数学

解説
＞（１）～Bが同値関係で、ｘを含む同値類はＢ＋ｘで表されること、（２）～Bは＋，－と両立すること、までは証明済みである。

念のため、これは事実６と事実７の事である。
（１）の方は事実６の（２）の
「（２）その同値関係～Hによる同値類で、要素ａを含むもの
Ｃ(ａ)＝{ｘ∈Ｇ｜ｘ(～H)ａ}
は、次のように表せる：
Ｃ(ａ)＝Ｈ△ａ」
のＨ△ａがＢ＋ｘという事である。（演算△を＋にする。）

＞事実１３
環(Ａ,＋,×)の任意のイデアルＢから、２項関係”～B”を
ｘ(～B)ｙとは、ｘ＋(－ｙ)∈Ｂが成り立つことである
と定義すると、次のことが成り立つ。
（１）この関係～Bは同値関係で、ｘを含む同値類はＢ＋ｘで表される。
（２）この同値関係は演算＋，(－)，×と両立する。

因みに、事実６の前に定義６というのがあって、

定義６
(Ｈ,△)が(Ｇ,△)の部分群であるとき、ｘ,ｙ∈Ｇに対して
ｘ△ｙ'∈Ｈ
が成り立つことを、「ｘとｙはＨを法として合同である」といって、記号ｘ(～H)ｙで表す。

とあるので、事実１３の２項関係ｘ(～B)ｙを、
ｘ≡ｙ（mod Ｂ）と置いてみると、
ｘ－ｙ≡０（mod Ｂ）
これをｘ－ｙ∈Ｂと考えると辻褄が合うだろう。（ｘ△ｙ'∈Ｈの△を＋とすると、ｙ'は逆元より－ｙだから、
ｘ＋(－ｙ)∈Ｈで事実１３のｘ＋(－ｙ)∈Ｂと同じになる。）

ここで、Ｂを具体的にｎℤ（ｎの倍数の集合）としてみると、ｘ－ｙ≡０（mod ｎℤ）でｘ－ｙ∈ｎℤよりｘ－ｙがｎの倍数。よって、ｘ≡ｙ（mod ｎℤ）はｎで割った余りが等しい集合でｘ＋ｎℤ＝ｙ＋ｎℤを表している。
よって、事実１３の（１）の「ｘを含む同値類はＢ＋ｘで表される」も納得出来るだろう。ｘ＋ｎℤのｎℤをＢに戻すと、ｘ＋ＢでＢ＋ｘだから。（加法だから逆にしたが、これはＢが正規部分群という意味でもある。）

＞関係～Bは、集合Ａの中の関係として、可換群(Ａ,＋)において正規部分群(Ｂ,＋)から定まる同値関係～Bと同じ

これは直前の定義１１を見れば良い。

定義１１
性質(１Ｂ)～(３Ｂ)をみたすＡの部分集合Ｂを、環(Ａ,＋,×)のイデアルという。Ｂがイデアルなら、(Ｂ,＋)は可換群(Ａ,＋)の正規部分群である。

事実１３は「環(Ａ,＋,×)の任意のイデアルＢから」とあるので、イデアルについての事である。よって、環をやっているのに正規部分群の事実７に戻った訳である。

しかし、初見だったら挫折していただろう。私だったら誰でもわかる本が書けそうだが。笑（まだ全然無理。）
まぁ、結局、演習問題をやり込まないとピンと来ないのかもしれないが。

おまけ：

問題１の暗算用の解答
△ＡＢＣと△ＰＢＱと△ＲＱＣが相似である事は自明で、
△ＰＢＱと△ＲＱＣも３：４：５の直角三角形である。
よって、ＲＱ＝③，ＲＣ＝④と置くと、ＰＱ＝③より、
△ＰＢＱと△ＲＱＣの相似比はＰＱ：ＲＣ＝３：４
よって、ＢＱ：ＱＣ＝３：４より、ＢＱ：ＢＣ＝３：７
よって、△ＰＢＱと△ＡＢＣの相似比は３：７より、
面積比は３×３：７×７＝９：４９
よって、△ＰＢＱ＝(９/４９)△ＡＢＣ＝(９/４９)×６
＝５４/４９ｃｍ^2
よって、答えは、５４/４９ｃｍ^2

算数用に解きましたが、普通はＡＰ＝ＰＱ＝ｘと置いて、
ＰＢ＝３－ｘより、３－ｘ：ｘ＝３：４
∴３ｘ＝４(３－ｘ) 　∴７ｘ＝１２　∴ｘ＝１２/７
∴ＰＢ＝３－１２/７＝９/７ｃｍ
また、ＰＱ＝１２/７ｃｍ
∴△ＢＰＱ＝(９/７)×(１２/７)×(１/２)＝５４/４９ｃｍ^2と求めるのではないでしょうか。

問題２
９個の連続する自然数の和が９０になるとき、連続する自然数の最初の数字を求めてください。
□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＝９０

解法１
連続する整数なので、真ん中の数の前後の２つの数の和は±１,±２,…が相殺されて真ん中の数の２倍になる。つまり、その２数の平均値は真ん中の数字と同じである。
全ての前後の組で同じ事が言えるので、真ん中の数字は９個の和の平均値である。
よって、９０÷９＝１０
あとは、真ん中を１０にして連続する数字を前後で４個ずつ書くと、
６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４
より、答えは、６

解法２
最初の数字をａと置くと、
ａ＋(ａ＋１)＋(ａ＋２)＋･･･＋(ａ＋８)＝９０
よって、ａ×９＋１＋２＋･･･＋８＝９０
よって、ａ×９＋３６＝９０
よって、ａ×９＝５４
よって、ａ＝６
よって、答えは、６

他にも、等差数列の和の公式や１＋２＋３＋･･･＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２を２つ使う方法などあると思うが、面倒臭いので省略。

おまけ：

問題
三辺の長さが１３，１４，１５の三角形の内接円の半径を求めて下さい。ただし、面積は使わないで求めて下さい。
https://www.excite.co.jp/news/article/E1689338153496/

解答
ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＣＡ＝１５の△ＡＢＣを描き、内接円の中心をＩとし、円とＢＣとの接点をＴとする。
ここで、ＡＩの延長とＢＣとの交点をＤとすると、角の二等分線の定理より、ＢＤ：ＣＤ＝１３：１５
∴ＢＤ＝(１３/２８)ＢＣ＝(１３/２８)×１４
＝１３/２
また、公式より、
ＢＴ＝(ＢＡ＋ＢＣ－ＣＡ)/２＝(１３＋１４－１５)/２＝６　
∴ＤＴ＝１３/２－６＝１/２———①
（公式を使わない場合は、円とＡＢとの接点をＳとして、ＢＴ＝ＢＳ＝ｘと置くと、(１３－ｘ)＋(１４－ｘ)＝１５を解けば良い。）
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨ＝１２，ＢＨ＝５と置くと、ＣＨ＝１４－５＝９より、
ＣＨ：ＡＨ：ＡＣ＝９：１２：１５＝３：４：５で△ＡＣＨが直角三角形である事に合う。
よって、逆にＢＨ＝５，ＡＨ＝１２，ＡＢ＝１３の直角三角形とＣＨ＝９，ＡＨ＝１２，ＡＣ＝１５の直角三角形をＡＨでくっつけるとＢＨＣは一直線になり、ＡＢ＝１３，ＢＣ＝５＋９＝１４，ＣＡ＝１５の三角形になる。∴ＡＨ＝１２
（念のため、ＡＨ＝ｘ，ＢＨ＝ｙと置いて２つの三角形で三平方の定理を使うのが無難な方法。）
また、ＤＨ＝１３/２－５＝３/２―――②
ところで、ＩＴ⊥ＢＣ，ＡＨ⊥ＢＣより、
△ＤＩＴ∽△ＤＡＨ　∴ＩＴ：ＡＨ＝ＤＴ：ＤＨ
∴ｒ：１２＝１/２：３/２＝１：３
∴ｒ＝４
よって、内接円の半径は、４

おまけ：
「俺がアンダードッグ（負け犬）扱いをされるってことは、俺は舐められてる。そういうことだろ。色々なコメントを聞いたし、目にしたよ。『パワーがない』とか『あいつは顎が弱点だ』と、『イノウエはなんだかんだ』ってね。そういう声を聞くのも嫌いじゃないよ。全く悪くない。俺を疑っているってことだろ？ だったら信じさせてやるだけだ」
引用元：https://news.yahoo.co.jp/articles/5043a19af2fdc83ccc0457e795b61b92ccdb9ba0

https://nikkan-spa.jp/1603010/2

問題１
数学記号を使って式を成立してください。
９ ９ ９ ＝４

解答
√９＋９÷９＝３＋１＝４

問題２
Ａ、Ｂ、Ｃに入る数字は？
ＡＢＣ÷ＢＣ＝２９

解法１
ＡＢＣ＝２９×ＢＣより、
　２９
×ＢＣ
――――
ＡＢＣ

９×Ｃの一の位がＣよりＣ＝０か５しかない。
Ｃが０の場合、
　２９
×Ｂ０
――――
ＡＢ０

また、２９×Ｂが２桁なので、Ｂ＝１，２，３
よって、
　２９　　　２９　　　２９
×１０　　×２０　　×３０
――――　————　————
２９０　　５８０　　８７０

よって、２９０÷１０＝２９，５８０÷２０＝２９
　　　　８７０÷３０＝２９で、どれも不適。

Ｃが５の場合、
　２９
×Ｂ５
――――
ＡＢ５

また、２９×Ｂが２桁なので、Ｂ＝１，２，３
よって、
　２９　　　２９　　　　２９
×１５　　×２５　　　×３５
――――　————　—————
４３５　　７２５　　１０２５

よって、４３５÷１５＝２９，７２５÷２５＝２９より、
７２５÷２５＝２９が適正。
よって、ＡＢＣ＝７２５より、
Ａ＝７，Ｂ＝２，Ｃ＝５

解法２
ＡＢＣ＝２９×ＢＣより、
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ＝２９×(１０Ｂ＋Ｃ)
∴１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ＝２９０Ｂ＋２９Ｃ
∴１００Ａ＝２８０Ｂ＋２８Ｃ＝２８(１０Ｂ＋Ｃ)
∴２５Ａ＝７(１０Ｂ＋Ｃ)
ここで、２５と７は互いに素より、Ａは７の倍数で１桁よりＡ＝７（Ａ≠０より）
∴１０Ｂ＋Ｃ＝２５　∴Ｂ＝２，Ｃ＝５
∴Ａ＝７，Ｂ＝２，Ｃ＝５

どちらも１０秒じゃ解けませんよね。

おまけ：

解説
＞このような同値関係～に対して
Ｂ＝{ｘ｜ｘ～０}
とおく

例えば、Ｂ＝{ｘ｜ｘ≡０（mod ｎ）}と置くと、

＞Ｂは次の性質をもっている。
（１Ｂ）ｘ,ｙ∈Ｂ ならば ｘ＋ｙ∈Ｂ
＜証明＞　ｘ～０，ｙ～０ならばｘ＋ｙ～０＋０＝０
（２Ｂ）ｘ∈Ｂならば－ｘ∈Ｂ
＜証明＞　ｘ～０ならば－ｘ～－０＝０から明らか。

Ｂはｎの倍数の集合より、１Ｂの性質は当然である。ｎの倍数とｎの倍数を足してもｎの倍数だから。
また、２Ｂもｎの倍数のマイナス１倍はｎの倍数だから当然である。
念のため、Ｂ＝{ｘ｜ｘ≡０（mod ｎ）}はただの１例である。

＞（３Ｂ）ｘ∈Ｂならば、任意のｙ∈Ａに対してｘ×ｙ∈Ｂ
注意　ｙ∈Ｂでなくてもよいから、これは強い条件である。これがあるため、もし１∈ＢだとＢ＝Ａになってしまう。

その上の文章から「（Ｂ,＋）は（Ａ,＋）の部分群である」ので、ｘ，ｙは共にＢに属していなくても片方はＡの任意の元でもｘ×ｙ∈Ｂとなる。
これもＢ＝{ｘ｜ｘ≡０（mod ｎ）}で考えれば当然である。ｎの倍数に何を掛けてもｎの倍数になるからである。

＞もし１∈ＢだとＢ＝Ａになってしまう。

Ｂがｎの倍数の集合だとすると、例えば、３の倍数の集合だったら１なんか入っている訳がない。つまり、１∈Ｂだとすると、ｎ＝１の場合で１の倍数全体の集合より、
Ｂ＝{ｘ｜ｘ≡０（mod ｎ）}とした場合は整数全体の集合という事である。
つまり、Ｂ⊂Ａだったのが、Ｂ＝Ａになるという事。

おまけ：

算数の解法
円の中心をＯとし、円とＡＤ，ＡＢ，ＢＣとの接点をそれぞれＳ，Ｔ，Ｕとすると、等脚台形の対称性と円と接線の関係より、
ＡＴ＝ＡＳ＝８÷２＝４ｃｍ，ＢＴ＝ＢＵ＝１０÷２＝５ｃｍ
また、台形の性質より∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°（ただの平行線の性質。）
また、内接円の性質よりＯＡ，ＯＢはそれぞれ∠Ａ，∠Ｂの二等分線。
よって、∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＝(∠Ａ＋∠Ｂ)÷２
＝１８０°÷２＝９０°
よって、∠ＡＯＢ＝１８０°－９０°＝９０°
また、円の中心と接線との関係より、ＯＴ⊥ＡＢ
よって、△ＯＡＢは直角三角形で直角から斜辺に垂線ＯＴが降りている形なので、△ＯＡＴと△ＢＯＴは相似である。（厳密な証明は△ＢＡＯがそれぞれの三角形と２角が等しいので相似である事を言えば簡単（１つの角を共有と直角が等しい）。もちろん、直接２角が等しい事を示しても良い。）
よって、ＯＴ×ＯＴ＝ＡＴ×ＢＴ（相似の比を計算するとこうなる。アーキタスの定理を覚えておくと楽。）
よって、ＯＴ×ＯＴ＝４×５＝２０
ところで、ＯＴは円の半径より、円の面積は、
２０×３.１４＝６２.８ｃｍ^2

解法２　数学の解法
円の中心をＯとし、円とＡＤ，ＡＢ，ＢＣとの接点をそれぞれＳ，Ｔ，Ｕとすると、等脚台形の対称性と円と接線の関係より、ＡＴ＝ＡＳ＝８÷２＝４ｃｍ，ＢＴ＝ＢＵ＝１０÷２＝５ｃｍ　∴ＡＢ＝４＋５＝９ｃｍ
ここで、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、等脚台形の対称性より、
ＢＨ＝(１０－８)÷２＝１ｃｍ
よって、△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、
ＡＨ＝√(９^2－１^2)＝√８０＝４√５ｃｍ
∴台形ＡＢＣＤ＝(８＋１０)×４√５×(１/２)
＝３６√５ｃｍ^2———①
また、内接円の半径をｒと置くと、
台形ＡＢＣＤ＝８ｒ/２＋１０ｒ/２＋(９ｒ/２)×２
＝１８ｒ———②
①，②より、１８ｒ＝３６√５を解くと、
ｒ＝２√５ｃｍ
よって、内接円の面積は、
Ｓ＝(２√５)^2×３.１４＝２０×３.１４
＝６２.８ｃｍ^2

おまけ：
https://twitter.com/kanokire/status/1414111515116859397?ref_src=twsrc%5Etfw%7Ctwcamp%5Etweetembed%7Ctwterm%5E1414111515116859397%7Ctwgr%5E2e8327fb45ef8cb38ad0ac61cba7ebccba8ffd2f%7Ctwcon%5Es1_&ref_url=https%3A%2F%2Fmyjitsu.jp%2Farchives%2F294493

問題１の解答
方べきの定理より、ｘ・８＝３・９　∴ｘ＝２７/８
相似の解法もあるが省略。

改題
弧ＢＤが円全体の１/４で弧ＡＣが円全体の１/８である時、∠Ｐの大きさを求めて下さい。

解答
アルハゼンの定理より、
∠Ｐ＝弧ＢＤの円周角－弧ＡＣの円周角
＝４５°－２２.５°＝２２.５°
アルハゼンの定理を使わない解法もあるが省略。

問題２の解法１
青色部分の面積＝半円＋半円＋半円＋半円－正方形
ここで、正方形の１辺の長さを２とすると、
青色部分の面積＝１×１×３.１４÷２×４－２×２
＝６.２８－４＝２.２８
よって、２.２８/４＝２２８/４００＝５７/１００
＝０.５７より、０.５７倍

解法２
正方形ＡＢＣＤを十字で４等分して、その１/４の正方形と青色い部分の比率を求めれば良い。
多分、それを定石化していて０.５７と暗記しているのだろう。よって、答えは、０.５７倍。

正方形の内部のラグビーボール型と正方形の比率
正方形の１辺の長さを１とすると、
ラグビーボール型の面積＝１×１×３.１４×(１/４)×２－１×１＝１.５７－１＝０.５７
よって、１：０.５７

問題３の算数の解法
底辺の２５ｃｍの左右の正方形の底辺部分を上に９０°折ると、２５＋８＋３ｃｍが中央の正方形の３辺分の長さになる。よって、中央の正方形の１辺の長さは、
３６÷３＝１２ｃｍ
よって、左の正方形の１辺の長さは、１２－８＝４ｃｍ
右の正方形の１辺の長さは、１２－３＝９ｃｍ
よって、答えは、１２×１２＋４×４＋９×９
＝１４４＋１６＋８１＝１６０＋８１＝２４１ｃｍ^2

何でもありの解法
左の正方形の１辺の長さをｘ，中央の正方形の１辺の長さをｙ，右の正方形の１辺の長さをｚと置くと、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５―――①
ｙ＝ｘ＋８―――②
ｙ＝ｚ＋３―――③
②,③より、ｘ＋８＝ｚ＋３　∴ｚ＝ｘ＋５―――④
②,④を①に代入すると、ｘ＋ｘ＋８＋ｘ＋５＝２５
∴３ｘ＝１２　∴ｘ＝４
これを②に代入すると、ｙ＝１２
これを③に代入すると、ｚ＝９
∴ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝４^2＋１２^2＋９^2
＝１６＋１４４＋８１＝２４１
よって、答えは、２４１ｃｍ^2

因みに、算数脳が発達していない人でも、①＋②＋③をすれば算数と同じ効果が出る事が分かるだろう。

因みに、この（６）は分からない。https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/1312
（５）までは次回やろう。大学入試問題の難問かな？

おまけ：

問題
３桁の自然数の各桁の数字の和が１２となる場合の数を求めて下さい。

解法１　思い付いた順
３桁の整数をａｂｃとすると、ａ＋ｂ＋ｃ＝１２
ここで、ａ,ｂ,ｃの限定を解除して考えると、重複組み合わせの定石問題なので場合の数は、
3Ｈ12＝3+12-1Ｃ12＝14Ｃ12＝14Ｃ2＝14・13/2＝91通り
しかし、これは限定解除した上に百の位の０も入れてしまっている値である。
そこで、重複組み合わせの原理を考えて、Ａ,Ｂ,Ｃの３つの箱から重複を許して１２個を取り出す組み合わせは９１通りであるが、初めにａにだけ１個確保しておくと、
Ａ,Ｂ,Ｃの３つの箱から重複を許して１１個を取り出す組み合わせで、百の位の０を除いた値が出る。つまり、
3Ｈ11＝3+11-1Ｃ11＝13Ｃ11＝13Ｃ2＝13・12/2＝78通り
これから、十の位と一の位の１０以上の場合を除く。
（１，１，１０），（２，０，１０），（１，０，１１），（１２，０，０）で全てである。
（１，１，１０）は入れ換え３通り。
（２，０，１０）は百の位の０を除いた入れ換え４通り。
（１，０，１１）も百の位の０を除いた入れ換え４通り。
（１２，０，０）はこれ１通り。
よって、計３＋４＋４＋１＝１２通り
よって、答えは、７８－１２＝６６通り

解法２　数え上げ。
１２９の入れ換え６通り。
１３８の入れ換え６通り。
１４７の入れ換え６通り。
１５６の入れ換え６通り。
２２８の入れ換え３通り。
２３７の入れ換え６通り。
２４６の入れ換え６通り。
２５５の入れ換え３通り。
３３６の入れ換え３通り。
３４５の入れ換え６通り。
４４４は１通り。
０３９は百の位の０を除いた入れ換え４通り。
０４８は百の位の０を除いた入れ換え４通り。
０５７は百の位の０を除いた入れ換え４通り。
０６６は百の位の０を除いた入れ換え２通り。
よって、６×７＋４×３＋３×３＋２＋１
＝４２＋１２＋９＋３＝５４＋１２＝６６通り
よって、答えは、６６通り

または、０３９などを６通り、０６６を３通りと考えて、百の位が０になる場合の数２＋２＋２＋１＝７通りを全体から引いても良い。その場合は、
６×１０＋３×４＋１－７＝６０＋１２－６＝６６通り

解法３　pythonはいいですね。（邪道解）
count = 0
ans = [ ]
for a in range(1,10):
for b in range(0,10):
for c in range(0,10):
if a + b + c == 12:
ans.append((a,b,c))
count += 1
print('場合の数は{0}通り,{1}'.format(count,ans))

結果：場合の数は66通り,[(1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (1, 6, 5), (1, 7, 4), (1, 8, 3), (1, 9, 2), (2, 1, 9), (2, 2, 8), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 5, 5), (2, 6, 4), (2, 7, 3), (2, 8, 2), (2, 9, 1), (3, 0, 9), (3, 1, 8), (3, 2, 7), (3, 3, 6), (3, 4, 5), (3, 5, 4), (3, 6, 3), (3, 7, 2), (3, 8, 1), (3, 9, 0), (4, 0, 8), (4, 1, 7), (4, 2, 6), (4, 3, 5), (4, 4, 4), (4, 5, 3), (4, 6, 2), (4, 7, 1), (4, 8, 0), (5, 0, 7), (5, 1, 6), (5, 2, 5), (5, 3, 4), (5, 4, 3), (5, 5, 2), (5, 6, 1), (5, 7, 0), (6, 0, 6), (6, 1, 5), (6, 2, 4), (6, 3, 3), (6, 4, 2), (6, 5, 1), (6, 6, 0), (7, 0, 5), (7, 1, 4), (7, 2, 3), (7, 3, 2), (7, 4, 1), (7, 5, 0), (8, 0, 4), (8, 1, 3), (8, 2, 2), (8, 3, 1), (8, 4, 0), (9, 0, 3), (9, 1, 2), (9, 2, 1), (9, 3, 0)]

おまけ：

解法１の補足
重複組み合わせを使いたくない人のために。

解法１－２
＞３桁の整数をａｂｃとすると、ａ＋ｂ＋ｃ＝１２
ここで、ａ,ｂ,ｃの限定を解除して考えると、重複組み合わせの定石問題なので場合の数は、
3Ｈ12＝3+12-1Ｃ12＝14Ｃ12＝14Ｃ2＝14・13/2＝91通り
（中略）
百の位の０を除いた値が出る。つまり、
3Ｈ11＝3+11-1Ｃ11＝13Ｃ11＝13Ｃ2＝13・12/2＝78通り

１２個の○を描いて、○○○○○○○○○○○○
これを２ヶ所で区切ると、例えば、
○○○|○○○○○|○○○○ ３５４が作れる。
つまり、○と○の隙間１１ヶ所のどの２ヶ所に｜を入れるかで、11Ｃ2＝11・10/2＝５５通り。
また、これでは０が入るものが作れないので、別途考えると、（１，０，１１），（２，０，１０），（３，０，９），（４，０，８），（５，０，７），（６，０，６），（１２，０，０）で全部で、
（１，０，１１）などの入れ換えは百の位が０を除いた入れ換え４通り。また、（６，０，６）は２通り。（１２，０，０）は１通りより、４×５＋２＋１＝２３通りを加えると、
５５＋２３＝７８通り

解法１－３
１２個の○と|２本を描いて、||○○○○○○○○○○○○
これらの入れ換えを考えると、14Ｃ2＝14・13/2＝91通り
これは３数の和が１２の全ての場合を表していて、百の位も０が入った値なので、百の位が０の場合を別途考える。（上の図は０，０，１２を表している。）
（０，１，１１），（０，２，１０），（０，３，９），（０，４，８），（０，５，７），（０，６，６），（０，０，１２）
（０，１，１１）の十の位と一の位の入れ換え２通り。
（０，６，６）は１通り。
（０，０，１２）の十の位と一の位の入れ換え２通り。
よって、２×６＋１＝１３通りを引くと、
９１－１３＝７８通り

おまけ：

＞解法１－３
１２個の○と|２本を描いて、||○○○○○○○○○○○○

変な所で切れていましたね。
訂正：||○○○○○○○○○○○○

問題１の解法１
∠ＡＤＥと∠ＧＤＣの和が９０°で、また、△ＡＤＥの内角の和より∠ＡＤＥと∠ＥＡＤの和も９０°なので、
つまり、∠ＧＤＣ＝∠ＥＡＤである。
また、∠Ｇ＝∠Ｅ＝９０°より２角が等しいので、△ＡＤＥと△ＤＣＧは相似でＡＤ＝ＤＣより合同である。
∴ＡＥ＝ＤＧ
ここで、ＡＥ＝ＤＧ＝５ｃｍとしてみると、ＤＥ＝５＋７＝１２ｃｍ　また、ＡＤ＝１３ｃｍより△ＡＤＥは５，１２，１３の直角三角形で合う。よって、ＡＥ＝５ｃｍである。
また、△ＦＤＡと△ＡＤＥは∠ＡＤＥを共有していて∠Ａ＝∠Ｅ＝９０°より２角が等しいので、相似である。
よって、△ＦＤＡも５：１２：１３の直角三角形。
∴ＡＦ＝(５/１２)ＡＤ＝(５/１２)×１３＝６５/１２ｃｍ

ＡＥ＝５ｃｍの所は、厳密には、ＡＥ＝ＤＧ＝ｘと置いて△ＡＤＥで三平方の定理を使うと、ｘ^2＋(ｘ＋７)^2＝１３^2　∴２ｘ^2＋１４ｘ－１２０＝０　∴ｘ^2＋７ｘ－６０＝０
∴(ｘ＋１２)(ｘ－５)＝０　∴ｘ＝５　∴ＡＥ＝５ｃｍ

解法２
ＢからＣＧに垂線を下ろしその足をＨとし、ＢＨと直線ｌ（エル）との交点をⅠ（アイ）とすると、四角形ＡＢＣＤが正方形より対称性で４つの直角三角形は全て合同になり、中央の四角形ＧＥＩＨは正方形になる。
よって、ＡＥ＝ｘｃｍと置くとＤＥ＝ｘ＋７ｃｍで面積を考えると、
１３^2＝{ｘ(ｘ＋７)/２}×４＋７^2が成り立つ。
∴１６９＝２ｘ^2＋１４ｘ＋４９　
∴２ｘ^2＋１４ｘ－１２０＝０　∴ｘ^2＋７ｘ－６０＝０
∴(ｘ＋１２)(ｘ－５)＝０　∴ｘ＝５　∴ＡＥ＝５ｃｍ
以後同じ。

他にも多少の別解は作れるが、あまり面白くないので省略。

おまけ：

やっぱり、解法３
ただし、今一である。

問題１の解法３
ＢからＣＧに垂線を下ろしその足をＨとし、ＢＨと直線ｌ（エル）との交点をⅠ（アイ）とすると、四角形ＡＢＣＤが正方形より対称性で４つの直角三角形は全て合同になり、中央の四角形ＧＥＩＨは正方形になる。
よって、△ＡＥＤ＝(１３^2－７^2)÷４＝３０ｃｍ^2
ここで、ＥからＡＤに垂線を下ろしその足をＪとすると、
ＥＪ＝３０×２÷１３＝６０/１３ｃｍ
今、ＡＪ＝ｘ，ＤＪ＝ｙと置いて、アーキタスの定理を使うと、(６０/１３)^2＝ｘｙが成り立つ。
https://d.hatena.ne.jp/keyword/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%AD%E3%82%BF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86（４番目）
また、ｘ＋ｙ＝１３
よって、解と係数の関係より、ｘ，ｙは、
ｔ^2－１３ｔ＋(６０/１３)^2＝０の２つの解である。
これを解の公式で解くと、
ｔ＝[１３±√{１３^2－４(６０/１３)^2}]/２
＝[１３±√{(１３^4－１２０^2)/１３^2}]/２
＝[１３±√{(１６９^2－１２０^2)/１３^2}]/２
＝{１３±√(４９・２８９/１３^2)}/２
＝(１３±７・１７/１３)/２
＝(１６９±１１９)/２６
＝２８８/２６，５０/２６＝１４４/１３，２５/１３
ｘ＜ｙより、ｘ＝２５/１３，ｙ＝１４４/１３
また、ｘ＋ｙ＝１３より、
ＤＪ：ＤＡ＝ｙ：ｘ＋ｙ＝１４４/１３：１３＝１４４：１６９
∴ＡＦ＝(１６９/１４４)ＥＪ＝(１６９/１４４)×(６０/１３)＝１３・５/１２＝６５/１２ｃｍ
よって、答えは、６５/１２ｃｍ

おまけ：

問題２の解法１
∠ＤＦＣ＝１８０°－６０°－９０°＝３０°
ここで、ＤからＦＥの延長上に垂線を下ろしその足をＨとすると、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、
△ＦＤＨ≡△ＦＤＣ　∴ＤＨ＝ＤＣ　また、ＤＣ＝ＤＡより、ＤＨ＝ＤＡ
よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので、
△ＤＥＡ≡ＤＥＨ　∴∠ＤＥＡ＝∠ＤＥＨ
また、∠ＦＥＢ＝１８０°－９０°－６０°＝３０°より、∠ＡＥＨ＝１８０°－３０°＝１５０°
∴∠ｘ＝∠ＤＥＡ＝１５０°÷２＝７５°
よって、答えは、７５°

解法２
ＥからＦＤに垂線を下ろしその足をＩとし、ＡＢとＦＤの交点をＧとすると、△ＧＥＦは底角が３０°の二等辺三角形で、△ＥＧＩと△ＦＧＢは合同な１：２：√３の直角三角形になる。
よって、ＧＢ＝ＧＩ＝１とすると、ＦＢ＝ＥⅠ＝√３　
また、△ＦＤＣも１：２：√３の直角三角形より、ＢＣ＝ＤＣ＝ｘと置くと、ｘ＋√３：ｘ＝√３：１
∴√３ｘ＝ｘ＋√３　∴(√３－１)ｘ＝√３
∴ｘ＝√３/(√３－１)＝√３(√３＋１)/２
＝(３＋√３)/２
∴ＤＣ＝(３＋√３)/２より、ＦＤ＝３＋√３
また、ＦⅠ＝２＋１＝３より、ⅠＤ＝√３
∴ＥＩ＝ＩＤ　よって、△ＥＩＤは直角二等辺三角形。
∴∠ＩＥＤ＝４５°また、∠ＧＥＩ＝３０°より、
∠ｘ＝３０°＋４５°＝７５°

因みに、１５°，７５°，９０°の三辺比を使えばもっとずっと簡単である。が、つまらない。

おまけ：

解説
＞「ｘとｐが互いに素でなければ、ｘはｐの倍元である」ことを証明すればよい。

事実８
素元ｐと任意の要素ｘは、ｘがｐの倍元でなければ、互いに素である。

の対偶で、対偶は真偽が一致するからである。

＞ｐは素元だからｐ'は単元で逆元ｐ''があり（事実３）、ｓ＝ｐ''×ｐはｐの倍元。

もうちょっと上の「ｐ＝ｐ'×ｓ」の両辺に左からｐ''をかけると、ｐ''×ｐ＝ｐ''×ｐ'×ｓ＝(ｐ''×ｐ')×ｓ＝ｅ×ｓ＝ｓ
よって、ｓ＝ｐ''×ｐ

＞つまり、素元の定義ではなく既約元の定義を使って証明しているのである。（ｐ＝ｐ'×ｓでｐ'が単元という事。）大丈夫な理由を述べて下さい。

素元ならば既約元だから既約元の定義で証明しても問題ない。（因みに、逆はある条件がないと成り立たない。）

ついでに、

＜例＞　ℝ[Ｘ]において、１次式(Ｘ－α)，(Ｘ－β)は既約多項式（したがって素元）であるから、α≠βならば、互いに素である。

既約多項式と素元は同値である。その理由の前に、上のある条件とは一意分解整域である事である。

問5.14
一意分解整域においては、既約元と素元は同値な概念であることを示せ。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

では、理由は、まず、ℝ[Ｘ]は実数ℝは体より体Ｋ上の既約多項式についてである。そこで、

定理4.10
体Ｋ上の多項式は既約多項式の積として、因子の順序とＫの元の積を除いて一意的に分解される。

より、上の＜例＞は一意分解整域での話だから既約多項式＝素元なのである。

補足：定理4.7
体Ｋ上の１変数の多項式環Ｋ[Ｘ]のイデアルはすべて単項イデアルである。すなわち、Ｋ[Ｘ]は単項イデアル整域である。

もっとも、こんな長々と証明じみた事をしなくても、

定義4.6
ｆ(Ｘ)を次数がｎ(＞０)の体Ｋ上の多項式とする。ｆ(Ｘ)が次数が共に１以上の二つの多項式に分解されるとき、ｆ(Ｘ)は可約であるといい、そうでないとき既約であるという。既約な多項式を既約多項式という。
　体Ｋ上の３つの多項式ｆ(Ｘ),ｇ(Ｘ),ｈ(Ｘ)について、ｆ(Ｘ)が既約多項式であれば、定理4.9によって、
ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)⇒ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ)またはｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)
が成り立つ。

とあり、これが素元の定義と同じである事を考えれば、既約多項式と素元が同値である事は自明だが。因みに、既約元と素元の定義はもっと後の別のセクションにあるので２回ぐらい読まないと気付けない。

念のため、「なっとくする群・環・体」野﨑昭弘著での素元の定義は、

定義５
単元でない要素ｘについて、ｘ＝ｙ×ｚのような”分解”が、ｙまたはｚが単元の場合しかありえないとき、ｘを素元という。

と、既約元の定義だが、最小限で理解させるための選択をしたのだろう。

定義5.4
Ｒを整域とする。Ｒの単元でも０でもない元をａとする。ａ＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒ）ならば、ｂまたはｃがＲの単元でなければならないとき、ａをＲの既約元という。また、Ｒの元ｂ,ｃに対して、ａ|ｂｃであるとき、ａ|ｂかまたはａ|ｃの少なくとも一方が成り立つ、という条件を満足しているときａをＲの素元という。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

可逆元の所を単元に変えてみた。

おまけ：

補足
定理5.3
Ｒを整域とし、ｐをＲの元とする。ｐが素元であれば、ｐは既約元である。
「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著より

問題１
並び替えて単語を作ってください！
んさんきなゃがちぽ

解答
ながさきちゃんぽん

問題２の解答
○は１個しか使われていないので、２か４のどちらか１つだけである。
まず、アを２ｇとすると、イは奇数なので３ｇとすると左の天秤皿は２＋３＝５ｇとなるが、それより軽い組み合わせ（右の天秤皿より）は存在しないので、イは５ｇしかない。
その場合、左の天秤は２＋５＝７ｇとなり、それより軽い奇数の組み合わせは１ｇと３ｇだけでエを１ｇとしても３ｇとしてもイの５ｇより軽いので右の天秤に矛盾する。
よって、アは４ｇに決定である。
その場合、イを５ｇとすると、左の天秤皿は４＋５＝９ｇとなり、それより軽い奇数の組み合わせは１ｇと３ｇであるが、どちらもイの５ｇより軽いので右の天秤に矛盾する。
また、イを１ｇとすると、左の天秤皿は４＋１＝５ｇとなり、それより軽い奇数の組み合わせは存在しないので、イは３ｇしかない。
その場合、左の天秤皿は４＋３＝７ｇでそれより軽い奇数の組み合わせは１ｇと５ｇである。ここで、エを５ｇとすると、イは３ｇで右の天秤も矛盾しない。
よって、答えは、ア４ｇ，イ３ｇ，ウ１ｇ，エ５ｇ
で、これしか存在しない。

問題３は次回。

おまけ：
https://magazineworld.jp/anan/anan-editors-2149-2/

問題３
次の式を計算し、整数値で答えてください。
√{(１１^4＋１００^4＋１１１^4)/２}

解答
１１１^4＝(１００＋１１)^4として二項定理で展開すると、
(１００＋１１)^4＝１００^4＋4Ｃ1・１００^3・１１
＋4Ｃ2・１００^2・１１^2＋4Ｃ3・１００・１１^3
＋１１^4
＝１００^4＋４４・１００^3＋６・１１^2・１００^2
＋４００・１１^3＋１１^4

∴１１^4＋１００^4＋１１１^4＝１１^4＋１００^4
＋１００^4＋４４・１００^3＋６・１１^2・１００^2
＋４００・１１^3＋１１^4
＝２・１１^4＋２・１００^4＋４４・１００^3
＋６・１１^2・１００^2＋４００・１１^3

∴(１１^4＋１００^4＋１１１^4)/２＝１１^4＋１００^4
＋２２・１００^3＋３・１１^2・１００^2
＋２００・１１^3
＝(１１^2＋１００^2)^2－２・１１^2・１００^2
＋２２・１００^3＋３・１１^2・１００^2
＋２００・１１^3
＝(１１^2＋１００^2)^2＋１１^2・１００^2
＋２２・１００^3＋２００・１１^3
＝(１１^2＋１００^2)^2＋(１１・１００)^2
＋２２・１００^3＋２００・１１^3
＝{(１１^2＋１００^2)＋１１・１００}^2
－２・１１・１００(１１^2＋１００^2)
＋２２・１００^3＋２００・１１^3
＝{(１１^2＋１００^2)＋１１・１００}^2
－２・１１・１００(１１^2＋１００^2)
＋２・１１・１００(１００^２＋１１^2)
＝{(１１^2＋１００^2)＋１１・１００}^2
＝(１２１＋１００００＋１１００)^2
＝１１２２１^2

∴(１１^4＋１００^4＋１１１^4)/２＝１１２２１^2
∴√{(１１^4＋１００^4＋１１１^4)/２}＝１１２２１
よって、答えは、１１２２１

因みに、解いた後に検索してみたら数学オリンピックの問題でもっとエレガントな解法がありました。
次回はそれを解説しますね。

おまけ：

問題３の模範解答の解説

問題３
次の式を計算し、整数値で答えてください。
√{(１１^4＋１００^4＋１１１^4)/２}



要は、ａ＝１１，ｂ＝１００とおいて、
ａ^4＋ｂ^4＋(ａ＋ｂ)^4＝ａ^4＋２ａ^3ｂ＋３ａ^2ｂ^2＋２aｂ^3＋ｂ^4（展開作業は省略。）
ａ^4＋２ａ^3ｂ＋３ａ^2ｂ^2＋２aｂ^3＋ｂ^4を因数分解する問題である。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13154644193
こちらの人達も省略して(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)^2としている。
https://ange1.hateblo.jp/entry/2016/01/27/213950
こちらの人は１変数にして解説している。これは４次の相反方程式の定石ですね。ただし、もう２０年ぐらい前だと思うが、私は別の定石を作り出したので、今回のものに応用してみよう。
ａ^4＋２ａ^3ｂ＋３ａ^2ｂ^2＋２aｂ^3＋ｂ^4
＝(ａ^2＋ｂ^2)^2－２ａ^2ｂ^2＋２ａ^3ｂ＋３ａ^2ｂ^2＋２aｂ^3
＝(ａ^2＋ｂ^2)^2＋ａ^2ｂ^2＋２ａｂ(ａ^2＋ｂ^2)
＝{(ａ^2＋ｂ^2)＋ａｂ}^2
＝(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)^2
実に単純である。皆、本当には自分で解いていないのである。（４次以外はどうだったか忘れたが、全てこの方式で代用出来る。）
念のため、ダメ出しではない。質より量をこなさないといけないので、一々全部自分で考えてはいられないですよね。

おまけ：
https://rikeilabo.com/reciprocal-equation（こちらの問題で試してみて下さい。ずっと楽に出来ますよ。）