数学

問題１の解答
四角形ＡＢＣＤは１辺が２ｃｍの正方形より、ＡＣ＝２√２ｃｍ　また、ＯＡ＝ＯＣ＝２ｃｍより、三平方の定理の逆により∠ＡＯＣ＝９０°（直角二等辺三角形の二辺比より）
因みに、三辺相等から△ＯＡＣ≡△ＢＡＣを言えば、∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝９０°と中１の知識で言える。
よって、平面ＯＡＣで切った断面図を考えると、ＡＣは断面の円の直径である。（円周角の定理の逆より）
よって、直径ＡＣ＝２√２ｃｍより、半径は√２ｃｍ

因みに、見た目から勘違いかもしれないと思うかもしれないが、正八面体が球に内接する事を考えると、全ての辺の長さが等しい正四角錘はその半分なので正しい事が分かるだろう。
http://school.city.tajimi.lg.jp/koizm/media/math/3D/seitamenntai.html

おまけ：

問題２の解答
△ＤＡＢの内対角の和より、
∠Ｂ＝８６°－３６°＝５０°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠ＡＯＣ＝５０°×２＝１００°
また、半径より△ＯＡＣは二等辺三角形なので、
∠ＯＡＣ＝(１８０°－１００°)÷２＝４０°
よって、∠ＤＡＣ＝４０°

または、△ＯＡＢが二等辺三角形より、
∠ＡＯＢ＝１８０°－３６°×２＝１０８°
よって、円周角と中心角の関係より、
∠Ｃ＝１０８°÷２＝５４°
よって、△ＡＤＣの内角の和より、
∠ＤＡＣ＝１８０°－８６°－５４°＝４０°

問題３の解答
円に内接する正六角形を描き、円の半径を１とすると、正六角形の周の長さは６（中心をＯとして１辺が半径の正六角形６個に分けて考えると自明）である。
また、円周の長さは２πより、６＜２πが成り立つ。
よって、π＞３で円周率は３より大きい。
次に、円に外接する正六角形を考えると、その１辺の長さは６分割した正三角形の高さが半径であるので、三辺比より、(１/√３)×２＝２/√３である。
よって、円に外接する正六角形の周の長さは、
(２/√３)×６＝１２/√３＝４√３
また、円周の長さは２πより、
２π＜４√３が成り立つ。
よって、π＜２√３＝３.４６…＜４で円周率は４より小さい。よって、円周率は３より大きく４より小さい。

今朝、思い付いた解法。前半は同じ。後半は、円に外接する正方形を描くと、周の長さは２×４＝８
また、円周の長さは２πより、２π＜８が成り立つ。
よって、π＜４
よって、円周率は３より大きく４より小さい。

こっちが模範解答ですね。因みに、電卓ありなら別解も作れますが省略します。区分求積法的な事で下と上から長方形の面積で挟むという事です。（下は第１象限を１０分割ではダメで２０分割ぐらいでやって下さい。）

おまけ：

解説
＞このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ゆえにｐ1＝ｑsでなければならない。したがって、ｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。

ｐ1,ｑsは共に素数でｐ1|ｑsからｐ1＝ｑsという訳だが、

このようにしてｐ1≠ｑ1，ｐ1≠ｑ2，…，ｐ1≠ｑs-1とするとｐ1|ｑsとなる。ところで、ｐ1,ｑsは共に素数より矛盾。よって、背理法によりｑ1からｑsのなかにどれか必ずｐ1と等しいものがある。

厳密にはこれでは正しくないが、分かり易いだろう。（正しいか正しくないかより分からせるのが目的。）

＞そこで、ｐ1＝ｑ1としてよい。すると、ｎ＞ｎ'＝ｐ2…ｐr＝ｑ2…ｑsとなるが、帰納法の仮定によってｒ＝ｓでｐ2,…,ｐrは並べかえればｑ2,…,ｑrとなっている。以上によってｒ＝ｓであり、ｐ1,…,ｐrは並べかえればｑ1,…,ｑrとなることが証明された。

ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr
　＝ｑ1ｑ2…ｑs（ｐi,ｑiは素数）
をｐ1,ｑ1で割ったものがｎ'で、数学的帰納法の第２形のｎ－１まで正しいと仮定すると、
ｎ'＝ｐ2…ｐr
　 ＝ｑ2…ｑr（後半の「＝」は並べ替えで唯１通り）
と表される。この両辺にｐ1,ｑ1をかけると、
ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐr＝ｑ1ｑ2…ｑr（唯１通りで表される）
となり、ｎでも成り立つ。
という事である。

§８　数学的帰納法
自然数ｎについての記述を含む命題を証明するときに用いられる方法として、数学的帰納法と呼ばれるものがある。数学的帰納法には同値である次のような２つの形がある。

定理（第１形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）Ｐ(ｎ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。

定理（第２形）
自然数ｎに関する命題Ｐ(ｎ)が与えられて、それらについて次の２つのことが成り立つと仮定する。
（１）Ｐ(１)は正しい。
（２）ｋ≦ｎなるすべての整数ｋに対してＰ(ｋ)が正しいと仮定すれば、Ｐ(ｎ＋１)も正しい。
このとき、Ｐ(ｎ)はすべての自然数ｎについて成り立つ。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

おまけ：

補足
但し書きがないが、ｎ＝ｐ1ｐ2…ｐrには同じ素数が含まれる場合もある。（全てが相異なる素数ではないという事。）
まぁ、累乗がないから自分で気付けという事だろう。
因みに、ネットで調べたら皆但し書きがなかったが、１ヶ所だけあった。https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2017/04.pdf（定理4.3）
学習院大学数学科だそうである。（「忘れちゃってもいい」とか「やっぱ無い」とかふざけた感じが面白い。あの先生かな？）
https://www.google.com/search?q=%E7%B4%A0%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3%E3%81%AE%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7+%E8%A8%BC%E6%98%8E&sca_esv=558660801&hl=ja&source=hp&ei=CO3iZMvGIZqg0-kPk6mLCA&iflsig=AD69kcEAAAAAZOL7GCQkg76UPSIlW6P3xQLClrmH0i7d&oq=%E3%81%9D%E3%81%84%E3%82%93%E3%81%99%E3%81%86%E3%81%B6%E3%82%93%E3%81%8B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%84%E3%81%A1%E3%81%84%E3%81%9B%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%97%E3%82%87%E3%81%86%E3%82%81%E3%81%84&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6Ij_jgZ3jgYTjgpPjgZnjgYbjgbbjgpPjgYvjgYTjga7jgYTjgaHjgYTjgZvjgYTjga7jgZfjgofjgYbjgoHjgYQqAggAMgUQABiiBDIFEAAYogQyBRAAGKIEMgUQABiiBEikwwFQuQ9Y405wAHgAkAEAmAHsAqAB2CCqAQkxNC4xNy4xLjK4AQHIAQD4AQGoAgrCAhAQABgDGI8BGOoCGIwDGOUCwgIGEAAYAxgEwgINEAAYBBiABBixAxiDAcICCxAAGIAEGLEDGIMBwgIKEAAYBBiABBixA8ICBxAAGAQYgATCAggQABiABBixA8ICCBAAGIkFGKIE&sclient=gws-wiz

算数の解法
四角形ＡＢＣＦが長方形になるような点Ｆを取り、ＡＦ上にＡＧ＝１０ｃｍとなる点Ｇを取ると、ＧＦ＝４ｃｍ
よって、二辺挟角が等しいので、△ＤＡＧと△ＧＦＣは合同になる。
よって、ＧＤ＝ＣＦ　
また、∠ＣＧＦ＋∠ＤＧＡ＝∠ＣＧＦ＋∠ＧＣＦ
＝１８０°－９０°＝９０°
よって、∠ＤＧＣ＝１８０°－９０°＝９０°
よって、△ＧＤＣは直角二等辺三角形である。
よって、∠ＧＣＤ＝４５°———☆
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＨとすると、△ＨＥＣの内対角の和より、∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＨＥＣ———①
また、△ＥＡＢの内対角の和より、
∠ＨＥＣ＝∠ＥＡＢ＋９０°———②
①，②より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＥＡＢ＋９０°———③
また、二辺挟角が等しいので、△ＡＢＥと△ＣＦＧは合同。よって、∠ＥＡＢ＝∠ＧＣＦ———④
③，④より、
∠ｘ＝∠ＨＣＥ＋∠ＧＣＦ＋９０°＝(９０°－４５°）＋９０°＝１３５°（☆より）
よって、答えは、１３５°

どうでも良い事だが、①，②より③の所は、ブーメランの定理を使えば一発である。
つまり、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃという事。

何でもありの解法
tan∠C＝ＤＢ/ＢＣ＝３/７
tan∠E＝ＡＢ/ＢＥ＝５/２
ここで、ＡＥとＣＤの交点をＦとすると、△ＦＥＣの内対角の和より、
∠ｘ＝∠ＦＣＥ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｃ＋(１８０°－∠Ｅ)
＝∠Ｃ－∠Ｅ＋１８０°———①
また、tanの加法定理より、
tan(∠Ｃ－∠Ｅ)
＝(tan∠Ｃ－tan∠Ｅ)/(１＋tan∠Ｃ・tan∠Ｅ)
＝(３/７－５/２)/{１＋(３/７)(５/２)}
＝(－２９/１４)/(２９/１４)＝－１
－９０°＜∠Ｃ－∠Ｅ＜０°より、
∠Ｃ－∠Ｅ＝－４５°———②
①，②より、∠ｘ＝－４５°＋１８０°＝１３５°
よって、答えは、１３５°

おまけ：

やっぱり次回、中学数学の解法もやりますね。ただし、これはエレガントじゃなければ複数作れると思いますが、１通りで良いです。

何でもありの解法２
ブーメランの定理より、∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ
よって、∠Ａ＋∠Ｃを求めれば良い。そこで、△ＡＢＥを１.５倍に拡大してＢＥをＢＤに、ＢＡをＢＣにくっつけるように移動させ、点Ａの行き先をＡ'とする。
また、∠Ａ＝∠Ａ'＝●，∠Ｃ＝×と置く。
ＡＢを１.５倍すると、１５ｃｍより、ＣＡ'＝１ｃｍ
ここで、ＢＣ上にＢＦ＝６ｃｍとなる点Ｆを取ると、△ＤＢＦは直角二等辺三角形になるので、
∠ＤＦＢ＝４５°
また、ＤＦ＝６√２ｃｍ，ＦＣ＝１４－６＝８ｃｍ
ＦＡ'＝１５－６＝９ｃｍ
よって、ＦＤ：ＦＣ＝６√２：８＝３√２：４
また、ＦＡ'：ＦＤ＝９：６√２＝３：２√２
＝３√２：４
∴ＦＤ：ＦＣ＝ＦＡ'：ＦＤ　また、∠ＤＦＣは共通より二辺比と挟角が等しいので、△ＦＤＣ∽△ＦＡ'Ｄ
∴∠ＦＤＣ＝∠ＦＡ'Ｄ＝●
よって、△ＦＤＣの内対角の和より、●＋×＝４５°
∴∠Ａ＋∠Ｃ＝４５°
∴∠ｘ＝９０°＋∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°＋４５°
＝１３５°
よって、答えは、１３５°

何でもありの解法３
△ＡＢＥで三平方の定理を使うと、
ＡＥ＝√(１０^2＋４^2)＝√１１６＝２√２９ｃｍ
ここで、ＡＥの延長上にＣから垂線を下ろしその足をＨとすると、対頂角と直角の２角が等しいので、
△ＡＢＥ∽△ＣＨＥ
∴２√２９：１０＝１０：ＣＨ　
∴２√２９ＣＨ＝１００　∴ＣＨ＝５０/√２９ｃｍ
∴ＥＨ＝(２/５)×(５０/√２９)＝２０/√２９ｃｍ
ここで、ＡＥとＤＣの交点をＦとして、△ＡＢＥと直線ＤＣでメネラウスの定理を使うと、
(４/６)×(ＦＥ/ＡＦ)×(１４/１０)＝１
∴ＦＥ/ＡＦ＝(３/２)×(５/７)＝１５/１４
∴ＡＦ：ＦＥ＝１４：１５
∴ＦＥ＝(１５/２９)ＡＥ＝(１５/２９)×２√２９
＝３０/√２９ｃｍ
∴ＦＨ＝ＦＥ＋ＥＨ＝３０/√２９＋２０/√２９
＝５０/√２９ｃｍ
∴ＣＨ＝ＦＨ　よって、△ＣＨＦは直角二等辺三角形。
∴∠ＣＦＨ＝４５°
∴∠ｘ＝１８０°－４５°＝１３５°

メネラウスの定理を使わない場合は工夫が必要で、例えば、ＥからＣＤと平行な直線を引きＡＢとの交点をＧとし、△ＢＧＥ∽△ＢＤＣでＢＧ：ＧＤ＝ＢＥ：ＥＣからＡＤ：ＤＧを求め、△ＡＤＦ∽△ＡＧＥでそれをＡＦ：ＦＥに転化させる。

因みに、意地でも解きたい人は座標を利用すれば良いが、計算が結構大変である。（私はやっていないが。）

おまけ：

解答
ＡＣ上に∠ＦＤＣ＝６０°となる点Ｆを取ると、△ＦＣＤは正三角形になり、ＤＥ⊥ＣＦより点ＥはＣＦの中点になる。また、ＢＥ⊥ＣＦより△ＢＣＦは二等辺三角形になる。
よって、∠ＢＦＣ＝∠ＢＣＦ＝８０°———①
ここで、ＣＤの延長上に∠ＡＧＣ＝６０°となる点Ｇを取ると、△ＡＣＧも正三角形になり、ＦＧを結ぶと対称性から△ＣＡＤと△ＣＧＦは合同になる。（二辺挟角から合同を言っても良い。）
よって、∠ＣＧＦ＝∠ＣＡＤ＝２０°（△ＣＡＤの内角の和から∠ＣＡＤ＝２０°はすぐ出る。）
よって、△ＣＧＦの内角の和より∠ＣＦＧ＝１８０°－６０°－２０°＝１００°———②
①，②より、∠ＢＦＣ＋∠ＣＦＧ＝１８０°となるので、３点Ｂ，Ｆ，Ｇは一直線上にある。
また、∠ＣＢＦ＝１８０°－８０°×２＝２０°
∠ＣＦＧ＝２０°より、△ＣＢＧは二等辺三角形である。よって、ＣＢ＝ＣＧ―――③
また、△ＡＣＧは正三角形より、ＣＡ＝ＣＧ―――④
③，④より、ＣＢ＝ＣＡ　また、∠ＢＣＡ＝８０°より、△ＣＢＡは頂角が８０°の二等辺三角形。
よって、∠ＣＢＡ＝(１８０°－８０°)÷２＝５０°
また、△ＢＣＥの内角の和より、∠ＣＢＥ＝１０°
よって、∠ｘ＝５０°－１０°＝４０°
よって、答えは、４０°

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/8128ffebc56b37c580ae7abcc2134eafcbe317c1/comments

検索ありで別解を作ってみました。これだけじゃヒントにならないけど、△ＢＣＤの外心を利用します。本当のマニアならこれだけでも解けるでしょう。

おまけ：

ヒント２
このサイトを利用して下さい。http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

関係ないけど、独学じゃ無理でしょう。（コメント欄を読めば大体分かる。）
https://www.amazon.co.jp/%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%8C%E5%BE%97%E6%84%8F%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B%E6%9C%AC-%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%96%B0%E6%9B%B8-%E8%8A%B3%E6%B2%A2-%E5%85%89%E9%9B%84/dp/4061498401
まぁ、私が教えれば何とかなると思いますが。念のため、心を開かない人には奇跡は起こりません。１年ぐらい勉強すればこの人に勝てるようになるかもしれないね。笑

解法２の系
こちらのサイトの２００番を利用してさらに別解を作ってみて下さい。http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html
まぁ、似たようなものですが。

解法２　一応、オリジナル
ＢＣを１辺とした正三角形ＦＢＣを頂点ＦがＢＣに関して点Ａ側に作ると、∠ＦＣＢ＝６０°より、
∠ＦＣＤ＝８０°＋６０°－６０°＝８０°
ところで、ＦＢ＝ＦＣ，∠ＢＦＣ＝６０°，∠ＢＤＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°－６０°＝３０°より、点Ｆを中心に半径ＦＢの円を描くと点Ｄを通る。（中心角と円周角の関係より∠ＢＤＣ＝(１/２)∠ＢＦＣでＦＢ＝ＦＣ（半径）だから。）
よって、半径よりＦＣ＝ＦＤ
よって、△ＦＣＤは二等辺三角形で∠ＦＣＤ＝８０°より、∠ＣＦＤ＝１８０°－８０°×２＝２０°
また、∠ＡＤＦ＝３０°＋７０°－８０°＝２０°
よって、∠ＣＦＤ＝∠ＡＤＦより錯角が等しいので、
ＦＣ//ＡＤ　また、∠ＡＣＦ＝８０°－６０°＝２０°より、∠ＡＤＦ＝∠ＡＣＦ　よって、円周角の定理の逆により４点Ｆ,Ｃ,Ｄ,Ａは同一円周上にある。
よって、四角形ＡＦＣＤは円に内接する台形より定理により等脚台形である。（証明は簡単で省略。）
（または、ＡＣとＤＦの交点をＧとして△ＧＦＣが二等辺三角形でその延長上のＡＤとＦＣが平行である事から言っても良い。）
ところで、△ＢＣＦが正三角形で四角形ＡＦＣＤが等脚台形より対称性で、∠ＦＢＡ＝∠ＣＢＤ＝∠ＣＢＥ＝９０°－８０°＝１０°
よって、∠ｘ＝∠ＤＢＡ＝６０°－１０°×２＝４０°
よって、答えは、４０°

＞解法２の系
こちらのサイトの２００番を利用してさらに別解を作ってみて下さい。

これを解法２としました。「まぁ、似たようなものですが。」は形状の事で、解法は全く異なります。

おまけ：

解法３
△ＢＣＤの外心をＯとすると、
半径よりＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ
また、∠ＢＣＤ＝８０°＋６０°＝１４０°
よって、円周角と中心角の関係より、
優角∠ＢＯＤ＝１４０°×２＝２８０°
よって、劣角∠ＢＯＤ＝３６０°－２８０°＝８０°
よって、△ＯＢＤは頂角が８０°の二等辺三角形より、∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ＝(１８０°－８０°)÷２＝５０°
よって、∠ＯＤＡ＝７０°－５０°＝２０°
また、∠ＯＤＣ＝５０°＋３０°＝８０°で△ＯＣＤは二等辺三角形より、
∠ＣＯＤ＝１８０°－８０°×２＝２０°
よって、∠ＯＤＡ＝∠ＣＯＤより錯角が等しいので、
ＯＣ//ＡＤ
また、∠ＯＣＤ＝８０°，∠ＡＣＤ＝６０°より、
∠ＯＣＡ＝８０°－６０°＝２０°
よって、∠ＯＤＡ＝∠ＯＣＡより円周角の定理の逆により、４点Ｏ，Ｃ，Ｄ，Ａは同一円周上にある。
よって、四角形ＡＯＣＤは円に内接する台形より、等脚台形である。よって、ＯＤ＝ＣＡ―――①
また、∠ＯＣＢ＝８０°－２０°＝６０°より△ＯＢＣは１つの角が６０°の二等辺三角形より正三角形。
よって、ＣＢ＝ＯＣ———②　
また、半径よりＯＣ＝ＯＤ———③
①，②，③より、ＣＢ＝ＣＡ　
また、∠ＡＣＢ＝８０°より△ＣＡＢは頂角が８０°の二等辺三角形。
よって、∠ＣＢＡ＝(１８０°－８０°)÷２＝５０°
また、∠ＣＢＥ＝９０°－８０°＝１０°
よって、∠ｘ＝５０°－１０°＝４０°
よって、答えは、４０°
アイデア引用元：http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html（２００番）

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/c0ba82d682e0f69280da3e5447a0f3e216e7ef73/comments

解説
問1.20
ｐ,ｑを異なる素数とするとき、「ｐ|ａ，ｑ|ａ⇒ｐｑ|ａ」を示せ。

証明
問1.11 または 問1.14を適用すればよい。

問1.11を適用する場合。

問1.11
ａとｂの最大公約数をｄとするとき、次を示せ。
ａ|ｃ，ｂ|ｃ⇒ａｂ|ｃｄ

ｐとｑの最大公約数は１より、ａ＝ｐ，ｂ＝ｑ，ｄ＝１とすると、ｐ|ｃ，ｑ|ｃ⇒ｐｑ|ｃとなり、ａとｃを同一視すれば示される。

問1.14を適用する場合。

問1.14
ｍ,ｎを互いに素な整数とする。このとき、整数ａがｍとｎで割り切れるならば、ａはｍｎで割り切れる。すなわち(ｍ,ｎ)＝１のとき、
ｍ|ａ，ｎ|ａ⇒ｍｎ|ａ
であることを証明せよ。

ｐとｑは互いに素より、ｍ＝ｐ，ｎ＝ｑとすると、
ｐ|ａ，ｑ|ａ⇒ｐｑ|ａで示される。

問1.20
ｐ,ｑを異なる素数とするとき、「ｐ|ａ，ｑ|ａ⇒ｐｑ|ａ」を示せ。

解法１
ｐ|ａ，ｑ|ａより、ａ＝ｐｍ，a＝ｑｎ（ｍ,ｎは整数）と置ける。∴ｐｍ＝ｑｎ　∴ｍ＝ｑｎ/ｐ
左辺が整数より右辺は、ｐ|ｑｎ
ところで、ｐ,ｑは素数より互いに素。
よって、定理1.10より、ｐ|ｎ
よって、ｎ＝ｐｂと置ける。これをａ＝ｑｎに代入すると、ａ＝ｑ・ｐｂ＝ｐｑ・ｂ
この右辺はｐｑで割り切れるので左辺も割り切れる。
∴ｐｑ|ａ　よって、示された。

定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ａ|ｃ

解法２
ｐ,ｑは互いに素より、定理1.7により、
ｐｘ＋ｑｙ＝１となる整数ｘ,ｙが存在する。
この両辺にａをかけると、ａｐｘ＋ａｑｙ＝ａ－－－☆
ここで、ｐ|ａよりｐｑ|ａｑ，ｑ|ａよりｐｑ|ａｐ
よって、☆の左辺はｐｑで割り切れるので、右辺も割り切れる。∴ｐｑ|ａ　よって、示された。

定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ

解法３
ｐ|ａ，ｑ|ａよりａはｐとｑの公倍数。また、ｐとｑは互いに素より、ａ＝ｍｐｑ（ｍは整数）と置ける。
∵問1.17より、ａ＝ａ'ｄ，ｂ＝ｂ'ｄ，(ａ',ｂ')＝１ならば[ａ,ｂ]＝ａ'ｂ'ｄで、ａ＝ｐ，ｂ＝ｑ，ｄ＝１とすると、[ｐ,ｑ]＝ｐｑ　つまり、最小公倍数はｐｑだから公倍数はｐｑの整数倍だからである。
よって、ａはｐｑで割り切れる。∴ｐｑ|ａ

問1.17
ａ,ｂを正の整数とするとき、(ａ,ｂ)＝ｄとおけば、ある整数ａ',ｂ'があって
ａ＝ａ'ｄ，ｂ＝ｂ'ｄ，(ａ',ｂ')＝１
と表される。このとき、[ａ,ｂ]＝ａ'ｂ'ｄ＝ａｂ'＝ａ'ｂであることを示せ。

ただし、これは屁理屈のような解法で、本質的には問1.14を適用する解法と同じである。

おまけ：

別解
正方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢ上の点をＥ，ＡＤ上の点をＦとすると、∠ＥＣＦ＝９０°－２０°－２５°＝４５°より、
∠ＦＣｌ＝２０°となる直線ｌを引くと∠ＥＣＬ＝４５°－２０°＝２５°となる。
つまり、∠Ｃを２０°，２０°，２５°，２５°に分ける直線ｌが引けるという事。
ここで、Ｅから直線ｌに垂線を下ろしその足をＨ，Ｆから直線ｌに垂線を下ろしその足をＨ'とすると、
直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＥＣＨと△ＥＣＢ，△ＦＣＨ'と△ＦＣＤはそれぞれ合同である。
よって、ＢＣ＝ＨＣ，ＤＣ＝Ｈ'Ｃ
また、四角形ＡＢＣＤは正方形より、ＢＣ＝ＤＣ
よって、ＨＣ＝Ｈ'Ｃ　よって、点ＨとＨ'は一致している。また、ＥＨ⊥ｌ，ＦＨ'⊥ｌより、３点Ｅ，Ｈ，Ｆは一直線上にある。
よって、∠ｘ＝∠ＥＦＡ＝∠ＨＦＡ＝１８０°－７０°×２＝４０°（∠ＣＨＤ＝９０°－２０°＝７０°より）
よって、答えは、４０°

下書きなしで解きながら書いたので、ちょっと読み難いかもしれません。　　

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/1a479833222377ecbbbb959144038c8d3c21026a

解説
問1.17
ａ,ｂを正の整数とするとき、(ａ,ｂ)＝ｄとおけば、ある整数ａ',ｂ'があって
ａ＝ａ'ｄ，ｂ＝ｂ'ｄ，(ａ',ｂ')＝１
と表される。このとき、[ａ,ｂ]＝ａ'ｂ'ｄ＝ａｂ'＝ａ'ｂであることを示せ。

証明
ａ'ｂ'ｄがａとｂの最小公倍数であることを示せば十分である。
（１）ａ'ｂ'ｄがａとｂの公倍数であること：ａ'ｂ'ｄ＝(ａ'ｄ)ｂ'＝ａｂ'よりａ|ａ'ｂ'ｄであり、またａ'ｂ'ｄ＝(ｂ'ｄ)ａ'＝ａ'ｂよりｂ|ａ'ｂ'ｄである。
（２）ａとｂの公倍数の中でａ'ｂ'ｄが最小であること：すなわち、ｌがａとｂの任意の公倍数ならばａ'ｂ'ｄ≦ｌであることを示せばよい。
ｌはａとｂの倍数だから、ｌ＝ａａ''＝ｂｂ''（∃ａ'',ｂ''∈ℤ）と表される。すると、ａ＝ａ'ｄ，ｂ＝ｂ'ｄをこれに代入して、ａ'ｄａ''＝ｂ'ｄｂ''　ゆえに、
ａ'ａ''＝ｂ'ｂ''———（＊）
ここで、(ａ',ｂ')＝１だからａ'|ｂ''，ｂ'|ａ''である。したがって、
∃ｃ1,ｃ2∈ℤ，ｂ''＝ａ'ｃ1，ａ''＝ｂ'ｃ2
と表される。

ここまでは同じ。ここから、ｂ''＝ａ'ｃ1をｌ＝ｂｂ''に代入すると、ｌ＝ｂａ'ｃ1　
これにｂ＝ｂ'ｄを代入すると、
ｌ＝ｂ'ｄａ'ｃ1＝ａ'ｂ'ｄ・ｃ1
ところで、ｃ1≧１より、ａ'ｂ'ｄ≦ｌ
よって、示された。

別解
ａ，ｂを素因数分解の形で表すと、
ａ＝Π(i=1~n)ｐi^ei，ｂ＝Π(i=1~n)ｐi^fi
（ｅi,ｆi≧０）
（０乗を考えるとｎで合わせられる。）
また、作り方から、
最大公約数ｄ＝Π(i=1~n)ｐi^min(ei,fi)
最小公倍数ｌ＝Π(i=1~n)ｐi^max(ei,fi)
これらを掛け合わせると、
∴ｄｌ＝Π(i=1~n)ｐi^min(ei,fi)・
Π(i=1~n)ｐi^max(ei,fi)
＝Π(i=1~n)ｐi^{min(ei,fi)+max(ei,fi)}
＝Π(i=1~n)ｐi^(ei+fi)
＝Π(i=1~n)ｐi^ei・Π(i=1~n)ｐi^fi
＝ａ・ｂ
∴ａｂ＝ｄｌ———①
また、ａ＝ａ'ｄ，ｂ＝ｂ'ｄより、
ａｂ＝ａ'ｂ'ｄ^2―――②
①，②より、ｄｌ＝ａ'ｂ'ｄ^2　∴ｌ＝ａ'ｂ'ｄ
∴[ａ,ｂ]＝ａ'ｂ'ｄ
よって、示された。

おまけ：

解説
＞ｄはｂとｃの約数であるから、ｂとａｃの約数である。

ｄがｃの約数ならばａｃの約数でもあるから、ｄがｂとｃの公約数ならばｂとａｃの公約数であるという事。

＞(ｄ',ａ)＞１とすると、ｄ'|ｂより(ａ,ｂ)＞１で矛盾であるから、(ｄ',ａ)＝１である。

(ｄ',ａ)＞１とするとｄ'とａは互いに素ではないので、ｄ'には２以上の公約数が存在する。
そして、ｄ'|ｂよりｂはその２以上の公約数を因数として含むので、ａもｂもその２以上の公約数を含む事になる。よって、(ａ,ｂ)＞１で矛盾という事である。

＞（１）,（２）よりｄはｂとａｃの最大公約数である。

（１）ｄはｂとｃの約数であるから、ｂとａｃの約数である。
（２）ｄ'|ｂ，ｄ'|ａｃと仮定する。このとき、(ｄ',ａ)＞１とすると、ｄ'|ｂより(ａ,ｂ)＞１で矛盾であるから、(ｄ',ａ)＝１である。ゆえに、ｄ'|ａｃよりｄ'|ｃ　したがって、ｄ'|ｂ，ｄ'|ｃである。ｄはｂとｃの最大公約数であるから、ｄ'≦ｄ

（１）より、ｄはｂとａｃの公約数である。
また、（２）のｄ'|ｂ，ｄ'|ａｃよりｄ'はｂとａｃの任意の公約数で、その後ｄ'≦ｄが示されるので、ｄは全てのｂとａｃの公約数以上のｂとａｃの公約数である事が分かる。
よって、ｄはｂとａｃの最大公約数である。

問1.16
ａ,ｂ,ｃを整数とするとき、「(ａ,ｂ)＝１⇒(ａｃ,ｂ)＝(ｂ,ｃ)」を示せ。

別解
(ａｃ,ｂ)＝ｇ1，(ｂ,ｃ)＝ｇ2と置くと、ｇ2はｂとｃの公約数よりｂとａｃとの公約数でもある。また、ｇ1はｂとａｃの最大公約数より、ｇ2≦ｇ1———①
また、(ａ,ｂ)＝１より、定理1.7により、ある整数ｘ,ｙが存在して、ａｘ＋ｂｙ＝１と出来る。この両辺にｃをかけると、ａｃ・ｘ＋ｂ・(ｃｙ)＝ｃ
ここで、ｇ1はａｃとｂの公約数より左辺はｇ1を因数として含む。よって、右辺のｃはｇ1を約数として含んでいる。
よって、ｇ1はｂとｃの公約数である。また、ｇ2はｂとｃの最大公約数より、ｇ1≦ｇ2―――②
①，②より、ｇ1＝ｇ2　∴(ａｃ,ｂ)＝(ｂ,ｃ)
よって、示された。

おまけ：
https://bigakusei.com/binan-bijo/27562/

うっかり、定理1.7を載せ忘れました。

定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

問1.14
ｍ,ｎを互いに素な整数とする。このとき、整数ａがｍとｎで割り切れるならば、ａはｍｎで割り切れる。すなわち(ｍ,ｎ)＝１のとき、
ｍ|ａ，ｎ|ａ ⇒ ｍｎ|ａ
であることを証明せよ。

別証
ｍ，ｎを素因数分解すると、
ｍ＝ｐ1^a1・ｐ2^a2・…・ｐr^ar
（ａ1,…,ａrは１以上の自然数）
ｎ＝ｐr+1^b1・ｐr+2^b2・…・ｐs^bs-r
（ｂ1,…,ｂs-rは１以上の自然数）
と置ける。（ｍとｎの素因数は合わせてｓ個。）
ｍ|ａ，ｎ|ａより、
ａ＝ｐ1^a1・ｐ2^a2・…・ｐr^ar・ｍ'
ａ＝ｐr+1^b1・ｐr+2^b2・…・ｐs^bs-r・ｎ'
と表され（ｍ'，ｎ'は自然数）、
ｍとｎが互いに素より、ｐ1^a1・ｐ2^a2・…・ｐr^arとｐr+1^b1・ｐr+2^b2・…・ｐs^bs-rには共通因数が全くないので、
ａ＝ｐ1^a1・ｐ2^a2・…・ｐr^ar・ｐr+1^b1・
ｐr+2^b2・…・ｐs^bs-r・ｌと表される。
（ｌはｌ^2＝ｍ'ｎ'/(ｐ1^a1・…・ｐs^bs-r)となる自然数。）
よって、ａはｐ1^a1・ｐ2^a2・…・ｐr^ar・
ｐr+1^b1・ｐr+2^b2・…・ｐs^bs-rで割り切れるので、つまり、ｍｎで割り切れる。∴ ｍｎ|ａ
よって、示された。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12752501390.html

問1.14
ｍ,ｎを互いに素な整数とする。このとき、整数ａがｍとｎで割り切れるならば、ａはｍｎで割り切れる。すなわち(ｍ,ｎ)＝１のとき、
ｍ|ａ，ｎ|ａ ⇒ ｍｎ|ａ
であることを証明せよ。

別証２　（オリジナル）
ｍ|ａ，ｎ|ａより、ａ＝ｍｍ'，ａ＝ｎｎ'（ｍ',ｎ'は整数）と置ける。∴ｍｍ'＝ｎｎ'　∴ｍ'＝ｎｎ'/ｍ
ここで、左辺が整数より右辺は割り切れ、ｍ|ｎｎ'
また、ｍとｎは互いに素より定理1.10により、ｍ|ｎ'
よって、ｎ'＝ｍｂ（ｂは整数）と置ける。
これをａ＝ｎｎ'に代入すると、ａ＝ｎｍｂ＝ｍｎｂ
この右辺はｍｎで割り切れるので左辺もｍｎで割り切れる。∴ｍｎ|ａ　
よって、示された。

定理1.10
ａ,ｂ,ｃを整数とする。ａとｂが互いに素で、積ｂｃがａで割り切れるならばｃはａで割り切れる。すなわち、
ａ|ｂｃ，(ａ,ｂ)＝１⇒ａ|ｃ
「演習　群・環・体 入門」新妻弘著より

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/feature/1549/

問題１の解答
どこでプールを横断してもその横断距離は変わらないので、横断を抜きにして距離を比較すれば良い。
そこで、プールの左下にいる男性をプールの右下に移動させて、プール沿いに直進させてある地点で斜めに女性の所に直進させる。
つまり、この折れ線が最短になるのは三角形の底辺の場合（折れ線ではなく直線の場合）なので、答えは、一番初めにプールを横断すれば良い、である。

問題２の解法１
ＤＥ//ＡＣより等積変形により△ＡＤＥ＝△ＣＤＥ
この両辺に△ＤＢＥを加えると、△ＡＢＥ＝△ＣＤＢ
よって、△ＤＢＣの面積を求めたいなら△ＡＢＥの面積を求めれば良い。よって、４×４÷２＝８ｃｍ^2

解法２
ＤＥ＝ｘ，ＥＣ＝ｙと置くと、
△ＢＤＥ∽△ＢＡＣより、
４：ｘ＝４＋ｙ：４が成り立つ。
∴ｘ(ｙ＋４)＝１６―――①
ところで、
△ＤＢＣ＝(４＋ｙ)×ｘ×(１/２)
＝ｘ(ｙ＋４)/２―――②
①を②に代入すると、
△ＤＢＣ＝１６/２＝８ｃｍ^2

おまけ：
https://www.tv-asahi.co.jp/reading/goodmorning/225806/

問題３の解法１　算数の解法
∠ＥＢＣ＝●，∠ＢＥＣ＝×と置くと、△ＢＥＣの内角の和より●＋×＝９０°———①
また、ＣＥＤが一直線である事より、
×＋９０°＋∠ＦＥＤ＝１８０°
よって、∠ＦＥＤ＋×＝９０°———②
①，②より、∠ＦＥＤ＝●
よって、∠ＥＢＣ＝∠ＦＥＤ
ここで、ＥＤの延長上にＦから垂線を下ろしその足をＨとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、
△ＢＥＣと△ＥＦＨは合同。（△ＢＥＦが直角二等辺三角形より斜辺が等しい。）
よって、ＥＨ＝ＢＣ＝２０ｃｍ　
よって、ＨＣ＝２０＋ＥＣ　また、ＨＣ＝ＨＤ＋２０より、ＥＣ＝ＨＤ―――③
また、△ＢＥＣと△ＥＦＨが合同より、
ＥＣ＝ＦＨー――④　③，④より、ＨＤ＝ＦＨ
ここで、ＦからＡＤに垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＦＩＤＨは正方形になる。
また、△ＧＡＢと△ＧＩＦは相似で△ＧＡＢの直角を挟む二辺比が５：２０＝１：４より、ＧＩ＝①と置くと、ＦＩ＝④　また、正方形よりＩＤ＝ＦＩ＝④
よって、ＧＤ＝①＋④＝⑤＝１５ｃｍより、①＝３ｃｍ
よって、ＦＩ＝④＝３×４＝１２ｃｍ
よって、正方形よりＦＨ＝ＦＩ＝１２ｃｍ　
よって、④より、ＥＣ＝１２ｃｍ
よって、ＨＣ＝２０＋１２＝３２ｃｍ
よって、△ＢＥＦ＝台形ＦＢＣＨ－△ＢＣＥ－△ＥＨＦ
＝(１２＋２０)×３２÷２－２０×１２÷２×２
＝３２×１６－２０×１２＝５１２－２４０
＝２７２ｃｍ^2
よって、答えは、２７２ｃｍ^2

おまけ：

解法２　何でもありの解法１
ＡＤとＥＦの交点をＨとすると、定石の形（∠ＢＥＨ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°）より△ＢＣＥ∽△ＥＤＨ　
よって、ＥＤの延長上にＦから垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＢＣＥ∽△ＥＩＦでＢＥ＝ＥＦより、
△ＢＣＥ≡△ＥＩＦ
よって、ＣＥ＝ＩＦ＝ｘと置く。ここで、ＦからＧＤに垂線を下ろしその足をＪとすると、△ＧＡＢ∽△ＧＩＦより、
ＧＩ：ＦＩ＝５：２０＝１：４
∴１５－ｘ：ＦＩ＝１：４　∴ＦＩ＝４(１５－ｘ)
∴ＩＤ＝ＦＩ＝４(１５－ｘ)　また、ＤＥ＝２０－ｘより、
ＥＩ＝４(１５－ｘ)＋２０－ｘ＝８０－５ｘ
ところで、ＥＩ＝ＢＣより、８０－５ｘ＝２０
∴５ｘ＝６０　∴ｘ＝１２　∴ＣＥ＝１２ｃｍ
∴ＢＥ＝√(１２^2＋２０^2)＝４^2√(３^2＋５^2)
＝１６√３４ｃｍ
∴△ＢＥＦ＝(１６√３４)^2・(１/２)
＝８・３４＝２７２ｃｍ^2

これは算数の解法とあまり変わりませんね。何でもありの解法２はあまり実戦的ではないですが、私が最初に思い付いた解法です。何でもありなら秒殺でした。（計算は除く。）

おまけ：

解法３　何でもありの解法２
△ＢＣＥを点Ｂを中心にＢＣがＢＡにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ｅの行き先をＥ'とすると、
∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＧＢＥ＝４５°より、
∠ＧＢＥ'＝∠Ｅ'ＢＡ＋∠ＡＢＧ＝∠ＥＢＣ＋∠ＡＢＧ＝９０°－４５°＝４５°
∴∠ＧＢＥ＝∠ＧＢＥ'　また、ＢＥ＝ＢＥ'，ＢＧは共通より、二辺挟角が等しいので、△ＢＧＥ≡△ＢＧＥ'
よって、ＣＥ＝ＡＥ'＝ｘと置くと、ＧＥ'＝ＧＥより、
ｘ＋５＝√{１５^2＋(２０－ｘ)^2}が成り立つ。
∴(ｘ＋５)^2＝１５^2＋(２０－ｘ)^2
∴ｘ^2＋１０ｘ＋２５＝２２５＋ｘ^2－４０ｘ＋４００
∴５０ｘ＝６００　∴ｘ＝１２
∴ＢＥ＝√(１２^2＋２０^2)＝４^2√(３^2＋５^2)
＝１６√３４ｃｍ
∴△ＢＥＦ＝(１６√３４)^2・(１/２)
＝８・３４＝２７２ｃｍ^2

おまけ：
https://instagrammernews.com/detail/3163795619953840545

問題
ＡＢ＝１５，ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１３の△ＡＢＣの外心をＯ，ＢＣの中点をＭ，ＣＡの中点をＮとし、ＯＭ＝ｘ，ＯＮ＝ｙとして方程式を立ててｘを求めて、外接円の半径を求めて下さい。ただし、pythonでも何でもありです。

解答
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨ＝ｍ，ＣＨ＝ｎと置いて、△ＡＢＨと△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、
ｍ^2＋(１４－ｎ)^2＝１５^2―――①
ｍ^2＋ｎ^2＝１３^2―――②
①－②より、１９６－２８ｎ＝２２５－１６９
∴２８ｎ＝１９６＋１６９－２２５＝１４０
∴ｎ＝５　∴ｍ^2＝１６９－２４＝１４４　∴ｍ＝１２
よって、ＡＨ＝１２，ＣＨ＝５
ところで、点Ｏは外心よりＯＭ，ＯＮは辺ＢＣ，ＡＣの垂直二等分線。∴∠ＯＭＣ＝∠ＯＮＣ＝９０°
よって、四角形ＯＭＣＮは円に内接する四角形である。また、辺ＡＢの中点をＬとしてＬＮを結ぶと、中点連結定理より、ＬＮ//ＢＣ　よって、ＭＯの延長とＬＮとの交点をＤとすると、ＯＤ⊥ＬＮとなる。
∴∠ＮＤＯ＝∠ＡＨＣ＝９０°また、四角形ＯＭＣＮは円に内接する四角形より、∠ＮＯＤ＝∠ＡＣＨ
よって、２角が等しいので、△ＮＯＤ∽△ＡＣＨ
∴ＮＤ：ｙ＝１２：１３　∴ＮＤ＝１２ｙ/１３
∴△ＮＯＭ＝ｘ・(１２ｙ/１３)・(１/２)
＝６ｘｙ/１３
また、△ＣＮＭ∽△ＣＡＢで相似比１：２より面積比は１：４。△ＡＢＣ＝１４・１２・(１/２)＝８４より、
△ＣＮＭ＝８４÷４＝２１
∴四角形ＯＭＣＮ＝６ｘｙ/１３＋２１———①
また、四角形ＯＭＣＮ＝７ｘ/２＋１３ｙ/４―――②
①,②より、６ｘｙ/１３＋２１＝７ｘ/２＋１３ｙ/４
∴６ｘｙ＋２１・１３＝７・１３ｘ/２＋１３^2ｙ/４
∴２４ｘｙ＋２１・１３・４＝７・１３・２ｘ
＋１３^2ｙ
∴２４ｘｙ＋１０９２＝１８２ｘ＋１６９ｙ
∴２４ｘｙ－１６９ｙ＝１８２ｘ－１０９２
∴ｙ(２４ｘ－１６９)＝１８２ｘ－１０９２
∴ｙ＝１８２(ｘ－６)/(２４ｘ－１６９)———③
ここで、△ＯＭＣと△ＯＮＣで三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋７^2＝ｙ^2＋(１３/２)^2―――④
③を④に代入すると、
ｘ^2＋４９＝{１８２(ｘ－６)/(２４ｘ－１６９)}^2
＋１６９/４
∴(ｘ^2＋４９)(２４ｘ－１６９)^2
＝１８２^2(ｘ－６)^2＋１６９(２４ｘ－１６９)^2/４
∴４(ｘ^2＋４９)(２４ｘ－１６９)^2
＝４・１８２^2(ｘ－６)^2＋１６９(２４ｘ－１６９)^2
∴４(ｘ^2＋４９)(２４ｘ－１６９)^2
－４・１８２^2(ｘ－６)^2
－１６９(２４ｘ－１６９)^2＝０
これをpythonで展開すると、
2304𝑥^4−32448𝑥^3−2700𝑥^2+1370928^𝑥−3998709＝０
これを因数分解すると、
3(2𝑥−13)(2𝑥+13)(8𝑥−33)(24𝑥−239)＝０
（本当は１回で出来るが手計算の参考のために２段階にした。）
∴ｘ＝±13/2，33/8，239/24
ところで、ｘ＜１３/２は自明（証明は簡単で省略）より、
ｘ＝３３/８　∴ＯＭ＝３３/８
よって、△ＯＣＭで三平方の定理を使うと、
ＯＣ＝√{７^2＋(３３/８)^2}＝√(４９・６４＋３３^2)/８＝√(３１３６＋１０８９)/８＝√４２２５/８＝６５/８
よって、外接円の半径は、６５/８

これが正しい事は裏を取ってあります。
因みに、中学生時代でも1か月ぐらい時間を書ければ手計算で求められたかもしれませんね。もっとも、工夫で求める方法しか認められないと思いますが。個人的には、オリジナルの方が凄いと思います。（教えて貰うエレガントな方法より）

おまけ：

問題
三辺の長さが定まっている三角形の外接円の半径は、正弦定理と余弦定理を使うかあとは中学数学で工夫をする難問ですが、外接円の半径をｒとして、ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂとすると、ヘロンの公式で面積が求められ、三平方の定理で外心Ｏと各辺の距離が求められるので方程式が立てられる。でも、計算が不可能だと中学生の時の考えたのではないでしょうか。
この問題をpythonを繰り返し使用することで求めてみました。興味がある人は挑戦してみて下さい。

今朝、思い付いたので１時間弱で出来ると思います。（８次方程式の形も求めて下さい。）

おまけ：

問題
ＡＢ＝１５，ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１３の△ＡＢＣの外接円の半径を求めて下さい。ただし、pythonでも何でもありです。

別解
ｓ＝(13+14+15)/2＝21と置くと、ヘロンの公式より△ＡＢＣの面積Ｓは、Ｓ＝√s(s-a)(s-b)(s-c)で求められる。
∴Ｓ＝√21(21-13)(21-14)(21-15)＝√7056=84
また、外接円の半径をｒとして三平方の定理を利用すると、Ｓ＝√{ｒ^2－(１３/２)^2}×１３×(１/２)
＋√(ｒ^2－７^2)×１４×(１/２)
＋√{ｒ^2－(１５/２)^2}×１５×(１/２)＝８４が成り立つ。
∴１３√{ｒ^2－(１３/２)^2}＋１４√(ｒ^2－７^2)
＋１５√{ｒ^2－(１５/２)^2}＝１６８
∴１３√(４ｒ^2－１６９)＋２８√(ｒ^2－４９)
＋１５√(４ｒ^2－２２５)＝３３６
∴１３√(４ｒ^2－１６９)＋１５√(４ｒ^2－２２５)
＝３３６－２８√(ｒ^2－４９)
∴{１３√(４ｒ^2－１６９)＋１５√(４ｒ^2－２２５)}^2
＝２８^2・{１２－√(ｒ^2－４９)}^2
これをpythonで計算すると、左辺は、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = (13*(4*r**2-169)**0.5 + 15*(4*r**2-225)**0.5)**2
print(expand(expr))
結果：
390*(4*r**2 - 225)**0.5*(4*r**2 - 169)**0.5 + 225*(4*r**2 - 225)**1.0 + 169*(4*r**2 - 169)**1.0

∴左辺＝390√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 225(4r^2 - 225) + 169(4r^2 - 169)———①

また、右辺は、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = 28**2*(12 - (r**2-49)**0.5)**2
print(expand(expr))
結果：
-18816*(r**2 - 49)**0.5 + 784*(r**2 - 49)**1.0 + 112896

∴右辺＝-18816√(r^2 - 49) + 784(r^2 - 49) + 112896———②

①，②より、
390√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 225(4r^2 - 225) + 169(4r^2 - 169)＝-18816√(r^2 - 49) + 784(r^2 - 49) + 112896

∴390√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 18816√(r^2 - 49)
＝784(r^2 - 49) + 112896 - 225(4r^2 - 225) - 169(4r^2 - 169)

この右辺をまずpythonで計算すると、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = 784*(r**2 - 49) + 112896 - 225*(4*r**2 - 225) - 169*(4*r**2 - 169)
print(expand(expr))
結果：153666 - 792*r**2

∴390√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 18816√(r^2 - 49)
＝153666 - 792r^2

ここで、153666と792の最大公約数をpythonで求めると、
import math
math.gcd(153666,792)
結果：18

また、390と18816の最大公約数を求めると、
import math
math.gcd(390,18816)
結果：6

よって、両辺を６で割ると、
65√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 3136√(r^2 - 49)
＝25611 - 132r^2
∴{65√(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 3136√(r^2 - 49)}^2
＝(25611 - 132r^2)^2
これをpythonで計算すると、左辺は、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = (65*(4*r**2 - 225)**0.5*(4*r**2 - 169)**0.5 + 3136*(r**2 - 49)**0.5)**2
print(expand(expr))
結果：
407680*(r**2 - 49)**0.5*(4*r**2 - 225)**0.5*(4*r**2 - 169)**0.5 + 9834496*(r**2 - 49)**1.0 + 4225*(4*r**2 - 225)**1.0*(4*r**2 - 169)**1.0

∴左辺＝407680√(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 9834496(r^2 - 49) + 4225(4r^2 - 225)・(4r^2 - 169)———③

また、右辺は、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = (25611 - 132*r**2)**2
print(expand(expr))
結果：17424*r**4 - 6761304*r**2 + 655923321
∴右辺＝17424r^4 - 6761304r^2 + 655923321———④

③，④より、
407680√(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169) + 9834496(r^2 - 49) + 4225(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
＝17424r^4 - 6761304r^2 + 655923321

∴407680√(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
＝17424r^4 - 6761304r^2 + 655923321 - 9834496(r^2 - 49) - 4225(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
この右辺を計算すると、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = 17424*r**4 - 6761304*r**2 + 655923321 - 9834496*(r**2 - 49) - 4225*(4*r**2 - 225)*(4*r**2 - 169)
print(expand(expr))
結果：-50176*r**4 - 9937200*r**2 + 977158000

∴407680√(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
＝-50176r^4 - 9937200r^2 + 977158000

ここで、407680と50176と9937200と977158000の最大公約数をpythonで求めると、
import functools

def my_gcd(*integers):
return functools.reduce(math.gcd, integers)

print(my_gcd(407680,50176,9937200,977158000))
結果：784

因みに、前回はimport mathのmath.gcd()で求めたが、私のpythonのバージョンではこの場合は２個の最大公約数しか求められないので、他人のプログラムをパクった。因みに、現在のバージョンではmath.gcd()で３個以上も求められるらしい。
よって、両辺を784で割ると、
520√(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
＝-64r^4 - 12675r^2 + 1246375
∴270400(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)
＝(-64r^4 - 12675r^2 + 1246375)^2
∴(-64r^4 - 12675r^2 + 1246375)^2
－{270400(r^2 - 49)(4r^2 - 225)(4r^2 - 169)}＝０
これをpythonで展開すると、
from sympy import Symbol,expand,factor
r = Symbol('r')
expr = (-64*r**4 - 12675*r**2 + 1246375)**2 - 270400*(r**2-49)*(4*r**2-225)*(4*r**2-169)
print(expand(expr))
結果：
4096*r**8 - 2704000*r**6 + 639263625*r**4 - 62758935850*r**2 + 2057266680625

∴4096𝑟^8−2704000𝑟^6+639263625𝑟^4−62758935850𝑟^2+2057266680625＝０
これを因数分解すると、
(8𝑟−65)(8𝑟+65)・(64𝑟^6−38025𝑟^4+7478250𝑟^2−486927025)＝０

ここで、64ｘ^3−38025ｘ^2+7478250ｘ−486927025＝０として無理数解を求めると、
x1=228.223815684
x2=194.66532697
x3=171.251482346
https://keisan.casio.jp/exec/system/1256966554

これらの平方根を取り正のものだけ取り出すと、
ｒ1＝15.107078
ｒ2＝13.952251
ｒ3＝13.086309

ここで、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、
ＡＨ＝１２となる。これは面積８４，ＢＣ＝１４から、８４×２÷１４＝１２と求めても良い。
外心をＯ，ＢＣの中点をＭとして、△ＯＣＭで三平方の定理を使うと、ＯＭ＝√(ｒ^2－７^2)＜ＡＨ＝１２より、
ｒ^2－４９＜１４４　∴ｒ^2－１９３＜０
∴(ｒ－√１９３)(ｒ＋√１９３)＜０
∴－√１９３＜ｒ＜√１９３＝13.892444
よって、ｒ1＝15.107078，ｒ2＝13.952251が不適はすぐに分かる。また、ＢＯの延長とＡＨとの交点をＤとすると、ＯＭ＜ＤＨでＤＨがＡＨの半分以下である事は明らかなので、実際はＯＭ＝√(ｒ^2－７^2)＜６とすると、ｒ＜9.21…なので、x3=171.251482346も不適である事が言える。
（厳密には前回のｘを使って△ＢＯＭ∽△ＢＤＨからＤＨの長さを求めても良い。）
よって、解は、8𝑟−65＝０から、ｒ＝６５/８である。

おまけ：

＞x3=171.251482346も不適である事が言える。

訂正：ｒ3＝13.086309も不適である事が言える。

定理1.9
整数ａ1,ａ2,･･･,ａnの最大公約数をｄとする。ｄ'がａ1,･･･,ａnの公約数であれば、ｄ'はｄの約数である。すなわち、
(ａ1,･･･,ａn)＝ｄ，ｄ'|ａ1,･･･,ｄ'|ａn ⇒ ｄ'|ｄ

別証
ｄが最大公約数である事より、
ａ1＝ａ'1ｄ，ａ2＝ａ'2ｄ，･･･，ａn＝ａ'nｄ———①
ただし、ａ'1,･･･,ａnには共通因数がない。
と置ける。
また、条件より、
ｄ'|ａ1，ｄ'|ａ2，･･･，ｄ'|ａn———②
①を②に代入すると、
ｄ'|ａ'1ｄ，ｄ'|ａ'2ｄ，･･･，ｄ'|ａ'nｄ
ここで、 ｄ'∤ｄと仮定すると、 ｄ'∤ｄである事とａ'1,･･･,ａnには共通因数がない事より、
ｄ'|ａ'1ｄ，ｄ'|ａ'2ｄ，･･･，ｄ'|ａ'nｄが成り立たない。
つまり、ｄ'がａ1,･･･,ａnの公約数である事に矛盾する。
よって、背理法により、ｄ'|ｄである。
よって、示された。

おまけ：