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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/17 16:38 (No.786969)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/18 07:42削除解答
△ＣＡＤの内対角の和より、∠ＣＡＤ＝４０°－２０°＝２０°よって、△ＣＡＤはＣＡ＝ＣＤの二等辺三角形である。
ここで、△ＣＡＤをＢＣに下にＢＣとＡＤがくっつくように移動させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、
∠ＡＣＣ'＝４０°＋２０°＝６０°
また、ＣＡ＝ＣＤ＝Ｃ'Ｃより、△ＣＡＣ'は頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形である。Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｃ＝Ｃ'Ｂ
よって、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｂより△Ｃ'ＢＡは二等辺三角形である。また、∠ＡＣ'Ｂ＝１４０°－６０°＝８０°より、∠Ｃ'ＢＡ＝(１８０°－８０°)÷２＝５０°
よって、∠ＡＢＣ＝５０°－２０°＝３０°
よって、答えは、∠ｘ＝３０°
何でもありの解法
△ＣＡＤは二等辺三角形より、ＣＡ＝ＣＤ＝１と置くと、ＡＤ＝２cos20°∴ＢＣ＝ＡＤ＝２cos20°
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、
ＨＣ＝cos40°より、ＢＨ＝２cos20°－cos40°
また、ＡＨ＝sin40°
∴tan∠ｘ＝sin40°/(２cos20°－cos40°)
∴∠ｘ＝Arctan{sin40°/(２cos20°－cos40°)}
これを手元の電卓で計算すると、
∠ｘ＝３０°
おまけ：
△ＣＡＤの内対角の和より、∠ＣＡＤ＝４０°－２０°＝２０°よって、△ＣＡＤはＣＡ＝ＣＤの二等辺三角形である。
ここで、△ＣＡＤをＢＣに下にＢＣとＡＤがくっつくように移動させ、点Ｃの行き先をＣ'とすると、
∠ＡＣＣ'＝４０°＋２０°＝６０°
また、ＣＡ＝ＣＤ＝Ｃ'Ｃより、△ＣＡＣ'は頂角が６０°の二等辺三角形より正三角形である。Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｃ＝Ｃ'Ｂ
よって、Ｃ'Ａ＝Ｃ'Ｂより△Ｃ'ＢＡは二等辺三角形である。また、∠ＡＣ'Ｂ＝１４０°－６０°＝８０°より、∠Ｃ'ＢＡ＝(１８０°－８０°)÷２＝５０°
よって、∠ＡＢＣ＝５０°－２０°＝３０°
よって、答えは、∠ｘ＝３０°
何でもありの解法
△ＣＡＤは二等辺三角形より、ＣＡ＝ＣＤ＝１と置くと、ＡＤ＝２cos20°∴ＢＣ＝ＡＤ＝２cos20°
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、
ＨＣ＝cos40°より、ＢＨ＝２cos20°－cos40°
また、ＡＨ＝sin40°
∴tan∠ｘ＝sin40°/(２cos20°－cos40°)
∴∠ｘ＝Arctan{sin40°/(２cos20°－cos40°)}
これを手元の電卓で計算すると、
∠ｘ＝３０°
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/16 20:31 (No.786240)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201902280002/
１０秒ぐらいで解けました。ただし、時間は関係ないのでじっくり考えて下さい。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201902280001/
厳密さは中学数学かもしれませんが、一応、厳密に示しながら求めて下さい。念のため、円周率は３.１４です。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201902280002/
１０秒ぐらいで解けました。ただし、時間は関係ないのでじっくり考えて下さい。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201902280001/
厳密さは中学数学かもしれませんが、一応、厳密に示しながら求めて下さい。念のため、円周率は３.１４です。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/17 07:55削除問題１の解答
正方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとする。
まず、正方形をＭＮで折って折り目を付けて元に戻し、次にＢＣを点ＣがＭＮ上に来るように折り、点Ｃの行き先をＣ'とすると、
ＢＮ：ＢＣ＝１：２より、ＢＮ：ＢＣ'＝１：２ よって、△Ｃ'ＢＮは１：２：√３の直角三角形になる。
よって、∠ＣＢＮ＝６０°あとは、ＡＢ＝Ｃ'ＢよりＡＢをＣ'Ｂに重なるように折ると３０÷２＝１５°が出来る。
問題２の解答
台形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢに注目すると半径２つ分で１０ｃｍである。
よって、円の半径は５ｃｍ。また、真ん中の円と右下の円の接点をＴとして共通内接線を引き、ＡＴ，ＣＴを結ぶと円の中心と接線の関係より、ＡＴ⊥接線―――①
ＣＴ⊥接線―――②
また、点ＴはＡＴ，ＣＴに共有されている―――③
①,②,③より、３点Ａ，Ｔ，Ｃは一直線上にある。
よって、ＡＣ＝ＡＴ＋ＣＴ＝５＋５＝１０ｃｍ
よって、ＡＢ＝ＡＣより△ＡＢＣは二等辺三角形である。よって、ＡからＢＣに垂線を下ろすと底辺の中点に下りるので、ＢＣ＝６×２＝１２ｃｍ
よって、台形ＡＢＣＤ＝(６＋１２)×８÷２＝１８×４＝７２ｃｍ^2
また、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると、真ん中の円と左下の円の中心角の和は１８０°である。
よって、３つの扇形の面積の合計は、半径５cmの円の３/４の面積である。
よって、５×５×３.１４×(３/４)＝５８.８７５ｃｍ^2
よって、答えは、７２－５８.８７５＝１３.１２５ｃｍ^2
あまり意味はありませんが、小学生用の別解は次回。（優等生でも無理でしょうね。）
おまけ：
正方形の左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＤ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとする。
まず、正方形をＭＮで折って折り目を付けて元に戻し、次にＢＣを点ＣがＭＮ上に来るように折り、点Ｃの行き先をＣ'とすると、
ＢＮ：ＢＣ＝１：２より、ＢＮ：ＢＣ'＝１：２ よって、△Ｃ'ＢＮは１：２：√３の直角三角形になる。
よって、∠ＣＢＮ＝６０°あとは、ＡＢ＝Ｃ'ＢよりＡＢをＣ'Ｂに重なるように折ると３０÷２＝１５°が出来る。
問題２の解答
台形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢに注目すると半径２つ分で１０ｃｍである。
よって、円の半径は５ｃｍ。また、真ん中の円と右下の円の接点をＴとして共通内接線を引き、ＡＴ，ＣＴを結ぶと円の中心と接線の関係より、ＡＴ⊥接線―――①
ＣＴ⊥接線―――②
また、点ＴはＡＴ，ＣＴに共有されている―――③
①,②,③より、３点Ａ，Ｔ，Ｃは一直線上にある。
よって、ＡＣ＝ＡＴ＋ＣＴ＝５＋５＝１０ｃｍ
よって、ＡＢ＝ＡＣより△ＡＢＣは二等辺三角形である。よって、ＡからＢＣに垂線を下ろすと底辺の中点に下りるので、ＢＣ＝６×２＝１２ｃｍ
よって、台形ＡＢＣＤ＝(６＋１２)×８÷２＝１８×４＝７２ｃｍ^2
また、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると、真ん中の円と左下の円の中心角の和は１８０°である。
よって、３つの扇形の面積の合計は、半径５cmの円の３/４の面積である。
よって、５×５×３.１４×(３/４)＝５８.８７５ｃｍ^2
よって、答えは、７２－５８.８７５＝１３.１２５ｃｍ^2
あまり意味はありませんが、小学生用の別解は次回。（優等生でも無理でしょうね。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/17 19:27削除問題２の別解
台形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢに注目すると半径２つ分で１０ｃｍである。
よって、円の半径は５ｃｍ。
ここで、ＡＣを結びＤからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、直角が等しく∠ＤＡＨを共有していて２角が等しいので、△ＨＡＤと△ＤＡＣは相似。
よって、ＨＡ：ＡＤ＝ＤＡ：ＡＣ よって、ＨＡ：６＝６：ＡＣ よって、ＨＡ×ＡＣ＝６×６＝３６―――①
また、直角が等しく∠ＤＣＨを共有していて２角が等しいので、△ＨＣＤと△ＤＣＡは相似。
よって、ＨＣ：ＣＤ＝ＤＣ：ＣＡ よって、ＨＣ：８＝８：ＣＡ よって、ＨＣ×ＣＡ＝８×８＝６４―――②
①＋②より、ＨＡ×ＡＣ＋ＨＣ×ＡＣ＝３６＋６４＝１００
ところで、優等生なら３×５＋７×５をいちいち１５＋３５＝５０などとやらなくても(３＋７)×５＝１０×５＝５０と知っているだろう。
よって、上式は、ＡＣ×(ＨＡ＋ＨＣ)＝１００と変形できる。よって、ＡＣ×ＡＣ＝１００
よって、ＡＣ＝１０ｃｍである。
よって、ＡＢ＝ＡＣより△ＡＢＣは二等辺三角形である。よって、ＡからＢＣに垂線を下ろすと底辺の中点に下りるので、ＢＣ＝６×２＝１２ｃｍ
よって、台形ＡＢＣＤ＝(６＋１２)×８÷２＝１８×４＝７２ｃｍ^2
また、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると、真ん中の円と左下の円の中心角の和は１８０°である。
よって、３つの扇形の面積の合計は、半径５cmの円の３/４の面積である。
よって、５×５×３.１４×(３/４)＝５８.８７５ｃｍ^2
よって、答えは、７２－５８.８７５＝１３.１２５ｃｍ^2
おまけ：
台形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、ＡＢに注目すると半径２つ分で１０ｃｍである。
よって、円の半径は５ｃｍ。
ここで、ＡＣを結びＤからＡＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、直角が等しく∠ＤＡＨを共有していて２角が等しいので、△ＨＡＤと△ＤＡＣは相似。
よって、ＨＡ：ＡＤ＝ＤＡ：ＡＣ よって、ＨＡ：６＝６：ＡＣ よって、ＨＡ×ＡＣ＝６×６＝３６―――①
また、直角が等しく∠ＤＣＨを共有していて２角が等しいので、△ＨＣＤと△ＤＣＡは相似。
よって、ＨＣ：ＣＤ＝ＤＣ：ＣＡ よって、ＨＣ：８＝８：ＣＡ よって、ＨＣ×ＣＡ＝８×８＝６４―――②
①＋②より、ＨＡ×ＡＣ＋ＨＣ×ＡＣ＝３６＋６４＝１００
ところで、優等生なら３×５＋７×５をいちいち１５＋３５＝５０などとやらなくても(３＋７)×５＝１０×５＝５０と知っているだろう。
よって、上式は、ＡＣ×(ＨＡ＋ＨＣ)＝１００と変形できる。よって、ＡＣ×ＡＣ＝１００
よって、ＡＣ＝１０ｃｍである。
よって、ＡＢ＝ＡＣより△ＡＢＣは二等辺三角形である。よって、ＡからＢＣに垂線を下ろすと底辺の中点に下りるので、ＢＣ＝６×２＝１２ｃｍ
よって、台形ＡＢＣＤ＝(６＋１２)×８÷２＝１８×４＝７２ｃｍ^2
また、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると、真ん中の円と左下の円の中心角の和は１８０°である。
よって、３つの扇形の面積の合計は、半径５cmの円の３/４の面積である。
よって、５×５×３.１４×(３/４)＝５８.８７５ｃｍ^2
よって、答えは、７２－５８.８７５＝１３.１２５ｃｍ^2
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/17 11:58 (No.786758)削除次の文章を完全解説して下さい。
問題
Ｒが単項イデアル整域であれば、Ｒは一意分解整域であることを証明せよ。
証明
単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
（１）０でもＲの可逆元でもない元は、すべて素元の積として表されることを示す。
０でもＲの可逆元でもない元で、素元の積として表されないものが存在したと仮定する。そのような元の１つをａ1とする。ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。ここで、ｂ,ｃが共に素元の積であれば、ａ1も素元の積として表されることになる。したがって、ｂ,ｃの少なくとも一方は素元の積ではない。今、ｂが素元の積に表されないとする。このとき、ａ2＝ｂとおく。
ａ2は０でもＲの可逆元でもない元で、素元の積として表されない。ゆえに、ａ1と全く同じ条件を満たしている。また、このとき(ａ1)⊊(ａ2)となっている。何故ならば、もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
このようにして、単項イデアルの無限列(ａ1)⊊(ａ2)⊊…⊊(ａi)⊊…ができる。ところが、これは演習問題１０によって矛盾である。
以上より、０でもＲの可逆元でもない元は、すべて素元の積として表されることが示された。
（２）一意性の証明は省略。
演習問題７
ｐを単項イデアル整域Ｒの元とする。このとき、次は同値であることを示せ。
（１）ｐはＲの既約元である。
（２）(ｐ)＝ｐＲはＲの極大イデアルである。
（３）ｐはＲの素元である。
演習問題１０
Ｒが単項イデアル整域であるとする。このとき、Ｒの０でない単項イデアルの無限列
(ａ1)⊂(ａ2)⊂…⊂(ａi)⊂(ａi+1)⊂…
が存在したとすると、ある番号ｎがあって(ａn)＝(ａn+1)＝…となることを示せ。この条件を満たすとき、環Ｒは昇鎖律を満足するという。
具体的には、
＞単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
何が言いたいのか解説して下さい。
＞ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。
「ａ1と同伴でない」をわざわざ入れた理由を述べて下さい。
＞もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
余裕がある人は同伴を使わない補足解説も付け加えて下さい。
おまけ：
問題
Ｒが単項イデアル整域であれば、Ｒは一意分解整域であることを証明せよ。
証明
単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
（１）０でもＲの可逆元でもない元は、すべて素元の積として表されることを示す。
０でもＲの可逆元でもない元で、素元の積として表されないものが存在したと仮定する。そのような元の１つをａ1とする。ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。ここで、ｂ,ｃが共に素元の積であれば、ａ1も素元の積として表されることになる。したがって、ｂ,ｃの少なくとも一方は素元の積ではない。今、ｂが素元の積に表されないとする。このとき、ａ2＝ｂとおく。
ａ2は０でもＲの可逆元でもない元で、素元の積として表されない。ゆえに、ａ1と全く同じ条件を満たしている。また、このとき(ａ1)⊊(ａ2)となっている。何故ならば、もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
このようにして、単項イデアルの無限列(ａ1)⊊(ａ2)⊊…⊊(ａi)⊊…ができる。ところが、これは演習問題１０によって矛盾である。
以上より、０でもＲの可逆元でもない元は、すべて素元の積として表されることが示された。
（２）一意性の証明は省略。
演習問題７
ｐを単項イデアル整域Ｒの元とする。このとき、次は同値であることを示せ。
（１）ｐはＲの既約元である。
（２）(ｐ)＝ｐＲはＲの極大イデアルである。
（３）ｐはＲの素元である。
演習問題１０
Ｒが単項イデアル整域であるとする。このとき、Ｒの０でない単項イデアルの無限列
(ａ1)⊂(ａ2)⊂…⊂(ａi)⊂(ａi+1)⊂…
が存在したとすると、ある番号ｎがあって(ａn)＝(ａn+1)＝…となることを示せ。この条件を満たすとき、環Ｒは昇鎖律を満足するという。
具体的には、
＞単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
何が言いたいのか解説して下さい。
＞ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。
「ａ1と同伴でない」をわざわざ入れた理由を述べて下さい。
＞もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
余裕がある人は同伴を使わない補足解説も付け加えて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/17 13:50削除解説
＞単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
ところで、問5.14より、一意分解整域においては既約元と素元は同値な概念であり、また、定義5.5より、一意分解整域ではＲの可逆元でも０でもない元は有限個の素元の積に分解出来るので、まずはこれを示せというヒントである。
問5.14
一意分解整域においては、既約元と素元は同値な概念であることを示せ。
定義5.5
整域Ｒにおいて素元分解の一意性が成立するとは、Ｒの可逆元でも０でもない元は有限個の素元の積として分解でき、２つの素元分解は因子の順序と可逆元の積を除いて一意的に定まることをいう。素元分解の一意性が成立する環を一意分解整域または簡単にＵＦＤという。
＞ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。
「ａ1と同伴でない」をわざわざ入れた理由を述べて下さい。
入れない方が良いと思うが、私の理解不足の可能性もありスルーしよう。（ｂ,ｃ＜ａ1は自明で同伴にはなり得ないような気がするが。）
＞もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
問5.5からａ1とａ2は同伴となり、定義5.3からｃは可逆元となる。
問5.5
Ｒを整域とし、ａとｂをＲの元とするとき、ａ～ｂによってａとｂが同伴であることを表す。このとき、ａ～ｂ⇔(ａ)＝(ｂ)を示せ。
定義5.3
Ｒを整域とする。ｂ|ａかつａ|ｂのとき、ある可逆元ｕ∈Ｒが存在して、
ａ＝ｕ・ｂ
となっている。このとき、ａとｂは同伴であるといい、ａ～ｂで表す。
＞余裕がある人は同伴を使わない補足解説も付け加えて下さい。
(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1∈ａ1Ｒ＝ａ2Ｒよりａ1∈ａ2Ｒ
よって、あるｃ∈Ｒが存在してａ1＝ａ2ｃと表せる。ここで、本文の「ａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解され（中略）ａ2＝ｂとおく」を考えると、この２つのｃは一致している。
また、ａ2∈ａ2Ｒ＝ａ1Ｒよりａ2∈ａ1Ｒ よって、あるｄ∈Ｒが存在してａ2＝ａ1ｄと表せる。
∴ａ1＝ａ1ｄｃ
ところで、Ｒは整域より消去律より、１＝ｄｃと出来る。
∴ｃ＝ｄ＝１またはｃ＝ｄ＝－１
よって、ｃは可逆元となるから矛盾。（上よりｃは可逆元ではない。）
定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ）
念のため、普通の環では成り立たない。
おまけ：
＞単項イデアル整域では既約元と素元は同値な概念であることに注意しよう（演習問題７）。
ところで、問5.14より、一意分解整域においては既約元と素元は同値な概念であり、また、定義5.5より、一意分解整域ではＲの可逆元でも０でもない元は有限個の素元の積に分解出来るので、まずはこれを示せというヒントである。
問5.14
一意分解整域においては、既約元と素元は同値な概念であることを示せ。
定義5.5
整域Ｒにおいて素元分解の一意性が成立するとは、Ｒの可逆元でも０でもない元は有限個の素元の積として分解でき、２つの素元分解は因子の順序と可逆元の積を除いて一意的に定まることをいう。素元分解の一意性が成立する環を一意分解整域または簡単にＵＦＤという。
＞ａ1は素元ではないから、ａ1と同伴でない２つの元の積としてａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解される。
「ａ1と同伴でない」をわざわざ入れた理由を述べて下さい。
入れない方が良いと思うが、私の理解不足の可能性もありスルーしよう。（ｂ,ｃ＜ａ1は自明で同伴にはなり得ないような気がするが。）
＞もし(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1とａ2＝ｂは同伴となり、したがって、ｃは可逆元となるからである。
問5.5からａ1とａ2は同伴となり、定義5.3からｃは可逆元となる。
問5.5
Ｒを整域とし、ａとｂをＲの元とするとき、ａ～ｂによってａとｂが同伴であることを表す。このとき、ａ～ｂ⇔(ａ)＝(ｂ)を示せ。
定義5.3
Ｒを整域とする。ｂ|ａかつａ|ｂのとき、ある可逆元ｕ∈Ｒが存在して、
ａ＝ｕ・ｂ
となっている。このとき、ａとｂは同伴であるといい、ａ～ｂで表す。
＞余裕がある人は同伴を使わない補足解説も付け加えて下さい。
(ａ1)＝(ａ2)とすると、ａ1∈ａ1Ｒ＝ａ2Ｒよりａ1∈ａ2Ｒ
よって、あるｃ∈Ｒが存在してａ1＝ａ2ｃと表せる。ここで、本文の「ａ1＝ｂｃ（ｂ,ｃ∈Ｒは可逆元ではない）と分解され（中略）ａ2＝ｂとおく」を考えると、この２つのｃは一致している。
また、ａ2∈ａ2Ｒ＝ａ1Ｒよりａ2∈ａ1Ｒ よって、あるｄ∈Ｒが存在してａ2＝ａ1ｄと表せる。
∴ａ1＝ａ1ｄｃ
ところで、Ｒは整域より消去律より、１＝ｄｃと出来る。
∴ｃ＝ｄ＝１またはｃ＝ｄ＝－１
よって、ｃは可逆元となるから矛盾。（上よりｃは可逆元ではない。）
定理1.3
整域Ｒにおいては消去律が成り立つ。
ａ・ｃ＝ｂ・ｃ，ｃ≠０⇒ａ＝ｂ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ）
念のため、普通の環では成り立たない。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/16 11:51 (No.785874)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903010001/
２通り作ってみました。優等生なら中２で解けますね。ただし、教師が望むのは中３の解法でしょう。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903010001/
２通り作ってみました。優等生なら中２で解けますね。ただし、教師が望むのは中３の解法でしょう。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/16 19:03削除解法１
円ＯとＡＢ，ＡＤとの接点をそれぞれＳ，Ｔとすると、円と接線の関係よりＡＳ＝ＡＴ（証明は△ＯＳＡ≡△ＯＴＡを言えば良いが、簡単で省略。）
また、等脚台形と内接円の対称性より点ＴはＡＤの中点。
∴ＡＳ＝ＡＴ＝３/２ｃｍ
∴ＡＢ＝ＡＳ＋ＢＳ＝３/２＋５/２＝４ｃｍ
ここで、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、等脚台形の対称性よりＢＨ＝(５－３)÷２＝１ｃｍ
また、内接円の半径をｒと置くとＡＨ＝２ｒ
よって、△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、
(２ｒ)^2＋１^2＝４^2が成り立つ。∴４ｒ^2＋１＝１６
∴４ｒ^2＝１５ ∴ｒ^2＝１５/４ ∴ｒ＝√１５/２
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
解法２
中２の知識で解けるかと思ったら、よく考えたら√は中３でしたね。相似の解法は解法３にして、先に三平方の定理の別解をやりますね。
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、解法１と同様にしてＡＢ＝４ｃｍ
ＡＤ//ＢＣより、△ＥＡＤ∽△ＥＢＣ
∴ＥＡ：ＥＡ＋４＝３：５ ∴３(ＥＡ＋４)＝５ＥＡ
∴２ＥＡ＝１２ ∴ＥＡ＝６ｃｍ
よって、△ＥＡＴで三平方の定理を使うと、ＥＴ＝√{６^2－(３/２)^2}＝√(３６－９/４)＝√１３５/２＝３√１５/２ｃｍ ∴ＥＴ＝３√１５/２ｃｍ
また、△ＥＡＴ∽△ＥＯＳより、３/２：３√１５/２＝ｒ：６＋３/２が成り立つ。
∴１：√１５＝ｒ：１５/２ ∴√１５ｒ＝１５/２
∴ｒ＝√１５/２
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
解法３は次回。まぁ、優等生なら√ぐらい習っていなくても使えますよね。
おまけ：
円ＯとＡＢ，ＡＤとの接点をそれぞれＳ，Ｔとすると、円と接線の関係よりＡＳ＝ＡＴ（証明は△ＯＳＡ≡△ＯＴＡを言えば良いが、簡単で省略。）
また、等脚台形と内接円の対称性より点ＴはＡＤの中点。
∴ＡＳ＝ＡＴ＝３/２ｃｍ
∴ＡＢ＝ＡＳ＋ＢＳ＝３/２＋５/２＝４ｃｍ
ここで、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、等脚台形の対称性よりＢＨ＝(５－３)÷２＝１ｃｍ
また、内接円の半径をｒと置くとＡＨ＝２ｒ
よって、△ＡＢＨで三平方の定理を使うと、
(２ｒ)^2＋１^2＝４^2が成り立つ。∴４ｒ^2＋１＝１６
∴４ｒ^2＝１５ ∴ｒ^2＝１５/４ ∴ｒ＝√１５/２
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
解法２
中２の知識で解けるかと思ったら、よく考えたら√は中３でしたね。相似の解法は解法３にして、先に三平方の定理の別解をやりますね。
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、解法１と同様にしてＡＢ＝４ｃｍ
ＡＤ//ＢＣより、△ＥＡＤ∽△ＥＢＣ
∴ＥＡ：ＥＡ＋４＝３：５ ∴３(ＥＡ＋４)＝５ＥＡ
∴２ＥＡ＝１２ ∴ＥＡ＝６ｃｍ
よって、△ＥＡＴで三平方の定理を使うと、ＥＴ＝√{６^2－(３/２)^2}＝√(３６－９/４)＝√１３５/２＝３√１５/２ｃｍ ∴ＥＴ＝３√１５/２ｃｍ
また、△ＥＡＴ∽△ＥＯＳより、３/２：３√１５/２＝ｒ：６＋３/２が成り立つ。
∴１：√１５＝ｒ：１５/２ ∴√１５ｒ＝１５/２
∴ｒ＝√１５/２
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
解法３は次回。まぁ、優等生なら√ぐらい習っていなくても使えますよね。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/16 19:58削除解法３
円ＯとＡＢとの接点をＳとすると、円の中心と接線の関係よりＯＳ⊥ＡＢ
また、ＡＳ＝３/２ｃｍ，ＢＳ＝５/２ｃｍ
ところで、内接円の性質よりＯＡ，ＯＢはそれぞれ∠Ａ，∠Ｂの二等分線で、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°より、∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＝９０°
よって、△ＯＡＢは∠Ｏが直角の直角三角形で直角から斜辺に垂線が下りている形なので、アーキタスの定理を使うと、
ＯＳ^2＝ＡＳ・ＢＳ＝(３/２)(５/２)＝１５/４
∴ＯＳ＝√１５/２ｃｍ
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
念のため、アーキタスの定理を使わなくても△ＯＡＳ∽△ＢＯＳで出来る。ＡＳ：ＯＳ＝ＯＳ：ＢＳという事。
おまけ：
みよ！ なんと激しく おおなんとあわれな
多くの人々のあいだに
友情はみじんもなく
狼たちがかしこく走りまわるだろう
（番外詩三 大乗和子氏訳）
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12802733789.html
円ＯとＡＢとの接点をＳとすると、円の中心と接線の関係よりＯＳ⊥ＡＢ
また、ＡＳ＝３/２ｃｍ，ＢＳ＝５/２ｃｍ
ところで、内接円の性質よりＯＡ，ＯＢはそれぞれ∠Ａ，∠Ｂの二等分線で、ＡＤ//ＢＣより錯角を考えると∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°より、∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＝９０°
よって、△ＯＡＢは∠Ｏが直角の直角三角形で直角から斜辺に垂線が下りている形なので、アーキタスの定理を使うと、
ＯＳ^2＝ＡＳ・ＢＳ＝(３/２)(５/２)＝１５/４
∴ＯＳ＝√１５/２ｃｍ
よって、答えは、√１５/２ｃｍ
念のため、アーキタスの定理を使わなくても△ＯＡＳ∽△ＢＯＳで出来る。ＡＳ：ＯＳ＝ＯＳ：ＢＳという事。
おまけ：
みよ！ なんと激しく おおなんとあわれな
多くの人々のあいだに
友情はみじんもなく
狼たちがかしこく走りまわるだろう
（番外詩三 大乗和子氏訳）
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12802733789.html
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 19:52 (No.785391)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901260002/
等差数列という言葉に惑わされなければ普通に中学生用の問題ですね。因みに、試行錯誤で小学生でも解けます。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903020002/
超難問なんて書いてあるので解けないんだろうなと思っていたら、１０秒ぐらいで解けました。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901260002/
等差数列という言葉に惑わされなければ普通に中学生用の問題ですね。因みに、試行錯誤で小学生でも解けます。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201903020002/
超難問なんて書いてあるので解けないんだろうなと思っていたら、１０秒ぐらいで解けました。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/16 07:41削除問題１
等差数列をなす３つの数があり、その和は１８，積は１９２であるとき、この３つの数を求めてください。
解答
等差をｄと置くと、ｘ－ｄ，ｘ，ｘ＋ｄという事なので、３数の和は、３ｘ＝１８である。∴ｘ＝６
また、もう一つの条件より、
(６－ｄ)・６・(６＋ｄ)＝１９２なので、
(６－ｄ)(６＋ｄ)＝３２ ∴３６－ｄ^2＝３２
∴ｄ^2＝４ ∴ｄ＝±２
ｘ－ｄ＜ｘ＜ｘ＋ｄとするとｄ＞０よりｄ＝２
よって、答えは、４，６，８である。（検算ＯＫ）
別解 小学生用
１９２＝２×２×２×２×２×２×３
これが３数の積より、２×２＝４，２×２×２＝８，２×３＝６とすると、３数の和は４＋６＋８＝１８で合う。
また、４，６，８は差が２ずつなので等差である。
よって、答えは、４，６，８
問題２
１，９，９，６の４つの数字を、この順番を変更せずに１つずつ使い、計算結果が１０００になる計算式を作ってください。
ただし、使える記号は＋，－，×，÷，√，ｘ^a（指数）です。
解答
(１＋９)^(9-6)＝１０^3＝１０００
本当に１０秒ぐらいで解けました。全然難問と思えないのですが、相性でしょうか？
おまけ：
等差数列をなす３つの数があり、その和は１８，積は１９２であるとき、この３つの数を求めてください。
解答
等差をｄと置くと、ｘ－ｄ，ｘ，ｘ＋ｄという事なので、３数の和は、３ｘ＝１８である。∴ｘ＝６
また、もう一つの条件より、
(６－ｄ)・６・(６＋ｄ)＝１９２なので、
(６－ｄ)(６＋ｄ)＝３２ ∴３６－ｄ^2＝３２
∴ｄ^2＝４ ∴ｄ＝±２
ｘ－ｄ＜ｘ＜ｘ＋ｄとするとｄ＞０よりｄ＝２
よって、答えは、４，６，８である。（検算ＯＫ）
別解 小学生用
１９２＝２×２×２×２×２×２×３
これが３数の積より、２×２＝４，２×２×２＝８，２×３＝６とすると、３数の和は４＋６＋８＝１８で合う。
また、４，６，８は差が２ずつなので等差である。
よって、答えは、４，６，８
問題２
１，９，９，６の４つの数字を、この順番を変更せずに１つずつ使い、計算結果が１０００になる計算式を作ってください。
ただし、使える記号は＋，－，×，÷，√，ｘ^a（指数）です。
解答
(１＋９)^(9-6)＝１０^3＝１０００
本当に１０秒ぐらいで解けました。全然難問と思えないのですが、相性でしょうか？
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 16:28 (No.785200)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901270001/
暗算で解こうとして時間を食ってしまいましたが、書けば簡単です。ただし、算数慣れしていないとダメかもしれませんね。
おまけ：https://news.yahoo.co.jp/articles/63f90f85b1a4415cb59b43cb7ca83a4c56a3e002
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901270001/
暗算で解こうとして時間を食ってしまいましたが、書けば簡単です。ただし、算数慣れしていないとダメかもしれませんね。
おまけ：https://news.yahoo.co.jp/articles/63f90f85b1a4415cb59b43cb7ca83a4c56a3e002
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 22:10削除解答
線分図を描くと、
―――――
――――
上と下から「―」２つを取り除くと、
―――
――
で５：４から３：２になるので、――が１４ｃｍである。
つまり、「―」１つで７ｃｍ。
よって、２本合計で「―」９個分なので、
答えは、７×９＝６３ｃｍ
数学の解法で裏を取ると、
５ｘ－１４：４ｘ－１４＝３：２を解いて、
３(４ｘ－１４)＝２(５ｘ－１４)
∴１２ｘ－４２＝１０ｘ－２８
∴２ｘ＝１４ ∴ｘ＝７
∴９ｘ＝６３ｃｍ
よって、ＯＫ。
おまけ：
線分図を描くと、
―――――
――――
上と下から「―」２つを取り除くと、
―――
――
で５：４から３：２になるので、――が１４ｃｍである。
つまり、「―」１つで７ｃｍ。
よって、２本合計で「―」９個分なので、
答えは、７×９＝６３ｃｍ
数学の解法で裏を取ると、
５ｘ－１４：４ｘ－１４＝３：２を解いて、
３(４ｘ－１４)＝２(５ｘ－１４)
∴１２ｘ－４２＝１０ｘ－２８
∴２ｘ＝１４ ∴ｘ＝７
∴９ｘ＝６３ｃｍ
よって、ＯＫ。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 14:32 (No.785089)削除「笑わない数学 虚数」を見たら面白かった。🙂x^3-15x-4=0を３次方程式の解の公式で解くと、x=3√(2+11i)+3√(2-11i)=3√(2+i)^3+3√(2-i)^3=2+i+2-i=4（3√は３乗根を表す）と昔の数学者がやっていたが、x=3√{-1+√3/2+(1/2+√3)i}^3＋3√{-1+√3/2-(1/2+√3)i}^3=-2+√3でも、x=-2-√3とも出来る。
引用元：https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1657731195990593537
補足解説
X^3－１５X－４＝０を因数定理で解くと、X＝４で成り立つ。よって、組立除法でX－４で割ると、
１ ０ －１５ －４｜４
４ １６ ４
１ ４ １ | ０
∴(X－４)(X^2＋４X＋１)＝０
X^2＋４X＋１＝０を解の公式で解くと、X＝－２±√３
ところで、X^3－１５X－４＝０を３次方程式の解の公式で解くと、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)（3√は３乗根を表す。）
よって、解をX＝－２＋√３として３乗根が開いたと仮定すると虚数部分が相殺され、実数部分は２倍になるはずである。
よって、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√(－１＋√３/２＋ａi)^3+3√(－１＋√３/２－ａi)^3
と置いて展開すると、
(－１＋√３/２＋ａi)^3＝(－１＋√３/２)^3＋３(－１＋√３/２)・(ａi)^2＋３(－１＋√３/２)^2・(ａi)－ａ^3・i
＝－１＋３√３/８＋３√３/２－９/４＋３ａ^2(－１＋√３/２)＋３ａ(１＋３/４－√３)i－ａ^3・i
＝－１３/４＋１５√３/８－３ａ^2(－１＋√３/２)＋{３ａ(７/４－√３)－ａ^3}i
ここで、実部を比較すると、
－１３/４＋１５√３/８－３ａ^2(－１＋√３/２)＝２が成り立つ。
∴３ａ^2(－１＋√３/２)＝－２１/４＋１５√３/８
∴ａ^2(－１＋√３/２)＝－７/４＋５√３/８
∴ａ^2(－８＋４√３)＝－１４＋５√３
∴ａ^2＝(－１４＋５√３)/４(－２＋√３)
＝(１４－５√３)/４(２－√３)
＝(１４－５√３)(２＋√３)/４
＝(２８＋１４√３－１０√３－１５)/４
＝(１３＋４√３)/４
∴ａ＝±√(１３＋４√３)/２―――①
また、１３＋４√３＝(√ｘ＋√ｙ)^2と置くと、
ｘ＋ｙ＋２√ｘｙ＝１３＋４√３＝１３＋２√１２より、
ｘ＋ｙ＝１３，ｘｙ＝１２
よって、解と係数の関係より、ｘ,ｙはｔ^2－１３ｔ＋１２＝０の２つの解。∴(ｔ－１)(ｔ－１２)＝０ ∴ｔ＝１，１２
よって、√ｘ＋√ｙ＝√１＋√１２＝１＋２√３
∴１３＋４√３＝(１＋２√３)^2―――②
②を①に代入すると、
ａ＝±(１＋２√３)/２
ところで、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√(－１＋√３/２＋ａi)^3+3√(－１＋√３/２－ａi)^3より、ａは±のどちらにしても前後逆になるだけで同じである。
よって、ａ＝１/２＋√３とすると、
X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}^3+3√{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}^3
＝{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}＋{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}
＝－１＋√３/２＋－１＋√３/２
＝－２＋√３
∴Ｘ＝－２＋√３ Ｘ＝－２ー√３の方は省略。
一応、pythonで検算すると、
{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}^3＝２－１１i
{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}^3＝２＋１１iでＯＫである。
import math
a = complex(-1+math.sqrt(3)/2, 1/2+math.sqrt(3))
b = complex(-1+math.sqrt(3)/2, -1/2-math.sqrt(3))
print(a**3,b**3)
結果：(2.0000000000000004-11j) (2.0000000000000004+11j)
念のため、pythonでは虚数はjである。
おまけ：
６行詩４８番
古いカロンから人々はフェニックスを見るだろう
彼のつながりの最初であり最後である
フランスの中で輝き渡る。そして誰もが愛されるに値する人になる
すべての信義をもって長い間統治する
なんと（彼らは）決して彼の先駆者を持たないだろう
彼が彼の記憶すべき功績を返すだろう（先駆者を）
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-10812478117.html
補足：https://www.dailymotion.com/video/x8ddza9（19:00~20:00ぐらい）
引用元：https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1657731195990593537
補足解説
X^3－１５X－４＝０を因数定理で解くと、X＝４で成り立つ。よって、組立除法でX－４で割ると、
１ ０ －１５ －４｜４
４ １６ ４
１ ４ １ | ０
∴(X－４)(X^2＋４X＋１)＝０
X^2＋４X＋１＝０を解の公式で解くと、X＝－２±√３
ところで、X^3－１５X－４＝０を３次方程式の解の公式で解くと、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)（3√は３乗根を表す。）
よって、解をX＝－２＋√３として３乗根が開いたと仮定すると虚数部分が相殺され、実数部分は２倍になるはずである。
よって、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√(－１＋√３/２＋ａi)^3+3√(－１＋√３/２－ａi)^3
と置いて展開すると、
(－１＋√３/２＋ａi)^3＝(－１＋√３/２)^3＋３(－１＋√３/２)・(ａi)^2＋３(－１＋√３/２)^2・(ａi)－ａ^3・i
＝－１＋３√３/８＋３√３/２－９/４＋３ａ^2(－１＋√３/２)＋３ａ(１＋３/４－√３)i－ａ^3・i
＝－１３/４＋１５√３/８－３ａ^2(－１＋√３/２)＋{３ａ(７/４－√３)－ａ^3}i
ここで、実部を比較すると、
－１３/４＋１５√３/８－３ａ^2(－１＋√３/２)＝２が成り立つ。
∴３ａ^2(－１＋√３/２)＝－２１/４＋１５√３/８
∴ａ^2(－１＋√３/２)＝－７/４＋５√３/８
∴ａ^2(－８＋４√３)＝－１４＋５√３
∴ａ^2＝(－１４＋５√３)/４(－２＋√３)
＝(１４－５√３)/４(２－√３)
＝(１４－５√３)(２＋√３)/４
＝(２８＋１４√３－１０√３－１５)/４
＝(１３＋４√３)/４
∴ａ＝±√(１３＋４√３)/２―――①
また、１３＋４√３＝(√ｘ＋√ｙ)^2と置くと、
ｘ＋ｙ＋２√ｘｙ＝１３＋４√３＝１３＋２√１２より、
ｘ＋ｙ＝１３，ｘｙ＝１２
よって、解と係数の関係より、ｘ,ｙはｔ^2－１３ｔ＋１２＝０の２つの解。∴(ｔ－１)(ｔ－１２)＝０ ∴ｔ＝１，１２
よって、√ｘ＋√ｙ＝√１＋√１２＝１＋２√３
∴１３＋４√３＝(１＋２√３)^2―――②
②を①に代入すると、
ａ＝±(１＋２√３)/２
ところで、X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√(－１＋√３/２＋ａi)^3+3√(－１＋√３/２－ａi)^3より、ａは±のどちらにしても前後逆になるだけで同じである。
よって、ａ＝１/２＋√３とすると、
X＝3√(２＋１１i)+3√(２－１１i)
＝3√{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}^3+3√{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}^3
＝{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}＋{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}
＝－１＋√３/２＋－１＋√３/２
＝－２＋√３
∴Ｘ＝－２＋√３ Ｘ＝－２ー√３の方は省略。
一応、pythonで検算すると、
{－１＋√３/２＋(１/２＋√３)i}^3＝２－１１i
{－１＋√３/２－(１/２＋√３)i}^3＝２＋１１iでＯＫである。
import math
a = complex(-1+math.sqrt(3)/2, 1/2+math.sqrt(3))
b = complex(-1+math.sqrt(3)/2, -1/2-math.sqrt(3))
print(a**3,b**3)
結果：(2.0000000000000004-11j) (2.0000000000000004+11j)
念のため、pythonでは虚数はjである。
おまけ：
６行詩４８番
古いカロンから人々はフェニックスを見るだろう
彼のつながりの最初であり最後である
フランスの中で輝き渡る。そして誰もが愛されるに値する人になる
すべての信義をもって長い間統治する
なんと（彼らは）決して彼の先駆者を持たないだろう
彼が彼の記憶すべき功績を返すだろう（先駆者を）
引用元：https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-10812478117.html
補足：https://www.dailymotion.com/video/x8ddza9（19:00~20:00ぐらい）
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/2 13:27 (No.773237)削除次の文章を完全解説して下さい。
問題
整域ℤ[√(－５)]において、３が既約元であることを示せ。
証明
３＝(ａ＋ｂ√(－５))(ｃ＋ｄ√(－５))（ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈ℤ）―――①
とする。簡単のため、α＝ａ＋ｂ√(－５)，β＝ｃ＋ｄ√(－５)とおく。①よりノルムをとると、
９＝Ｎ(α)Ｎ(β)―――②
Ｎ(α)，Ｎ(β)は整数であるからＮ(α)＝１,３,９である。
（ⅰ）Ｎ(α)＝１のとき、αは可逆元である。
ａ^2＋５ｂ^2＝１⇒ａ^2＝１，ｂ^2＝０⇒ａ＝±１，ｂ＝０⇒α＝ａ＋ｂ√(－５)＝±１
（ⅱ）Ｎ(α)＝ａ^2＋５ｂ^2≠３
（ⅲ）Ｎ(α)＝９のとき、②よりＮ(β)＝１である。このとき、（ⅰ）よりβは可逆元である。
以上（ⅰ）,（ⅱ）,（ⅲ）より、α・β＝３とするとαかβのどちらかは可逆元であるから、定義より３はℤ[√(－５)]において既約元である。
（引用終わり）
解説というより、３が素元かどうか示して下さい。
おまけ：
問題
整域ℤ[√(－５)]において、３が既約元であることを示せ。
証明
３＝(ａ＋ｂ√(－５))(ｃ＋ｄ√(－５))（ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈ℤ）―――①
とする。簡単のため、α＝ａ＋ｂ√(－５)，β＝ｃ＋ｄ√(－５)とおく。①よりノルムをとると、
９＝Ｎ(α)Ｎ(β)―――②
Ｎ(α)，Ｎ(β)は整数であるからＮ(α)＝１,３,９である。
（ⅰ）Ｎ(α)＝１のとき、αは可逆元である。
ａ^2＋５ｂ^2＝１⇒ａ^2＝１，ｂ^2＝０⇒ａ＝±１，ｂ＝０⇒α＝ａ＋ｂ√(－５)＝±１
（ⅱ）Ｎ(α)＝ａ^2＋５ｂ^2≠３
（ⅲ）Ｎ(α)＝９のとき、②よりＮ(β)＝１である。このとき、（ⅰ）よりβは可逆元である。
以上（ⅰ）,（ⅱ）,（ⅲ）より、α・β＝３とするとαかβのどちらかは可逆元であるから、定義より３はℤ[√(－５)]において既約元である。
（引用終わり）
解説というより、３が素元かどうか示して下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/3 07:47削除問題
整域ℤ[√(－５)]において、３が素元かどうか判定せよ。
回答
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
または、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ここで、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))とすると、３∤(１＋√(－５))，３∤(１－√(－５))より、３は素元ではない。
また、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))とすると、２∤(１＋√(－５))，２∤(１－√(－５))より、２は素元ではない。
以上より、ℤ[√(－５)]において整数は素元ではない。
よって、３は素元ではない。
素元の定義
Ｒの元ｂ,ｃに対して、ａ|ｂｃであるとき、ａ|ｂかまたはａ|ｃの少なくとも一方が成り立つ、という条件を満足するときａをＲの素元という。
因みに、３∤(１＋√(－５))が信じられないという人は、無理やり割ると、１/３＋(１/３)√(－５)でℤ[√(－５)]以外の元になる。（３もℤ[√(－５)]の元である。）
念のため、厳密な証明ではない。（これで良いのかもしれないが自分では判定出来ない。）
厳密な証明はこちら。https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14180943129（ただし、正しいかどうかは知らない。）
おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2968776602175321359
https://togetter.com/li/1224041
整域ℤ[√(－５)]において、３が素元かどうか判定せよ。
回答
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
または、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ここで、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))とすると、３∤(１＋√(－５))，３∤(１－√(－５))より、３は素元ではない。
また、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))とすると、２∤(１＋√(－５))，２∤(１－√(－５))より、２は素元ではない。
以上より、ℤ[√(－５)]において整数は素元ではない。
よって、３は素元ではない。
素元の定義
Ｒの元ｂ,ｃに対して、ａ|ｂｃであるとき、ａ|ｂかまたはａ|ｃの少なくとも一方が成り立つ、という条件を満足するときａをＲの素元という。
因みに、３∤(１＋√(－５))が信じられないという人は、無理やり割ると、１/３＋(１/３)√(－５)でℤ[√(－５)]以外の元になる。（３もℤ[√(－５)]の元である。）
念のため、厳密な証明ではない。（これで良いのかもしれないが自分では判定出来ない。）
厳密な証明はこちら。https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14180943129（ただし、正しいかどうかは知らない。）
おまけ：https://instagrammernews.com/detail/2968776602175321359
https://togetter.com/li/1224041
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 11:59削除よく考えたら、
＞(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
または、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ここは、
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
かつ、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ですよね。よって、
問題
整域ℤ[√(－５)]において、３が素元かどうか判定せよ。
回答
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
また、３∤(１＋√(－５))，３∤(１－√(－５))より、
３は素元ではない。
３∤(１＋√(－５))の証明（前回のでも良いと思いますが。）
３|(１＋√(－５))と仮定すると、
(１＋√(－５))＝３(ａ＋ｂ√(－５))（ａ,ｂ∈ℤ）
と表される。この両辺のノルムを取ると、
Ｎ(１＋√(－５))＝Ｎ(３(ａ＋ｂ√(－５)))
∴６＝Ｎ(３)・Ｎ(ａ＋ｂ√(－５))
∴６＝９(ａ^2＋５ｂ^2)
∴２/３＝ａ^2＋５ｂ^2
右辺は整数より矛盾。
よって、背理法により、３∤(１＋√(－５))である。
おまけ：
＞(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
または、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ここは、
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
かつ、２｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
ですよね。よって、
問題
整域ℤ[√(－５)]において、３が素元かどうか判定せよ。
回答
(１＋√(－５))(１－√(－５))＝６＝２・３
よって、３｜(１＋√(－５))(１－√(－５))
また、３∤(１＋√(－５))，３∤(１－√(－５))より、
３は素元ではない。
３∤(１＋√(－５))の証明（前回のでも良いと思いますが。）
３|(１＋√(－５))と仮定すると、
(１＋√(－５))＝３(ａ＋ｂ√(－５))（ａ,ｂ∈ℤ）
と表される。この両辺のノルムを取ると、
Ｎ(１＋√(－５))＝Ｎ(３(ａ＋ｂ√(－５)))
∴６＝Ｎ(３)・Ｎ(ａ＋ｂ√(－５))
∴６＝９(ａ^2＋５ｂ^2)
∴２/３＝ａ^2＋５ｂ^2
右辺は整数より矛盾。
よって、背理法により、３∤(１＋√(－５))である。
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/13 19:39 (No.783564)削除改題 その２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
ＢＣの延長とＥＤの延長との交点をＱとする。この時、５０°の所の角度を自由に動かせば、ＰＱ⊥ＣＤに出来そうな気がしますが、出来ない事を証明して下さい。ただし、ＢＣ＝１ｃｍ，ＤＥ＝２ｃｍです。
簡単か難しいかよく分かりません。自分では中々面白いと思うのですが。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
ＢＣの延長とＥＤの延長との交点をＱとする。この時、５０°の所の角度を自由に動かせば、ＰＱ⊥ＣＤに出来そうな気がしますが、出来ない事を証明して下さい。ただし、ＢＣ＝１ｃｍ，ＤＥ＝２ｃｍです。
簡単か難しいかよく分かりません。自分では中々面白いと思うのですが。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/14 07:22削除解答
∠ＱＣＰ＝∠ＱＤＰ＝９０°より四角形ＰＱＣＤは円に内接する四角形でＰＱは直径になる。
ここで、ＰＱ⊥ＣＤと仮定すると、直径とそれと垂直な弦の対称性により四角形ＰＣＱＤは凧型になる。
よって、ＰＣ＝ＰＤ
ところが、ＰＣ＝１ｃｍ，ＰＤ＝２ｃｍより矛盾。
よって、５０°の所の角度をいくら動かしてもＰＱ⊥ＣＤには出来ない。
気が付けば簡単な問題でしたね。一応、初めに思い付いた解法も示しておきますね。
別解
ＣＱ//ＡＰ，ＤＱ//ＦＰ ∴∠ＣＱＤ＝∠ＡＰＦ
ところで、∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしているので、∠ＣＱＤと∠ＣＰＤも補角をなしている。
よって、四角形ＰＱＣＤは円に内接する四角形である。よって、円周角より∠ＰＱＣ＝∠ＰＤＣ＝●と置く。
ここで、ＰＱ⊥ＣＤと仮定してＰＱとＣＤの交点をＨとすると、△ＰＣＱは直角三角形より∠ＣＰＱ＝９０°－●
よって、直角三角形△ＰＣＨの内角の和より、
∠ＰＣＨ＝９０°－(９０°－●)＝●
∴∠ＰＤＣ＝∠ＰＣＨ よって、△ＰＣＤは二等辺三角形より、ＰＣ＝ＰＤ
ところが、ＰＣ＝１ｃｍ，ＰＤ＝２ｃｍより矛盾。
よって、５０°の所の角度をいくら動かしてもＰＱ⊥ＣＤには出来ない。
これだと結構難しいと思います。
改題 その３
△ＰＣＤの外接円を描き、ＰからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＰＨの延長と円との交点をＧとする。
また、ＣＧの中点をＭとするとＭＨとＰＤは直交する事を証明して下さい。
簡単です。因みに、ＨからＣＧに垂線を下ろしその足をＩとすると、ＩＨの延長はＰＤを二等分します。
おまけ：
∠ＱＣＰ＝∠ＱＤＰ＝９０°より四角形ＰＱＣＤは円に内接する四角形でＰＱは直径になる。
ここで、ＰＱ⊥ＣＤと仮定すると、直径とそれと垂直な弦の対称性により四角形ＰＣＱＤは凧型になる。
よって、ＰＣ＝ＰＤ
ところが、ＰＣ＝１ｃｍ，ＰＤ＝２ｃｍより矛盾。
よって、５０°の所の角度をいくら動かしてもＰＱ⊥ＣＤには出来ない。
気が付けば簡単な問題でしたね。一応、初めに思い付いた解法も示しておきますね。
別解
ＣＱ//ＡＰ，ＤＱ//ＦＰ ∴∠ＣＱＤ＝∠ＡＰＦ
ところで、∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしているので、∠ＣＱＤと∠ＣＰＤも補角をなしている。
よって、四角形ＰＱＣＤは円に内接する四角形である。よって、円周角より∠ＰＱＣ＝∠ＰＤＣ＝●と置く。
ここで、ＰＱ⊥ＣＤと仮定してＰＱとＣＤの交点をＨとすると、△ＰＣＱは直角三角形より∠ＣＰＱ＝９０°－●
よって、直角三角形△ＰＣＨの内角の和より、
∠ＰＣＨ＝９０°－(９０°－●)＝●
∴∠ＰＤＣ＝∠ＰＣＨ よって、△ＰＣＤは二等辺三角形より、ＰＣ＝ＰＤ
ところが、ＰＣ＝１ｃｍ，ＰＤ＝２ｃｍより矛盾。
よって、５０°の所の角度をいくら動かしてもＰＱ⊥ＣＤには出来ない。
これだと結構難しいと思います。
改題 その３
△ＰＣＤの外接円を描き、ＰからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＰＨの延長と円との交点をＧとする。
また、ＣＧの中点をＭとするとＭＨとＰＤは直交する事を証明して下さい。
簡単です。因みに、ＨからＣＧに垂線を下ろしその足をＩとすると、ＩＨの延長はＰＤを二等分します。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/15 07:56削除改題 その３
△ＰＣＤの外接円を描き、ＰからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＰＨの延長と円との交点をＧとする。
また、ＣＧの中点をＭとするとＭＨとＰＤは直交する事を証明して下さい。
解答
△ＨＣＧは直角三角形で点Mは斜辺の中点より、定石でMC＝MG＝MH（外接円を考えれば自明。）
よって、MHの延長とPDとの交点をNとして、∠MGH＝∠MHG＝●と置くと、対頂角より∠NHP＝●
また、円周角より∠PDC＝∠PGC＝●
よって、△HDPと△NHPにおいて●が等しく∠HPDを共有しているので、２角が等しく相似である。
よって、∠HNP＝∠DHP＝９０°
∴MN⊥PD よって、示された。
因みに、この定理はブラフマグプタの定理という。高校入試ではある程度有名だと思う。因みに、ブラフマグプタの公式というと円に内接する面積の公式である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%95%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF
おまけ：
△ＰＣＤの外接円を描き、ＰからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとし、ＰＨの延長と円との交点をＧとする。
また、ＣＧの中点をＭとするとＭＨとＰＤは直交する事を証明して下さい。
解答
△ＨＣＧは直角三角形で点Mは斜辺の中点より、定石でMC＝MG＝MH（外接円を考えれば自明。）
よって、MHの延長とPDとの交点をNとして、∠MGH＝∠MHG＝●と置くと、対頂角より∠NHP＝●
また、円周角より∠PDC＝∠PGC＝●
よって、△HDPと△NHPにおいて●が等しく∠HPDを共有しているので、２角が等しく相似である。
よって、∠HNP＝∠DHP＝９０°
∴MN⊥PD よって、示された。
因みに、この定理はブラフマグプタの定理という。高校入試ではある程度有名だと思う。因みに、ブラフマグプタの公式というと円に内接する面積の公式である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%95%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/12 18:59 (No.782653)削除改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる事を証明して下さい。
余裕がある人は何通りか作ってみて下さい。念のため、５０°とか１ｃｍとか２ｃｍは関係ありません。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる事を証明して下さい。
余裕がある人は何通りか作ってみて下さい。念のため、５０°とか１ｃｍとか２ｃｍは関係ありません。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/13 07:56削除改題の解法１
∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしているので、△ＰＡＦをＰＦがＰＤにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ａの行き先をＡ'とすると、３点Ｃ，Ｐ，Ａ'は一直線上にあり、△ＣＤＡ'は三角形になる。
ここで、Ａ'Ｄの中点をＭとし、ＰＭを結ぶと、ＰＣ＝ＰＡ＝ＰＡ'より点ＰはＡ'Ｃの中点で点ＭはＡ'Ｄの中点より、△Ａ'ＣＤでの中点連結定理よりＰＭ//ＣＤ
また、条件よりＰＨ⊥ＣＤなので、ＰＭ⊥ＰＨ
∴∠ＨＰＭ＝９０°
今、△ＰＡ'Ｄを９０°逆回転させ元の位置に戻すと、∠ＨＰＭ＝９０°より３点Ｈ，Ｐ，Ｍは一直線上になる。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点は点Ｍで、点ＭはＡ'Ｄの中点よりＡＦの中点である。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
改題の解法２
ＡＦの中点をＭとし、Mを中心に△ＭＡＰをＭＡがＭＦにくっつくまで１８０°回転移動させ点Ｐの行き先をＰ'とすると、３点Ｐ，Ｍ，Ｐ'は一直線上になり、△ＦＰ'Ｐは三角形になる。
また、∠Ｐ'ＦＰ＝∠ＣＰＤ（理由は前回やったので省略），ＦＰ'＝ＡＰ＝ＰＣ，ＦＰ＝ＰＤより二辺挟角が等しいので、△ＦＰ'Ｐ≡△ＰＣＤ―――①
また、四角形ＡＰＦＰ'は平行四辺形になりＦＰ'//ＰＡ また、ＰＡ⊥ＰＣよりＦＰ'⊥ＰＣ―――②
また、ＦＰ⊥ＰＤ―――③
①,②,③より、残りの１辺もＰ'Ｐ⊥ＣＤである。よって、ＰＰ'の延長とＣＤとの交点は条件のＨと一致し、点Ｍも条件の点Ｇと一致する。
ところで、点ＭはＡＦの中点より、
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
２つとも下書きなしの暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。解法３は座標を利用して下さい。
おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12782468867.html
∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしているので、△ＰＡＦをＰＦがＰＤにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ａの行き先をＡ'とすると、３点Ｃ，Ｐ，Ａ'は一直線上にあり、△ＣＤＡ'は三角形になる。
ここで、Ａ'Ｄの中点をＭとし、ＰＭを結ぶと、ＰＣ＝ＰＡ＝ＰＡ'より点ＰはＡ'Ｃの中点で点ＭはＡ'Ｄの中点より、△Ａ'ＣＤでの中点連結定理よりＰＭ//ＣＤ
また、条件よりＰＨ⊥ＣＤなので、ＰＭ⊥ＰＨ
∴∠ＨＰＭ＝９０°
今、△ＰＡ'Ｄを９０°逆回転させ元の位置に戻すと、∠ＨＰＭ＝９０°より３点Ｈ，Ｐ，Ｍは一直線上になる。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点は点Ｍで、点ＭはＡ'Ｄの中点よりＡＦの中点である。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
改題の解法２
ＡＦの中点をＭとし、Mを中心に△ＭＡＰをＭＡがＭＦにくっつくまで１８０°回転移動させ点Ｐの行き先をＰ'とすると、３点Ｐ，Ｍ，Ｐ'は一直線上になり、△ＦＰ'Ｐは三角形になる。
また、∠Ｐ'ＦＰ＝∠ＣＰＤ（理由は前回やったので省略），ＦＰ'＝ＡＰ＝ＰＣ，ＦＰ＝ＰＤより二辺挟角が等しいので、△ＦＰ'Ｐ≡△ＰＣＤ―――①
また、四角形ＡＰＦＰ'は平行四辺形になりＦＰ'//ＰＡ また、ＰＡ⊥ＰＣよりＦＰ'⊥ＰＣ―――②
また、ＦＰ⊥ＰＤ―――③
①,②,③より、残りの１辺もＰ'Ｐ⊥ＣＤである。よって、ＰＰ'の延長とＣＤとの交点は条件のＨと一致し、点Ｍも条件の点Ｇと一致する。
ところで、点ＭはＡＦの中点より、
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
２つとも下書きなしの暗算で解きながら書いたので、読み難いかもしれません。解法３は座標を利用して下さい。
おまけ：
https://ameblo.jp/hitorinomeaki/entry-12782468867.html
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/13 21:29削除改題の解法３
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をｘｙ座標の原点Ｏに置き、ＣＤをｘ軸，ＯＰをｙ軸に取り、Ｃ（－ｃ，０），Ｐ（０，ｐ）と置く。
ここで、ＰからＯＣと平行な直線を引き、ＣからＯＰと平行な直線との交点をＧとし、ＡからＧＰに下ろした垂線の足をＩとすると、四角形ＡＢＣＰが正方形より△ＰＧＣと△ＡＩＰは合同になる。（厳密な証明は簡単で省略。）
∴Ａ（－ｐ，ｐ＋ｃ）
また、Ｄ（ｄ，０）と置いて、正方形ＦＰＤＥの方でも同様の事をすれば、Ｆ（ｐ，ｐ＋ｄ）となる。
よって、中点の公式よりＡＦの中点の座標は、
Ｍ（(－ｐ＋ｐ)/２，{(ｐ＋ｃ)＋(ｐ＋ｄ)}/２）
＝（０，(２ｐ＋ｃ＋ｄ)/２）
よって、ＡＦの中点はｙ軸上にある。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
おまけ：
ＰからＣＤに下ろした垂線の足をｘｙ座標の原点Ｏに置き、ＣＤをｘ軸，ＯＰをｙ軸に取り、Ｃ（－ｃ，０），Ｐ（０，ｐ）と置く。
ここで、ＰからＯＣと平行な直線を引き、ＣからＯＰと平行な直線との交点をＧとし、ＡからＧＰに下ろした垂線の足をＩとすると、四角形ＡＢＣＰが正方形より△ＰＧＣと△ＡＩＰは合同になる。（厳密な証明は簡単で省略。）
∴Ａ（－ｐ，ｐ＋ｃ）
また、Ｄ（ｄ，０）と置いて、正方形ＦＰＤＥの方でも同様の事をすれば、Ｆ（ｐ，ｐ＋ｄ）となる。
よって、中点の公式よりＡＦの中点の座標は、
Ｍ（(－ｐ＋ｐ)/２，{(ｐ＋ｃ)＋(ｐ＋ｄ)}/２）
＝（０，(２ｐ＋ｃ＋ｄ)/２）
よって、ＡＦの中点はｙ軸上にある。
よって、ＰからＣＤに下ろした垂線の足をＨとし、ＨＰの延長とＡＦとの交点をＧとすると、点ＧはＡＦの中点となる。
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/11 21:59 (No.781861)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/12 07:56削除何でもありの解法
四角形ＡＢＣＤは等脚台形より∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１５０°また、△ＡＢＤは二等辺三角形でＡＨ⊥ＢＤより、∠ＥＡＤ＝１５０°÷２＝７５°
よって、∠ＥＡＤ＝∠ＥＣＤで△ＤＡＣは二等辺三角形なので、対称性より四角形ＤＡＥＣは凧型である。
よって、∠ＥＤＡ＝∠ＥＤＣ＝１５０°÷２＝７５°よって、△ＥＡＤと△ＥＤＣは合同な二等辺三角形で、また、ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ，ＡＥは共通より△ＥＡＢも合同な二等辺三角形である。
∴ＥＣ＝ＥＢ よって、△ＥＢＣは直角二等辺三角形である。∴ＢＣ＝８√２ｃｍ
ここで、ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＧとすると、△ＧＢＣは頂角が１２０°の二等辺三角形になるので２辺比は１：√３
∴ＧＣ＝８√２/√３＝８√６/３ｃｍ
また、ＡＤ＝ＤＣ＝ｘと置くと、△ＧＡＤも頂角が１２０°の二等辺三角形より、
ＧＤ＝ｘ/√３＝√３ｘ/３ｃｍ
よって、ｘ＋√３ｘ/３＝８√６/３が成り立つ。
∴(３＋√３)ｘ＝８√６ ∴ｘ＝８√６/(３＋√３)＝８√６(３－√３)/６＝(２４√６－２４√２)/６＝４(√６－√２)ｃｍ ∴ＡＤ＝ＤＣ＝４(√６－√２)ｃｍ
また、ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、ＤＩ＝ｘ/２＝２(√６－√２)ｃｍ
∴台形ＡＢＣＤ＝{４(√６－√２)＋８√２}×２(√６－√２)×(１/２)＝４(√６＋√２)×２(√６－√２)×(１/２)＝４・４＝１６ｃｍ^2
よって、答えは、１６ｃｍ^2
何でもありの別解は、比較的簡単にＡＣの長さが求められ、１５°，７５°，９０°の３辺比を使ってＡＤ＝ＤＣの長さを求め、それを元にＢＣの長さを求めて面積を求めても良い。一応、普通の中学生用の解答にした。
おまけ：
四角形ＡＢＣＤは等脚台形より∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１５０°また、△ＡＢＤは二等辺三角形でＡＨ⊥ＢＤより、∠ＥＡＤ＝１５０°÷２＝７５°
よって、∠ＥＡＤ＝∠ＥＣＤで△ＤＡＣは二等辺三角形なので、対称性より四角形ＤＡＥＣは凧型である。
よって、∠ＥＤＡ＝∠ＥＤＣ＝１５０°÷２＝７５°よって、△ＥＡＤと△ＥＤＣは合同な二等辺三角形で、また、ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ，ＡＥは共通より△ＥＡＢも合同な二等辺三角形である。
∴ＥＣ＝ＥＢ よって、△ＥＢＣは直角二等辺三角形である。∴ＢＣ＝８√２ｃｍ
ここで、ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＧとすると、△ＧＢＣは頂角が１２０°の二等辺三角形になるので２辺比は１：√３
∴ＧＣ＝８√２/√３＝８√６/３ｃｍ
また、ＡＤ＝ＤＣ＝ｘと置くと、△ＧＡＤも頂角が１２０°の二等辺三角形より、
ＧＤ＝ｘ/√３＝√３ｘ/３ｃｍ
よって、ｘ＋√３ｘ/３＝８√６/３が成り立つ。
∴(３＋√３)ｘ＝８√６ ∴ｘ＝８√６/(３＋√３)＝８√６(３－√３)/６＝(２４√６－２４√２)/６＝４(√６－√２)ｃｍ ∴ＡＤ＝ＤＣ＝４(√６－√２)ｃｍ
また、ＤからＢＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、ＤＩ＝ｘ/２＝２(√６－√２)ｃｍ
∴台形ＡＢＣＤ＝{４(√６－√２)＋８√２}×２(√６－√２)×(１/２)＝４(√６＋√２)×２(√６－√２)×(１/２)＝４・４＝１６ｃｍ^2
よって、答えは、１６ｃｍ^2
何でもありの別解は、比較的簡単にＡＣの長さが求められ、１５°，７５°，９０°の３辺比を使ってＡＤ＝ＤＣの長さを求め、それを元にＢＣの長さを求めて面積を求めても良い。一応、普通の中学生用の解答にした。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/12 16:37削除算数の解法
四角形ＡＢＣＤは等脚台形より∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１５０°また、△ＡＢＤは二等辺三角形でＡＨ⊥ＢＤより、∠ＥＡＤ＝１５０°÷２＝７５°
よって、四角形ＡＥＣＤの内角の和より、∠ＡＥＣ＝３６０°－７５°－７５°－１５０°＝６０°
また、ＡＣを結ぶと△ＤＡＣは頂角が１５０°の二等辺三角形より、∠ＤＣＡ＝１５°よって、∠ＡＣＥ＝７５°－１５°＝６０°
よって、△ＥＡＣは２つの角が６０°より正三角形。よって、ＡＣ＝ＡＥ＝ＥＣ＝８ｃｍ また、等脚台形の対角線の長さは等しいので、ＢＤ＝ＡＣ＝８ｃｍ
よって、四角形ＡＢＥＤ＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
ところで、四角形ＡＢＥＤは凧型で四角形ＤＡＥＣも△ＥＡＣが正三角形で△ＡＢＤと△ＤＡＣが合同より合同な凧型である。
つまり、五角形ＡＢＥＣＤは二等辺三角形ＥＡＤ３個分で正三角形ＥＡＣの１.５倍である。
よって、五角形ＡＢＥＣＤ＝３２×１.５＝４８ｃｍ^2
また、対称性から△ＥＢＣは二等辺三角形になり１つの角が４５°より直角二等辺三角形である。
よって、△ＥＢＣ＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
よって、台形ＡＢＣＤ＝４８－３２＝１６ｃｍ^2
よって、答えは、１６ｃｍ^2
おまけ：
四角形ＡＢＣＤは等脚台形より∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝１５０°また、△ＡＢＤは二等辺三角形でＡＨ⊥ＢＤより、∠ＥＡＤ＝１５０°÷２＝７５°
よって、四角形ＡＥＣＤの内角の和より、∠ＡＥＣ＝３６０°－７５°－７５°－１５０°＝６０°
また、ＡＣを結ぶと△ＤＡＣは頂角が１５０°の二等辺三角形より、∠ＤＣＡ＝１５°よって、∠ＡＣＥ＝７５°－１５°＝６０°
よって、△ＥＡＣは２つの角が６０°より正三角形。よって、ＡＣ＝ＡＥ＝ＥＣ＝８ｃｍ また、等脚台形の対角線の長さは等しいので、ＢＤ＝ＡＣ＝８ｃｍ
よって、四角形ＡＢＥＤ＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
ところで、四角形ＡＢＥＤは凧型で四角形ＤＡＥＣも△ＥＡＣが正三角形で△ＡＢＤと△ＤＡＣが合同より合同な凧型である。
つまり、五角形ＡＢＥＣＤは二等辺三角形ＥＡＤ３個分で正三角形ＥＡＣの１.５倍である。
よって、五角形ＡＢＥＣＤ＝３２×１.５＝４８ｃｍ^2
また、対称性から△ＥＢＣは二等辺三角形になり１つの角が４５°より直角二等辺三角形である。
よって、△ＥＢＣ＝８×８÷２＝３２ｃｍ^2
よって、台形ＡＢＣＤ＝４８－３２＝１６ｃｍ^2
よって、答えは、１６ｃｍ^2
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/10 14:06 (No.780429)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901300001/
算数で解いて下さい。そんなに難しくありません。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
何でもありで何通りか作ってみて下さい。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901300001/
算数で解いて下さい。そんなに難しくありません。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901290001/
何でもありで何通りか作ってみて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/11 07:59削除問題１の解答
まず、△ＯＡＢはＯＡ：ＡＢ＝２：１の直角三角形より、３０°,６０°,９０°の直角三角定規型である。
そして、他の全ての三角形も相似で３０°,６０°,９０°の直角三角定規型である。
そこで、ＢからＯＡに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＯＨ，△ＢＡＨもそれぞれ３０°,６０°,９０°の直角三角定規型になる。
よって、ＡＨ＝４÷２＝２ｃｍより、ＯＨ＝８－２＝６ｃｍ
また、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＯＣＢと△ＯＨＢは合同である。よって、ＯＣ＝ＯＨ＝６ｃｍ
また、△ＯＤＣも３０°,６０°,９０°の直角三角定規型なので、ＤＣ＝６÷２＝３ｃｍ
再び、ＤからＯＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、先と同じ構造になっているので、ＣＩ＝ＤＣ÷２＝３÷２＝３/２ｃｍ よって、ＯＩ＝６－３/２＝９/２ｃｍ
よって、ＯＥ＝ＯＩ＝９/２ｃｍ（先と同じ構図だから。）
また、△ＯＦＥも３０°,６０°,９０°の直角三角定規型より、ＥＦ＝ＯＥ÷２＝(９/２)÷２＝９/４ｃｍ
よって、答えは、２.２５ｃｍ
問題２の何でもありの解法１
∠ＡＰＣ＝∠ＦＰＤ＝９０°より、∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしている。また、ＰＡ＝ＰＣ，ＰＦ＝ＰＤ
よって、１つの角が補角をなしている面積比の公式https://www.manabino-academy.com/%E8%A3%9C%E8%A7%92%E3%82%92%E3%81%AA%E3%81%99%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E6%AF%94/より、
△ＡＰＦ：△ＣＰＤ＝ＰＡ×ＰＦ：ＰＣ×ＰＤ＝１：１
よって、答えは、１：１
何でもありの解法２
∠ＡＰＦ＝θと置くと、∠ＣＰＤ＝１８０°－θ
∴△ＰＡＦ＝(１/２)ＰＡ・ＰＦ・sinθ―――①
△ＣＰＤ＝(１/２)ＰＣ・ＰＤ・sin(１８０°－θ)
＝(１/２)ＰＣ・ＰＤ・sinθ―――②
また、正方形より、ＰＡ＝ＰＣ，ＰＦ＝ＰＤ―――③
①,②,③より、
△ＰＡＦ：△ＣＰＤ＝１：１
よって、答えは、１：１
次回は、算数の解法を２通りやりますね。１つは私のオリジナルです。因みに、この問題は定石問題で５０°も１ｃｍも２ｃｍも関係ありません。何でもありの解法を見れば何も使っていないのが分かりますね。
おまけ：
まず、△ＯＡＢはＯＡ：ＡＢ＝２：１の直角三角形より、３０°,６０°,９０°の直角三角定規型である。
そして、他の全ての三角形も相似で３０°,６０°,９０°の直角三角定規型である。
そこで、ＢからＯＡに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＢＯＨ，△ＢＡＨもそれぞれ３０°,６０°,９０°の直角三角定規型になる。
よって、ＡＨ＝４÷２＝２ｃｍより、ＯＨ＝８－２＝６ｃｍ
また、直角三角形の斜辺と他の１角が等しいので、△ＯＣＢと△ＯＨＢは合同である。よって、ＯＣ＝ＯＨ＝６ｃｍ
また、△ＯＤＣも３０°,６０°,９０°の直角三角定規型なので、ＤＣ＝６÷２＝３ｃｍ
再び、ＤからＯＣに垂線を下ろしその足をＩとすると、先と同じ構造になっているので、ＣＩ＝ＤＣ÷２＝３÷２＝３/２ｃｍ よって、ＯＩ＝６－３/２＝９/２ｃｍ
よって、ＯＥ＝ＯＩ＝９/２ｃｍ（先と同じ構図だから。）
また、△ＯＦＥも３０°,６０°,９０°の直角三角定規型より、ＥＦ＝ＯＥ÷２＝(９/２)÷２＝９/４ｃｍ
よって、答えは、２.２５ｃｍ
問題２の何でもありの解法１
∠ＡＰＣ＝∠ＦＰＤ＝９０°より、∠ＡＰＦと∠ＣＰＤは補角をなしている。また、ＰＡ＝ＰＣ，ＰＦ＝ＰＤ
よって、１つの角が補角をなしている面積比の公式https://www.manabino-academy.com/%E8%A3%9C%E8%A7%92%E3%82%92%E3%81%AA%E3%81%99%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%81%AE%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E6%AF%94/より、
△ＡＰＦ：△ＣＰＤ＝ＰＡ×ＰＦ：ＰＣ×ＰＤ＝１：１
よって、答えは、１：１
何でもありの解法２
∠ＡＰＦ＝θと置くと、∠ＣＰＤ＝１８０°－θ
∴△ＰＡＦ＝(１/２)ＰＡ・ＰＦ・sinθ―――①
△ＣＰＤ＝(１/２)ＰＣ・ＰＤ・sin(１８０°－θ)
＝(１/２)ＰＣ・ＰＤ・sinθ―――②
また、正方形より、ＰＡ＝ＰＣ，ＰＦ＝ＰＤ―――③
①,②,③より、
△ＰＡＦ：△ＣＰＤ＝１：１
よって、答えは、１：１
次回は、算数の解法を２通りやりますね。１つは私のオリジナルです。因みに、この問題は定石問題で５０°も１ｃｍも２ｃｍも関係ありません。何でもありの解法を見れば何も使っていないのが分かりますね。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/5/12 13:28削除問題２の算数の解法
△ＡＰＦを点Ｐを中心にＰＦがＰＤにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ａの行き先をＡ'とすると、∠ＣＰＡ＝９０°で９０°回転より３点Ｃ，Ｐ，Ａ'は一直線上になる。
つまり、△ＤＣＡ'は三角形になり、ＣＰ＝ＡＰよりＣＰ＝Ａ'Ｐとなる。よって、△ＤＣＰ＝△ＤＰＡ'＝△ＦＰＡ
よって、△ＡＰＦ＝△ＣＰＤ
よって、答えは、１：１
算数の解法２（オリジナル）
ＣＤの真ん中の点をＭとすると、∠ＰＭＣ＋∠ＰＭＤ＝１８０°ここで、点Ｍを中心に△ＰＭＤをＭＤがＭＣにくっつくまで１８０°回転移動させ、点Ｐの行き先をＰ'とすると、∠Ｐ'ＭＣ＝∠ＰＭＤより、∠ＰＭＣ＋∠Ｐ'ＭＣ＝１８０°となり、３点Ｐ，Ｍ，Ｐ'は一直線上にある。
よって、△ＣＰＰ'は三角形になり、∠ＰＣＰ'＝∠ＰＣＤ＋∠ＰＤＣ＝１８０°－∠ＣＰＤ＝∠ＡＰＦ（∠ＡＰＦ＝３６０°－９０°－９０°－∠ＣＰＤ＝１８０°－∠ＣＰＤだから。）
よって、∠ＰＣＰ'＝∠ＡＰＦ，ＣＰ＝ＰＡ，ＣＰ'＝ＤＰ＝ＰＦより、二辺挟角が等しいので、△ＣＰＰ'と△ＰＡＦは合同。よって、元の△ＰＣＤと△ＰＡＦの面積は等しい。
よって、△ＡＰＦと△ＣＰＤの面積は等しい。
よって、答えは、１：１
両方とも暗算で解きながら書いたので読み難いかもしれません。それにしても、５０°とか１ｃｍとか２ｃｍとかわざわざ付け加えたんでしょうね。意味不明ですが。因みに、ＭＰとＡＦは直交します。興味がある人は自分で証明して下さい。
おまけ：
△ＡＰＦを点Ｐを中心にＰＦがＰＤにくっつくまで９０°回転移動させ、点Ａの行き先をＡ'とすると、∠ＣＰＡ＝９０°で９０°回転より３点Ｃ，Ｐ，Ａ'は一直線上になる。
つまり、△ＤＣＡ'は三角形になり、ＣＰ＝ＡＰよりＣＰ＝Ａ'Ｐとなる。よって、△ＤＣＰ＝△ＤＰＡ'＝△ＦＰＡ
よって、△ＡＰＦ＝△ＣＰＤ
よって、答えは、１：１
算数の解法２（オリジナル）
ＣＤの真ん中の点をＭとすると、∠ＰＭＣ＋∠ＰＭＤ＝１８０°ここで、点Ｍを中心に△ＰＭＤをＭＤがＭＣにくっつくまで１８０°回転移動させ、点Ｐの行き先をＰ'とすると、∠Ｐ'ＭＣ＝∠ＰＭＤより、∠ＰＭＣ＋∠Ｐ'ＭＣ＝１８０°となり、３点Ｐ，Ｍ，Ｐ'は一直線上にある。
よって、△ＣＰＰ'は三角形になり、∠ＰＣＰ'＝∠ＰＣＤ＋∠ＰＤＣ＝１８０°－∠ＣＰＤ＝∠ＡＰＦ（∠ＡＰＦ＝３６０°－９０°－９０°－∠ＣＰＤ＝１８０°－∠ＣＰＤだから。）
よって、∠ＰＣＰ'＝∠ＡＰＦ，ＣＰ＝ＰＡ，ＣＰ'＝ＤＰ＝ＰＦより、二辺挟角が等しいので、△ＣＰＰ'と△ＰＡＦは合同。よって、元の△ＰＣＤと△ＰＡＦの面積は等しい。
よって、△ＡＰＦと△ＣＰＤの面積は等しい。
よって、答えは、１：１
両方とも暗算で解きながら書いたので読み難いかもしれません。それにしても、５０°とか１ｃｍとか２ｃｍとかわざわざ付け加えたんでしょうね。意味不明ですが。因みに、ＭＰとＡＦは直交します。興味がある人は自分で証明して下さい。
おまけ：
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