つことを仮定して、ｎについても成り立つことを示す。
（１）有限個の素数の積に表されることを示す。
ｎが素数でなければｎ＝ｎ1ｎ2（１＜ｎ1,ｎ2＜ｎ）となっている。ｎ1,ｎ2は帰納法の仮定で、それぞれ有限個の素数の積として表されるので、ｎも有限個の素数の積として表される。
（２）一意性を示す。ｎが２通りに
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr
＝ｑ1ｑ2…ｑs（ｐi,ｑiは素数）
と表されたとする。
はじめに、ｐ1はｑ1,…,ｑsのどれかに等しいことを示す。
もし、ｐ1≠ｑ1とすれば、ｐ1とｑ1は素数であるから(ｐ1,ｑ1)＝１ 従って定理1.10より
ｐ1|ｎ ⇔ ｐ1|(ｑ1…ｑs) ⇒ ｐ1|(ｑ2…qｓ)
同様にして、ｐ1≠ｑ2のとき、ｐ1|(ｑ3…ｑs)が得られる。このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ａ|ｃ
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より
具体的には、
＞このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
＞そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
普通の人にも分かるように解説して下さい。念のため、普通の人とは独学で勉強してみようと思うような人の中の普通レベルという事である。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/21 13:44削除解説
＞このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
ｐ1,ｑsは共に素数でｐ1|ｑsからｐ1＝ｑsという訳だが、
このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ところで、ｐ1,ｑsは共に素数より矛盾。よって、背理法によりｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
厳密にはこれでは正しくないが、分かり易いだろう。（正しいか正しくないかより分からせるのが目的。）
＞そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr
＝ｑ1ｑ2…ｑs（ｐi,ｑiは素数）
をｐ1,ｑ1で割ったものがｎ'で、数学的帰納法の第２形のｎ－１まで正しいと仮定すると、
ｎ'＝ｐ2…ｐr
＝ｑ2…ｑr（後半の「＝」は並べ替えで唯１通り）
と表される。この両辺にｐ1,ｑ1をかけると、
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr＝ｑ1ｑ2…ｑr（唯１通りで表される）
となり、ｎでも成り立つ。
という事である。
§８ 数学的帰納法
自然数ｎについての記述を含む命題を証明するときに用いられる方法として、数学的帰納法と呼ばれるものがある。数学的帰納法には同値である次のような２つの形がある。
定理（第１形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）Ｐ(ｎ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。
定理（第２形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）ｋ≦ｎなるすべての整数ｋに対してＰ(ｋ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より
おまけ：
＞このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
ｐ1,ｑsは共に素数でｐ1|ｑsからｐ1＝ｑsという訳だが、
このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ところで、ｐ1,ｑsは共に素数より矛盾。よって、背理法によりｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。
厳密にはこれでは正しくないが、分かり易いだろう。（正しいか正しくないかより分からせるのが目的。）
＞そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr
＝ｑ1ｑ2…ｑs（ｐi,ｑiは素数）
をｐ1,ｑ1で割ったものがｎ'で、数学的帰納法の第２形のｎ－１まで正しいと仮定すると、
ｎ'＝ｐ2…ｐr
＝ｑ2…ｑr（後半の「＝」は並べ替えで唯１通り）
と表される。この両辺にｐ1,ｑ1をかけると、
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr＝ｑ1ｑ2…ｑr（唯１通りで表される）
となり、ｎでも成り立つ。
という事である。
§８ 数学的帰納法
自然数ｎについての記述を含む命題を証明するときに用いられる方法として、数学的帰納法と呼ばれるものがある。数学的帰納法には同値である次のような２つの形がある。
定理（第１形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）Ｐ(ｎ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。
定理（第２形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）ｋ≦ｎなるすべての整数ｋに対してＰ(ｋ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/21 15:23削除補足
但し書きがないが、ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐrには同じ素数が含まれる場合もある。（全てが相異なる素数ではないという事。）
まぁ、累乗がないから自分で気付けという事だろう。
因みに、ネットで調べたら皆但し書きがなかったが、１ヶ所だけあった。https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2017/04.pdf（定理4.3）
学習院大学数学科だそうである。（「忘れちゃってもいい」とか「やっぱ無い」とかふざけた感じが面白い。あの先生かな？）
https://www.google.com/search?q=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%81%AE%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7+%E8%A8%BC%E6%98%8E&sca_esv=558660801&hl=ja&source=hp&ei=CO3iZMvGIZqg0-kPk6mLCA&iflsig=AD69kcEAAAAAZOL7GCQkg76UPSIlW6P3xQLClrmH0i7d&oq=%E3%81%9D%E3%81%84%E3%82%93%E3%81%99%E3%81%86%E3%81%B6%E3%82%93%E3%81%8B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%84%E3%81%A1%E3%81%84%E3%81%9B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%97%E3%82%87%E3%81%86%E3%82%81%E3%81%84&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6Ij_jgZ3jgYTjgpPjgZnjgYbjgbbjgpPjgYvjgYTjga7jgYTjgaHjgYTjgZvjgYTjga7jgZfjgofjgYbjgoHjgYQqAggAMgUQABiiBDIFEAAYogQyBRAAGKIEMgUQABiiBEikwwFQuQ9Y405wAHgAkAEAmAHsAqAB2CCqAQkxNC4xNy4xLjK4AQHIAQD4AQGoAgrCAhAQABgDGI8BGOoCGIwDGOUCwgIGEAAYAxgEwgINEAAYBBiABBixAxiDAcICCxAAGIAEGLEDGIMBwgIKEAAYBBiABBixA8ICBxAAGAQYgATCAggQABiABBixA8ICCBAAGIkFGKIE&sclient=gws-wiz
但し書きがないが、ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐrには同じ素数が含まれる場合もある。（全てが相異なる素数ではないという事。）
まぁ、累乗がないから自分で気付けという事だろう。
因みに、ネットで調べたら皆但し書きがなかったが、１ヶ所だけあった。https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2017/04.pdf（定理4.3）
学習院大学数学科だそうである。（「忘れちゃってもいい」とか「やっぱ無い」とかふざけた感じが面白い。あの先生かな？）
https://www.google.com/search?q=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%81%AE%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7+%E8%A8%BC%E6%98%8E&sca_esv=558660801&hl=ja&source=hp&ei=CO3iZMvGIZqg0-kPk6mLCA&iflsig=AD69kcEAAAAAZOL7GCQkg76UPSIlW6P3xQLClrmH0i7d&oq=%E3%81%9D%E3%81%84%E3%82%93%E3%81%99%E3%81%86%E3%81%B6%E3%82%93%E3%81%8B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%84%E3%81%A1%E3%81%84%E3%81%9B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%97%E3%82%87%E3%81%86%E3%82%81%E3%81%84&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6Ij_jgZ3jgYTjgpPjgZnjgYbjgbbjgpPjgYvjgYTjga7jgYTjgaHjgYTjgZvjgYTjga7jgZfjgofjgYbjgoHjgYQqAggAMgUQABiiBDIFEAAYogQyBRAAGKIEMgUQABiiBEikwwFQuQ9Y405wAHgAkAEAmAHsAqAB2CCqAQkxNC4xNy4xLjK4AQHIAQD4AQGoAgrCAhAQABgDGI8BGOoCGIwDGOUCwgIGEAAYAxgEwgINEAAYBBiABBixAxiDAcICCxAAGIAEGLEDGIMBwgIKEAAYBBiABBixA8ICBxAAGAQYgATCAggQABiABBixA8ICCBAAGIkFGKIE&sclient=gws-wiz
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返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/19 20:01 (No.879556)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201905030000/
一応、何でもありでも解いて下さい。中学数学でも解けない事はないが省略。算数はたまたま解けた感が強い。（検索しても出る気はしないが、検索はしていません。）
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201905030000/
一応、何でもありでも解いて下さい。中学数学でも解けない事はないが省略。算数はたまたま解けた感が強い。（検索しても出る気はしないが、検索はしていません。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/20 07:37削除算数の解法
四角形ＡＢＣＦが長方形になるような点Ｆを取り、ＡＦ上にＡＧ＝１０ｃｍとなる点Ｇを取ると、ＧＦ＝４ｃｍ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＤＡＧと△ＧＦＣは合同になる。
よって、ＧＤ＝ＣＦ
また、∠ＣＧＦ＋∠ＤＧＡ＝∠ＣＧＦ＋∠ＧＣＦ
＝１８０°－９０°＝９０°
よって、∠ＤＧＣ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、△ＧＤＣは直角二等辺三角形である。
よって、∠ＧＣＤ＝４５°———☆
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＨとすると、△ＨＥＣの内対角の和より、∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＨＥＣ———①
また、△ＥＡＢの内対角の和より、
∠ＨＥＣ＝∠ＥＡＢ＋９０°———②
①，②より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＥＡＢ＋９０°———③
また、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥと△ＣＦＧは合同。よって、∠ＥＡＢ＝∠ＧＣＦ———④
③，④より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＧＣＦ＋９０°＝(９０°－４５°）＋９０°＝１３５°（☆より）
よって、答えは、１３５°
どうでも良い事だが、①，②より③の所は、ブーメランの定理を使えば一発である。
つまり、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃという事。
何でもありの解法
tan∠C＝ＤＢ/ＢＣ＝３/７
tan∠E＝ＡＢ/ＢＥ＝５/２
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＦとすると、△ＦＥＣの内対角の和より、
∠ｘ＝∠ＦＣＥ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｃ＋(１８０°－∠Ｅ)
＝∠Ｃ－∠Ｅ＋１８０°———①
また、tanの加法定理より、
tan(∠Ｃ－∠Ｅ)
＝(tan∠Ｃ－tan∠Ｅ)/(１＋tan∠Ｃ・tan∠Ｅ)
＝(３/７－５/２)/{１＋(３/７)(５/２)}
＝(－２９/１４)/(２９/１４)＝－１
－９０°＜∠Ｃ－∠Ｅ＜０°より、
∠Ｃ－∠Ｅ＝－４５°———②
①，②より、∠ｘ＝－４５°＋１８０°＝１３５°
よって、答えは、１３５°
おまけ：
四角形ＡＢＣＦが長方形になるような点Ｆを取り、ＡＦ上にＡＧ＝１０ｃｍとなる点Ｇを取ると、ＧＦ＝４ｃｍ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＤＡＧと△ＧＦＣは合同になる。
よって、ＧＤ＝ＣＦ
また、∠ＣＧＦ＋∠ＤＧＡ＝∠ＣＧＦ＋∠ＧＣＦ
＝１８０°－９０°＝９０°
よって、∠ＤＧＣ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、△ＧＤＣは直角二等辺三角形である。
よって、∠ＧＣＤ＝４５°———☆
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＨとすると、△ＨＥＣの内対角の和より、∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＨＥＣ———①
また、△ＥＡＢの内対角の和より、
∠ＨＥＣ＝∠ＥＡＢ＋９０°———②
①，②より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＥＡＢ＋９０°———③
また、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥと△ＣＦＧは合同。よって、∠ＥＡＢ＝∠ＧＣＦ———④
③，④より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＧＣＦ＋９０°＝(９０°－４５°）＋９０°＝１３５°（☆より）
よって、答えは、１３５°
どうでも良い事だが、①，②より③の所は、ブーメランの定理を使えば一発である。
つまり、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃという事。
何でもありの解法
tan∠C＝ＤＢ/ＢＣ＝３/７
tan∠E＝ＡＢ/ＢＥ＝５/２
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＦとすると、△ＦＥＣの内対角の和より、
∠ｘ＝∠ＦＣＥ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｃ＋(１８０°－∠Ｅ)
＝∠Ｃ－∠Ｅ＋１８０°———①
また、tanの加法定理より、
tan(∠Ｃ－∠Ｅ)
＝(tan∠Ｃ－tan∠Ｅ)/(１＋tan∠Ｃ・tan∠Ｅ)
＝(３/７－５/２)/{１＋(３/７)(５/２)}
＝(－２９/１４)/(２９/１４)＝－１
－９０°＜∠Ｃ－∠Ｅ＜０°より、
∠Ｃ－∠Ｅ＝－４５°———②
①，②より、∠ｘ＝－４５°＋１８０°＝１３５°
よって、答えは、１３５°
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/20 07:53削除やっぱり次回、中学数学の解法もやりますね。ただし、これはエレガントじゃなければ複数作れると思いますが、１通りで良いです。
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/8/21 07:55削除何でもありの解法２
ブーメランの定理より、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ
よって、∠Ａ＋∠Ｃを求めれば良い。そこで、△ＡＢＥを１.５倍に拡大してＢＥをＢＤに、ＢＡをＢＣにくっつけるように移動させ、点Ａの行き先をＡ'とする。
また、∠Ａ＝∠Ａ'＝●，∠Ｃ＝×と置く。
ＡＢを１.５倍すると、１５ｃｍより、ＣＡ'＝１ｃｍ
ここで、ＢＣ上にＢＦ＝６ｃｍとなる点Ｆを取ると、△ＤＢＦは直角二等辺三角形になるので、
∠ＤＦＢ＝４５°
また、ＤＦ＝６√２ｃｍ，ＦＣ＝１４－６＝８ｃｍ
ＦＡ'＝１５－６＝９ｃｍ
よって、ＦＤ：ＦＣ＝６√２：８＝３√２：４
また、ＦＡ'：ＦＤ＝９：６√２＝３：２√２
＝３√２：４
∴ＦＤ：ＦＣ＝ＦＡ'：ＦＤ また、∠ＤＦＣは共通より二辺比と挟角が等しいので、△ＦＤＣ∽△ＦＡ'Ｄ
∴∠ＦＤＣ＝∠ＦＡ'Ｄ＝●
よって、△ＦＤＣの内対角の和より、●＋×＝４５°
∴∠Ａ＋∠Ｃ＝４５°
∴∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°＋４５°
＝１３５°
よって、答えは、１３５°
何でもありの解法３
△ＡＢＥで三平方の定理を使うと、
ＡＥ＝√(１０^2＋４^2)＝√１１６＝２√２９ｃｍ
ここで、ＡＥの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、対頂角と直角の２角が等しいので、
△ＡＢＥ∽△ＣＨＥ
∴２√２９：１０＝１０：ＣＨ
∴２√２９ＣＨ＝１００ ∴ＣＨ＝５０/√２９ｃｍ
∴ＥＨ＝(２/５)×(５０/√２９)＝２０/√２９ｃｍ
ここで、ＡＥとＤＣの交点をＦとして、△ＡＢＥと直線ＤＣでメネラウスの定理を使うと、
(４/６)×(ＦＥ/ＡＦ)×(１４/１０)＝１
∴ＦＥ/ＡＦ＝(３/２)×(５/７)＝１５/１４
∴ＡＦ：ＦＥ＝１４：１５
∴ＦＥ＝(１５/２９)ＡＥ＝(１５/２９)×２√２９
＝３０/√２９ｃｍ
∴ＦＨ＝ＦＥ＋ＥＨ＝３０/√２９＋２０/√２９
＝５０/√２９ｃｍ
∴ＣＨ＝ＦＨ よって、△ＣＨＦは直角二等辺三角形。
∴∠ＣＦＨ＝４５°
∴∠ｘ＝１８０°－４５°＝１３５°
メネラウスの定理を使わない場合は工夫が必要で、例えば、ＥからＣＤと平行な直線を引きＡＢとの交点をＧとし、△ＢＧＥ∽△ＢＤＣでＢＧ：ＧＤ＝ＢＥ：ＥＣからＡＤ：ＤＧを求め、△ＡＤＦ∽△ＡＧＥでそれをＡＦ：ＦＥに転化させる。
因みに、意地でも解きたい人は座標を利用すれば良いが、計算が結構大変である。（私はやっていないが。）
おまけ：
ブーメランの定理より、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ
よって、∠Ａ＋∠Ｃを求めれば良い。そこで、△ＡＢＥを１.５倍に拡大してＢＥをＢＤに、ＢＡをＢＣにくっつけるように移動させ、点Ａの行き先をＡ'とする。
また、∠Ａ＝∠Ａ'＝●，∠Ｃ＝×と置く。
ＡＢを１.５倍すると、１５ｃｍより、ＣＡ'＝１ｃｍ
ここで、ＢＣ上にＢＦ＝６ｃｍとなる点Ｆを取ると、△ＤＢＦは直角二等辺三角形になるので、
∠ＤＦＢ＝４５°
また、ＤＦ＝６√２ｃｍ，ＦＣ＝１４－６＝８ｃｍ
ＦＡ'＝１５－６＝９ｃｍ
よって、ＦＤ：ＦＣ＝６√２：８＝３√２：４
また、ＦＡ'：ＦＤ＝９：６√２＝３：２√２
＝３√２：４
∴ＦＤ：ＦＣ＝ＦＡ'：ＦＤ また、∠ＤＦＣは共通より二辺比と挟角が等しいので、△ＦＤＣ∽△ＦＡ'Ｄ
∴∠ＦＤＣ＝∠ＦＡ'Ｄ＝●
よって、△ＦＤＣの内対角の和より、●＋×＝４５°
∴∠Ａ＋∠Ｃ＝４５°
∴∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°＋４５°
＝１３５°
よって、答えは、１３５°
何でもありの解法３
△ＡＢＥで三平方の定理を使うと、
ＡＥ＝√(１０^2＋４^2)＝√１１６＝２√２９ｃｍ
ここで、ＡＥの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、対頂角と直角の２角が等しいので、
△ＡＢＥ∽△ＣＨＥ
∴２√２９：１０＝１０：ＣＨ
∴２√２９ＣＨ＝１００ ∴ＣＨ＝５０/√２９ｃｍ
∴ＥＨ＝(２/５)×(５０/√２９)＝２０/√２９ｃｍ
ここで、ＡＥとＤＣの交点をＦとして、△ＡＢＥと直線ＤＣでメネラウスの定理を使うと、
(４/６)×(ＦＥ/ＡＦ)×(１４/１０)＝１
∴ＦＥ/ＡＦ＝(３/２)×(５/７)＝１５/１４
∴ＡＦ：ＦＥ＝１４：１５
∴ＦＥ＝(１５/２９)ＡＥ＝(１５/２９)×２√２９
＝３０/√２９ｃｍ
∴ＦＨ＝ＦＥ＋ＥＨ＝３０/√２９＋２０/√２９
＝５０/√２９ｃｍ
∴ＣＨ＝ＦＨ よって、△ＣＨＦは直角二等辺三角形。
∴∠ＣＦＨ＝４５°
∴∠ｘ＝１８０°－４５°＝１３５°
メネラウスの定理を使わない場合は工夫が必要で、例えば、ＥからＣＤと平行な直線を引きＡＢとの交点をＧとし、△ＢＧＥ∽△ＢＤＣでＢＧ：ＧＤ＝ＢＥ：ＥＣからＡＤ：ＤＧを求め、△ＡＤＦ∽△ＡＧＥでそれをＡＦ：ＦＥに転化させる。
因みに、意地でも解きたい人は座標を利用すれば良いが、計算が結構大変である。（私はやっていないが。）
おまけ：
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