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BBS壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/22 22:26 (No.735751)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/23 11:56削除何でもありの解法
全体の長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、中央の長方形を左上の頂点から反時計回りにＥ～Ｈと振る。
また、ＨＥの延長とＡＢとの交点をＩ，ＥＦの延長とＢＣとの交点をＪ，ＦＧの延長とＣＤとの交点をＫ，ＧＨの延長とＤＡとの交点をＬとすると、
ＢＩ＝１６÷３＝１６/３ｃｍ，ＤＫ＝３２÷６＝１６/３ｃｍ ∴ＢＩ＝ＤＫ
また、長方形よりＡＢ＝ＤＣ この２式の差を考えると、ＡＩ＝ＣＫより、ＡＩ＝ＣＫ＝ｘと置く。
また、ＣＪ＝ｙと置くと、ＢＣ＝ｙ＋３より、ＡＤ＝ｙ＋３ ∴ＡＬ＝ｙ＋３－６＝ｙ－３
よって、長方形ＡＩＨＬ，ＦＪＣＫの面積を考えると、ｘ(ｙ－３)＝２９―――①
ｘｙ＝３７―――②が成り立つ。
①より、ｘｙ－３ｘ＝２９ これに②を代入すると、３７－３ｘ＝２９ ∴３ｘ＝８ ∴ｘ＝８/３
∴ｙ＝(３/８)・３７＝１１１/８
ところで、
ＥＦ＝１６/３－ｘ＝１６/３－８/３＝８/３ｃｍ
ＥＨ＝ｙ－６＝１１１/８－６
＝１１１/８－４８/８＝６３/８ｃｍ
∴長方形ＥＦＧＨ＝(８/３)・(６３/８)＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
意外と何でもありでも大変な問題でしたね。
おまけ：
全体の長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、中央の長方形を左上の頂点から反時計回りにＥ～Ｈと振る。
また、ＨＥの延長とＡＢとの交点をＩ，ＥＦの延長とＢＣとの交点をＪ，ＦＧの延長とＣＤとの交点をＫ，ＧＨの延長とＤＡとの交点をＬとすると、
ＢＩ＝１６÷３＝１６/３ｃｍ，ＤＫ＝３２÷６＝１６/３ｃｍ ∴ＢＩ＝ＤＫ
また、長方形よりＡＢ＝ＤＣ この２式の差を考えると、ＡＩ＝ＣＫより、ＡＩ＝ＣＫ＝ｘと置く。
また、ＣＪ＝ｙと置くと、ＢＣ＝ｙ＋３より、ＡＤ＝ｙ＋３ ∴ＡＬ＝ｙ＋３－６＝ｙ－３
よって、長方形ＡＩＨＬ，ＦＪＣＫの面積を考えると、ｘ(ｙ－３)＝２９―――①
ｘｙ＝３７―――②が成り立つ。
①より、ｘｙ－３ｘ＝２９ これに②を代入すると、３７－３ｘ＝２９ ∴３ｘ＝８ ∴ｘ＝８/３
∴ｙ＝(３/８)・３７＝１１１/８
ところで、
ＥＦ＝１６/３－ｘ＝１６/３－８/３＝８/３ｃｍ
ＥＨ＝ｙ－６＝１１１/８－６
＝１１１/８－４８/８＝６３/８ｃｍ
∴長方形ＥＦＧＨ＝(８/３)・(６３/８)＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
意外と何でもありでも大変な問題でしたね。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/24 07:33削除算数の解法
全体の長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、中央の長方形を左上の頂点から反時計回りにＥ～Ｈと振る。
また、ＨＥの延長とＡＢとの交点をＩ，ＥＦの延長とＢＣとの交点をＪ，ＦＧの延長とＣＤとの交点をＫ，ＧＨの延長とＤＡとの交点をＬとすると、
ＢＩ＝１６÷３＝１６/３ｃｍ，ＤＫ＝３２÷６＝１６/３ｃｍ よって、ＢＩ＝ＤＫ また、長方形よりＡＢ＝ＤＣ この２式の差を考えると、
ＡＩ＝ＣＫ
ここで、ＬＤの真ん中の点をＭとして、ＭからＡＢと平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＮとする。
また、ＭＮとＧＫとの交点をＯとすると、長方形ＬＧＯＭ＝長方形ＭＯＫＤ＝３２÷２＝１６ｃｍ^2
また、ＢＪ＝ＭＬ＝３ｃｍ，ＢＮ＝ＡＭより、２式の差を考えると、ＪＮ＝ＬＡ また、ＣＫ＝ＡＩより、長方形ＦＪＮＯ＝長方形ＡＩＨＬ＝２９ｃｍ^2
よって、長方形ＯＮＣＫ＝３７－２９＝８ｃｍ^2 よって、長方形ＭＮＣＤ＝１６＋８＝２４ｃｍ^2
よって、ＤＣ＝２４÷３＝８ｃｍ
よって、ＥＦ＝ＢＩ＋ＤＫ－ＤＣ＝１６/３＋１６/３－８＝３２/３－２４/３＝８/３ｃｍ
よって、ＥＦ＝８/３ｃｍ―――①
よって、ＦＪ＝１６/３－８/３＝８/３ｃｍ よって、ＪＮ＝２９÷(８/３)＝８７/８ｃｍ
よって、ＦＧ＝８７/８－３＝８７/８－２４/８＝６３/８ｃｍ
よって、ＦＧ＝６３/８ｃｍ―――②
よって、長方形ＥＦＧＨ＝(８/３)×(６３/８)＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
おまけ：
全体の長方形を左上の頂点から反時計回りにＡ～Ｄと振り、中央の長方形を左上の頂点から反時計回りにＥ～Ｈと振る。
また、ＨＥの延長とＡＢとの交点をＩ，ＥＦの延長とＢＣとの交点をＪ，ＦＧの延長とＣＤとの交点をＫ，ＧＨの延長とＤＡとの交点をＬとすると、
ＢＩ＝１６÷３＝１６/３ｃｍ，ＤＫ＝３２÷６＝１６/３ｃｍ よって、ＢＩ＝ＤＫ また、長方形よりＡＢ＝ＤＣ この２式の差を考えると、
ＡＩ＝ＣＫ
ここで、ＬＤの真ん中の点をＭとして、ＭからＡＢと平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＮとする。
また、ＭＮとＧＫとの交点をＯとすると、長方形ＬＧＯＭ＝長方形ＭＯＫＤ＝３２÷２＝１６ｃｍ^2
また、ＢＪ＝ＭＬ＝３ｃｍ，ＢＮ＝ＡＭより、２式の差を考えると、ＪＮ＝ＬＡ また、ＣＫ＝ＡＩより、長方形ＦＪＮＯ＝長方形ＡＩＨＬ＝２９ｃｍ^2
よって、長方形ＯＮＣＫ＝３７－２９＝８ｃｍ^2 よって、長方形ＭＮＣＤ＝１６＋８＝２４ｃｍ^2
よって、ＤＣ＝２４÷３＝８ｃｍ
よって、ＥＦ＝ＢＩ＋ＤＫ－ＤＣ＝１６/３＋１６/３－８＝３２/３－２４/３＝８/３ｃｍ
よって、ＥＦ＝８/３ｃｍ―――①
よって、ＦＪ＝１６/３－８/３＝８/３ｃｍ よって、ＪＮ＝２９÷(８/３)＝８７/８ｃｍ
よって、ＦＧ＝８７/８－３＝８７/８－２４/８＝６３/８ｃｍ
よって、ＦＧ＝６３/８ｃｍ―――②
よって、長方形ＥＦＧＨ＝(８/３)×(６３/８)＝２１ｃｍ^2
よって、答えは、２１ｃｍ^2
おまけ：
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 20:08 (No.734721)削除改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812270002/
何でもいいから完成形を１つ作って下さい。因みに、酒を結構飲んでしまったので理詰めの解法ではありません。
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/fe590ccad8e71127dbe31364b58257f67bb7b3c8
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812270002/
何でもいいから完成形を１つ作って下さい。因みに、酒を結構飲んでしまったので理詰めの解法ではありません。
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/fe590ccad8e71127dbe31364b58257f67bb7b3c8
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/22 07:58削除改題の解答
図より、２０＋７＝１９＋８＝１７＋１０となっているので、残りの１３＋Ａも２７になると考えると、Ａ＝１４
よって、明らかになっている数字は、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０
ところで、数字は全部で４×４＝１６個なので、まずは、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０の隙間を埋めると、７～２０の１４個。よって、あと前後に６と２１を付け加えて、６～２１の１６個の数字の魔方陣を考える。
現在明らかになっているのは、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０なので、残りは６，９，１１，１２，１５，１６，１８，２１
また、１列（１行）の和を考えると、１列の和をXとすると、４X＝６＋７＋・・・＋２０＋２１＝１６(６＋２１)/２＝８・２７＝２１６（等差数列の和の公式を使用。）
∴X＝２１６÷４＝５４
よって、図より、ア＋イ＋１７＋１４＝５４ ∴ア＋イ＝２３―――①
ウ＋エ＋１３＋１０＝５４ ∴ウ＋エ＝３１―――②
ア＋ウ＋２０＋８＝５４ ∴ア＋ウ＝２６―――③
イ＋エ＋１９＋７＝５４ ∴イ＋エ＝２８―――④
ここで、残りの数字６，９，１１，１２，１５，１６，１８，２１を考えて、ア＝１１，イ＝１２とすると、ウ＝１５，エ＝１６しかない。（酒を飲んでいる状態だったので適当。）よって、
２０ １９
１７ １１ １２ １４
１３ １５ １６ １０
８ ７
という状態で、残り６，９，１８，２１
１列の和は５４より、四隅を左上から反時計回りにA～Dとすると、
A＋C＝５４－１１－１６＝２７
B＋D＝５４－１２－１５＝２７
A＋B＝５４－１７－１３＝２４
C＋D＝５４－１４－１０＝３０
A＋D＝５４－２０－１９＝１５
B＋C＝５４－８－７＝３９
B＋C＝３９よりB，Cは１８と２１しかない。B＝２１とするとA＋B＝２４からA＝３だが３は残りにないのでBは１８である。すると、A＝６で合う。
また、C＝２１が確定するので、C＋D＝３０よりD＝９
よって、
６ ２０ １９ ９
１７ １１ １２ １４
１３ １５ １６ １０
１８ ８ ７ ２１
これが１例である。因みに、初めのAを１４と求めた法則は４次の魔方陣の法則にはないと思う。（昔、独自に研究した事がある。）ただし、そういう魔方陣もあるのだろう。実際に上の魔法陣はそうなっている。
おまけ：
図より、２０＋７＝１９＋８＝１７＋１０となっているので、残りの１３＋Ａも２７になると考えると、Ａ＝１４
よって、明らかになっている数字は、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０
ところで、数字は全部で４×４＝１６個なので、まずは、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０の隙間を埋めると、７～２０の１４個。よって、あと前後に６と２１を付け加えて、６～２１の１６個の数字の魔方陣を考える。
現在明らかになっているのは、７，８，１０，１３，１４，１７，１９，２０なので、残りは６，９，１１，１２，１５，１６，１８，２１
また、１列（１行）の和を考えると、１列の和をXとすると、４X＝６＋７＋・・・＋２０＋２１＝１６(６＋２１)/２＝８・２７＝２１６（等差数列の和の公式を使用。）
∴X＝２１６÷４＝５４
よって、図より、ア＋イ＋１７＋１４＝５４ ∴ア＋イ＝２３―――①
ウ＋エ＋１３＋１０＝５４ ∴ウ＋エ＝３１―――②
ア＋ウ＋２０＋８＝５４ ∴ア＋ウ＝２６―――③
イ＋エ＋１９＋７＝５４ ∴イ＋エ＝２８―――④
ここで、残りの数字６，９，１１，１２，１５，１６，１８，２１を考えて、ア＝１１，イ＝１２とすると、ウ＝１５，エ＝１６しかない。（酒を飲んでいる状態だったので適当。）よって、
２０ １９
１７ １１ １２ １４
１３ １５ １６ １０
８ ７
という状態で、残り６，９，１８，２１
１列の和は５４より、四隅を左上から反時計回りにA～Dとすると、
A＋C＝５４－１１－１６＝２７
B＋D＝５４－１２－１５＝２７
A＋B＝５４－１７－１３＝２４
C＋D＝５４－１４－１０＝３０
A＋D＝５４－２０－１９＝１５
B＋C＝５４－８－７＝３９
B＋C＝３９よりB，Cは１８と２１しかない。B＝２１とするとA＋B＝２４からA＝３だが３は残りにないのでBは１８である。すると、A＝６で合う。
また、C＝２１が確定するので、C＋D＝３０よりD＝９
よって、
６ ２０ １９ ９
１７ １１ １２ １４
１３ １５ １６ １０
１８ ８ ７ ２１
これが１例である。因みに、初めのAを１４と求めた法則は４次の魔方陣の法則にはないと思う。（昔、独自に研究した事がある。）ただし、そういう魔方陣もあるのだろう。実際に上の魔法陣はそうなっている。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 10:11 (No.734231)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812290002/
ある日１５分ぐらい考えて分からず、次の日適当に考えたら（即）出来た。昨日と今日に考え方に変化はないのに不思議だ。時が来たら解決するのか？
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812290001/
何通りか出来ると思いますが、１通りで良いです。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812290002/
ある日１５分ぐらい考えて分からず、次の日適当に考えたら（即）出来た。昨日と今日に考え方に変化はないのに不思議だ。時が来たら解決するのか？
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812290001/
何通りか出来ると思いますが、１通りで良いです。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 20:58削除問題１の解答
「１０」から左回転に１つ置きに書き出すと、
１０，１１，１３，１６，？，２５，３１
この階差を取ると、１，２，３，□，□，６から□の所は４，５と推定される。つまり、１６＋４＝？，？＋５＝２５から？＝２０
よって、答えは、２０
因みに、思い付いた時は書き出したりした訳ではありません。
問題２の解答
中央上の頂点から左回りにＡ～Ｆと振ると、六角形ＡＢＣＤＥＦは正六角形。
ここで、弓形ＡＢを弓形ＣＤ（空白部分）の所に移動させると、色付き部分の面積は、半円＋図形ＡＢＦとなる。また、正六角形の性質よりＡＦ//ＢＥ
よって、△ＢＡＦを等積変形させると、ＢＥの真ん中の点は中心Ｏで△ＢＡＦ＝△ＯＡＦ
よって、図形ＢＡＦ＝扇形ＯＡF
よって、色付き部分の面積＝半円＋扇形ＯＡＦ＝扇形ＯＡＦ３個分＋扇形ＯＡＦ＝扇形４個分＝円の面積の４/６＝円の面積の２/３＝９×(２/３)＝６ｃｍ^2
よって、答えは、６ｃｍ^2
おまけ：
「１０」から左回転に１つ置きに書き出すと、
１０，１１，１３，１６，？，２５，３１
この階差を取ると、１，２，３，□，□，６から□の所は４，５と推定される。つまり、１６＋４＝？，？＋５＝２５から？＝２０
よって、答えは、２０
因みに、思い付いた時は書き出したりした訳ではありません。
問題２の解答
中央上の頂点から左回りにＡ～Ｆと振ると、六角形ＡＢＣＤＥＦは正六角形。
ここで、弓形ＡＢを弓形ＣＤ（空白部分）の所に移動させると、色付き部分の面積は、半円＋図形ＡＢＦとなる。また、正六角形の性質よりＡＦ//ＢＥ
よって、△ＢＡＦを等積変形させると、ＢＥの真ん中の点は中心Ｏで△ＢＡＦ＝△ＯＡＦ
よって、図形ＢＡＦ＝扇形ＯＡF
よって、色付き部分の面積＝半円＋扇形ＯＡＦ＝扇形ＯＡＦ３個分＋扇形ＯＡＦ＝扇形４個分＝円の面積の４/６＝円の面積の２/３＝９×(２/３)＝６ｃｍ^2
よって、答えは、６ｃｍ^2
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 16:17 (No.734515)削除以前に、合同式の両辺をmodｘのｘと互いに素な数ならば割っても良い証明を考えましたが、
「互いに素の場合は両辺を割って良い理由は、定理2.10で言えると思います。
定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}
互いに素の場合は既約剰余類になり乗法に関して群になるので、何を掛けてもその数に逆元が存在するのでＯＫという事。」
2023/2/17 13:38の投稿より引用
「数学ガール フェルマーの最終定理」結城浩著に簡潔な証明が載っていましたので、抜き書きしますね。
「予想：合同式では、法と互いに素な数を使って除算ができる。つまり、以下の式が成り立っているとき、
ａ×Ｃ≡ｂ×Ｃ（mod ｍ）
Ｃとｍが互いに素（つまりＣ⊥ｍ）なら、以下の式が成り立つ。
ａ≡ｂ（mod ｍ）
よし、この予想の証明に挑戦してみよう。ℤ/１２ℤは具体的に演算表を書けるからチェックできた。でも、一般的なℤ/ｍℤは無数にあるから、具体的な演算表は書けない。だから、きちんと証明しなければならない。
出発点はここからだ。
ａ×Ｃ≡ｂ×Ｃ（mod ｍ）
この式は次のように変形できる。
ａ×Ｃ－ｂ×Ｃ≡０（mod ｍ）
左辺をＣでくくると次式を得る。
(ａ－ｂ)×Ｃ≡０（mod ｍ）
ｍを法として、０に合同なのだから、(ａ－ｂ)×Ｃがｍの倍数ということだ。つまり、ある整数Ｊが存在して、次式が成り立つ。
(ａ－ｂ)×Ｃ＝Ｊ×ｍ
さあ、すべてが整数で両辺とも積の形になっている。
導きたいことは、ある整数Ｋが存在して、次式が成り立つことだ。
ａ－ｂ＝Ｋ×ｍ
なぜなら、ａ－ｂがｍの倍数ならば、ａ－ｂ≡０（mod ｍ）であり、それは、
ａ≡ｂ（mod ｍ）
を意味するからだ。いま、
(ａ－ｂ)×Ｃ＝Ｊ×ｍ
が成り立っているのだから、(ａ－ｂ)×Ｃはｍの倍数。もしも、Ｃがｍと互いに素なら、ａ－ｂのほうがｍの素因数をすべて含むことになる。
言い換えれば、ａ－ｂはｍの倍数になる。だから、ａ－ｂ＝Ｋ×ｍという形に書ける。」
引用終わり
補足
「次の日の放課後、教室。僕はミルカさんとテトラちゃんに昨日の成果を話す。
「……こんなふうに解いた。要するに、法と《互いに素》な整数なら合同式の両辺を割れる」と僕は言った。
「証明か……」とミルカさんが答えた。「まあ、《ℤ/ｍℤは結合法則を満たす》を未証明で通り過ぎた点と、《逆》を考察していない点を除けば文句はないよ」」
引用終わり
＞《ℤ/ｍℤは結合法則を満たす》を未証明で通り過ぎた
これは分配法則ではないでしょうか。ただし、この時点では環をやっていないので、本の構造がおかしくなってしまいますが。
念のため、他意はありません。因みに、要素が２個の群とか{１,ω,ω^2}が（アーベル）群をなしている事とかとても勉強になりました。普通の参考書には（剰余類や対称群以外の）有限群の具体例が載っていませんからね。
おまけ：
「互いに素の場合は両辺を割って良い理由は、定理2.10で言えると思います。
定理2.10
ｎを法とする既約剰余類の全体Ｕ(ℤn)は剰余環ℤn＝ℤ/ｎℤにおける乗法に関して群をなす。ただし、Ｕ(ℤn)＝{|ａ∈ℤn｜(ａ,ｎ)＝１}
互いに素の場合は既約剰余類になり乗法に関して群になるので、何を掛けてもその数に逆元が存在するのでＯＫという事。」
2023/2/17 13:38の投稿より引用
「数学ガール フェルマーの最終定理」結城浩著に簡潔な証明が載っていましたので、抜き書きしますね。
「予想：合同式では、法と互いに素な数を使って除算ができる。つまり、以下の式が成り立っているとき、
ａ×Ｃ≡ｂ×Ｃ（mod ｍ）
Ｃとｍが互いに素（つまりＣ⊥ｍ）なら、以下の式が成り立つ。
ａ≡ｂ（mod ｍ）
よし、この予想の証明に挑戦してみよう。ℤ/１２ℤは具体的に演算表を書けるからチェックできた。でも、一般的なℤ/ｍℤは無数にあるから、具体的な演算表は書けない。だから、きちんと証明しなければならない。
出発点はここからだ。
ａ×Ｃ≡ｂ×Ｃ（mod ｍ）
この式は次のように変形できる。
ａ×Ｃ－ｂ×Ｃ≡０（mod ｍ）
左辺をＣでくくると次式を得る。
(ａ－ｂ)×Ｃ≡０（mod ｍ）
ｍを法として、０に合同なのだから、(ａ－ｂ)×Ｃがｍの倍数ということだ。つまり、ある整数Ｊが存在して、次式が成り立つ。
(ａ－ｂ)×Ｃ＝Ｊ×ｍ
さあ、すべてが整数で両辺とも積の形になっている。
導きたいことは、ある整数Ｋが存在して、次式が成り立つことだ。
ａ－ｂ＝Ｋ×ｍ
なぜなら、ａ－ｂがｍの倍数ならば、ａ－ｂ≡０（mod ｍ）であり、それは、
ａ≡ｂ（mod ｍ）
を意味するからだ。いま、
(ａ－ｂ)×Ｃ＝Ｊ×ｍ
が成り立っているのだから、(ａ－ｂ)×Ｃはｍの倍数。もしも、Ｃがｍと互いに素なら、ａ－ｂのほうがｍの素因数をすべて含むことになる。
言い換えれば、ａ－ｂはｍの倍数になる。だから、ａ－ｂ＝Ｋ×ｍという形に書ける。」
引用終わり
補足
「次の日の放課後、教室。僕はミルカさんとテトラちゃんに昨日の成果を話す。
「……こんなふうに解いた。要するに、法と《互いに素》な整数なら合同式の両辺を割れる」と僕は言った。
「証明か……」とミルカさんが答えた。「まあ、《ℤ/ｍℤは結合法則を満たす》を未証明で通り過ぎた点と、《逆》を考察していない点を除けば文句はないよ」」
引用終わり
＞《ℤ/ｍℤは結合法則を満たす》を未証明で通り過ぎた
これは分配法則ではないでしょうか。ただし、この時点では環をやっていないので、本の構造がおかしくなってしまいますが。
念のため、他意はありません。因みに、要素が２個の群とか{１,ω,ω^2}が（アーベル）群をなしている事とかとても勉強になりました。普通の参考書には（剰余類や対称群以外の）有限群の具体例が載っていませんからね。
おまけ：
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壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 12:35 (No.734331)削除次の文章を完全解説して下さい。
問題
ｍ,ｎを互いに素な自然数とする。剰余環ℤm,ℤnの元をそれぞれ|ａ,~ａで表し、写像
ｆ：ℤ→ℤm×ℤn（ｆ(ａ)＝(|ａ,~ａ)）
を考える。このとき、次を示せ。
（１）ｆは準同型写像である （２）ℤmn≃ℤm×ℤn
証明
（１）ｆ(１)＝(|１,~１)はℤm×ℤnの単位元である。次に、加法と乗法についてそれぞれ確かめる。
ｆ(ａ＋ｂ)＝(|(ａ＋ｂ),~(ａ＋ｂ))＝(|ａ＋|ｂ,~ａ＋~ｂ)＝(|ａ,~ａ)＋(|ｂ,~ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)
ｆ(ａ・ｂ)＝(|(ａ・ｂ),~(ａ・ｂ))＝(|ａ・|ｂ,~ａ・~ｂ)＝(|ａ,~ａ)・(|ｂ,~ｂ)＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)
（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。ℤm×ℤnの任意の元は、ℤの元ａ,ｂによって(|ａ,~ｂ)と表される。中国式剰余の定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
したがって、kerｆ＝ｍｎℤ
（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
第１章定理2.7（中国式剰余の定理）
ｎ1,…,ｎsを１より大きい整数とし、(ｎi,ｎj)＝１（ｉ≠ｊ）とする。このとき、任意の整数の組ａ1,…,ａsに対して連立合同式
ｘ≡ａ1（modｎ1)，…，ｘ≡ａs（modｎs)
は、ｎ＝ｎ1・・・ｎsを法として唯１つの解をもつ。
定理3.5（準同型定理）
Ｒ，Ｒ'を環，ｆ：Ｒ→Ｒ'をＲからＲ'への準同型写像であるとする。写像
|ｆ：Ｒ/kerｆ→Ｒ'
|ａ→ｆ(ａ)
は剰余環Ｒ/kerｆから環Ｒ'への単準同型写像である。すなわち、
Ｒ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)
また、|ｆはｆ＝|ｆ◦πを満たす。
具体的には、
＞定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
「唯１つ」と言っているのに「この解の１つ」とはどういう事？（簡単ですが。）
＞（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
「(ｍ,ｎ)＝１に注意する」理由ですね。
＞（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
これは準同型定理3.5でＲ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)を利用したものですが、つまり、ℤ/kerｆ≃ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnより、ｆ(ℤ)を利用しているのでｆが全射だろうがそうでないだろうが定理3.5を適用できるので、「（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。」は丸々不要ではないのか。不要でない理由を述べて下さい。
おまけ：
問題
ｍ,ｎを互いに素な自然数とする。剰余環ℤm,ℤnの元をそれぞれ|ａ,~ａで表し、写像
ｆ：ℤ→ℤm×ℤn（ｆ(ａ)＝(|ａ,~ａ)）
を考える。このとき、次を示せ。
（１）ｆは準同型写像である （２）ℤmn≃ℤm×ℤn
証明
（１）ｆ(１)＝(|１,~１)はℤm×ℤnの単位元である。次に、加法と乗法についてそれぞれ確かめる。
ｆ(ａ＋ｂ)＝(|(ａ＋ｂ),~(ａ＋ｂ))＝(|ａ＋|ｂ,~ａ＋~ｂ)＝(|ａ,~ａ)＋(|ｂ,~ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ)
ｆ(ａ・ｂ)＝(|(ａ・ｂ),~(ａ・ｂ))＝(|ａ・|ｂ,~ａ・~ｂ)＝(|ａ,~ａ)・(|ｂ,~ｂ)＝ｆ(ａ)・ｆ(ｂ)
（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。ℤm×ℤnの任意の元は、ℤの元ａ,ｂによって(|ａ,~ｂ)と表される。中国式剰余の定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
したがって、kerｆ＝ｍｎℤ
（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
第１章定理2.7（中国式剰余の定理）
ｎ1,…,ｎsを１より大きい整数とし、(ｎi,ｎj)＝１（ｉ≠ｊ）とする。このとき、任意の整数の組ａ1,…,ａsに対して連立合同式
ｘ≡ａ1（modｎ1)，…，ｘ≡ａs（modｎs)
は、ｎ＝ｎ1・・・ｎsを法として唯１つの解をもつ。
定理3.5（準同型定理）
Ｒ，Ｒ'を環，ｆ：Ｒ→Ｒ'をＲからＲ'への準同型写像であるとする。写像
|ｆ：Ｒ/kerｆ→Ｒ'
|ａ→ｆ(ａ)
は剰余環Ｒ/kerｆから環Ｒ'への単準同型写像である。すなわち、
Ｒ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)
また、|ｆはｆ＝|ｆ◦πを満たす。
具体的には、
＞定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
「唯１つ」と言っているのに「この解の１つ」とはどういう事？（簡単ですが。）
＞（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
「(ｍ,ｎ)＝１に注意する」理由ですね。
＞（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
これは準同型定理3.5でＲ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)を利用したものですが、つまり、ℤ/kerｆ≃ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnより、ｆ(ℤ)を利用しているのでｆが全射だろうがそうでないだろうが定理3.5を適用できるので、「（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。」は丸々不要ではないのか。不要でない理由を述べて下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 13:53削除解説
＞定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
「唯１つ」と言っているのに「この解の１つ」とはどういう事？
「ｍｎを法とした」無数の解の１つという事。代表元が１種類という意味。
＞（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
「(ｍ,ｎ)＝１に注意する」理由ですね。
ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）に第１章定理2.3を適用するのに(ｍ,ｎ)＝１が必要だからである。
第１章定理2.3
ａ,ｂを整数，ｍ,ｎを１より大きい整数とする。(ｍ,ｎ)＝１であれば、次が成り立つ。
ａ≡ｂ（modｍ），ａ≡ｂ（modｎ）⇔ａ≡ｂ（mod ｍｎ）
＞（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
これは準同型定理3.5でＲ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)を利用したものですが、つまり、ℤ/kerｆ≃ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnより、ｆ(ℤ)を利用しているのでｆが全射だろうがそうでないだろうが定理3.5を適用できるので、「（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。」は丸々不要ではないのか。不要でない理由を述べて下さい。
ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnではないので、ｆが全射である証明が必要である。
ｆ(ℤ)は（ｆ(ａ)＝(|ａ,~ａ)）であり、ℤm×ℤnの任意の元は、ℤの元ａ,ｂによって(|ａ,~ｂ)と表される。
因みに、本当は定理3.5（準同型定理）の|ｆが全射である事の証明が必要であるが、ｆが全射ならば|ｆも全射であるのでｆが全射である事を証明している訳である。
ｆが全射ならば|ｆも全射である理由
「特に、ｆが全射である場合にはＧ'の任意の元ａ'に対して、Ｇのある元ａが存在してｆ(ａ)＝ａ'となっている。そこで、剰余類ａＫ∈Ｇ/Ｋを考えれば|ｆ(ａＫ)＝ｆ(ａ)＝ａ'となり、|ｆも全射となる。」
（群の準同型定理6.5の証明より抜粋）
定理6.5（準同型定理）
Ｇ，Ｇ'を群，ｆをＧからＧ'への準同型写像とし、K＝kerｆとする。Ｇ/Ｋの元ａＫにＧ'の元ｆ(ａ)を対応させる写像|ｆは、剰余群Ｇ/ＫからＧ'への単準同型写像になる。特に、ｆが全準同型写像であれば、Ｇ/ＫとＧ'は同型になる。すなわち、
Ｇ/kerｆ≃Ｇ'
また|ｆは、π：Ｇ→Ｇ/Ｋを自然な準同型写像とするとｆ＝|ｆ◦πを満たしている。
おまけ：
＞定理（第１章定理2.7）より
ｘ≡ａ（modｍ），ｘ≡ｂ（modｎ）
なる連立合同式の解はｍｎを法として唯１つ存在する。この解の１つをｃ∈ℤとすると、ｆ(ｃ)＝(|ｃ,~ｃ)＝(|ａ,~ｂ)
「唯１つ」と言っているのに「この解の１つ」とはどういう事？
「ｍｎを法とした」無数の解の１つという事。代表元が１種類という意味。
＞（ⅱ）次に、準同型写像ｆの核を求めよう。(ｍ,ｎ)＝１に注意すると、
ｘ∈kerｆ⇔ｆ(ｘ)＝(|０,~０)⇔(|ｘ,~ｘ)＝(|０,~０)⇔|ｘ＝|０，~ｘ＝~０⇔ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）⇔ｘ∈ｍｎℤ
「(ｍ,ｎ)＝１に注意する」理由ですね。
ｘ≡０（modｍ），ｘ≡０（modｎ）⇔ｘ≡０（mod ｍｎ）に第１章定理2.3を適用するのに(ｍ,ｎ)＝１が必要だからである。
第１章定理2.3
ａ,ｂを整数，ｍ,ｎを１より大きい整数とする。(ｍ,ｎ)＝１であれば、次が成り立つ。
ａ≡ｂ（modｍ），ａ≡ｂ（modｎ）⇔ａ≡ｂ（mod ｍｎ）
＞（ⅲ）以上より、ｆに対して準同型定理3.5を適用すればよい。
ℤmn＝ℤ/mnℤ＝ℤ/kerｆ≃ℤm×ℤn
これは準同型定理3.5でＲ/kerｆ≃ｆ(Ｒ)を利用したものですが、つまり、ℤ/kerｆ≃ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnより、ｆ(ℤ)を利用しているのでｆが全射だろうがそうでないだろうが定理3.5を適用できるので、「（２）（ⅰ）ｆが全射であることを示す。」は丸々不要ではないのか。不要でない理由を述べて下さい。
ｆ(ℤ)＝ℤm×ℤnではないので、ｆが全射である証明が必要である。
ｆ(ℤ)は（ｆ(ａ)＝(|ａ,~ａ)）であり、ℤm×ℤnの任意の元は、ℤの元ａ,ｂによって(|ａ,~ｂ)と表される。
因みに、本当は定理3.5（準同型定理）の|ｆが全射である事の証明が必要であるが、ｆが全射ならば|ｆも全射であるのでｆが全射である事を証明している訳である。
ｆが全射ならば|ｆも全射である理由
「特に、ｆが全射である場合にはＧ'の任意の元ａ'に対して、Ｇのある元ａが存在してｆ(ａ)＝ａ'となっている。そこで、剰余類ａＫ∈Ｇ/Ｋを考えれば|ｆ(ａＫ)＝ｆ(ａ)＝ａ'となり、|ｆも全射となる。」
（群の準同型定理6.5の証明より抜粋）
定理6.5（準同型定理）
Ｇ，Ｇ'を群，ｆをＧからＧ'への準同型写像とし、K＝kerｆとする。Ｇ/Ｋの元ａＫにＧ'の元ｆ(ａ)を対応させる写像|ｆは、剰余群Ｇ/ＫからＧ'への単準同型写像になる。特に、ｆが全準同型写像であれば、Ｇ/ＫとＧ'は同型になる。すなわち、
Ｇ/kerｆ≃Ｇ'
また|ｆは、π：Ｇ→Ｇ/Ｋを自然な準同型写像とするとｆ＝|ｆ◦πを満たしている。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/20 13:37 (No.733495)削除問題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812280001/
普通に中学数学と何でもありの完全な別解を作って下さい。余弦定理で端折るとかではなく。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812280001/
普通に中学数学と何でもありの完全な別解を作って下さい。余弦定理で端折るとかではなく。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/21 07:57削除解答
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＨは１：２：√３の直角三角形より、ＢＨ＝１ｃｍ，ＡＨ＝√３ｃｍ ∴ＨＣ＝３－１＝２ｃｍ
よって、△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、ＡＣ＝√{(√３)^2＋２^2}＝√７ｃｍ
ここで、ＣＤの延長上にＡから垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より、∠ＡＤＩ＝∠ＡＢＣ＝６０°
よって、△ＡＤＩも１：２：√３の直角三角形である。よって、ＡＤ＝ｘと置くと、ＤＩ＝ｘ/２，ＡＩ＝√３ｘ/２ ∴ＣＩ＝ｘ/２＋１
よって、△ＡＣＩで三平方の定理を使うと、
(√３ｘ/２)^2＋(ｘ/２＋１)^2＝(√７)^2が成り立つ。
∴３ｘ^2/４＋ｘ^2/４＋ｘ＋１＝７
∴ｘ^2＋ｘ－６＝０ ∴(ｘ－2)(ｘ＋３)＝０
∴ｘ＝－３，２ ｘ＝ＡＤ＞０より、ｘ＝２
∴ＡＤ＝２ｃｍ
何でもありの解法
△ＡＢＣで余弦定理を使うと、
ＡＣ^2＝２^2＋３^2－２・２・３・cos６０°＝４＋９－６＝７ ＡＣ＞０より、ＡＣ＝√７ｃｍ
また、△ＡＢＣで正弦定理を使うと、
ＡＣ/sin６０°＝２Ｒより、√７/(√３/２)＝２Ｒ ∴２Ｒ＝２√７/√３ ∴Ｒ＝√２１/３
よって、円Ｏの半径は、Ｒ＝√２１/３ｃｍである。
∴ＯＤ＝√２１/３ｃｍ
ここで、ＯからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＤＯＨ＝Arcsin(DH/OD)＝Arcsin{(1/2)/(√21/3)}＝Arcsin(3/2√21)＝Arcsin(3√21/42)＝Arcsin(√21/14)
∴∠ＤＯＣ＝２Arcsin(√21/14)
また、円周角と中心角との関係より、
∠ＡＯＣ＝６０°×２＝１２０°
∴∠ＡＯＤ＝120°－２Arcsin(√21/14)
また、ＯからＡＤに垂線を下ろしその足をＩとすると、∠ＡＯＩ＝(１/２)∠ＡＯＤ＝60°－Arcsin(√21/14)
また、ＡＩ＝ＯＡ・sin∠ＡＯＩより、
ＡＤ＝２Ｒ・sin∠ＡＯＩ―――☆
sin∠ＡＯＩ＝sin{60°－Arcsin(√21/14)}＝sin60°cos{Arcsin(√21/14)}－cos60°sin{Arcsin(√21/14)}＝(√3/2)(5√7/14)－(1/2)(√21/14)＝5√21/28－√21/28＝√21/7
∴sin∠ＡＯＩ＝√21/7―――①
また、２Ｒ＝2√21/3cm―――②
①，②を☆に代入すると、
ＡＤ＝(√21/3)・(2√21/7)＝2
よって、答えは、２ｃｍ
注：cos{Arcsin(√21/14)}＝5√7/14の所は図を描いて求める。
おまけ：
ＡからＢＣに垂線を下ろしその足をＨとすると、△ＡＢＨは１：２：√３の直角三角形より、ＢＨ＝１ｃｍ，ＡＨ＝√３ｃｍ ∴ＨＣ＝３－１＝２ｃｍ
よって、△ＡＣＨで三平方の定理を使うと、ＡＣ＝√{(√３)^2＋２^2}＝√７ｃｍ
ここで、ＣＤの延長上にＡから垂線を下ろしその足をＩとすると、四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形より、∠ＡＤＩ＝∠ＡＢＣ＝６０°
よって、△ＡＤＩも１：２：√３の直角三角形である。よって、ＡＤ＝ｘと置くと、ＤＩ＝ｘ/２，ＡＩ＝√３ｘ/２ ∴ＣＩ＝ｘ/２＋１
よって、△ＡＣＩで三平方の定理を使うと、
(√３ｘ/２)^2＋(ｘ/２＋１)^2＝(√７)^2が成り立つ。
∴３ｘ^2/４＋ｘ^2/４＋ｘ＋１＝７
∴ｘ^2＋ｘ－６＝０ ∴(ｘ－2)(ｘ＋３)＝０
∴ｘ＝－３，２ ｘ＝ＡＤ＞０より、ｘ＝２
∴ＡＤ＝２ｃｍ
何でもありの解法
△ＡＢＣで余弦定理を使うと、
ＡＣ^2＝２^2＋３^2－２・２・３・cos６０°＝４＋９－６＝７ ＡＣ＞０より、ＡＣ＝√７ｃｍ
また、△ＡＢＣで正弦定理を使うと、
ＡＣ/sin６０°＝２Ｒより、√７/(√３/２)＝２Ｒ ∴２Ｒ＝２√７/√３ ∴Ｒ＝√２１/３
よって、円Ｏの半径は、Ｒ＝√２１/３ｃｍである。
∴ＯＤ＝√２１/３ｃｍ
ここで、ＯからＣＤに垂線を下ろしその足をＨとすると、∠ＤＯＨ＝Arcsin(DH/OD)＝Arcsin{(1/2)/(√21/3)}＝Arcsin(3/2√21)＝Arcsin(3√21/42)＝Arcsin(√21/14)
∴∠ＤＯＣ＝２Arcsin(√21/14)
また、円周角と中心角との関係より、
∠ＡＯＣ＝６０°×２＝１２０°
∴∠ＡＯＤ＝120°－２Arcsin(√21/14)
また、ＯからＡＤに垂線を下ろしその足をＩとすると、∠ＡＯＩ＝(１/２)∠ＡＯＤ＝60°－Arcsin(√21/14)
また、ＡＩ＝ＯＡ・sin∠ＡＯＩより、
ＡＤ＝２Ｒ・sin∠ＡＯＩ―――☆
sin∠ＡＯＩ＝sin{60°－Arcsin(√21/14)}＝sin60°cos{Arcsin(√21/14)}－cos60°sin{Arcsin(√21/14)}＝(√3/2)(5√7/14)－(1/2)(√21/14)＝5√21/28－√21/28＝√21/7
∴sin∠ＡＯＩ＝√21/7―――①
また、２Ｒ＝2√21/3cm―――②
①，②を☆に代入すると、
ＡＤ＝(√21/3)・(2√21/7)＝2
よって、答えは、２ｃｍ
注：cos{Arcsin(√21/14)}＝5√7/14の所は図を描いて求める。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/19 14:51 (No.732680)削除改題
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812300001/
相似を使わないで解いて下さい。念のため、相似の解法は５秒以内に閃きましたが。（２通りありますね。錯角の方を思い付きました。）
相似を使わないと意外と難問かもしれません。
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201812300001/
相似を使わないで解いて下さい。念のため、相似の解法は５秒以内に閃きましたが。（２通りありますね。錯角の方を思い付きました。）
相似を使わないと意外と難問かもしれません。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/20 07:56削除改題の解答
辺ＢＣ上に点Ｆ，辺ＡＤ上に点Ｇを取り、正方形ＡＢＦＧを描き、ＦＧとＡＣとの交点をＨとすると、１辺両端が等しいので△ＡＢＥ≡△ＡＧＨ
∴ＧＨ＝ＢＥ＝８ｃｍ ここで、ＡＢ＝ｘと置くと、ＢＦ＝ＧＦ＝ｘより、ＨＦ＝ｘ－８，ＦＣ＝１８－ｘ
よって、三平方の定理を使うと、
√(ｘ^2＋８^2)＋√{(ｘ－８)^2＋(１８－ｘ)^2}＝√(ｘ^2＋１８^2)が成り立つ。
∴√(ｘ^2＋６４)＋√(２ｘ^2－５２ｘ＋３８８)＝√(ｘ^2＋３２４)
∴√(２ｘ^2－５２ｘ＋３８８)＝√(ｘ^2＋３２４)－√(ｘ^2＋６４)
∴２ｘ^2－５２ｘ＋３８８＝２ｘ^2＋３８８－２√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)
∴２√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝５２ｘ
√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝２６ｘ
(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝６７６ｘ^2
∴ｘ^4＋３８８ｘ^2＋６４・３２４＝６７６ｘ^2
∴ｘ^4－２８８ｘ^2＋８^2・１８^2＝０
∴ｘ^4－２・１４４ｘ^2＋１４４^2＝０
∴(ｘ^2－１４４)^2＝０
∴ｘ^2＝１４４ ｘ＞０より、ｘ＝１２
∴ＡＢ＝１２ｃｍ
一応、別解。
点Ｂをｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取り、Ａ（０，ａ），Ｅ（８，０），Ｃ（１８，０）と置くと、直線ＡＥの傾きは－ａ/８
また、直線ＡＣの傾きは直線ＡＥの傾きの縦横を逆転させたものなので、－８/ａ
また、直線ＡＣのｙ切片はａなので、直線の方程式は、ｙ＝(－８/ａ)ｘ＋ａ
これが点Ｃ（１８，０）を通るので、０＝－１４４/ａ＋ａ ∴０＝－１４４＋ａ^2 ∴(ａ＋１２)(ａ－１２)＝０ ∴ａ＝±１２
ところで、ａ＞０より、ａ＝１２ ∴Ａ（０，１２）
∴ＡＢ＝１２ｃｍ
もっともこの解法は、直線ＡＣの傾きを－ａ/１８とすれば、一発で－８/ａ＝－ａ/１８から解けますが、相似の解法とほとんど同じですね。まぁ、逃げの解法ですが、一応、相似は使っていませんね。
おまけ：
辺ＢＣ上に点Ｆ，辺ＡＤ上に点Ｇを取り、正方形ＡＢＦＧを描き、ＦＧとＡＣとの交点をＨとすると、１辺両端が等しいので△ＡＢＥ≡△ＡＧＨ
∴ＧＨ＝ＢＥ＝８ｃｍ ここで、ＡＢ＝ｘと置くと、ＢＦ＝ＧＦ＝ｘより、ＨＦ＝ｘ－８，ＦＣ＝１８－ｘ
よって、三平方の定理を使うと、
√(ｘ^2＋８^2)＋√{(ｘ－８)^2＋(１８－ｘ)^2}＝√(ｘ^2＋１８^2)が成り立つ。
∴√(ｘ^2＋６４)＋√(２ｘ^2－５２ｘ＋３８８)＝√(ｘ^2＋３２４)
∴√(２ｘ^2－５２ｘ＋３８８)＝√(ｘ^2＋３２４)－√(ｘ^2＋６４)
∴２ｘ^2－５２ｘ＋３８８＝２ｘ^2＋３８８－２√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)
∴２√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝５２ｘ
√(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝２６ｘ
(ｘ^2＋６４)(ｘ^2＋３２４)＝６７６ｘ^2
∴ｘ^4＋３８８ｘ^2＋６４・３２４＝６７６ｘ^2
∴ｘ^4－２８８ｘ^2＋８^2・１８^2＝０
∴ｘ^4－２・１４４ｘ^2＋１４４^2＝０
∴(ｘ^2－１４４)^2＝０
∴ｘ^2＝１４４ ｘ＞０より、ｘ＝１２
∴ＡＢ＝１２ｃｍ
一応、別解。
点Ｂをｘｙ座標の原点に置き、ＢＣをｘ軸，ＡＢをｙ軸に取り、Ａ（０，ａ），Ｅ（８，０），Ｃ（１８，０）と置くと、直線ＡＥの傾きは－ａ/８
また、直線ＡＣの傾きは直線ＡＥの傾きの縦横を逆転させたものなので、－８/ａ
また、直線ＡＣのｙ切片はａなので、直線の方程式は、ｙ＝(－８/ａ)ｘ＋ａ
これが点Ｃ（１８，０）を通るので、０＝－１４４/ａ＋ａ ∴０＝－１４４＋ａ^2 ∴(ａ＋１２)(ａ－１２)＝０ ∴ａ＝±１２
ところで、ａ＞０より、ａ＝１２ ∴Ａ（０，１２）
∴ＡＢ＝１２ｃｍ
もっともこの解法は、直線ＡＣの傾きを－ａ/１８とすれば、一発で－８/ａ＝－ａ/１８から解けますが、相似の解法とほとんど同じですね。まぁ、逃げの解法ですが、一応、相似は使っていませんね。
おまけ：
返信
返信1
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/19 21:53 (No.733054)削除ポアソン分布で裏取ってみました。
問題
ある道路では、１時間以内に車が通る確率は、９５％であるという。では、１０分以内に車が通る確率は？
解答
１０分以内に車が通る確率を ｐ とすると、１時間以内で車が全く通らない確率は、
（１－ｐ）^6＝１－０．９５＝０．０５ から、ｐ≒０．３９３
引用元：http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html
ポアソン分布
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^x/ｘ!)（ｘ＝０,１,２,…）
１時間以内に車が１台も通らない確率はｘ＝０（０台だから）として、
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^0/０!)＝ｅ^(-μ)＝０．０５
∴ｅ^(-μ)＝０．０５（μは１時間以内に通る平均台数）
この両辺の自然対数を取ると、
－μ＝log0.05＝－2.9957323
∴μ＝2.9957323
よって、10分以内に通る平均台数はμ/６＝0.4992887
これとｘ＝０をポアソン分布の式に代入すると、
Ｐp(０)＝ｅ^(-0.4992887)・(0.4992887^0/０!)＝ｅ^(-0.4992887)＝0.6069622
これは10分以内に車が1台も通らない確率より、１０分以内に車が通る確率は、1－0.6069622＝0.3930378
一方、回答はｐ≒０．３９３より、裏が取れた。
おまけ：
問題
ある道路では、１時間以内に車が通る確率は、９５％であるという。では、１０分以内に車が通る確率は？
解答
１０分以内に車が通る確率を ｐ とすると、１時間以内で車が全く通らない確率は、
（１－ｐ）^6＝１－０．９５＝０．０５ から、ｐ≒０．３９３
引用元：http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html
ポアソン分布
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^x/ｘ!)（ｘ＝０,１,２,…）
１時間以内に車が１台も通らない確率はｘ＝０（０台だから）として、
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^0/０!)＝ｅ^(-μ)＝０．０５
∴ｅ^(-μ)＝０．０５（μは１時間以内に通る平均台数）
この両辺の自然対数を取ると、
－μ＝log0.05＝－2.9957323
∴μ＝2.9957323
よって、10分以内に通る平均台数はμ/６＝0.4992887
これとｘ＝０をポアソン分布の式に代入すると、
Ｐp(０)＝ｅ^(-0.4992887)・(0.4992887^0/０!)＝ｅ^(-0.4992887)＝0.6069622
これは10分以内に車が1台も通らない確率より、１０分以内に車が通る確率は、1－0.6069622＝0.3930378
一方、回答はｐ≒０．３９３より、裏が取れた。
おまけ：
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壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/17 22:26 (No.731347)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/18 07:37削除何でもありの解法１ 算数の解法
ＢＣ＝ＤＣ，∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ＝１８０°より、点Ｃを中心にＣＤがＣＢにくっつくまで△ＣＥＤを１８０°回転させ、点Ｅの行き先をＥ'とすると、ＤＥ＝ＢＡよりＢＥ'＝ＢＡとなり△ＢＡＥ'は二等辺三角形になる。
ところで、△ＣＡＢの内対角の和より、∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°よって、∠Ｅ'＝∠Ａ＝３０°より、∠ＣＥＤ＝３０°
よって、答えは、３０°
別解という訳ではないが、数学的解法にアレンジしよう。
ＢＥを結び、中点の定石の１つからＥＣの延長上にＦＣ＝ＥＣとなる点Ｆを取ると、ＥＦとＢＤは互いの中点で交わっているので四角形ＥＢＦＤは平行四辺形になる。
∴ＢＦ＝ＥＤ，ＢＦ//ＥＤ
よって、錯角より∠ＣＥＤ＝∠ＣＦＢ また、△ＢＡＦは二等辺三角形より∠Ａ＝∠Ｆ
よって、∠ＣＥＤ＝∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°
何でもありの解法２のヒントは角の二等分線の定理を利用して下さい。
おまけ：
ＢＣ＝ＤＣ，∠ＡＣＢ＋∠ＥＣＤ＝１８０°より、点Ｃを中心にＣＤがＣＢにくっつくまで△ＣＥＤを１８０°回転させ、点Ｅの行き先をＥ'とすると、ＤＥ＝ＢＡよりＢＥ'＝ＢＡとなり△ＢＡＥ'は二等辺三角形になる。
ところで、△ＣＡＢの内対角の和より、∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°よって、∠Ｅ'＝∠Ａ＝３０°より、∠ＣＥＤ＝３０°
よって、答えは、３０°
別解という訳ではないが、数学的解法にアレンジしよう。
ＢＥを結び、中点の定石の１つからＥＣの延長上にＦＣ＝ＥＣとなる点Ｆを取ると、ＥＦとＢＤは互いの中点で交わっているので四角形ＥＢＦＤは平行四辺形になる。
∴ＢＦ＝ＥＤ，ＢＦ//ＥＤ
よって、錯角より∠ＣＥＤ＝∠ＣＦＢ また、△ＢＡＦは二等辺三角形より∠Ａ＝∠Ｆ
よって、∠ＣＥＤ＝∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°
何でもありの解法２のヒントは角の二等分線の定理を利用して下さい。
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/19 07:56削除何でもありの解法２
ＡからＥＤと平行な直線を引き、ＢＤの延長との交点をＦとし、ＡＢ＝ＤＥ＝ａ，ＢＣ＝ＣＤ＝ｂと置くと、△ＣＥＤ∽△ＣＡＦより、
ＣＦ：ＦＡ＝ＣＤ：ＤＥ＝ｂ：ａ
また、ＢＣ：ＡＢ＝ｂ：ａより、ＣＦ：ＦＡ＝ＢＣ：ＡＢ ∴ＡＢ：ＡＦ＝ＢＣ：ＣＦ
よって、△ＡＢＦでの角の二等分線の定理の逆により、ＡＣは∠ＢＡＦの二等分線。
∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ また、同位角より∠ＣＥＤ＝∠ＣＡＦなので、∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤ
∴∠ＣＥＤ＝∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°
何でもありの解法２
ＥからＡＢと平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＦとし、ＡＢ＝ＤＥ＝ａ，ＢＣ＝ＣＤ＝ｂと置くと、△ＣＥＦ∽△ＣＡＢより、
ＥＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝ａ：ｂ
また、ＥＤ：ＣＤ＝ａ：ｂより、ＥＦ：ＦＣ＝ＥＤ：ＣＤ ∴ＥＦ：ＥＤ＝ＦＣ：ＣＤ
よって、△ＥＦＤでの角の二等分線の定理の逆により、ＥＣは∠ＦＥＤの二等分線。
∴∠ＦＥＣ＝∠ＣＥＤ また、同位角より∠ＦＥＣ＝∠ＢＡＣ
∴∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＣ＝１１０°－８０°＝３０°
これだけじゃ面白くないので、以前にある人と共同で作った定理を紹介しますね。
定理
(ａ＋ｂ)^n－ａ^n－ｂ^nはａ,ｂ,ｎの値に関わらず偶数である。ただし、ａ,ｂ,ｎは自然数とする。
興味がある人は証明してみて下さい。対称性から偶数と奇数は対等なような気がしますが、偶数に偏るんですね。
おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1636851496120909826
ＡからＥＤと平行な直線を引き、ＢＤの延長との交点をＦとし、ＡＢ＝ＤＥ＝ａ，ＢＣ＝ＣＤ＝ｂと置くと、△ＣＥＤ∽△ＣＡＦより、
ＣＦ：ＦＡ＝ＣＤ：ＤＥ＝ｂ：ａ
また、ＢＣ：ＡＢ＝ｂ：ａより、ＣＦ：ＦＡ＝ＢＣ：ＡＢ ∴ＡＢ：ＡＦ＝ＢＣ：ＣＦ
よって、△ＡＢＦでの角の二等分線の定理の逆により、ＡＣは∠ＢＡＦの二等分線。
∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ また、同位角より∠ＣＥＤ＝∠ＣＡＦなので、∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤ
∴∠ＣＥＤ＝∠Ａ＝１１０°－８０°＝３０°
何でもありの解法２
ＥからＡＢと平行な直線を引き、ＢＣとの交点をＦとし、ＡＢ＝ＤＥ＝ａ，ＢＣ＝ＣＤ＝ｂと置くと、△ＣＥＦ∽△ＣＡＢより、
ＥＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝ａ：ｂ
また、ＥＤ：ＣＤ＝ａ：ｂより、ＥＦ：ＦＣ＝ＥＤ：ＣＤ ∴ＥＦ：ＥＤ＝ＦＣ：ＣＤ
よって、△ＥＦＤでの角の二等分線の定理の逆により、ＥＣは∠ＦＥＤの二等分線。
∴∠ＦＥＣ＝∠ＣＥＤ また、同位角より∠ＦＥＣ＝∠ＢＡＣ
∴∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＣ＝１１０°－８０°＝３０°
これだけじゃ面白くないので、以前にある人と共同で作った定理を紹介しますね。
定理
(ａ＋ｂ)^n－ａ^n－ｂ^nはａ,ｂ,ｎの値に関わらず偶数である。ただし、ａ,ｂ,ｎは自然数とする。
興味がある人は証明してみて下さい。対称性から偶数と奇数は対等なような気がしますが、偶数に偏るんですね。
おまけ：
https://twitter.com/satndRvjMpc4tl7/status/1636851496120909826
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/19 09:05削除定理
(ａ＋ｂ)^n－ａ^n－ｂ^nはａ,ｂ,ｎの値に関わらず偶数である。ただし、ａ,ｂ,ｎは自然数とする。
因みに、二項定理からフェルマーの小定理を作り上げたものはありません。（また、見たいものですね。）
おまけ：
(ａ＋ｂ)^n－ａ^n－ｂ^nはａ,ｂ,ｎの値に関わらず偶数である。ただし、ａ,ｂ,ｎは自然数とする。
因みに、二項定理からフェルマーの小定理を作り上げたものはありません。（また、見たいものですね。）
おまけ：
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返信3
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/17 11:55 (No.730927)削除問題
実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない事を示せ。
証明
ℝとℂが環として同型であると仮定する。すると、同型写像ｆ：ℂ→ℝが存在する。複素数ｉに対して、ｆ(ｉ)＝ａ∈ℝとおく。ｉはｉ^2＋１＝０を満たす数であるから
０＝ｆ(０)（ｆは環の加法に関する準同型写像）
＝ｆ(ｉ^2＋１)
＝ｆ(ｉ^2)＋ｆ(１)（ｆは環の加法に関する準同型写像）
＝ｆ(ｉ)^2＋ｆ(１)（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝ａ^2＋１（ｆは環の準同型写像，ｆ(１)＝１）
ゆえに、ａ^2＋１＝０ ところが、ａは実数であるから、これは矛盾である。よって、実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない。
あまり意味はありませんが、数式部分の別解を作って下さい。因みに、この証明では加法群として同型でない事は証明出来ませんね。加法群ではｆ(１)＝１とは限らずｆ(１)＜０かもしれませんからね。念のため、加法群としても同型の訳はありませんが。（念のため、環として同型でなければ体としても同型でないから「環として」としているんですよね。）
おまけ：
実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない事を示せ。
証明
ℝとℂが環として同型であると仮定する。すると、同型写像ｆ：ℂ→ℝが存在する。複素数ｉに対して、ｆ(ｉ)＝ａ∈ℝとおく。ｉはｉ^2＋１＝０を満たす数であるから
０＝ｆ(０)（ｆは環の加法に関する準同型写像）
＝ｆ(ｉ^2＋１)
＝ｆ(ｉ^2)＋ｆ(１)（ｆは環の加法に関する準同型写像）
＝ｆ(ｉ)^2＋ｆ(１)（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝ａ^2＋１（ｆは環の準同型写像，ｆ(１)＝１）
ゆえに、ａ^2＋１＝０ ところが、ａは実数であるから、これは矛盾である。よって、実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない。
あまり意味はありませんが、数式部分の別解を作って下さい。因みに、この証明では加法群として同型でない事は証明出来ませんね。加法群ではｆ(１)＝１とは限らずｆ(１)＜０かもしれませんからね。念のため、加法群としても同型の訳はありませんが。（念のため、環として同型でなければ体としても同型でないから「環として」としているんですよね。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/17 13:38削除問題
実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない事を示せ。
別解
ℝとℂが環として同型であると仮定する。すると、同型写像ｆ：ℂ→ℝが存在する。複素数ｉに対して、ｆ(ｉ)＝ａ∈ℝとおく。ｉはｉ^2＋１＝０を満たす数であるから
１＝ｆ(１)（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝ｆ(－ｉ^2)
＝－ｆ(ｉ^2)（定理6.2(2)を加法群として適用）
＝－ｆ(ｉ)^2（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝－ａ^2
ゆえに、ａ^2＝－１ ところが、ａは実数であるから、これは矛盾である。よって、実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない。
定理6.2
ｆを群Ｇから群Ｇ'への準同型写像とし、ｅをＧの単位元，ｅ'をＧ'の単位元とするとき、次が成り立つ。
（１）Ｇの単位元ｅは準同型写像ｆによってＧ'の単位元ｅ'に移る。
ｆ(ｅ)＝ｅ'
（２）Ｇの任意の元ａに対してはｆ(ａ^-1)＝ｆ(ａ)^-1
因みに、ℤからℤへの環の準同型写像は恒等写像しか存在しない（第3章§3演習問題２）が、ℤからℤへの群の準同型写像（全射）は２つある。（全射でなければもっと沢山ある。）
その理由は、ｆ：ℤ→ℤの群の準同型写像は加法群でｆ(０)＝０だが、ｆ(１)＝１とは限らないからである（全射の場合はｆ(１)＝１，－１）
環の方はｆ(１)＝１だから１つなのだが理由は省略。興味がある人は第2章問6.10(1)と第3章§3演習問題２の解答を読んで下さい。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著
おまけ：
実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない事を示せ。
別解
ℝとℂが環として同型であると仮定する。すると、同型写像ｆ：ℂ→ℝが存在する。複素数ｉに対して、ｆ(ｉ)＝ａ∈ℝとおく。ｉはｉ^2＋１＝０を満たす数であるから
１＝ｆ(１)（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝ｆ(－ｉ^2)
＝－ｆ(ｉ^2)（定理6.2(2)を加法群として適用）
＝－ｆ(ｉ)^2（ｆは環の乗法に関する準同型写像）
＝－ａ^2
ゆえに、ａ^2＝－１ ところが、ａは実数であるから、これは矛盾である。よって、実数の全体ℝと複素数の全体ℂは環として同型ではない。
定理6.2
ｆを群Ｇから群Ｇ'への準同型写像とし、ｅをＧの単位元，ｅ'をＧ'の単位元とするとき、次が成り立つ。
（１）Ｇの単位元ｅは準同型写像ｆによってＧ'の単位元ｅ'に移る。
ｆ(ｅ)＝ｅ'
（２）Ｇの任意の元ａに対してはｆ(ａ^-1)＝ｆ(ａ)^-1
因みに、ℤからℤへの環の準同型写像は恒等写像しか存在しない（第3章§3演習問題２）が、ℤからℤへの群の準同型写像（全射）は２つある。（全射でなければもっと沢山ある。）
その理由は、ｆ：ℤ→ℤの群の準同型写像は加法群でｆ(０)＝０だが、ｆ(１)＝１とは限らないからである（全射の場合はｆ(１)＝１，－１）
環の方はｆ(１)＝１だから１つなのだが理由は省略。興味がある人は第2章問6.10(1)と第3章§3演習問題２の解答を読んで下さい。
「演習 群・環・体 入門」新妻弘著
おまけ：
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返信1
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壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/16 10:46 (No.730043)削除問題１
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901030001/
よく考えたら簡単ですが、５秒以内は無理でしょう。また、何も見ないで５^55は何桁の数字か求めて下さい。ただし、常用対数log５＝0.69897とします。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901020001/
これも１５秒以内に解ける人はパズルばかりやっている人でしょう。また、別解で斜めの数列を階差数列で一般化してから解いて下さい。（何も見ないで。）
おまけ：
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901030001/
よく考えたら簡単ですが、５秒以内は無理でしょう。また、何も見ないで５^55は何桁の数字か求めて下さい。ただし、常用対数log５＝0.69897とします。
問題２
https://plaza.rakuten.co.jp/difkou/diary/201901020001/
これも１５秒以内に解ける人はパズルばかりやっている人でしょう。また、別解で斜めの数列を階差数列で一般化してから解いて下さい。（何も見ないで。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/17 07:28削除問題１
どちらが大きいでしょう？
５^5^5 ５^55
解答
指数どうしを比較すると、５^5＝３１２５と５５なので一目瞭然。
よって、大きい方は、５^5^5
改題
どちらが大きいでしょう？
(５^5)^5 ５^55
解答
(５^5)^5＝５^25なので、指数を比較すると、
大きい方は、５^55
＞何も見ないで５^55は何桁の数字か求めて下さい。ただし、常用対数log５＝0.69897とします。
５^55＝ｘと置いて両辺の常用対数を取ると、
５５log５＝logｘ
これにlog５＝0.69897を代入すると、
logｘ＝38.44335 ∴３８＜logｘ＜３９
∴１０^38＜ｘ＜１０^39
よって、ｘは３９桁の数字。
よって、５^55は３９桁の数字である。
因みに、同様の計算をすると、５^5^5は２１８５桁の数字で(５^5)^5は１８桁の数字である。
また、(５^5)^5の指数は２５で５^55の指数は５５より、比は２５：５５＝５：１１＝１：2.2
また、(５^5)^5の桁数は１８で５^55の桁数は３９より、比は１８：３９＝６：１３＝１：2.1666…
でＯＫ。（微妙な差があるのはただの桁数で中身の差を考慮していないからである。）
おまけ：
どちらが大きいでしょう？
５^5^5 ５^55
解答
指数どうしを比較すると、５^5＝３１２５と５５なので一目瞭然。
よって、大きい方は、５^5^5
改題
どちらが大きいでしょう？
(５^5)^5 ５^55
解答
(５^5)^5＝５^25なので、指数を比較すると、
大きい方は、５^55
＞何も見ないで５^55は何桁の数字か求めて下さい。ただし、常用対数log５＝0.69897とします。
５^55＝ｘと置いて両辺の常用対数を取ると、
５５log５＝logｘ
これにlog５＝0.69897を代入すると、
logｘ＝38.44335 ∴３８＜logｘ＜３９
∴１０^38＜ｘ＜１０^39
よって、ｘは３９桁の数字。
よって、５^55は３９桁の数字である。
因みに、同様の計算をすると、５^5^5は２１８５桁の数字で(５^5)^5は１８桁の数字である。
また、(５^5)^5の指数は２５で５^55の指数は５５より、比は２５：５５＝５：１１＝１：2.2
また、(５^5)^5の桁数は１８で５^55の桁数は３９より、比は１８：３９＝６：１３＝１：2.1666…
でＯＫ。（微妙な差があるのはただの桁数で中身の差を考慮していないからである。）
おまけ：
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/17 07:55削除問題２の解答
一番左の縦の列に着目すると、１，４，９，１６，…
つまり、１^2，２^2，３^2，４^2，…となっている。
よって、上から２０番目の一番日だろに数字は、２０^2＝４００である。
よって、答えは、４００－２＝３９８
＞また、別解で斜めの数列を階差数列で一般化してから解いて下さい。
斜めの数字は、１，３，７，１３，…より、階差を取ると２，４，６，…である。
よって、階差数列の公式を利用すると、
ａn＝１＋∑(k=1~n-1)２ｋ＝１＋２{ｎ(ｎ－１)/２}＝ｎ^2－ｎ＋１
よって、ｎ段目の斜め右下の数字はｎ^2－ｎ＋１である。
よって、ｎ段目の一番左の数字はｎ^2－ｎ＋１＋(ｎ－１)＝ｎ^2
以後同じ。
これだけじゃ面白くないので、環論でよく見かけるａ∈Ⅰ⇔|ａ＝０（ただし、Ⅰはイデアル）を解説しますね。
参考書には何の解説もなく使われているので、多分、イデアルの元だからと思っている人が多いと思いますが、これは加法群なら成り立ちます。
定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の（１）,（２）,（３）は同値である。
（１）ａ∈Ｈ（２）ａＨ＝Ｈ（３）Ｈａ＝Ｈ
これを加法群で考えると、
ａ∈Ｈ⇔ａ＋Ｈ＝Ｈ⇔ａ＋Ｈ＝０＋Ｈ
⇔ａ≡０（mod Ｈ）⇔|ａ＝|０
∴ａ∈Ｈ⇔|ａ＝|０
もっとも、剰余群Ｇ/ＨのＨは正規部分群である必要があり、剰余環Ｒ/ⅠのＩはイデアルである必要があるので、イデアルと考えていた方が都合が良いのかもしれませんね。念のため、加法群は全て正規部分群である。
まぁ、肝心な所で勘違いしない事を願います。（ちゃんと教わっていたらすみません。）
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/624d2edfdced3a3209c6763158e1e5d5ab7e46af?page=1
一番左の縦の列に着目すると、１，４，９，１６，…
つまり、１^2，２^2，３^2，４^2，…となっている。
よって、上から２０番目の一番日だろに数字は、２０^2＝４００である。
よって、答えは、４００－２＝３９８
＞また、別解で斜めの数列を階差数列で一般化してから解いて下さい。
斜めの数字は、１，３，７，１３，…より、階差を取ると２，４，６，…である。
よって、階差数列の公式を利用すると、
ａn＝１＋∑(k=1~n-1)２ｋ＝１＋２{ｎ(ｎ－１)/２}＝ｎ^2－ｎ＋１
よって、ｎ段目の斜め右下の数字はｎ^2－ｎ＋１である。
よって、ｎ段目の一番左の数字はｎ^2－ｎ＋１＋(ｎ－１)＝ｎ^2
以後同じ。
これだけじゃ面白くないので、環論でよく見かけるａ∈Ⅰ⇔|ａ＝０（ただし、Ⅰはイデアル）を解説しますね。
参考書には何の解説もなく使われているので、多分、イデアルの元だからと思っている人が多いと思いますが、これは加法群なら成り立ちます。
定理4.1の系
Ｇを群，ＨをＧの部分群とする。このとき、Ｇの任意の元ａについて次の（１）,（２）,（３）は同値である。
（１）ａ∈Ｈ（２）ａＨ＝Ｈ（３）Ｈａ＝Ｈ
これを加法群で考えると、
ａ∈Ｈ⇔ａ＋Ｈ＝Ｈ⇔ａ＋Ｈ＝０＋Ｈ
⇔ａ≡０（mod Ｈ）⇔|ａ＝|０
∴ａ∈Ｈ⇔|ａ＝|０
もっとも、剰余群Ｇ/ＨのＨは正規部分群である必要があり、剰余環Ｒ/ⅠのＩはイデアルである必要があるので、イデアルと考えていた方が都合が良いのかもしれませんね。念のため、加法群は全て正規部分群である。
まぁ、肝心な所で勘違いしない事を願います。（ちゃんと教わっていたらすみません。）
おまけ：
https://news.yahoo.co.jp/articles/624d2edfdced3a3209c6763158e1e5d5ab7e46af?page=1
返信
返信2
壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/14 22:18 (No.728771)削除壊
壊れた扉さん (8ewhcx4n)2023/3/16 07:42削除問題１の解法１
右下の小さな長方形は小さな直角二等辺三角形４個分で、左上の空白部分も小さな直角二等辺三角形４個分なので移動させる。
次の段はそれぞれ小さな直角二等辺三角形２個分ずつで、さらに次の段は小さな直角二等辺三角形１２個分ずつで、更にその次は小さな直角二等辺三角形２個分ずつで一致しているので、それぞれを移動させると、結局大きな正方形の半分である事が分かる。
よって、１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、答えは、５０ｃｍ^2
解法２
緑色の小さな直角二等辺三角形の個数を数えると、５０個である。また、大きな正方形は小さな正方形５×５＝２５個分で、小さな正方形は小さな直角二等辺三角形４個分なので、大きな正方形は小さな直角二等辺三角形２５×４＝１００個分である。
よって、緑色の部分は全体の正方形の５０/１００＝１/２である。
よって、面積は、１０×１０×(１/２)＝５０ｃｍ^2
どちらが模範解答なのでしょう。
問題２の解法１
△ＡＥＦと△ＣＧＨは二辺挟角が等しいので合同である。よって、ＥＦとＥＧは平行。（厳密には、ＥＦの延長とＣＢの延長との交点を定めて合同と錯角と同位角で示す。）
よって、△ＪＧＨを等積変形すると、△ＥＧＨの面積と等しく△ＥＧＨ＝ＥＧ×ＣＧ÷２＝１０×４÷２＝２０ｃｍ^2
よって、答えは、２０ｃｍ^2
解法２
△ＡＥＦと△ＣＧＨは二辺挟角が等しいので合同である。よって、ＥＦとＥＧは平行までは同じ。
よって、△ＪＧＨを等積変形すると、△ＦＧＨの面積と等しい。
△ＦＧＨ＝台形ＨＦＢＣ－△ＦＢＧ－△ＨＧＣ＝(２＋８)×８÷２－８×４÷２－４×２÷２＝４０－１６－４＝２０ｃｍ^2
よって、答えは、２０ｃｍ^2
算数慣れしていない人は、点Ｊを勝手に動かしてはいけないと思っているに違いない。面積さえ変わらなければ何でもいいんです。柔軟な発想とか閃きなんて胡散臭い言葉に騙されないで何でもありで考えてみて下さい。（地頭が大事とかいう奴ほど胡散臭い奴はいないと思います。）
おまけ：
https://okanenohikiyose.com/%E3%80%90%E3%83%90%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%80%91%E5%8A%AA%E5%8A%9B%E3%82%84%E8%8B%A6%E5%8A%B4%E3%81%AF%E4%B8%8A%E9%81%94%E3%81%AB%E6%9C%AC%E5%BD%93%E3%81%AF%E5%BF%85%E8%A6%81%E3%81%AA/
右下の小さな長方形は小さな直角二等辺三角形４個分で、左上の空白部分も小さな直角二等辺三角形４個分なので移動させる。
次の段はそれぞれ小さな直角二等辺三角形２個分ずつで、さらに次の段は小さな直角二等辺三角形１２個分ずつで、更にその次は小さな直角二等辺三角形２個分ずつで一致しているので、それぞれを移動させると、結局大きな正方形の半分である事が分かる。
よって、１０×１０÷２＝５０ｃｍ^2
よって、答えは、５０ｃｍ^2
解法２
緑色の小さな直角二等辺三角形の個数を数えると、５０個である。また、大きな正方形は小さな正方形５×５＝２５個分で、小さな正方形は小さな直角二等辺三角形４個分なので、大きな正方形は小さな直角二等辺三角形２５×４＝１００個分である。
よって、緑色の部分は全体の正方形の５０/１００＝１/２である。
よって、面積は、１０×１０×(１/２)＝５０ｃｍ^2
どちらが模範解答なのでしょう。
問題２の解法１
△ＡＥＦと△ＣＧＨは二辺挟角が等しいので合同である。よって、ＥＦとＥＧは平行。（厳密には、ＥＦの延長とＣＢの延長との交点を定めて合同と錯角と同位角で示す。）
よって、△ＪＧＨを等積変形すると、△ＥＧＨの面積と等しく△ＥＧＨ＝ＥＧ×ＣＧ÷２＝１０×４÷２＝２０ｃｍ^2
よって、答えは、２０ｃｍ^2
解法２
△ＡＥＦと△ＣＧＨは二辺挟角が等しいので合同である。よって、ＥＦとＥＧは平行までは同じ。
よって、△ＪＧＨを等積変形すると、△ＦＧＨの面積と等しい。
△ＦＧＨ＝台形ＨＦＢＣ－△ＦＢＧ－△ＨＧＣ＝(２＋８)×８÷２－８×４÷２－４×２÷２＝４０－１６－４＝２０ｃｍ^2
よって、答えは、２０ｃｍ^2
算数慣れしていない人は、点Ｊを勝手に動かしてはいけないと思っているに違いない。面積さえ変わらなければ何でもいいんです。柔軟な発想とか閃きなんて胡散臭い言葉に騙されないで何でもありで考えてみて下さい。（地頭が大事とかいう奴ほど胡散臭い奴はいないと思います。）
おまけ：
https://okanenohikiyose.com/%E3%80%90%E3%83%90%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%80%91%E5%8A%AA%E5%8A%9B%E3%82%84%E8%8B%A6%E5%8A%B4%E3%81%AF%E4%B8%8A%E9%81%94%E3%81%AB%E6%9C%AC%E5%BD%93%E3%81%AF%E5%BF%85%E8%A6%81%E3%81%AA/
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