数学

解説
＞（Ｈ，△）が（Ｇ，△）の部分群であるとき、ｘ,ｙ∈Ｇに対して
ｘ△ｙ'∈Ｈ
が成り立つことを、「ｘとｙはＨを法として合同である」

△は＋とか×とかの演算という事。つまり、集合Ｇのうちの２元ｘとｙについて、ｘと「ｙの逆元」に演算△を施した時にＧの部分集合Ｈの中にｘ△ｙ'の結果が入る場合、「ｘとｙはＨを法として合同である」という事。
因みに、ｘ≡ｙ（mod Ｈ）
（厳密にはｘ(≡r)ｙ（mod Ｈ））と表される。

＞（ℤ，＋）の部分群（(ｍ)，＋）によってℤの中に導入された関係～(m)は、ｍを法とする合同とまったく同じものである。

ｘ△ｙ'∈Ｈの△を演算＋にすると、逆元ｙ'は－ｙと表されるので、ｘ△ｙ'∈Ｈは、ｘ＋(－ｙ)∈Ｈ　∴ｘ－ｙ∈Ｈ
ここで、Ｈ＝(ｍ)より、ｘ－ｙ∈(ｍ)（ｍの倍数の集合）
∴ｘ－ｙ≡０（mod ｍ）∴ｘ≡ｙ（mod ｍ）
よって、「ｍを法とする合同とまったく同じものである」という事。

おまけ：

問題
ｎを整数とする時、次の事が成り立つ事を証明して下さい。
（１）ｎ^2－ｎは２の倍数である。
（２）ｎ^3－ｎは３の倍数である。
（３）ｎ^4－ｎは４の倍数とは限らない。
（４）ｎ^5－ｎは５の倍数である。
（５）ｐが素数の時、ｎ^p－ｎはｐの倍数である。

解答
（１）与式＝ｎ(ｎ－１)より、連続する２数の積より片方は偶数。よって、積は偶数になるので２の倍数。

（２）与式＝ｎ(ｎ^2－１)＝ｎ(ｎ＋１)(ｎ－１)
＝(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)より、連続する３数の積。よって、どれか１つは３の倍数より積も３の倍数。

（３）反例：ｎ＝２を代入すると、ｎ^4－ｎ＝２^4－２＝１６－２＝１４　よって、４の倍数ではない。

（４）与式＝ｎ(ｎ^4－１)＝ｎ(ｎ^2－１)(ｎ^2＋１)
＝ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１){(ｎ－２)(ｎ＋２)＋５}
＝ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)(ｎ－２)(ｎ＋２)＋５ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)＝(ｎ－２)(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)＋５ｎ(ｎ－１)(ｎ＋１)
よって、連続する５数の積と５の倍数の和より５の倍数である。

（５）解法１　フェルマーの小定理より、
ｎ^(p-1)≡１（mod ｐ）
ただし、ｐは素数でｎとｐは互いに素。
https://manabitimes.jp/math/680
この両辺にｎを掛けると、ｎ^p≡ｎ（mod ｐ）
∴ｎ^p－ｎ≡０（mod ｐ）
よって、ｐが素数の時、ｎ^p－ｎはｐの倍数である。

因みに、ｎがｐの倍数の時、成り立たないだろうと言う人もいるかもしれないが、フェルマーの小定理を導く途中で、
ｎ^p≡ｎ（mod ｐ）から両辺をｎで割る時に「ｎとｐは互いに素」という条件を付けないと両辺を割れないのでその条件が付くが、ｎ^p≡ｎ（mod ｐ）の形では条件はいらないので問題ない。

解法２は数学的帰納法です。

おまけ：

問題
ｎを整数とする時、次の事が成り立つ事を証明して下さい。
（１）ｎ^2－ｎは２の倍数である。
（２）ｎ^3－ｎは３の倍数である。
（３）ｎ^4－ｎは４の倍数とは限らない。
（４）ｎ^5－ｎは５の倍数である。
（５）ｐが素数の時、ｎ^p－ｎはｐの倍数である。

（５）の解法２
数学的帰納法で示す。
（ⅰ）ｎ＝１の時、１^p－１＝０　０は全ての数の倍数より、ｎ^p－ｎはｐの倍数で成り立つ。
（ⅱ）ｎ＝ｋの時成り立つと仮定すると、
ｋ^p－ｋ＝ｐの倍数―――①
ｎ＝ｋ＋１の時、
(ｋ＋１)^p－(ｋ＋１)＝ｋ^p＋pＣ1ｋ^(p-1)＋･･･＋pＣp-1ｋ＋１－(ｋ＋１)
＝ｋ^p－ｋ＋pＣ1ｋ^(p-1)＋･･･＋pＣp-1ｋ
ここで、ｐは素数よりpＣrのｐは割られず残るのでｐの倍数になる。つまり、pＣ1ｋ^(p-1)＋･･･＋pＣp-1ｋはｐの倍数である。また、①より、
ｋ^p－ｋ＋pＣ1ｋ^(p-1)＋･･･＋pＣp-1ｋはｐの倍数になる。
よって、ｎ＝ｋ＋１の時も成り立つ。
よって、（ⅰ）,（ⅱ）より、数学的帰納法によって示された。

おまけ：

解法１
まず、円に外接しているので四角形は正方形。
また、正面の三角形を△ＡＢＣとし円とＢＣとの接点をＭとすると、ＢＭ＝１２÷２＝６ｃｍより、ＭＣ＝１０－６＝４ｃｍ　よって、三平方の定理を使うと、
ＡＢ＝√(１２^2＋６^2)＝６√５ｃｍ
ＡＣ＝√(１２^2＋４^2)＝４√１０ｃｍ
ここで、ＢからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨ＝ｘ，ＢＨ＝ｙと置いて三平方の定理を使うと、
ｘ^2＋ｙ^2＝(６√５)^2＝１８０―――①
(４√１０－ｘ)^2＋ｙ^2＝１００―――②
①－②より、－１６０＋８√１０ｘ＝８０
∴８√１０ｘ＝２４０　∴√１０ｘ＝３０　
∴ｘ＝３√１０
これを①に代入すると、ｙ^2＝１８０－９０＝９０
∴ｙ＝３√１０　∴ｘ＝ｙ
よって、△ＡＢＨは直角二等辺三角形である。
∴∠ＢＡＨ＝４５°
ところで、∠ｘ，∠ｙの所の点をそれぞれＤ,Ｅとすると、△ＡＤＥの内対角の和より、
∠ｘ＋∠ｙ＝△ＡＤＥの内角の和＋∠ＤＡＥ＝１８０°＋４５°＝２２５°
よって、答えは、２２５°

おまけ：

解法２
正方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、円と正方形との接点をＤＣ，ＡＤ，ＢＣの順にＬ，Ｍ，Ｎと振ると、それぞれ各辺の中点である。
ここで、ＢＣ上の１０ｃｍの所の点をＥとし、ＭＥの延長とＤＣの延長との交点をＦとする。
ところで、ＭＣ，ＭＬを結ぶと、△ＡＢＭと△ＤＣＭは合同で△ＥＭＮと△ＥＦＣは相似より、
∠ＢＭＥ＝∠ＢＭＮ＋∠ＥＭＮ＝∠ＭＢＡ＋∠ＥＦＣ
＝∠ＭＣＤ＋∠ＥＦＣ―――①
また、ＮＥ＝１０－６＝４ｃｍ，ＭＮ＝１２ｃｍより、△ＥＭＮは直角を挟む２辺の比が１：３　
よって、△ＥＦＣも直角を挟む二辺の比が１：３
∴ＣＦ＝３ＥＣ＝３×２＝６ｃｍ　
∴ＬＦ＝６＋６＝１２ｃｍ
ここで、△ＤＭＬは直角二等辺三角形より、
ＬＭ＝６√２ｃｍ　
∴ＬＭ：ＬＦ＝６√２：１２＝√２：２＝１：√２　
また、ＬＣ：ＬＭ＝６：６√２＝１：√２
∴ＬＭ：ＬＦ＝ＬＣ：ＬＭ　また、∠ＭＬＣは共通より二辺比と挟角が等しいので、△ＬＭＣ∽△ＬＦＭ
∴∠Ｆ＝∠ＬＭＣ　また、△ＬＭＣの内対角の和より、∠ＤＬＭ＝∠ＬＭＣ＋∠ＬＣＭ
∴４５°＝∠Ｆ＋∠ＬＣＭ＝∠Ｆ＋∠ＭＣＤ―――②
また、①より、∠ＢＭＥ＝∠Ｆ＋∠ＭＣＤ―――①'
①',②より、∠ＢＭＥ＝４５°
ところで、∠ｘ，∠ｙの所の点をそれぞれＰ,Ｑとすると、△ＡＰＱの内対角の和より、
∠ｘ＋∠ｙ＝△ＡＰＱの内角の和＋∠ＰＡＱ＝１８０°＋４５°＝２２５°
よって、答えは、２２５°

おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/96fa3e9033a61da08dd094c6995718f88ee5b363

問題１の解法１
ＰからＯＣの延長上に垂線を下ろしその足をＨとすると、四角形ＰＨＣＤは３直角となるので長方形である。
∴ＣＨ＝ＤＰ＝２ｃｍ　∴ＯＨ＝５＋２＝７ｃｍ
よって、△ＯＰＨで三平方の定理を使うと、
ＰＨ＝√(９^2－７^2)＝√(８１－４９)＝√３２＝４√２ｃｍ　また、ＣＤ＝ＨＰより、ＣＤ＝４√２ｃｍ
∴ｘ＝４√２

解法２
ＣＤとＯＰの交点をＥとすると、△ＥＯＣ∽△ＥＰＤで相似比５：２より、ＰＥ＝(２/７)ＯＰ＝(２/７)×９＝１８/７ｃｍ　よって、△ＰＥＤで三平方の定理を使うと、
ＤＥ＝√{(１８/７)^2－２^2}＝√(３２４/４９－４)＝√(３２４－１９６)/７＝√１２８/７＝８√２/７ｃｍ
∴ＤＥ＝８√２/７ｃｍ
ところで、△ＥＯＣ∽△ＥＰＤの相似比が５：２より、
ＣＤ＝(７/２)ＤＥ＝(７/２)×(８√２/７)＝４√２ｃｍ
∴ｘ＝４√２

問題２
＋，－，×，÷，( )を使って式を成立してください。
９ ９ ９ ９＝１０

解答例
(９×９＋９)÷９＝(８１＋９)÷９＝９０÷９＝１０
よって、成立するので、答えは、(９×９＋９)÷９

他にはないと思うが、一応、解答例とした。因みに、以前の問題のように「！」（階乗）とか数学記号全般なら簡単である。
９^(9-9)＋９＝１０

問題３
秒速２ｍで回転するエスカレーター全長２０ｍをＡ君が逆走したところ、エスカレーターを下から上りきるのに５秒かかりました。ではこのときのＡ君の走る速度はどのくらいだったでしょう？

算数の解法
２０ｍに５秒かかったので、Ａ君の速度は秒速２０÷５＝４ｍである。ところが、これにはエスカレーターの逆回転の不利が含まれているので、真のＡ君の速度は秒速４＋２＝６ｍである。よって、分速６×６０＝３６０ｍ
時速３６０×６０＝２１６００ｍ＝２１.６ｋｍ
よって、Ａ君の速度は時速２１.６ｋｍ

数学の解法
Ａ君の速度を秒速ｘｍと置くと、逆回転上を昇るので実際のＡ君の速度は秒速ｘ－２ｍである。
よって、条件より(ｘ－２)×５＝２０が成り立つ。
∴ｘ－２＝４　∴ｘ＝６
よって、Ａ君の速度は秒速６ｍである。以後同じ。

おまけ：

解法１
直角二等辺三角形の直角を点Ａとして、反時計回りにＡＢＣとし、隣りの直角三角形を同様にＤＥＦとする。
また、ＡＣとＤＥ,ＤＦとの交点をそれぞれＧ,Ｈとすると、△ＨＦＣは直角二等辺三角形よりＨＦ＝ＦＣ＝２ｃｍ
よって、ＤＦ＝６＋２＝８ｃｍ　
よって、ＥＦ：ＤＦ＝６：８＝３：４
ここで、ＧからＥＦに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＧＥＩと△ＤＥＦは相似よりＥＩ：ＧＩ＝３：４
よって、ＥＩ＝③と置くとＧＩ＝④
また、△ＧＩＣは直角二等辺三角形よりＩＣ＝ＧＩ＝④
よって、ＥＣ＝ＥＩ＋ＩＣ＝③＋④＝⑦
また、ＥＣ＝６＋２＝８ｃｍでもあるので、⑦＝８ｃｍ
よって、①＝８/７ｃｍ　よって、ＧＩ＝④＝３２/７ｃｍ
よって、黄色部分＝△ＧＥＣ－△ＨＦＣ＝８×(３２/７)÷２－２×２÷２＝１２８/７－２＝１１４/７ｃｍ^2
よって、答えは、１１４/７ｃｍ^2

解法２
直角二等辺三角形の直角を点Ａとして、反時計回りにＡＢＣとし、隣りの直角三角形を同様にＤＥＦとする。
また、ＡＣとＤＥ,ＤＦとの交点をそれぞれＧ,Ｈとすると、△ＨＦＣは直角二等辺三角形よりＨＦ＝ＦＣ＝２ｃｍ
ここで、ＦからＡＣと平行な直線を引きＤＥとの交点をＩとすると、△ＥＩＦと△ＥＧＣは相似でＥＩ：ＩＧ＝ＥＦ：ＦＣ＝６：２＝３：１
また、△ＤＧＨと△ＤＩＦも相似でＤＧ：ＧＩ＝ＤＨ：ＨＦ＝６：２＝３：１
よって、ＤＧ：ＧＩ：ＩＥ＝３：１：３
よって、ＤＧ：ＧＥ＝３：１＋３＝３：４
今、ＧからＤＨに垂線を下ろしその足をＪとすると、△ＤＧＪと△ＤＥＦは相似で相似比は３：７より、
ＧＪ＝(３/７)ＥＦ＝(３/７)×６＝１８/７ｃｍ
よって、黄色部分＝△ＤＥＦ－△ＤＧＨ＝６×８÷２－６×(１８/７)÷２＝２４－５４/７＝１６８/７－５４/７＝１１４/７ｃｍ^2
よって、答えは、１１４/７ｃｍ^2

おまけ：

解説
＞（２）Ｗ(σ^2)＝２^2＝４
（３）Ｗ(σ^3)＝２^3＝８
（４）Ｗ(σ^4)＝２^2＝４
（５）Ｗ(σ^5)＝２^1＝２

（２）の場合、σを２回やって変わらない並べ方より、
１２３４５６
ＡＢＡＢＡＢ
とすると、σ１回で、
１２３４５６
ＢＡＢＡＢＡ
σ２回で、
１２３４５６
ＡＢＡＢＡＢ
と初めに戻り変わらないので、ＡＢＡＢＡＢはその１つ。
また、ＢＡＢＡＢＡも同様。さらに、ＡＡＡＡＡＡ，ＢＢＢＢＢＢもσ２回で変わらないのは自明なので、計４通り。
∴Ｗ(σ^2)＝４

（３）の場合、σを２回やって変わらない並べ方より、
１２３４５６
ＡＡＢＡＡＢ
とすると、σ１回で、
１２３４５６
ＢＡＡＢＡＡ
σ２回で、
１２３４５６
ＡＢＡＡＢＡ
σ３回で、
１２３４５６
ＡＡＢＡＡＢ
と初めに戻り変わらないので、ＡＡＢＡＡＢはその１つ。
また、ＡとＢを入れ換えても成り立つ事は自明で、さらにこれは（３,６）がＢだが、（１,４),（２,５）がＢでも成り立つので、２×３＝６通り。
また、ＡＡＡＡＡＡ，ＢＢＢＢＢＢがσ３回で変わらないのは自明なので、計８通り。
∴Ｗ(σ^3)＝８

（４）の場合、
σ０回　１２３４５６
σ１回　６１２３４５
σ２回　５６１２３４
σ３回　４５６１２３
σ４回　３４５６１２
で、σ４回はσ２回と構造が同じなので、つまり逆回転したのと同じなので、場合の数は等しい。
∴Ｗ(σ^4)＝Ｗ(σ^2)＝４

（５）の場合、
σ０回　１２３４５６
σ１回　６１２３４５
σ２回　５６１２３４
σ３回　４５６１２３
σ４回　３４５６１２
σ５回　２３４５６１
で、σ５回はσ１回と構造が同じなので、つまり逆回転したのと同じなので、場合の数は等しい。
∴Ｗ(σ^5)＝Ｗ(σ)＝２
念のため、ＡＡＡＡＡＡ，ＢＢＢＢＢＢの２通り。

＜応用２＞の方は次回。

補足
問１
３種類のお料理を６皿並べるとき、“同値”でない（回転しても同じにならない）並べかたは何通りあるか？　ただし、１種類か２種類しか並べない場合も、含めて数える。
＜参考＞
３種類ではたいへんであるが、●，○の２種類なら数えやすい。次ページの図７に示されているのが「異なる同値類の代表」で、どんな並べかたも、これらのどれかと同値になる（たしかめてください！）。したがって、回転する円卓の上に「２種類の料理を６皿並べる」しかたは、５×２＋４＝１４通りである。
　料理が３種類の場合はずっと面倒になり、理論的な準備が必要になる。

おまけ：
https://valuablewebsite.com/2020/05/17/%E4%BD%8F%E7%94%B0%E7%B4%97%E9%87%8C%E3%82%A2%E3%83%8A%E3%82%A6%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%81%AE%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E5%8A%9B%E3%81%8C%E5%87%84%E3%81%84%EF%BC%81%E6%B0%97%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B/

＜応用２＞の解説
＞（２）Ｗ(σ^2)＝３^2＝９
（３）Ｗ(σ^3)＝３^3＝２７

（２）の場合、σを２回やって変わらない並べ方より、＜応用１＞の（２）と同様に、
１２３４５６
ＡＢＡＢＡＢ
とすると、σ１回で、
１２３４５６
ＢＡＢＡＢＡ
σ２回で、
１２３４５６
ＡＢＡＢＡＢ
このＡＢの所をＡ～Ｃのうちの２つを順列で入れると３×２＝６通りで、さらにＡＡＡＡＡＡ，ＢＢＢＢＢＢ，ＣＣＣＣＣＣの３通りがあるので、計９通り。
∴Ｗ(σ^2)＝９

（３）の場合、σを３回やって変わらない並べ方より、
１２３４５６
ＡＢＣＡＢＣ
とすると、σ１回で、
１２３４５６
ＣＡＢＣＡＢ
σ２回で、
１２３４５６
ＢＣＡＢＣＡ
σ３回で、
１２３４５６
ＡＢＣＡＢＣ
このＡＢＣの所の入れ換えで３！＝６通り―――①
また、＜応用１＞と同様に、
１２３４５６
ＡＡＢＡＡＢ
とすると、σ１回で、
１２３４５６
ＢＡＡＢＡＡ
σ２回で、
１２３４５６
ＡＢＡＡＢＡ
σ３回で、
１２３４５６
ＡＡＢＡＡＢ
このＡＢの所にＡ～Ｃのうちの２つを順列で入れると３×２＝６通り
また、これは（３,６）がＢだが、（１,４),（２,５）がＢでも成り立つので、６×３＝１８通り―――②
さらにＡＡＡＡＡＡ，ＢＢＢＢＢＢ，ＣＣＣＣＣＣの３通り―――③があるので、計６＋１８＋３＝２７通り
∴Ｗ(σ^3)＝２７

おまけ：

問題１の解答
まず、右の６と９の所の小さなトゲ部分を平行四辺形を作るように内側に置き換える。
すると、周の長さに変化はなく、内側のトゲの角度は６０°で１つの辺の長さが６＋９＝１５になる。
さらに、右下部分全体を平行四辺形を作るように外側に置き換えると、底辺部の長さは３６＋１５＝５１になり、右下の頂角は６０°になる。
また、左下の凹んだ部分も平行四辺形を作るように外側に置き換えると、周の長さは変わらず底辺は５１＋９＝６０になり、頂角は６０°になる。
また、一番上の部分も同様に外側に出すと頂角が６０°になるので、１辺が６０の正三角形が出来る。
ここで、左上中間部の凹みの周の長さを考えると、凹みの入り口の２ヶ所から垂線を下ろすと２つの３０°,６０°,９０°の直角三角定規型が出来、それらをくっつけると１辺が６の正三角形になり、全体の周の長さは１辺が６０の正三角形の周の長さ＋１辺が６の正三角形の周の長さになる。
よって、答えは、
６０×３＋６×３＝１８０＋１８＝１９８

問題２の解法１
ＢＤを結ぶと、円周角より∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ
また、△ＡＢＣは二等辺三角形より∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ　∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＥ
また、∠Ａは共通より２角が等しいので、
△ＡＤＢ∽△ＡＢＥ　∴ＡＤ：ＡＢ＝ＡＢ：ＡＥ
∴１：ＡＢ＝ＡＢ：３　∴ＡＢ^2＝３
∴ＡＢ＝√３ｃｍ　∴ＡＣ＝√３ｃｍ

解法２
ＣＤを結ぶと、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より、∠ＣＤＥ＝∠Ｂ　
また、△ＡＢＣは二等辺三角形より∠Ｂ＝∠Ｃ
∴∠ＣＤＥ＝∠Ｃ―――①
ここで、△ＤＡＣでの内対角の和より、
∠ＣＤＥ＝∠Ａ＋∠ＤＣＡ―――②
また、△ＣＡＥでの内対角の和より、
∠Ｃ＝∠Ａ＋∠Ｅ―――③
①,②,③より、∠Ａ＋∠ＤＣＡ＝∠Ａ＋∠Ｅ
∴∠ＤＣＡ＝∠Ｅ
また、∠ＣＡＤが共通より２角が等しいので、
△ＤＡＣ∽△ＤＥＡ
∴ＤＡ：ＡＣ＝ＣＡ：ＡＥ　∴１：ＡＣ＝ＡＣ：３
∴ＡＣ^2＝３　∴ＡＣ＝√３ｃｍ

おまけ：

問題
１^3＝１^2－０^2
２^3＝３^2－１^2
３^3＝６^2－３^2
以後、前の段の右辺の左側を次の段の右辺の右側に置き、その数の累乗を外した数にその段の段数（左辺の累乗を除いた数）を足した数を右辺の左側に置くと、永遠に等号関係が成り立つ事を証明して下さい。

解法１
ｎ段目を考えると、
ｎ^3＝(ｘ＋ｎ)^2－ｘ^2より、ｎ^3＝２ｎｘ＋ｎ^2　
∴２ｎｘ＝ｎ^3－ｎ^2　ｎ≠０より、２ｘ＝ｎ^2－ｎ
∴ｘ＝ｎ(ｎ－１)/２
∴ｘ＋ｎ＝ｎ(ｎ－１)/２＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)/２
よって、ｎ段目（一般項）は、
ｎ^3＝{ｎ(ｎ＋１)/２}^2－{ｎ(ｎ－１)/２}^2
この右辺を展開すると、
右辺＝ｎ^2(ｎ＋１)^2/４－ｎ^2(ｎ－１)^2/４
＝ｎ^2{(ｎ＋１)^2－(ｎ－１)^2}/４
＝ｎ^2(２ｎ＋２ｎ)/４＝ｎ^3＝左辺
よって、成り立つので、この法則は永遠に成り立つ。

解法２
縦に見ると、１，３，６，…となっているので、１，１＋２，１＋２＋３，…と考えると、ｎ段目は、
ｎ^3＝{ｎ(ｎ＋１)/２}^2－{(ｎ－１)ｎ/２}^2と推定出来る。（右側は１段ずれでｎ－１までの和。）
これを展開すると、解法１と同様に成り立つ事が確認出来るので、この法則は永遠に成り立つ。

おまけ：

問5.2
α＝3√２（注：２の３乗根）のとき、次をａα^2＋ｂα＋ｃ（ａ,ｂ,ｃ∈ℚ）の形で表せ。
（４）(α＋２)/(α^2＋α＋１)

解法１　思い付いた順
分母分子にα－１（≠０）を掛けると、
与式＝(α－１)(α＋２)/(α－１)(α^2＋α＋１)
＝(α^2＋α－２)/(α^3－１)―――①
また、α＝3√２（２の３乗根）より、α^3＝２―――②
②を①に代入すると、
与式＝(α^2＋α－２)/(２－１)＝α^2＋α－２
よって、答えは、α^2＋α－２

解法２
(α＋２)/(α^2＋α＋１)＝ａα^2＋ｂα＋ｃと置くと、
(α^2＋α＋１)(ａα^2＋ｂα＋ｃ)＝α＋２
∴ａα^4＋ｂα^3＋ｃα^2＋ａα^3＋ｂα^2＋ｃα＋ａα^2＋ｂα＋ｃ＝α＋２
∴ａα^4＋(ａ＋ｂ)α^3＋(ａ＋ｂ＋ｃ)α^2＋(ｂ＋ｃ－１)α＋ｃ－２＝０
これにα^3＝２を代入すると、
２ａα＋２(ａ＋ｂ)＋(ａ＋ｂ＋ｃ)α^2＋(ｂ＋ｃ－１)α＋ｃ－２＝０
∴(ａ＋ｂ＋ｃ)α^2＋(２ａ＋ｂ＋ｃ－１)α＋２ａ＋２ｂ＋ｃ－２＝０
これが恒等式より、
ａ＋ｂ＋ｃ＝０―――①　２ａ＋ｂ＋ｃ－１＝０―――②
２ａ＋２ｂ＋ｃ－２＝０―――③
②－①より、ａ－１＝０　∴ａ＝１―――④
また、③－①より、ａ＋ｂ－２＝０　∴ａ＋ｂ＝２―――⑤
④,⑤より、ｂ＝１　よって、①より、ｃ＝－２
∴ａα^2＋ｂα＋ｃ＝α^2＋α－２
∴(α＋２)/(α^2＋α＋１)＝α^2＋α－２

＞このようにα＋２をａα^2＋ｂα＋ｃ（≠０）の形の数で割るときは、
Ｘ(ｘ)(ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ)＋Ｙ(ｘ)(ｘ^3－２)＝ｘ＋２
を満たすＸ(ｘ)，Ｙ(ｘ)を求め、ｘにα＝3√２（２の３乗根）を代入します。

因みに、ここから、Ｘ(ｘ)(ｘ^2＋ｘ＋１)＋Ｙ(ｘ)(ｘ^3－２)＝ｘ＋２（互除法を使わない方法。）
Ｘ(ｘ)＝ａｘ＋ｂ，Ｙ(ｘ)＝ｃとして展開すると、途中で矛盾が生じ、Ｘ(ｘ)＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，Ｙ(ｘ)＝ｄｘ＋ｅとして展開して恒等式にすれば、Ｘ(ｘ)，Ｙ(ｘ)が求まります（Ｘ(ｘ)＝ｘ^2＋ｘ－２，Ｙ(ｘ)＝－ｘ－２）。

おまけ：

解法１　何でもありの解法
長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、また、赤枠の長方形をＰＱＲＳとし、ＡＢ＝ｘ，ＢＣ＝ｙ，ＰＢ＝ｗ，ＢＱ＝ｚと置くと、ＤＲ＝ｗ，ＳＤ＝ｚ
∴四角形ＰＱＲＳ＝長方形ＡＢＣＤ－△ＡＰＳ×２－△ＰＢＱ×２＝ｘｙ－(ｘ－ｗ)(ｙ－ｚ)－ｗｚ＝ｘｙ－(ｘｙ－ｘｚ－ｗｙ＋ｗｚ)－ｗｚ＝ｘｚ＋ｗｙ－２ｗｚ
∴赤枠の四角形＝ｘｚ＋ｗｙ－２ｗｚ―――①
また、青色部分＝ｚ(ｘ－ｗ)＋ｗ(ｙ－ｚ)＝ｘｚ－ｗｚ＋ｗｙ－ｗｚ＝ｘｚ＋ｗｙ－２ｗｚ
∴青色部分＝ｘｚ＋ｗｙ－２ｗｚ―――②
①，②より、答えは、等しい。

因みに、赤枠の四角形は平行四辺形です。もっとも、特殊な場合で長方形にも出来ますが。

おまけ：

解法２
大外の長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、赤枠の四角形（平行四辺形）をＰＱＲＳとする。
また、点Ｐを通りＢＣと平行な直線と点Ｑを通りＡＢと平行な直線との交点をＥとし、ＰＥの延長とＣＤとの交点をＦ，ＱＥの延長とＡＤとの交点をＧとする。
まず、△ＲＥＱを等積変形すると、△ＲＥＱ＝△ＣＥＱ
また、△ＳＰＥを等積変形すると、△ＳＰＥ＝△ＡＰＥ
この２式を足すと、
△ＲＥＱ＋△ＳＰＥ＝△ＣＥＱ＋△ＡＰＥ
ところで、名もなき定理により、平行四辺形ＡＢＣＤの周及び内部の点Ｐを取ると、△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＤＣ＝(１/２)◇ＡＢＣＤ
よって、△ＲＥＱ＋△ＳＰＥ＝(１/２)◇ＰＱＲＳ
よって、△ＣＥＱ＋△ＡＰＥ＝(１/２)◇ＰＱＲＳ
この両辺を２倍すると、
長方形ＥＱＣＦ＋長方形ＡＰＥＧ＝◇ＰＱＲＳ
よって、青色部分＝赤枠の四角形
よって、答えは、等しい。

名もなき定理：https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14171369309
http://www.k-net.or.jp/~kndm0037/suugaku/sikakumenwa/dai2ji.htm

かろうじて２ヶ所見つけました。証明は２通りありますが、私も１つ追加しましょう。
平行四辺形ＡＢＣＤの周及び内部の点Ｐを取ると、△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＤＣ＝(１/２)◇ＡＢＣＤの証明３
ＰからＢＣと平行な直線を引き、ＣＤとの交点をＥとすると、△ＰＡＤと△ＰＢＣは等積変形されて、
△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ＝△ＥＡＤ＋△ＥＢＣ
ここで、残りの方の△ＥＡＢに着目してこれを等積変形すると＝△ＤＡＢ（または△ＣＡＢ）。どちらにせよ、平行四辺形ＡＢＣＤの１/２。つまり、△ＰＡＤ＋△ＰＢＣの逆側が平行四辺形ＡＢＣＤの１/２なので、△ＰＡＤ＋△ＰＢＣも平行四辺形ＡＢＣＤの１/２で、△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ＝△ＰＡＢ＋△ＰＤＣ＝(１/２)◇ＡＢＣＤという事である。

おまけ：

＜応用＞　１次不定方程式の解法
（中略）
３８ｘ＋７ｙ＝１・・・（１）
（中略）
ｘ＝７ｔ－２，ｙ＝１１－３８ｔ
は方程式（１）のすべての解を、変数ｔで表す「一般解」になっている。

別解　実戦的な解法
ｘ＝２とすると７６なので、ｙ＝１１とすると７７でその差は１になる。つまり、ｘ＝－２，ｙ＝１１は解の１つである。
∴３８(－２)＋７・１１＝１・・・（２）
（１）,（２）より、３８ｘ＋７ｙ＝３８(－２)＋７・１１
∴３８(ｘ＋２)＝７(１１－ｙ)
ここで、３８と７は互いに素より、ｘ＋２は７の倍数である。一応、昨日の、

事実７　ｘ,ｙが互いに素で、積ｙ・ｚがｘで割り切れるなら、ｚがｘで割り切れる。
＜例＞　７と２４は互いに素であるから、２４×９１＝２１８４が７で割り切れるとすれば、９１が７で割り切れるはずである（事実、２１８４＝３１２×７，９１＝１３×７である）。

３８(ｘ＋２)＝７(１１－ｙ)を３８(ｘ＋２)/７＝(１１－ｙ)と変形すると、右辺が整数より左辺が７で割り切れる事は自明だろう。（左辺が７で割り切れ、３８と７が互いに素よりｘ＋２は７で割り切れるという事。）

本題に戻って、ｘ＋２＝７ｔ（ｔは整数）と置いて、
３８(ｘ＋２)＝７(１１－ｙ)に代入すると、
３８・７ｔ＝７(１１－ｙ)　∴３８ｔ＝１１－ｙ
∴ｙ＝１１－３８ｔ
また、ｘ＋２＝７ｔより、ｘ＝７ｔ－２
よって、答えは、
ｘ＝７ｔ－２，ｙ＝１１－３８ｔ（ｔは整数）でＯＫ。

おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12809363419.html

問題１
「？」に入る数字は？
３⇒６０　　４⇒９０
５⇒１０８　６⇒？

解答
正三角形の１つの内角の角度は６０°
正四角形の１つの内角の角度は９０°
正五角形の１つの内角の角度は１０８°
正六角形の１つの内角の角度は１２０°より、
答えは、１２０

因みに、正ｎ角形の１つの内角の角度は、
１８０°×(ｎ－２)/ｎ

問題２の解答
上面の長方形と側面の長方形は底辺ＢＣを共有しているので、面積の比は高さの比と等しい。
よって、ＡＢ：ＤＢ＝７２：４８＝３：２
よって、ＡＢ＝３ｘｃｍ，ＤＢ＝２ｘｃｍと置いて正面の長方形の面積を考えると、
３ｘ×２ｘ＝２４が成り立つ。∴ｘ^2＝４　∴ｘ＝２ｃｍ
∴ＡＢ＝３ｘ＝６ｃｍ　よって、？＝６ｃｍ

問題３の解答
公式より、ｎ角形の内角の和は、１８０°×(ｎ－２)より、１１角形の内角の和は、１８０°×９＝１６２０°
よって、求める面積は、４×４×３.１４×(１６２０/３６０)＝１６×３.１４×(９/２)＝７２×３.１４＝２２６.０８ｃｍ^2
よって、答えは、２２６.０８ｃｍ^2

おまけ：