数学

解法１　最短の解法
△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形よりＡＣ＝４ｃｍ　よって、△ＢＡＣで角の二等分線の定理を使うと、
ＡＰ：ＰＣ＝３：５より、
ＡＰ＝(３/８)ＡＣ＝３/２ｃｍ
また、△ＡＢＣは直角三角形でＡＲは直角から斜辺に垂線が下りている形なので、定石により、
△ＡＢＣ∽△ＲＢＡ∽△ＲＡＣ（証明は簡単で省略。）
よって、△ＲＢＡも３：４：５の直角三角形である。
∴ＡＲ＝(４/５)ＡＢ＝１２/５ｃｍ
また、△ＢＡＲで角の二等分線の定理を使うと、ＡＱ＝(５/８)ＡＲ＝(５/８)×(１２/５)＝３/２ｃｍ
ここで、ＰからＡＱに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＰＨ∽△ＡＣＲで△ＡＣＲは３：４：５の直角三角形より△ＡＰＨも３：４：５の直角三角形。
∴ＰＨ＝(４/５)ＡＰ＝(４/５)×(３/２)＝６/５ｃｍ
∴△ＡＰＱ＝(３/２)×(６/５)×(１/２)＝９/１０ｃｍ^2
よって、答えは、９/１０ｃｍ^2

因みに、この解法は条件のＡＤ//ＢＣも△ＰＡＤ部分も使いません。また、ＡＲは相似で３：４：５の直角三角形の３辺比を使わなくても、△ＡＢＣの面積を利用して、５ＡＲ＝６からＡＲ＝６/５ｃｍと求められます。また、最後の垂線はＱからＡＰに下ろしても同様ですね。念のため、条件のＡＤ//ＢＣなどを使えば角の二等分線の定理を使わなくても求められます。
解法２は次回。結構面白いと思います。

おまけ：

解法２
錯角より∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ＝○　また、∠ＡＢＤ＝○より、∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ
よって、△ＡＢＤは二等辺三角形。また、∠ＲＡＤ＝９０°，∠ＢＡＣ＝９０°より∠ＲＡＤ＝∠ＢＡＣ
この両辺から共通部分の∠ＱＡＰを引くと、∠ＤＡＰ＝∠ＢＡＱ　よって、△ＡＢＤが二等辺三角形で∠ＤＡＰ＝∠ＢＡＱより対称性より△ＱＡＰは二等辺三角形である。（厳密な証明は簡単で省略。）
また、△ＡＢＣは３：４：５の直角三角形よりＡＣ＝４ｃｍ
また、△ＰＡＤ∽△ＰＣＢでＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝５ｃｍより相似比は３：５　
∴ＡＰ＝(３/８)×４＝３/２ｃｍ
ここで、ＡからＱＰに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨの延長とＲＣとの交点をＥとすると、ＡＨは∠Ａの二等分線よりＡＥも∠Ａの二等分線。よって、△ＡＲＣで角の二等分線の定理を使う。ところで、△ＡＢＣは直角三角形でＡＲは直角から斜辺に垂線が下りている形なので、定石で△ＲＢＡも△ＲＡＣも３：４：５の直角三角形である。
∴ＲＥ：ＥＣ＝ＡＲ：ＡＣ＝３：５　
∴ＲＥ＝(３/８)ＲＣ＝(３/８)×(１６/５)＝６/５ｃｍ（ＲＣ＝(４/５)ＡＣより）
また、ＡＲ＝(３/５)ＡＣ＝１２/５ｃｍ
∴ＡＲ：ＲＥ＝２：１
ところで、△ＡＱＨ∽△ＡＥＲよりＡＨ：ＨＱ＝２：１
また、△ＡＱＨ≡△ＡＰＨより、ＰＨ＝ＱＨ＝ｘと置くと、ＡＨ＝２ｘで、△ＡＰＨで三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋(２ｘ)^2＝(３/２)^2　∴５ｘ^2＝９/４
∴ｘ^2＝９/２０―――①
また、△ＡＰＱ＝２ｘ×２ｘ×(１/２)＝２ｘ^2―――②
①を②に代入すると、△ＡＰＱ＝９/１０ｃｍ^2

おまけ：

解説
事実６　正整数ｘ,ｙの最小公倍数をＬ，最大公約数をＤとすると、
ｘ×ｙ＝Ｌ×Ｄ

証明
ｘ＝ｘ'Ｄ，ｙ＝ｙ'Ｄ（ｘ'とｙ'は互いに素）と置ける。（ｘ'とｙ'が互いに素でないとすると共通因数が存在しそれをＤの方に移せばｘ'とｙ'は必ず互いに素となり、その変化したＤが真の最大公約数となる。）
この２式を掛け合わせると、
ｘｙ＝ｘ'ｙ'Ｄ^2＝Ｄ・ｘ'ｙ'Ｄ―――☆

ここで、＜例題＞
ｍ,ｎを事実３ように表したとき、
ｔj＝ｒj，ｓjの大きいほう（等しいときはどちらでもよい），
ｄj＝ｒj，ｓjの小さいほうとおくと
Ｌ＝ｐ1^t1・ｐ2^t2・…・ｐk^tkはｍ,ｎの最小公倍数，
Ｄ＝ｐ1^d1・ｐ2^d2・…・ｐk^dkはｍ,ｎの最大公約数

また、ｘ＝ｘ'Ｄ，ｙ＝ｙ'Ｄを
ｘ＝ｘ'^1ｙ'^0Ｄ，ｙ＝ｘ'^0ｙ'^1Ｄと見ると、ｘとｙの最小公倍数は、Ｌ＝ｘ'^1ｙ'^1Ｄ＝ｘ'ｙ'Ｄ―――①
①を☆に代入すると、
ｘｙ＝Ｄ・Ｌ　∴ｘ×ｙ＝Ｌ×Ｄ

事実７　ｘ,ｙが互いに素で、積ｙ・ｚがｘで割り切れるなら、ｚがｘで割り切れる。

証明
定理より、ｘとｙが互いに素ならば、ある整数ａ,ｂが存在して、ａｘ＋ｂｙ＝１と出来る。
この両辺にｚを掛けると、ａｘｚ＋ｂｙｚ＝ｚ
ここで、条件よりｙｚがｘで割り切れるので左辺はｘで割り切れる。よって、右辺もｘで割り切れるのでｚはｘで割り切れる。よって、示された。

一応、定理について補足。
定理1.7
２つの整数ａ,ｂの最大公約数をｄとすれば、ｄ＝ａｘ＋ｂｙを満足する整数ｘ,ｙが存在する。
(ａ,ｂ)＝ｄ⇒∃ｘ,ｙ∈ℤ，ａｘ＋ｂｙ＝ｄ

これにｄ＝１を代入したものである。（この定理の証明は自分で調べて下さい。）
因みに、「ｘとｙが互いに素ならば、ある整数ａ,ｂが存在して、ａｘ＋ｂｙ＝１と出来る」はイメージ的には当たり前のような事である。ａとｂが互いに素でなかったら共通因数があるので１に出来る訳がない（その共通因数の倍数になるから）。ただし、
ａとｂに共通因数がある⇒ａｘ＋ｂｙ≠１　この対偶を取ると、ａｘ＋ｂｙ＝１⇒ａとｂは互いに素である
この逆の証明は自明ではない。
つまり、「ｘとｙが互いに素ならば、ある整数ａ,ｂが存在して、ａｘ＋ｂｙ＝１と出来る」の証明は自明ではない。

おまけ：

解説
＞「２つの地点で、太陽が井戸の真上に来る時刻の差」から地球の大きさを計算したことで有名である。

何も見ないで、どういう事か推理して解説して下さい。（ただし、私もあまり自信がない。）

円（地球）を描き、その中心をＯとする。Ｏの真上の点をＡとし、ちょっと右にずれた点をＢとする。ここで、太陽光線を考えると、Ａ地点でもＢ地点でも同じＯＡ（の延長）と平行な直線である。（太陽は巨大だから。）
まず、弧ＡＢの長さは移動距離で実測できる。また、ＯＢの延長上に点Ｃを取り、点Ｂにおける太陽光線の直線上に点Ｄを取ると、同位角より∠ＣＢＤ＝∠ＢＯＡ＝θと置き、円の半径をｒと置くと、
ｍ＝２πｒ×(θ/360°)―――①が成り立つ。
ところで、地点Ｂで井戸の真上との角度差が計れればθが求まりそれで良いが、多分無理である。そこで、地球は１日で１回転する事に着目して「２つの地点で、太陽が井戸の真上に来る時刻の差」をｔ分とすると、θ/３６０＝ｔ/(２４×６０)＝ｔ/１４４０より、
θ/３６０＝ｔ/１４４０―――②
②を①に代入すると、ｍ＝２πｒ×(ｔ/１４４０)
∴２πｒ＝１４４０ｍ/ｔ
ここで、ｍは実測できるしｔも実測できるので、２πｒが求まる。よって、地球の周の長さが分かるという事だろう。

投稿した後に裏を取ってみるつもりです。

＞③　Ｎまでの素数のリストを作りたいとき、新しく○がついた数ｐの２乗ｐ^2がＮを超えたら、そこでやめてよい―――残っている数は、○がついていてもいなくても、すべて素数である。
＜例＞Ｎ＝３０の場合は、５の倍数までを消せば、７^2＞３０だから、そこから先に残っている７,１１,１３,１７,１９,２３,２９はすべて素数である。

例えば、合成数の２６だったら２×１３＝１３×２なので、２の方で先に消されているので１３で消す必要がないという事である。つまり、３０までだったら√３０までの素数でやれば良いという事である。

＞定理１　素数は無限に存在する。

素数が有限個しかないと仮定すると、最大の素数が存在し、それをｐと置く。
今、全ての素数の積を考えると、２・３・５・・・ｐである。そして、この数に１を加えた数を考えると、
２・３・５・・・ｐ＋１である。この数は２，３，・・・など全ての素数で割ると１余る数である。つまり、全ての素数で割り切れないので合成数ではなく素数である。
ところが、この数は最大の素数ｐより明らかに大きい素数である。よって、矛盾が生じる。
よって、背理法により、素数は無限に存在する。

おまけ：

＞エラトステネスは紀元前３～２世紀に活躍したギリシャの数学者・天文学者・地理学者で、「２つの地点で、太陽が井戸の真上に来る時刻の差」から地球の大きさを計算したことで有名である。

何か時刻差を使っていませんね。https://www.nippo1.co.jp/earth/02.html

「彼は、ある時期になると太陽が、決まってエジプトのシエネにある井戸の真上にくることを知っていた。また、そのときシエネから８００キロメートルほど離れたアレキサンドリアから太陽を見上げてみると７.２度傾いていたという。
　さて、地球が丸いとするならば、上の図のようになるだろう。シエネ－アレキサンドリア間は８００キロメートル、そしてその距離がつくる角度は７.２度である。先ほど説明した「弧の長さとその弧がつくる角度が比例する」ということから、地球の円周の長さは、
地球の円周×(360/7.2)×８００＝４０,０００(ｋｍ)
となる。現在知られている赤道の長さが４０,０７７キロメートルであることを考えれば驚異的な正確さだといえるだろう。
　地球の大きさを測るだけでなく、人工衛星を打ち上げるときの初速も、いまのような簡単な数学の知識さえあればおおまかにはわかる。
　現代社会で生きていくために、数学の知識がますます必要とされてきているが、基本的な数学の考え方さえきちんと身につけていれば解決できるケースが結構多いことがわかるだろう。」
「数学トリック」樺旦純著より

２３年前に買った本です。結構、覚えているものですね。時間差の方は謎だが。（あれでも良いのだろうか。）

おまけ：

問題１
４つの５と数学記号を使って「＝８」になるようにしてください。
５５５５＝８

解答
５！÷(５＋５＋５)＝１２０÷１５＝８
よって、答えは、５！÷(５＋５＋５)

５！はすぐに思い付いたのですが、何故か５！÷５とか５！±５とかを先にやって辿り着きませんでした。まぁ、検索ありの時代ですからね。（自作問題も検索でチェックしないとダメですね。）
うっかりというよりメイク１０とかに慣れていないせいだと思います。（数独とかもやった事がない。）

問題２の解答
正方形ＡＢＣＤの面積が２ｃｍ^2より、ＡＣ・ＢＤ/２＝２
∴ＡＣ・ＡＣ＝４　∴ＡＣ＝２ｃｍ
（普通の中学生以上はＡＤ＝√２ｃｍより、ＡＣ＝２ｃｍと求める。）
また、△ＤＡＣは直角二等辺三角形より、ＡＣの中点をＭとするとＡＣ⊥ＤＭ　
また、ＡＭ＝ＣＭ＝ＤＭ＝１ｃｍ，ＡＥ＝３×２＝６ｃｍより、ＭＥ＝６－１＝５ｃｍ　
よって、△ＤＭＥで三平方の定理を使うと、
ＤＥ^2＝１^2＋５^2＝２６
よって、正方形ＤＥＦＧの面積は２６ｃｍ^2

問題３
どう解く？
２/３＋２/１５＋２/３５＋２/６３

解答
与式＝２/(１・３)＋２/(３・５)＋２/(５・７)
＋２/(７・９)
＝(１/１－１/３)＋(１/３－１/５)＋(１/５－１/７)
＋(１/７－１/９)（中間は±で相殺されて）
＝１/１－１/９＝１－１/９＝８/９
よって、答えは、８/９

因みに、これは定石問題である。算数・数学など慣れればある程度までなら誰でも出来るようになる。当然、数学が出来るからと言って数独が得意とは限らない。何事も好きでやっているかどうかにかかっているだろう。

一応、別解。
与式＝２・３・５・７/５・７・９＋２・３・７/５・７・９＋２・９/５・７・９＋２・５/５・７・９
＝２１０/５・７・９＋４２/５・７・９＋１８/５・７・９＋１０/３・５・７
＝２８０/５・７・９＝４０/５・９＝８/９
よって、答えは、８/９

因みに、下書きなしで解きながら書いてみました。頭がいいとか悪いとか言う前にとりあえずやってみる事が大事である。

おまけ：

問題１の解法１
アの図形は、１辺が６ｃｍの立方体の中心を頂点として各面を底面とした四角錘と合同なので、その体積は立方体の体積の１/６（正六面体より）
また、イの図形は１辺が６ｃｍの立方体を水平に半分に切った形なので、その体積は立方体の体積の１/２
よって、アの体積はイの体積の１/３である。
よって、答えは、１/３

解法２
小学生でも底面と高さが等しい立体は体積も等しい事は分かるだろう。（三角形で底辺と高さが等しいと形状が違っても面積が等しい事を知っているだろうから。）
そこで、まず、アの立体を底面を対角線で半分に切った立体２つに分けると、底面が１辺６ｃｍの直角二等辺三角形で高さが３ｃｍの三角錐２個分である。
次に、イがこの三角錐何個分かを考える。そこで、上面の左手前の頂点をＡとして反時計回りにＡ～Ｄと振り、それに対応する底面の頂点をＥ～Ｈと振る。
まず、全体を平面ＤＢＦＨで切り二等分し、次に、平面ＨＡＢで三角錐Ｈ－ＡＢＤと四角錘Ｈ－ＡＥＦＢに分けると、三角錐Ｈ－ＡＢＤの底面は１辺が６ｃｍの直角二等辺三角形で高さが３ｃｍより先程のアの方の三角錐と体積が等しい。
また、平面ＨＡＦで四角錘Ｈ－ＡＥＦＢを２つに分けると、三角錐Ｈ－ＡＥＦと三角錐Ｈ－ＡＢＦは底面と高さが等しいので体積も等しい。
ここで、三角錐Ｈ－ＡＥＦの見方を変えると三角錐Ａ－ＥＦＨであり、これは底面が１辺６ｃｍの直角二等辺三角形で高さが３ｃｍの三角錐である。
つまり、三角柱ＡＢＤ－ＥＦＨはアの方の三角錐３個分である。（四角錘Ｈ－ＡＥＦＢを２つに分けた三角錐Ｈ－ＡＥＦと三角錐Ｈ－ＡＢＦはアの方の三角錐２個分だから。）
よって、イはアの方の三角錐６個分である。
よって、アの体積はイの体積の１/３である。
よって、答えは、１/３

どちらの方がお好みでしょうか。

問題２と問題３は次回。

おまけ：
https://lifenews-media.com/inookei-josiana/

問題２の解答
△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、ＢＨ＝３ｃｍ
△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、ＣＨ＝２√５ｃｍ
∴ＢＣ＝３＋２√５ｃｍ
∴△ＡＢＣ＝(３＋２√５)×４×(１/２)＝２(３＋２√５)ｃｍ^2
よって、答えは、２(３＋２√５)ｃｍ^2

問題３の解答
対称性から、弧ＦＧは四分円。また、弧ＧＨも四分円でさらに対称性より、弧ＧＰは円の１/８。
よって、１/４＋１/８＝３/８より、弧ＦＰは円の３/８
よって、∠ｘ＝∠ＦＥＰ＝１８０°×(３/８)＝２２.５°×３＝６７.５°
よって、答えは、６７.５°

おまけ：

問題１の解答
まず、曲線部の長さは、四分円の弧の長さより、
８×π÷４＝２πｃｍ
また、長方形（正方形に見える）部分の対辺どうしを平行移動させると直線部の合計は円の２つ半径になるので、
直線部の長さは４＋４＝８ｃｍ
よって、答えは、２π＋８ｃｍ

問題２の回答
イジワルマッチ棒クイズなので、まともに考えても無駄である。そこで、２つの正方形の左側面のマッチ棒２本を取り、片方の正方形に移動させると、

ー　　ー
　|　　　|
ー　　ー
　　　　 |
　　　ー

３つコが出来る。念のため、「マッチ棒２本を動かして２つある正方形を３コにしてください。」の「３コ」である。

問題３
３☆４＝１２
２☆４＝２４
５☆７＝２１０
７☆９＝５０４
４☆７＝？
「？」にあてはまる数字は？

回答
３☆４＝３×４＝１２
２☆４＝２×３×４＝２４
５☆７＝５×６×７＝２１０
７☆９＝７×８×９＝５０４
となっているので、
４☆７＝４×５×６×７＝８４０だろう。
ただし、４×５６×７＝１５６８の可能性もある。
因みに、２段目，３段目，４段目は☆の両脇の数字×その平均でもあるので、５段目も４×７×{(４＋７)/２}＝１４×１１＝１５４の可能性も考えたが、それだと１段目が３×４×(７/２)＝４２で合わないので却下した。
とにかく、中途半端な問題である。それとも私が気が付かない何かがあるのだろうか。その場合は🙇

問題４は次回。

解答の投稿場所を間違えていたので訂正。（再掲）

おまけ：

問題４の解答
中央の三角形を△ＡＢＣとし、左の正方形をＡＤＥＢ，右の正方形をＡＣＦＧとする（上の三角形は△ＡＤＧとなる）。
ここで、∠ＤＡＧ＝３６０°－９０°×２－∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＡＣより、∠ＤＡＧと∠ＢＡＣは補角をなしている。よって、１つの角が補角をなしている三角形の面積比の公式を知っている人なら△ＡＢＣと△ＡＤＧの面積が等しい事は一発で分かる。
ただし、ここでは普通の小学生用の解法で解く事にする。
∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＧ＝３６０°－９０°×２＝１８０°
よって、この２つの角を足すと一直線になる。ところで、ＡＣ＝ＡＧより、△ＡＤＧを点Ａを中心にＡＧがＡＣにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ｄの行き先をＤ'とすると、ＢＡＤ'は一直線になり、ＢＡ＝ＡＤ＝ＡＤ'である。
よって、△ＣＢＡ＝△ＣＡＤ'　つまり、△ＡＢＣと△ＡＤＧの面積は等しい。
よって、△ＡＤＧ＝△ＡＢＣ＝(６＋１５)×８÷２＝２１×４＝８４ｃｍ^2
また、ＡからＢＣに下ろした垂線の足をＨ，ＣＢの延長上にＥから下ろした垂線の足をＩ，ＢＣの延長上にＦから下ろした垂線の足をＪとすると、正方形の周りの定石の形（対称性）より、△ＥＩＢと△ＢＨＡは合同で△ＡＨＣと△ＣＪＦも合同である。（それぞれ１辺がＩＨ，ＨＪの正方形を描けば分かると思う。厳密な証明は省略。）
よって、ＥＩ＝ＢＨ＝６ｃｍ，ＦＪ＝ＣＨ＝１５ｃｍ
よって、四角形ＥＢＣＦ＝台形ＥＩＪＦ－△ＥＩＢ－△ＦＪＣ＝(６＋１５)×(８＋６＋１５＋８)÷２－６×８÷２－８×１５÷２＝２１×３７÷２－２４－６０＝３８８.５－８４＝３０４.５ｃｍ^2
四角形ＥＢＣＦ=３０４.５ｃｍ^2―――①
また、六角形ＤＥＢＣＦＧ＝△ＡＢＣ＋△ＡＤＧ＋正方形ＡＤＥＢ＋正方形ＡＣＦＧ＝８４＋８４＋１０×１０＋１７×１７＝１６８＋１００＋２８９＝５５７ｃｍ^2―――②
②－①より、
色部分の面積＝５５７－３０４.５＝２５２.５ｃｍ^2
よって、答えは、２５２.５ｃｍ^2

おまけ：

解説
＞（１）によりφは（加群ℤから乗法群Ｇへの）準同型

（１）ａ^m・ａ^n＝ａ^(m+n)，(ａ^m)^n＝ａ^mn（ｍ,ｎ∈ℤ）

φ：ℤ∋ｍ→ａ^m∈Ｇ

より、φ(ｍ)＝ａ^mである。よって、
φ(ｍ＋ｎ)＝ａ^(m+n)＝ａ^m・ａ^n＝φ(ｍ)・φ(ｎ)
∴φ(ｍ＋ｎ)＝φ(ｍ)・φ(ｎ)

ところで、
注２：
定義３
Ｇ,Ｇ'を二つの群とする。ＧからＧ'（の中）への写像φは、任意のａ,ｂ∈Ｇに対して、条件
φ(ａｂ)＝φ(ａ)φ(ｂ)
をみたすとき、ＧからＧ'への準同型であるという。

この左辺のａｂという演算を加法にして右辺のφ(ａ)φ(ｂ)という演算を乗法にすると、
φ(ｍ＋ｎ)＝φ(ｍ)・φ(ｎ)は準同型写像である。

ただし、「群・環・体 入門」新妻弘・木村哲三著にはこの例は出て来ない。「ガロア理論の頂を踏む」石井俊全著には出て来たのでＯＫである。

＞同様に、ａの位数が∞のときには、＜ａ＞≃ℤである。

上から、

ａ^n＝ｅであるから、
ａ^m＝(ａ^n)^q・ａ^r＝ａ^r
よって
ａ^m＝ｅ⇔ａ^r＝ｅ⇔ｒ＝０⇔ｍ＝ｑｎ
いいかえれば、Kerφ＝ｎℤ　したがって準同型定理により
＜ａ＞≃ℤ/ｎℤ＝{[０],[１],…,[ｎ－１]}
この同型対応はａ^i↔[ｉ]（＝ｉ＋ｎℤ）によって与えられる。よって
＜ａ＞＝{ｅ,ａ,…,ａ^(n-1)}

ａの位数が∞の場合、ａ^n＝ｅとなるｎは０のみである。よって、同様に準同型定理により、
＜ａ＞≃ℤ/ｎℤ＝ℤ/０ℤ＝ℤ/(０)＝ℤ
（ℤ/(０)＝ℤ＋{０}＝ℤ）
∴＜ａ＞≃ℤ

おまけ：

解説
＞二つの相異なる傍系Ａ,Ｂは共通元をもたない、いいかえれば（対偶）、Ａ∩Ｂ≠φ⇒Ａ＝Ｂである

「二つの相異なる傍系Ａ,Ｂは共通元をもたない」の対偶は、「傍系Ａ,Ｂが共通元を持つならば二つは同一である」であり、これを言い換えると、「傍系ＡとＢの交わりが空集合でないならばＡ＝Ｂである」となる。
よって、Ａ∩Ｂ≠φ⇒Ａ＝Ｂ

＞Ａ∩Ｂ≠φ⇒Ａ＝Ｂであることを示せ。
（ヒント：ｘ∈ａＨ⇒ｘＨ＝ａＨをいえばよい。）

Ａ＝ａＨより、「Ａの元ｘで作った傍系は全てＡと等しくなる」を言えば良いという事である。どういう事かというと、Ａの元で作った傍系がＡ以外の傍系Ｂになったらその傍系にはＡの元が使われているので、ＡとＢに交わりが出来て共通元があるという事になるという事である。

ｘ∈ａＨ⇒ｘＨ＝ａＨの証明
ｘ∈ａＨより、ｘ＝ａｈ（∃ｈ∈Ｈ）と表される。
∴ｘＨ＝(ａｈ)Ｈ＝ａ(ｈＨ)＝ａＨ（定理4.1の系より）
∴ｘＨ＝ａＨ　よって、示された。

定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の(１）,（２）,（３）は同値である。
（１）ａ∈Ｈ，（２）ａＨ＝Ｈ，（３）Ｈａ＝Ｈ

因みに、「Ａ∩Ｂ≠φ⇒Ａ＝Ｂであることを示せ」からヒントを使わないと、

Ａ∩Ｂ≠φより、∃ｃ∈Ａ∩Ｂ　∴ｃ∈Ａかつｃ∈Ｂ
ところで、Ａ＝ａＨ，Ｂ＝ｂＨ
よって、ｃ∈ａＨよりｃ＝ａｈ（∃ｈ∈Ｈ）と表される。
また、ｃ∈ｂＨよりｃ＝ｂｈ'（∃ｈ'∈Ｈ）とも表される。
∴ａｈ＝ｂｈ'　この両辺に右からｈ^-1をかけると、
ａ＝ｂｈ'ｈ^-1
ところで、示したいのはＡ＝ＢよりａＨ＝ｂＨ
∴ａＨ＝(ｂｈ'ｈ^-1)Ｈ＝ｂ(ｈ'ｈ^-1)Ｈ＝ｂＨ（ｈ',ｈ∈ＨでＨは群だからｈ'ｈ^-1∈Ｈ　また、定理4.1の系より(ｈ'ｈ^-1)Ｈ＝Ｈだから。）
∴ａＨ＝ｂＨ　∴Ａ＝Ｂ　よって、示された。

因みに、定理4.1の系を使わない場合は、

ｘ∈ａＨ⇒ｘＨ＝ａＨの別証
ｘ∈ａＨより、ｘ＝ａｈ（∃ｈ∈Ｈ）と表される。
（ⅰ）ｘＨ⊂ａＨを示す。
ｘｈ'∈ｘＨ（∀ｈ'∈Ｈ）
ｘｈ'にｘ＝ａｈを代入すると、
ｘｈ'＝(ａｈ)ｈ'＝ａ(ｈｈ')∈ａＨ（ｈ,ｈ'∈ＨでＨは群だから。）∴ｘＨ⊂ａＨ
（ⅱ）ｘＨ⊃ａＨを示す。
ａｈ''∈ａＨ（∀ｈ''∈Ｈ）
ここで、ｘ＝ａｈの両辺に右からｈ^-1をかけると、
ｘｈ^-1＝ａ　∴ａ＝ｘｈ^-1　これをａｈ''に代入すると、
ａｈ''＝(ｘｈ^-1)ｈ''＝ｘ(ｈ^-1ｈ'')∈ｘＨ
∴ａＨ⊂ｘＨ
（ⅰ）,（ⅱ）より、ｘＨ＝ａＨ
よって、示された。

おまけ：

問題１
(２ｎ＋１)/(ｎ－２)が整数になるような整数ｎの値をすべて求めてください。

解答
(２ｎ＋１)/(ｎ－２)＝{２(ｎ－２)＋５}/(ｎ－２)
＝２＋５/(ｎ－２)
これが整数より、ｎ－２は５の約数である。そして、５は素数より、ｎ－２＝±１，±５
∴ｎ＝３，１，７，－３

補足１
(２ｎ＋１)/(ｎ－２)＝ｍ（ｍは整数）と置くと、
２ｎ＋１＝ｍ(ｎ－２)　∴２ｎ＋１＝ｍｎ－２ｍ
∴ｍｎ－２ｍ－２ｎ＝１　∴(ｍ－２)(ｎ－２)－４＝１
∴(ｍ－２)(ｎ－２)＝５　∴ｎ－２＝±１，±５
∴ｎ＝－３，１，３，７

補足２
２ｎ＋１は奇数よりそれを割り切るｎ－２も奇数である。
よって、ｎも奇数である。
ここで、試しに(２ｎ＋１)/(ｎ－２)に１を代入すると－３となりＯＫ。３を代入してもＯＫ。５はダメで７はＯＫ。
マイナスの方も－１を代入するとダメだが、－３を代入すると、１となりＯＫ。
よって、答えは、１，－３，７，－３

おまけ：

問題２の解法１
ＢＦを結ぶと、ＡＦは直径より∠ＡＢＦ＝９０°
∴∠ＡＢＦ＝∠ＢＤＣ
また、円周角より∠ＡＦＢ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ
よって、２角が等しいので△ＡＢＦ∽△ＢＤＣ
ところで、△ＡＢＤは３：４：５の直角三角形よりＢＤ＝３ｃｍ　また、ＣＤ＝１０－４＝６ｃｍ
よって、△ＢＤＣは直角を挟む二辺の比が１：２の直角三角形より、それと相似な△ＡＢＦも１：２：√５の直角三角形である。∴ＡＦ＝√５ＡＢ＝５√５ｃｍ
よって、直径の長さは、５√５ｃｍ

解法２
ＯＢを結ぶと、中心角と円周角の関係より∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ　∴∠ＡＣＢ＝(１/２)∠ＡＯＢ
また、△ＯＡＢは二等辺三角形よりＯからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、
∠ＡＯＨ＝(１/２)∠ＡＯＢ
∴∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ
また、直角が等しいので２角が等しく、
△ＯＡＨ∽△ＣＢＤである。
ところで、ＢＤ＝３ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍより、△ＣＢＤは１：２：√５の直角三角形で、それと相似な△ＯＡＨも１：２：√５の直角三角形である。
また、ＡＨ＝５/２ｃｍ
∴ＯＡ＝√５ＡＨ＝５√５/２ｃｍ
∴ＡＦ＝２ＯＡ＝５√５ｃｍ
よって、直径の長さは、５√５ｃｍ

ワンポイントアドバイス
この問題を見て、すぐにＢＤ，ＢＣの長さが求められる事は分かるだろう。つまり、△ＡＢＣで正弦定理を使えば直径が求められる。よって、△ＡＢＥの方はカムフラージュだと気付いて、補助線ＢＦに気付き易くなるだろう。
もっとも、正弦定理は高校の知識だが。（大人向け。）

おまけ：

問題１の解法１
大きい方の正方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、小さい方の正方形をＣＥＦＧとする。（反時計回り）
色部分＝△ＢＣＤ＋△ＦＣＢ＋△ＦＣＤ＝１２×１２÷２＋１２×６÷２＋１２×６÷２＝７２＋３６＋３６＝１４４ｃｍ^2
よって、答えは、１４４ｃｍ^2

解法２
ＤＦとＣＧの交点をＨとすると、△ＤＣＨと△ＦＧＨは相似で相似比は２：１より、ＣＨ ＝(２/３)×６＝４ｃｍ
よって、ＢＨ＝１２＋４＝１６ｃｍ
色部分＝△ＤＢＨ＋△ＦＢＨ＝１６×(１２＋６)÷２＝８×１８＝１４４ｃｍ^2
よって、答えは、１４４ｃｍ^2

問題２の解答
せいねんがっぴ

＞また、何通りの単語が作れるか求めて下さい。

「ん」と「っ」から始まる言葉は普通はないので、初めの１字は５通り。また、２番目以降に制限はないので残りは６！通りより、答えは、５×６！＝５×(６×５×４×３×２×１)＝５×７２０＝３６００通り

おまけ：

＞問題２の解答
せいねんがっぴ

生年月日と言えば、テレビ朝日の斎藤ちはるアナの誕生日は1997年〈平成9年〉2月17日で私の誕生日と同じであるが、こんな話がある。

「ここでは名前の不思議さを示す例をひとつだけ挙げておきます。皇室に嫁いだお二人の名前ですが、よく見てください。ジグザグに読んでも二人の名前になるのです。まったく縁のなかった二人ですが、皇室に入ることが運命づけられているかのような名前になっています。これは、偶然の領域を超えていませんか？名前って本当に不思議なんです。」　　　　　「人生が１００倍楽しくなる名前セラピー」
（毎日コミュニケーションズ）より抜粋

お　　か
わ　　わ
だ　　し
ま　　ま
さ　　き
こ　　こ

問題
同じ６文字の名前の人がこういう関係になる確率を求めて下さい。１/３６５より上か下か。

因みに、２月１７日と言えば、ノアの大洪水の始まった日である。

「11 それはノアの六百歳の二月十七日であって、その日に大いなる淵の源は、ことごとく破れ、天の窓が開けて、
12 雨は四十日四十夜、地に降り注いだ。」
「創世記」第７章１１節～１２節

おまけ：
「もう一つの噂、ＴＢＳ系「スーパーサッカー」の収録現場で、メインＭＣの加藤浩次（５０）から「台本ばっかり見るな」と注意され、その台本を投げ捨てたというエピソードについて聞かれると、「これは本当です」とあっさり告白。宇垣が「イラっとしたんで…」と言うと、松本人志（５５）は「お前のほうがよっぽど極楽とんぼやな」と心の底からあきれていた。」
引用元：https://hochi.news/articles/20190713-OHT1T50034.html?page=1

「ここでは名前の不思議さを示す例をひとつだけ挙げておきます。皇室に嫁いだお二人の名前ですが、よく見てください。ジグザグに読んでも二人の名前になるのです。まったく縁のなかった二人ですが、皇室に入ることが運命づけられているかのような名前になっています。これは、偶然の領域を超えていませんか？名前って本当に不思議なんです。」　　　　　「人生が１００倍楽しくなる名前セラピー」
（毎日コミュニケーションズ）より抜粋

お　　か
わ　　わ
だ　　し
ま　　ま
さ　　き
こ　　こ

問題
小和田雅子さんと川嶋紀子さんの名前をひらがなにして縦に並べ、上の図のように斜めに読んでも互いに同じ名前が読める。６文字の名前の２人を適当に選ぶ時、このような関係になる確率を求めよ。

解答
２個目、４個目、６個目がそれぞれ等しいので、これらをx,y,zと置き、他のものはa,b,c,d,e,fと置くと、

a　　d
x　　x
b　　e
y　　y
c　　f
z　　z

斜めに読むと、axbycz，dxeyfz
よって、縦に読んでも等しくなる。つまり、２個目と４個目と６個目がそれぞれ等しければ良い。
ところで、名前で使われるひらがなは５１音から「ん」と「や行の２音」と「わ行の４音」を抜いた５１－１－２－４＝４４音なので、２個目と４個目と６個目が等しい確率は、
１/（４４の３乗）＝１/８５１８４　
また、１個目と３個目と５個目が等しくても同様に成り立つので、
求める確率は、２/８５１８４＝１/４２５９２
＝０．００２３４％

よって、１/３６５＝０．２７３９７％より１００倍以上低い確率である。
因みに、日本国民から適当に２人選んでその二人が同じ文字数である確率はデータがないので分からないが、５文字と６文字と７文字と８文字が同じ比率で４文字以下と９文字以上を全部まとめて、５文字，６文字，７文字，８文字と同じ比率と考えると、適当に選んだ２人が同じ文字数である確率は、５部門から重複を許して２人を選ぶ場合の数より、重複組み合わせで5Ｈ2＝6Ｃ2＝１５通りより、１/１５
よって、上の確率に掛けると、
(１/４２５９２)×(１/１５)＝１/６３８８８０
よって、約６０万分の１の確率か。

おまけ：

これは６文字で一致する場合でしたね。
一応、４倍すると、
４/６３８８８０＝１/１５９７２０
よって、約１６万分の１か。

解説
＞また、ｇ'(Ｘ)＝－１であるから、

ｇ(Ｘ)＝Ｘ^(q^n)－Ｘの両辺をＸで微分すると、
ｇ'(Ｘ)＝(ｑ^n)Ｘ^(q^n-1)－１―――①
定理6.6より、Ｆq^nの元はＸ^(q^n)－Ｘ＝０の根であり、また、Ｆq^nは部分体としてＦqを含むので、Ｆqの元は全てＦq^nの元である。
よって、Ｘ{Ｘ^(q^n-1)－１}＝０とすると、
Ｘ＝０，Ｘ^(q^n-1)＝１のＸにＦqの元は全て含まれる。
これらを①に代入すると、
ｇ'(Ｘ)＝－１，ｑ^n－１

定理6.6
Ｋをｑ個（ｑ＝ｐ^r，ｒ≧１）の元からなる体とすると、Ｋは多項式Ｘ^q－Ｘの互いに異なるｑ個の根で構成されている。したがって、Ｘ^q－ＸはＫ[Ｘ]の中で１次式の積に分解される。

ｇ'(Ｘ)＝ｑ^n－１の方も示しておいた方が良いのではないでしょうか。ただし、教科書の方のp.249の定理6.6の証明の所でも、ｆ'(Ｘ)＝－１しか書いていないので、私の気付かない何かがあるのかもしれません。

ところで、ようやく２回目読み終わりました。次は、「なっとくする群・環・体」野崎 昭弘著を読んでみるつもりです。それを読み終わったら、３回目を読んでみようかなと考えています。

おまけ：

解説
＞αをＦqのある拡大体におけるｆ(Ｘ)＝０の根とする。そのとき、α^(q^n)＝αであるから、α∈Ｆq^nである。

ｆ(Ｘ)｜Ｘ^(q^n)－Ｘより、Ｘ^(q^n)－Ｘ＝ｆ(Ｘ)・ｈ(Ｘ)と置ける。（ｈ(Ｘ)∈Ｆq[Ｘ]）
∴α^(q^n)－α＝ｆ(α)・ｈ(α)＝０（ｆ(α)＝０より）
∴α^(q^n)＝α
ここで、α^(q^n)－α＝０とすると、定理6.6より、Ｆqの元はＸ^q－Ｘ＝０の根だから、αはＦq^nの元である。
∴α∈Ｆq^n

定理6.6
Ｋをｑ個（ｑ＝ｐ^r，ｒ≧１）の元からなる体とすると、Ｋは多項式Ｘ^q－Ｘの互いに異なるｑ個の根で構成されている。したがって、Ｘ^q－ＸはＫ[Ｘ]の中で１次式の積に分解される。

＞それで、Ｆq(α)はＦq^nの部分体と考えられる。

例6.3から分かる。

例6.3
定理6.1によれば有限体Ｌの乗法群Ｌ^*は巡回群であるから、Ｌ^*の生成元の１つをαとすればＬ^*＝＜α＞である。したがって、Ｌの任意の部分体Ｋに対してＬ＝Ｋ(α)となっている。すなわち、有限体Ｌはその任意の部分体Ｋの単純拡大である。

これは例えば、Ｆ8のある元をαとすると、Ｆ8＝Ｆ2(α)となっているという事である。
そして、α∈Ｆq^nでＦq^nはＦqの拡大体（Ｆ8とＦ2の関係と同じ）なので、Ｆq^n＝Ｆq(α)と表されるので、「Ｆq(α)はＦq^nの部分体と考えられる」という事である。

＞ここで、ｆ(Ｘ)がαの最小多項式であるから[Ｆq(α)：Ｆq]＝ｍ

定理6.4より。

定理6.4
Ｋ⊂Ｌ，α∈Ｌとしてαを体Ｋ上代数的な元とする。αのＫ上の最小多項式をｐ(Ｘ)の次数がｎであるとする。このとき、{１,α,α^2,…,α^(n-1)}は体Ｋ(α)のＫ上のベクトル空間としての基底である。したがって、[Ｋ(α)：Ｋ]＝ｎである。

念のため、問題文から「ｆ(Ｘ)∈Ｆq[Ｘ]を次数ｍの既約多項式とする」からｍである。

＞Ｆq(α)＝Ｆq^m⊂Ｆq^nであるから、α∈Ｆq^nである。

Ｆq(α)⊂Ｆq^nから、Ｆq係数の多項式にαを代入したものはＦq^nの元なので、αも元の１つである。∴α∈Ｆq^n

＞したがって、α^(q^n)＝αが成り立ち、αはＸ^(q^n)－Ｘ∈Ｆq[Ｘ]の根である。

（上から）α∈Ｆq^nで、定理6.6よりＦqの元はＸ^q－Ｘ＝０の根なので、αはＸ^(q^n)－Ｘ＝０の根である。
∴α^(q^n)－α＝０　∴α^(q^n)＝α
また、Ｘ^(q^n)－Ｘの係数は１と－１でＦqは体なので乗法の単位元１とその加法の逆元－１を含むので、Ｘ^(q^n)－ＸはＦq係数の多項式である。
∴Ｘ^(q^n)－Ｘ∈Ｆq[Ｘ]　また、α^(q^n)－α＝０より、
「αはＸ^(q^n)－Ｘ∈Ｆq[Ｘ]の根である」という事である。
念のため、何故こんな事をわざわざ言うのかは、補題２を適用するためである。

補題２
Ｋを体、αをＫの拡大体Ｌの元であって、Ｋ[Ｘ]に属する既約多項式ｆ(Ｘ)の根であるとする。このとき、Ｋ[Ｘ]の多項式ｇ(Ｘ)がｇ(α)＝０をみたせば、ｇ(Ｘ)はｆ(Ｘ)で割り切れなければならない。

同じＦq[Ｘ]の多項式である必要があるという事である。

おまけ：