数学

解説
＞ｆ(Ｘ)：既約⇔ｆ(Ｘ＋１)：既約

ｆ(Ｘ)が可約ならば、例えば(ａＸ＋ｂ)(ｃＸ^(n-1)＋・・・)などと２つの多項式の積に分解され、このＸをＸ＋１にしても２つの多項式の積の関係は保存される。
つまり、「ｆ(Ｘ)：可約⇔ｆ(Ｘ＋１)：可約」は自明である。
この対偶を取ると、「ｆ(Ｘ)：既約⇔ｆ(Ｘ＋１)：既約」となる。

＞(Ｘ＋１)^(p-1)＋(Ｘ＋１)^(p-2)＋…＋(Ｘ＋１)＋１
＝{(Ｘ＋１)^p－１}/{(Ｘ＋１)－１}

解説１
ａ^n－ｂ^n＝(ａ－ｂ)(ａ^(n-1)＋ａ^(n-2)ｂ＋…＋ｂ^(n-1))
という公式https://manabitimes.jp/math/576のａをＸ，ｂを１にすると、
Ｘ^n－１＝(Ｘ－１)(Ｘ^(n-1)＋Ｘ^(n-2)＋…＋Ｘ＋１)
このＸをＸ＋１，ｎをｐにすると、
(Ｘ＋１)^p－１＝{(Ｘ＋１)－１}{(Ｘ＋１)^(p-1)＋(Ｘ＋１)^(p-2)＋…＋(Ｘ＋１)＋１}
この両辺を{(Ｘ＋１)－１}で割ると、
(Ｘ＋１)^(p-1)＋(Ｘ＋１)^(p-2)＋…＋(Ｘ＋１)＋１
＝{(Ｘ＋１)^p－１}/{(Ｘ＋１)－１}

解説２
(Ｘ＋１)^(p-1)＋(Ｘ＋１)^(p-2)＋…＋(Ｘ＋１)＋１を逆から、
１＋(Ｘ＋１)＋(Ｘ＋１)^2＋…＋(Ｘ＋１)^(p-1)とすると、初項１，公比Ｘ＋１の等比数列の和である。
よって、公式より、
１＋(Ｘ＋１)＋(Ｘ＋１)^2＋…＋(Ｘ＋１)^(p-1)
＝{１－(Ｘ＋１)^p}/{１－(Ｘ＋１)}
＝{(Ｘ＋１)^p－１}/{(Ｘ＋１)－１}
∴(Ｘ＋１)^(p-1)＋(Ｘ＋１)^(p-2)＋…＋(Ｘ＋１)＋１
＝{(Ｘ＋１)^p－１}/{(Ｘ＋１)－１}

＞ａ0＝ｐ≡０（modｐ）　　
ａ1＝pＣp-2≡０（modｐ）
ａ2＝pＣp-3≡０（modｐ）
・・・
ａp-2＝pＣ1≡０（mod ｐ）

簡単ですが、pＣp-2などがｐで割り切れる理由ですね。

ｐが素数だからpＣp-2などはｐが分解されずに（因数に）残るからである。
例えば、15Ｃ3＝(１５×１４×１３)/(３×２×１)＝４５５で、１５で割り切れない。１５が素数ではないので分解されてしまうからである。

＞ｆ(Ｘ)＝Ｘ^(p-1)＋Ｘ^(p-2)＋…＋Ｘ＋１（ｐは素数）はℚ[Ｘ]で既約である。

これはｐが素数でなくても奇数で成り立つ。ｆ(Ｘ)が可約だと仮定すると、第３章§５問題１より解はＸ＝±１である。
Ｘ＝１とすると与式の右辺は全て和なので不適。よって、可能性があるのはＸ＝－１だけである。
ｆ(－１)＝０となるのは右辺の項数が偶数個の場合でｐ－１が奇数の場合である。つまり、ｐが偶数の場合は解があり、ｐが奇数の場合は解がない。
よって、ｐが偶数の場合は可約でありｐが奇数の場合は既約である。つまり、ｐは素数に限らない。
念のため、上の証明はｐが素数の場合のためだけの証明法である。

第３章§５問題１
ｆ(Ｘ)＝Ｘ^n＋ａn-1Ｘ^(n-1)＋…＋ａ1Ｘ＋ａ0∈ℤ[Ｘ]，ａ0≠０とする。ｆ(Ｘ)がℚに根をもてば、ｆ(Ｘ)はℤに根αをもち、ａ0はαで割り切れることを示せ。

つまり、解αはａ0の約数という事で上の場合は１の約数で±１という事である。念のため、モニック（Ｘ^nの係数が１）の場合という事ある。
また、解があると可約である事。

因数定理
ｆ(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]，α∈Ｋとする。このとき、ｆ(α)＝０であるための必要十分条件は、ある多項式ｇ(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]が存在して、
ｆ(Ｘ)＝(Ｘ－α)ｇ(Ｘ)
と表されることである。

おまけ：

解説
＞ｐ^2∤ａ0 だから ｐ^2∤ｂ0ｃ0　これより ｐ∤ｃ0

ｐ^2∤ｂ0ｃ0だからｂ0ｃ0に因数ｐ（素元）がないので、
ｐ∤ｂ0ｃ0―――①
ところで、ｐは素元より素元の定義より、
ｐ|ｂ0ｃ0ならばｐ|ｂ0またはｐ|ｃ0
これを否定すると、
ｐ∤ｂ0ｃ0ならばｐ∤ｂ0かつｐ∤ｃ0―――②
①，②より、ｐ∤ｃ0が出るという訳である。

素元の定義
Ｒの元ｂ,ｃに対して、ａ|ｂｃであるとき、ａ|ｂかまたはａ|ｃの少なくとも一方が成り立つ、という条件を満足するときａをＲの素元という。

＞ａi＝ｂiｃ0＋ｂi-1ｃ1＋…＋ｂ0ｃi

p.196の定理4.1の証明に、
ｆ(Ｘ)＝ａ0＋ａ1Ｘ＋…＋ａnＸ^n
ｇ(Ｘ)＝ｂ0＋ｂ1Ｘ＋…＋ｂmＸ^mとすると、
ｆ(Ｘ)ｇ(Ｘ)＝∑(k=0~m+n)ｃkＸ^k
ｃk＝∑(i+j=k)ａiｂj
とあり、ｃk＝∑(i+j=k)ａiｂjを考えれば自明である。
実際に、(ａ0＋ａ1Ｘ＋ａ2Ｘ^2)(ｂ0＋b１X)を展開すると、
＝ａ0ｂ0＋(ａ0ｂ1＋ａ1ｂ0)Ｘ＋(ａ1ｂ1＋ａ2ｂ0)Ｘ^2＋ａ2ｂ1Ｘ^3
となっていて合っている事が確認出来るだろう。

＞ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]における既約多項式である。

Ｒ[Ｘ]ではなくてＫ[Ｘ]になる理由ですね。

これは証明をちょっと改造してみよう。

定理5.10（アイゼンシュタインの既約判定法）
Ｒを一意分解整域，Kをその商体とする。このときＲ[Ｘ]の元
ｆ(Ｘ)＝ａnＸ^n＋ａn-1Ｘ^(n-1)＋…＋ａ1Ｘ＋ａ0
に対し、
ｐ∤ａn，ｐ|ａn-1，…，ｐ|ａ1，ｐ|ａ0，ｐ^2∤ａ0
を満たすＲの素元ｐが存在するならば、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]における既約多項式である。

証明
ｆ(Ｘ)がＲ[Ｘ]で可約であると仮定すると、ある多項式ｇ(Ｘ)
,ｈ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]が存在して
ｆ(Ｘ)＝ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)
と表される。多項式ｇ(Ｘ),ｈ(Ｘ)をそれぞれ
ｇ(Ｘ)＝ｂ0＋ｂ1Ｘ＋…＋ｂrＸ^r∈Ｒ[Ｘ]（ｒ＞０）
ｈ(Ｘ)＝ｃ0＋ｃ1Ｘ＋…＋ｃsＸ^s∈Ｒ[Ｘ]（ｓ＞０，ｒ＋ｓ＝ｎ）
とする。定数項を比べると
ａ0＝ｂ0ｃ0
仮定ｐ|ａ0より、ｐ|ｂ0ｃ0である。ゆえに、ｐ|ｂ0 または ｐ|ｃ0
ｐ|ｂ0とすると、
ｐ^2∤ａ0 だから ｐ^2∤ｂ0ｃ0　これより ｐ∤ｃ0
一方、ｇ(Ｘ)の係数の中にはｐで割り切れないものがある。もしそうでないと、ｆ(Ｘ)＝ｇ(Ｘ)・ｈ(Ｘ)でｆ(Ｘ)がｐで割り切れるから、Ｘ^nの係数ａnもｐで割り切れることになり、仮定に反する。
ｇ(Ｘ)の係数でｐで割り切れない最初のものをｂi（０＜ｉ≦ｒ＜ｎ）とする。ｉ＜ｎに対してａiは
ａi＝ｂiｃ0＋ｂi-1ｃ1＋…＋ｂ0ｃi
と表されている。ここでｂ0,…,ｂi-1はｐで割り切れ、ａiもｐで割り切れるから結局
ｐ|ｂiｃ0
となる。ところが、前にみたようにｐ∤ｃ0であるから、ｐ|ｂiとなり矛盾である。
ｐ|ｃ0のときも同様に矛盾が導かれる。以上より、ｆ(Ｘ)が可約であると仮定すると矛盾が導かれたので、背理法によりｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]において既約である。

ここで、定理5.6の「ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]で可約であればＲ[Ｘ]においても可約である」の対偶を取ると、「ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]において既約ならばＫ[Ｘ]でも既約である」ので、

よって、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]における既約多項式である。

定理5.6
一意分解整域Ｒの商体をＫとし、ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]とする。
ｆ(Ｘ)がＫ[Ｘ]において多項式の積に分解すれば、Ｒ[Ｘ]においても同じ次数の多項式に分解する。すなわち、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]で可約であれば、Ｒ[Ｘ]においても可約である。
また、この逆も成り立つ。

おまけ：

問題１の解答
斜線部＝扇形ＣＢＥ＋△ＣＤＥ－△ＣＡＢ－扇形ＣＡＤ
＝扇形ＣＢＥ－扇形ＣＡＤ
ところで、ＡＢとＣＥが平行より錯角で∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＢ＝９０°よって、∠ＢＣＥ＝６０°＋９０°＝１５０°
また、∠ＡＣＤ＝９０°＋６０°＝１５０°
また、△ＡＢＣは３０°,６０°,９０°の三角定規型より、
ＡＣ＝８÷２＝４ｃｍ
よって、斜線部＝８×８×π×(１５０/３６０)－４×４×π×(１５０/３６０)
＝(８×８－４×４)×π×(１５/３６)
＝４８×π×(５/１２)＝２０π＝２０×３.１４
＝６２.８ｃｍ^2
よって、答えは、６２.８ｃｍ^2

問題２
６/√２より小さい自然数は何個ありますか？

解答
(６/√２)^2＝３６/２＝１８―――①
ところで、１６＜１８＜２５―――②
①を②に代入すると、４^2＜(６/√２)^2＜５^2
∴４＜(６/√２)＜５
よって、６/√２より小さい自然数は１,２,３,４である。
よって、答えは、４個

おまけ：

問題３の解答
△ＡＢＤは正三角形より、ＤＡ＝ＡＢ＝３＋５＝８ｃｍ　また、ＤからＡＢに垂線を下ろしその足をＨとすると、ＨはＡＢの中点となり、ＡＨ＝４ｃｍ　∴ＦＨ＝４－３＝１ｃｍ
また、△ＤＨＡは１：２：√３の直角三角形より、ＤＨ＝４√３ｃｍ
よって、△ＤＨＦで三平方の定理を使うと、ＤＦ＝√{１^2＋(４√３)^2}＝√４９＝７ｃｍ
ところで、△ＡＢＤ，△ＡＣＥがそれぞれ正三角形より、ＡＤ＝ＡＢ，ＡＣ＝ＡＥ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＥ（＝∠ＢＡＣ＋６０°）
よって、二辺挟角が等しいので、△ＡＤＣ≡△ＡＢＥ　∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＥ　∴∠ＦＤＡ＝∠ＦＢＧ　また、対頂角より、∠ＡＦＤ＝∠ＧＦＢ　
よって、２角が等しいので、△ＦＡＤ∽△ＦＧＢ
∴ＢＧ：ＢＦ＝ＤＡ：ＤＦ　∴ＢＧ：５＝８：７
∴７ＢＧ＝４０　∴ＢＧ＝４０/７ｃｍ

因みに、鋭角三角形の二辺の外側に正三角形がくっついている形を見たら、まず、定石で△ＡＤＣ≡△ＡＢＥ
次に、それによって円周角が等しくなるので４点Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｇ（４点Ａ，Ｅ，Ｃ，Ｇ）は同一円周上にあり、円周角から∠ＤＧＢ＝６０°などはすぐ分かるようにしておく。

また、点Ｇは実はフェルマー点になっていて、鋭角三角形の内部の点で∠ＡＧＢ＝∠ＢＧＣ＝∠ＣＧＡ＝１２０°となっっていて、ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧの長さが最小になる点である。また、ＢＣの外側に正三角形ＰＢＣを作るとＡＰも点Ｇで交わる。（全て記憶で書いているので）

興味がある人は調べてみて下さい。因みに、似たような点でナポレオン点というのもある。

おまけ：

解法１
折り返しより、ＢＣ＝ＢＦ―――①　また、長方形の中点の対称性より、ＢＦ＝ＣＦ―――②
①,②より、ＢＣ＝ＢＦ＝ＣＦ
よって、△ＦＢＣは正三角形より∠ＦＢＣ＝６０°
∴∠ＡＢＦ＝９０°－６０°＝３０°
また、折り返しより∠ＦＢＥ＝∠ＣＢＥ＝３０°
よって、△ＡＢＦ，△ＦＢＥ，△ＣＢＥは全て１：２：√３の直角三角形である。
∴ＢＦ＝１０√３ｃｍ，ＡＢ＝(√３/２)ＢＦ＝(√３/２)(１０√３)＝１５ｃｍ
よって、答えは、１５ｃｍ

解法２
ＢＥの中点をＭとしＭＦを結ぶと、直角三角形の斜辺の中点と直角を結ぶので定石により、ＭＢ＝ＭＥ＝ＭＦ（小学生は長方形を対角線で二等分した図から分かり、中３生以上は△ＦＢＥの外接円の中心を考えれば分かる。）
よって、△ＭＦＥは二等辺三角形より∠ＭＦＥ＝∠ＭＥＦ―――①　また、台形の中点連結定理よりＦＭ//ＤＥ//ＡＢ　よって、ＦＭ//ＥＣ
よって、錯角より∠ＦＭＥ＝∠ＭＥＣ―――②　また、折り返しより∠ＭＥＣ＝∠ＭＥＦ―――③　
①,②,③より、∠ＭＦＥ＝∠ＭＥＦ＝∠ＦＭＥ　よって、△ＭＦＥは正三角形である。
よって、∠ＭＥＣ＝∠ＭＥＦ＝６０°より∠ＦＥＤ＝１８０°－６０°×２＝６０°
よって、△ＢＣＥ，△ＢＦＥ，△ＦＤＥは全て１：２：√３の直角三角形である。よって、ＥＣ＝ＥＦ＝２０÷２＝１０ｃｍ　よって、ＤＥ＝１０÷２＝５ｃｍ
よって、ＡＢ＝ＤＣ＝５＋１０＝１５ｃｍ
よって、答えは、１５ｃｍ

念のため、解法１も算数の解法に出来ます。また、台形の中点連結定理を使わない場合は、ＢＣの中点をＮとしてＦＮとＢＥの交点をＭとすると、△ＢＣＥでの中点連結定理の逆により点ＭはＢＥの中点となりＦＭ//ＥＣが言える。（ＦＮ//ＤＣだから。）
念のため、算数の解法にする場合は、「中点」は「真ん中の点」とし「１：２：√３の直角三角形」は「３０°,６０°,９０°の直角三角定規型」に直します。また、小学生でも台形の中点連結定理を知っているかもしれませんが、中点連結定理の逆などは相似を使います。

解法３は中３生以上の解法です。

おまけ：

解法３
ＡＢ＝ｘ，ＥＣ＝ｙ，ＢＣ＝ｚと置くと、ＤＥ＝ｘ－ｙ，ＡＦ＝ＤＦ＝ｚ/２
また、定石の形より△ＤＥＦ∽△ＦＡＢ（角度を考えれば分かる。）
よって、ｘ－ｙ：ｚ/２＝ｚ/２：ｘが成り立つ。
∴ｚ^2/４＝ｘ(ｘ－ｙ)―――①
また、△ＡＢＦ，△ＦＤＥ，△ＥＢＣで三平方の定理を使うと、折り返しより、ＥＦ＝ｙ，ＢＦ＝ｚなので、
ｘ^2＋ｚ^2/４＝ｚ^2―――②
(ｘ－ｙ)^2＋ｚ^2/４＝ｙ^2―――③
ｙ^2＋ｚ^2＝４００―――④
①を③に代入すると、(ｘ－ｙ)^2＋ｘ(ｘ－ｙ)＝ｙ^2
∴ｘ^2－２ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ^2－ｘｙ＝ｙ^2
∴２ｘ^2－３ｘｙ＝０　∴ｘ(２ｘ－３ｙ)＝０
ｘ＞０より、２ｘ－３ｙ＝０　∴２ｘ＝３ｙ
∴ｙ＝２ｘ/３―――⑤
また、②より、ｘ^2＝３ｚ^2/４　
∴ｚ^2＝４ｘ^2/３―――②'
②'と⑤を④に代入すると、
４ｘ^2/９＋４ｘ^2/３＝４００
∴１６ｘ^2/９＝４００　∴４ｘ/３＝±２０
ｘ＞０より、４ｘ＝６０　∴ｘ＝１５
∴ＡＢ＝１５ｃｍ

おまけ：
「捜査中、学内の五十嵐の机の引き出しから、殺害前数週間以内と思われる時期に書いたメモが発見された。これには壇ノ浦の戦いに関する四行詩が日本語およびフランス語で書かれていたが、4行目の「壇ノ浦で殺される」という日本語の段落に対し、フランス語で「階段の裏で殺される」と書かれていた。このため、五十嵐は自身に身の危険が迫っていた事を察知していたのではないかとする憶測が生まれた。」
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%82%AA%E9%AD%94%E3%81%AE%E8%A9%A9%E8%A8%B3%E8%80%85%E6%AE%BA%E4%BA%BA%E4%BA%8B%E4%BB%B6

解説
＞Ｆ1(Ｘ)…Ｆs(Ｘ)とＦ1'(Ｘ)…Ｆn'(Ｘ)は定理5.5より原始多項式である。したがって、補題よりｐ1…ｐrとｐ1'…ｐm'は同伴である。

補題の（２）より、「Ｒの可逆元の因子を除いて一意的に定まる」ので、
ｆ(Ｘ)＝ｐ1…ｐrＦ1(Ｘ)…Ｆs(Ｘ)
ｆ(Ｘ)＝ｐ1'…ｐm'Ｆ1'(Ｘ)…Ｆn'(Ｘ)
のｐ1…ｐrとｐ1'…ｐm'の違いは係数が±１（積）だけである。（Ｒの可逆元は±１）
よって、同伴の定義より、ｐ1…ｐrとｐ1'…ｐm'は同伴である。

定義5.3
Ｒを整域とする。ｂ|ａかつａ|ｂのとき、ある可逆元ｕ∈Ｒが存在して、
ａ＝ｕ・ｂ
となっている。このとき、ａとｂは同伴であるといい、ａ～ｂで表す。

＞ここで、Ｆi(Ｘ)，Ｆi'(Ｘ)はＫ[Ｘ]で素元（既約多項式）であるから（定理5.6）、

定理5.6より、「すなわち、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]で可約であれば、Ｒ[Ｘ]においても可約である。」
この対偶を取ると、ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]において既約ならばＫ[Ｘ]においても既約である。
また、定理4.10よりＫ[Ｘ]は一意分解整域で「一意分解整域においては既約元と素元は同値な概念」（p.224）であるので、Ｆi(Ｘ)，Ｆi'(Ｘ)はＫ[Ｘ]で素元（既約多項式）である。
（Ｆi(Ｘ),Ｆi'(Ｘ)はＲ[Ｘ]の素元だからＲ[Ｘ]において既約。念のため、定理5.3より整域において素元は既約元。）

定理5.3
Ｒを整域とし、ｐをＲの元とする。ｐが素元であれば、ｐは既約元である。

＞Ｆi(Ｘ)とＦi'(Ｘ)はＫ[Ｘ]において同伴になる。すなわち、
　Ｆi(Ｘ)＝αiＦi'(Ｘ)，∃αi∈Ｋ

問5.8（３）より、Ｋ[Ｘ]においての同伴は定数倍の違いだから。

問5.8
Ｒを整域，Ｋを体とするとき、次の問に答えよ。
（３）Ｋ[Ｘ]の２つの多項式ｆ(Ｘ)とｇ(Ｘ)が同伴であるということはどんなことか。
解答
（３）前半省略。
したがって、多項式ｆ(Ｘ)とｇ(Ｘ)が同伴であるということは、ｆ(Ｘ)とｇ(Ｘ)が定数倍しか違わないということである。

＞Ｆi(Ｘ)＝αiＦi'(Ｘ)，∃αi∈Ｋ
このとき、Ｆi(Ｘ)とＦi'(Ｘ)は原始多項式であるから、補題よりαi∈Ｕ(Ｒ)　よって、Ｆi(Ｘ)とＦi'(Ｘ)はＲ[Ｘ]において同伴である。

Ｕ(Ｒ)はＲの可逆元全体の集合という事である。また、補題の（２）より、「Ｒの可逆元の因子を除いて一意的に定まり、特に、ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]であればｕ∈Ｒである」ので、αi∈Ｕ(Ｒ)である。
問5.8（１）よりＲ[Ｘ]の可逆元はＲの可逆元と同じであるので、Ｆi(Ｘ)とＦi'(Ｘ)はＲ[Ｘ]において同伴である。（定義5.3より）

問5.8
Ｒを整域，Ｋを体とするとき、次の問に答えよ。
（１）Ｒ[Ｘ]の可逆元は何か。
解答
前半省略。
したがって、Ｒ[Ｘ]の可逆元はＲの元であって、かつＲの可逆元である。逆に、ａ∈ＲをＲにおける可逆元とすると、ａはＲ[Ｘ]においても可逆元となることは容易にわかる。

続きは次回。

おまけ：

解説の続き
＞[Ⅱ]ｎ＞１のときには、[Ⅰ]の結果とＲ[Ｘ1,…,Ｘn]＝Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn-1][Ｘn]であることに注意して数学的帰納法を使えばよい。

[Ⅰ]より、Ｒ[Ｘ]が一意分解整域であるので、ｎ＝１の時成り立つ。
[Ⅱ]ｎ－１まで一意分解整域であると仮定して、
Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]＝Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn-1][Ｘn]と変形すると、
ｆ(Ｘ1,…,Ｘn)∈Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]に対して、Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]＝Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn-1][Ｘn]より、
ｆ(Ｘ1,…,Ｘn)＝ｇ0(Ｘ1,…,Ｘn-1)＋ｇ1(Ｘ1,…,Ｘn-1)Ｘn＋ｇ2(Ｘ1,…,Ｘn-1)(Ｘn)^2＋…＋ｇm(Ｘ1,…,Ｘn-1)(Ｘn)^mで、
仮定よりｇi(Ｘ1,…,Ｘn-1)∈Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn-1]が一意的に分解されるので、ｆ(Ｘ1,…,Ｘn)も一意的に分解される。（右辺が一意的に分解されるので左辺も一意的に分解される。）
よって、Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]も一意分解整域よりｎの時も成り立つ。
[Ⅰ],[Ⅱ]より、数学的帰納法により、
Ｒが一意分解整域ならば、Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]も一意分解整域である。

定義4.2
Ｒ[Ｘ][Ｙ]をＲ[Ｘ,Ｙ]とおき、Ｒ上の２変数Ｘ,Ｙの多項式環といい、この環の元をＲの元を係数とする２変数Ｘ,Ｙの多項式という。
同様にｎ変数の多項式環Ｒ[Ｘ1,…,Ｘn]が定義できる。

ただし、私が適当に作った解答なので裏を取って下さい。

おまけ：

問題１の解答
ＡからＢＥに垂線下ろしその足をＨとし、ＡＨ＝ｘ，ＣＨ＝ｙと置いて△ＡＢＨと△ＡＣＨでそれぞれ三平方の定理を使うと、ｘ^2＋(４＋ｙ)^2＝９^2―――①
ｘ^2＋ｙ^2＝７^2―――②
①－②より、１６＋８ｙ＝８１－４９　∴８ｙ＝１６
∴ｙ＝２　∴ｘ^2＝４９－４＝４５　∴ｘ＝３√５
∴ＡＨ＝３√５ｃｍ，ＣＨ＝２ｃｍ　
∴ＢＨ＝４＋２＝６ｃｍ
ところで、△ＡＢＥは二等辺三角形より、
ＢＥ＝２ＢＨ＝１２ｃｍ　∴ＣＥ＝１２－４＝８ｃｍ
∴△ＡＣＥ＝８×３√５×(１/２)＝１２√５ｃｍ^2
よって、答えは、１２√５ｃｍ^2

問題２の解答
ＢＡの延長とＣＤの延長との交点をＥとすると、△ＥＡＤと△ＥＢＣは相似で相似比は４：２８＝１：７
よって、面積比は１×１：７×７＝１：４９
よって、△ＥＡＤ＝①と置くと、△ＥＢＣ＝㊾より、台形ＡＢＣＤ＝㊾－①＝㊽
よって、条件より、台形ＡＰＱＤ＝㊽÷２＝㉔
よって、△ＥＰＱ＝㉔＋①＝㉕　よって、△ＥＡＤと△ＥＰＱの面積比が①：㉕＝１：２５より、相似比は１×１：５×５より１：５である。
よって、ＰＱ＝５×ＡＤ＝５×４＝２０ｃｍ
よって、答えは、２０ｃｍ

何でもありの解法は次回。

おまけ：

問題２の何でもありの解法
ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎと置くと、台形の内部の線分の長さの公式より、
ＰＱ＝(ｍＢＣ＋ｎＡＤ)/(ｍ＋ｎ)（証明はＢＤとＰＱの交点をＲとして△ＢＰＲ∽△ＢＡＤ，△ＤＲＱ∽△ＤＢＣを利用すれば良い。）
∴ＰＱ＝(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)
また、ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとし、ＡＨとＰＱの交点をＳとしＡＨ＝ｈとすると、
ＡＳ＝{ｍ/(ｍ＋ｎ)}ｈ，ＳＨ＝{ｎ/(ｍ＋ｎ)}ｈ
よって、条件より、
{４＋(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)}×{ｍ/(ｍ＋ｎ)}ｈ×(１/２)＝{(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)＋２８}×{ｎ/(ｍ＋ｎ)}ｈ×(１/２)
が成り立つ。
∴{４＋(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)}×{ｍ/(ｍ＋ｎ)}＝{(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)＋２８}×{ｎ/(ｍ＋ｎ)}
∴{４(ｍ＋ｎ)＋(２８ｍ＋４ｎ)}×ｍ＝{(２８ｍ＋４ｎ)＋２８(ｍ＋ｎ)}×ｎ
∴{(ｍ＋ｎ)＋(７ｍ＋ｎ)}×ｍ＝{(７ｍ＋ｎ)＋７(ｍ＋ｎ)}×ｎ
∴ｍ(８ｍ＋２ｎ)＝ｎ(１４ｍ＋８ｎ)
∴８ｍ^2＋２ｍｎ＝１４ｍｎ＋８ｎ^2
∴８ｍ^2－１２ｍｎ－８ｎ^2＝０
∴２ｍ^2－３ｍｎ－２ｎ^2＝０
∴(２ｍ＋ｎ)(ｍ－２ｎ)＝０
２ｍ＋ｎ＞０より、ｍ－２ｎ＝０　∴ｍ＝２ｎ
∴ｍ：ｎ＝２：１
∴ＰＱ＝(２８ｍ＋４ｎ)/(ｍ＋ｎ)＝(２８・２＋４・１)/(２＋１)＝(５６＋４)/３＝６０/３＝２０ｃｍ
よって、答えは、２０ｃｍ

しかし、無駄な解法ですね。まぁ、役に立たなくても面白いからやるんですけど。因みに、この公式は受験算数で使われる公式です。
https://sanjutsu.com/sansuukouza/daikei-heikousen/

おまけ：

解説
＞Ｆ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)，ｇ(Ｘ),ｈ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]
と仮定する。この関係をＫ[Ｘ]で考えると、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]の素元であるからＫ[Ｘ]において、
ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ) または ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)

まず、「Ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]の素元である」事を示すために、
Ｆ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)，ｇ(Ｘ),ｈ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]
と仮定する。（最終的に、Ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ)またはＦ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)を示すため。）
ところで、ｆ(Ｘ)＝ｕＦ(Ｘ)よりＦ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)ならばｆ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)である。念のため、ｕはＫの定数だから無視して良い。
ここで、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]の素元であるからＫ[Ｘ]において、
ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ) または ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)
（素元の定義よりｆ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)ならばｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ) または ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)）
となる訳である。

別解
定理5.8
一意分解整域Ｒの商体をＫとする。ｆ(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]とすると、ある原始多項式Ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]があってｆ(Ｘ)＝ｕＦ(Ｘ)（ｕ∈Ｋ）と表せる。このとき、ｆ(Ｘ)がＫ[Ｘ]の素元であれば、Ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]の素元である。
　特に、原始多項式Ｆ(Ｘ)がＫ[Ｘ]の素元であれば、Ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]の素元である。

証明
Ｆ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)，ｇ(Ｘ),ｈ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]
と仮定する。この関係をＫ[Ｘ]で考えると、ｆ(Ｘ)はＫ[Ｘ]の素元であるからＫ[Ｘ]において、
ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ) または ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)
そこで、ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ)とする。
ｇ(Ｘ)＝ｆ(Ｘ)ｇ1(Ｘ)，∃ｇ1(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]・・・・・①

ここで、Ｆ(Ｘ)が原始多項式でＦ(Ｘ)｜ｇ(Ｘ)ｈ(Ｘ)よりｇ(Ｘ)も原始多項式である。（ガウスの補題の逆とでもいうべき命題。経験則から確実だが厳密には証明が必要。）
よって、ｇ(Ｘ)＝ｆ(Ｘ)ｇ1(Ｘ)，ｆ(Ｘ),ｇ1(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]でｇ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]は原始多項式。（①より）
よって、定理5.7より、ある原始多項式Ｆ1(Ｘ),Ｆ2(Ｘ)があって、ｇ(Ｘ)＝Ｆ1(Ｘ)Ｆ2(Ｘ)と表される。
ここで、ｇ(Ｘ)＝ｆ(Ｘ)ｇ1(Ｘ)，ｆ(Ｘ)＝ｕＦ(Ｘ)より、
Ｆ1(Ｘ)＝Ｆ(Ｘ)である。
∴ｇ(Ｘ)＝Ｆ(Ｘ)Ｆ2(Ｘ)

したがって、Ｆ(Ｘ)|ｇ(Ｘ)
ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)とすると、Ｆ(Ｘ)|ｈ(Ｘ)が同様にして導かれる。以上より、Ｆ(Ｘ)はＲ[Ｘ]の素元であることが示された。

定理5.7
一意分解整域Ｒの商体をＫとする。Ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]を原始多項式とし、
Ｆ(Ｘ)＝ｆ1(Ｘ)…ｆr(Ｘ)，ｆi(Ｘ)∈Ｋ[Ｘ]，１≦degｆi(Ｘ)
とする。このとき、ある原始多項式Ｆi(Ｘ)があって、
Ｆ(Ｘ)＝Ｆ1(Ｘ)…Ｆr(Ｘ)
と表される。

おまけ：

問題１の解答
円周角より∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝４５°∴∠ＤＣＢ＝１５°＋４５°＝６０°

解法１　
ＯＢ，ＯＤを結ぶと円周角と中心角の関係より、∠ＢＯＤ＝６０°×２＝１２０°
よって、△ＯＢＤは頂角が１２０°の二等辺三角形より二辺比が１：√３である。∴ＯＢ＝√６/√３＝√２ｃｍ
よって、円Ｏの半径は√２ｃｍ

解法２　
ＤＯを結びその延長と外接円との交点をＥとしＢＥを結ぶと、円周角より∠ＤＥＢ＝∠ＤＣＢ＝６０°
また、ＤＥは直径より∠ＤＢＥ＝９０°よって、△ＤＢＥは１：２：√３の直角三角形である。
∴ＤＥ＝(２/√３)ＢＤ＝(２/√３)×√６＝２√２ｃｍ
よって、円Ｏの直径が２√２ｃｍより半径は√２ｃｍ
よって、答えは、√２ｃｍ

念のため、高校生以上だったら正弦定理を使えば一発ですね。

問題２の解答
ＤＦとＧＥの交点をＨ，ＡＥ，ＡＦとＤＧとの交点をそれぞれＩ，Ｊとすると、△ＡＤＧと△ＡＢＣは相似で相似比は１：３よりＤＧ＝ＥＦとなる。
また、ＧＥ//ＡＢ，ＤＦ//ＡＣより△ＨＥＦも正三角形になり△ＡＤＧと合同になり全体の１/９の面積である。
ところで、△ＡＤＧと△ＡＢＣは相似で△ＡＥＦは△ＡＢＣの１/３なので、△ＡＩＪは△ＡＤＧの１/３である。
よって、△ＡＩＪは全体の(１/９)×(１/３)＝１/２７の面積である。
ところで、△ＨＥＦと△ＨＤＧも合同な正三角形でＨＧ＝ＨＥ　また、ＤＦ//ＡＣでＨＦ＝ＡＧよりＡＦとＥＧの交点をＫとすると、△ＫＡＧと△ＫＦＨは合同である。
よって、ＨＫ＝ＧＫ　よって、ＨＫ：ＨＥ＝１：２
よって、△ＦＫＨ：△ＦＨＥ＝１：２
よって、△ＦＫＨとそれと対称な三角形を△ＨＥＦの所に等積変形すると、斜線部の面積は、△ＨＥＦ＋△ＨＤＧ＋△ＡＩＪとなり、全体の１/９＋１/９＋１/２７＝２/９＋１/２７＝６/２７＋１/２７＝７/２７
よって、全体の７/２７より、求める面積は、(７/２７)×８１＝７×３＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2

因みに、△ＫＨＦを△ＫＧＡの所に移動させ（対称の三角形も同様に）ると、斜線部の面積は△ＡＤＧ＋△ＨＤＧ＋△ＧＪＫ２個分となり、△ＧＪＫと△ＤＪＡは相似で相似比が１：２より面積比は１：４　また、△ＤＪＡ＝(２/３)×△ＡＤＧより、△ＧＪＫ＝(１/４)×(２/３)×△ＡＤＧ＝(１/６)×△ＡＤＧ
よって、△ＧＪＫ２個分＝(１/３)×△ＡＤＧ＝全体の(１/３)×(１/９)＝１/２７
よって、斜線部の面積＝全体の１/９＋１/９＋１/２７
以後同じとしても良い。

問題３
□に入る数字を求めてください。
９４×９７－６３×１７＋□×８０－３１×９７＝８０００

解答
９４×９７－３１×９７＝９７×(９４－３１)＝９７×６３
よって、９７×６３－６３×１７を考えると、
＝６３×(９７－１７)＝６３×８０
よって、与式は、６３×８０＋□×８０＝８０００となる。
両辺を８０で割ると、６３＋□＝１００
よって、□＝３７

一応、pythonでも求めると、

for n in range(1,8000):
if 94*97- 63*17 + n*80 - 31*97 == 8000:
print(n)
結果：37

おまけ：

問題１の解答
１行目でも１列目でも同じで１＋２＋…＋９
２行目で２列目でも２＋４＋…＋１８で２倍。
３行目でも３列目でも３＋４＋…＋２７で３倍。
以後、９倍まで同様になっているので総和は、
１×(１＋２＋…＋９)＋２×(１＋２＋…＋９)＋３×(１＋２＋…＋９)＋・・・＋９×(１＋２＋…＋９)
＝(１＋２＋…＋９)×(１＋２＋…＋９)
＝４５×４５＝２０２５

違う見方をすると、左上の４マスの総和は、
１×１＋１×２＋２×１＋２×２＝(１＋２)×(１＋２)
ただし、分配法則を知らないといけないが。
９マスの総和は、
１×１＋１×２＋１×３＋２×１＋２×２＋２×３＋３×１＋３×２＋３×３＝(１＋２＋３)×(１＋２＋３)
以後同様に考えると、８１マスの総和は、
(１＋２＋…＋９)×(１＋２＋…＋９)
＝４５×４５＝２０２５

ついでにpythonでやると、

sigma = 0
for i in range(1,10):
for j in range(1,10):
sigma = sigma + i*j
print(sigma)
結果：2025

おまけ：

問題２の算数の解法
ＡＢの延長とＤＣの延長との交点をＧとすると、正六角形の性質より△ＧＢＣは正三角形となり、
ＢＣ＝ＢＧ＝ＢＡ，ＣＢ＝ＣＧ＝ＣＤ
よって、△ＰＢＧ＝△ＰＢＡ＝１２ｃｍ^2，△ＰＣＧ＝△ＰＣＤ＝１１ｃｍ^2
∴△ＧＢＣ＝△ＰＢＧ＋△ＰＣＧ－△ＰＢＣ＝１２＋１１－８＝１５ｃｍ^2
ところで、正六角形の性質より四角形ＡＢＣＤは正三角形ＧＢＣの３個分である。
よって、△ＡＤＰ＝１５×３－１２－８－１１＝４５－３１＝１４ｃｍ^2
よって、答えは、１４ｃｍ^2

何でもありの解法１
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａと置くと、正六角形の性質よりＡＤ＝２ａ
ここで、ＰからＡＤに下ろした垂線の長さをｈとすると、△ＡＤＰ＝ａｈ―――☆
また、四角形ＡＢＣＤは底角が６０°の等脚台形でＢからＡＤに下ろした垂線の長さは、√３ａ/２である。
∴△ＰＢＣ＝ａ×(√３ａ/２－ｈ)×(１/２)＝８が成り立つ。
∴√３ａ^2/２－ａｈ＝１６―――①
また、四角形ＡＢＣＤの面積より、
ａｈ＋８＋１２＋１１＝(ａ＋２ａ)×(√３ａ/２)×(１/２)　∴ａｈ＋３１＝３√３ａ^2/４
∴ａｈ＝３√３ａ^2/４－３１―――②
②を①に代入すると、
√３ａ^2/２－(３√３ａ^2/４－３１)＝１６
∴－√３ａ^2/４＋３１＝１６　∴√３ａ^2/４＝１５
∴３√３ａ^2/４＝４５―――③
③を②に代入すると、
ａｈ＝４５－３１＝１４
これを☆に代入すると、△ＡＤＰ＝１４ｃｍ^2
よって、答えは、１４ｃｍ^2

因みに、最初に思い付いたのは別の解法でした。ＦＡの延長とＣＢの延長との交点を定めるというもので、中途半端な解法ですが数学好きには良いかもしれません。次回。

おまけ：

問題２の何でもありの解法２
ＦＡの延長とＣＢの延長との交点をＥとすると、正六角形の性質より△ＥＡＢは正三角形になり、ＥＢ＝ＢＣとなる。
よって、△ＰＥＢ＝△ＰＢＣ＝８ｃｍ^2　ここで、△ＰＥＡ＝ｘｃｍ^2，△ＰＡＤ＝ｙｃｍ^2と置くと、
平行四辺形の名もなき定理より、ｘ＋１１＝ｙ＋１６が成り立つ。∴ｘ－ｙ＝５―――①
また、△ＥＡＢ＝８＋ｘ－１２＝ｘ－４で、正六角形の性質より四角形ＡＢＣＤの面積は正三角形ＥＡＢの３個分。
よって、(ｘ－４)×３＝ｙ＋１２＋８＋１１が成り立つ。
∴３ｘ－１２＝ｙ＋３１　∴３ｘ－ｙ＝４３―――②
②－①より、２ｘ＝３８　∴ｘ＝１９
∴ｙ＝ｘ－５＝１９－５＝１４
よって、△ＰＡＤ＝１４ｃｍ^2
よって、△ＡＰＤの面積は１４ｃｍ^2

名もなき定理：http://www.k-net.or.jp/~kndm0037/suugaku/sikakumenwa/dai2ji.htm（あ＋い＝う＋え）
昔、「高校への数学　日日のハイクラス演習」で見た定理。

証明１
ＥからＡＤと平行な直線を引きＡＢとの交点をＰとすると、等積変形より△ＥＡＤ＋△ＥＢＣ＝△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ
また、点Ｐを点Ａの所に動かすと等積変形で△ＰＡＤ＋△ＰＢＣ＝△ＡＤＣ（△ＰＡＤ）＝(１/２)平行四辺形ＡＢＣＤ
∴△ＥＡＤ＋△ＥＢＣ＝(１/２)平行四辺形ＡＢＣＤ
∴△ＥＡＤ＋△ＥＢＣ＝△ＥＤＣ＋△ＥＡＢ
よって、あ＋い＝う＋え

証明２
ＥからＡＢと平行な直線を引きＡＤ，ＢＣとの交点を定め、ＥからＡＤと平行な直線を引きＤＣ，ＡＢとの交点をそれぞれ定めると、それによって生み出される４つの四角形はそれぞれ平行四辺形でＥＡ，ＥＢ，ＥＣ，ＥＤはそれぞれの対角線より平行四辺形を合同な三角形で二等分している。
よって、合同な三角形をそれぞれ○，×，△，□と置くと、△ＥＡＤ＋△ＥＡＢ＝○＋×＋△＋□，△ＥＤＣ＋△ＥＡＢ＝○＋×＋△＋□となり、
△ＥＡＤ＋△ＥＡＢ＝△ＥＤＣ＋△ＥＡＢとなる。
よって、あ＋い＝う＋え

おまけ：

問題１
ある仕事をＡ１人ですると１０日かかり、ＡとＢ２人ですると６日かかります。この仕事をＢ１人ですると何日かかりますか。

解答
全体の仕事量を１とすると、Ａの１日分の仕事量は１/１０，ＡとＢの１日の仕事量は１/６
よって、Ｂの１日の仕事量は１/６－１/１０＝４/６０＝１/１５
よって、Ｂ１人では１５日かかる。

確かこういうのを仕事算と言うんだと思った。暗算で解けますね。

問題２
羊とヤギを合わせて２００匹が飼われている牧場があり、その９９％は羊です。羊を９８％にするには、何匹の羊を取り除けばいいでしょう？

解答
２００×９９＝１９８匹　取り除く頭数をｘと置くと、(１９８－ｘ)/(２００－ｘ)＝９８/１００が成り立つ。
∴１００(１９８－ｘ)＝９８(２００－ｘ)
∴１９８００－１００ｘ＝１９６００－９８ｘ
∴２ｘ＝２００　∴ｘ＝１００
よって、答えは、１００匹

別解　算数の解法
２００×９９＝１９８匹　よって、ヤギの頭数は２匹（２頭）。この数は不変で結果的にこの数が２％になるので、全体で１００匹である。
つまり、取り除く頭数は２００－１００＝１００匹
よって、答えは、１００匹

補足：https://livingthing.biz/archives/3662

問題３の解答
算数の解法
△ＣＤＥを点Ｃを中心にＣＤがＣＢにくっつくまで回転移動させ、点Ｅの行き先をＥ'とすると、∠ＣＤＥ＝１２０°より∠ＣＢＥ'＝１２０°
また、∠ＣＤＥ＝１２０°より錯角が等しいので、Ｅ'ＢとＣＤは平行。また、ＡＢとＤＣの延長との交点をＧとすると∠ＧＢＣ＝∠ＧＣＢ＝１８０°－１２０°＝６０°より、△ＧＢＣは正三角形である。よって、∠Ｇ＝６０°で∠Ａ＝１２０°より錯角が等しくなりＡＦとＣＤは平行である。
よって、Ｅ'ＢとＣＤが平行でＡＦとＣＤは平行より、Ｅ'ＢとＡＦは平行である。また、Ｅ'Ｂ＝ＥＤ＝ＦＡである。よって、Ｅ'ＦとＡＢとの交点をＨとすると、△ＨＢＥ'と△ＨＡＦは合同になる。
よって、△ＨＡＦを△ＨＢＥ'の所に移動させると、六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は四角形ＦＥ'ＣＥの面積と等しくなる。また、ＣＥ＝ＣＥ'，∠ＢＣＦ＋∠ＤＣＥ＝１２０°－６０°＝６０°より、∠Ｅ'ＣＦ＝６０°
よって、∠ＥＣＦ＝∠Ｅ'ＣＦ　また、ＣＦは共通より、二辺挟角が等しいので、△ＣＥＦと△ＣＥ'Ｆは合同。よって、四角形ＦＥ'ＣＥ＝６０×２＝１２０ｃｍ^2
よって、六角形ＡＢＣＤＥＦ＝１２０ｃｍ^2

何でもありの解法は、ＤＥ＝ｘ，ＣＤ＝ｙと置いて正六角形の性質を利用して下さい。ヒントがあっても難しいと思います。
因みに、上の解答は暗算で解きながら書いたので、省略があって読み難いかもしれません。

おまけ：

問題３の何でもありの解法
∠Ｂ＝∠Ｃ＝１２０°より、ＡＢの延長とＤＣの延長との交点をＧとすると、△ＧＡＤは正三角形になり∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝６０°
また、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤより、四角形ＡＢＣＤは正六角形を真っ二つに切った形である。よって、正六角形の性質よりＡＤ＝２ｙ
また、ＣＤの延長とＦＥの延長との交点をＨとすると、∠Ｄ＝∠Ｅ＝１２０°より△ＥＤＨは正三角形になる。∴ＥＨ＝ＤＨ＝ｘ　∴ＣＨ＝ｘ＋ｙ　また、四角形ＡＤＨＦは平行四辺形になり、ＦＨ＝ＡＤ＝２ｙ　∴ＦＥ＝２ｙ－ｘ
ここで、ＣからＦＥに垂線を下ろしその足をＩとすると、△ＣＨＩは１：２：√３の直角三角形より、ＣＩ＝(√３/２)(ｘ＋ｙ)
よって、条件より、(２ｙ－ｘ){(√３/２)(ｘ＋ｙ)}(１/２)＝６０が成り立つ。
∴(ｘ＋ｙ)(２ｙ－ｘ)＝８０√３
∴－ｘ^2＋ｘｙ＋２ｙ^2＝８０√３―――①
また、六角形ＡＢＣＤＥＦ＝台形ＡＢＣＤ＋台形ＡＤＥＦ＝(ｙ＋２ｙ)(√３ｙ/２)(１/２)＋{(２ｙ－ｘ)＋２ｙ}(√３ｘ/２)(１/２)＝３√３ｙ^2/４＋√３ｘ(４ｙ－ｘ)/４＝√３(３ｙ^2＋４ｘｙ－ｘ^2)/４
∴六角形ＡＢＣＤＥＦ＝√３(－ｘ^2＋４ｘｙ＋３ｙ^2)/４―――②
ここで、この図形が一定じゃない場合でも面積が一定になり答えが求められるような場合はこの２式でうまく解決出来るのだが、今回はｘ,ｙの長さまで求められるような問題なので、もう１式必要である。
中学数学でも求められるが、余弦定理を使う事にする。
△ＨＣＥで余弦定理を使うと、
ＣＥ^2＝ｘ^2＋(ｘ＋ｙ)^2－２ｘ(ｘ＋ｙ)cos60°＝ｘ^2＋ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2－ｘ(ｘ＋ｙ)＝ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2
∴ＣＥ＝√(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)―――③
また、正六角形の性質より∠ＣＡＦ＝９０°で△ＢＡＣは頂角が１２０°の二等辺三角形である。
∴ＡＣ＝√３ｙ，ＡＦ＝ｘ　△ＡＣＦで三平方の定理を使うと、ＣＦ^2＝ｘ^2＋３ｙ^2
∴ＣＦ＝√(ｘ^2＋３ｙ^2)―――④
よって、△ＣＦＥで余弦定理を使うと、
(２ｙ－ｘ)^2＝ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ^2＋３ｙ^2－２√{(ｘ^2＋３ｙ^2)(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)}cos60°
∴ｘ^2－４ｘｙ＋４ｙ^2＝２ｘ^2＋４ｙ^2＋ｘｙ－√{(ｘ^2＋３ｙ^2)(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)}
∴√{(ｘ^2＋３ｙ^2)(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)}＝ｘ^2＋５ｘｙ
∴(ｘ^2＋３ｙ^2)(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)＝(ｘ^2＋５ｘｙ)^2
∴ｘ^4＋ｘ^3ｙ＋ｘ^2ｙ^2＋３ｘ^2ｙ^2＋３ｘｙ^3＋３ｙ^4＝ｘ^4＋１０ｘ^3ｙ＋２５ｘ^2ｙ^2
∴－９ｘ^3ｙ－２１ｘ^2ｙ^2＋３ｘｙ^3＋３ｙ^4＝０
∴－３ｘ^3－７ｘ^2ｙ＋ｘｙ^2＋ｙ^3＝０
∴３ｘ^3＋７ｘ^2ｙ－ｘｙ^2－ｙ^3＝０
ここで、ｘ，ｙの比を考えるためにｙ＝１とすると、
３ｘ^3＋７ｘ^2－ｘ－１＝０
よって、因数定理でｘ＝－１/３としてみると、
３(－１/３)^3＋７(－１/３)^2－(－１/３)－１
＝－１/９＋７/９＋１/３－１＝０で成り立つ。
よって、３ｘ＋１という因数を持つ。これで割ると、
(３ｘ＋１)(ｘ^2＋２ｘ－１)＝０
よって、３ｘ^3＋７ｘ^2ｙ－ｘｙ^2－ｙ^3＝０は、
(３ｘ＋ｙ)(ｘ^2＋２ｘｙ－ｙ^2)＝０と因数分解出来る。
３ｘ＋ｙ＞０より、
ｘ^2＋２ｘｙ－ｙ^2＝０―――⑤である。
ところで、
六角形ＡＢＣＤＥＦ＝√３(－ｘ^2＋４ｘｙ＋３ｙ^2)/４―――②
－ｘ^2＋ｘｙ＋２ｙ^2＝８０√３―――①
①×２より、
－２ｘ^2＋２ｘｙ＋４ｙ^2＝１６０√３―――①'
①'＋⑤より、
－ｘ^2＋４ｘｙ＋３ｙ^2＝１６０√３―――⑥
②に⑥を代入すると、
六角形ＡＢＣＤＥＦ＝√３(１６０√３)/４＝１２０ｃｍ^2
よって、答えは、１２０ｃｍ^2

数学好きな人は中学数学でも求めて下さい。（昨日は中学数学で求めました。いざとなるとそっちの方が好きなんでしょうね。）

おまけ：

問題
５ｍ^2－６ｍｎ－７ｎ^2が３２で割り切れる必要十分条件を求めて下さい。

回答
与式＝４ｍ^2＋ｍ^2ー６ｍｎ－８ｎ^2＋ｎ^2
＝(ｍ－ｎ)^2－４ｍｎ＋４ｍ^2－８ｎ^2
＝(ｍ－ｎ)^2＋４(ｍ^2－ｍｎ－２ｎ^2)
＝(ｍ－ｎ)^2＋４(ｍ＋ｎ)(ｍ－２ｎ)
ここで、ｍ－ｎを８の倍数，ｍを２の倍数とすると、ｎも２の倍数となり、ｍ＝２ｐ，ｎ＝２ｑ（ｐ,ｑは整数）と置け、ｍ－ｎ＝２ｐ－２ｑ＝８の倍数である。
よって、ｐ－ｑは４の倍数より偶数。ところで、ｐ,ｑは整数よりｐ＋ｑとｐ－ｑの偶奇は一致している。（証明は簡単で省略。）
よって、ｐ＋ｑも偶数である。よって、２ｐ＋２ｑ＝４の倍数。よって、ｍ＋ｎ＝４の倍数である。
ここで、与式＝(ｍ－ｎ)^2＋４(ｍ＋ｎ)(ｍ－２ｎ)を考えると、６４の倍数＋４×４の倍数×２の倍数＝６４の倍数＋３２の倍数＝３２の倍数
よって、与式は３２で割り切れる。つまり、条件は、ｍとｎの差が８の倍数でｍ，ｎが偶数である。
しかし、これは十分条件ではないのだろうか。因みに、前回の十分条件「ｍ＝ｎかつｍ,ｎが偶数」はこの式をｍ＝ｎとしてｍ,ｎを偶数とすれば求められる。
そこで、与式をｍ－ｎで割ると、
与式＝(ｍ－ｎ)(５ｍ－ｎ)－８ｎ^2
＝(ｍ－ｎ){(ｍ－ｎ)＋４ｍ}－８ｎ^2
ｍ－ｎを４の倍数，ｍ,ｎを偶数としても成り立たず、ｍ－ｎを８の倍数にすると成り立つが、３２で割り切れる必要十分条件と言えるのだろうか。そこで、pythonで計算してみた。

L = [ ]
for m in range(1,20):
for n in range(1,20):
if (5*m**2 - 6*m*n - 7*n**2) % 32 == 0:
L.append((m,n))
print(L)
結果：[(2, 2), (2, 10), (2, 18), (4, 4), (4, 12), (6, 6), (6, 14), (8, 8), (8, 16), (10, 2), (10, 10), (10, 18), (12, 4), (12, 12), (14, 6), (14, 14), (16, 8), (16, 16), (18, 2), (18, 10), (18, 18)]

ちょっと求めた所、「ｍとｎの差が８の倍数でｍ,ｎが偶数」となっているので大丈夫だろう。（差が４の倍数の(２,６）などは入っていない。）
念のため、数学で解くとは言っていない。全然違っていたら赤っ恥ですね。笑

おまけ：

解説
＞また、補題よりｕはＲの可逆元となる。ゆえに、ｕＦ1(Ｘ)をあらためてＦ1(Ｘ)とおけばよい。

ここおかしくないですか。

補題
一意分解整域Ｒの商体をＫとする。このとき次が成り立つ。
（１）Ｋ[Ｘ]の多項式ｆ(Ｘ)はＫの元ｕとＲ[Ｘ]の原始多項式Ｆ(Ｘ)によって、
ｆ(Ｘ)＝ｕ・Ｆ(Ｘ)
と表される。
（２）（１）の表現において、原始多項式Ｆ(Ｘ)（∈Ｒ[Ｘ]）はＲの可逆元の因子を除いて一意的に定まる。特に、ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]であればｕ∈Ｒである。

補題の（２）で、ｕが可逆元になるなんて全く書いてない。「可逆元の因子を除いて一意的に定まる」とはｕ・Ｆ(Ｘ)のｕを除いたＦ(Ｘ)の部分が±１の係数を除いて一意的に定まるという意味である。
また、「補題よりｕはＲの可逆元となる」が正しいとしても「ｕＦ1(Ｘ)をあらためて±Ｆ1(Ｘ)」ではないのだろうか。
具体例を挙げよう。
Ｆ(Ｘ)＝{(４/５)Ｘ－１}{(３/２)Ｘ－２}
＝(１/５)(４Ｘ－５)・(１/２)(３Ｘ－４)
＝(１/１０)(４Ｘ－５)(３Ｘ－４)
ここで、１/１０をあらためて１にするような話である。と思ったが、よく見ると、Ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]である。
つまり、具体例は、
Ｆ(Ｘ)＝{(４/５)Ｘ－１}{(３/２)Ｘ－２}(１０Ｘ＋１０)
＝(１/５)(４Ｘ－５)・(１/２)(３Ｘ－４)・１０(Ｘ＋１)
＝(４Ｘ－５)(３Ｘ－４)(Ｘ＋１)
という話で定理5.7自体はおかしくなかった。証明の方も私の理解不足だろうか。（「ｕ1…ｕrと置けばその積は１となる」（Ｆ(Ｘ)∈Ｒ[Ｘ]だから）とすべきではないのだろうか。可逆元のくだりは不要という事。）
因みに、ガウスの補題のくだりは必要ないような気もするが、左辺が原始多項式＝右辺も原始多項式を示しておいたのだろうか。

変な定理だと思うのは私だけだろうか。ℤ[Ｘ]の式をℚ[Ｘ]の積で表してℤ[Ｘ]の積でも表せますよという定理である。

おまけ：