数学

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903030001/

暗算で２通りで解いてみました。何通りか作れると思いますが、２通りぐらいで良いです。念のため、暗算なら何でもありです。（もちろん、１通りは中学数学で解きましたが。）

おまけ：

問題作ってみました。

問題
ある線分ＡＢとその中点Ｍが与えられています。目盛りのない定規だけでＡＢの平行線を引いて下さい。

念のため、定規の幅はないものとします。また、コンパスもないのに垂線は勝手に引けません。
因みに、こちらの投稿に刺激を受けました。https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/1217

念のため、当然ですが証明も付けて下さい。

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/a6d81e2015bc6f8bfecd76581b7225a7316fa493

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903040001/

何でもありで解ければ良いです。余裕がある人は算数も含めて何通りか作って下さい。（上級者は瞬殺ですね。）

おまけ：

次の事を説明して下さい。

定理6.6
Ｋをｑ個（ｑ＝ｐ^r，ｒ≧１）の元からなる体とすると、Ｋは多項式Ｘ^q－Ｘの互いに異なるｑ個の根で構成されている。

定理6.8
同じ個数の元からなる２つの有限体は同型である。

定理6.6から同じ個数の有限体は一意的ではないのか。

念のため、別に面白くありません。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
有限体Ｋ上の標数をｐ（＞０）とする。ｆ(Ｘ)を有限体Ｋ上の既約多項式とし、ｆ(Ｘ)がＫに重根をもつと仮定する。すると、補題３よりｆ'(Ｘ)＝０である。
ｆ(Ｘ)＝ａ0＋ａ1Ｘ＋ａ2Ｘ^2＋…＋ａnＸ^n（ａi∈Ｋ）
とおけば、
ｆ'(Ｘ)＝ａ1＋２ａ2Ｘ^1＋３ａ3Ｘ^2＋…＋ｎａnＸ^(n-1)＝０
である。ゆえに、
ａ1＝０，２ａ2＝０，…，ｉａi＝０，…，ｎａn＝０
ここで、Ｋは体であるから
ｉａi＝ｉ１_K・ａi＝０⇒ｉ１_K＝０またはａi＝０
よって、ａi≠０⇒ｉ１_K＝０
ｉ１_K＝０ということは、Ｋの素体Ｆp＝ℤpの中で０ということであるから、ｉ≡０（modｐ）
すなわち、ｉ１_K＝０⇔ｐ|ｉ
このことを多項式ｆ(Ｘ)にもどって考えると、ｆ(Ｘ)の０でない項の次数はすべてｐで割り切れるということを意味している。ゆえに、ｆ(Ｘ)は
ｆ(Ｘ)＝∑ａiＸ^pi（ａi∈Ｋ）
と表される。また、演習問題７で示したようにＫ＝Ｋ^pであるから、係数ａiはあるＫの元ｂiがあってａi＝ｂi^pと表される。したがって、
ｆ(Ｘ)＝∑ａiＸ^pi＝∑ｂi^pＸ^pi＝(∑ｂiＸ^i)^p
これは、ｆ(Ｘ)が可約となることを表しているので、ｆ(Ｘ)が既約であることに矛盾している。
以上によって、有限体Ｋ上の既約多項式は重根をもたないことが証明された。

補題３
Ｋ[Ｘ]を体Ｋ上の多項式環とし、ｆ(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]とする。また、αをＫのある拡大体Ｌの元でｆ(α)＝０であるとする。このとき、次の命題が成立する。
（１）αがｆ(Ｘ)の重根である⇔αがｆ(Ｘ)とｆ'(Ｘ)の共通根である。
（２）ｆ(Ｘ)が既約であるとするとき、αがｆ(Ｘ)の重根であることと、ｆ'(Ｘ)＝０であることは同値である。

演習問題７
Ｋを標数ｐの有限体，
Ｋのすべての元のｐ重根を含む体を~Ｋ，
K^p＝{ａ^p｜ａ∈Ｋ}，
Ｋ^(1/p)＝{ａ^(1/p)∈~Ｋ｜ａ∈Ｋ}
とする。このとき、次の事を証明せよ。
（１）Ｋ^pとＫ^(1/p)は体で、Ｋ^p⊂Ｋ⊂Ｋ^(1/p)を満たしている。
（２）Ｋ^p＝Ｋ
（３）Ｋ^(1/p)＝Ｋ
（引用終わり）

具体的には、

＞ここで、Ｋは体であるから
ｉａi＝ｉ１_K・ａi＝０⇒ｉ１_K＝０またはａi＝０

ここぐらいですね。念のため、１_Kは体Ｋの乗法単位元です。なぜこんな事をするのか理由も述べて下さい。あとは使っている法則ですね。

おまけ：

問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903050002/

どういう工夫かよく分かりませんね。まぁ、適当にやりました。

問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903050001/

普通に解いても面白くないので、三平方の定理は使わないで解いて下さい。念のため、３：４：５の三辺比も使ってはいけないという事です。

おまけ：

問題作ってみました。

問題
ＡＢ＝３ｃｍ，ＡＣ＝２ｃｍの△ＡＢＣの∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとした時、ＡＤ＝２ｃｍとなった。この時、辺ＢＣの長さを求めよ。

因みに、普通に解けば簡単ですが、三平方の定理も角の二等分線の定理も使ってはいけないという条件の下では結構難しいと思います。（私は２通り作ってみました。）
念のため、不自然に角の二等分線の定理を導きながら解いたりはしていません。

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
Ｋを標数ｐの有限体，
Ｋのすべての元のｐ重根を含む体を~Ｋ，
K^p＝{ａ^p｜ａ∈Ｋ}，
Ｋ^(1/p)＝{ａ^(1/p)∈~Ｋ｜ａ∈Ｋ}
とする。このとき、次の事を証明せよ。
（１）Ｋ^pとＫ^(1/p)は体で、Ｋ^p⊂Ｋ⊂Ｋ^(1/p)を満たしている。
（２）Ｋ^p＝Ｋ
（３）Ｋ^(1/p)＝Ｋ

証明
（１）（ⅰ）Ｋ^pはＫの部分体であることを示す。１＝１^p∈Ｋ^pであるから、Ｋ^p≠φである。ｘ,ｙ∈Ｋ^pとする。このとき、ｘとｙはあるＫの元ａ,ｂが存在してｘ＝ａ^p∈Ｋ，ｙ＝ｂ^p∈Ｋと表される。すると、補題４によって
● ｘ－ｙ＝ａ^p－ｂ^p＝(ａ－ｂ)^p∈Ｋ^p
ｘ,ｙ≠０ならばａ,ｂ≠０であるから、
● ｘ・ｙ^-1＝ａ^p・(ｂ^p)^-1＝ａ^p・(ｂ^-1)^p＝(ａｂ^-1)^p∈(Ｋ^p)^*
したがって、定理1.6よりＫ^pはＫの部分体である。
（ⅱ）Ｋ^(1/p)は~Ｋの部分体であることを示す。
１∈Ｋであるから、１∈Ｋ^(1/p)　ゆえに、Ｋ^(1/p)≠φである。ｘ,ｙ∈Ｋ^(1/p)とする。このとき、ｘとｙはｘ^p∈Ｋ，ｙ^p∈Ｋであるからｘ^p＝ａ∈Ｋ，ｙ^p＝ｂ∈Ｋとおく。すると、Ｋ^(1/p)の定義によって
● (ｘ－ｙ)^p＝ｘ^p－ｙ^p＝ａ－ｂ∈Ｋ⇒ｘ－ｙ∈Ｋ^(1/p)
ｘ,ｙ≠０ならばａ,ｂ≠０であるから、
● (ｘ・ｙ^-1)^p＝ｘ^p・(ｙ^-1)^p＝ｘ^p・(ｙ^p)^-1＝ａ・ｂ^-1∈Ｋ^*⇒ｘ・ｙ^-1∈(Ｋ^(1/p))^*
したがって、定理1.6によってＫ^(1/p)は~Ｋの部分体である。
（ⅲ）Ｋ^p⊂Ｋ⊂Ｋ^(1/p)を示す。
Ｋ^p⊂Ｋであること：ｘ∈Ｋ^pとする。このとき、ｘはｘ＝ａ^p（ａ∈Ｋ）と表される。ａ∈Ｋで、Ｋは体であるからｘ＝ａ^p∈Ｋ
Ｋ⊂Ｋ^(1/p)であること：ｘ∈Ｋとすると、ｘ^p∈Ｋであるから、Ｋ^(1/p)の定義によってｘ∈Ｋ^(1/p)である。
（２）Ｋ^p＝Ｋを示す。ａ∈Ｋならばａ^p∈Ｋ^pであるから、
ｆ：Ｋ→Ｋ^p（ａ→ｆ(ａ)＝ａ^p）
なる全射を考えることができる。このとき、ｆ(１)＝１である。また、ａ,ｂ∈Ｋに対して、補題４により、
ｆ(ａ＋ｂ)＝(ａ＋ｂ)^p＝ａ^p＋ｂ^p＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)
ｆ(ａ・ｂ)＝(ａ・ｂ)^p＝ａ^p・ｂ^p＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)
であるから、ｆは全準同型写像である。ここで、Ｋは体であるから、定理3.4よりｆは単射、ゆえに、ｆは同型写像である。以上より、ＫとＫ^pは同型であるから、それらの濃度、すなわち個数は一致する。したがって、ＫとＫ^pは包含関係Ｋ^p⊂Ｋがあって個数が一致するから、集合として一致する。すなわち、Ｋ＝Ｋ^p
（３）（２）の証明と同じ方法を用いる。ｘ∈Ｋ^(1/p)とすると、ｘ^p∈Ｋであるから、
ｇ：Ｋ^(1/p)→Ｋ（ｘ→ｇ(ｘ)＝ｘ^p）
なる全射を考えることができる。ｘ,ｙ∈Ｋ^(1/p)に対して、補題４より、
ｇ(ｘ＋ｙ)＝(ｘ＋ｙ)^p＝ｘ^p＋ｙ^p＝ｇ(ｘ)＋ｇ(ｙ)
ｇ(ｘ・ｙ)＝(ｘ・ｙ)^p＝ｘ^p・ｙ^p＝ｇ(ｘ)・ｇ(ｙ)
さらに、ｇ(１)＝１であるから、ｇは全準同型写像である。ここで、Ｋ^(1/p)は体であるから、定理3.4よりｇは単射、ゆえに、ｇは同型写像である。したがって、Ｋ^(1/p)とＫは同型であるから、それらの濃度、すなわち個数は一致する。
以上より、ＫとＫ^(1/p)は包含関係Ｋ⊂Ｋ^(1/p)があって個数が一致するから、集合として一致する。すなわち、Ｋ＝Ｋ^(1/p)

補題４
Ｋを標数ｐの体で、α,βをＫの元、ｑ＝ｐ^r（ｒ≧１）とすると次の式が成り立つ。
(α＋β)^q＝α^q＋β^q
(α－β)^q＝α^q－β^q

定理1.6
体Ｋの空でない部分集合ＳがＫの部分体であるための必要十分条件は次の（１）,（２）が成り立つことである。
（１）ａ,ｂ∈Ｓ⇒ａ－ｂ∈Ｓ（∀ａ,ｂ∈Ｓ）
（２）ａ,ｂ∈Ｓ^*⇒ａ・ｂ^-1∈Ｓ^*（∀ａ,ｂ∈Ｓ^*）
ただし、Ｓ^*はＳからゼロ元０_Rを除いた集合Ｓ^*＝Ｓ－{０_R}を表すものとする。
　言いかえると、体Ｋの空でない部分集合ＳがＫの部分体であるための必要十分条件は、Ｓが加法に関してＫの部分群であって、Ｓ^*が乗法に関してＫ^*の部分群になっていることである。

定理3.4
体Ｋから環Ｒへの準同型写像ｆ：Ｋ→Ｒは単射である。
（引用終わり）

具体的には、

＞Ｋ⊂Ｋ^(1/p)であること：ｘ∈Ｋとすると、ｘ^p∈Ｋであるから、Ｋ^(1/p)の定義によってｘ∈Ｋ^(1/p)である。

ここだけで良いです。ただし、用心深く考えて下さい。

おまけ：

ライアーゲーム

問題
ｐを素数とし、ｑ＝ｐ^r（ｒ≧１）とする。このとき、次のことを示せ。
（１）Ｆqのすべての元の和は０に等しい。
（２）Ｆqの０以外の元すべての積は－１に等しい。

証明
定理6.6より、Ｆqは多項式Ｘ^q－Ｘの根の全体と一致している。したがって、Ｆq＝{ａ0＝０,ａ2,…,ａq-1}とおけば
Ｘ^q－Ｘ＝(Ｘ－ａ0)(Ｘ－ａ1)…(Ｘ－ａq-1)
が成り立つ。ここで右辺を展開すると、
Ｘ^q－Ｘ＝Ｘ^q－(ａ0＋ａ1＋…＋ａq-1)Ｘ^(q-1)＋…＋(－１)^(q-1)(ａ1…ａq-1)Ｘ
（１）両辺のＸ^(q-1)の係数を比較すると、０＝ａ0＋ａ1＋…＋ａq-1
（２）両辺のＸの係数を比較すると、－１＝(－１)^(q-1)・(ａ1…ａq-1)
● ｐ＝２のとき、－１＝１でありｑ＝ｐ^rは偶数であるから、ｑ－１は奇数である。ゆえに、－１＝－１(ａ1…ａq-1)よりａ1…ａq-1＝１＝－１
● ｐ≠２のとき、ｑ＝ｐ^rであるから、ｑ－１は偶数である。ゆえに、ａ1…ａq-1＝－１である。したがって、任意の素数ｐに対してａ1…ａq-1＝－１が成り立つ。

定理6.6
Ｋをｑ個（ｑ＝ｐ^r，ｒ≧１）の元からなる体とすると、Ｋは多項式Ｘ^ｑ－Ｘの互いに異なるｑ個の根で構成されている。したがって、Ｘ^q－ＸはＫ[Ｘ]の中で１次式の積に分解される。
（引用終わり）

別解
定理6.6より、Ｆqは多項式Ｘ^q－Ｘ＝０の根の全体と一致している。∴Ｘ(Ｘ^(q-1)－１)＝０
よって、Ｘ＝０を除くと、Ｘ^(q-1)＝１の根である。
ここで、「ガロア理論の頂を踏む」石井俊全著のp.239の定理4.7より、
ξ＝cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)と置くと、１のｎ乗根はξ0(＝１),ξ^1,ξ^2,…,ξ^(n-1)のｎ個であり、
ｘ^n－１＝(ｘ－１)(ｘ－ξ)(ｘ－ξ^2)…(ｘ－ξ^(n-1))と因数分解出来る。
よって、（１）のＦqの全ての元の和は、
０＋１＋ξ＋ξ^2＋…＋ξ^(q-2)―――①
また、p.247の定理4.11より、
ξ＝cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)，１≦ｊ≦ｎ－１の時、
∑(k=0~n-1)ξ^kj＝１＋ξ^j＋ξ^2j＋…＋ξ(n-1)j＝０
ここで、ｊ＝１とすると、１＋ξ^1＋ξ^2＋…＋ξ(n-1)＝０
∴１＋ξ^1＋ξ^2＋…＋ξ(q-2)＝０―――②
②を①に代入すると、
Ｆqの全ての元の和は、０＋１＋ξ＋ξ^2＋…＋ξ^(n-1)＝０である。よって、示された。
（２）Ｆqの０以外の元とは、Ｘ^(q-1)＝１の根で、１,ξ,ξ^2,…,ξ^(q-2)の事である。
よって、Ｆqの０以外の元すべての積は、
ξ^(1+2+…+(q-2))であり、１＋２＋３＋…＋(ｑ－２)＝(ｑ－２)(ｑ－１)/２より、
ξ^(1+2+…+(q-2))＝ξ^{(q-2)(q-1)/2}
＝{ξ^(q-1)}^{(q-2)/2}＝１^{(q-2)/2}＝１
（ξ^(q-1)＝１で１は有理数乗しても１だから。実際は無理数乗しても１。）
よって、「Ｆqの０以外の元すべての積は－１」ではなく「Ｆqの０以外の元すべての積は１に等しい」。

どこに間違いがあるでしょうか。また、（１）の別解も正しいかどうかジャッジして下さい。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903060001/

予想外に苦戦しました。また、何でもありで解いてみたのですが、これがまた予想外に苦戦しました。（電卓はなしです。）

おまけ：

次の文章を完全解説して下さい。

問題
Ｆ3[Ｘ]に属する次数が３以下の既約多項式をすべて求めよ。

解答
Ｆ3＝ℤ3＝{０,１,２}
（１）１次の多項式ａＸ＋ｂは形式的に６（＝２・３）個考えられる。
{Ｘ，Ｘ＋１，Ｘ＋２，２Ｘ，２Ｘ＋１，２Ｘ＋２}
しかし、２＝－１であることに注意すれば、可逆元を除いて３個で、これらはすべて既約である。ゆえに、１次のモニックな既約多項式は{Ｘ，Ｘ＋１，Ｘ＋２}である。
（２）２次の多項式ａＸ^2＋ｂＸ＋ｃは形式的に１８（＝２・３・３）個考えられるが、ａ＝１の場合を考えれば十分である。何故ならば２Ｘ^2＋ｂＸ＋ｃ＝－(Ｘ^2－ｂＸ－ｃ)であるから、２Ｘ^2＋ｂＸ＋ｃは可逆元を除いてａ＝１の場合の多項式のどれかになる。この場合、次の９個の多項式が考えられる。
Ｘ^2，　　Ｘ^2＋Ｘ，　　Ｘ^2＋２Ｘ，
Ｘ^2＋１，Ｘ^2＋Ｘ＋１，Ｘ^2＋２Ｘ＋１，
Ｘ^2＋２，Ｘ^2＋Ｘ＋２，Ｘ^2＋２Ｘ＋２

上の式の中から容易に因数分解できる可約な多項式を除くと、次のようになる。
Ｘ^2＋１，Ｘ^2＋Ｘ＋１，Ｘ^2＋２Ｘ＋１，Ｘ^2＋Ｘ＋２，Ｘ^2＋２Ｘ＋２
これらは２次式であるから、Ｘ＝１,２を代入して０になれば、その多項式は可約である。
● Ｘ＝１のとき：Ｘ^2＋Ｘ＋１＝１＋１＋１＝０であるから、Ｘ^2＋Ｘ＋１はＸ－１＝Ｘ＋２で割り切れる。このとき、Ｘ^2＋Ｘ＋１＝(Ｘ＋２)^2
● Ｘ＝２のとき：Ｘ^2＋２Ｘ＋１＝２^2＋２・２＋１＝９＝０であるから、Ｘ^2＋２Ｘ＋１はＸ－２＝Ｘ＋１で割り切れる。このとき、Ｘ^2＋２Ｘ＋１＝(Ｘ＋１)^2
この他の多項式はＸ＝１,２を代入しても０にはならない。したがって、Ｆ3[Ｘ]における２次の既約多項式は次の３個である。
Ｘ^2＋１，Ｘ^2＋Ｘ＋２，Ｘ^2＋２Ｘ＋２
（３）は省略。
（引用終わり）

具体的には、

＞しかし、２＝－１であることに注意すれば、可逆元を除いて３個で、これらはすべて既約である。

具体的にどういう事かというより、「可逆元を除いて」の部分をよく解説して下さい。

＞● Ｘ＝２のとき：Ｘ^2＋２Ｘ＋１＝２^2＋２・２＋１＝９＝０であるから、Ｘ^2＋２Ｘ＋１はＸ－２＝Ｘ＋１で割り切れる。このとき、Ｘ^2＋２Ｘ＋１＝(Ｘ＋１)^2

なぜこんなに面倒臭い事をわざわざしているのか理由を述べて下さい。念のため、最後の所は普通に因数分解出来る。

おまけ：

問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903060002/

定番の問題ですね。一応、別解も作ってみました。ただし、系（同系）ではありません。

おまけ：